Bileşke Fonksiyonların Limiti
Aşağıdaki tipteki fonksiyonların limitini hesaplarken bileşke fonksiyonlara özel bazı ek koşulları dikkate almamız gerekir.
| Dıştaki Fonksiyon | Bileşke Fonksiyon |
|---|---|
| \( f(x) = \sqrt{x} \) | \( \lim_{x \to a} (f \circ g)(x) = \lim_{x \to a} \sqrt{g(x)} \) |
| \( f(x) = e^x \) | \( \lim_{x \to a} (f \circ g)(x) = \lim_{x \to a} e^{g(x)} \) |
| \( f(x) = \log{x} \) | \( \lim_{x \to a} (f \circ g)(x) = \lim_{x \to a} \log{g(x)} \) |
| \( f(x) = \abs{x} \) | \( \lim_{x \to a} (f \circ g)(x) = \lim_{x \to a} \abs{g(x)} \) |
\( f \) ve \( g \) iki fonksiyon olmak üzere, \( g \) fonksiyonunun \( x \to a \) iken limitinin \( b \), \( f \) fonksiyonunun \( x \to b \) iken limitinin \( c \) olduğunu varsayalım.
\( b, c \in \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( \lim_{x \to a} g(x) = b \)
\( \lim_{x \to b} f(x) = c \)
Buna göre, bu iki fonksiyonun bileşkesi olan \( f \circ g \) fonksiyonunun \( x \to a \) iken limitinin \( c \) olabilmesi için aşağıdaki iki koşuldan en az biri sağlanmalıdır.
\( \lim_{x \to a} (f \circ g)(x) = c \)
olabilmesi için aşağıdaki iki koşuldan en az biri sağlanmalıdır.
(1) \( f(b) = c \) olmalı, yani \( f \) fonksiyonu \( b \) noktasında sürekli olmalıdır.
(2) \( g \) fonksiyonu \( a \) noktası civarında sabit bir şekilde \( g(x) = b \) olmamalıdır.
Yukarıda \( f \) ve \( g \) fonksiyonlarının grafikleri verilmiştir. Buna göre,
\( \lim_{x \to 1} (f \circ g)(x) \) limitinin değeri kaçtır?
Çözümü Gösterİlk önce \( g \) fonksiyonunun \( x = 1 \) noktasındaki limitini bulalım.
\( \lim_{x \to 1} g(x) = 2 \)
Şimdi de \( f \) fonksiyonunun bulduğumuz \( x = 2 \) noktasındaki limitini bulalım.
\( \lim_{x \to 2} f(x) = 4 \)
Buna göre \( (f \circ g) \) bileşke fonksiyonunun \( x = 1 \) noktasındaki limitinin 4 olmasını gerektiğini düşünebiliriz, \( (f \circ g)(x) \) fonksiyonunun grafiğini çizerek bunu kontrol edelim.
Yukarıdaki bileşke fonksiyon grafiğini incelediğimizde, \( x = 1 \) noktasındaki limit değerinin 4 değil 5 olduğunu görüyoruz.
\( \lim_{x \to 1} (f \circ g)(x) = 5 \ne 4 \)
Nitekim verilen fonksiyonlar yukarıda verdiğimiz iki koşulu da sağlamadığı için bileşke fonksiyonun limitini içteki fonksiyonun limit değerinde dıştaki fonksiyonun limitini alarak bulamayız ve gerçek limit değerini bulmak için bileşke fonksiyonunun tanımına ya da grafiğine ihtiyaç duyarız.
Verilen fonksiyon grafiklerinden bileşke fonksiyonun tanımını çıkartırsak da aynı limit değerine ulaşırız.
\( (f \circ g)(x) = \begin{cases} 4 & x = 1 \\ 5 & x \ne 1 \end{cases} \)
\( \lim_{x \to 1} (f \circ g)(x) = 5 \)
Yukarıda belirttiğimiz birinci süreklilik koşulunun sağlandığını biliyorsak bileşke fonksiyonun limitini aşağıdaki şekilde yazabiliriz. Bu durumda bir bileşke fonksiyonun limiti, içteki fonksiyonun limit değerinde dıştaki fonksiyonun fonksiyon değerine eşit olur.
