Limit Tanımı

Bir fonksiyonun davranışını incelerken çoğu zaman fonksiyonun belirli noktalardaki değeri ile ilgileniriz. Örneğin bir \( f \) fonksiyonunun belirli bir \( x = a \) noktasındaki değerini bulmak için, \( x \) değişkenine \( a \) değerini vererek \( f(a) \) değerini hesaplarız.

Aynı fonksiyonun \( x = 2 \) noktasındaki değerini bulmak istersek fonksiyonun bu noktada tanımsız olduğunu görürüz.

Fonksiyonun \( x = 2 \) noktasında tanımsız olduğu bilgisinin bizim için yeterli olmadığını ve fonksiyonun bu nokta civarındaki değerini bilmek istediğimizi varsayalım. Elimizde fonksiyonun grafiği yoksa kullanabileceğimiz bir yöntem \( x \)'e 2'ye yakın değerler vererek fonksiyon değerini hesaplamak olabilir.

Aşağıdaki tabloda ilk iki sütunda \( x \)'in 2'den küçük ve gitgide artarak 2'ye yaklaşan değerleri için, sonraki iki sütunda da 2'den büyük ve gitgide azalarak 2'ye yaklaşan değerleri için fonksiyon değerleri verilmiştir.

Tabloyu incelediğimizde \( x \) 2'ye daha küçük değerlerden (grafik olarak soldan) yaklaştıkça fonksiyon değerinin 4'e daha küçük değerlerden yaklaştığını, \( x \) 2'ye daha büyük değerlerden (grafik olarak sağdan) yaklaştıkça da fonksiyon değerinin 4'e daha büyük değerlerden yaklaştığını görürüz. Bu değerlere bakarak, fonksiyon \( x = 2 \) noktasında tanımsız olsa da fonksiyon grafiğinin \( x = 2 \) civarında hem soldan hem de sağdan 4 değerine yaklaştığını söyleyebiliriz.

Bir program kullanarak fonksiyonun grafiğini çizdiğimizde aşağıdaki grafiği elde ederiz.

Yukarıdaki tablo için yaptığımız yorumu grafik üzerinden de teyit edebiliriz. Fonksiyon \( x = 2 \) noktasında tanımsızdır, ancak bu noktaya soldan ve sağdan yaklaştıkça fonksiyon değeri 4'e yaklaşmaktadır. Bu şekilde değer tablolaları kullanarak ya da fonksiyonun grafiğini inceleyerek bir fonksiyonun tanımlı ya da tanımsız bir nokta civarındaki davranışı ile ilgili ek bilgiler edinebiliriz.

Limitin Pratik Tanımı

Soldan Limit

Bir \( f(x) \) fonksiyonunda \( x \) değişkenine bir \( a \) değerine \( x \lt a \) olmak koşulu ile sınırsız yaklaşan (ama hiçbir zaman \( x = a \) olmayan) değerler verdiğimizde \( f(x) \) değerleri bir \( L_1 \) değerine sınırsız yaklaşıyorsa ve yakın kalıyorsa, bu \( L_1 \) değerine \( f(x) \) fonksiyonunun \( a \) noktası için soldan limiti denir.

Soldan limitin gösterimi aşağıdaki gibidir. Bu gösterimde \( x \)'in yaklaştığı \( a \) değerinin üstüne negatif işareti konur. Bu işaret \( a \) değerine \( x \) ekseninin negatif (sol) tarafından yaklaştığımızı gösterir.

Sağdan Limit

Bir \( f(x) \) fonksiyonunda \( x \) değişkenine bir \( a \) değerine \( x \gt a \) olmak koşulu ile sınırsız yaklaşan (ama hiçbir zaman \( x = a \) olmayan) değerler verdiğimizde \( f(x) \) değerleri bir \( L_2 \) değerine sınırsız yaklaşıyorsa ve yakın kalıyorsa, bu \( L_2 \) değerine \( f(x) \) fonksiyonunun \( a \) noktası için sağdan limiti denir.

