Limit Tanımı
Süreklilik, türev, integral ve seriler gibi kalkülüs konularının en temel tanımları ve ispatları bu bölümde inceleyeceğimiz limit kavramına dayanır, dolayısıyla bu konunun iyi anlaşılması kalkülüsün teorik altyapısı açısından oldukça önemlidir.
Bir fonksiyonun davranışını incelerken çoğu zaman fonksiyonun belirli noktalarda aldığı değerle ilgileniriz, bununla birlikte fonksiyon değeri tek başına fonksiyonun davranışı hakkında tüm resmi vermeyebilir.
Aşağıda bu duruma dört örnek verilmiştir. Bu örneklerin ortak noktası, fonksiyonun belirli bir noktadaki değerinden ziyade, o nokta civarındaki davranışının incelenmesidir.
| Grafik | Açıklama |
|---|---|
|
\( f(x) = \dfrac{\sin{x}}{x} \) Fonksiyon \( x = 0 \) noktasında tanımsızdır. Bununla birlikte \( x \) değeri 0'a yaklaşırken fonksiyon değerinin hem soldan hem de sağdan 1'e yaklaşıyor olması fonksiyonun davranışı açısından önemli bir bilgidir. |
|
\( g(x) = \begin{cases} x + 2 & x \lt 1 \\ 2 & x = 1 \\ 1 & x \gt 1 \end{cases} \) Parçalı fonksiyon \( x = 1 \) geçiş noktasında sıçrama hareketi göstermektedir. Fonksiyon bu noktada tanımlı olsa da, tek başına fonksiyon değeri fonksiyonun bu nokta civarındaki soldan ve sağdan farklı davranışlarını açıklamamaktadır. |
|
\( h(x) = \tan{x} \) Fonksiyon \( x = \frac{\pi}{2} \) noktasında tanımsızdır. Bununla birlikte fonksiyon değerinin bu noktaya soldan yaklaşırken pozitif sonsuza, sağdan yaklaşırken negatif sonsuza gidiyor olması fonksiyonun davranışı açısından incelenmesi gereken bir noktadır. |
|
\( k(x) = e^x \) Fonksiyon hiçbir noktada sıfır değeri almamaktadır. Bununla birlikte \( x \) negatif sonsuza giderken fonksiyon değeri gitgide sıfıra yaklaşan değerler almaktadır ve bu değer fonksiyon grafiği ile ilgili tüm resmi görebilmemiz açısından önemli bir bilgidir. |
Limit kavramı, fonksiyonun bir noktadaki değerinden çok, o noktaya yaklaşırken nasıl davrandığını inceler. Bir fonksiyonun bir nokta civarındaki davranışını anlayabilmek için kullanılabilecek bir yöntem, bu noktaya gitgide yaklaşan noktalardaki fonksiyon değerini hesaplamaktır.
Örnek olarak aşağıdaki gibi tanımlı \( f \) fonksiyonunun \( x = 2 \) noktası civarındaki davranışını bilmek istiyor olalım. Dikkat edilirse fonksiyon bu noktada tanımsızdır.
\( f: \mathbb{R} - \{2\} \to \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( f(x) = \dfrac{x^2 - 4}{x - 2} \)
Aşağıdaki tabloda ilk iki sütunda \( x \)'in 2'den küçük ve artarak 2'ye yaklaşan, sonraki iki sütunda da 2'den büyük ve azalarak 2'ye yaklaşan değerleri için fonksiyon değerleri verilmiştir.
Tabloyu incelediğimizde fonksiyon değerinin her iki yönden de 4 değerine yaklaştığı görülebilir. Bu değerlere bakarak, fonksiyon grafiğinin bu nokta civarında hem soldan hem de sağdan 4 değerine yaklaştığını söyleyebiliriz.
Bir program yardımıyla fonksiyon grafiği aşağıdaki şekilde elde edilir.
Yukarıdaki tablo için yaptığımız yorum bu grafik üzerinden de teyit edilebilir. Fonksiyon \( x = 2 \) noktasında tanımsızdır, ancak bu noktaya soldan ve sağdan yaklaştıkça fonksiyon değeri 4 değerine yaklaşmaktadır. Bu şekilde değer tabloları ya da fonksiyon grafiği yardımıyla bir fonksiyonun tanımlı ya da tanımsız olduğu bir nokta civarındaki davranışı incelenebilir.
