Mutlak Minimum ve Maksimum Noktaları

I. öncül:

Fonksiyon değeri negatif (pozitif) sonsuza giden ya da aldığı diğer tüm değerlerden daha küçük (büyük) bir değere yaklaşan ama bu değeri almayan fonksiyonların mutlak minimum (maksimum) noktası yoktur.

I. öncül yanlıştır.

II. öncül:

Bir fonksiyonun (varsa) mutlak minimum (maksimum) değerini aldığı tüm noktalar mutlak minimum (maksimum) noktasıdır.

II. öncül doğrudur.

III. öncül:

Sabit fonksiyon her noktada fonksiyonun en küçük (en büyük) değerini aldığı için her nokta mutlak minimum (maksimum) noktasıdır.

III. öncül doğrudur.

IV. öncül:

Yukarıda bahsettiğimiz üzere, yerel ekstremum noktaları olan bir fonksiyonun mutlak ekstremum noktaları olmayabilir.

IV. öncül yanlıştır.

\( f \) fonksiyonu kapalı bir aralıkta tanımlıdır ve bir polinom fonksiyonu olduğu için süreklidir.

Kapalı bir aralıkta tanımlı ve sürekli bir fonksiyon, mutlak minimum ve maksimum değerlerini kritik ya da kapalı uç noktalarından birinde alır.

Fonksiyonun kritik noktaları birinci türevin sıfır ya da tanımsız olduğu iç noktalardır.

\( f'(x) = 6x - 6 \)

Fonksiyonun birinci türevinin sıfır olduğu iç noktaları bulalım.

\( 6x - 6 = 0 \)

\( x = 1 \)

Fonksiyonun birinci türevinin tanımsız olduğu iç nokta yoktur.

Kritik nokta: \( x = 1 \)

Fonksiyonun kritik noktadaki değerini bulalım.

\( f(1) = 3(1)^2 - 6(1) - 15 = -18 \)

Fonksiyonun kapalı uç noktalarındaki değerini bulalım.

\( f(-3) = 3(-3)^2 - 6(-3) - 15 = 30 \)

\( f(4) = 3(4)^2 - 6(4) - 15 = 9 \)

Bu değerleri karşılaştırdığımızda fonksiyonun mutlak minimum ve maksimum değerleri ve noktaları aşağıdaki gibi bulunur.

Mutlak minimum: Fonksiyonun \( -18 \) değerini aldığı \( x = 1 \) noktası

Mutlak maksimum: Fonksiyonun \( 30 \) değerini aldığı \( x = -3 \) noktası

Fonksiyonun grafiği ve karşılaştırma yaptığımız nokta ve değerler aşağıdaki şekilde gösterilmiştir.

\( f \) fonksiyonu kapalı bir aralıkta tanımlıdır ve iki sürekli fonksiyonun farkından oluştuğu için süreklidir.

Kapalı bir aralıkta tanımlı ve sürekli bir fonksiyon, mutlak minimum ve maksimum değerlerini kritik ya da kapalı uç noktalarından birinde alır.

Fonksiyonun kritik noktaları birinci türevin sıfır ya da tanımsız olduğu iç noktalardır.

\( f'(x) = -\sin{x} - \cos{x} \)

Fonksiyonun birinci türevinin sıfır olduğu iç noktaları bulalım.

\( -\sin{x} - \cos{x} = 0 \)

\( -\sin{x} = \cos{x} \)

\( \tan{x} = -1 \)

Tanjant fonksiyonu \( -1 \) değerini verilen tanım aralığında aşağıdaki açı değerinde alır.

\( x = \dfrac{3\pi}{4} \)

Fonksiyonun birinci türevinin tanımsız olduğu iç nokta yoktur.

Kritik nokta: \( x = \frac{3\pi}{4} \)

Fonksiyonun kritik noktadaki değerini bulalım.

\( f(\dfrac{3\pi}{4}) = \cos{\dfrac{3\pi}{4}} - \sin{\dfrac{3\pi}{4}} \)

\( = -\dfrac{\sqrt{2}}{2} - \dfrac{\sqrt{2}}{2} = -\sqrt{2} \)

Fonksiyonun kapalı uç noktalarındaki değerini bulalım.

\( f(0) = \cos{0} - \sin{0} \)

\( = 1 - 0 = 1 \)

\( f(\pi) = \cos{\pi} - \sin{\pi} \)

\( = -1 - 0 = -1 \)

Bu değerleri karşılaştırdığımızda fonksiyonun mutlak minimum ve maksimum değerleri ve noktaları aşağıdaki gibi bulunur.

Mutlak minimum: Fonksiyonun \( -\sqrt{2} \) değerini aldığı \( x = \frac{3\pi}{4} \) noktası

Mutlak maksimum: Fonksiyonun \( 1 \) değerini aldığı \( x = 0 \) noktası

Fonksiyonun grafiği ve karşılaştırma yaptığımız nokta ve değerler aşağıdaki şekilde gösterilmiştir.

