Parçalı Fonksiyonların İntegrali
Konu tekrarı için: Parçalı Fonksiyonlar
Tanım kümesinin farklı aralıklarında farklı tanımlara sahip olan fonksiyonlara parçalı fonksiyon denir. Bir parçalı fonksiyonun farklı tanıma sahip olduğu alt aralıklara fonksiyonun dalları ya da parçaları, fonksiyon tanımının değiştiği noktalara fonksiyonun geçiş noktaları denir.
Bir parçalı fonksiyonun bir ya da birden fazla geçiş noktası içeren bir aralıkta belirli integrali tek bir integral işlemiyle alınamaz. Buna göre bir parçalı fonksiyonun belirli integralini alırken izlenmesi gereken yöntem aşağıdaki gibidir.
- İntegral aralığı parçalı fonksiyonun bir geçiş noktasını içeriyorsa integral işlemi her biri fonksiyonun tek bir parçasına karşılık gelecek şekilde birden fazla integralin toplamı şeklinde yazılır.
- İntegral aralığı parçalı fonksiyonun bir geçiş noktasını içermiyorsa integral bu aralığın karşılık geldiği tanım kullanılarak tek adımda alınır.
Bir parçalı fonksiyonun bir geçiş noktasını içeren bir aralıkta integralinin alınabilmesi için fonksiyonun bu noktada limitli, sürekli ya da türevlenebilir olma zorunluluğu yoktur.
Bir parçalı fonksiyonun belirli integralini bir örnek üzerinden gösterelim.
\( f(x) = \begin{cases} -x^2 + 2x + 10 & x \lt 4 \\ x - 2 & x \ge 4 \end{cases} \) olduğuna göre,
\( \displaystyle\int_{-2}^8 f(x)\ dx \) integralinin sonucunu bulalım.
Verilen parçalı fonksiyonun geçiş noktası \( x = 4 \) noktasıdır.
Bu geçiş noktası integral sınır değerleri arasında kaldığı için integral işlemini her biri fonksiyonun tek bir parçasına karşılık gelecek şekilde birden fazla integralin toplamı şeklinde yazalım.
\( \displaystyle\int_{-2}^8 f(x)\ dx = \displaystyle\int_{-2}^4 f(x)\ dx + \displaystyle\int_4^8 f(x)\ dx \)
\( f(x) \) yerine her aralıkta geçerli olan fonksiyon tanımını yazalım.
\( = \displaystyle\int_{-2}^4 (-x^2 + 2x + 10)\ dx + \displaystyle\int_4^8 (x - 2)\ dx \)
İfadenin integralini alalım.
\( = \left( -\dfrac{x^3}{3} + x^2 + 10x \right)|_{-2}^4 + \left( \dfrac{x^2}{2} - 2x \right)|_4^8 \)
Sınır değerlerini yerine koyarak belirli integral değerini bulalım.
\( = \left[ \left( -\dfrac{4^3}{3} + 4^2 + 10(4) \right) - \left( -\dfrac{(-2)^3}{3} + (-2)^2 + 10(-2) \right) \right] + \left[ \left( \dfrac{8^2}{2} - 2(8) \right) - \left( \dfrac{4^2}{2} - 2(4) \right) \right] \)
\( = \left( \dfrac{104}{3} + \dfrac{40}{3} \right) - \left( 16 - 0 \right) \)
\( = 48 - 16 = 32 \) bulunur.
Parçalı fonksiyonun grafiği ve her aralıkta belirli integralin karşılık geldiği alanlar aşağıdaki şekilde gösterilmiştir.
İkiden fazla aralıktan oluşan parçalı fonksiyonların belirli integrali de benzer bir yöntemle hesaplanabilir.
\( f(x) = \begin{cases} -2 & x \lt 1 \\ x + 1 & 1 \le x \lt 3 \\ 8 - 2x & x \ge 3 \end{cases} \) olduğuna göre,
\( \displaystyle\int_{-3}^6 f(x)\ dx \) integralinin sonucunu bulalım.
Verilen parçalı fonksiyonun geçiş noktaları \( x = 1 \) ve \( x = 3 \) noktalarıdır.
Bu geçiş noktası integral sınır değerleri arasında kaldığı için integral işlemini her biri fonksiyonun tek bir parçasına karşılık gelecek şekilde birden fazla integralin toplamı şeklinde yazalım.
\( \displaystyle\int_{-3}^6 f(x)\ dx = \displaystyle\int_{-3}^1 f(x)\ dx + \displaystyle\int_1^3 f(x)\ dx + \displaystyle\int_3^6 f(x)\ dx \)
\( f(x) \) yerine her aralıkta geçerli olan fonksiyon tanımını yazalım.
\( = \displaystyle\int_{-3}^1 -2\ dx + \displaystyle\int_1^3 (x + 1)\ dx + \displaystyle\int_3^6 (8 - 2x)\ dx \)
İfadenin integralini alalım.
\( = (-2x)|_{-3}^1 + \left( \dfrac{x^2}{2} + x \right)|_1^3 + (8x - x^2)_3^6 \)
Sınır değerlerini yerine koyarak belirli integral değerini bulalım.
\( = (-2(1) + 2(-3)) + \left( \left( \dfrac{3^2}{2} + 3 \right) - \left( \dfrac{1^2}{2} + 1 \right) \right) + ((8(6) - 6^2) - (8(3) - 3^2)) \)
\( = -8 + 6 + (-3) \)
\( = -5 \) bulunur.
Parçalı fonksiyonun grafiği ve her aralıkta belirli integralin karşılık geldiği alanlar aşağıdaki şekilde gösterilmiştir.
