Sonsuzda Limit
Şu ana kadar fonksiyonların \( x \) bir reel sayı değere yaklaşırkenki limiti ile ilgilendik. Bu bölümde \( x \) pozitif ya da negatif sonsuza giderkenki limiti inceleyeceğiz.
Bir \( f \) fonksiyonunda \( x \) değişkeni pozitif (negatif) sonsuza giderken \( f(x) \) belirli bir değere yaklaşıyorsa bu değere \( f \) fonksiyonunun pozitif (negatif) sonsuzdaki limiti denir.
Pozitif sonsuzda limit:
\( \lim\limits_{x \to \infty} {f(x)} \)
Negatif sonsuzda limit:
\( \lim\limits_{x \to -\infty} {f(x)} \)
Bir fonksiyonun sonsuzdaki limiti bir reel sayı olabilir, pozitif ya da negatif sonsuz olabilir ya da limiti olmayabilir.
| Grafik | Açıklama |
|---|---|
|
Reel sayı limit: \( \lim\limits_{x \to \infty} {f(x)} = 3 \) \( \lim\limits_{x \to -\infty} {f(x)} = -1 \) |
|
Sonsuz limit: \( \lim\limits_{x \to \infty} {f(x)} = \infty \) \( \lim\limits_{x \to -\infty} {f(x)} = -\infty \) |
|
Limit yok: \( f(x) = \sin{x} \) olmak üzere, \( \lim\limits_{x \to \infty} {f(x)} \) limiti yoktur. \( \lim\limits_{x \to -\infty} {f(x)} \) limiti yoktur. |
Temel Fonksiyonların Sonsuzdaki Limiti
En sık kullanılan temel fonksiyonların sonsuzdaki limitleri aşağıdaki gibidir.
Polinom Fonksiyonu
Tek dereceli polinom fonksiyonlarının sonsuzdaki limiti başkatsayının işaretine göre aşağıdaki gibi olur.
\( f \) başkatsayısı \( a \) olan tek dereceli polinom fonksiyonu olmak üzere,
\( a \gt 0 \) ise,
\( \lim\limits_{x \to \infty} {f(x)} = \infty \)
\( \lim\limits_{x \to -\infty} {f(x)} = -\infty \)
\( a \lt 0 \) ise,
\( \lim\limits_{x \to \infty} {f(x)} = -\infty \)
\( \lim\limits_{x \to -\infty} {f(x)} = \infty \)
\( \lim\limits_{x \to -\infty} (3x^3 + \ldots) = -\infty \)
\( \lim\limits_{x \to \infty} (-2x^5 + \ldots) = -\infty \)
Sabit fonksiyon hariç, çift dereceli polinom fonksiyonlarının sonsuzdaki limiti başkatsayının işaretine göre aşağıdaki gibi olur.
\( f \) başkatsayısı \( a \) olan çift dereceli polinom fonksiyonu olmak üzere,
\( a \gt 0 \) ise,
\( \lim\limits_{x \to \infty} {f(x)} = \infty \)
\( \lim\limits_{x \to -\infty} {f(x)} = \infty \)
\( a \lt 0 \) ise,
\( \lim\limits_{x \to \infty} {f(x)} = -\infty \)
\( \lim\limits_{x \to -\infty} {f(x)} = -\infty \)
\( \lim\limits_{x \to -\infty} (7x^4 + \ldots) = \infty \)
\( \lim\limits_{x \to \infty} (-2x^6 + \ldots) = -\infty \)
Buna göre, polinom fonksiyonlarının sonsuzdaki davranışını fonksiyonun derecesi ve başkatsayının işareti belirler, diğer terimlerin sonsuzdaki davranışa bir etkisi yoktur.
Üstel Fonksiyon
Üstel fonksiyonun sonsuzdaki limiti tabanın değerine göre aşağıdaki gibi olur.
\( a \gt 1 \) ise,
\( \lim\limits_{x \to \infty} {a^x} = \infty \)
\( \lim\limits_{x \to -\infty} {a^x} = 0^+ \)
\( 0 \lt a \lt 1 \) ise,
\( \lim\limits_{x \to \infty} {a^x} = 0^+ \)
\( \lim\limits_{x \to -\infty} {a^x} = \infty \)
\( \lim\limits_{x \to -\infty} {e^x} = 0^+ \)
\( \lim\limits_{x \to -\infty} \left( \frac{1}{2} \right)^x = \infty \)
Logaritma Fonksiyonu
Logaritma fonksiyonunun sonsuzdaki limiti tabanın değerine göre aşağıdaki gibi olur.
\( a \gt 1 \) ise,
\( \lim\limits_{x \to \infty} {\log_a{x}} = \infty \)
\( 0 \lt a \lt 1 \) ise,
\( \lim\limits_{x \to \infty} {\log_a{x}} = -\infty \)
\( \lim\limits_{x \to \infty} {\log_{\frac{1}{2}}{x}} = -\infty \)
Ters Kuvvet Fonksiyonu
Ters kuvvet fonksiyonlarının sonsuzdaki limiti aşağıdaki gibi olur.