Limitin Pratik Tanımı
Soldan Limit
Bir \( f \) fonksiyonunda \( x \) değişkenine \( a \)'ya soldan (\( x \lt a \)) giderek daha yaklaşan (ama hiçbir zaman \( a \) olmayan) değerler verildiğinde \( f(x) \) değerleri bir \( L_1 \) değerine yaklaşıyor ve yakın kalıyorsa, bu \( L_1 \) değerine \( f \) fonksiyonunun \( a \) noktasındaki soldan limiti denir.
\( a, L_1 \in \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( \lim\limits_{x \to a^-} {f(x)} = L_1 \)
Yukarıda tanımladığımız \( f \) fonksiyonunun \( x = 2 \) noktasındaki soldan limiti:
\( \lim\limits_{x \to 2^-} {f(x)} = 4 \)
Bir \( a \) noktasındaki soldan limitte \( x \) değişkeni \( a \)'dan küçük değerlerden artarak \( a \) değerine yaklaşır.
\( x \to 2^- \) ise,
\( 1.9 \to 1.99 \to 1.999 \to 1.9999 \to \ldots \)
\( x \to -2^- \) ise,
\( -2.1 \to -2.01 \to -2.001 \to -2.0001 \to \ldots \)
Sağdan Limit
Bir \( f \) fonksiyonunda \( x \) değişkenine \( a \)'ya sağdan (\( x \gt a \)) giderek daha yaklaşan (ama hiçbir zaman \( a \) olmayan) değerler verildiğinde \( f(x) \) değerleri bir \( L_2 \) değerine yaklaşıyor ve yakın kalıyorsa, bu \( L_2 \) değerine \( f \) fonksiyonunun \( a \) noktasındaki sağdan limiti denir.
\( a, L_2 \in \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( \lim\limits_{x \to a^+} {f(x)} = L_2 \)
Yukarıda tanımladığımız \( f \) fonksiyonunun \( x = 2 \) noktasındaki sağdan limiti:
\( \lim\limits_{x \to 2^+} {f(x)} = 4 \)
Bir \( a \) noktasındaki sağdan limitte \( x \) değişkeni \( a \)'dan büyük değerlerden azalarak \( a \) değerine yaklaşır.
\( x \to 2^+ \) ise,
\( 2.1 \to 2.01 \to 2.001 \to 2.0001 \to \ldots \)
\( x \to -2^+ \) ise,
\( -1.9 \to -1.99 \to -1.999 \to -1.9999 \to \ldots \)
Bir fonksiyonun bir noktadaki soldan ve sağdan limitlerine ayrı ayrı tek taraflı limit de denir.
İki Taraflı Limit
Bir fonksiyonun bir noktadaki soldan ve sağdan limitleri birer reel sayı olarak varsa ve birbirine eşitse fonksiyonun o noktada iki taraflı limiti vardır ve soldan ve sağdan limit değerine eşittir.
\( a, L \in \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( \lim\limits_{x \to a^-} {f(x)} = \lim\limits_{x \to a^+} {f(x)} = L \) ise,
\( \lim\limits_{x \to a} {f(x)} = L \)
Bir fonksiyonun belirli bir noktadaki limitinden bahsediliyorsa ve soldan ya da sağdan limit olduğu belirtilmemişse iki taraflı limit anlaşılmalıdır.
Bir fonksiyonun bir noktadaki limiti ile ilgili önemli bazı noktalar aşağıdaki gibidir.
- Bir fonksiyonun limiti, fonksiyonun geneli ya da bir aralık için değil, belirli bir nokta için hesaplanır.
- Bir noktada (tek ya da iki taraflı) limitin var olması için fonksiyon o noktada reel sayı bir \( L \) değerine yaklaşmalıdır. Fonksiyon değerinin sonsuza gittiği durumlar (sonsuz limit) gerçek bir limit teşkil etmez (bu noktalarda limit yoktur).
- Fonksiyonun bir noktadaki soldan ve sağdan limit değerleri birbirine eşit değilse ya da iki limitten biri yoksa fonksiyonun o noktada (iki taraflı) limiti yoktur.