\( \lim_{x \to a} g(x) = b \) olmak üzere,
\( f \) fonksiyonu \( b \) noktasında sürekli ise,
\( \lim_{x \to a} (f \circ g)(x) \) \( = f(\lim_{x \to a} g(x)) \) \( = f(b) \)
\( f(x) = x^2 - 2x + 5 \)
\( g(x) = \sqrt[3]{x^2 + 2} \) olduğuna göre,
\( \lim_{x \to 5} (f \circ g)(x) \) limitinin değeri kaçtır?
\( g \) tek dereceli köklü fonksiyonu tüm reel sayılarda süreklidir, dolayısıyla limiti tanımlıdır.
\( f \) polinom fonksiyonu da tüm reel sayılarda sürekli olduğu için \( g \) fonksiyonunun limit değerinde de süreklidir.
Buna göre bileşke fonksiyon limit kuralını kullanabiliriz.
\( \lim_{x \to 5} (f \circ g)(x) = f(\lim_{x \to 5} g(x)) \)
\( g(x) \) fonksiyonu sürekli olduğu için doğrudan yerine koyma yöntemi ile limitini bulabiliriz.
\( \lim_{x \to 5} g(x) = g(5) \) \( = \sqrt[3]{5^2 + 2} = 3 \)
Şimdi de \( g \) fonksiyonunun limit değerinde \( f \) fonksiyonunun fonksiyon değerini bulalım.
\( \lim_{x \to 5} (f \circ g)(x) = f(3) \)
\( = 3^2 - 2 \cdot 3 + 5 = 8 \) bulunur.
Yukarıda \( f \) fonksiyonunun grafiği verilmiştir. Buna göre,
\( \lim_{x \to -2^+} (f \circ f)(x) \) limitinin değeri kaçtır?
Çözümü Göster\( \lim_{x \to -2^+} (f \circ f)(x) = \lim_{x \to -2^+} f(f(x)) \)
İçteki \( f \) fonksiyonu \( x \to -2^+ \) iken sabit fonksiyon olmadığı için bileşke fonksiyon kuralının ikinci koşulu sağlanır. Buna göre önce içteki fonksiyonun limit değerini bulalım, daha sonra dıştaki fonksiyonun bu limit değerindeki limit değerini bulalım.
Önce içteki \( f \) fonksiyonu için limit değerini bulalım.
Grafikte kırmızı okla gösterildiği gibi, \( x \to -2 \)'ye pozitif taraftan (sağdan) yaklaşırken fonksiyon değeri de \( f(x) \to 1 \)'e pozitif taraftan (yukarıdan) yaklaşmaktadır.
\( \lim_{x \to -2^+} f(x) = 1^+ \)
Şimdi dıştaki \( f \) fonksiyonu için limit değerini bulalım.
Grafikte yeşil okla gösterildiği gibi, \( f \) fonksiyonu \( x \to 1 \)'e pozitif taraftan (sağdan) yaklaşırken fonksiyon değeri de \( f(x) \to -1 \)'e pozitif taraftan (yukarıdan) yaklaşmaktadır.
\( \lim_{x \to 1^+} f(x) = -1^+ \)
Buna göre istenen limit değeri \( -1 \) olmaktadır.
\( \lim_{x \to -2^+} (f \circ f)(x) = -1 \)
Üstel Fonksiyonla Bileşke
Üstel fonksiyonun üssünün bir fonksiyon olduğu durumda limit bileşke kuralını aşağıdaki gibi uygulayabiliriz. Üstel fonksiyonlar tüm reel sayılarda sürekli oldukları için, \( g(x) \) fonksiyonunun limiti reel sayı olarak tanımlı olduğu sürece süreklilik koşulu sağlanmış olur.
\( b \in \mathbb{R}, \quad k \in \mathbb{R^+}, \quad k \ne 1 \),
\( \lim_{x \to a} g(x) = b \) olmak üzere,
\( \lim_{x \to a} k^{g(x)} \) \( = k^{\lim_{x \to a} g(x)} \) \( = k^b \)
\( \lim_{x \to 3} 5^{\sqrt{3x}} \) \( = 5^{\lim_{x \to 3} \sqrt{3x}} \) \( = 5^3 = 125 \)
İSPATI GÖSTER
Üstel fonksiyonlar tüm reel sayılarda sürekli olduğu için dıştaki fonksiyonun sürekli olduğu durum için paylaştığımız bileşke fonksiyon limit kuralını kullanabiliriz.
