Limitin Olmadığı Durumlar
Limit tanımına göre, bir fonksiyonun bir noktada iki taraflı sonlu limitinin var olabilmesi için, bu noktadaki soldan ve sağdan limitlerin var olması, sonlu olması ve birbirine eşit olması gerekir.
Bir noktadaki iki taraflı limit üç nedenle var olmayabilir.
Tek Taraflı Limitler Var, Eşit Değil
Bu durumda tek taraflı limitler vardır, ancak birbirinden farklıdır.
\( L_1, L_2 \in \mathbb{R} \),
\( \lim\limits_{x \to a^-} f(x) = L_1 \) ve
\( \lim\limits_{x \to a^+} f(x) = L_2 \) olmak üzere,
\( L_1 \ne L_2 \) ise \( \lim\limits_{x \to a} f(x) \) limiti yoktur.
Bu durum en sık parçalı fonksiyonlarda oluşur. Parçalı fonksiyonların farklı aralıklarda farklı fonksiyon tanımları olduğu için, geçiş noktalarının solunda ve sağında fonksiyonların yaklaştığı değerler farklı olabilir.
Ayrıca özel fonksiyonlar bölümünde gördüğümüz taban ve tavan fonksiyonlarında \( x \)'in tam sayı değerlerinde ve işaret fonksiyonunda \( x = 0 \) noktasında soldan ve sağdan limitler vardır, ancak birbirinden farklıdır, dolayısıyla bu noktalarda limit yoktur.
Tek Taraflı Limit Sonsuz
Bu durumda tek taraflı limitlerden en az biri pozitif ya da negatif sonsuzdur. Tek taraflı limitlerin ikisinin de pozitif ya da negatif sonsuz olması o noktadaki limiti var olduğu anlamına gelmez, limitin var olması için tek taraflı limitler birer reel sayı olmalı ve birbirine eşit olmalıdır.
\( \lim\limits_{x \to a^-} f(x) = \pm \infty \) veya
\( \lim\limits_{x \to a^+} f(x) = \pm \infty \) ise,
\( \lim\limits_{x \to a} f(x) \) limiti yoktur.
Bu durumun oluştuğu durumlardan biri rasyonel ifadelerde payın limitinin sıfırdan farklı, paydanın limitinin sıfır olduğu durumdur. Bu durum önümüzdeki bölümde inceleyeceğimiz belirsizlik durumlarından farklı olup, bu durumu gidermek için yapılabilecek ek bir işlem yoktur.
\( \lim\limits_{x \to a} \dfrac{f(x)}{g(x)} \) limitinde,
\( \lim\limits_{x \to a} f(x) = c, \quad c \ne 0 \) ve
\( \lim\limits_{x \to a} g(x) = 0 \) ise,
\( \lim\limits_{x \to a} \dfrac{f(x)}{g(x)} \) limiti yoktur.
\( \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{x + 2}{x - 2} \) limiti yoktur.
İSPATI GÖSTER
İspat için çelişkiyle ispat yöntemini kullanalım.
\( c, L \in \mathbb{R}, \quad c \ne 0 \)
\( \lim\limits_{x \to a} f(x) = c \)
\( \lim\limits_{x \to a} g(x) = 0 \) olmak üzere,
\( \lim\limits_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} \) limitinin bir reel sayı olarak var olduğunu varsayalım.
\( \lim\limits_{x \to a} \dfrac{f(x)}{g(x)} = L \)
\( f \) fonksiyonunu iki fonksiyonun çarpımı şeklinde yazalım.
\( \lim\limits_{x \to a} f(x) = \lim\limits_{x \to a} \left( \dfrac{f(x)}{g(x)} \cdot g(x) \right) = c \)
Limit çarpma kuralı gereği, bu ifadeyi limitlerinin var olduğunu bildiğimiz/varsaydığımız iki limit ifadesinin çarpımı şeklinde yazabiliriz.
\( \lim\limits_{x \to a} \dfrac{f(x)}{g(x)} \cdot \lim\limits_{x \to a} g(x) = c \)
Yukarıdaki limit değerlerini bu eşitlikte yerine koyalım.
\( L \cdot 0 = c \)
\( L \) reel sayısı ile 0'ın çarpımı sıfırdan farklı \( c \) reel sayısı olamayacağı için bir çelişki elde etmiş olduk.
Buna göre en başta yaptığımız varsayım doğru olamaz, dolayısıyla aşağıdaki limit yoktur.
\( \lim\limits_{x \to a} \dfrac{f(x)}{g(x)} \) limiti yoktur.
Bu durumun oluştuğu bir diğer durum tanjant ve kotanjant fonksiyonlarının tanımsız olduğu noktalardır.
\( a \in \{ \frac{\pi}{2} + k\pi \mid k \in \mathbb{Z} \} \) olmak üzere,
\( \lim\limits_{x \to a} \tan{x} \) limiti yoktur.
\( a \in \{ k\pi \mid k \in \mathbb{Z} \} \) olmak üzere,
\( \lim\limits_{x \to a} \cot{x} \) limiti yoktur.
Bu iki durumda fonksiyon grafiklerinde düşey asimptot oluşur. Aşağıda tanjant grafiğinde oluşan düşey asimptotlar gösterilmiştir (mavi kesikli çizgiler).