- Bir fonksiyonun bir noktada (iki taraflı) limitinin olmaması soldan ve sağdan limitlerinin olmadığı anlamına gelmez. Soldan ve sağdan limitler o noktadaki limit değerinden bağımsız olarak var olabilirler.
- Limit bir fonksiyonun belirli bir \( x \) değeri civarında nasıl davrandığı ile ilgilenir, fonksiyonun o noktadaki değeri ya da tanımlı olup olmaması ile ilgilenmez. Dolayısıyla fonksiyonun bir \( x \) noktasında limitinin olması için, fonksiyonun o noktada tanımlı olması ya da o noktadaki fonksiyon değerinin soldan/sağdan limit değerine eşit olması gerekli değildir.
Alternatif olarak, tek ve iki taraflı limitler aşağıdaki şekilde de gösterilebilir. Bu gösterimi sitede sıklıkla kullanıyor olacağız.
\( x \to a^- \) iken \( f(x) \to L_1 \)
\( x \to a^+ \) iken \( f(x) \to L_2 \)
\( x \to a \) iken \( f(x) \to L \)
Bir diğer alternatif olarak, tek taraflı limitler aşağıdaki şekilde de gösterilebilir.
\( f(a^-) = L_1 \)
\( f(a^+) = L_2 \)
\( \lim\limits_{x \to a} {f(x)} \) şeklindeki bir limit ifadesinde \( x \) değişkeninin yaklaştığı \( a \) değerine limit noktası, fonksiyon değerinin yaklaştığı \( L \) değerine limit değeri ya da kısaca limiti denir.
Burada yaptığımız tanımı limitin "pratik" tanımı olarak adlandırdık, limitin standart ve en doğru tanımı olan epsilon-delta tanımından önümüzdeki bölümde bahsedeceğiz.
Uç Noktalarda Limit
Sınırlı bir aralıkta tanımlı bir fonksiyonun tanım aralığının uç noktalarında tek taraflı limitler sadece fonksiyonun tanımlı olduğu yönlerde vardır. İki taraflı limit soldan ve sağdan limitlerin mevcut ve eşit olmasını gerektirdiği için, uç noktalarda iki taraflı limit yoktur.
\( f: [a, b) \to \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( \lim\limits_{x \to a^+} f(x) = L_1 \)
\( \lim\limits_{x \to a^-} f(x) \) ve \( \lim\limits_{x \to a} f(x) \) limitleri yoktur.
\( \lim\limits_{x \to b^-} f(x) = L_2 \)
\( \lim\limits_{x \to b^+} f(x) \) ve \( \lim\limits_{x \to b} f(x) \) limitleri yoktur.
Bir noktada limitin olması için fonksiyonun o noktada tanımlı olma koşulu olmadığı için, fonksiyonun tanım aralığının açık, kapalı ya da yarı açık olmasının uç noktalardaki tek taraflı limit açısından bir önemi yoktur.
Limitin Tekliği
Bir fonksiyonun bir noktada limiti varsa bu limit tektir, bir diğer ifadeyle bir noktada var olan limit iki farklı değere sahip olamaz.
Bir \( f \) fonksiyonunun \( x = a \) noktasında var olan limitinin tek olabilmesi için aşağıdaki önerme doğru olmalıdır.
\( \lim\limits_{x \to a} {f(x)} = L \) ve \( \lim\limits_{x \to a} {g(x)} = M \) ise \( L = M \) olmalıdır.
Çelişkiyle ispat yöntemini kullanalım ve \( L \ne M \) olduğunu varsayalım.
\( L \) ve \( M \) farklı sayılar olduğu için aralarındaki uzaklık pozitiftir.
\( \abs{L - M} \gt 0 \)
\( L \) ve \( M \) noktalarının orta noktası olarak bir \( \varepsilon \) değeri seçelim.
\( \varepsilon = \dfrac{\abs{L - M}}{2} \gt 0 \)
Limitin \( \varepsilon-\delta \) tanımını birinci limit ifadesine uygulayalım.
\( \lim\limits_{x \to a} {f(x)} = L \) olduğuna göre, her \( \varepsilon \) için aşağıdaki önermeyi sağlayan bir \( \delta_1 \gt 0 \) sayısı mevcuttur.
