Kısmi İntegral Alma Yöntemi
Kısmi integral alma yöntemi, iki ya da daha fazla ifadenin çarpımı şeklinde yazılabilen fonksiyonların integralini bulmada kullanılır. Bu yöntemde amaç integrali alınamayan bir ifadeyi integrali alınabilir bir forma dönüştürmektir.
Kısmi integral alma yöntemi türev konusunda gördüğümüz çarpma kuralına dayanır.
\( f \) ve \( g \) fonksiyonları arasındaki türev çarpma kuralını yazalım.
\( (fg)' = f'g + fg' \)
Tarafların integralini alalım.
\( \displaystyle\int {(fg)'\ dx} = \displaystyle\int {f'g\ dx} + \displaystyle\int {fg'\ dx} \)
İntegral türevin ters işlemi olduğu için eşitliğin sol tarafı sadeleşir.
\( fg = \textcolor{blue}{\displaystyle\int {f'g\ dx}} + \textcolor{red}{\displaystyle\int {fg'\ dx}} \)
Buna göre, integrali alınamayan bir ifade kırmızı terime benzetilebiliyorsa ve bu doğrultuda (birinci çarpanın türevi, ikinci çarpanın integrali alınarak) oluşan mavi terimin integrali alınabiliyorsa kırmızı terimin integrali aşağıdaki formülle, kırmızı terim yerine mavi terimin integrali alınarak bulunabilir.
\( \textcolor{red}{\displaystyle\int {fg'\ dx}} = fg - \textcolor{blue}{\displaystyle\int {f'g\ dx}} \)
Yöntemin Adımları
Kısmi integral alma yöntemini bir örnek üzerinde gösterelim.
\( x \) ve \( e^x \) fonksiyonlarının çarpımından oluşan aşağıdaki ifadenin integralini alalım. Şu ana kadar gördüğümüz yöntemlerle bu integralin alınamayacağını söyleyebiliriz.
\( \displaystyle\int {xe^x\ dx} \)
Öncelikle fonksiyonlardan hangisinin \( f \), hangisinin \( g' \) olacağına karar verilir. Bu kararı verirken amaç, \( f \) fonksiyonunun türevi, \( g' \) fonksiyonunun integrali alındığında elde edilen \( \int {f'g\ dx} \) ifadesinin integralinin alınabilir formda olmasıdır. \( f \) ve \( g' \) seçimini aşağıdaki gibi yapalım.
\( f(x) = x \)
\( g'(x) = e^x \)
Bir sonraki adımda \( f \) fonksiyonunun türevi alınarak \( f' \) fonksiyonu, \( g' \) fonksiyonunun integrali alınarak \( g \) fonksiyonu bulunur. Yöntemin son adımında integral sabiti ekleneceği için bu adımda \( g \) fonksiyonunun sonuna \( C \) integral sabiti eklemeye gerek yoktur.
\( f'(x) = (x)' = 1 \)
\( g(x) = \displaystyle\int {e^x\ dx} = e^x \)
Son olarak tüm fonksiyonlar kısmi integral formülünde yerine konur ve integral işlemi yapılır.
\( \displaystyle\int {fg'\ dx} = fg - \displaystyle\int {f'g\ dx} \)
\( \displaystyle\int {xe^x\ dx} = xe^x - \displaystyle\int {1e^x\ dx} \)
\( = xe^x - e^x + C \)
Görülebileceği üzere, verilen ifadenin integralini diğer bir ifadenin integralini alarak bulmuş olduk.
Fonksiyonların Seçim Kriteri
Fonksiyonlardan hangisinin \( f \), hangisinin \( g' \) olarak seçileceği değerlendirilirken kullanılabilecek öncelik sırası aşağıdaki gibidir. Buna göre listede daha üstte olan fonksiyonlar \( f \), daha altta olan fonksiyonlar ise \( g' \) olmaya daha uygun fonksiyonlardır. Bu listenin bir öneri olup her zaman doğru sonuç vermeyebileceği akılda tutulmalıdır.
- Logaritma fonksiyonları (\( \log, \ln \))
- Ters trigonometrik fonksiyonlar
- Kuvvet fonksiyonları (\( x^n \))
- Trigonometrik fonksiyonlar
- Üstel fonksiyonlar (\( e^x, a^x \))
Kısmi integral formülü \( u \) ve \( v \) değişkenleri cinsinden aşağıdaki formda da kullanılmaktadır.
\( \displaystyle\int {u\ dv} = uv - \displaystyle\int {v\ du} \)
İSPATI GÖSTER
\( \displaystyle\int {fg'\ dx} = fg - \displaystyle\int {f'g\ dx} \)
Aşağıdaki şekilde değişken değiştirme uygulayalım.
\( u = f(x) \)
\( du = f'(x)\ dx \)
\( v = g(x) \)
\( dv = g'(x)\ dx \)
Bu değişkenleri formülde yerine koyalım.
\( \displaystyle\int {u\ dv} = uv - \displaystyle\int {v\ du} \)
Kısmi integral alma yöntemini bir örnek üzerinde gösterelim.
\( \displaystyle\int {x\cos(2x)\ dx} \) ifadesinin integralini bulalım.
\( u \) ve \( dv \) ifadelerini aşağıdaki gibi belirleyelim.
\( u = x, \quad dv = \cos(2x)\ dx \)
Buna göre \( du \) ve \( v \) aşağıdaki gibi olur.
\( du = dx, \quad v = \dfrac{1}{2}\sin(2x) \)
Değişkenleri kısmi integral formülünde yerine koyalım.
\( \displaystyle\int {u\ dv} = uv - \displaystyle\int {v\ du} \)
\( \displaystyle\int {x\cos(2x)\ dx} = x\dfrac{1}{2}\sin(2x) - \displaystyle\int {\dfrac{1}{2}\sin(2x)\ dx} \)
Son terimin integralini alalım.