\( f \) fonksiyonu kapalı bir aralıkta tanımlıdır ve iki sürekli fonksiyonun çarpımından oluştuğu için süreklidir.

Kapalı bir aralıkta tanımlı ve sürekli bir fonksiyon, mutlak minimum ve maksimum değerlerini kritik ya da kapalı uç noktalarından birinde alır.

Fonksiyonun kritik noktaları birinci türevin sıfır ya da tanımsız olduğu iç noktalardır.

\( f'(x) = 2xe^{-x} - x^2e^{-x} \)

\( = e^{-x}x(2 - x) \)

Fonksiyonun birinci türevinin sıfır olduğu iç noktaları bulalım.

\( e^{-x}x(2 - x) = 0 \)

\( x \in \{ 0, 2 \} \)

Fonksiyonun birinci türevinin tanımsız olduğu iç nokta yoktur.

Kritik noktalar: \( x \in \{ 0, 2 \} \)

Fonksiyonun kritik noktalardaki değerini bulalım.

\( f(0) = 0^2e^{-0} = 0 \)

\( f(2) = 2^2e^{-2} = \dfrac{4}{e^2}\)

Fonksiyonun kapalı uç noktalarındaki değerini bulalım.

\( f(-1) = (-1)^2e^{-(-1)} = e \)

\( f(3) = 3^2e^{-3} = \dfrac{9}{e^3}\)

Bu değerleri karşılaştırdığımızda fonksiyonun mutlak minimum ve maksimum değerleri ve noktaları aşağıdaki gibi bulunur.

Mutlak minimum: Fonksiyonun \( 0 \) değerini aldığı \( x = 0 \) noktası

Mutlak maksimum: Fonksiyonun \( e \) değerini aldığı \( x = -1 \) noktası

Fonksiyonun grafiği ve karşılaştırma yaptığımız nokta ve değerler aşağıdaki şekilde gösterilmiştir.

\( f \) fonksiyonu kapalı bir aralıkta tanımlıdır ve bir logaritma fonksiyonu olduğu için tanım kümesi içinde süreklidir.

Kapalı bir aralıkta tanımlı ve sürekli bir fonksiyon, mutlak minimum ve maksimum değerlerini kritik ya da kapalı uç noktalarından birinde alır.

Fonksiyonun kritik noktaları birinci türevin sıfır ya da tanımsız olduğu iç noktalardır.

\( f'(x) = \dfrac{8x}{4x^2 + 2} \)

\( = \dfrac{4x}{2x^2 + 1} \)

Fonksiyonun birinci türevinin sıfır olduğu iç noktaları bulalım.

\( \dfrac{4x}{2x^2 + 1} = 0 \)

\( x = 0 \)

Fonksiyonun birinci türevinin tanımsız olduğu iç nokta yoktur.

Kritik nokta: \( x = 0 \)

Fonksiyonun kritik noktadaki değerini bulalım.

\( f(0) = \ln(4(0)^2 + 2) = \ln{2} \)

Fonksiyonun kapalı uç noktalarındaki değerini bulalım.

\( f(-4) = \ln(4(-4)^2 + 2) = \ln{66} \)

\( f(3) = \ln(4(3)^2 + 2) = \ln{38} \)

Bu değerleri karşılaştırdığımızda fonksiyonun mutlak minimum ve maksimum değerleri ve noktaları aşağıdaki gibi bulunur.

Mutlak minimum: Fonksiyonun \( \ln{2} \) değerini aldığı \( x = 0 \) noktası

Mutlak maksimum: Fonksiyonun \( \ln{66} \) değerini aldığı \( x = -4 \) noktası

Fonksiyonun grafiği ve karşılaştırma yaptığımız nokta ve değerler aşağıdaki şekilde gösterilmiştir.

\( f \) fonksiyonu yarı açık bir aralıkta tanımlıdır ve bir polinom fonksiyonu olduğu için süreklidir.

Fonksiyonun açık uç noktasındaki limitini bulalım.

\( \lim\limits_{x \to 2^+} (x^2 - 8x + 7) = 2^2 - 8(2) + 7 = -5 \)

Fonksiyonun mutlak minimum ve maksimum noktalarının olup olmadığını bulmak için kritik ve kapalı uç noktasındaki değerini bulalım.

Fonksiyonun kritik noktaları birinci türevin sıfır ya da tanımsız olduğu iç noktalardır.

\( f'(x) = 2x - 8 \)

Fonksiyonun tanım kümesi içinde birinci türevinin sıfır olduğu iç noktaları bulalım.

\( 2x - 8 = 0 \)

\( x = 4 \)

Fonksiyonun birinci türevinin tanımsız olduğu iç nokta yoktur.

Kritik nokta: \( x = 4 \)

Fonksiyonun kritik noktadaki değerini bulalım.