\( 0 \lt \abs{x - a} \lt \delta_1 \Longrightarrow \abs{f(x) - L} \lt \varepsilon \)
Limitin \( \varepsilon-\delta \) tanımını ikinci limit ifadesine uygulayalım.
\( \lim\limits_{x \to a} {f(x)} = M \) olduğuna göre, her \( \varepsilon \) için aşağıdaki önermeyi sağlayan bir \( \delta_2 \gt 0 \) sayısı mevcuttur.
\( 0 \lt \abs{x - a} \lt \delta_2 \Longrightarrow \abs{f(x) - M} \lt \varepsilon \)
İki delta sayısından küçüğü koşullu önermelerin ikisinin de hipotezini sağlar.
\( \delta = \min(\delta_1, \delta_2) \)
\( 0 \lt \abs{x - a} \lt \delta \Longrightarrow \abs{f(x) - L} \lt \varepsilon \)
\( 0 \lt \abs{x - a} \lt \delta \Longrightarrow \abs{f(x) - M} \lt \varepsilon \)
\( \abs{L - M} \) ifadesinde mutlak değer içine \( f(x) \) çıkarıp ekleyelim.
\( \abs{L - M} = \abs{(L - f(x)) + (f(x) - M)} \)
Üçgen eşitsizliğini kullanalım.
\( \le \abs{L - f(x)} + \abs{f(x) - M} \)
Birinci mutlak değerin içini \( -1 \) ile çarpalım.
\( = \abs{f(x) - L} + \abs{f(x) - M} \)
Yukarıda \( \abs{f(x) - L} \) ve \( \abs{f(x) - M} \) için elde ettiğimiz iki eşitsizliği kullanalım.
\( \lt \varepsilon + \varepsilon = 2\varepsilon \)
\( \varepsilon = \frac{\abs{L - M}}{2} \) değerini yerine koyalım.
\( = 2 \cdot \dfrac{\abs{L - M}}{2} \)
Sonuç olarak aşağıdaki eşitsizliği elde etmiş oluruz.
\( \abs{L - M} \lt \abs{L - M} \)
Bir ifade kendisinden küçük olamayacağı için bir çelişki elde etmiş olduk, dolayısıyla yaptığımız \( L \ne M \) varsayımı yanlış olmalıdır, dolayısıyla \( L = M \) doğru olmalıdır.
\( f(x) = \begin{cases} x^2 - 1, & x \lt 2 \\ 5, & x = 2 \\ 3x - 1, & x \gt 2 \end{cases} \)
parçalı fonksiyonu için aşağıdaki ifadelerin sonucunu bulunuz.
(a) \( \lim\limits_{x \to 2^-} f(x) \)
(b) \( \lim\limits_{x \to 2^+} f(x) \)
(c) \( \lim\limits_{x \to 2} f(x) \)
(d) \( f(2) \)
Çözümü Göster(a) seçeneği:
\( \lim\limits_{x \to 2^-} f(x) \)
Bu noktadaki soldan limit için \( x \)'in 2'den küçük olduğu (birinci) aralıktaki fonksiyon tanımına bakılır.
\( \lim\limits_{x \to 2^-} f(x) = \lim\limits_{x \to 2^-} (x^2 - 1) \)
\( = 2^2 - 1 = 3 \)
(b) seçeneği:
\( \lim\limits_{x \to 2^+} f(x) \)
Bu noktadaki sağdan limit için \( x \)'in 2'den büyük olduğu (üçüncü) aralıktaki fonksiyon tanımına bakılır.
\( \lim\limits_{x \to 2^+} f(x) = \lim\limits_{x \to 2^+} (3x - 1) \)
\( = 3(2) - 1 = 5 \)
(c) seçeneği:
\( \lim\limits_{x \to 2} f(x) \)
Bir fonksiyonun bir noktadaki soldan ve sağdan limitleri birer reel sayı olarak varsa ve birbirine eşitse fonksiyonun o noktada iki taraflı limiti vardır ve soldan ve sağdan limit değerine eşittir.
Bu noktadaki soldan ve sağdan limitleri bulalım.
