Limit Tanımı

Süreklilik, türev, integral ve seriler gibi kalkülüs konularının en temel tanımları ve ispatları bu bölümde inceleyeceğimiz limit kavramına dayanır, dolayısıyla bu konunun iyi anlaşılması kalkülüsün teorik altyapısı açısından oldukça önemlidir.

Bir fonksiyonun davranışını incelerken çoğu zaman fonksiyonun belirli noktalarda aldığı değerle ilgileniriz, bununla birlikte fonksiyon değeri tek başına fonksiyonun davranışı hakkında tüm resmi vermeyebilir.

Aşağıda bu duruma dört örnek verilmiştir. Bu örneklerin ortak noktası, fonksiyonun belirli bir noktadaki değerinden ziyade, o nokta civarındaki davranışının incelenmesidir.

Limit kavramı, fonksiyonun bir noktadaki değerinden çok, o noktaya yaklaşırken nasıl davrandığını inceler. Bir fonksiyonun bir nokta civarındaki davranışını anlayabilmek için kullanılabilecek bir yöntem, bu noktaya gitgide yaklaşan noktalardaki fonksiyon değerini hesaplamaktır.

Örnek olarak aşağıdaki gibi tanımlı \( f \) fonksiyonunun \( x = 2 \) noktası civarındaki davranışını bilmek istiyor olalım. Dikkat edilirse fonksiyon bu noktada tanımsızdır.

Aşağıdaki tabloda ilk iki sütunda \( x \)'in 2'den küçük ve artarak 2'ye yaklaşan, sonraki iki sütunda da 2'den büyük ve azalarak 2'ye yaklaşan değerleri için fonksiyon değerleri verilmiştir.

Tabloyu incelediğimizde fonksiyon değerinin her iki yönden de 4 değerine yaklaştığı görülebilir. Bu değerlere bakarak, fonksiyon grafiğinin bu nokta civarında hem soldan hem de sağdan 4 değerine yaklaştığını söyleyebiliriz.

Bir program yardımıyla fonksiyon grafiği aşağıdaki şekilde elde edilir.

Yukarıdaki tablo için yaptığımız yorum bu grafik üzerinden de teyit edilebilir. Fonksiyon \( x = 2 \) noktasında tanımsızdır, ancak bu noktaya soldan ve sağdan yaklaştıkça fonksiyon değeri 4 değerine yaklaşmaktadır. Bu şekilde değer tabloları ya da fonksiyon grafiği yardımıyla bir fonksiyonun tanımlı ya da tanımsız olduğu bir nokta civarındaki davranışı incelenebilir.

Limitin Pratik Tanımı

Soldan Limit

Bir \( f \) fonksiyonunda \( x \) değişkenine \( a \)'ya soldan (\( x \lt a \)) giderek daha yaklaşan (ama hiçbir zaman \( a \) olmayan) değerler verildiğinde \( f(x) \) değerleri bir \( L_1 \) değerine yaklaşıyor ve yakın kalıyorsa, bu \( L_1 \) değerine \( f \) fonksiyonunun \( a \) noktasındaki soldan limiti denir.

Bir \( a \) noktasındaki soldan limitte \( x \) değişkeni \( a \)'dan küçük değerlerden artarak \( a \) değerine yaklaşır.

Sağdan Limit

Bir \( f \) fonksiyonunda \( x \) değişkenine \( a \)'ya sağdan (\( x \gt a \)) giderek daha yaklaşan (ama hiçbir zaman \( a \) olmayan) değerler verildiğinde \( f(x) \) değerleri bir \( L_2 \) değerine yaklaşıyor ve yakın kalıyorsa, bu \( L_2 \) değerine \( f \) fonksiyonunun \( a \) noktasındaki sağdan limiti denir.

Bir \( a \) noktasındaki sağdan limitte \( x \) değişkeni \( a \)'dan büyük değerlerden azalarak \( a \) değerine yaklaşır.

Bir fonksiyonun bir noktadaki soldan ve sağdan limitlerine ayrı ayrı tek taraflı limit de denir.

İki Taraflı Limit

Bir fonksiyonun bir noktadaki soldan ve sağdan limitleri birer reel sayı olarak varsa ve birbirine eşitse fonksiyonun o noktada iki taraflı limiti vardır ve soldan ve sağdan limit değerine eşittir.

Bir fonksiyonun belirli bir noktadaki limitinden bahsediliyorsa ve soldan ya da sağdan limit olduğu belirtilmemişse iki taraflı limit anlaşılmalıdır.

Bir fonksiyonun bir noktadaki limiti ile ilgili önemli bazı noktalar aşağıdaki gibidir.

• Bir fonksiyonun limiti, fonksiyonun geneli ya da bir aralık için değil, belirli bir nokta için hesaplanır.
• Bir noktada (tek ya da iki taraflı) limitin var olması için fonksiyon o noktada reel sayı bir \( L \) değerine yaklaşmalıdır. Fonksiyon değerinin sonsuza gittiği durumlar (sonsuz limit) gerçek bir limit teşkil etmez (bu noktalarda limit yoktur).
• Fonksiyonun bir noktadaki soldan ve sağdan limit değerleri birbirine eşit değilse ya da iki limitten biri yoksa fonksiyonun o noktada (iki taraflı) limiti yoktur.
• Bir fonksiyonun bir noktada (iki taraflı) limitinin olmaması soldan ve sağdan limitlerinin olmadığı anlamına gelmez. Soldan ve sağdan limitler o noktadaki limit değerinden bağımsız olarak var olabilirler.
• Limit bir fonksiyonun belirli bir \( x \) değeri civarında nasıl davrandığı ile ilgilenir, fonksiyonun o noktadaki değeri ya da tanımlı olup olmaması ile ilgilenmez. Dolayısıyla fonksiyonun bir \( x \) noktasında limitinin olması için, fonksiyonun o noktada tanımlı olması ya da o noktadaki fonksiyon değerinin soldan/sağdan limit değerine eşit olması gerekli değildir.

Alternatif olarak, tek ve iki taraflı limitler aşağıdaki şekilde de gösterilebilir. Bu gösterimi sitede sıklıkla kullanıyor olacağız.

Bir diğer alternatif olarak, tek taraflı limitler aşağıdaki şekilde de gösterilebilir.

\( \lim\limits_{x \to a} {f(x)} \) şeklindeki bir limit ifadesinde \( x \) değişkeninin yaklaştığı \( a \) değerine limit noktası, fonksiyon değerinin yaklaştığı \( L \) değerine limit değeri ya da kısaca limiti denir.

Burada yaptığımız tanımı limitin "pratik" tanımı olarak adlandırdık, limitin standart ve en doğru tanımı olan epsilon-delta tanımından önümüzdeki bölümde bahsedeceğiz.

Uç Noktalarda Limit

Sınırlı bir aralıkta tanımlı bir fonksiyonun tanım aralığının uç noktalarında tek taraflı limitler sadece fonksiyonun tanımlı olduğu yönlerde vardır. İki taraflı limit soldan ve sağdan limitlerin mevcut ve eşit olmasını gerektirdiği için, uç noktalarda iki taraflı limit yoktur.

Bir noktada limitin olması için fonksiyonun o noktada tanımlı olma koşulu olmadığı için, fonksiyonun tanım aralığının açık, kapalı ya da yarı açık olmasının uç noktalardaki tek taraflı limit açısından bir önemi yoktur.

Limitin Tekliği

Bir fonksiyonun bir noktada limiti varsa bu limit tektir, bir diğer ifadeyle bir noktada var olan limit iki farklı değere sahip olamaz.