\( f(4) = 4^2 - 8(4) + 7 = -9 \)

Fonksiyonun kapalı uç noktasındaki değerini bulalım.

\( f(6) = 6^2 - 8(6) + 7 = -5 \)

Bu değerleri karşılaştırdığımızda fonksiyonun mutlak minimum ve maksimum değerleri ve noktaları aşağıdaki gibi bulunur.

Mutlak minimum: Fonksiyonun \( -9 \) değerini aldığı \( x = 4 \) noktası

Mutlak maksimum: Fonksiyonun \( -5 \) değerini aldığı \( x = 6 \) noktası

Fonksiyonun grafiği ve karşılaştırma yaptığımız nokta ve değerler aşağıdaki şekilde gösterilmiştir.

\( f \) fonksiyonu kapalı bir aralıkta tanımlıdır ve iki sürekli fonksiyonun toplamından oluştuğu için süreklidir.

Bir fonksiyonun alabileceği en küçük değer mutlak minimum değeridir.

Kapalı bir aralıkta tanımlı ve sürekli bir fonksiyon, mutlak minimum değerini kritik ya da kapalı uç noktalarından birinde alır.

Fonksiyonun kritik noktaları birinci türevin sıfır ya da tanımsız olduğu iç noktalardır.

\( f'(x) = 2\cos{x} + 1 \)

Fonksiyonun birinci türevinin sıfır olduğu iç noktaları bulalım.

\( 2\cos{x} + 1 = 0 \)

\( \cos{x} = -\dfrac{1}{2} \)

Kosinüs fonksiyonu \( -\frac{1}{2} \) değerini verilen tanım aralığında aşağıdaki açı değerlerinde alır.

\( x \in \{ \dfrac{2\pi}{3}, \dfrac{4\pi}{3} \} \)

Fonksiyonun birinci türevinin tanımsız olduğu iç nokta yoktur.

Kritik noktalar: \( x \in \{ \dfrac{2\pi}{3}, \dfrac{4\pi}{3} \} \)

Fonksiyonun kritik noktalardaki değerini bulalım.

\( f(\dfrac{2\pi}{3}) = 2\sin{\dfrac{2\pi}{3}} + \dfrac{2\pi}{3} - \sqrt{3} \)

\( = 2 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} + \dfrac{2\pi}{3} - \sqrt{3} \)

\( = \dfrac{2\pi}{3} \)

\( f(\dfrac{4\pi}{3}) = 2\sin{\dfrac{4\pi}{3}} + \dfrac{4\pi}{3} - \sqrt{3} \)

\( = 2(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}) + \dfrac{4\pi}{3} - \sqrt{3} \)

\( = \dfrac{4\pi}{3} - 2\sqrt{3} \)

Fonksiyonun kapalı uç noktalarındaki değerini bulalım.

\( f(0) = 2\sin{0} + 0 - \sqrt{3} \)

\( = 2(0) + 0 - \sqrt{3} = -\sqrt{3} \)

\( f(2\pi) = 2\sin{2\pi} + 2\pi - \sqrt{3} \)

\( = 2(0) + 2\pi - \sqrt{3} = 2\pi - \sqrt{3} \)

Bu değerleri karşılaştırdığımızda fonksiyonun mutlak minimum değeri olarak \( -\sqrt{3} \) değeri bulunur.

Fonksiyonun grafiği ve karşılaştırma yaptığımız nokta ve değerler aşağıdaki şekilde gösterilmiştir.

\( f \) fonksiyonu kapalı bir aralıkta tanımlıdır ve iki sürekli fonksiyonun çarpımından oluştuğu için süreklidir.

Bir fonksiyonun alabileceği en küçük değer mutlak minimum değeridir.

Kapalı bir aralıkta tanımlı ve sürekli bir fonksiyon, mutlak minimum değerini kritik ya da kapalı uç noktalarından birinde alır.

Fonksiyonun kritik noktaları birinci türevin sıfır ya da tanımsız olduğu iç noktalardır.

\( f'(x) = e^{x}\cos{x} - e^{x}\sin{x} \)

\( = e^{x}(\cos{x} - \sin{x}) \)

Fonksiyonun birinci türevinin sıfır olduğu iç noktaları bulalım.

\( e^{x}(\cos{x} - \sin{x}) = 0 \)

\( e^{x} \) tüm reel sayılarda pozitiftir.

\( \cos{x} - \sin{x} = 0 \)

\( \cos{x} = \sin{x} \)

\( \tan{x} = 1 \)

Tanjant fonksiyonu \( 1 \) değerini verilen tanım aralığında aşağıdaki açı değerinde alır.

\( x = \dfrac{\pi}{4} \)

Fonksiyonun birinci türevinin tanımsız olduğu iç nokta yoktur.

Kritik nokta: \( x = \dfrac{\pi}{4} \)

Fonksiyonun kritik noktadaki değerini bulalım.

