İntegral Teoremleri
Önceki bölümlerde bazı fonksiyonların belirli integralinin geometrik alan formülleri ve Riemann toplamları yardımıyla hesaplanabileceğini gördük, ancak bunlar basit fonksiyonlar için bile uzun işlemler gerektirebildiği için pratik yöntemler oldukları söylenemez. Kalkülüsün birinci teoremi, integral işlemi ile kalkülüsün bir diğer önemli başlığı olan türev arasında tam da bu noktada ihtiyaç duyulan ilişkiyi kurmaktadır.
Alan Fonksiyonu
Aşağıdaki gibi \( t \) değişkenine bağlı bir \( f(t) \) fonksiyonu tanımlayalım.
Daha sonra \( t = x \) noktasından dikey bir çizgi çizelim ve aşağıdaki gibi bir \( A(x) \) fonksiyonu tanımlayalım.
\( A(x) = \displaystyle\int_a^x {f(t)\ dt} \)
İntegralin alan anlamı düşünüldüğünde, bu fonksiyonun \( [a, x] \) aralığında \( f(t) \) fonksiyonunun altında kalan alanı veren ve \( x \) değişkenine bağlı bir fonksiyon olduğu görülebilir. Buna göre \( x \) değişkeni farklı değerler aldıkça ve \( t = x \) doğrusu \( t \) ekseni boyunca hareket ettikçe, \( A(x) \) fonksiyonu \( [a, x] \) aralığında \( f(t) \) eğrisinin altında kalan alanı verir.
Bu şekilde bir \( x \) değişkenine bağlı olarak tanımlanan \( A(x) \) fonksiyonuna alan fonksiyonu denir. Alan fonksiyonu ile ilgili önemli birkaç nokta aşağıdaki gibidir.
- Alan fonksiyonunun bağlı olduğu değişken integrali alınan fonksiyonun \( t \) değişkeni değil, integralin üst (ya da alt) sınırındaki \( x \) değişkenidir.
- \( f(t) \) fonksiyonu \( [a, x] \) aralığında negatif değer almıyorsa (\( f(t) \ge 0 \)) alan fonksiyonu \( f(t) \) fonksiyon grafiğinin altında kalan toplam alanı verir.
- \( f(t) \) fonksiyonu \( [a, x] \) aralığında negatif değer de alabiliyorsa alan fonksiyonu \( f(t) \) fonksiyon grafiğinin altında kalan net alanı verir ([\( x \) ekseninin üstünde kalan alan] eksi [\( x \) ekseninin altında kalan alan]).
Kalkülüsün Birinci Temel Teoremi
Kalkülüsün birinci temel teoremine göre, bir \( f \) fonksiyonunun altında kalan alanı veren alan fonksiyonunun türevi \( f \) fonksiyonunun kendisine eşittir.
\( f \), \( [a, b] \) aralığında sürekli bir fonksiyon, \( F \) de \( f \) fonksiyonunun grafiğinin altında kalan alanı hesaplayan bir alan fonksiyonu olsun.
\( F(x) = \displaystyle\int_a^x {f(t)\ dt} \)
Buna göre, \( F \) fonksiyonu da aynı \( [a, b] \) aralığında süreklidir, türevlenebilirdir ve türevi \( f \) fonksiyonudur.
\( F'(x) = \dfrac{d}{dx} \displaystyle\int_a^x {f(t)\ dt} = f(x) \)
İSPATI GÖSTER
Bu teoremin iki farklı ispatı aşağıdaki gibidir.
İSPAT 1: Uç değer teoremi ile
Bu ispatta mutlak minimum ve maksimum noktaları bölümünde gördüğümüz "uç değer teoremini" kullanacağız.
\( f \) fonksiyonu \( [a, b] \) aralığında sürekli ve \( x \in (a, b) \) olsun.
\( h \gt 0 \) olduğunu varsayalım.
\( F \) alan fonksiyonu \( x \) ve \( x + h \) noktaları için aşağıdaki şekilde tanımlıdır.
\( F(x) = \displaystyle\int_a^x {f(t)\ dt} \)
\( F(x + h) = \displaystyle\int_a^{x+h} {f(t)\ dt} \)
Birinci eşitliği ikinciden taraf tarafa çıkaralım.