\( \lim\limits_{x \to 2^-} f(x) = 3 \)
\( \lim\limits_{x \to 2^+} f(x) = 5 \)
\( x = 2 \) noktasındaki soldan ve sağdan limitler vardır ancak birbirlerine eşit değildir, bu yüzden bu noktada iki taraflı limit yoktur.
(d) seçeneği:
\( f(2) \)
Bu noktadaki fonksiyon değeri için \( x \)'in 2'ye eşit olduğu (ikinci) aralıktaki fonksiyon tanımına bakılır.
\( f(2) = 5 \)
| \( x \) | \( 1,9 \) | \( 1,99 \) | \( 1,999 \) | \( 2,001 \) | \( 2,01 \) | \( 2,1 \) |
| \( f(x) \) | \( 3,81 \) | \( 3,98 \) | \( 3,998 \) | \( 4,002 \) | \( 4,02 \) | \( 4,2 \) |
Yukarıdaki değer tablosuna göre, \( \lim\limits_{x \to 2} {f(x)} \) limiti için en uygun tahmin nedir?
Çözümü GösterTabloyu kullanarak fonksiyonun \( x = 2 \) noktasındaki tek taraflı limitlerini inceleyelim.
\( x \to 2^- \) iken fonksiyon değeri \( 4 \) değerine yaklaşır.
\( \lim\limits_{x \to 2^-} {f(x)} \approx 4 \)
\( x \to 2^+ \) iken fonksiyon değeri \( 4 \) değerine yaklaşır.
\( \lim\limits_{x \to 2^+} {f(x)} \approx 4 \)
Soldan ve sağdan limitler aynı 4 değerine yaklaştığı için iki taraflı limitle ilgili elimizdeki en iyi tahmin 4 değeridir.
\( \lim\limits_{x \to 2} {f(x)} \approx 4 \)
| \( x \) | \( \sin{x} \) | \( \frac{\sin{x}}{x} \) | \( \) | \( x \) | \( \sin{x} \) | \( \frac{\sin{x}}{x} \) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| \( -0,5 \) | \( -0,47943 \) | \( 0,95885 \) | \( 0,5 \) | \( 0,47943 \) | \( 0,95885 \) | |
| \( -0,2 \) | \( -0,19867 \) | \( 0,99335 \) | \( 0,2 \) | \( 0,19867 \) | \( 0,99335 \) | |
| \( -0,1 \) | \( -0,09983 \) | \( 0,99833 \) | \( 0,1 \) | \( 0,09983 \) | \( 0,99833 \) | |
| \( -0,05 \) | \( -0,04998 \) | \( 0,99958 \) | \( 0,05 \) | \( 0,04998 \) | \( 0,99958 \) | |
| \( -0,01 \) | \( -0,01000 \) | \( 0,99998 \) | \( 0,01 \) | \( 0,01000 \) | \( 0,99998 \) | |
| \( -0,001 \) | \( -0,00100 \) | \( 0,9999998 \) | \( \quad \) | \( 0,001 \) | \( 0,00100 \) | \( 0,9999998 \) |
Yukarıdaki değer tablosuna göre, \( \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin{x}}{x} \) limitinin değeri kaçtır?
Çözümü GösterDikkat edilirse limiti alınan ifade bu noktada tanımsızdır.
Tablodan fonksiyon değerinin her iki yönden de yaklaştığı değerleri inceleyelim.
\( x \to 0^- \) iken ifadenin değeri \( 1 \)'e yaklaşır.
\( x \to 0^+ \) iken ifadenin değeri \( 1 \)'e yaklaşır.
Soldan ve sağdan limitler birer reel sayı olarak var ve birbirlerine eşit olduğundan \( \lim\limits_{x \to 0} \frac{\sin{x}}{x} = 1 \) olarak bulunur.
\( f(x) = \begin{cases} x + 1, & x \neq 3 \\ 10, & x = 3 \end{cases} \)
parçalı fonksiyonu için aşağıdaki ifadeleri bulunuz.
(a) \( f(3) \)
(b) \( \lim\limits_{x \to 3} f(x) \)
Çözümü Göster(a) seçeneği:
\( f(3) \)
Bu noktadaki fonksiyon değeri için \( x \)'in 3'e eşit olduğu (ikinci) aralıktaki fonksiyon tanımına bakılır.
