Eğri ile y-Ekseni Arasında Kalan Alan
Önceki bölümde bir eğri ile \( x \) ekseni arasında kalan alanı (\( A_1 \) alanı) hesaplama yöntemini inceledik. Eğri ile \( y \) ekseni arasında kalan alan da (\( A_2 \) alanı) yine belirli integral kullanılarak hesaplanabilir.
Bir eğri ile \( y \) ekseni arasında kalan alan hesaplanırken \( x \) ekseninden farklı olarak aşağıdaki konulara dikkat edilmelidir.
- \( x \) değişkeni yalnız bırakılarak fonksiyon \( y \) değişkeni cinsinden yazılır ve bu formdaki fonksiyonun integrali alınır.
- İntegral \( x \) değişkenine göre değil \( y \) değişkenine göre alınır.
- İntegral aralığı sınır noktalarının \( y \) ekseni üzerindeki izdüşümleri kullanılarak belirlenir.
Bu noktalar yukarıdaki grafikteki örnek kullanılarak aşağıdaki tabloda özetlenmiştir.
| \( x \) Ekseni ile Alan | \( y \) Ekseni ile Alan | |
|---|---|---|
| Fonksiyon | \( y = f(x) \) | \( x = f(y) \) |
| İntegral değişkeni | \( x/dx \) | \( y/dy \) |
| İntegral aralığı | \( x \in [a, b] \) | \( y \in [c, d] \) |
| İntegral ifadesi | \( A_1 = \displaystyle\int_a^b {f(x)\ dx} \) | \( A_2 = \displaystyle\int_c^d {f(y)\ dy} \) |
Önceki bölümde paylaştığımız bazı kurallar aşağıdaki şekilde özetlenebilir.
- Birinci grafik: Fonksiyon değerinin pozitif ya da sıfır olduğu (\( f(y) \ge 0 \)), yani grafiğin \( x \) ekseninin sağında kaldığı bir aralıkta belirli integral pozitif işaretlidir.
- İkinci grafik: Fonksiyon değerinin negatif ya da sıfır olduğu (\( g(y) \le 0 \)), yani grafiğin \( x \) ekseninin solunda kaldığı bir aralıkta belirli integral negatif işaretlidir.
- Üçüncü grafik: Fonksiyonun hem pozitif hem negatif değer aldığı bir aralıktaki toplam alanı bulmak için fonksiyonun \( y \) ekseninin sağında kaldığı aralıklardaki belirli integral değerlerinden solunda kaldığı aralıklardaki belirli integral değerleri çıkarılır.
\( A_1 = \displaystyle\int_a^b {f(y)\ dy} \)
\( A_2 = -\displaystyle\int_a^b {g(y)\ dy} \)
\( A = A_3 + A_4 + A_5 \)
\( = \displaystyle\int_a^b {h(y)\ dy} \textcolor{red}{- \displaystyle\int_b^c {h(y)\ dy}} + \displaystyle\int_c^d {h(y)\ dy} \)
Bir fonksiyonun grafiği ile \( y \) ekseni ile arasında kalan bölgenin alanını hesaplamayı bir örnek üzerinde gösterelim.
\( f(x) = \dfrac{1}{2}(x + 2)^2 + 1 \)
Yukarıda denklemi ve grafiği verilen fonksiyonun grafiğindeki taralı bölgenin alanını bulalım.
Taralı alan \( y \in [1, 7] \) aralığında fonksiyon grafiği ile \( y \) ekseni arasında kalan alana karşılık gelmektedir.
\( x \) değişkenini yalnız bırakarak fonksiyonu \( y \) değişkeni cinsinden yazalım.
\( y = \dfrac{1}{2}(x + 2)^2 + 1 \)
\( 2y - 2 = (x + 2)^2 \)
\( x = \pm\sqrt{2y - 2} - 2 \)
Bu denklemin \( x = +\sqrt{2y - 2} - 2 \) formu parabolün tepe noktasının sağında kalan kısmını, \( x = -\sqrt{2y - 2} - 2 \) formu ise solunda kalan kısmını temsil eder.
Alan hesaplamasını tepe noktasının sağında kalan kısmını kullanarak yapacağımız için birinci denklemi kullanmamız gerekir.
