İntegral Teoremleri
Önceki bölümlerde bazı fonksiyonların belirli integralinin geometrik alan formülleri ve Riemann toplamları yardımıyla hesaplanabileceğini gördük, ancak bu yöntemler basit fonksiyonlar için bile uzun işlemler gerektirebildiği için pratik yöntemler oldukları söylenemez. Kalkülüsün birinci teoremi, integral işlemi ile kalkülüsün bir diğer önemli başlığı olan türev arasında tam da bu noktada ihtiyaç duyulan ilişkiyi kurmaktadır.
Alan Fonksiyonu
Aşağıdaki gibi \( t \) değişkenine bağlı bir \( f(t) \) fonksiyonu tanımlayalım.
Daha sonra \( t = x \) noktasından dikey bir çizgi çizelim ve aşağıdaki gibi bir \( A(x) \) fonksiyonu tanımlayalım.
\( A(x) = \displaystyle\int_a^x {f(t)\ dt} \)
İntegralin alan anlamı düşünüldüğünde, bu fonksiyonun \( [a, x] \) aralığında \( f(t) \) fonksiyonunun altında kalan alanı veren ve \( x \) değişkenine bağlı bir fonksiyon olduğu görülebilir. Buna göre \( x \) değişkeni farklı değerler aldıkça ve \( t = x \) doğrusu \( t \) ekseni boyunca hareket ettikçe \( A(x) \) fonksiyonu \( [a, x] \) aralığında \( f(t) \) eğrisinin altında kalan alanı verir.
Bu şekilde bir \( x \) değişkenine bağlı olarak tanımlanan \( A(x) \) fonksiyonuna alan fonksiyonu denir. Alan fonksiyonu ile ilgili önemli birkaç nokta aşağıdaki gibidir.
- Alan fonksiyonunun bağlı olduğu değişken integrali alınan fonksiyonun \( t \) değişkeni değil, integralin üst (ya da alt) sınırındaki \( x \) değişkenidir.
- \( f(t) \) fonksiyonu \( [a, x] \) aralığında negatif değer almıyorsa (\( f(t) \ge 0 \)) alan fonksiyonu \( f(t) \) fonksiyon grafiğinin altında kalan toplam alanı verir.
- \( f(t) \) fonksiyonu \( [a, x] \) aralığında negatif değer de alabiliyorsa alan fonksiyonu \( f(t) \) fonksiyon grafiğinin altında kalan net alanı verir ([\( x \) ekseninin üstünde kalan alan] eksi [\( x \) ekseninin altında kalan alan]).
Kalkülüsün Birinci Temel Teoremi
Kalkülüsün birinci temel teoremi türev ve integral arasındaki ilişkiyi kurar.
\( f \) fonksiyonu \( [a, b] \) aralığında sürekli bir fonksiyon olmak üzere, \( f \) fonksiyon grafiğinin altındaki alanı hesaplayan bir \( F \) alan fonksiyonu tanımlayalım.
\( a \le x \le b \) olmak üzere,
\( F(x) = \displaystyle\int_a^x {f(t)\ dt} \)
Kalkülüsün birinci temel teoremine göre, bu \( F \) fonksiyonu da aynı \( [a, b] \) aralığında süreklidir, türevlenebilirdir ve türevi \( f(x) \) fonksiyonudur.
\( F'(x) = \dfrac{d}{dx} \displaystyle\int_a^x {f(t)\ dt} = f(x) \)
İSPATI GÖSTER
\( F \) fonksiyonunun tanımını yazalım.
\( F(x) = \displaystyle\int_a^x {f(t)\ dt} \)
\( F \) fonksiyonunun türevinin limit tanımını yazalım.
\( F'(x) = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{F(x + h) - F(x)}{h} \)
\( = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{1}{h}[F(x + h) - F(x)] \)
\( F \) fonksiyonu yerine yukarıdaki integral tanımını yazalım.
\( = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{1}{h} \left( \displaystyle\int_a^{x+h} {f(t)\ dt} - \displaystyle\int_a^x {f(t)\ dt} \right) \)
Bu ifadedeki birinci integral aşağıdaki grafikte \( [a, x + h] \) aralığındaki taralı alana, ikinci integral de \( [a, x] \) aralığındaki taralı alana karşılık gelir.
Belirli integral aralıkların birleşimi özelliğine göre, \( f(t) \) fonksiyonunun \( [a, x + h] \) aralığındaki integral değerinden \( [a, x] \) aralığındaki integral değerini çıkardığımızda \( [x, x + h] \) aralığındaki integral değerini elde ederiz.
\( = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{1}{h}\displaystyle\int_x^{x+h} {f(t)\ dt} \)
Bu ifadedeki integral yukarıdaki grafikte \( [x, x + h] \) aralığındaki mavi alana karşılık gelir.
Yine bu ifadedeki \( \frac{1}{h}\displaystyle\int_x^{x+h} {f(t)\ dt} \) ifadesi ise \( f \) fonksiyonunun \( [x, x + h] \) aralığında aldığı ortalama değere eşittir.
Ortalama değer teoremine göre, \( [x, x + h] \) aralığında sürekli olan \( f \) fonksiyonunun bu aralıktaki ortalama değerini aldığı en az bir \( c \in [x, x + h] \) noktası vardır.
Fonksiyonun bu aralıkta ortalama değerini aldığı \( c \) noktasındaki değeri de \( f(c) \) olur.
\( \dfrac{1}{h}\displaystyle\int_x^{x+h} {f(t)\ dt} = f(c) \)
Bu durumda yukarıdaki eşitliği aşağıdaki şekilde ifade edebiliriz.
\( F'(x) = \lim\limits_{h \to 0} f(c) \)
Eşitliğin sağ tarafındaki limit değerini bulmak için limit konusunda gördüğümüz sıkıştırma teoremini kullanalım.
\( c \in [x, x + h] \) olduğunu biliyoruz.
\( x \le c \le x + h \)
Eşitsizliğin üç tarafının limitini alalım.
\( \lim\limits_{h \to 0} x \le \lim\limits_{h \to 0} c \le \lim\limits_{h \to 0} (x + h) \)
\( x \le \lim\limits_{h \to 0} c \le x \)
Buna göre \( h \) sıfıra giderken \( c \) de \( x \) değerine yaklaşır.
\( \lim\limits_{h \to 0} c = x \)
\( h \to 0 \) iken \( c \to x \) ise \( f(c) \to f(x) \) olur.
\( \lim\limits_{h \to 0} f(c) = f(x) \)
Bu durumda aşağıdaki eşitliği elde ederiz.
\( F'(x) = f(x) \)
Bu teoreme göre, bir \( f \) fonksiyonunun altında kalan alanı veren alan fonksiyonunun türevi \( f \) fonksiyonunun kendisine eşittir. Buradan çıkarılabilecek en önemli sonuç, integral ve türev işlemlerinin birbirinin ters işlemleri olduğudur.
Bu teoremden çıkarılabilecek diğer bazı sonuçlar aşağıdaki gibidir.
- Bir fonksiyonun integralini almak için türevi o fonksiyon olan fonksiyonu bulmamız yeterlidir.
- Bir \( f \) fonksiyonunun integralinin türevi yine \( f \) fonksiyonunu verir.
- Benzer şekilde, bir \( F \) fonksiyonunun türevinin integrali, önümüzdeki bölümde bahsedeceğimiz sabit terim dışında \( F \) fonksiyonunu verir.
Yine bu teoreme göre her sürekli fonksiyonun integrali vardır.
Kalkülüsün İkinci Temel Teoremi
Bu teoreme göre, bir \( f \) fonksiyonun integrali olan fonksiyon biliniyorsa \( f \) fonksiyonunun \( [a, b] \) aralığındaki belirli integrali integral fonksiyonunun bu aralığın uç noktalarındaki fonksiyon değerlerinin farkına eşittir.