\( \lim_{x \to a} g(x) = b \)
\( \lim_{x \to b} f(x) = c \) ise,
\( \lim_{x \to a} (f \circ g)(x) \) \( = f(\lim_{x \to a} g(x)) \) \( = f(b) \) olur.
\( f \) fonksiyonunu \( f(x) = k^x \) şeklinde bir üstel fonksiyon olarak tanımlayarak bileşke fonksiyonu yazalım.
\( (f \circ g)(x) = f(g(x)) = k^{g(x)} \)
Yukarıdaki limit ifadesini buna göre düzenleyelim.
\( \lim_{x \to a} k^{g(x)} \) \( = k^{\lim_{x \to a} g(x)} \) \( = k^b \)
Logaritma Fonksiyonuyla Bileşke
Logaritma fonksiyonunun içinin bir fonksiyon olduğu durumda limit bileşke kuralını aşağıdaki gibi uygulayabiliriz. Logaritma fonksiyonları pozitif reel sayılarda sürekli oldukları için, \( g(x) \) fonksiyonunun limiti pozitif reel sayı olarak tanımlı olduğu sürece süreklilik koşulu sağlanmış olur.
\( b, k \in \mathbb{R^+}, \quad k \ne 1 \),
\( \lim_{x \to a} g(x) = b \) olmak üzere,
\( \lim_{x \to a} [\log_k{g(x)}] \) \( = \log_k{[\lim_{x \to a} g(x)]} \) \( = \log_k{b} \)
\( \lim_{x \to a} [\ln{g(x)}] \) \( = \ln{[\lim_{x \to a} g(x) ]}\) \( = \ln{b} \)
\( \lim_{x \to 125} (\log_5{\sqrt{5x}}) \) \( = \log_5(\lim_{x \to 125} \sqrt{5x}) \) \( = \log_5{25} = 2 \)
İSPATI GÖSTER
Logaritma fonksiyonları pozitif reel sayılarda sürekli olduğu için dıştaki fonksiyonun sürekli olduğu durum için paylaştığımız bileşke fonksiyon limit kuralını kullanabiliriz.
\( \lim_{x \to a} g(x) = b \)
\( \lim_{x \to b} f(x) = c \) ise,
\( \lim_{x \to a} (f \circ g)(x) \) \( = f(\lim_{x \to a} g(x)) \) \( = f(b) \) olur.
\( f \) fonksiyonunu \( f(x) = \log_k{x} \) şeklinde bir logaritma fonksiyonu olarak tanımlayarak bileşke fonksiyonu yazalım.
\( (f \circ g)(x) = f(g(x)) = \log_k{g(x)} \)
Yukarıdaki limit ifadesini buna göre düzenleyelim.
\( \lim_{x \to a} \log_k{g(x)} \) \( = \log_k{\lim_{x \to a} g(x)} \) \( = \log_k{b} \)
Mutlak Değer Fonksiyonuyla Bileşke
Mutlak değer fonksiyonunun içinin bir fonksiyon olduğu durumda limit bileşke kuralını aşağıdaki gibi uygulayabiliriz. Mutlak değer fonksiyonları tüm reel sayılarda sürekli oldukları için, \( g(x) \) fonksiyonunun limiti reel sayı olarak tanımlı olduğu sürece süreklilik koşulu sağlanmış olur.
\( b \in \mathbb{R} \),
\( \lim_{x \to a} g(x) = b \) olmak üzere,
\( \lim_{x \to a} \abs{g(x)} \) \( = \abs{\lim_{x \to a} g(x)} \) \( = \abs{b} \)
\( \lim_{x \to 8} \abs{\sqrt{2x} - x^2} \) \( = \abs{\lim_{x \to 8} (\sqrt{2x} - x^2)} \) \( = \abs{-60} = 60 \)
\( \lim_{x \to 2} \sqrt[3]{x^3 + 4x} \) limitinin sonucunu bulun.
Çözümü GösterLimiti alınan ifadeyi iki fonksiyonun bileşkesi şeklinde yazalım.