\( x = \sqrt{2y - 2} - 2 \)
Taralı alan fonksiyonun \( y \) ekseninin sağında ve solunda kaldığı bölgelerden oluştuğu için aralığı fonksiyonun \( y \) eksenini kestiği noktalara göre alt aralıklara bölmemiz ve her aralık için ayrı integral hesaplamamız gerekir.
Fonksiyon \( y \in [1, 3] \) aralığında \( y \) ekseninin solunda kaldığı için alan bu aralıktaki integral değerinin negatifine eşittir.
\( A_1 = -\displaystyle\int_1^3 {(\sqrt{2y - 2} - 2)\ dy} \)
\( = -\left( \dfrac{\sqrt{(2y - 2)^3}}{3} - 2y \right)|_1^3 \)
\( = -\left[ \left( \dfrac{\sqrt{(2(3) - 2)^3}}{3} - 2(3) \right) - \left( \dfrac{\sqrt{(2(1) - 2)^3}}{3} - 2(1) \right) \right] \)
\( = -\left( -\dfrac{10}{3} - (-2) \right) = \dfrac{4}{3} \)
Fonksiyon \( y \in [3, 7] \) aralığında \( y \) ekseninin sağında kaldığı için alan bu aralıktaki integral değerine eşittir.
\( A_2 = \displaystyle\int_3^7 {(\sqrt{2y - 2} - 2)\ dy} \)
\( = \left( \dfrac{\sqrt{(2y - 2)^3}}{3} - 2y \right)|_3^7 \)
\( = \left( \dfrac{\sqrt{(2(7) - 2)^3}}{3} - 2(7) \right) - \left( \dfrac{\sqrt{(2(3) - 2)^3}}{3} - 2(3) \right) \)
\( = (8\sqrt{3} - 14) - \left( -\dfrac{10}{3} \right) \)
\( = \dfrac{24\sqrt{3} - 32}{3} \)
Taralı bölgenin alanı bu iki bölgenin alanları toplamına eşittir.
\( A = A_1 + A_2 \)
\( = \dfrac{4}{3} + \left( 8\sqrt{3} - \dfrac{32}{3} \right) \)
\( = \dfrac{24\sqrt{3} - 28}{3} \)
\( f(x) = x^3 \) fonksiyonunun grafiği ile sırasıyla \( x \) ve \( y \) eksenleri arasında kalan bölgelerin alanları toplamının, bu iki bölgenin oluşturduğu dikdörtgenin alanına eşit olduğunu gösterelim.
Fonksiyon \( x \in [0, 2] \) aralığında \( x \) ekseninin üstünde kaldığı için alan bu aralıktaki integral değerine eşittir.
\( A_1 = \displaystyle\int_0^2 {x^3\ dx} \)
\( = \left( \dfrac{1}{4}x^4 \right)|_0^2 \)
\( = \dfrac{1}{4} \cdot 2^4 - \dfrac{1}{4} \cdot 0^4 = 4 \)
Grafik ile \( y \) ekseni arasında kalan alanı bulmak için fonksiyonu \( y \) değişkeni cinsinden yazalım.
\( x = \sqrt[3]{y} \)
Fonksiyon \( y \in [0, 8] \) aralığında \( y \) ekseninin sağında kaldığı için alan bu aralıktaki integral değerine eşittir.
\( A_2 = \displaystyle\int_0^8 {\sqrt[3]{y}\ dy} \)
\( = \left( \dfrac{3}{4}\sqrt[3]{y^4} \right)|_0^8 \)
\( = \left( \dfrac{3}{4}\sqrt[3]{8^4} \right) - \left( \dfrac{3}{4}\sqrt[3]{0^4} \right) = 12 \)
Buna göre taralı iki alanın toplamı \( 4 + 12 = 16 \) olarak bulunur, bu da kenar uzunlukları 2 ve 8 birim olan dikdörtgenin alanına eşittir.
Yukarıdaki şekildeki taralı bölgenin alanı nedir?
Çözümü GösterFonksiyonun apsis değerleri verilen üç noktasının ordinat değerlerini bulalım.