\( F(x + h) - F(x) = \displaystyle\int_a^{x+h} {f(t)\ dt} - \displaystyle\int_a^x {f(t)\ dt} \)
Bu ifadedeki birinci integral aşağıdaki grafikte \( [a, x + h] \) aralığındaki, ikinci integral de \( [a, x] \) aralığındaki taralı alana karşılık gelir.
Belirli integralin aralıkların birleşimi özelliğini kullanalım.
\( = \displaystyle\int_x^{x+h} {f(t)\ dt} \)
Bu ifadedeki integral yukarıdaki grafikte \( [x, x + h] \) aralığındaki mavi alana karşılık gelir.
Eşitliğin taraflarını \( h \)'ye bölelim.
\( \dfrac{F(x + h) - F(x)}{h} = \dfrac{1}{h}\displaystyle\int_x^{x+h} {f(t)\ dt} \)
\( f \) fonksiyonu \( [x, x + h] \) aralığında süreklidir, dolayısıyla uç değer teoremine göre fonksiyonun bu aralıkta mutlak minimum ve mutlak maksimum değerlerini aldığı en az birer nokta vardır.
Bu noktalara sırasıyla \( u, v \in [x, x + h] \) ve fonksiyonun bu noktalardaki değerine sırasıyla \( f(u) = m \) ve \( f(v) = M \) diyelim.
\( m \le f(t) \le M, \quad t \in [x, x + h] \)
Belirli integralin karşılaştırma özelliğine göre, bir fonksiyonu bir \( [a, b] \) aralığında \( m \) ve \( M \) değerleri arasında kalıyorsa bu aralıktaki belirli integrali de yükseklikleri bu iki değer olan iki dikdörtgenin alanları arasında kalır.
\( f(u)\ h \le \displaystyle\int_x^{x+h} {f(t)\ dt} \le f(v)\ h \)
Eşitsizliğin taraflarını \( h \)'ye bölelim.
\( f(u) \le \dfrac{1}{h}\displaystyle\int_x^{x+h} {f(t)\ dt} \le f(v) \)
Ortadaki ifadenin yerine yukarıda bulduğumuz ifadeyi yazalım.
\( f(u) \le \dfrac{F(x + h) - F(x)}{h} \le f(v) \)
Bu eşitsizliğin taraflarının \( h \to 0 \) iken limitini alalım.
\( \lim\limits_{h \to 0} {f(u)} \le \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{F(x + h) - F(x)}{h} \le \lim\limits_{h \to 0} {f(v)} \)
\( u, v \in [x, x + h] \) olduğu için \( h \to 0 \) iken \( u, v \to x \) olur.
\( f \) fonksiyonu \( [x, x + h] \) aralığında sürekli olduğu için \( u, v \to x \) iken \( f(u), f(v) \to f(x) \) olur.
\( f(x) \le \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{F(x + h) - F(x)}{h} \le f(x) \)
Sıkıştırma teoremine göre, ortadaki limit de \( f(x) \) olur.
\( \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{F(x + h) - F(x)}{h} = f(x) \)
Eşitliğin solundaki ifade \( F \) fonksiyonunun türevinin limit tanımıdır.
\( F'(x) = f(x) \)
Bu ispat \( h \lt 0 \) için de benzer şekilde yapılabilir.
İSPAT 2: İntegral için ortalama değer teoremi ile
Bu ispatta bir fonksiyonun ortalama değeri bölümünde göreceğimiz "integral için ortalama değer teoremini" kullanacağız.
\( f \) fonksiyonu \( [a, b] \) aralığında sürekli ve \( x \in (a, b) \) olsun.
\( h \gt 0 \) olduğunu varsayalım.
\( F \) alan fonksiyonu aşağıdaki şekilde tanımlıdır.
\( F(x) = \displaystyle\int_a^x {f(t)\ dt} \)
\( F \) fonksiyonunun türevinin limit tanımını yazalım.
\( F'(x) = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{F(x + h) - F(x)}{h} \)
\( = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{1}{h}[F(x + h) - F(x)] \)
\( F \) fonksiyonu yerine yukarıdaki integral tanımını yazalım.
\( = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{1}{h} \left( \displaystyle\int_a^{x+h} {f(t)\ dt} - \displaystyle\int_a^x {f(t)\ dt} \right) \)
Bu ifadedeki birinci integral aşağıdaki grafikte \( [a, x + h] \) aralığındaki, ikinci integral de \( [a, x] \) aralığındaki taralı alana karşılık gelir.
Belirli integralin aralıkların birleşimi özelliğini kullanalım.
\( = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{1}{h}\displaystyle\int_x^{x+h} {f(t)\ dt} \)
Bu ifadedeki integral yukarıdaki grafikte \( [x, x + h] \) aralığındaki mavi alana karşılık gelir.
Yine bu ifadedeki \( \frac{1}{h}\int_x^{x+h} {f(t)\ dt} \) ifadesi \( f \) fonksiyonunun \( [x, x + h] \) aralığındaki ortalama değerine eşittir.
İntegral için ortalama değer teoremine göre, \( [x, x + h] \) aralığında sürekli olan \( f \) fonksiyonunun bu aralıktaki ortalama değerini aldığı en az bir \( c \in [x, x + h] \) noktası vardır.
Fonksiyonun bu aralıkta ortalama değerini aldığı \( c \) noktasındaki değeri \( f(c) \) olur.
\( \dfrac{1}{h}\displaystyle\int_x^{x+h} {f(t)\ dt} = f(c) \)
Bu durumda yukarıdaki eşitliği aşağıdaki şekilde ifade edebiliriz.
\( F'(x) = \lim\limits_{h \to 0} {f(c)} \)
Eşitliğin sağ tarafındaki limit değerini bulmak için limit konusunda gördüğümüz sıkıştırma teoremini kullanalım.
\( c \in [x, x + h] \) olduğunu biliyoruz.
\( x \le c \le x + h \)
Bu eşitsizliğin taraflarının \( h \to 0 \) iken limitini alalım.
\( \lim\limits_{h \to 0} {x} \le \lim\limits_{h \to 0} {c} \le \lim\limits_{h \to 0} (x + h) \)
\( x \le \lim\limits_{h \to 0} {c} \le x \)
Sıkıştırma teoremine göre, ortadaki limit de \( x \) olur.
\( \lim\limits_{h \to 0} {c} = x \)
\( f \) fonksiyonu \( [a, b] \) aralığında sürekli olduğu için, \( h \to 0 \) iken \( c \to x \) ise \( f(c) \to f(x) \) olur.
\( \lim\limits_{h \to 0} {f(c)} = f(x) \)
Bu değeri yukarıdaki eşitlikte yerine koyalım.
\( F'(x) = f(x) \)
Bu ispat \( h \lt 0 \) için de benzer şekilde yapılabilir.
Bu teoremden çıkarılabilecek en önemli sonuç, integral ve türev işlemlerinin birbirinin ters işlemleri olduğudur.
Bu teoremden çıkarılabilecek diğer bazı sonuçlar aşağıdaki gibidir.
- Bir fonksiyonun integralini almak için türevi o fonksiyon olan fonksiyonu bulmamız yeterlidir.
- Bir \( f \) fonksiyonunun integralinin türevi yine \( f \) fonksiyonunu verir.
- Benzer şekilde, bir \( F \) fonksiyonunun türevinin integrali, önümüzdeki bölümde bahsedeceğimiz sabit terim dışında \( F \) fonksiyonunu verir.
Yine bu teoreme göre, her sürekli fonksiyonun integrali vardır.
Kalkülüsün İkinci Temel Teoremi
Kalkülüsün ikinci temel teoremine göre, bir \( f \) fonksiyonun integrali olan fonksiyon biliniyorsa \( f \) fonksiyonunun \( [a, b] \) aralığındaki belirli integrali integral fonksiyonunun bu aralığın uç noktalarındaki fonksiyon değerlerinin farkına eşittir.
\( f \) fonksiyonu \( [a, b] \) aralığında sürekli bir fonksiyon ve \( F'(x) = f(x) \) olmak üzere,
\( \displaystyle\int_a^b {f(x)\ dx} = F(x)|_a^b = F(b) - F(a) \)
\( \displaystyle\int_1^3 {x^3\ dx} = \dfrac{x^4}{4}|_1^3 = \dfrac{3^4}{4} - \dfrac{1^4}{4} = 20 \)
İSPATI GÖSTER
\( [a, b] \) aralığını aşağıdaki koşul sağlanacak şekilde eşit ya da farklı genişliklerde \( n \) alt aralığa bölelim.