\( = \dfrac{1}{2}x\sin(2x) + \dfrac{1}{4}\cos(2x) + C \)
Kısmi integral alma yöntemini ikinci bir örnek üzerinde gösterelim.
\( \displaystyle\int {\ln{x}\ dx} \) ifadesinin integralini bulalım.
\( u \) ve \( dv \) ifadelerini aşağıdaki gibi belirleyelim.
\( u = \ln{x}, \quad dv = dx \)
Buna göre \( du \) ve \( v \) aşağıdaki gibi olur.
\( du = \dfrac{1}{x}\ dx, \quad v = x \)
Değişkenleri kısmi integral formülünde yerine koyalım.
\( \displaystyle\int {u\ dv} = uv - \displaystyle\int {v\ du} \)
\( \displaystyle\int {\ln{x}\ dx} = x\ln{x} - \displaystyle\int {x \cdot \dfrac{1}{x}\ dx} \)
\( \displaystyle\int {\ln{x}\ dx} = x\ln{x} - \displaystyle\int {dx} \)
Son terimin integralini alalım.
\( = x\ln{x} - x + C \)
Belirli İntegralde Kısmi İntegral Alma
Kısmi integral alma yöntemi belirli integrale aşağıdaki şekilde uygulanabilir.
\( \displaystyle\int_a^b {u\ dv} = u\ v|_a^b - \displaystyle\int_a^b {v\ du} \)
Kısmi integral alma yöntemi ile belirli integral almayı bir örnek üzerinde gösterelim.
\( \displaystyle\int_1^2 {xe^x\ dx} \) ifadesinin değerini bulalım.
\( xe^x \) ifadesinin belirsiz integralini aşağıdaki şekilde bulmuştuk.
\( \displaystyle\int {xe^x\ dx} = xe^x - \displaystyle\int {e^x\ dx} \)
Bu formülü belirli integrale aşağıdaki şekilde uyarlayabiliriz.
\( \displaystyle\int_1^2 {xe^x\ dx} = xe^x|_1^2 - \displaystyle\int_1^2 {e^x\ dx} \)
\( = xe^x|_1^2 - e^x|_1^2 \)
\( = (2e^2 - 1e^1) - (e^2 - e^1) \)
\( = e^2 \)
Tekrarlı Kısmi İntegral Alma
Bazı ifadelerin integralini almak için kısmi integral alma yönteminin birden fazla kez uygulanması gerekebilir.
Derece İndirgeme
\( x^n \) çarpanı içeren aşağıdaki formdaki ifadelere kısmi integral yöntemi her uygulandığında \( x \)'in derecesi bir eksilir. Bu formdaki ifadelerde \( x^n \) çarpanının tamamen kaybolması için yöntemin \( n \) kez uygulanması gerekir.
\( \int {x^ne^x\ dx} \)
\( \int {x^n\sin{x}\ dx} \)
\( \int {x^n\cos{x}\ dx} \)
Yöntemin bu formdaki ifadelere uygulanmasına bir örnek verelim.
\( \displaystyle\int {x^2e^x\ dx} \) ifadesinin integralini bulalım.
\( u \) ve \( dv \) ifadelerini aşağıdaki gibi belirleyelim.
\( u = x^2, \quad dv = e^x\ dx \)
Buna göre \( du \) ve \( v \) aşağıdaki gibi olur.
\( du = 2x\ dx, \quad v = e^x \)
Değişkenleri kısmi integral formülünde yerine koyalım.
\( \displaystyle\int {u\ dv} = uv - \displaystyle\int {v\ du} \)
\( \displaystyle\int {x^2e^x\ dx} = x^2e^x - \displaystyle\int {2xe^x\ dx} \)
\( = x^2e^x - 2\textcolor{red}{\displaystyle\int {xe^x\ dx}} \)
Kırmızı terimde \( x \)'in derecesi bir eksilmiş olsa da, ifade hala integrali alınabilir bir formda değildir. Aynı yöntemi tekrar uygulayalım.
Bu integral ifadesinin yukarıda yine kısmi integral alma yöntemiyle bulduğumuz sonucunu kullanalım.
\( = x^2e^x - 2(\underbrace{xe^x - e^x + C_1}_{\int {xe^x\ dx}}) \)
\( = x^2e^x - 2xe^x + 2e^x + C \)
Tekrarla Aynı İfadeyi Elde Etme
Aşağıdaki formdaki diğer bazı ifadelere kısmi integral alma yöntemi tekrarlı uygulandığında ifade integrali alınabilir bir forma gelmez, ancak ikinci uygulamada cevabı aranan integral ifadesi tekrar elde edilir ve bu şekilde ifadenin integralini almaya gerek kalmadan ifade yalnız bırakılarak sonuç bulunur.
\( \int {e^x\cos{x}\ dx} \)
\( \int {e^x\sin{x}\ dx} \)
Yöntemin bu tip ifadelere uygulanmasına bir örnek verelim.
\( \displaystyle\int {e^x\cos{x}\ dx} \) ifadesinin integralini bulalım.
\( u \) ve \( dv \) ifadelerini aşağıdaki gibi belirleyelim.
\( u = \cos{x}, \quad dv = e^x\ dx \)
Buna göre \( du \) ve \( v \) aşağıdaki gibi olur.
\( du = -\sin{x}\ dx, \quad v = e^x \)
Değişkenleri kısmi integral formülünde yerine koyalım.
\( \displaystyle\int {u\ dv} = uv - \displaystyle\int {v\ du} \)
\( \displaystyle\int {e^x\cos{x}\ dx} = e^x\cos{x} - \displaystyle\int {e^x(-\sin{x})\ dx} \)
\( = e^x\cos{x} + \textcolor{red}{\displaystyle\int {e^x\sin{x}\ dx}} \)
İntegralini almamız gereken kırmızı terim hala integrali alınabilir bir formda değildir. Aynı yöntemi kırmızı terime tekrar uygulayalım.