\( f(\dfrac{\pi}{4}) = e^{\frac{\pi}{4}}\cos{\dfrac{\pi}{4}} = \dfrac{\sqrt{2}e^{\frac{\pi}{4}}}{2} \)

Fonksiyonun kapalı uç noktalarındaki değerini bulalım.

\( f(0) = e^{0}\cos{0} \)

\( = 1 \cdot 1 = 1 \)

\( f(\pi) = e^{\pi}\cos{\pi} \)

\( = e^{\pi}(-1) = -e^{\pi} \)

Bu değerleri karşılaştırdığımızda fonksiyonun mutlak minimum değeri olarak \( -e^{\pi} \) değeri bulunur

Fonksiyonun grafiği ve karşılaştırma yaptığımız nokta ve değerler aşağıdaki şekilde gösterilmiştir.

\( f \) fonksiyonu sonsuz aralıkta tanımlıdır ve bir polinom fonksiyonu olduğu için süreklidir.

Fonksiyonun sonsuzdaki limitlerini bulalım.

\( \lim\limits_{x \to \infty} (x^4 + 2x^3 - 2x^2 - 3) = \lim\limits_{x \to \infty} {x^4} = \infty \)

Buna göre fonksiyonun mutlak maksimum noktası yoktur.

\( \lim\limits_{x \to -\infty} (x^4 + 2x^3 - 2x^2 - 3) = \lim\limits_{x \to -\infty} {x^4} = \infty \)

Fonksiyonun mutlak minimum noktasının olup olmadığını bulmak için kritik noktalardaki değerini bulalım.

Fonksiyonun kritik noktaları birinci türevin sıfır ya da tanımsız olduğu iç noktalardır.

\( f'(x) = 4x^3 + 6x^2 - 4x \)

Fonksiyonun tanım kümesi içinde birinci türevinin sıfır olduğu iç noktaları bulalım.

\( 2x(2x - 1)(x + 2) = 0 \)

\( x \in \{ -2, 0, \frac{1}{2} \} \)

Fonksiyonun birinci türevinin tanımsız olduğu iç nokta yoktur.

Kritik noktalar: \( x \in \{ -2, 0, \frac{1}{2} \} \)

Fonksiyonun kritik noktalardaki değerini bulalım.

\( f(-2) = (-2)^4 + 2(-2)^3 - 2(-2)^2 - 3 = -11 \)

\( f(0) = 0^4 + 2(0)^3 - 2(0)^2 - 3 = -3 \)

\( f(\dfrac{1}{2}) = (\dfrac{1}{2})^4 + 2(\dfrac{1}{2})^3 - 2(\dfrac{1}{2})^2 - 3 = -\dfrac{51}{16} \)

Bu değerleri karşılaştırdığımızda fonksiyonun mutlak minimum ve maksimum değerleri ve noktaları aşağıdaki gibi bulunur.

Mutlak minimum: Fonksiyonun \( -11 \) değerini aldığı \( x = -2 \) noktası

Mutlak maksimum: \( x \to \infty \) ve \( x \to -\infty \) iken limit pozitif sonsuz olduğu için fonksiyonun mutlak maksimum noktası yoktur.

Fonksiyonun grafiği ve karşılaştırma yaptığımız nokta ve değerler aşağıdaki şekilde gösterilmiştir.

\( f \) fonksiyonu kapalı bir aralıkta tanımlıdır ve bir rasyonel fonksiyon olduğu için paydayı sıfır yapan ve tanım aralığı dışındaki \( x = -4 \) noktası hariç süreklidir.

Kapalı bir aralıkta tanımlı ve sürekli bir fonksiyon, mutlak minimum ve maksimum değerlerini kritik ya da kapalı uç noktalarından birinde alır.

Fonksiyonun kritik noktaları birinci türevin sıfır ya da tanımsız olduğu iç noktalardır.

\( f'(x) = \dfrac{9x^2(x + 4) - 3x^3(1)}{(x + 4)^2} \)

\( = \dfrac{6x^3 + 36x^2}{(x + 4)^2} \)

\( = \dfrac{6x^2(x + 6)}{(x + 4)^2} \)

Fonksiyonun tanım kümesi içinde birinci türevinin sıfır olduğu iç noktaları bulalım.

\( \dfrac{6x^2(x + 6)}{(x + 4)^2} = 0 \)

\( x = 0 \)

Fonksiyonun tanım kümesi içinde birinci türevinin tanımsız olduğu nokta yoktur.

Kritik nokta: \( x = 0 \)

Fonksiyonun kritik noktadaki değerini bulalım.

\( f(0) = \dfrac{3(0)^3}{0 + 4} = 0 \)

Fonksiyonun kapalı uç noktalarındaki değerini bulalım.

\( f(-2) = \dfrac{3(-2)^3}{(-2) + 4} = -12 \)

\( f(2) = \dfrac{3(2)^3}{2 + 4} = 4 \)

Bu değerleri karşılaştırdığımızda fonksiyonun mutlak minimum ve maksimum değerleri ve noktaları aşağıdaki gibi bulunur.