\( n \) pozitif tek sayı ise,
\( \lim\limits_{x \to \infty} {\dfrac{1}{x^n}} = 0^+ \)
\( \lim\limits_{x \to -\infty} {\dfrac{1}{x^n}} = 0^- \)
\( n \) pozitif çift sayı ise,
\( \lim\limits_{x \to \infty} {\dfrac{1}{x^n}} = 0^+ \)
\( \lim\limits_{x \to -\infty} {\dfrac{1}{x^n}} = 0^+ \)
\( \lim\limits_{x \to -\infty} {\dfrac{1}{x^3}} = 0^- \)
\( \lim\limits_{x \to \infty} {\dfrac{1}{x^2}} = 0^+ \)
Rasyonel Fonksiyon
Rasyonel fonksiyonların sonsuzdaki limitini bulmak için pay ve paydadaki polinomların tüm terimleri \( x \)'in paydadaki en yüksek dereceli üssüne bölünür ve elde edilen ifadenin limiti bulunur.
\( \lim\limits_{x \to \infty} {\dfrac{3x^2 - 4x + 1}{5x^3 + 2x^2 - 4x - 7}} \) limitinin sonucunu bulalım.
Pay ve paydadaki terimleri \( x \)'in paydadaki en yüksek dereceli üssüne (\( x^3 \)) bölelim.
\( \lim\limits_{x \to \infty} {\dfrac{\frac{3}{x} - \frac{4}{x^2} + \frac{1}{x^3}}{5 + \frac{2}{x} - \frac{4}{x^2} - \frac{7}{x^3}}} \)
Limit işlemini önce bölme kuralı ile paya ve paydaya, daha sonra toplama kuralı ile terimlere dağıtalım.
\( = \dfrac{\lim\limits_{x \to \infty} {\frac{3}{x}} - \lim\limits_{x \to \infty} {\frac{4}{x^2}} + \lim\limits_{x \to \infty} {\frac{1}{x^3}}}{\lim\limits_{x \to \infty} {5} + \lim\limits_{x \to \infty} {\frac{2}{x}} - \lim\limits_{x \to \infty} {\frac{4}{x^2}} - \lim\limits_{x \to \infty} {\frac{7}{x^3}}} \)
\( x \to \infty \) iken \( \frac{1}{x^n} \to 0 \) olur.
\( = \dfrac{0 - 0 + 0}{5 + 0 - 0 - 0} \)
\( = \dfrac{0}{5} = 0 \)
Fonksiyonun pozitif sonsuzda sıfıra yaklaştığı aşağıdaki grafikte görülebilir. Negatif sonsuzdaki limit hesaplandığında fonksiyonun yine sıfıra yaklaştığı görülecektir.
\( \lim\limits_{x \to -\infty} {\dfrac{-5x^4 + 4x^2 - 6}{7x^4 - 5x^2 - 2x}} \) limitinin sonucunu bulalım.
Pay ve paydadaki terimleri \( x \)'in paydadaki en yüksek dereceli üssüne (\( x^4 \)) bölelim.
\( \lim\limits_{x \to -\infty} {\dfrac{-5 + \frac{4}{x^2} - \frac{6}{x^4}}{7 - \frac{5}{x^2} - \frac{2}{x^3}}} \)
Limit işlemini önce bölme kuralı ile paya ve paydaya, daha sonra toplama kuralı ile terimlere dağıtalım.
\( = \dfrac{\lim\limits_{x \to -\infty} {-5} + \lim\limits_{x \to -\infty} {\frac{4}{x^2}} - \lim\limits_{x \to -\infty} {\frac{6}{x^4}}}{\lim\limits_{x \to -\infty} {7} - \lim\limits_{x \to -\infty} {\frac{5}{x^2}} - \lim\limits_{x \to -\infty} {\frac{2}{x^3}}} \)
\( x \to -\infty \) iken \( \frac{1}{x^n} \to 0 \) olur.
\( = \dfrac{-5 + 0 - 0}{7 - 0 - 0} \)
\( = -\dfrac{5}{7} \)
Fonksiyonun negatif sonsuzda \( y = -\frac{5}{7} \) doğrusuna yaklaştığı aşağıdaki grafikte görülebilir. Pozitif sonsuzdaki limit hesaplandığında fonksiyonun aynı doğruya yaklaştığı görülecektir.
\( \lim\limits_{x \to -\infty} {\dfrac{2x^5 - 3x^4 + 7x^2 + 4}{9x^4 + 5x^3 - 8}} \) limitinin sonucunu bulalım.
Pay ve paydadaki terimleri \( x \)'in paydadaki en yüksek dereceli üssüne (\( x^4 \)) bölelim.
\( \lim\limits_{x \to -\infty} {\dfrac{2x - 3 + \frac{7}{x^2} + \frac{4}{x^4}}{9 + \frac{5}{x} - \frac{8}{x^4}}} \)
Limit işlemini önce bölme kuralı ile paya ve paydaya, daha sonra toplama kuralı ile terimlere dağıtalım.
\( = \dfrac{\lim\limits_{x \to -\infty} (2x) - \lim\limits_{x \to -\infty} {3} + \lim\limits_{x \to -\infty} {\frac{7}{x^2}} + \lim\limits_{x \to -\infty} {\frac{4}{x^4}}}{\lim\limits_{x \to -\infty} {9} + \lim\limits_{x \to -\infty} {\frac{5}{x}} - \lim\limits_{x \to -\infty} {\frac{8}{x^4}}} \)
\( x \to -\infty \) iken \( \frac{1}{x^n} \to 0 \) olur.