Sağdan limitin gösterimi aşağıdaki gibidir. Bu gösterimde \( x \)'in yaklaştığı \( a \) değerinin üstüne pozitif işareti konur. Bu işaret \( a \) değerine \( x \) ekseninin pozitif (sağ) tarafından yaklaştığımızı gösterir.

Bir fonksiyonun bir noktadaki soldan ve sağdan limitlerine tek taraflı limit denir.

İki Taraflı Limit

Bir fonksiyonun bir noktadaki soldan ve sağdan limitleri birer reel sayı olarak tanımlı ve birbirine eşitse fonksiyonun o noktada iki taraflı limiti vardır ve soldan ve sağdan limit değerine eşittir.

Bir fonksiyonun berli bir noktadaki limitinden bahsediliyorsa ve soldan ya da sağdan limit olduğu belirtilmemişse iki taraflı limit anlaşılmalıdır.

Bir fonksiyonun iki taraflı limitinde limiti hesaplanan değerin üstüne pozitif ya da negatif işareti konmaz.

Bir fonksiyonun bir noktadaki limiti ile ilgili önemli bazı noktalar aşağıdaki gibidir.

• Bir fonksiyonun limiti bir aralık için değil, belirli bir nokta için hesaplanır.
• Bir noktada limitin tanımlı olması için fonksiyonun o noktada reel sayı bir \( L \) değerine yaklaşması gerekir. Fonksiyon değerinin sonsuza gittiği durumlar (sonsuz limit) gerçek bir limit teşkil etmez.
• Fonksiyonun bir noktadaki soldan ve sağdan limit değerleri birbirine eşit değilse ya da ikisinden biri tanımlı değilse fonksiyonun o noktada (iki taraflı) limiti yoktur, yani tanımsızdır.
• Bir fonksiyonun bir noktada limitinin olmaması soldan ve sağdan limitlerinin tanımsız olması anlamına gelmez. Soldan ve sağdan limitler o noktadaki limit değerinden bağımsız olarak tanımlı olabilirler.
• Limit bir fonksiyonun belirli bir \( x \) değeri civarında nasıl davrandığı ile ilgilenir, fonksiyonun o noktadaki değeri ya da tanımlı olup olmaması ile ilgilenmez. Dolayısıyla fonksiyonun bir \( x \) noktası için limitinin olması için fonksiyonun o noktada tanımlı olması ya da o noktadaki fonksiyon değerinin soldan/sağdan limit değerine eşit olması gerekli değildir.

Önümüzdeki bölümlerde detaylı inceleyeceğimiz üzere, aşağıdaki durumlarda soldan ve sağdan limitler farklı sonuç verebilir, dolayısıyla bir noktadaki limit değerini bulmak için her iki tek taraflı limitin de incelenmesi gerekir.

• Parçalı fonksiyonların kritik noktaları
• Mutlak değerli fonksiyonların kritik noktaları
• Bir fonksiyonda dikey asimptot oluşan noktalar

Burada yaptığımız tanıma limitin pratik tanımı dedik, limitin en doğru ve kabul görmüş tanımı olan epsilon-delta tanımından önümüzdeki bölümde bahsedeceğiz.

Uç Noktalarda Limit

Belirli bir \( [a, b) \) aralığında tanımlı bir fonksiyonun tanım aralığının uç noktalarında tek taraflı limitler sadece fonksiyonun tanımlı olduğu yönlerde, yani \( x = a \) noktasında sadece sağdan, \( x = b \) noktasında ise sadece soldan tanımlıdır.

İki taraflı limit soldan ve sağdan limitlerin tanımlı ve eşit olmasını gerektirdiği için, uç noktalarda iki taraflı limit tanımlı değildir.

Bir noktada limitin olması için fonksiyonun o noktada tanımlı olma koşulu olmadığı için, fonksiyonun tanımlı olduğu aralığın açık, kapalı ya da yarı açık olmasının uç noktalardaki limit açısından bir önemi yoktur.