0 . Sonsuz Belirsizliği
\( 0 \cdot \infty \) belirsizliği limiti 0 olan bir ifade ile limiti pozitif ya da negatif sonsuz olan bir ifadenin çarpımının limiti alındığında oluşur.
\( \lim_{x \to a} [f(x) \cdot g(x)] \) limitinde,
\( \lim_{x \to a} f(x) = 0 \) ve \( \lim_{x \to a} g(x) = \pm\infty \) değerleri elde ediliyorsa,
bu limit için \( 0 \cdot \infty \) belirsizliği vardır.
Bu belirsizliği gidermek için önce ifadeyi \( \frac{0}{0} \) ya da \( \frac{\infty}{\infty} \) belirsizliklerinden birine dönüştürmemiz gerekir, sonrasında ilgili belirsizliği giderme yöntemlerden biri ile limiti bulmayı deneriz. Bu aşamada gerekli koşulların sağlanması durumunda L'Hospital kuralını da kullanabiliriz.
\( 0 \cdot \infty \) belirsizliğini \( \frac{0}{0} \) belirsizliğine dönüştürmek için \( \infty \) olan ifadenin, \( \frac{\infty}{\infty} \) belirsizliğine dönüştürmek için de \( 0 \) olan ifadenin çarpmaya göre tersi paydaya alınır.
\( 0 \cdot \infty \Longrightarrow \dfrac{0}{\frac{1}{\infty}} \Longrightarrow \dfrac{0}{0} \)
\( 0 \cdot \infty \Longrightarrow \dfrac{\infty}{\frac{1}{0}} \Longrightarrow \dfrac{\infty}{\infty} \)
Bu tip belirsizliği bu yöntemi kullanarak nasıl giderebileceğimizi bir örnek üzerinden anlatalım.
\( \lim_{x \to \infty} (x^2 \cdot e^{-2x}) \) limit değerini bulalım.
\( \lim_{x \to \infty} x^2 = \infty \) ve \( \lim_{x \to \infty} e^{-2x} = 0 \) olduğu için \( 0 \cdot \infty \) belirsizliği vardır.
İkinci çarpanın tersini paydaya alalım.
\( = \lim_{x \to \infty} \dfrac{x^2}{e^{2x}} \)
\( \lim_{x \to \infty} x^2 = \infty \) ve \( \lim_{x \to \infty} e^{2x} = \infty \) olduğu için \( \frac{\infty}{\infty} \) belirsizliği vardır.
\( x \) sonsuza giderken üstel fonksiyonların büyüme hızı kuvvet fonksiyonlarının büyüme hızından büyük olduğu için payda paydan daha hızlı büyür, dolayısıyla ifadenin limiti sıfır olur.
\( = 0 \)
Şimdi de L'Hospital kuralını kullanmamızı gerektirecek bir örnek yapalım.
\( \lim_{x \to 0^+} (x \cdot \ln{x}) \) limit değerini bulalım.
\( \lim_{x \to 0^+} x = 0 \) ve \( \lim_{x \to 0^+} \ln{x} = -\infty \) olduğu için \( 0 \cdot \infty \) belirsizliği vardır.
Birinci çarpanın tersini paydaya alalım.
\( = \lim_{x \to 0^+} \dfrac{\ln{x}}{\frac{1}{x}} \)
\( \lim_{x \to 0^+} \ln{x} = -\infty \) ve \( \lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x} = \infty \) olduğu için \( \frac{\infty}{\infty} \) belirsizliği vardır, dolayısıyla L'Hospital kuralını uygulayabiliriz.
\( = \lim_{x \to 0^+} \dfrac{(\ln{x})'}{(\frac{1}{x})'} \)
\( = \lim_{x \to 0^+} \dfrac{\frac{1}{x}}{-\frac{1}{x^2}} \)
\( = \lim_{x \to 0^+} (-x) \)
0'ı yerine koyarsak limit değerini 0 olarak buluruz.
\( = 0 \)
\( \lim\limits_{x \to \infty} (3x\tan(\frac{1}{4x})) \) limitinin sonucunu bulunuz.
Çözümü Göster\( \lim\limits_{x \to \infty} (3x\tan(\frac{1}{4x})) \) limitinde,
\( \lim\limits_{x \to \infty} 3x = +\infty \)
ve
\( \lim\limits_{x \to \infty} \tan(\frac{1}{4x}) = \tan{0} = 0 \)
olduğu için \( 0 \cdot \infty \) belirsizliği vardır.
Bu belirsizliği gidermek için tanjant fonksiyonunun içerisindeki ifadeye değişken değiştirme uygulayalım.
\( t = \dfrac{1}{x} \Longrightarrow x = \dfrac{1}{t} \)
\( x \to \infty \) iken \( t \to 0 \) olur.
\( \lim\limits_{x \to \infty} (3x\tan(\frac{1}{4x})) \)
\( = \lim\limits_{t \to 0} (\dfrac{3}{t}\tan(\frac{1}{4}t)) \)
\( = 3\lim\limits_{t \to 0} \dfrac{\tan(\frac{1}{4}t)}{t} \)
İspatıyla birlikte verdiğimiz trigonometrik limit kurallarını kullanalım.
\( \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\tan(ax)}{bx} = \dfrac{a}{b} \)
\( = 3 \cdot \dfrac{\frac{1}{4}}{1} = \dfrac{3}{4} \) bulunur.
\( \lim\limits_{x \to 0} (\cot(9x)\sin(5x)) \) limitinin sonucunu bulunuz.
Çözümü Göster\( \lim\limits_{x \to 0} (\cot(9x)\sin(5x)) \) limitinde,
\( \lim\limits_{x \to 0^-} \cot(9x) = -\infty \)
\( \lim\limits_{x \to 0^+} \cot(9x) = +\infty \)
ve
\( \lim\limits_{x \to 0} \sin(5x) = \sin{0} = 0 \)
olduğu için \( 0 \cdot \infty \) belirsizliği vardır.
Kotanjant fonksiyonunu sinüs ve kosinüs cinsinden yazarak ifadeyi \( \frac{0}{0} \) belirsizliğine dönüştürelim.
\( \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\cos(9x)\sin(5x)}{\sin(9x)} \)
Payı ve paydayı \( x \) ile çarpalım.
\( = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\cos(9x)\sin(5x) \cdot x}{\sin(9x) \cdot x} \)
Limit ifadesini düzenleyelim.
\( = \lim\limits_{x \to 0} (\dfrac{\sin(5x)}{x} \cdot \dfrac{x}{\sin(9x)} \cdot \cos(9x)) \)
Aşağıda göstereceğimiz üzere, üç çarpanın limiti ayrı ayrı birer reel sayı olarak tanımlı olduğu için ifadeyi üç limitin çarpımı şeklinde yazabiliriz.
\( = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin(5x)}{x} \cdot \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{x}{\sin(9x)} \cdot \lim\limits_{x \to 0} \cos(9x) \)
İspatıyla birlikte verdiğimiz trigonometrik limit kurallarını kullanalım.
\( \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin(ax)}{bx} = \dfrac{a}{b} \)
\( = \dfrac{5}{1} \cdot \dfrac{1}{9} \cdot \lim\limits_{x \to 0} \cos(9x) \)
Üçüncü çarpan \( x = 0 \) noktasında tanımlı ve sürekli olduğu için doğrudan yerine koyma yöntemini kullanabiliriz.
\( = \dfrac{5}{9} \cdot \cos{0} \)
\( = \dfrac{5}{9} \cdot 1 = \dfrac{5}{9} \) bulunur.