\( a = x_0 \lt x_1 \lt x_2 \lt \ldots \lt b = x_n \)
Bu durumda aşağıdaki eşitliği yazabiliriz.
\( F(b) - F(a) = F(x_n) - F(x_0) \)
\( x_0 \) ve \( x_n \) arasındaki tüm \( x_i \) değerleri için \( F(x_i) \) değerlerini eşitliğin sağ tarafından çıkarıp ekleyelim.
\( = [F(x_n) - F(x_{n-1})] + [F(x_{n-1}) - F(x_{n-2})] + \ldots + [F(x_1) - F(x_0)] \)
Bu toplam ifadesini toplam sembolü şeklinde yazalım.
\( = \displaystyle\sum_{i = 1}^{n}[F(x_i) - F(x_{i-1})] \)
Ortalama değer teoremine göre, her bir \( [x_{i-1}, x_i] \) aralığında sürekli olan \( F \) fonksiyonunun bu aralıktaki ortalama değerini aldığı en az bir \( c_i \in [x_{i-1}, x_i] \) noktası vardır.
\( F'(c_i) = \dfrac{F(x_i) - F(x_{i-1})}{x_i - x_{i-1}} \)
\( F(x_i) - F(x_{i-1}) = F'(c_i)(x_i - x_{i-1}) \)
\( F'(x) = f(x) \) olduğunu biliyoruz.
\( F(x_i) - F(x_{i-1}) = f(c_i)(x_i - x_{i-1}) \)
\( i \). aralığın genişliğine \( \Delta x_i \) diyelim.
\( F(x_i) - F(x_{i-1}) = f(c_i)\Delta x_i \)
Bu ifadeyi yukarıdaki toplam sembolünde yerine koyduğumuzda aşağıdaki eşitliği elde ederiz.
\( F(b) - F(a) = \displaystyle\sum_{i = 1}^{n}f(c_i)\Delta x_i \)
Eşitliğin taraflarının \( n \to \infty \) iken limitini alalım.
\( \lim_{n \to \infty} (F(b) - F(a)) = \lim_{n \to \infty} \displaystyle\sum_{i = 1}^{n}f(c_i)\Delta x_i \)
Eşitliğin solundaki limiti alınan ifade sabit bir değer olduğu için limitten olduğu gibi çıkar.
Eşitliğin sağındaki limit ifadesi \( f(x) \) fonksiyonunun \( [a, b] \) aralığındaki belirli integralidir.
\( F(b) - F(a) = \displaystyle\int_a^b {f(x)\ dx} \)
Net Değişim Teoremi
Net değişim teoremine göre, bir fonksiyonun değerindeki belirli bir aralıktaki değişim, fonksiyonun türevinin o aralıktaki belirli integraline eşittir.
\( \displaystyle\int_a^b {F'(x)\ dx} = F(b) - F(a) \)
Bir diğer ifadeyle, fonksiyonun bir aralığın sonundaki değeri, aralığın başındaki değeri ile fonksiyonun türevinin bu aralıktaki belirli integralinin toplamına eşittir.
\( F(b) = F(a) + \displaystyle\int_a^b {F'(x)\ dx} \)
\( F(x) = \displaystyle\int_0^x {e^{-t^2}\ dt} \) olduğuna göre, \( F'(x) \) ifadesini bulunuz.
Çözümü Gösterİntegral içerisindeki ifadeyi bir fonksiyon olarak tanımlayalım.
\( f(x) = e^{-t^2} \)
\( f \) fonksiyonu tüm reel sayılarda sürekli olduğu için kalkülüsün birinci temel teoremini kullanabiliriz.
\( a \le x \le b \) olmak üzere,
\( F'(x) = \dfrac{d}{dx} \displaystyle\int_a^x {f(t)\ dt} = f(x) \)
Bu teoreme göre, bir \( f \) fonksiyonunun altında kalan alanı veren alan fonksiyonunun türevi \( f \) fonksiyonunun kendisine eşittir.
Soruda verilen integral fonksiyonunun türevini alalım.
\( F'(x) = \dfrac{d}{dx}\displaystyle\int_0^x {e^{-t^2}\ dt} \)
\( = e^{-x^2} \) bulunur.