\( f(x) = \sqrt[3]{x} \)
\( g(x) = x^3 + 4x \)
\( (f \circ g)(x) = \sqrt[3]{x^3 + 4x} \)
\( g \) bir polinom fonksiyondur ve tüm reel sayılarda süreklidir, dolayısıyla limiti tanımlıdır.
\( g \) fonksiyonunun \( x = 2 \) noktasındaki limit değerini bulalım.
\( \lim_{x \to 2} (x^3 + 4x) \)
Polinom fonksiyonunun bir noktadaki limit değeri o noktadaki fonksiyon değerine eşittir.
\( = 2^3 + 4 \cdot 2 = 16 \)
\( f \) (tek dereceli köklü) fonksiyonu tüm reel sayılarda, dolayısıyla \( g \) fonksiyonunun limit değerinde sürekli olduğu için limit bileşke kuralını kullanabiliriz.
\( \lim_{x \to 2} \sqrt[3]{x^3 + 4x} = \sqrt[3]{\lim_{x \to 2} (x^3 + 4x}) \)
\( = \sqrt[3]{16} = 2\sqrt[3]{2} \) bulunur.
\( \lim_{x \to 8} (\log_{13}(x^2 + 12x + 9)) \) limitinin değeri kaçtır?
Çözümü GösterLimiti alınan ifadeyi iki fonksiyonun bileşkesi şeklinde yazalım.
\( f(x) = \log_{13}{x} \)
\( g(x) = x^2 + 12x + 9 \)
\( (f \circ g)(x) = \log_{13}(x^2 + 12x + 9) \)
\( g \) bir polinom fonksiyondur ve tüm reel sayılarda süreklidir, dolayısıyla limiti tanımlıdır.
\( g \) fonksiyonunun \( x = 8 \) noktasındaki limit değerini bulalım.
\( \lim_{x \to 8} (x^2 + 12x + 9) \)
Polinom fonksiyonunun bir noktadaki limit değeri o noktadaki fonksiyon değerine eşittir.
\( = 8^2 + 12(8) + 9 = 169 \)
\( f \) (logaritma) fonksiyonu pozitif reel sayılarda, dolayısıyla \( g \) fonksiyonunun limit değerinde sürekli olduğu için limit bileşke kuralını kullanabiliriz.
\( \lim_{x \to 8} (\log_{13}(x^2 + 12x + 9)) \) \( = \log_{13}(\lim_{x \to 8} (x^2 + 12x + 9)) \)
\( = \log_{13}{169} = \log_{13}{13^2} = 2 \) bulunur.
\( g: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( g(x) = x^2 - 4x - 3 \) fonksiyonu için
\( \lim_{x \to 3} \abs{g(x)} \) limitinin değeri kaçtır?
Çözümü GösterLimiti alınan ifadeyi iki fonksiyonun bileşkesi şeklinde yazalım.
\( f(x) = \abs{x} \)
\( g(x) = x^2 - 4x - 3 \)
\( (f \circ g)(x) = \abs{x^2 - 4x - 3} \)
\( g \) bir polinom fonksiyondur ve tüm reel sayılarda süreklidir, dolayısıyla limiti tanımlıdır.
\( g \) fonksiyonunun \( x = 3 \) noktasındaki limit değerini bulalım.
\( \lim_{x \to 3} (x^2 - 4x - 3) \)
Polinom fonksiyonunun bir noktadaki limit değeri o noktadaki fonksiyon değerine eşittir.
\( = 3^2 - 4 \cdot 3 - 3 = -6 \)
\( f \) (mutlak değer) fonksiyonu tüm reel sayılarda, dolayısıyla \( g \) fonksiyonunun limit değerinde sürekli olduğu için limit bileşke kuralını kullanabiliriz.
\( \lim_{x \to 3} \abs{g(x)} \) \( = \abs{\lim_{x \to 3} g(x)} \)
\( = \abs{-6} = 6 \) bulunur.
\( \lim_{x \to 4} f(x) = 2 \)
\( \lim_{x \to 4} g(x) = 1 \) olduğuna göre,
\( \lim_{x \to 4} \dfrac{e^{f(x)} - 1}{\sin(\pi \cdot g(x) - \frac{3\pi}{4})} \) limitinin değeri kaçtır?
Çözümü GösterÖnce pay ve paydadaki ifadelerin ayrı ayrı limitini bulalım.