Mutlak minimum: Fonksiyonun \( -12 \) değerini aldığı \( x = -2 \) noktası

Mutlak maksimum: Fonksiyonun \( 4 \) değerini aldığı \( x = 2 \) noktası

Fonksiyonun grafiği ve karşılaştırma yaptığımız nokta ve değerler aşağıdaki şekilde gösterilmiştir.

\( f \) fonksiyonu kapalı bir aralıkta tanımlıdır ve bir rasyonel fonksiyon olduğu için paydayı sıfır yapan ve tanım aralığı dışındaki \( x = \pm\sqrt{5} \) noktaları hariç süreklidir.

Kapalı bir aralıkta tanımlı ve sürekli bir fonksiyon, mutlak minimum ve maksimum değerlerini kritik ya da kapalı uç noktalarından birinde alır.

Fonksiyonun kritik noktaları birinci türevin sıfır ya da tanımsız olduğu iç noktalardır.

\( f'(x) = \dfrac{1(x^2 - 5) - (x + 3)(2x)}{(x^2 - 5)^2} \)

\( = \dfrac{-x^2 - 6x - 5}{(x^2 - 5)^2} \)

\( = -\dfrac{(x + 5)(x + 1)}{(x^2 - 5)^2} \)

Fonksiyonun tanım kümesi içinde birinci türevinin sıfır olduğu iç noktaları bulalım.

\( -\dfrac{(x + 5)(x + 1)}{(x^2 - 5)^2} = 0 \)

\( x = -1 \)

Fonksiyonun tanım kümesi içinde birinci türevinin tanımsız olduğu nokta yoktur.

Kritik nokta: \( x = -1 \)

Fonksiyonun kritik noktadaki değerini bulalım.

\( f(-1) = \dfrac{-1 + 3}{(-1)^2 - 5} = -\dfrac{1}{2} \)

Fonksiyonun kapalı uç noktalarındaki değerini bulalım.

\( f(-2) = \dfrac{-2 + 3}{(-2)^2 - 5} = -1 \)

\( f(2) = \dfrac{2 + 3}{2^2 - 5} = -5 \)

Bu değerleri karşılaştırdığımızda fonksiyonun mutlak minimum ve maksimum değerleri ve noktaları aşağıdaki gibi bulunur.

Mutlak minimum: Fonksiyonun \( -5 \) değerini aldığı \( x = 2 \) noktası

Mutlak maksimum: Fonksiyonun \( -\frac{1}{2} \) değerini aldığı \( x = -1 \) noktası

Fonksiyonun grafiği ve karşılaştırma yaptığımız nokta ve değerler aşağıdaki şekilde gösterilmiştir.

Mutlak değer fonksiyonunu parçalı fonksiyon şeklinde yazalım.

\( f(x) = \begin{cases} 4 - x & 1 \le x \lt 4 \\ x - 4 & 4 \le x \le 10 \end{cases} \)

\( f \) parçalı fonksiyonunun \( x = 4 \) geçiş noktasında sürekli olup olmadığını bulalım.

\( x = 4 \) noktasındaki soldan limiti bulalım.

\( \lim\limits_{x \to 4^-} {f(x)} = \lim\limits_{x \to 4^-} (4 - x) \)

\( = 4 - 4 = 0 \)

\( x = 4 \) noktasındaki sağdan limiti bulalım.

\( \lim\limits_{x \to 4^+} {f(x)} = \lim\limits_{x \to 4^+} (x - 4) \)

\( = 4 - 4 = 0 \)

\( x = 4 \) noktasındaki fonksiyon değerini bulalım.

\( f(4) = 4 - 4 = 0 \)

Buna göre bu noktada soldan ve sağdan limitler ve fonksiyon değeri birer reel sayı olarak tanımlı ve birbirine eşittir, dolayısıyla fonksiyon \( x = 4 \) noktasında süreklidir.

\( f(4^-) = f(4^+) = f(4) \)

Fonksiyonun mutlak minimum ve maksimum noktalarının olup olmadığını bulmak için kritik ve kapalı uç noktalarındaki değerini bulalım.

\( f \) fonksiyonunun türevini bulalım.

Sürekliliğini gösterdiğimiz bu noktadaki türevlenebilirliği kontrol edelim.

Fonksiyonun \( x = 4 \) noktasındaki soldan türevini bulalım.

\( f'(x) = -1 \)

\( f'(4^-) = -1 \)

Fonksiyonun \( x = 4 \) noktasındaki sağdan türevini bulalım.

\( f'(x) = 1 \)

\( f'(4^+) = 1 \)

Buna göre bu noktada soldan ve sağdan türevler birbirine eşit değildir, dolayısıyla fonksiyonun \( x = 4 \) noktasında türevi tanımsızdır.