\( f \) fonksiyonu \( [a, b] \) aralığında sürekli bir fonksiyon ve \( F'(x) = f(x) \) olmak üzere,
\( \displaystyle\int_a^b {f(x)\ dx} = F(x)|_a^b = F(b) - F(a) \)
\( \displaystyle\int_1^3 {x^3\ dx} = \dfrac{x^4}{4}|_1^3 = \dfrac{3^4}{4} - \dfrac{1^4}{4} = 20 \)
İSPATI GÖSTER
\( [a, b] \) aralığını aşağıdaki koşul sağlanacak şekilde eşit ya da farklı genişliklerde \( n \) alt aralığa bölelim.
\( a = x_0 \lt x_1 \lt x_2 \lt \ldots \lt b = x_n \)
Bu durumda aşağıdaki eşitliği yazabiliriz.
\( F(b) - F(a) = F(x_n) - F(x_0) \)
\( x_0 \) ve \( x_n \) arasındaki tüm \( x_i \) değerleri için \( F(x_i) \) değerlerini eşitliğin sağ tarafından çıkarıp ekleyelim.
\( = [F(x_n) - F(x_{n-1})] + [F(x_{n-1}) - F(x_{n-2})] + \ldots + [F(x_1) - F(x_0)] \)
Bu toplam ifadesini toplam sembolü şeklinde yazalım.
\( = \displaystyle\sum_{i = 1}^{n}[F(x_i) - F(x_{i-1})] \)
Ortalama değer teoremine göre, her bir \( [x_{i-1}, x_i] \) aralığında sürekli olan \( F \) fonksiyonunun bu aralıktaki ortalama değerini aldığı en az bir \( c_i \in [x_{i-1}, x_i] \) noktası vardır.
\( F'(c_i) = \dfrac{F(x_i) - F(x_{i-1})}{x_i - x_{i-1}} \)
\( F(x_i) - F(x_{i-1}) = F'(c_i)(x_i - x_{i-1}) \)
\( F'(x) = f(x) \) olduğunu biliyoruz.
\( F(x_i) - F(x_{i-1}) = f(c_i)(x_i - x_{i-1}) \)
\( i \). aralığın genişliğine \( \Delta x_i \) diyelim.
\( F(x_i) - F(x_{i-1}) = f(c_i)\Delta x_i \)
Bu ifadeyi yukarıdaki toplam sembolünde yerine koyduğumuzda aşağıdaki eşitliği elde ederiz.
\( F(b) - F(a) = \displaystyle\sum_{i = 1}^{n}f(c_i)\Delta x_i \)
Eşitliğin iki tarafının \( n \to \infty \) iken limitini alalım.
\( \lim_{n \to \infty} (F(b) - F(a)) = \lim_{n \to \infty} \displaystyle\sum_{i = 1}^{n}f(c_i)\Delta x_i \)
Eşitliğin solundaki limiti alınan ifade sabit bir değer olduğu için limitten olduğu gibi çıkar.
Eşitliğin sağındaki limit ifadesi \( f(x) \) fonksiyonunun \( [a, b] \) aralığındaki belirli integralidir.
\( F(b) - F(a) = \displaystyle\int_a^b {f(x)\ dx} \)
Net Değişim Teoremi
Net değişim teoremine göre, bir fonksiyonun değerindeki belirli bir aralıktaki değişim, fonksiyonun türevinin o aralıktaki belirli integraline eşittir.
\( \displaystyle\int_a^b {F'(x)\ dx} = F(b) - F(a) \)
Diğer bir ifadeyle, fonksiyonun bir aralığın sonundaki değeri, aralığın başındaki değeri ile fonksiyonun türevinin bu aralıktaki belirli integralinin toplamına eşittir.
\( F(b) = F(a) + \displaystyle\int_a^b {F'(x)\ dx} \)