\( f(-1) = \sqrt[3]{8(-1)} = -2 \)
\( f(0) = \sqrt[3]{8(0)} = 0 \)
\( f(8) = \sqrt[3]{8(8)} = 4 \)
Buna göre taralı alan \( y \in [-2, 4] \) aralığında fonksiyon grafiği ile \( y \) ekseni arasında kalan alana karşılık gelmektedir.
Grafik ile \( y \) ekseni arasında kalan alanı bulmak için fonksiyonu \( y \) değişkeni cinsinden yazalım.
\( y = \sqrt[3]{8x} \)
\( x = \dfrac{y^3}{8} \)
Taralı alan fonksiyonun \( y \) ekseninin sağında ve solunda kaldığı bölgelerden oluştuğu için, bu alanı fonksiyonun \( y \) ekseninin sağında kaldığı aralıklardaki belirli integralinden solunda kaldığı aralıklardaki belirli integralini çıkarak bulabiliriz.
\( A = \displaystyle\int_0^4 \dfrac{y^3}{8}\ dy - \displaystyle\int_{-2}^0 \dfrac{y^3}{8}\ dy \)
İfadenin integralini alalım.
\( = \left( \dfrac{y^4}{32} \right)|_0^4 - \left( \dfrac{y^4}{32} \right)|_{-2}^0 \)
Sınır değerlerini yerine koyarak belirli integral değerini bulalım.
\( = \left( \dfrac{4^4}{32} - \dfrac{0^4}{32} \right) - \left( \dfrac{0^4}{32} - \dfrac{(-2)^4}{32} \right) \)
\( = (8 - 0) - \left( 0 - \dfrac{1}{2} \right) \)
\( = \dfrac{17}{2} \) bulunur.
Yukarıdaki şekildeki taralı bölgenin alanı nedir?
Çözümü GösterFonksiyonun apsis değerleri verilen iki noktasının ordinat değerlerini bulalım.
\( f(0) = e^0 = 1 \)
\( f(2) = e^2 = e^2 \)
Buna göre taralı alan \( y \in [1, e^2] \) aralığında fonksiyon grafiği ile \( y \) ekseni arasında kalan alana karşılık gelmektedir.
Grafik ile \( y \) ekseni ile arasında kalan alanı bulmak için fonksiyonu \( y \) değişkeni cinsinden yazalım.
\( y = e^x \)
\( x = \ln{y} \)
Fonksiyon \( y \in [1, e^2] \) aralığında \( y \) ekseninin sağında kaldığı için alan bu aralıktaki integral değerine eşittir.
\( A = \displaystyle\int_1^{e^2} \ln{y}\ dy \)
Bu ifadenin integralini kısmi integral yöntemi sayfasında aşağıdaki şekilde bulmuştuk.
\( = (y\ln{y} - y)|_1^{e^2} \)
Sınır değerlerini yerine koyarak belirli integral değerini bulalım.
\( = (e^2\ln{e^2} - e^2) - (1\ln{1} - 1) \)
\( = e^2 + 1 \) bulunur.
\( f \) sürekli bir fonksiyon olup \( [0, 5] \) aralığında kesin artandır.
\( f(0) = 0, \quad f(5) = 7 \)
\( g \) fonksiyonu \( f \) fonksiyonunun tersi olduğuna göre,
\( \displaystyle\int_0^5 f(x)\ dx + \displaystyle\int_0^7 g(y)\ dy \) ifadesi kaça eşittir?
Çözümü Göster\( f \) fonksiyonunun tahmini grafiğini çizelim.
\( f \) fonksiyonu \( [0, 5] \) aralığında \( x \) ekseninin üzerinde kaldığı için \( x \) ekseni ile arasında kalan alan bu aralıktaki integral değerine eşittir.
\( A_1 = \displaystyle\int_0^5 f(x)\ dx \)
\( g \) fonksiyonu \( f \) fonksiyonunun tersi olduğu için, \( [f(0) = 0, f(5) = 7] \) aralığında \( y \) ekseni ile arasında kalan alan \( g(y) = f^{-1}(x) \) fonksiyonunun bu aralıktaki belirli integraline eşittir.