\( u \) ve \( dv \) ifadelerini aşağıdaki gibi belirleyelim.
\( u = \sin{x}, \quad dv = e^x\ dx \)
Buna göre \( du \) ve \( v \) aşağıdaki gibi olur.
\( du = \cos{x}\ dx, \quad v = e^x \)
Değişkenleri kısmi integral formülünde yerine koyalım.
\( \displaystyle\int {u\ dv} = uv - \displaystyle\int {v\ du} \)
\( \displaystyle\int {e^x\sin{x}\ dx} = e^x\sin{x} - \displaystyle\int {e^x\cos{x}\ dx} \)
İntegralini bulmak istediğimiz orijinal ifade için elde ettiğimiz tüm formülü yazalım.
\( \displaystyle\int {e^x\cos{x}\ dx} = e^x\cos{x} + e^x\sin{x} - \displaystyle\int {e^x\cos{x}\ dx} \)
İntegralini bulmak istediğimiz ifadenin eşitliğin her iki tarafında da bulunduğunu görebiliriz. Bu iki ifadeyi tek tarafta toplayalım.
\( 2\displaystyle\int {e^x\cos{x}\ dx} = e^x\cos{x} + e^x\sin{x} \)
Tarafları ikiye böldüğümüzde istediğimiz sonucu integral işlemine gerek kalmadan bulmuş oluruz.
\( \displaystyle\int {e^x\cos{x}\ dx} = \dfrac{1}{2}(e^x\cos{x} + e^x\sin{x}) + C \)
Üç Çarpanlı Fonksiyonlar
Türev çarpma kuralının üç fonksiyonun çarpımına aşağıdaki şekilde uygulanabileceğini görmüştük.
Üç fonksiyon arasındaki türev çarpma kuralını yazalım.
\( (fgh)' = f'gh + fg'h + fgh' \)
Tarafların integralini alalım.
\( \displaystyle\int {(fgh)'\ dx} = \displaystyle\int {f'gh\ dx} + \displaystyle\int {fg'h\ dx} + \displaystyle\int {fgh'\ dx} \)
İntegral türevin ters işlemi olduğu için eşitliğin sol tarafı sadeleşir.
\( fgh = \textcolor{blue}{\displaystyle\int {f'gh\ dx}} + \textcolor{blue}{\displaystyle\int {fg'h\ dx}} + \textcolor{red}{\displaystyle\int {fgh'\ dx}} \)
Buna göre, integrali alınamayan üç çarpanlı bir ifade kırmızı terime benzetilebiliyorsa ve bu doğrultuda oluşan mavi terimlerin integrali alınabiliyorsa kırmızı terimin integrali aşağıdaki formülle, kırmızı terimin yerine mavi terimlerin integrali alınarak bulunabilir.
\( \textcolor{red}{\displaystyle\int {fgh'\ dx}} = fgh - \textcolor{blue}{\displaystyle\int {f'gh\ dx}} - \textcolor{blue}{\displaystyle\int {fg'h\ dx}} \)
\( \displaystyle\int (4 + 12x)e^{-2x}\ dx \) integralinin sonucu nedir?
Çözümü Gösterİfadenin integralini almak için kısmi integral alma yöntemini kullanalım.
\( u \) ve \( dv \) ifadelerini aşağıdaki gibi belirleyelim.
\( u = 4 + 12x \)
\( dv = e^{-2x}\ dx \)
Buna göre \( du \) ve \( v \) aşağıdaki gibi olur.
\( du = 12\ dx \)
\( v = -\dfrac{e^{-2x}}{2} \)
Değişkenleri kısmi integral formülünde yerine koyalım.
\( \displaystyle\int {u\ dv} = uv - \displaystyle\int {v\ du} \)
\( \displaystyle\int (4 + 12x)e^{-2x}\ dx = -(4 + 12x)\dfrac{e^{-2x}}{2} - \displaystyle\int -\dfrac{12e^{-2x}}{2}\ dx \)
\( = -(2 + 6x)e^{-2x} + 6 \displaystyle\int e^{-2x}\ dx \)
Son terimin integralini alalım.
\( = -(2 + 6x)e^{-2x} - 3e^{-2x} + C \)
\( = -(5 + 6x)e^{-2x} + C \)
\( \displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}} 2x\cos(2x)\ dx \) integralinin sonucu nedir?
Çözümü Gösterİfadenin integralini almak için kısmi integral alma yöntemini kullanalım.
\( u \) ve \( dv \) ifadelerini aşağıdaki gibi belirleyelim.
\( u = 2x \)
\( dv = \cos(2x)\ dx \)
Buna göre \( du \) ve \( v \) aşağıdaki gibi olur.
\( du = 2\ dx \)
\( v = \dfrac{\sin(2x)}{2} \)
Değişkenleri kısmi integral formülünde yerine koyalım.
\( \displaystyle\int_a^b {udv} = uv|_a^b - \displaystyle\int_a^b {v\ du} \)
\( \displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}} 2x\cos(2x)\ dx = \dfrac{2x\sin(2x)}{2}|_0^{\frac{\pi}{2}} - \displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}} \dfrac{2\sin(2x)}{2}\ dx \)
\( = x\sin(2x)|_0^{\frac{\pi}{2}} - \displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin(2x)\ dx \)
Son terimin integralini alalım.
\( = x\sin(2x)|_0^{\frac{\pi}{2}} + \dfrac{\cos(2x)}{2}|_0^{\frac{\pi}{2}} \)
Sınır değerlerini yerine koyarak belirli integral değerini bulalım.
\( = \dfrac{\pi}{2}\sin{\pi} - (0)\sin{0} + \left( \dfrac{\cos{\pi}}{2} - \dfrac{\cos{0}}{2} \right) \)
\( = 0 - 0 + \left( -\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{2} \right) \)
\( = -1 \) bulunur.