\( f'(x) = \begin{cases} -1 & 1 \le x \lt 4 \\ \text{Tanımsız} & x = 4 \\ 1 & 4 \lt x \le 10 \end{cases} \)

Fonksiyonun kritik noktaları birinci türevin sıfır ya da tanımsız olduğu iç noktalardır.

Fonksiyonun tanım kümesi içinde birinci türevinin sıfır olduğu iç noktaları bulalım.

Her iki aralık için de türev sabittir ve sırasıyla \( -1 \) ve \( 1 \) değerlerini alır. Dolayısıyla türevi sıfır yapan bir \( x \) değeri yoktur.

Fonksiyonun \( x = 4 \) noktasında birinci türevi tanımsızdır.

Kritik nokta: \( x = 4 \)

Fonksiyonun kritik noktadaki değerini bulalım.

\( f(4) = 4 - 4 = 0 \)

Fonksiyonun kapalı uç noktalarındaki değerini bulalım.

\( f(1) = 4 - 1 = 3 \)

\( f(10) = 10 - 4 = 6 \)

Bu değerleri karşılaştırdığımızda fonksiyonun mutlak minimum ve maksimum değerleri ve noktaları aşağıdaki gibi bulunur.

Mutlak minimum: Fonksiyonun \( 0 \) değerini aldığı \( x = 4 \) noktası

Mutlak maksimum: Fonksiyonun \( 6 \) değerini aldığı \( x = 10 \) noktası

Fonksiyonun grafiği ve karşılaştırma yaptığımız nokta ve değerler aşağıdaki şekilde gösterilmiştir.

\( f \) fonksiyonu sonsuz aralıkta tanımlıdır ve bir rasyonel fonksiyon olduğu için paydayı sıfır yapan \( x = 4 \) noktası hariç süreklidir.

Fonksiyonun sonsuzdaki limitlerini bulalım.

\( \lim\limits_{x \to \infty} {\dfrac{x + 4}{x - 4}} = 1 \)

\( \lim\limits_{x \to -\infty} {\dfrac{x + 4}{x - 4}} = 1 \)

Fonksiyonun süreksiz olduğu \( x = 4 \) noktasındaki soldan ve sağdan limitlerini bulalım.

\( \lim\limits_{x \to 4^+} {\dfrac{x + 4}{x - 4}} = \dfrac{4 + 4}{4^+ - 4} \)

\( = \dfrac{8}{0^+} = \infty \)

Buna göre fonksiyonun mutlak maksimum noktası yoktur.

\( \lim\limits_{x \to 4^-} {\dfrac{4 + 4}{4^- - 4}} \)

\( = \dfrac{8}{0^-} = -\infty \)

Buna göre fonksiyonun mutlak minimum noktası yoktur.

Mutlak minimum: \( x \to 4^- \) iken limit negatif sonsuz olduğu için fonksiyonun mutlak minimum noktası yoktur.

Mutlak maksimum: \( x \to 4^+ \) iken limit pozitif sonsuz olduğu için fonksiyonun mutlak maksimum noktası yoktur.

Fonksiyonun grafiği ve karşılaştırma yaptığımız nokta ve değerler aşağıdaki şekilde gösterilmiştir.

\( f \) fonksiyonu sonsuz aralıkta tanımlıdır ve bir rasyonel fonksiyon olduğu için paydayı sıfır yapan \( x = \pm 3 \) noktaları hariç süreklidir.

Fonksiyonun sonsuzdaki limitlerini bulalım.

\( \lim\limits_{x \to \infty} {\dfrac{x^2 + 1}{x^2 - 9}} = 1 \)

\( \lim\limits_{x \to -\infty} {\dfrac{x^2 + 1}{x^2 - 9}} = 1 \)

Fonksiyonun süreksiz olduğu \( x = \pm 3 \) noktalarındaki soldan ve sağdan limitlerini bulalım.

\( \lim\limits_{x \to 3^+} {\dfrac{x^2 + 1}{x^2 - 9}} = \dfrac{3^2 + 1}{(3^+)^2 - 9} \)

\( = \dfrac{10}{0^+} = \infty \)

Buna göre fonksiyonun mutlak maksimum noktası yoktur.

\( \lim\limits_{x \to 3^-} {\dfrac{x^2 + 1}{x^2 - 9}} = \dfrac{3^2 + 1}{(3^-)^2 - 9} \)

\( = \dfrac{10}{0^-} = -\infty \)

Buna göre fonksiyonun mutlak minimum noktası yoktur.

\( \lim\limits_{x \to -3^+} {\dfrac{x^2 + 1}{x^2 - 9}} = \dfrac{(-3)^2 + 1}{(-3^+)^2 - 9} \)

\( = \dfrac{10}{0^-} = -\infty \)

\( \lim\limits_{x \to -3^-} {\dfrac{x^2 + 1}{x^2 - 9}} = \dfrac{(-3)^2 + 1}{(-3^-)^2 - 9} \)

\( = \dfrac{10}{0^+} = \infty \)

Mutlak minimum: \( x \to 3^- \) ve \( x \to -3^+ \) iken limit negatif sonsuz olduğu için fonksiyonun mutlak minimum noktası yoktur.