\( x \to -\infty \) iken \( (2x) \to -\infty \) olur.
\( = \dfrac{-\infty - 3 + 0 + 0}{9 + 0 - 0} \)
\( = -\infty \)
Fonksiyonun negatif sonsuzda negatif sonsuza gittiği aşağıdaki grafikte görülebilir. Pozitif sonsuzdaki limit hesaplandığında fonksiyonun bu sefer pozitif sonsuza gittiği görülecektir.
Rasyonel fonksiyonların pay ve paydasındaki tüm terimler \( x \)'in paydadaki değil de paydaki en yüksek dereceli üssüne bölünürse yanlış sonuç elde edilebilir. Örneğin yukarıdaki üçüncü örnekte işlem bu şekilde yapıldığında sonuç (hatalı şekilde) negatif sonsuz yerine pozitif sonsuz bulunur.
Yukarıdaki üç örnekte incelediğimiz üç farklı durum için aşağıdaki kısayol kurallar kullanılabilir.
- Paydasının derecesi payının derecesinden daha büyük olan rasyonel fonksiyonların pozitif ve negatif sonsuzdaki limiti sıfıra eşittir.
- Pay ve paydasının dereceleri eşit olan rasyonel fonksiyonların pozitif ve negatif sonsuzdaki limiti, pay ve paydadaki polinomların başkatsayılarının oranına eşittir.
- Payının derecesi paydasının derecesinden daha büyük olan rasyonel fonksiyonların pozitif ve negatif sonsuzdaki limiti, pay ve paydadaki en yüksek dereceli terimlerin birbirine bölümünün limitine eşittir.
Bir rasyonel fonksiyonun sonsuzdaki limitini pay ve paydadaki en yüksek dereceli terimler belirler, dolayısıyla fonksiyonun sonsuzdaki limiti bu terimler dışındaki terimler gözardı edilerek bulunan limite eşittir.
\( \lim\limits_{x \to \infty} {\dfrac{9x^{99} - 7x^{49} + 8}{-3x^{98} + 6x^{37} - 8x^{14} + 1}} \) limitini bulalım.
Rasyonel fonksiyonun sonsuzdaki limiti, pay ve paydadaki en yüksek dereceli terimler dışındaki terimler gözardı edilerek bulunan limite eşittir.
\( \lim\limits_{x \to \infty} {\dfrac{9x^{99} - 7x^{49} + 8}{-3x^{98} + 6x^{37} - 8x^{14} + 1}} = \lim\limits_{x \to \infty} {\dfrac{9x^{99}}{-3x^{98}}} \)
\( = \lim\limits_{x \to \infty} (-3x) \)
\( x \to \infty \) iken \( -3x \to -\infty \) olur.
\( = -\infty \)
Köklü Rasyonel İfadeler
Köklü ifade içeren rasyonel ifadelerin sonsuzdaki limitini bulurken, (rasyonel fonksiyonlarda kullandığımız yönteme benzer şekilde) pay ve paydadaki tüm terimler \( x \)'in paydadaki en yüksek dereceli üssüne bölünür ve elde edilen ifadenin limiti bulunur.
\( \lim\limits_{x \to -\infty} {\dfrac{\sqrt{4x^2 - x + 3}}{3x - 4}} \) limitinin sonucunu bulalım.
Pay ve paydadaki terimleri \( x \)'in paydadaki en yüksek dereceli üssüne (\( x \)) bölelim.
\( \lim\limits_{x \to -\infty} {\dfrac{\frac{\sqrt{4x^2 - x + 3}}{x}}{3 - \frac{4}{x}}} \)
Paydaki \( x \)'i \( \sqrt{x^2} \) cinsinden yazalım.
\( x \to -\infty \) iken \( \sqrt{x^2} = \abs{x} = -x \), dolayısıyla \( x = -\sqrt{x^2} \) olur.
\( = \lim\limits_{x \to -\infty} {\dfrac{-\sqrt{\frac{4x^2 - x + 3}{x^2}}}{3 - \frac{4}{x}}} \)
\( = \lim\limits_{x \to -\infty} {\dfrac{-\sqrt{4 - \frac{1}{x} + \frac{3}{x^2}}}{3 - \frac{4}{x}}} \)
Limit işlemini önce bölme kuralı ile paya ve paydaya, daha sonra bileşke fonksiyon kuralı ile payda kök içine ve toplama kuralı ile paydadaki terimlere dağıtalım.
\( = \dfrac{-\sqrt{\lim\limits_{x \to -\infty} {4} - \lim\limits_{x \to -\infty} {\frac{1}{x}} + \lim\limits_{x \to -\infty} {\frac{3}{x^2}}}}{\lim\limits_{x \to -\infty} {3} - \lim\limits_{x \to -\infty} {\frac{4}{x}}} \)
\( x \to -\infty \) iken \( \frac{1}{x^n} \to 0 \) olur.
\( = \dfrac{-\sqrt{4 - 0 + 0}}{3 - 0} \)
\( = -\dfrac{2}{3} \)
Trigonometrik Fonksiyon
Trigonometrik fonksiyonlar (sinüs, kosinüs, tanjant, kotanjant, sekant, kosekant) periyodik oldukları için grafikleri periyotları dahilinde tekrar eder, dolayısıyla sonsuzda limitleri yoktur.