\( \displaystyle\int 9x^2\ln(10x)\ dx \) integralinin sonucu nedir?
Çözümü Gösterİfadenin integralini almak için kısmi integral alma yöntemini kullanalım.
\( u \) ve \( dv \) ifadelerini aşağıdaki gibi belirleyelim.
\( u = \ln(10x) \)
\( dv = 9x^2\ dx \)
Buna göre \( du \) ve \( v \) aşağıdaki gibi olur.
\( du = \dfrac{1}{x}\ dx \)
\( v = 3x^3 \)
Değişkenleri kısmi integral formülünde yerine koyalım.
\( \displaystyle\int {u\ dv} = uv - \displaystyle\int {v\ du} \)
\( \displaystyle\int 9x^2\ln(10x)\ dx = \ln(10x) \cdot 3x^3 - \displaystyle\int 3x^3 \cdot \dfrac{1}{x}\ dx \)
\( = 3x^3\ln(10x) - 3\displaystyle\int x^2\ dx \)
Son terimin integralini alalım.
\( = 3x^3\ln(10x) - x^3 + C \)
\( = x^3(3\ln(10x) - 1) + C \)
\( \displaystyle\int \dfrac{3\ln(2x)}{x^2}\ dx \) integralinin sonucu nedir?
Çözümü Gösterİfadenin integralini almak için kısmi integral alma yöntemini kullanalım.
\( u \) ve \( dv \) ifadelerini aşağıdaki gibi belirleyelim.
\( u = \ln(2x) \)
\( dv = \dfrac{3}{x^2}\ dx \)
Buna göre \( du \) ve \( v \) aşağıdaki gibi olur.
\( du = \dfrac{1}{x}\ dx \)
\( v = -\dfrac{3}{x} \)
Değişkenleri kısmi integral formülünde yerine koyalım.
\( \displaystyle\int {u\ dv} = uv - \displaystyle\int {v\ du} \)
\( \displaystyle\int \dfrac{3\ln(2x)}{x^2}\ dx = -\ln(2x) \cdot \dfrac{3}{x} - \displaystyle\int -\dfrac{3}{x} \cdot \dfrac{1}{x}\ dx \)
\( = -\dfrac{3\ln(2x)}{x} + 3 \displaystyle\int \dfrac{1}{x^2}\ dx \)
Son terimin integralini alalım.
\( = -\dfrac{3\ln(2x)}{x} - \dfrac{3}{x} + C \)
\( = \dfrac{-3\ln(2x) - 3}{x} + C \)
\( f(1) = 3, \quad f'(1) = 4 \)
\( f(2) = 1, \quad f'(2) = 2 \) olduğuna göre,
\( \displaystyle\int_1^2 xf''(x)\ dx \) integralinin sonucu nedir?
Çözümü Gösterİfadenin integralini almak için kısmi integral alma yöntemini kullanalım.
\( u \) ve \( dv \) ifadelerini aşağıdaki gibi belirleyelim.
\( u = x \)
\( dv = f''(x)\ dx \)
Buna göre \( du \) ve \( v \) aşağıdaki gibi olur.
\( du = dx \)
\( v = f'(x) \)
Değişkenleri kısmi integral formülünde yerine koyalım.
\( \displaystyle\int_a^b {u\ dv} = uv|_a^b - \displaystyle\int_a^b {v\ du} \)
\( \displaystyle\int_1^2 xf''(x)\ dx = (xf'(x))|_1^2 - \displaystyle\int_1^2 f'(x)\ dx \)
Son terimin integralini alalım.
\( = (xf'(x))|_1^2 - f(x)|_1^2 \)
Sınır değerlerini yerine koyarak belirli integral değerini bulalım.
\( = (2f'(2) - 1f'(1)) - (f(2) - f(1)) \)
Soruda verilen değerleri yerine koyalım.
\( = (2(2) - 1(4)) - (1 - 3) \)
\( = 2 \) bulunur.
\( \displaystyle\int 2x\csc^2{x}\ dx \) integralinin sonucu nedir?
Çözümü Gösterİfadenin integralini almak için kısmi integral alma yöntemini kullanalım.
\( u \) ve \( dv \) ifadelerini aşağıdaki gibi belirleyelim.
\( u = 2x \)
\( dv = \csc^2{x}\ dx \)
Buna göre \( du \) ve \( v \) aşağıdaki gibi olur.
\( du = 2\ dx \)
\( v = -\cot{x} \)
Değişkenleri kısmi integral formülünde yerine koyalım.
\( \displaystyle\int {u\ dv} = uv - \displaystyle\int {v\ du} \)
\( \displaystyle\int 2x\csc^2{x}\ dx = -2x\cot{x} - \displaystyle\int -2\cot{x}\ dx \)
Son terimin integralini alalım.
\( = -2x\cot{x} + 2\ln{\abs{\sin{x}}} + C \)
\( \displaystyle\int \ln{x^5}\ dx \) integralinin sonucu nedir?
Çözümü GösterLogaritma üs kuralını uygulayalım.
\( \displaystyle\int \ln{x^5}\ dx = \displaystyle\int 5\ln{x}\ dx \)
İfadenin integralini almak için kısmi integral alma yöntemini kullanalım.
\( u \) ve \( dv \) ifadelerini aşağıdaki gibi belirleyelim.
\( u = \ln{x} \)
\( dv = 5\ dx \)
Buna göre \( du \) ve \( v \) aşağıdaki gibi olur.
\( du = \dfrac{1}{x}\ dx \)
\( v = 5x \)
Değişkenleri kısmi integral formülünde yerine koyalım.
\( \displaystyle\int {u\ dv} = uv - \displaystyle\int {v\ du} \)
\( \displaystyle\int 5\ln{x}\ dx = \ln{x} \cdot 5x - \displaystyle\int 5x \cdot \dfrac{1}{x}\ dx \)
\( = 5x\ln{x} - \displaystyle\int 5\ dx \)
Son terimin integralini alalım.