Mutlak maksimum: \( x \to 3^+ \) ve \( x \to -3^- \) iken limit pozitif sonsuz olduğu için fonksiyonun mutlak maksimum noktası yoktur.

Fonksiyonun grafiği ve karşılaştırma yaptığımız nokta ve değerler aşağıdaki şekilde gösterilmiştir.

\( f \) fonksiyonu açık bir aralıkta tanımlıdır ve bir rasyonel fonksiyon olduğu için paydayı sıfır yapan ve tanım aralığı dışındaki \( x = \pm \frac{\pi}{2} \) noktaları hariç süreklidir.

Fonksiyonun açık uç noktalarındaki limitini bulalım.

\( \lim\limits_{x \to -\frac{\pi}{2}^+} {\dfrac{1}{\cos{x}}} = \dfrac{1}{\cos(-\frac{\pi}{2}^+)} \)

\( = \dfrac{1}{0^+} = \infty \)

Buna göre fonksiyonun mutlak maksimum noktası yoktur.

\( \lim\limits_{x \to \frac{\pi}{2}^-} {\dfrac{1}{\cos{x}}} = \dfrac{1}{\cos{\frac{\pi}{2}^-}} \)

\( = \dfrac{1}{0^+} = \infty \)

Fonksiyonun mutlak minimum noktasının olup olmadığını bulmak için kritik noktalardaki değerini bulalım.

Fonksiyonun kritik noktaları birinci türevin sıfır ya da tanımsız olduğu iç noktalardır.

\( f'(x) = \dfrac{\sin{x}}{\cos^2{x}} \)

Fonksiyonun tanım kümesi içinde birinci türevinin sıfır olduğu iç noktaları bulalım.

\( \dfrac{\sin{x}}{\cos^2{x}} = 0 \)

\( \sin{x} = 0 \)

Sinüs fonksiyonu \( 0 \) değerini verilen tanım aralığında aşağıdaki \( x \) değerinde alır.

\( x = 0 \)

Fonksiyonun tanım kümesi içinde birinci türevinin tanımsız olduğu iç nokta yoktur.

Kritik nokta: \( x = 0 \)

Fonksiyonun kritik noktadaki değerini bulalım.

\( f(0) = \dfrac{1}{\cos{0}} = \dfrac{1}{1} = 1 \)

Bu değerleri karşılaştırdığımızda fonksiyonun mutlak minimum ve maksimum değerleri ve noktaları aşağıdaki gibi bulunur.

Mutlak minimum: Fonksiyonun \( 1 \) değerini aldığı \( x = 0 \) noktası

Mutlak maksimum: \( x \to -\frac{\pi}{2}^+ \) ve \( x \to \frac{\pi}{2}^- \) iken limit sonsuz olduğu için fonksiyonun mutlak maksimum noktası yoktur.

Fonksiyonun grafiği ve karşılaştırma yaptığımız nokta ve değerler aşağıdaki şekilde gösterilmiştir.

\( f \) fonksiyonu yarı açık bir aralıkta tanımlıdır ve bir rasyonel fonksiyon olduğu için paydayı sıfır yapan ve tanım aralığı dışındaki \( x = 4 \) noktası hariç süreklidir.

Fonksiyonun açık uç noktasındaki limitini bulalım.

\( \lim\limits_{x \to 4^-} {\dfrac{x^2 + 8x - 47}{x - 4}} = \dfrac{4^2 + 8(4) - 47}{4^- - 4} \)

\( = \dfrac{1}{0^-} = -\infty \)

Buna göre fonksiyonun mutlak minimum noktası yoktur.

Fonksiyonun mutlak maksimum noktasının olup olmadığını bulmak için kritik ve kapalı uç noktasındaki değerini bulalım.

Fonksiyonun kritik noktaları birinci türevin sıfır ya da tanımsız olduğu iç noktalardır.

\( f'(x) = \dfrac{(2x + 8)(x - 4) - (x^2 + 8x - 47)(1)}{(x - 4)^2} \)

\( = \dfrac{x^2 - 8x + 15}{(x - 4)^2} \)

Fonksiyonun tanım kümesi içinde birinci türevinin sıfır olduğu iç noktaları bulalım.

\( \dfrac{(x - 3)(x - 5)}{(x - 4)^2} = 0\)

\( x = 3 \)

Fonksiyonun tanım kümesi içinde birinci türevinin tanımsız olduğu nokta yoktur.

Kritik nokta: \( x = 3 \)

Fonksiyonun kritik noktadaki değerini bulalım.

\( f(3) = \dfrac{3^2 + 8(3) - 47}{3 - 4} = 14 \)

Fonksiyonun kapalı uç noktasındaki değerini bulalım.