Ters sinüs ve ters kosinüs fonksiyonlarının tanım kümeleri \( [-1, 1] \) aralığı olduğu için sonsuzda limitleri yoktur.
Ters tanjant fonksiyonunun pozitif ve negatif sonsuzdaki limitleri aşağıdaki gibidir.
\( \lim\limits_{x \to \infty} {\arctan{x}} = \dfrac{\pi}{2} \)
\( \lim\limits_{x \to -\infty} {\arctan{x}} = -\dfrac{\pi}{2} \)
Ters kotanjant fonksiyonunun pozitif ve negatif sonsuzdaki limitleri aşağıdaki gibidir.
\( \lim\limits_{x \to \infty} {\arccot{x}} = 0 \)
\( \lim\limits_{x \to -\infty} {\arccot{x}} = \pi \)
Fonksiyonların Büyüme Hızı
\( \frac{f(x)}{g(x)} \) formundaki rasyonel ifadelerin sonsuzdaki limiti pay ve paydadaki fonksiyonların büyüme hızları karşılaştırılarak belirlenebilir. Bunun için \( f \) ve \( g \) fonksiyonlarının ikisinin de sonsuzdaki limitleri pozitif ya da negatif sonsuz olmalıdır.
Bazı temel fonksiyonların sonsuzdaki büyüme hızları arasındaki hiyerarşi aşağıdaki tablodaki gibidir. Bu tabloda aşağıya indikçe fonksiyonların büyüme hızı artar.
İki fonksiyonun büyüme hızları arasındaki karşılaştırmada kullanılan iki sembolün anlamı aşağıdaki gibidir. Buradaki küçüklük/büyüklük ilişkisi \( x \)'in çok büyük değerleri için geçerlidir.
- \( f(x) \ll g(x) \) ifadesi sağdaki fonksiyonun daha hızlı büyüdüğünü ifade eder ve \( \frac{f(x)}{g(x)} \) ifadesinin sonsuzdaki limitinin sıfır olduğu anlamına gelir.
- \( f(x) \sim g(x) \) ifadesi fonksiyonların aynı hızda büyüdüğünü ifade eder ve \( \frac{f(x)}{g(x)} \) ifadesinin sonsuzdaki limitinin sıfırdan farklı bir reel sayı olduğu anlamına gelir.
| Fonksiyon Adı | Fonksiyon | Notlar |
|---|---|---|
Sabit |
\( 1 \) |
|
Logaritmik |
\( \log_a{x} \) |
Tabanı birden büyük olan tüm logaritma fonksiyonları aynı hızda büyür. \( \log_2{x} \sim \ln{x} \sim \log_3{x} \sim \ldots \) |
Kök |
\( \sqrt[n]{x} \) |
Derecesi daha küçük olan kök fonksiyonu daha hızlı büyür. \( \ldots \ll \sqrt[4]{x} \ll \sqrt[3]{x} \ll \sqrt{x} \) |
Doğrusal |
\( x \) |
|
Log Lineer |
\( x\log{x} \) |
|
Kuvvet |
\( x^n \) |
Üssü daha büyük olan kuvvet fonksiyonu daha hızlı büyür. \( x^2 \ll x^3 \ll x^4 \ll \ldots \) |
Üstel |
\( a^x \) |
Tabanı birden büyük olan üstel fonksiyonlar içinde tabanı daha büyük olan fonksiyon daha hızlı büyür. \( 2^x \ll e^x \ll 3^x \ll \ldots \) |
Faktöriyel |
\( x! \) |
|
Kendi Kuvveti |
\( x^x \) |
Büyüme hızları farklı terimlerden oluşan bir rasyonel ifadenin sonsuzdaki limiti, sadece pay ve paydadaki büyüme hızı en büyük olan terimler dikkate alınarak bulunabilir.
\( \lim\limits_{x \to \infty} {\dfrac{x^{100} + \sqrt{x} + 1000}{\ln{x} + e^x + x}} \) limitini bulalım.
\( \lim\limits_{x \to \infty} {\dfrac{x^{100} + \sqrt{x} + 1000}{\ln{x} + e^x + x}} \)
Verilen rasyonel ifadede büyüme hızı en büyük terimler payda \( x^{100} \), paydada ise \( e^x \) olur.
Buna göre sonsuzdaki limiti sadece pay ve paydadaki büyüme hızı en büyük olan terimleri dikkate alarak bulabiliriz.
\( = \lim\limits_{x \to \infty} {\dfrac{x^{100}}{e^x}} \)
Üstel fonksiyonların büyüme hızı kuvvet fonksiyonlarının büyüme hızından büyük olduğu için ifadenin sonsuzdaki limiti sıfıra eşittir.
\( = 0 \)
Yatay, Eğik ve Polinom Asimptotları
Rasyonel fonksiyonlar bölümünde yatay, eğik ve polinom asimptotlarına (topluca uç davranış asimptotları) bir giriş yapmıştık ve matematiksel tanımını limit konusunda yapacağımızı belirtmiştik. Bu bölümde bu üç asimptot tipini tüm fonksiyonlar için geçerli olacak şekilde inceleyeceğiz.
Düşey asimptotlardan farklı olarak, bir fonksiyon grafiği uç davranış asimptotlarını kesebilir. Bu kesim noktalarını bulmak için fonksiyon ve asimptot denklemleri ortak çözülür.