\( = 5x\ln{x} - 5x + C \)
\( = 5x(\ln{x} - 1) + C \)
\( \displaystyle\int_1^2 {\log_2{x}\ dx} \) integralinin sonucu nedir?
Çözümü Gösterİfadenin integralini almak için kısmi integral alma yöntemini kullanalım.
\( u \) ve \( dv \) ifadelerini aşağıdaki gibi belirleyelim.
\( u = \log_2{x} \)
\( dv = dx \)
Buna göre \( du \) ve \( v \) aşağıdaki gibi olur.
\( du = \dfrac{1}{x\ln{2}}\ dx \)
\( v = x \)
Değişkenleri kısmi integral formülünde yerine koyalım.
\( \displaystyle\int_a^b {u\ dv} = uv|_a^b - \displaystyle\int_a^b {v\ du} \)
\( \displaystyle\int_1^2 {\log_2{x}\ dx} = (\log_2{x} \cdot x)|_1^2 - \displaystyle\int_1^2 {x \cdot \dfrac{1}{x\ln{2}}\ dx} \)
\( = \log_2{2} \cdot 2 - \log_2{1} \cdot 1 - \left( \dfrac{x}{\ln{2}} \right)|_1^2 \)
\( = 2 - 0 - \left( \dfrac{2}{\ln{2}} - \dfrac{1}{\ln{2}} \right) \)
\( = 2 - \dfrac{1}{\ln{2}} \)
\( = \dfrac{2\ln{2} - 1}{\ln{2}} \) bulunur.
\( \displaystyle\int \ln^2(2x)\ dx \) integralinin sonucu nedir?
Çözümü Gösterİfadenin integralini almak için kısmi integral alma yöntemini kullanalım.
\( u \) ve \( dv \) ifadelerini aşağıdaki gibi belirleyelim.
\( u = \ln^2(2x) \)
\( dv = dx \)
Buna göre \( du \) ve \( v \) aşağıdaki gibi olur.
\( du = \dfrac{2\ln(2x)}{x}\ dx \)
\( v = x \)
Değişkenleri kısmi integral formülünde yerine koyalım.
\( \displaystyle\int {u\ dv} = uv - \displaystyle\int {v\ du} \)
\( \displaystyle\int \ln^2(2x)\ dx = \ln^2(2x) \cdot x - \displaystyle\int x \cdot \dfrac{2\ln(2x)}{x}\ dx \)
\( = x\ln^2(2x) - 2\displaystyle\int \ln(2x)\ dx \)
Son terimin integralini almak için tekrar kısmi integral alma yöntemini kullanalım.
\( u \) ve \( dv \) ifadelerini aşağıdaki gibi belirleyelim.
\( u = \ln(2x) \)
\( dv = dx \)
Buna göre \( du \) ve \( v \) aşağıdaki gibi olur.
\( du = \dfrac{1}{x}\ dx \)
\( v = x \)
Değişkenleri kısmi integral formülünde yerine koyalım.
\( \displaystyle\int \ln(2x)\ dx = \ln(2x) \cdot x - \displaystyle\int x \cdot \dfrac{1}{x}\ dx \)
\( = x\ln(2x) - \displaystyle\int \ dx \)
Son terimin integralini alalım.
\( = x\ln(2x) - x + C \)
Bulduğumuz sonucu ilk kısmi integral sonucunda yerine koyalım.
\( = x\ln^2(2x) - 2(x\ln(2x) - x + C) \)
\( = x\ln^2(2x) - 2x\ln(2x) + 2x + C \)
\( \displaystyle\int \dfrac{2x\sin{x}}{\cos^3{x}}\ dx \) integralinin sonucu nedir?
Çözümü Gösterİfadenin integralini almak için kısmi integral alma yöntemini kullanalım.
\( u \) ve \( dv \) ifadelerini aşağıdaki gibi belirleyelim.
\( u = x \)
\( dv = \dfrac{2\sin{x}}{\cos^3{x}}\ dx \)
Buna göre \( du \) ve \( v \) aşağıdaki gibi olur.
\( du = dx \)
\( v = \dfrac{1}{\cos^2{x}} \)
Değişkenleri kısmi integral formülünde yerine koyalım.
\( \displaystyle\int {u\ dv} = uv - \displaystyle\int {v\ du} \)
\( \displaystyle\int \dfrac{2x\sin{x}}{\cos^3{x}}\ dx = \dfrac{x}{\cos^2{x}} - \displaystyle\int \dfrac{1}{\cos^2{x}}\ dx \)
Son terimin integralini alalım.
\( = \dfrac{x}{\cos^2{x}} - \displaystyle\int {\sec^2{x}}\ dx \)
\( = \dfrac{x}{\cos^2{x}} - \tan{x} + C \)
\( \displaystyle\int {(2x + e^x)^2\ dx} \) integralinin sonucu nedir?
Çözümü GösterÜslü ifadenin açılımını yazalım.
\( \displaystyle\int {(2x + e^x)^2\ dx} = \displaystyle\int (4x^2 + 4xe^x + e^{2x})\ dx \)
Terimlerin ayrı ayrı integralini alalım.
\( = \dfrac{4x^3}{3} + \underbrace{\displaystyle\int {4xe^x\ dx}}_{I} + \dfrac{e^{2x}}{2} + C \)
\( I \) integralini hesaplayalım.
\( I = \displaystyle\int {4xe^x\ dx} \)
İfadenin integralini almak için kısmi integral alma yöntemini kullanalım.
\( u \) ve \( dv \) ifadelerini aşağıdaki gibi belirleyelim.
\( u = 4x \)
\( dv = e^x\ dx \)
Buna göre \( du \) ve \( v \) aşağıdaki gibi olur.
\( du = 4\ dx \)
\( v = e^x \)
Değişkenleri kısmi integral formülünde yerine koyalım.
