Limitte Tanımsızlık
Limit tanımına göre, bir fonksiyonun bir noktada iki taraflı limitinin tanımlı olabilmesi için bu noktada soldan ve sağdan limitler birer reel sayı olarak tanımlı ve birbirine eşit olmalıdır.
Tanımsızlık Durumları
Bir noktada iki taraflı limit üç şekilde tanımsız olabilir.
Tek Taraflı Limitler Eşit Değil
Bu durumda tek taraflı limitler reel sayı olarak tanımlı, ancak birbirinden farklıdır.
\( L_1, L_2 \in \mathbb{R} \),
\( \lim\limits_{x \to a^-} f(x) = L_1 \) ve
\( \lim\limits_{x \to a^+} f(x) = L_2 \) olmak üzere,
\( L_1 \ne L_2 \) ise,
\( \lim\limits_{x \to a} f(x) \) limiti tanımsızdır.
Bu tip tanımsızlık en çok parçalı fonksiyonlarda karşımıza çıkmaktadır. Parçalı fonksiyonların farklı aralıklarında farklı fonksiyon tanımları söz konusu olduğu için, sınır noktalarının solunda ve sağında fonksiyonların yaklaştıkları değerler farklı olabilmektedir.
Ayrıca özel fonksiyonlar bölümünde gördüğümüz taban ve tavan fonksiyonlarında \( x \)'in tam sayı değerlerinde ve işaret fonksiyonunda \( x = 0 \) noktasında soldan ve sağdan limitler tanımlı, ancak farklıdır, dolayısıyla bu noktalarda limit tanımsızdır.
Tek Taraflı Limit Sonsuz
Bu durumda tek taraflı limitlerin en az bir pozitif ya da negatif sonsuzdur. Tek taraflı limitlerin ikisinin de pozitif ya da negatif sonsuz olması o noktadaki limiti tanımlı yapmaz, limitin tanımlı olması için tek taraflı limitler birer reel sayı olarak tanımlı ve birbirine eşit olmalıdır.
\( \lim\limits_{x \to a^-} f(x) = \pm \infty \) veya
\( \lim\limits_{x \to a^+} f(x) = \pm \infty \) ise,
\( \lim\limits_{x \to a} f(x) \) limiti tanımsızdır.
Bu tip tanımsızlığın oluştuğu durumlardan biri rasyonel ifadelerde paydanın limitinin sıfır, payın limitinin ise sıfırdan farklı bir reel sayı olduğu durumdur. Bu durum önümüzdeki bölümde inceleyeceğimiz belirsizlik durumlarından farklı olup bu tanımsızlığı gidermek için yapılabilecek ek bir işlem yoktur.
\( c \in \mathbb{R}, \quad c \ne 0 \) olmak üzere,
\( \lim\limits_{x \to a} \dfrac{f(x)}{g(x)} \) limitinde,
\( \lim\limits_{x \to a} f(x) = c \) ve
\( \lim\limits_{x \to a} g(x) = 0 \) ise,
\( \lim\limits_{x \to a} \dfrac{f(x)}{g(x)} \) limiti tanımsızdır.
\( \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{x + 2}{x - 2} \) \( = \dfrac{2 + 2}{2 - 2} \) \( = \dfrac{4}{0} \Longrightarrow \) Tanımsız
İSPATI GÖSTER
İspat için çelişkiyle ispat yöntemini kullanalım.
\( c, L \in \mathbb{R}, \quad c \ne 0 \)
\( \lim\limits_{x \to a} f(x) = c \)
\( \lim\limits_{x \to a} g(x) = 0 \) olmak üzere,
\( \lim\limits_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} \) limitinin bir reel sayı olarak tanımlı olduğunu varsayalım.
\( \lim\limits_{x \to a} \dfrac{f(x)}{g(x)} = L \)
\( f \) fonksiyonunu iki fonksiyonun çarpımı şeklinde yazalım.
\( \lim\limits_{x \to a} f(x) = \lim\limits_{x \to a} (\dfrac{f(x)}{g(x)} \cdot g(x)) = c \)
Limit çarpma kuralı gereği, bu limit ifadesini tanımlı olduğunu bildiğimiz/varsaydığımız iki limit ifadesinin çarpımı şeklinde yazabiliriz.