\( \lim_{x \to 4} (e^{f(x)} - 1) \)
Üstel fonksiyonun üssü olan ifadenin \( x = 4 \) noktasındaki limit değeri verilmiştir.
Üstel fonksiyon tüm reel sayılarda, dolayısıyla \( f \) fonksiyonunun limit değerinde sürekli olduğu için limit bileşke kuralını kullanabiliriz.
\( = e^{\lim_{x \to 4} f(x)} - \lim_{x \to 4} 1 = e^2 - 1 \)
\( \lim_{x \to 4} (\sin(\pi \cdot g(x) - \frac{3\pi}{4})) \)
Sinüs fonksiyonunun içindeki \( g \) fonksiyonunun \( x = 4 \) noktasındaki limit değeri verilmiştir.
Sinüs fonksiyonu tüm reel sayılarda sürekli olduğu için limit bileşke kuralını kullanabiliriz.
\( = \sin(\lim_{x \to 4} (\pi \cdot g(x) - \frac{3\pi}{4})) \)
\( = \sin(\pi \cdot (\lim_{x \to 4} g(x)) - \lim_{x \to 4} \frac{3\pi}{4})) \)
\( = \sin(\pi \cdot 1 - \frac{3\pi}{4}) = \sin{\frac{\pi}{4}} \)
\( = \dfrac{\sqrt{2}}{2} \)
Pay ve paydadaki ifadelerin limiti tanımlı ve paydadaki ifadenin limiti sıfırdan farklı olduğu için limit bölme kuralını kullanabiliriz.
\( \lim_{x \to 4} \dfrac{e^{f(x)} - 1}{\sin(\pi \cdot g(x) - \frac{3\pi}{4})} \)
\( = \dfrac{\lim_{x \to 4} (e^{f(x)} - 1)}{\lim_{x \to 4} (\sin(\pi \cdot g(x) - \frac{3\pi}{4}))} \)
\( = \dfrac{e^2 - 1}{\frac{\sqrt{2}}{2}} \)
\( = \sqrt{2} \cdot (e^2 - 1) \) bulunur.
\( \lim_{x \to 4} 81^{\frac{x - 3}{\sqrt[3]{x^2 + 10x + 8}}} \) limitinin değeri kaçtır?
Çözümü GösterÜstel fonksiyonun üssünün limitinin tanımlı olup olmadığını bulmak için üssün payının ve paydasının ayrı ayrı limitlerini bulalım.
\( \lim_{x \to 4} (x - 3) \)
Polinom fonksiyonunun bir noktadaki limit değeri o noktadaki fonksiyon değerine eşittir.
\( = 4 - 3 = 1 \)
\( \lim_{x \to 4} \sqrt[3]{x^2 + 10x + 8} \)
Kök içindeki ifade bir polinom fonksiyondur ve tüm reel sayılarda süreklidir, dolayısıyla limiti tanımlıdır.
Polinom fonksiyonunun \( x = 4 \) noktasındaki limit değerini bulalım.
\( \lim_{x \to 4} (x^2 + 10x + 8) \)
Polinom fonksiyonunun bir noktadaki limit değeri o noktadaki fonksiyon değerine eşittir.
\( = 4^2 + 10 \cdot 4 + 8 = 64 \)
Tek dereceli köklü fonksiyon tüm reel sayılarda, dolayısıyla \( x = 64 \) noktasında sürekli olduğu için limit bileşke kuralını kullanabiliriz.
\( \lim_{x \to 4} \sqrt[3]{x^2 + 10x + 8} \) \( = \sqrt[3]{\lim_{x \to 4} (x^2 + 10x + 8)} \)
\( = \sqrt[3]{64} = 4 \)
Pay ve paydadaki ifadelerin limiti tanımlı ve paydadaki ifadenin limiti sıfırdan farklı olduğu için limit bölme kuralını kullanabiliriz.
\( \lim_{x \to 4} \dfrac{x - 3}{\sqrt[3]{x^2 + 10x + 8}} \)
\( = \dfrac{\lim_{x \to 4} (x - 3)}{\lim_{x \to 4} \sqrt[3]{x^2 + 10x + 8}} = \dfrac{1}{4} \)
Üstel fonksiyon tüm reel sayılarda, dolayısıya \( x = \frac{1}{4} \) noktasında sürekli olduğu için limit bileşke kuralını kullanabiliriz.