\( \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{\int_4^{4+h} {\sqrt{x^2 - 7}\ dx}}{h} \) ifadesinin değeri kaçtır?
Çözümü Göster1. yöntem:
Payın ve paydanın \( h = 0 \) noktasındaki limitini bulalım.
\( \lim\limits_{h \to 0} \displaystyle\int_4^{4+h} {\sqrt{t^2 - 7}\ dt} = \displaystyle\int_4^4 {\sqrt{t^2 - 7}\ dt} = 0 \)
\( \lim\limits_{h \to 0} h = 0 \)
Buna göre verilen limit ifadesinde \( \frac{0}{0} \) belirsizliği vardır.
Pay ve paydadaki ifadeler tanımlı oldukları aralıklarda türevlenebilirdir.
Belirsizliği gidermek için ifadeye L'Hospital kuralını uygulayalım.
\( \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{\frac{d}{dx}(\int_4^{4+h} {\sqrt{t^2 - 7}\ dt})}{(h)'} \)
Pay için kalkülüsün birinci temel teoremini kullanalım.
\( = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{\sqrt{(4+h)^2 - 7}}{1} \)
\( = \lim\limits_{h \to 0} {\sqrt{(4+h)^2 - 7}} \)
\( = \sqrt{(4+0)^2 - 7} = 3 \)
L'Hospital kuralı ile elde ettiğimiz ifadenin limiti tanımlı olduğu için orijinal ifadenin limiti de bu değere eşittir.
\( \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{\int_4^{4+h} {\sqrt{t^2 - 7}\ dt}}{h} = 3 \)
2. yöntem:
İntegral içerisindeki ifadeyi bir fonksiyon olarak tanımlayalım.
\( f(x) = \sqrt{x^2 - 7} \)
\( F'(x) = f(x) \) olsun.
Kalkülüsün ikinci temel teoremini kullanarak pay kısmındaki belirli integral ifadesini yazalım.
\( \displaystyle\int_4^{4+h} {\sqrt{x^2 - 7}\ dx} = F(4+h) - F(4) \)
Bulduğumuz bu ifadeyi limit denkleminde yerine yazalım.
\( \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{F(4+h) - F(4)}{h} \)
Bu limit değeri \( F \) fonksiyonun \( x = 4 \) noktasındaki türevidir.
\( \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{F(4+h) - F(4)}{h} = F'(4) \)
\( F'(x) = f(x) \) olduğundan, bu türev değeri integralin içindeki fonksiyonun \( x = 4 \) noktasındaki değerine eşittir.
\( F'(4) = \sqrt{4^2 - 7} \)
\( = \sqrt{16 - 7} \)
\( = \sqrt{9} = 3 \) bulunur.
\( \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{\int_2^x {e^{t^2 - 4}\ dt}}{x^3 - 8} \) limit ifadesinin değeri kaçtır?
Çözümü GösterPayın ve paydanın \( x = 2 \) noktasındaki limitini bulalım.
\( \lim\limits_{x \to 2} \displaystyle\int_2^x {e^{t^2 - 4}\ dt} = \displaystyle\int_2^2 {e^{t^2 - 4}\ dt} = 0 \)
\( \lim\limits_{x \to 2} (x^3 - 8) = 2^3 - 8 = 0 \)
Buna göre verilen limit ifadesinde \( \frac{0}{0} \) belirsizliği vardır.
Pay ve paydadaki ifadeler tanımlı oldukları aralıklarda türevlenebilirdir.
Belirsizliği gidermek için ifadeye L'Hospital kuralını uygulayalım.
\( \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{\frac{d}{dx}(\int_2^x {e^{t^2 - 4}\ dt})}{(x^3 - 8)'} = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{e^{x^2 - 4}}{3x^2} \)
\( = \dfrac{e^{2^2 - 4}}{3(2)^2} \)
\( = \dfrac{e^0}{3 \cdot 4} = \dfrac{1}{12} \)
L'Hospital kuralı ile elde ettiğimiz ifadenin limiti tanımlı olduğu için orijinal ifadenin limiti de bu değere eşittir.
\( \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{\int_2^x {e^{t^2 - 4}\ dt}}{x^3 - 8} = \dfrac{1}{12} \) bulunur.