\( \lim\limits_{x \to a} \dfrac{f(x)}{g(x)} \cdot \lim\limits_{x \to a} g(x) = c \)
Yukarıdaki limit değerlerini bu eşitlikte yerine koyalım.
\( L \cdot 0 = c \)
\( L \) reel sayısı ile 0'ın çarpımı sıfırdan farklı \( c \) reel sayısı olamayacağı için bir çelişki elde etmiş olduk.
Buna göre en başta yaptığımız varsayım doğru olamaz, dolayısıyla aşağıdaki limit tanımsızdır.
\( \lim\limits_{x \to a} \dfrac{f(x)}{g(x)} \Longrightarrow \) Tanımsız
Bu tip tanımsızlıkla karşılaşabileceğimiz bir diğer durum tanjant ve kotanjant fonksiyonlarının tanımsız olduğu noktalardır.
\( a \in \mathbb{R} - \{ \frac{\pi}{2} + k\pi \mid k \in \mathbb{Z} \} \) olmak üzere,
\( \lim\limits_{x \to a} \tan{x} \quad \) limiti tanımsızdır.
\( a \in \mathbb{R} - \{ k\pi \mid k \in \mathbb{Z} \} \) olmak üzere,
\( \lim\limits_{x \to a} \cot{x} \quad \) limiti tanımsızdır.
Bu tanımsızlık durumunda fonksiyon grafiğinde dikey asimptot oluşur. Aşağıda tanjant fonksiyon grafiği üzerinde bu dikey asimptotlar gösterilmiştir (mavi kesikli çizgiler).
Belirli Bir Değere Yaklaşmayan Limit
Bazı fonksiyonlar limiti alınan noktaya yaklaşırken salınım (osilasyon) hareketi yapar ve fonksiyonun yaklaştığı değer kesin bir reel sayı olarak ifade edilemez. Bu tip fonksiyonların soldan ve sağdan limitleri tanımsızdır, dolayısıyla bu noktadaki iki yönlü limit de tanımsızdır.
Böyle bir fonksiyonun grafiği ve denklemi aşağıda verilmiştir.
Aşağıdaki limitler tanımsızdır.
\( \lim\limits_{x \to 0^-} \sin{\frac{1}{x}} \)
\( \lim\limits_{x \to 0^+} \sin{\frac{1}{x}} \)
\( \lim\limits_{x \to 0} \sin{\frac{1}{x}} \)
Tanımsız Olmayan Durumlar
Rasyonel fonksiyonlarda payın limitinin sıfır, paydanın limitinin sıfırdan farklı bir reel sayı olduğu durumlarda limit tanımlıdır ve değeri sıfırdır. Aşağıdaki örnekte elde ettiğimiz \( \frac{0}{5} = 0 \) limit değeri tanımlı bir değerdir ve diğer tanımsızlık ve belirsizlik durumları ile karıştırılmamalıdır.
\( \lim\limits_{x \to 3} \dfrac{x - 3}{x + 2} \) \( = \dfrac{3 - 3}{3 + 2} \) \( = \dfrac{0}{5} = 0 \)
\( f(x) = 5x^2 - 7x + k \)
\( g(x) = 8x^2 - 9x + 2 \) fonksiyonları verilmiştir.
\( \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{f(x)}{g(x)} = 2 \) olduğuna göre, \( k \) kaçtır?
Çözümü Göster\( f(2) = 5(2)^2 - 7(2) + k \)
\( = 6 + k \)
\( g(2) = 8(2)^2 - 9(2) + 2 \)
\( = 32 - 18 + 2 = 16 \)
Limiti alınan ifadenin paydası sıfırdan farklı ve limit değeri tanımlı olduğu için bir belirsizlik söz konusu değildir.
\( \dfrac{f(2)}{g(2)} = 2 \)
\( \dfrac{6 + k}{16} = 2 \)
\( k = 26 \) bulunur.
Aşağıdaki limitlerin sonucunu bulunuz.