\( \lim_{x \to 4} 81^{\frac{x - 3}{\sqrt[3]{x^2 + 10x + 8}}} = 81^{\lim_{x \to 4} \frac{x - 3}{\sqrt[3]{x^2 + 10x + 8}}} \)
\( = 81^{\frac{1}{4}} = 3 \) bulunur.
\( \lim_{x \to 2} (\log_5(x^2 + 1)) = \lim_{x \to 3^+} f(x + 2) \) olduğuna göre,
\( \lim_{x \to 6^+} f(x - 1) \) kaçtır?
Çözümü GösterÖnce eşitliğin sol tarafının limit değerini bulalım.
Limiti alınan ifadeyi iki fonksiyonun bileşkesi şeklinde yazalım.
\( f(x) = \log_5{x} \)
\( g(x) = x^2 + 1 \)
\( (f \circ g)(x) = \log_5(x^2 + 1) \)
\( g \) bir polinom fonksiyondur ve tüm reel sayılarda süreklidir, dolayısıyla limiti tanımlıdır.
\( g \) fonksiyonunun \( x = 2 \) noktasındaki limit değerini bulalım.
\( \lim_{x \to 2} (x^2 + 1) \)
Polinom fonksiyonunun bir noktadaki limit değeri o noktadaki fonksiyon değerine eşittir.
\( = 2^2 + 1 = 5 \)
\( f \) (logaritma) fonksiyonu pozitif reel sayılarda, dolayısıyla \( g \) fonksiyonunun limit değerinde sürekli olduğu için limit bileşke kuralını kullanabiliriz.
\( \lim_{x \to 2} (\log_5(x^2 + 1)) \) \( = \log_5(\lim_{x \to 2} (x^2 + 1)) \)
\( = \log_5{5} = 1 \) bulunur.
Buna göre soruda verilen eşitliğin sağ tarafı da bu değere eşittir.
\( \lim_{x \to 3^+} f(x + 2) = 1 \)
\( x \to 3^+ \) iken \( x + 2 \to 5^+ \) olur.
Buna göre verilen ifade \( f \) fonksiyonunun \( x = 5 \) noktasındaki sağdan limitidir.
\( \lim_{x \to 3^+} f(x + 2) = f(5^+) = 1 \)
\( f(5^+) \) ifadesini aşağıdaki şekilde de yazabiliriz.
\( x \to 6^+ \) iken \( x - 1 \to 5^+ \) olur.
\( \lim_{x \to 6^+} f(x - 1) = f(5^+) = 1 \) bulunur.
\( \lim_{x \to 1} \dfrac{\ln(x^2 - x + e^3)}{3^{\log_4(2x - 1)}} \)
limitinin değeri kaçtır?
Çözümü GösterÖnce pay ve paydadaki ifadelerin ayrı ayrı limitini bulalım.
\( \lim_{x \to 1} \ln(x^2 - x + e^3) \)
Logaritma fonksiyonunun içindeki ifade bir polinom fonksiyondur ve tüm reel sayılarda süreklidir, dolayısıyla limiti tanımlıdır.
Polinom fonksiyonunun bir noktadaki limit değeri o noktadaki fonksiyon değerine eşittir.
\( \lim_{x \to 1} (x^2 - x + e^3) = 1^2 - 1 + e^3 = e^3 \)
Logaritma fonksiyonu tüm pozitif reel sayılarda, dolayısıyla \( e^3 \) limit değerinde sürekli olduğu için limit bileşke kuralını kullanabiliriz.
\( \lim_{x \to 1} \ln(x^2 - x + e^3) \)
\( = \ln(\lim_{x \to 1} (x^2 - x + e^3)) = \ln{e^3} = 3 \)
\( \lim_{x \to 1} 3^{\log_4(2x - 1)} \)
\( 3^{\log_4(2x - 1)} \) ifadesi iç içe üç fonksiyonun bileşkesinden oluşmaktadır. Önce logaritma fonksiyonunun limitini bulalım.
\( \lim_{x \to 1} (\log_4(2x - 1)) \)
Logaritma içindeki ifade bir polinom fonksiyondur ve tüm reel sayılarda süreklidir, dolayısıyla limiti tanımlıdır.