Tek Taraflı Limit Yok
Bazı fonksiyonlar limit noktasına yaklaşırken salınım (osilasyon) hareketi yapar ve limit değeri bir reel sayı olarak ifade edilemez. Bu tip fonksiyonların soldan ve sağdan limitleri yoktur, dolayısıyla bu noktadaki iki taraflı limit de yoktur.
Böyle bir fonksiyonun grafiği ve denklemi aşağıda verilmiştir.
Aşağıdaki limitler yoktur.
\( \lim\limits_{x \to 0^-} \sin{\dfrac{1}{x}} \)
\( \lim\limits_{x \to 0^+} \sin{\dfrac{1}{x}} \)
\( \lim\limits_{x \to 0} \sin{\dfrac{1}{x}} \)
Limitin Var Olduğu Durumlar
Rasyonel ifadelerde payın limitinin sıfır, paydanın limitinin sıfırdan farklı olduğu durumda limit vardır ve değeri sıfırdır. Aşağıdaki örnekte elde edilen \( \frac{0}{5} = 0 \) bir reel sayıdır ve diğer limitin olmama ya da belirsiz olma durumları ile karıştırılmamalıdır.
\( \lim\limits_{x \to 3} \dfrac{x - 3}{x + 2} = \dfrac{3 - 3}{3 + 2} = \dfrac{0}{5} = 0 \)
Aşağıdaki limitlerin sonucunu bulunuz.
(a) \( \lim\limits_{x \to 8} \dfrac{x^2 - 64}{x - 7} \)
(b) \( \lim\limits_{x \to 8} \dfrac{x^2 - 63}{x - 8} \)
(c) \( \lim\limits_{x \to 8} \dfrac{x^2 - 64}{x - 8} \)
Çözümü Göster(a) seçeneği:
\( \lim\limits_{x \to 8} \dfrac{x^2 - 64}{x - 7} \)
\( x = 8 \) değeri limit içindeki rasyonel fonksiyonun paydasını sıfır yapmadığı için fonksiyon bu noktada tanımlı ve süreklidir, dolayısıyla doğrudan yerine koyma yöntemi ile limiti hesaplayabiliriz.
\( \lim\limits_{x \to 8} \dfrac{x^2 - 64}{x - 7} = \dfrac{8^2 - 64}{8 - 7} \)
\( = \dfrac{0}{1} = 0 \)
(b) seçeneği:
\( \lim\limits_{x \to 8} \dfrac{x^2 - 63}{x - 8} \)
Pay ve paydadaki ifadelerin limitini bulalım.
\( \lim\limits_{x \to 8} (x^2 - 63) = 8^2 - 63 = 1 \)
\( \lim\limits_{x \to 8} (x - 8) = 8 - 8 = 0 \)
\( \frac{1}{0} \) ifadesi bir belirsizlik değil tanımsızlık ifade eder.
(c) seçeneği:
\( \lim\limits_{x \to 8} \dfrac{x^2 - 64}{x - 8} \)
Pay ve paydadaki ifadelerin limitini bulalım.
\( \lim\limits_{x \to 8} (x^2 - 64) = 8^2 - 64 = 0 \)
\( \lim\limits_{x \to 8} (x - 8) = 8 - 8 = 0 \)
Buna göre verilen limit ifadesinde \( \frac{0}{0} \) belirsizliği vardır.
Belirsizliği gidermek için çarpanlara ayırma ve sadeleştirme yöntemini kullanalım (belirsizlik giderme yöntemlerini önümüzdeki bölümlerde inceleyeceğiz).
\( \lim\limits_{x \to 8} \dfrac{x^2 - 64}{x - 8} = \lim\limits_{x \to 8} \dfrac{(x - 8)(x + 8)}{x - 8} \)
\( = \lim\limits_{x \to 8} (x + 8) \)
Doğrusal fonksiyonlar tüm reel sayılarda sürekli olduğundan ifadenin limitini doğrudan yerine koyma yöntemiyle hesaplayabiliriz.
\( = 8 + 8 = 16 \)
\( \lim\limits_{x \to 16} \dfrac{4 + \sqrt{x}}{16 - x} \) limitinin sonucunu bulunuz.
Çözümü GösterPay ve paydadaki ifadelerin limitini bulalım.
\( \lim\limits_{x \to 16} (4 + \sqrt{x}) = 4 + \sqrt{16} = 8 \)
\( \lim\limits_{x \to 16} (16 - x) = 16 - 16 = 0 \)
\( \frac{8}{0} \) ifadesi bir belirsizlik değil tanımsızlık ifade eder.
Bu noktadaki soldan limiti bulalım.
\( \lim\limits_{x \to 16^-} \dfrac{4 + \sqrt{x}}{16 - x} \)
\( x \to 16^- \) iken \( 4 + \sqrt{x} \to 8 \) ve \( 16 - x \to 0^+ \) olur.
\( \dfrac{(+)}{(0^+)} \to \infty \)
\( = \infty \)
Bu noktadaki sağdan limiti bulalım.
\( \lim\limits_{x \to 16^+} \dfrac{4 + \sqrt{x}}{16 - x} \)
\( x \to 16^+ \) iken \( 4 + \sqrt{x} \to 8 \) ve \( 16 - x \to 0^- \) olur.
\( \dfrac{(+)}{(0^-)} \to -\infty \)
\( = -\infty \)
Tek taraflı limitler farklı yönlerde sonsuz olduğu için bu noktada limit yoktur.