Yatay Asimptot
Bir \( f \) fonksiyonunun pozitif veya negatif sonsuzdaki limiti \( L \) reel sayısı ise fonksiyonun bir yatay asimptotu vardır ve denklemi \( y = L \) doğrusudur.
\( L \in \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( \lim\limits_{x \to \infty} {f(x)} = L \) veya
\( \lim\limits_{x \to -\infty} {f(x)} = L \) ise,
\( y = L \) doğrusu \( f \) fonksiyonunun bir yatay asimptotudur.
Aşağıdaki grafikte fonksiyonun pozitif sonsuzdaki limiti \( 5 \), negatif sonsuzdaki limiti \( -2 \) olduğu için, \( y = 5 \) ve \( y = -2 \) doğruları fonksiyonun yatay asimptotlarıdır.
\( \lim\limits_{x \to \infty} {f(x)} = 5 \)
\( \lim\limits_{x \to -\infty} {f(x)} = -2 \)
Yatay asimptotlar sadece \( x \) pozitif ya da negatif sonsuza giderken oluşabilir ve bir fonksiyonun bu iki durumla sınırlı olmak üzere bir ya da iki yatay asimptotu olabilir ya da hiç olmayabilir.
Yukarıda paylaştığımız temel fonksiyon grafiklerinde gösterildiği üzere, yatay asimptotların oluştuğu durumlardan bazıları şunlardır.
- Üstel fonksiyonların \( y = 0 \) doğrusu olmak üzere tek bir yatay asimptotu vardır.
- Ters kuvvet fonksiyonlarının \( y = 0 \) doğrusu olmak üzere tek bir yatay asimptotu vardır.
- Payın derecesi paydanın derecesinden küçük olan rasyonel fonksiyonların \( y = 0 \) doğrusu olmak üzere tek bir yatay asimptotu vardır.
- Payın ve paydanın başkatsayıları sırasıyla \( a \) ve \( b \) olmak üzere, payın derecesi paydanın derecesine eşit olan rasyonel fonksiyonların \( y = \frac{a}{b} \) doğrusu olmak üzere tek bir yatay asimptotu vardır.
- Ters tanjant fonksiyonunun \( y = -\frac{\pi}{2} \) ve \( y = \frac{\pi}{2} \) doğruları olmak üzere iki yatay asimptotu vardır.
- Ters kotanjant fonksiyonunun \( y = 0 \) ve \( y = \pi \) doğruları olmak üzere iki yatay asimptotu vardır.
\( f(x) = \dfrac{2x + 3}{x + 1} \) fonksiyonunun yatay asimptotlarını bulalım.
Pay ve paydasının dereceleri eşit olan rasyonel fonksiyonların pozitif ve negatif sonsuzdaki limiti, pay ve paydadaki polinomların başkatsayılarının oranına eşittir.
Fonksiyonun negatif sonsuzdaki limitini bulalım.
\( \lim\limits_{x \to -\infty} \dfrac{2x + 3}{x + 1} = 2 \)
Fonksiyonun pozitif sonsuzdaki limitini bulalım.
\( \lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{2x + 3}{x + 1} = 2 \)
Buna göre fonksiyonun \( y = 2 \) doğrusu olmak üzere tek bir yatay asimptotu vardır ve \( x \) hem pozitif hem negatif sonsuza giderken fonksiyon grafiği bu doğruya yaklaşır.
Eğik Asimptot
\( x \) pozitif ya da negatif sonsuza giderken fonksiyon grafiğinin yaklaştığı asimptot \( y = a \) şeklinde sabit bir fonksiyon değil, \( y = mx + c \) şeklinde bir doğru ise bu doğruya eğik asimptot denir.
\( m \ne 0 \) olmak üzere,
\( \lim\limits_{x \to \infty} [f(x) - (mx + c)] = 0 \) veya
\( \lim\limits_{x \to -\infty} [f(x) - (mx + c)] = 0 \) ise,
\( y = mx + c \) doğrusu \( f \) fonksiyonunun bir eğik asimptotudur.
Aşağıdaki grafikte mavi kesikli çizgi ile gösterilen \( y = x + 2 \) doğrusu \( f(x) = \frac{x^2 - 9}{x - 2} \) fonksiyonunun eğik asimptotudur.
Polinom Asimptotu
Uç davranış asimptotları sadece doğrusal değil, ikinci ya da daha yüksek dereceden birer polinom fonksiyonu da olabilir. Bu tip doğrusal olmayan asimptotlara polinom asimptotu ya da eğri asimptot denir.
Aşağıdaki grafikte mavi kesikli çizgi ile gösterilen \( y = x^2 - 2x + 1 \) eğrisi \( f(x) = \frac{x^3 - 2x^2 + x - 1}{x} \) fonksiyonunun eğri asimptotudur.
Rasyonel fonksiyonlarda uç davranış asimptotlarının nasıl bulunabileceği ile ilgili daha detaylı bilgi için rasyonel fonksiyonlarda asimptot bölümünü inceleyebilirsiniz.
Aşağıdaki limitleri hesaplayınız.