\( \displaystyle\int {u\ dv} = uv - \displaystyle\int {v\ du} \)
\( \displaystyle\int {4xe^x\ dx} = 4xe^x - \displaystyle\int {e^x4\ dx} \)
Son terimin integralini alalım.
\( = 4xe^x - 4e^x + C \)
\( I \) ifadesini yerine yazarak istenen integrali bulalım.
\( \displaystyle\int {(2x + e^x)^2\ dx} = \dfrac{4x^3}{3} + \underbrace{\displaystyle\int {4xe^x\ dx}}_\text{I} + \dfrac{e^{2x}}{2} + C \)
\( = \dfrac{4x^3}{3} + 4xe^x - 4e^x + \dfrac{e^{2x}}{2} + C \)
\( \displaystyle\int 2x\sin^2{x}\ dx \) integralinin sonucu nedir?
Çözümü GösterKosinüs iki kat açı formülünü kullanalım.
\( \cos(2x) = 1 - 2\sin^2{x} \)
\( \sin^2{x} = \dfrac{1 - \cos(2x)}{2} \)
\( \displaystyle\int 2x\sin^2{x}\ dx = \displaystyle\int \dfrac{2x(1 - \cos(2x))}{2}\ dx \)
\( = \displaystyle\int (x - x\cos(2x))\ dx \)
\( = \displaystyle\int x\ dx - \displaystyle\int x\cos(2x)\ dx \)
\( = \dfrac{x^2}{2} + C - \displaystyle\int x\cos(2x)\ dx \)
Son terimdeki integrali bulmak için kısmi integral alma yöntemini kullanalım.
\( u \) ve \( dv \) ifadelerini aşağıdaki gibi belirleyelim.
\( u = x \)
\( dv = \cos(2x)\ dx \)
Buna göre \( du \) ve \( v \) aşağıdaki gibi olur.
\( du = dx \)
\( v = \dfrac{\sin(2x)}{2} \)
Değişkenleri kısmi integral formülünde yerine koyalım.
\( \displaystyle\int {u\ dv} = uv - \displaystyle\int {v\ du} \)
\( \displaystyle\int x\cos(2x)\ dx = \dfrac{x\sin(2x)}{2} - \displaystyle\int \dfrac{\sin(2x)}{2}\ dx \)
Son terimin integralini alalım.
\( = \dfrac{x\sin(2x)}{2} + \dfrac{\cos(2x)}{4} + C \)
Bulduğumuz sonucu ilk kısmi integral sonucunda yerine koyalım.
\( \displaystyle\int 2x\sin^2{x}\ dx = \dfrac{x^2}{2} - \left( \dfrac{x\sin(2x)}{2} + \dfrac{\cos(2x)}{4} \right) + C \)
\( = \dfrac{x^2}{2} - \dfrac{x\sin(2x)}{2} - \dfrac{\cos(2x)}{4} + C \)
\( \displaystyle\int_{0}^{1} \dfrac{xe^x}{(x + 1)^2}dx \) integralinin sonucu nedir?
Çözümü Gösterİfadenin integralini almak için kısmi integral alma yöntemini kullanalım.
\( u \) ve \( dv \) ifadelerini aşağıdaki gibi belirleyelim.
\( u = xe^x \)
\( dv = \dfrac{1}{(x + 1)^2}\ dx \)
Buna göre \( du \) ve \( v \) aşağıdaki gibi olur.
\( du = (e^x + xe^x)\ dx = (x + 1)e^x\ dx \)
\( v = -\dfrac{1}{x + 1} \)
Değişkenleri kısmi integral formülünde yerine koyalım.
\( \displaystyle\int_a^b {u\ dv} = uv|_a^b - \displaystyle\int_a^b {v\ du} \)
\( \displaystyle\int_0^1 \dfrac{xe^x}{(x + 1)^2}\ dx = \left( -\dfrac{xe^x}{x + 1} \right)|_0^1 - \displaystyle\int_0^1 -\dfrac{1}{x + 1} \cdot (x + 1) \cdot e^x\ dx \)
\( = \left( -\dfrac{xe^x}{x + 1} \right)|_0^1 + \displaystyle\int_0^1 e^x\ dx \)
\( = \left( -\dfrac{xe^x}{x + 1} \right)|_0^1 + e^x|_0^1 \)
Sınır değerlerini yerine koyarak belirli integral değerini bulalım.
\( = \left( -\dfrac{1e^1}{1 + 1} + \dfrac{0e^0}{1 + 0} \right) + \left( e^1 - e^0 \right) \)
\( = -\dfrac{e}{2} + 0 + e - 1 \)
\( = \dfrac{e}{2} - 1 \) bulunur.
\( \displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{4}} \dfrac{x}{\cos^2{x}} \ dx \) integralinin sonucu nedir?
Çözümü Gösterİfadenin integralini almak için kısmi integral alma yöntemini kullanalım.
\( u \) ve \( dv \) ifadelerini aşağıdaki gibi belirleyelim.
\( u = x \)
\( dv = \dfrac{1}{\cos^2{x}}\ dx = \sec^2{x}\ dx \)
Buna göre \( du \) ve \( v \) aşağıdaki gibi olur.
\( du = dx \)
\( v = \tan{x} \)
Değişkenleri kısmı integral formülünde yerine koyalım.
\( \displaystyle\int {u\ dv} = uv - \displaystyle\int {v\ du} \)
\( \displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{4}} {\dfrac{x}{\cos^2{x}}}\ dx = (x\tan{x})|_0^{\frac{\pi}{4}} - \displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{4}} {\tan{x}}\ dx \)
\( = \left( \dfrac{\pi}{4}\tan{\dfrac{\pi}{4}} - (0)\tan{0} \right) - \displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{4}} {\tan{x}}\ dx \)
\( = \dfrac{\pi}{4} - \displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{4}} {\tan{x}}\ dx \)
Son terimin integralini alalım.