(a) \( \lim\limits_{x \to 8} \dfrac{x^2 - 64}{x - 7} \)
(b) \( \lim\limits_{x \to 8} \dfrac{x^2 - 63}{x - 8} \)
(c) \( \lim\limits_{x \to 8} \dfrac{x^2 - 64}{x - 8} \)
Çözümü Göster(a) seçeneği:
\( \lim\limits_{x \to 8} \dfrac{x^2 - 64}{x - 7} \)
\( x = 8 \) değeri limit içindeki rasyonel fonksiyonun paydasını sıfır yapmadığı için fonksiyon bu noktada tanımlı ve süreklidir, dolayısıyla doğrudan yerine koyma yöntemi ile limiti hesaplayabiliriz.
\( \lim\limits_{x \to 8} \dfrac{x^2 - 64}{x - 7} = \dfrac{8^2 - 64}{8 - 7} \)
\( = \dfrac{0}{1} = 0 \)
(b) seçeneği:
\( \lim\limits_{x \to 8} \dfrac{x^2 - 63}{x - 8} \)
\( \lim\limits_{x \to 8} (x^2 - 63) = 8^2 - 63 = 1 \)
\( \lim\limits_{x \to 8} (x - 8) = 8 - 8 = 0 \)
\( \frac{1}{0} \) ifadesi bir belirsizlik değil tanımsızlık ifade eder.
Bu noktadaki soldan limiti hesaplayalım.
\( \lim\limits_{x \to 8^-} \dfrac{x^2 - 63}{x - 8} \)
\( = \dfrac{8^2 - 63}{8^- - 8} \)
\( = \dfrac{1}{0^-} = -\infty \)
Bu noktadaki sağdan limiti hesaplayalım.
\( \lim\limits_{x \to 8^+} \dfrac{x^2 - 63}{x - 8} \)
\( = \dfrac{8^2 - 63}{8^+ - 8} \)
\( = \dfrac{1}{0^+} = +\infty \)
İfadenin limiti soldan ve sağdan aynı reel sayı değere yaklaşmadığı için tanımlı değildir.
(c) seçeneği:
\( \lim\limits_{x \to 8} \dfrac{x^2 - 64}{x - 8} \)
\( \lim\limits_{x \to 8} (x^2 - 64) = 8^2 - 64 = 0 \)
\( \lim\limits_{x \to 8} (x - 8) = 8 - 8 = 0 \)
Buna göre verilen limit ifadesinde \( \frac{0}{0} \) belirsizliği vardır.
Belirsizliği gidermek için çarpanlara ayırma ve sadeleştirme yöntemini kullanalım (belirsizlik giderme yöntemlerini önümüzdeki bölümlerde inceleyeceğiz).
\( \lim\limits_{x \to 8} \dfrac{x^2 - 64}{x - 8} = \lim\limits_{x \to 8} \dfrac{(x - 8)(x + 8)}{x - 8} \)
\( = \lim\limits_{x \to 8} (x + 8) \)
Doğrusal fonksiyonlar tüm reel sayılarda sürekli olduğundan ifadenin limitini doğrudan yerine koyma yöntemiyle hesaplayabiliriz.
\( = 8 + 8 = 16 \)
\( \lim\limits_{x \to 16} \dfrac{4 + \sqrt{x}}{16 - x} \) limitinin sonucunu bulunuz.
Çözümü Göster\( \lim\limits_{x \to 16} (4 + \sqrt{x}) = 4 + \sqrt{16} = 8 \)
\( \lim\limits_{x \to 16} (16 - x) = 16 - 16 = 0 \)
\( \frac{8}{0} \) ifadesi bir belirsizlik değil tanımsızlık ifade eder.
Bu noktadaki soldan limiti hesaplayalım.
\( \lim\limits_{x \to 16^-} \dfrac{4 + \sqrt{x}}{16 - x} \)
\( = \dfrac{4 + \sqrt{16^-}}{16 - 16^-} \)
\( = \dfrac{8}{0^+} = +\infty \)
Bu noktadaki sağdan limiti hesaplayalım.
\( \lim\limits_{x \to 16^+} \dfrac{4 + \sqrt{x}}{16 - x} \)
\( = \dfrac{4 + \sqrt{16^+}}{16 - 16^+} \)
\( = \dfrac{8}{0^-} = -\infty \)
İfadenin limiti soldan ve sağdan aynı reel sayı değere yaklaşmadığı için tanımlı değildir.