(a) \( \lim\limits_{x \to \infty} {\dfrac{2x + 7}{x^2 + 1}} \)
(b) \( \lim\limits_{x \to -\infty} {\dfrac{3x^2 + 7x + 12}{2x + 4}} \)
(c) \( \lim\limits_{x \to \infty} {\dfrac{5x^2 + 3x + 6}{3x^2 - 2x + 7}} \)
Çözümü Göster(a) seçeneği:
\( \lim\limits_{x \to \infty} {\dfrac{2x + 7}{x^2 + 1}} \)
Paydasının derecesi payının derecesinden daha büyük olan rasyonel fonksiyonların pozitif ve negatif sonsuzdaki limiti sıfıra eşittir.
\( = 0 \)
(b) seçeneği:
\( \lim\limits_{x \to -\infty} {\dfrac{3x^2 + 7x + 12}{2x + 4}} \)
Payının derecesi paydasının derecesinden daha büyük olan rasyonel fonksiyonların pozitif ve negatif sonsuzdaki limiti pay ve paydadaki en yüksek dereceli terimlerin birbirine bölümünün limitine eşittir.
\( = \lim\limits_{x \to -\infty} {\dfrac{3x^2}{2x}} \)
\( = \lim\limits_{x \to -\infty} {\dfrac{3x}{2}} \)
\( = -\infty \)
(c) seçeneği:
\( \lim\limits_{x \to \infty} {\dfrac{5x^2 + 3x + 6}{3x^2 - 2x + 7}} \)
Pay ve paydasının dereceleri eşit olan rasyonel fonksiyonların pozitif ve negatif sonsuzdaki limiti pay ve paydadaki polinomların başkatsayılarının oranına eşittir.
\( = \dfrac{5}{3} \)
Aşağıdaki limitleri hesaplayınız.
(a) \( \lim\limits_{x \to -\infty} {\dfrac{5x^7 - x^4 + 7}{-2x^9 + x^3 - 3}} \)
(b) \( \lim\limits_{x \to -\infty} {\dfrac{7x^5 - 2x^2 + 4}{2x^3 + 3x^2 - x + 9}} \)
(c) \( \lim\limits_{x \to -\infty} {\dfrac{-4x^4 + x^3 - 2x}{2x^4 + x + 7}} \)
Çözümü Göster(a) seçeneği:
\( \lim\limits_{x \to -\infty} {\dfrac{5x^7 - x^4 + 7}{-2x^9 + x^3 - 3}} \)
Paydasının derecesi payının derecesinden daha büyük olan rasyonel fonksiyonların pozitif ve negatif sonsuzdaki limiti sıfıra eşittir.
\( = 0 \)
(b) seçeneği:
\( \lim\limits_{x \to -\infty} {\dfrac{7x^5 - 2x^2 + 4}{2x^3 + 3x^2 - x + 9}} \)
Payının derecesi paydasının derecesinden daha büyük olan rasyonel fonksiyonların pozitif ve negatif sonsuzdaki limiti pay ve paydadaki en yüksek dereceli terimlerin birbirine bölümünün limitine eşittir.
\( \lim\limits_{x \to -\infty} {\dfrac{7x^5}{2x^3}} \)
\( \lim\limits_{x \to -\infty} {\dfrac{7x^2}{2}} \)
\( x \to -\infty \) iken \( x^2 \to \infty \) olur.
\( = \infty \)
(c) seçeneği:
\( \lim\limits_{x \to -\infty} {\dfrac{-4x^4 + x^3 - 2x}{2x^4 + x + 7}} \)
Pay ve paydasının dereceleri eşit olan rasyonel fonksiyonların pozitif ve negatif sonsuzdaki limiti pay ve paydadaki polinomların başkatsayılarının oranına eşittir.
\( = \dfrac{-4}{2} = -2 \)
Aşağıdakilerden hangisi \( f \) fonksiyonunun bir yatay asimptotunun olduğunu gösterir?
(a) \( \lim\limits_{x \to 4} {f(x)} = 2 \)
(b) \( \lim\limits_{x \to 4} {f(x)} = \infty \)
(c) \( \lim\limits_{x \to \infty} {f(x)} = 2 \)
(d) \( \lim\limits_{x \to \infty} {f(x)} = \infty \)
(e) \( \lim\limits_{x \to \infty} {f(x)} = \) Tanımsız
Çözümü GösterBir fonksiyonda \( x \) pozitif ya da negatif sonsuza giderken fonksiyon değeri belirli bir \( a \) reel sayı değerine yaklaşıyorsa bu \( x \) değerinde fonksiyonun bir yatay asimptotu vardır.
\( \lim\limits_{x \to \pm\infty} {f(x)} = a \)
(c) seçeneğindeki ifade \( y = 2 \) doğrusunun fonksiyonun bir yatay asimptotu olduğunu gösterir.
\( \lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{5x + \abs{2 - 5x}}{3 - 4x} \) limitinin sonucunu bulunuz.
Çözümü Göster\( x \to \infty \) iken \( (2 - 5x) \to -\infty \) olduğu için mutlak değer içindeki ifade mutlak değerden negatif işaretli çıkar.
\( \lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{5x + \abs{2 - 5x}}{3 - 4x} = \lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{5x - 2 + 5x}{3 - 4x} \)
\( = \lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{10x - 2}{3 - 4x} \)
Payının derecesi paydasının derecesine eşit olan rasyonel fonksiyonlarda \( x \) pozitif ve negatif sonsuza giderken fonksiyon polinomların başkatsayılarının oranına yaklaşır.