\( f(3) = 10 \)
(b) seçeneği:
\( \lim\limits_{x \to 3} f(x) \)
Bu noktadaki limit için \( x \)'in 3'e eşit olmadığı (birinci) aralıktaki fonksiyon tanımına bakılır. Çünkü limit hesaplanırken \( x \) değişkeni 3'e yaklaşır ancak hiçbir zaman 3 olmaz (\( x \neq 3 \)).
\( \lim\limits_{x \to 3} f(x) = \lim\limits_{x \to 3} (x + 1) \)
\( = 3 + 1 = 4 \)
Aşağıdaki ifadelerden hangileri her zaman doğrudur?
I. \( \lim\limits_{x \to 2} f(x) = 5 \) ise \( f(2) = 5 \) olur.
II. \( f(2) = 5 \) ise \( \lim\limits_{x \to 2} f(x) = 5 \) olur.
III. Bir fonksiyonun limitinin olması için fonksiyon o noktada tanımlı olmalıdır.
IV. Bir fonksiyonun bir noktadaki soldan ve sağdan limitleri birer reel sayı olarak varsa ve birbirine eşitse o noktada iki taraflı limiti vardır.
V. İki taraflı limit yoksa soldan limit de yoktur.
Çözümü GösterI. öncül:
Limit bir fonksiyonun belirli bir \( x \) değeri civarında nasıl davrandığı ile ilgilenir, fonksiyonun o noktadaki değeri ya da tanımlı olup olmaması ile ilgilenmez. Dolayısıyla fonksiyonun bir \( x \) noktasında limitinin olması için, fonksiyonun o noktada tanımlı olması ya da o noktadaki fonksiyon değerinin soldan/sağdan limit değerine eşit olması gerekli değildir.
Bu nedenle I. öncül her zaman doğru değildir.
II. öncül:
Fonksiyonun bir noktada bir değere sahip olması, o noktaya yaklaşırken o değere yönelmesini garanti etmez.
Bu nedenle II. öncül her zaman doğru değildir.
III. öncül:
Limit bir fonksiyonun belirli bir \( x \) değeri civarında nasıl davrandığı ile ilgilenir, fonksiyonun o noktadaki değeri ya da tanımlı olup olmaması ile ilgilenmez.
Bu nedenle III. öncül doğru değildir.
IV. öncül:
Verilen ifade iki taraflı limitin tanımıdır.
Bu nedenle IV. öncül her zaman doğrudur.
V. öncül:
Bir fonksiyonun bir noktada (iki taraflı) limitinin olmaması soldan ve sağdan limitlerinin olmadığı anlamına gelmez. Soldan ve sağdan limitler o noktadaki limit değerinden bağımsız olarak var olabilirler.
Bu nedenle V. öncül yanlıştır.
Sonuç olarak sadece IV. öncül her zaman doğrudur.
\( a, b \in \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( \lim\limits_{x \to 4^-} {f(x)} = 6a + 3 \)
\( \lim\limits_{x \to 4^+} {f(x)} = 7b - 2 \)
\( \lim\limits_{x \to 4} {f(x)} = 12 \)
olduğuna göre, \( ab \) çarpımı kaçtır?
Çözümü GösterFonksiyonun \( x = 4 \) noktasında iki taraflı limiti mevcut olduğuna göre, bu noktadaki soldan ve sağdan limitler de mevcut ve iki taraflı limit değerine eşit olmalıdır.
\( \lim\limits_{x \to 4^-} {f(x)} = \lim\limits_{x \to 4^+} {f(x)} = \lim\limits_{x \to 4} {f(x)} \)
\( 6a + 3 = 7b - 2 = 12 \)
\( 6a + 3 = 12 \)
\( a = \dfrac{3}{2} \)
\( 7b - 2 = 12 \)
\( b = 2 \)
\( ab = \frac{3}{2} \cdot 2 = 3 \) bulunur.
\( a, b \in \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( \lim\limits_{x \to 2} {f(x)} = 11 \)
\( \lim\limits_{x \to 3^-} {f(x - 1)} = 5a - 4 \)
\( \lim\limits_{x \to 1^+} {f(x + 1)} = 2b + 3 \)
olduğuna göre, \( a + b \) toplamı kaçtır?