\( \lim_{x \to 1} (2x - 1) \)
Polinom fonksiyonunun bir noktadaki limit değeri o noktadaki fonksiyon değerine eşittir.
\( = 2 \cdot 1 - 1 = 1 \)
Logaritma fonksiyonu tüm pozitif reel sayılarda, dolayısıyla bulduğumuz limit değerinde sürekli olduğu için limit bileşke kuralını kullanabiliriz.
\( \lim_{x \to 1} (\log_4(2x - 1)) \) \( = \log_4(\lim_{x \to 1} (2x - 1)) \)
\( = \log_4{1} = 0 \) bulunur.
Üstel fonksiyonun limit değerini bulalım.
\( \lim_{x \to 1} 3^{\log_4(2x - 1)} \)
Üstel fonksiyonun üssünün \( x = 1 \) noktasında limitinin tanımlı olduğunu gösterdik.
Üstel fonksiyon tüm reel sayılarda, dolayısıyla bulduğumuz limit değerinde sürekli olduğu için limit bileşke kuralını kullanabiliriz.
\( = 3^{\lim_{x \to 1} \log_4(2x - 1)} = 3^0 = 1 \)
Pay ve paydadaki ifadelerin limiti tanımlı ve paydadaki ifadenin limiti sıfırdan farklı olduğu için limit bölme kuralını kullanabiliriz.
\( \lim_{x \to 1} \dfrac{\ln(x^2 - x + e^3)}{3^{\log_4(2x - 1)}} \)
\( = \dfrac{\lim_{x \to 1} \ln(x^2 - x + e^3)}{\lim_{x \to 1} 3^{\log_4(2x - 1)}} \)
\( = \dfrac{3}{1} = 3 \) bulunur.
\( \lim_{x \to 5} \dfrac{\log_4(x^2 + 5x + 14)}{\sqrt{x^2 - 8x + k + 12}} = 1 \)
olduğuna göre, \( k \) kaçtır?
Çözümü GösterPay ve paydadaki ifadelerin birbirine bölümünün limiti 1'e eşitse bu iki ifadenin limiti tanımlıdır ve birbirine eşittir.
\( \lim_{x \to 5} \log_4(x^2 + 5x + 14) = \lim_{x \to 5} \sqrt{x^2 - 8x + k + 12} \)
Önce eşitliğin sol tarafındaki logaritma fonksiyonunun limitini bulalım.
Logaritma fonksiyonunun içindeki ifade bir polinom fonksiyondur ve tüm reel sayılarda süreklidir, dolayısıyla limiti tanımlıdır.
Polinom fonksiyonunun \( x = 5 \) noktasındaki limit değerini bulalım.
\( \lim_{x \to 5} (x^2 + 5x + 14) \)
Polinom fonksiyonunun bir noktadaki limit değeri o noktadaki fonksiyon değerine eşittir.
\( = 5^2 + 5 \cdot 5 + 14 = 64 \)
Logaritma fonksiyonu tüm pozitif reel sayılarda, dolayısıyla \( x = 64 \) noktasında sürekli olduğu için limit bileşke kuralını kullanabiliriz.
\( \lim_{x \to 5} \log_4(x^2 + 5x + 14) \) \( = \log_4(\lim_{x \to 5} (x^2 + 5x + 14)) \)
\( = \log_4{64} = \log_4{4^3} = 3 \)
Eşitliğin sağ tarafını 3'e eşitleyelim.
\( \lim_{x \to 5} \sqrt{x^2 - 8x + k + 12} = 3 \)
Karekök fonksiyonu tüm pozitif reel sayılarda süreklidir ve limiti tanımlıdır.
Karekök fonksiyonunun bu noktada limiti tanımlı olduğu için limit bileşke kuralını kullanabiliriz.
\( \sqrt{\lim_{x \to 5} (x^2 - 8x + k + 12)} = 3 \)
Polinom fonksiyonunun bir noktadaki limit değeri o noktadaki fonksiyon değerine eşittir.
\( \sqrt{5^2 - 8 \cdot 5 + k + 12} = 3 \)
\( \sqrt{k - 3} = 3 \)
\( k - 3 = 9 \)
\( k = 12 \) bulunur.