\( = \dfrac{10}{-4} = -\dfrac{5}{2} \) bulunur.
\( \lim\limits_{x \to \infty} {\dfrac{9^x + 6^x}{6^x + 4^x}} \) limitinin sonucu kaçtır?
Çözümü GösterBüyüme hızları farklı terimlerden oluşan bir rasyonel ifadenin sonsuzdaki limitini, sadece pay ve paydadaki büyüme hızı en büyük olan terimleri dikkate alarak bulabiliriz.
\( \lim\limits_{x \to \infty} {\dfrac{9^x + 6^x}{6^x + 4^x}} = \lim\limits_{x \to \infty} {\dfrac{9^x}{6^x}} \)
\( = \lim\limits_{x \to \infty} \left( \dfrac{9}{6} \right)^x \)
\( = \lim\limits_{x \to \infty} \left( \dfrac{3}{2} \right)^x \)
\( x \to \infty \) iken \( (\frac{3}{2})^x \to \infty \) olur.
\( = \infty \)
Aşağıdaki fonksiyonların yatay asimptotlarını bulunuz.
(a) \( f(x) = \dfrac{x - 5}{\abs{x} + 5} \)
(b) \( g(x) = 5^{2x - 3} \)
(c) \( h(x) = \arccot(2x + 1) \)
Çözümü GösterBir fonksiyonda \( x \) pozitif ya da negatif sonsuza giderken fonksiyon değeri belirli bir \( a \) reel sayısına yaklaşıyorsa bu \( y = a \) doğrusu fonksiyonun bir yatay asimptotudur.
(a) seçeneği:
\( f(x) = \dfrac{x - 5}{\abs{x} + 5} \)
Fonksiyonun negatif sonsuzdaki limitini bulalım.
\( \lim\limits_{x \to -\infty} {\dfrac{x - 5}{\abs{x} + 5}} \)
\( x \to -\infty \) iken \( \abs{x} = -x \) olur.
\( = \lim\limits_{x \to -\infty} {\dfrac{x - 5}{-x + 5}} \)
Pay ve paydasının dereceleri eşit olan rasyonel fonksiyonların pozitif ve negatif sonsuzdaki limiti pay ve paydadaki polinomların başkatsayılarının oranına eşittir.
\( = -1 \)
\( y = -1 \) doğrusu \( x \) negatif sonsuza giderken fonksiyonun bir yatay asimptotudur.
Fonksiyonun pozitif sonsuzdaki limitini bulalım.
\( \lim\limits_{x \to \infty} {\dfrac{x - 5}{\abs{x} + 5}} \)
\( x \to \infty \) iken \( \abs{x} = x \) olur.
\( = \lim\limits_{x \to \infty} {\dfrac{x - 5}{x + 5}} = 1 \)
\( y = 1 \) doğrusu \( x \) pozitif sonsuza giderken fonksiyonun bir yatay asimptotudur.
Buna göre fonksiyonun \( y = -1 \) ve \( y = 1 \) doğruları olmak üzere iki yatay asimptotu vardır.
(b) seçeneği:
\( g(x) = 5^{2x - 3} \)
Fonksiyonun negatif sonsuzdaki limitini bulalım.
\( \lim\limits_{x \to -\infty} {5^{2x - 3}} \)
Üstel fonksiyon tüm reel sayılarda tanımlı ve sürekli olduğu için bileşke fonksiyon limit kuralı ile limit işlemini üsse alabiliriz.
\( = 5^{\lim\limits_{x \to -\infty} {2x - 3}} \)
\( x \to -\infty \) iken \( 2x - 3 \to -\infty \) olur.
\( = 5^{-\infty} \)
\( x \to -\infty \) iken \( 5^x \to 0 \) olur.
\( = 0 \)
\( y = 0 \) doğrusu \( x \) negatif sonsuza giderken fonksiyonun bir yatay asimptotudur.
Fonksiyonun pozitif sonsuzdaki limitini bulalım.
\( \lim\limits_{x \to \infty} {5^{2x - 3}} = \infty \)
\( x \) pozitif sonsuza giderken fonksiyonun bir yatay asimptotu yoktur.
Buna göre fonksiyonun \( y = 0 \) doğrusu olmak üzere tek bir yatay asimptotu vardır.
(c) seçeneği:
\( h(x) = \arccot(2x + 1) \)
Fonksiyonun negatif sonsuzdaki limitini bulalım.
\( \lim\limits_{x \to -\infty} {\arccot(2x + 1)} \)
\( x \to -\infty \) iken \( 2x + 1 \to -\infty \) olur.
\( = \arccot(-\infty) \)
\( x \to -\infty \) iken \( \arccot{x} \to \pi \) olur.
\( = \pi \)
\( y = \pi \) doğrusu \( x \) negatif sonsuza giderken fonksiyonun bir yatay asimptotudur.
Fonksiyonun pozitif sonsuzdaki limitini bulalım.
\( \lim\limits_{x \to \infty} {\arccot(2x + 1)} \)
\( x \to \infty \) iken \( 2x + 1 \to \infty \) olur.
\( = \arccot{\infty} \)
\( x \to \infty \) iken \( \arccot{x} \to 0 \) olur.
\( = 0 \)
\( y = 0 \) doğrusu \( x \) pozitif sonsuza giderken fonksiyonun bir yatay asimptotudur.