\( A_2 = \displaystyle\int_0^7 g(y)\ dy \)
Bu iki alanın toplamı \( 5 \cdot 7 = 35 \) birimkarelik dikdörtgenin alanına karşılık gelir.
\( A_1 + A_2 = 35 \) olarak bulunur.
\( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( f(0) = 0, \quad f(7) = 5 \)
\( f'(x) \gt 0, \quad f''(x) \lt 0 \)
olduğuna göre, \( \displaystyle\int_0^7 f(x)\ dx \) ve \( \displaystyle\int_0^5 f^{-1}(y)\ dy \) integrallerinden hangisi daha büyüktür?
Çözümü GösterVerilen iki integral ifadesinden birincisi \( f(x) \) fonksiyonunun \( x \in [0, 7] \) aralığında \( x \) ekseni ile arasında kalan alana, ikincisi de \( y \in [0, 5] \) aralığında \( y \) ekseni ile arasında kalan alana karşılık gelir.
Fonksiyonun birinci türevi pozitif olduğu için grafiği şekildeki gibi kesin artandır.
Fonksiyonun ikinci türevi negatif olduğu için eğimi azalandır, dolayısıyla grafiği şekildeki gibi konkavdır.
Bu yüzden eğri \( (0, 0) \) ve \( (7, 5) \) noktalarından geçen doğrunun üzerinde kalır, dolayısıyla eğri ile \( x \) ekseni arasında kalan bölge, \( y \) ekseni ile arasında kalan bölgeden daha büyük olur.
\( \displaystyle\int_0^7 f(x)\ dx \gt \displaystyle\int_0^5 f^{-1}(y)\ dy \)
Yukarıda \( f(x) = x^3 + 2 \) eğrisi ile \( y = 2x + 6 \) doğrusunun grafiği verilmiştir.
Eğri ile doğru \( x = 2 \) apsisli noktada kesiştiğine göre, taralı bölgenin alanı kaç birimkaredir?
Çözümü GösterDoğru ile eğrinin kesişim noktasının koordinatlarını bulmak için doğru denkleminde \( x = 2 \) yazalım.
\( y = 2(2) + 6 = 10 \)
Kesişim noktası: \( (2, 10) \)
Doğrunun \( y \) eksenini kestiği noktayı bulalım.
\( y = 2(0) + 6 = 6 \)
Doğru \( y \) eksenini \( (0, 6) \) noktasında keser.
Eğrinin \( y \) eksenini kestiği noktayı bulalım.
\( f(0) = 0^3 + 2 = 2 \)
Eğri \( y \) eksenini \( (0, 2) \) noktasında keser.
Taralı bölgenin alanını bulmak için \( f \) fonksiyonunun \( y \in [2, 10] \) aralığında \( y \) ekseni ile arasında kalan alandan köşeleri \( (0, 6) \), \( (0, 10) \) ve \( (2, 10) \) olan üçgenin alanını çıkaralım.
Üçgenin alanını bulalım.
\( A_2 = \dfrac{(10 - 6) \cdot 2}{2} = 4 \)
\( f \) fonksiyonunun \( y \in [2, 10] \) aralığında \( y \) ekseni ile arasında kalan alanı bulmak için fonksiyonu \( y \) değişkeni cinsinden yazalım.
\( x^3 + 2 = y \)
\( x^3 = y - 2 \)
\( x = f(y) = \sqrt[3]{y - 2} \)
Fonksiyon bu aralıkta \( y \) ekseninin sağ tarafında kaldığı için alan bu aralıktaki integral değerine eşittir.
\( A_1 + A_2 = \displaystyle\int_2^{10}{\sqrt[3]{y - 2}}\ dy \)
İfadenin integralini alalım.
\( = \left( \dfrac{3(y - 2)^{\frac{4}{3}}}{4} \right)|_2^{10} \)
\( = \dfrac{3(10 - 2)^{\frac{4}{3}}}{4} - \dfrac{3(2 - 2)^{\frac{4}{3}}}{4} \)
\( = \dfrac{3(16)}{4} - \dfrac{3(0)}{4} = 12 \)
Taralı bölgenin alanını bulalım.
\( A_1 + A_2 = A_1 + 4 = 12 \)
\( A_1 = 8 \) bulunur.