\( = \dfrac{\pi}{4} - (\ln{\abs{\sec{x}}})|_0^{\frac{\pi}{4}} \)
\( = \dfrac{\pi}{4} - \left( \ln{\abs{\sec{\dfrac{\pi}{4}}}} - \ln{\abs{\sec{0}}} \right) \)
\( = \dfrac{\pi}{4} - (\ln{\sqrt{2}} - \ln{1}) \)
\( = \dfrac{\pi}{4} - (\ln{2^{\frac{1}{2}}} - 0) \)
\( = \dfrac{\pi}{4} - \dfrac{\ln{2}}{2} \)
\( = \dfrac{\pi - 2\ln{2}}{4} \) bulunur.
\( f'' \) sürekli bir fonksiyon olmak üzere,
\( f'(2) = 6, \quad f(2) = 4 \)
\( \displaystyle\int_0^2 {f(x) \ dx} = 7 \) olduğuna göre,
\( \displaystyle\int_0^2 {x^2f''(x) \ dx} \) integralinin sonucu nedir?
Çözümü Gösterİfadenin integralini almak için kısmi integral alma yöntemini kullanalım.
\( u \) ve \( dv \) ifadelerini aşağıdaki gibi belirleyelim.
\( u = x^2 \)
\( dv = f''(x)\ dx \)
Buna göre \( du \) ve \( v \) aşağıdaki gibi olur.
\( du = 2x\ dx \)
\( v = f'(x) \)
Değişkenleri kısmi integral formülünde yerine koyalım.
\( \displaystyle\int {u\ dv} = uv - \displaystyle\int {v\ du} \)
\( \displaystyle\int_0^2 {x^2f''(x) \ dx} = [x^2f'(x)]_0^2 - \displaystyle\int_0^2 {2xf'(x) \ dx} \)
\( = (2^2f'(2) - 0^2f'(0)) - 2\displaystyle\int_0^2 {xf'(x) \ dx} \)
\( = 24 - 2\displaystyle\int_0^2 {xf'(x) \ dx} \)
İntegrali hesaplamak için tekrar kısmi integral alma yöntemini kullanalım.
\( u \) ve \( dv \) ifadelerini aşağıdaki gibi belirleyelim.
\( u = x \)
\( dv = f'(x)\ dx \)
Buna göre \( du \) ve \( v \) aşağıdaki gibi olur.
\( du = dx \)
\( v = f(x) \)
Değişkenleri kısmi integral formülünde yerine koyalım.
\( \displaystyle\int {u\ dv} = uv - \displaystyle\int {v\ du} \)
\( = 24 - 2([xf(x)]_0^2 - \displaystyle\int_0^2 {f(x)\ dx}) \)
\( = 24 - 2(2f(2) - 0f(0) - \displaystyle\int_0^2 {f(x)\ dx}) \)
\( f(2) = 4 \) ve \( \displaystyle\int_0^2 {f(x)\ dx} = 7 \) olarak veriliyor.
\( = 24 - 2(2(4) - 0 - 7) \)
\( = 22 \) bulunur.
\( \displaystyle\int \sin{\sqrt{x}}\cos{\sqrt{x}}\ dx \) integralinin sonucu nedir?
Çözümü Göster\( \displaystyle\int \sin{\sqrt{x}}\cos{\sqrt{x}}\ dx \)
Sinüs iki kat açı formülünü kullanalım.
\( = \displaystyle\int \dfrac{\sin(2\sqrt{x})}{2}\ dx \)
Aşağıdaki şekilde değişken değiştirme uygulayalım.
\( t = \sqrt{x} \)
\( dt = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}\ dx \)
\( \Longrightarrow 2t\ dt = dx \)
Verilen ifadede bu değişkenleri yerine koyalım.
\( = \displaystyle\int t\sin(2t)\ dt \)
Bu ifadenin integralini almak için kısmi integral yöntemini kullanalım.
\( u \) ve \( dv \) ifadelerini aşağıdaki gibi belirleyelim.
\( u = t \)
\( dv = \sin(2t)\ dt \)
Buna göre \( du \) ve \( v \) aşağıdaki gibi olur.
\( du = dt \)
\( v = -\dfrac{\cos(2t)}{2} \)
Değişkenleri kısmi integral formülünde yerine koyalım.
\( \displaystyle\int {u\ dv} = uv - \displaystyle\int {v\ du} \)
\( \displaystyle\int {t\sin(2t)\ dt} = -\dfrac{t\cos(2t)}{2} - \displaystyle\int {-\dfrac{\cos(2t)}{2}\ dt} \)
Son terimin integralini alalım.
\( = -\dfrac{t\cos(2t)}{2} + \dfrac{\sin(2t)}{4} + C \)
\( t \) değişkenlerinin \( x \) karşılıklarını yazalım.
\( = -\dfrac{\sqrt{x}\cos(2\sqrt{x})}{2} + \dfrac{\sin(2\sqrt{x})}{4} + C \)
\( \displaystyle\int \arctan{x}\ dx \) integralinin sonucu nedir?
Çözümü Gösterİfadenin integralini almak için kısmi integral alma yöntemini kullanalım.
\( u \) ve \( dv \) ifadelerini aşağıdaki gibi belirleyelim.
\( u = \arctan{x} \)
\( dv = dx \)
Buna göre \( du \) ve \( v \) aşağıdaki gibi olur.
\( du = \dfrac{1}{1 + x^2}\ dx \)
\( v = x \)
Değişkenleri kısmi integral formülünde yerine koyalım.
\( \displaystyle\int {u\ dv} = uv - \displaystyle\int {v\ du} \)
\( \displaystyle\int \arctan{x}\ dx = x\arctan{x} - \displaystyle\int \dfrac{x}{1 + x^2}\ dx \)
Son terimdeki integrali bulmak için aşağıdaki şekilde değişken değiştirme uygulayalım.