Buna göre fonksiyonun \( y = \pi \) ve \( y = 0 \) doğruları olmak üzere iki yatay asimptotu vardır.
\( f(x) = \dfrac{5x + 4}{\sqrt{x^2 + 2x - 3}} \) fonksiyonunun yatay asimptotlarını bulunuz.
Çözümü Gösterİfadeyi düzenleyelim.
\( \lim\limits_{x \to -\infty} \dfrac{5x + 4}{\sqrt{x^2(1 + \frac{2}{x} - \frac{3}{x^2})}} \)
\( = \lim\limits_{x \to -\infty} \dfrac{5x + 4}{\abs{x}\sqrt{1 + \frac{2}{x} - \frac{3}{x^2}}} \)
Fonksiyonun negatif sonsuzdaki limitini bulalım.
\( x \to -\infty \) iken \( \abs{x} = -x \) olur.
\( = \lim\limits_{x \to -\infty} \dfrac{5x + 4}{-x\sqrt{1 + \frac{2}{x} - \frac{3}{x^2}}} \)
Pay ve paydadaki terimleri \( x \)'in paydadaki en yüksek dereceli üssüne (\( x \)) bölelim.
\( = \lim\limits_{x \to -\infty} \dfrac{5 + \frac{4}{x}}{-\sqrt{1 + \frac{2}{x} - \frac{3}{x^2}}} \)
Limit işlemini önce bölme kuralı ile paya ve paydaya, daha sonra bileşke fonksiyon kuralı ile payda kök içine ve toplama kuralı ile paydadaki terimlere dağıtalım.
\( = \dfrac{\lim\limits_{x \to -\infty} {5} + \lim\limits_{x \to -\infty} {\frac{4}{x}}}{-\sqrt{\lim\limits_{x \to -\infty} {1} + \lim\limits_{x \to -\infty} {\frac{2}{x}} - \lim\limits_{x \to -\infty} \frac{3}{x^2}}} \)
\( x \to -\infty \) iken \( \frac{1}{x^n} \to 0 \) olur.
\( = \dfrac{5 + 0}{-\sqrt{1 + 0 - 0}} \)
\( = -5 \)
Buna göre \( x \) negatif sonsuza giderken \( f \) fonksiyonunun yatay asimptotu \( y = -5 \) doğrusu olur.
Fonksiyonun pozitif sonsuzdaki limitini bulalım.
\( x \to \infty \) iken \( \abs{x} = x \) olur.
\( = \lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{5x + 4}{x\sqrt{1 + \frac{2}{x} - \frac{3}{x^2}}} \)
Pay ve paydadaki terimleri \( x \)'in paydadaki en yüksek dereceli üssüne (\( x \)) bölelim.
\( = \lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{5 + \frac{4}{x}}{\sqrt{1 + \frac{2}{x} - \frac{3}{x^2}}} \)
Limit işlemini önce bölme kuralı ile paya ve paydaya, daha sonra bileşke fonksiyon kuralı ile payda kök içine ve toplama kuralı ile paydadaki terimlere dağıtalım.
\( = \dfrac{\lim\limits_{x \to \infty} {5} + \lim\limits_{x \to \infty} {\frac{4}{x}}}{\sqrt{\lim\limits_{x \to \infty} {1} + \lim\limits_{x \to \infty} {\frac{2}{x}} - \lim\limits_{x \to \infty} \frac{3}{x^2}}} \)
\( x \to \infty \) iken \( \frac{1}{x^n} \to 0 \) olur.
\( = \dfrac{5 + 0}{\sqrt{1 + 0 - 0}} \)
\( = 5 \)
Buna göre \( x \) pozitif sonsuza giderken \( f \) fonksiyonunun yatay asimptotu \( y = 5 \) doğrusu olur.
\( f(x) = \sqrt{2x + 1} - \sqrt{2x} \) fonksiyonunun yatay asimptotlarını bulunuz.
Çözümü Göster\( f \) fonksiyonu sadece \( x \ge 0 \) için tanımlı olduğu için sadece pozitif sonsuzdaki yatay asimptotu inceleyebiliriz.
Fonksiyonun pozitif sonsuzdaki limitini bulalım.
\( \lim\limits_{x \to \infty} \sqrt{2x + 1} = \infty \)
\( \lim\limits_{x \to \infty} \sqrt{2x} = \infty \)
Buna göre verilen limit ifadesinde \( \infty - \infty \) belirsizliği vardır.
Belirsizliği gidermek için payı ve paydayı paydaki ifadenin eşleniği ile çarpalım.
\( \lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{(\sqrt{2x + 1} - \sqrt{2x})(\sqrt{2x + 1} + \sqrt{2x})}{\sqrt{2x + 1} + \sqrt{2x}} \)
\( = \lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{(\sqrt{2x + 1})^2 - (\sqrt{2x})^2}{\sqrt{2x + 1} + \sqrt{2x}} \)
\( = \lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{2x + 1 - 2x}{\sqrt{2x + 1} + \sqrt{2x}} \)
\( = \lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{1}{\sqrt{2x + 1} + \sqrt{2x}} \)
\( x \to \infty \) iken paydadaki ifade pozitif sonsuza gider.
\( = 0 \)
Buna göre \( y = 0 \) doğrusu \( x \) pozitif sonsuza giderken \( f \) fonksiyonunun yatay asimptotudur.