Çözümü GösterFonksiyonun \( x = 2 \) noktasında iki taraflı limiti mevcut olduğuna göre, bu noktadaki soldan ve sağdan limitler de mevcut ve iki taraflı limit değerine eşit olmalıdır.
\( \lim\limits_{x \to 2^-} {f(x)} = f(2^-) = 11 \)
\( \lim\limits_{x \to 2^+} {f(x)} = f(2^+) = 11 \)
Soruda verilen soldan limit ifadesini düzenleyelim.
\( x \to 3^- \) iken \( x - 1 \to 2^- \) olur.
Buna göre verilen ifade \( f \) fonksiyonunun \( x = 2 \) noktasındaki soldan limitidir.
\( \lim\limits_{x \to 3^-} {f(x - 1)} = f(2^-) \)
\( = \lim\limits_{x \to 2^-} {f(x)} = 5a - 4 \)
Soruda verilen sağdan limit ifadesini düzenleyelim.
\( x \to 1^+ \) iken \( x + 1 \to 2^+ \) olur.
Buna göre verilen ifade \( f \) fonksiyonunun \( x = 2 \) noktasındaki sağdan limitidir.
\( \lim\limits_{x \to 1^+} {f(x + 1)} = f(2^+) \)
\( = \lim\limits_{x \to 2^+} {f(x)} = 2b + 3 \)
Bu iki ifadeyi \( f \) fonksiyonunun \( x = 2 \) noktasındaki iki taraflı limitine eşitleyelim.
\( f(2^-) = 5a - 4 = 11 \)
\( a = 3 \)
\( f(2^+) = 2b + 3 = 11 \)
\( b = 4 \)
\( a + b = 3 + 4 = 7 \) bulunur.
Reel sayılar kümesinde tanımlı \( f \) fonksiyonu için,
\( \lim\limits_{x \to 1^+} f(5 - x) = 5 \)
\( \lim\limits_{x \to 3^+} f(x + 1) = 7 \)
olduğuna göre, aşağıdaki ifadelerden hangileri doğrudur?
I. \( \lim\limits_{x \to 4} f(x) \) limiti yoktur.
II. \( \lim\limits_{x \to 2^+} f(x + 2) = 7 \)
III. \( \lim\limits_{x \to 3^-} f(7 - x) = 5 \)
Çözümü Göster\( x \to 1^+ \) iken \( 5 - x \to 4^- \) olur.
Buna göre verilen birinci ifade \( f \) fonksiyonunun \( x = 4 \) noktasındaki soldan limitidir.
\( \lim\limits_{x \to 1^+} f(5 - x) = f(4^-) \)
\( = \lim\limits_{x \to 4^-} f(x) = 5 \)
\( x \to 3^+ \) iken \( x + 1 \to 4^+ \) olur.
Buna göre verilen ikinci ifade \( f \) fonksiyonunun \( x = 4 \) noktasındaki sağdan limitidir.
\( \lim\limits_{x \to 3^+} f(x + 1) = f(4^+) \)
\( = \lim\limits_{x \to 4^+} f(x) = 7 \)
Bu bilgiler doğrultusunda soruda verilen öncülleri kontrol edelim.
I. öncül:
\( x = 4 \) noktasındaki soldan ve sağdan limitler mevcut, ancak değerleri farklı olduğu için bu noktada iki taraflı limit yoktur.
\( f(4^-) \ne f(4^+) \)
I. öncül doğrudur.
II. öncül:
\( x \to 2^+ \) iken \( x + 2 \to 4^+ \) olur.
Buna göre verilen ifade \( f \) fonksiyonunun \( x = 4 \) noktasındaki sağdan limitidir.
\( f(4^+) = 7 \) olduğu için II. öncül doğrudur.
III. öncül:
\( x \to 3^- \) iken \( 7 - x \to 4^+ \) olur.
Buna göre verilen ifade \( f \) fonksiyonunun \( x = 4 \) noktasındaki sağdan limitidir.
\( f(4^+) = 7 \) olduğu için III. öncül yanlıştır.
Buna göre I. ve II. öncüller doğrudur.