\( f \) birebir ve örten bir fonksiyondur.
\( f(3) = 6, \quad f(8) = 2 \)
\( \displaystyle\int_3^8 f(x)\ dx = 15 \) olduğuna göre, \( \displaystyle\int_2^6 f^{-1}(x)\ dx \) kaça eşittir?
Çözümü Göster\( f \) fonksiyonu birebir ve örten olduğuna göre kesin artan ya da kesin azalandır.
\( f(3) = 6 \) ve \( f(8) = 2 \) değerleri dikkate alındığında fonksiyonun kesin azalan olduğu sonucuna varabiliriz.
\( f \) fonksiyonunun tahmini grafiğini çizelim.
\( \int_3^8 f(x)\ dx \) integrali \( f \) fonksiyonunun \( [3, 8] \) aralığında \( x \) ekseni ile arasında kalan alanı ifade eder.
\( \displaystyle\int_3^8 f(x)\ dx = A_1 + A_2 \)
\( A_2 \) değerini dikdörtgen alan formülü ile bulabiliriz.
\( A_2 = (8 - 3) \cdot 2 = 10 \)
\( A_1 \) değerini bulalım.
\( \displaystyle\int_3^8 f(x)\ dx = A_1 + A_2 \)
\( 15 = A_1 + 10 \)
\( A_1 = 5 \)
\( f \) fonksiyonunun ters fonksiyonu için \( \int_2^6 f^{-1}(x)\ dx \) integrali \( f \) fonksiyonunun \( [f(8) = 2, f(3) = 6] \) aralığında \( y \) ekseni ile arasında kalan alanı ifade eder.
\( \displaystyle\int_2^6 f^{-1}(x)\ dx = A_1 + A_3 \)
\( A_3 \) değerini dikdörtgen alan formülü ile bulabiliriz.
\( A_3 = (6 - 2) \cdot 3 = 12 \)
Soruda istenen integral değerini bulalım.
\( \displaystyle\int_2^6 f^{-1}(x)\ dx = A_1 + A_3 \)
\( = 5 + 12 = 17 \) bulunur.
Şekildeki birebir ve örten \( f(x) \) fonksiyonu \( [5, 9] \) aralığında doğrusaldır.
\( \displaystyle\int_6^{13}{f^{-1}(x)}\ dx = 11 \) olduğuna göre,
\( \displaystyle\int_{-4}^5{2xf(x^2 - 16)}\ dx \) integralinin sonucu kaçtır?
Çözümü Göster\( f^{-1} \) fonksiyonunun \( y \in [6, 13] \) aralığındaki belirli integrali \( f \) fonksiyonunun bu aralıkta \( y \) ekseni ile arasında kalan taralı alanı verir.
Değeri sorulan ifadenin integralini almak için aşağıdaki şekilde değişken değiştirme uygulayalım.
\( x^2 - 16 = u \)
\( \Longrightarrow 2x\ dx = du \)
\( u \) değişkeni için sınır değerlerini bulalım.
\( u(-4) = (-4)^2 - 16 = 0 \)
\( u(5) = 5^2 - 16 = 9 \)
\( x \) değişkenlerinin \( u \) karşılıklarını yazalım.
\( \displaystyle\int_{-4}^5{2xf(x^2 - 16)}\ dx = \displaystyle\int_0^9{f(u)}\ du \)
Buna göre değeri istenen ifade \( x \in [0, 9] \) aralığında \( f \) fonksiyonunun \( x \) ekseni ile arasında kalan alana eşittir.
Bu alanı bulmak için köşeleri orijin, \( (9, 0) \), \( (5, 6) \) ve \( (0, 6) \) noktaları olan yamuğun alanı ile taralı alana karşılık gelen \( f^{-1} \) fonksiyonunun \( [6, 13] \) aralığındaki belirli integralini toplayalım.
Yamuğun alanını bulalım.
\( \dfrac{9 + 5}{2} \cdot 6 = 42 \)
Fonksiyonun \( [0, 9] \) aralığında \( x \) ekseni ile arasında kalan alanı bulalım.
\( \displaystyle\int_0^9{f(u)}\ du = 42 + 11 \)
\( = 53 \) bulunur.