\( t = 1 + x^2 \)
\( dt = 2x\ dx \)
\( \Longrightarrow x\ dx = \dfrac{1}{2}\ dt \)
\( x \) değişkenlerinin \( t \) karşılıklarını yazalım.
\( = x\arctan{x} - \displaystyle\int \dfrac{dt}{2t} \)
İfadenin integralini alalım.
\( = x\arctan{x} - \dfrac{1}{2}\ln{\abs{t}} + C \)
\( t \) değişkenlerinin \( x \) karşılıklarını yazalım.
\( = x\arctan{x} - \dfrac{1}{2}\ln{\abs{1 + x^2}} + C \)
\( 1 + x^2 \) ifadesi her zaman pozitiftir.
\( = x\arctan{x} - \dfrac{1}{2}\ln(1 + x^2) + C \)
\( \displaystyle\int {\tan^2{x}\sec{x}\ dx} \) integralinin sonucu nedir?
Çözümü GösterPisagor özdeşliğini kullanalım.
\( \tan^2{x} = \sec^2{x} - 1 \)
\( \displaystyle\int {\tan^2{x}\sec{x}\ dx} = \displaystyle\int {(\sec^2{x} - 1)\sec{x}\ dx} \)
\( = \displaystyle\int (\sec^3{x} - \sec{x})\ dx \)
\( = \displaystyle\int {\sec^3{x}\ dx} - \displaystyle\int {\sec{x}\ dx} \)
İkinci terimin integralini alalım.
\( = \displaystyle\int {\sec^3{x}\ dx} - \ln{\abs{\sec{x} + \tan{x}}} + C \)
Birinci terime \( I \) diyelim.
\( I = \displaystyle\int {\sec^3{x}\ dx} \)
Sekant fonksiyonunun bir kuvvetini ayıralım.
\( = \displaystyle\int {\sec{x}\sec^2{x}\ dx} \)
İfadenin integralini almak için kısmi integral alma yöntemini kullanalım.
\( u \) ve \( dv \) ifadelerini aşağıdaki gibi belirleyelim.
\( u = \sec{x} \)
\( dv = \sec^2{x}\ dx \)
Buna göre \( du \) ve \( v \) aşağıdaki gibi olur.
\( du = \sec{x}\tan{x}\ dx \)
\( v = \tan{x} \)
Değişkenleri kısmi integral formülünde yerine koyalım.
\( \displaystyle\int {u\ dv} = uv - \displaystyle\int {v\ du} \)
\( I = \sec{x}\tan{x} - \displaystyle\int {\tan{x}\sec{x}\tan{x}\ dx} \)
\( = \sec{x}\tan{x} - \displaystyle\int {\tan^2{x}\sec{x}\ dx} \)
Bu ifadeyi soruda değeri istenen ifadede yerine koyalım.
\( \displaystyle\int {\tan^2{x}\sec{x}\ dx} = I - \ln{\abs{\sec{x} + \tan{x}}} + C \)
\( \displaystyle\int {\tan^2{x}\sec{x}\ dx} = \sec{x}\tan{x} - \displaystyle\int {\tan^2{x}\sec{x}\ dx} - \ln{\abs{\sec{x} + \tan{x}}} + C \)
İkinci terim soruda değeri istenen ifadeye eşittir.
\( 2\displaystyle\int {\tan^2{x}\sec{x}\ dx} = \sec{x}\tan{x} - \ln{\abs{\sec{x} + \tan{x}}} + C \)
Eşitliğin her iki tarafını 2'ye bölelim.
\( \displaystyle\int {\tan^2{x}\sec{x}\ dx} = \dfrac{1}{2}\sec{x}\tan{x} - \dfrac{1}{2}\ln{\abs{\tan{x} + \sec{x}}} + C \)
\( \displaystyle\int_0^2 {e^{\sqrt{4x + 1}}\ dx} \) integralinin sonucu nedir?
Çözümü GösterAşağıdaki şekilde değişken değiştirme uygulayalım.
\( t = \sqrt{4x + 1} \)
\( dt = \dfrac{2\ dx}{\sqrt{4x + 1}} \)
\( \Longrightarrow dx = \dfrac{\sqrt{4x + 1}\ dt}{2} \)
\( \Longrightarrow dx = \dfrac{t\ dt}{2} \)
Belirli integralin \( t \) için sınır değerlerini bulalım.
\( t(0) = \sqrt{4(0) + 1} = 1 \)
\( t(2) = \sqrt{4(2) + 1} = 3 \)
Verilen ifadede bu değişkenleri yerine koyalım.
\( \displaystyle\int_0^2 {e^{\sqrt{4x + 1}}\ dx} = \displaystyle\int_{1}^{3} {e^t \cdot\ \dfrac{t\ dt}{2}} \)
\( = \dfrac{1}{2}\displaystyle\int_{1}^{3} {te^t\ dt} \)
İfadenin integralini almak için kısmi integral alma yöntemini kullanalım.
\( u \) ve \( dv \) ifadelerini aşağıdaki gibi belirleyelim.
\( u = t \)
\( dv = e^t\ dt \)
Buna göre \( du \) ve \( v \) aşağıdaki gibi olur.
\( du = dt \)
\( v = e^t \)
Değişkenleri kısmi integral formülünde yerine koyalım.
\( \displaystyle\int_a^b {u\ dv} = uv - \displaystyle\int_a^b {v\ du} \)
\( = \dfrac{1}{2}\displaystyle\int_{1}^{3} {te^t\ dt} = \dfrac{1}{2}(te^t)|_1^3 - \dfrac{1}{2}\displaystyle\int_1^3 {e^t\ dt} \)
\( = \dfrac{3e^3 - e}{2} - \dfrac{1}{2}(e^t)|_1^3 \)
\( = \dfrac{3e^3 - e}{2} - \dfrac{e^3 - e}{2} \)
\( = \dfrac{3e^3 - e - e^3 + e}{2} \)
\( = e^3 \) bulunur.