\( f(0) = \dfrac{0^2 + 8(0) - 47}{0 - 4} = \dfrac{47}{4} \)

Bu değerleri karşılaştırdığımızda fonksiyonun mutlak minimum ve maksimum değerleri ve noktaları aşağıdaki gibi bulunur.

Mutlak minimum: \( x \to 4^- \) iken limit negatif sonsuz olduğu için fonksiyonun mutlak minimum noktası yoktur.

Mutlak maksimum: Fonksiyonun \( 14 \) değerini aldığı \( x = 3 \) noktası

Fonksiyonun grafiği ve karşılaştırma yaptığımız nokta ve değerler aşağıdaki şekilde gösterilmiştir.

\( f \) fonksiyonu sonsuz aralıkta tanımlıdır ve paydası tüm reel sayılarda pozitif olan bir rasyonel fonksiyon olduğu için süreklidir.

Fonksiyonun açık uç noktalarındaki limitini bulalım.

\( \lim\limits_{x \to 0^+} {\dfrac{5x}{x^2 + 4}} = \dfrac{5(0)}{0^2 + 4} = 0 \)

\( \lim\limits_{x \to \infty} {\dfrac{5x}{x^2 + 4}} = 0 \)

Fonksiyonun mutlak minimum ve maksimum noktasının olup olmadığını bulmak için kritik noktalardaki değerini bulalım.

Fonksiyonun kritik noktaları birinci türevin sıfır ya da tanımsız olduğu iç noktalardır.

\( f'(x) = \dfrac{5(x^2 + 4) - 5x(2x)}{(x^2 + 4)^2} \)

\( = \dfrac{-5(x^2 - 4)}{(x^2 + 4)^2} \)

Fonksiyonun tanım kümesi içinde birinci türevinin sıfır olduğu iç noktaları bulalım.

\( \dfrac{-5(x - 2)(x + 2)}{(x^2 + 4)^2} = 0 \)

\( x = 2 \)

Fonksiyonun birinci türevinin tanımsız olduğu iç nokta yoktur.

Kritik nokta: \( x = 2 \)

Fonksiyonun kritik noktadaki değerini bulalım.

\( f(2) = \dfrac{5(2)}{2^2 + 4} = \dfrac{5}{4} \)

Bu değerleri karşılaştırdığımızda fonksiyonun mutlak minimum ve maksimum değerleri ve noktaları aşağıdaki gibi bulunur.

Mutlak minimum: \( x \to 0^+ \) ve \( x \to \infty \) iken limit sıfır olduğu, ancak fonksiyon bu değeri almadığı için fonksiyonun mutlak minimum noktası yoktur.

Mutlak maksimum: Fonksiyonun \( \frac{5}{4} \) değerini aldığı \( x = 2 \) noktası

Fonksiyonun grafiği ve karşılaştırma yaptığımız nokta ve değerler aşağıdaki şekilde gösterilmiştir.

\( f \) fonksiyonu kapalı bir aralıkta tanımlıdır ve iki sürekli fonksiyonun çarpımından oluştuğu için tanım kümesi içinde süreklidir.

Kapalı bir aralıkta tanımlı ve sürekli bir fonksiyon, mutlak minimum ve maksimum değerlerini kritik ya da kapalı uç noktalarından birinde alır.

Fonksiyonun kritik noktaları birinci türevin sıfır ya da tanımsız olduğu iç noktalardır.

\( f'(x) = \sqrt{4 - x^2} -\dfrac{x^2}{\sqrt{4 - x^2}} \)

\( = \dfrac{4 - 2x^2}{\sqrt{4 - x^2}} \)

Fonksiyonun birinci türevinin sıfır olduğu iç noktaları bulalım.

\( \dfrac{4 - 2x^2}{\sqrt{4 - x^2}} = 0 \)

\( 4 - 2x^2 = 0 \)

\( x = \pm \sqrt{2} \)

Fonksiyonun birinci türevinin tanımsız olduğu iç nokta yoktur.

Kritik noktalar: \( x = \pm \sqrt{2} \)

Fonksiyonun kritik noktalardaki değerini bulalım.

\( f(-\sqrt{2}) = -\sqrt{2}\sqrt{4 - (-\sqrt{2})^2} = -2 \)

\( f(\sqrt{2}) = \sqrt{2}\sqrt{4 - (\sqrt{2})^2} = 2 \)

Fonksiyonun kapalı uç noktalarındaki değerini bulalım.

\( f(-2) = -2\sqrt{4 - (-2)^2} = 0 \)

\( f(2) = 2\sqrt{4 - 2^2} = 0 \)

Bu değerleri karşılaştırdığımızda fonksiyonun mutlak minimum ve maksimum değerleri ve noktaları aşağıdaki gibi bulunur.

Mutlak minimum: Fonksiyonun \( -2 \) değerini aldığı \( x = -\sqrt{2} \) noktası

Mutlak maksimum: Fonksiyonun \( 2 \) değerini aldığı \( x = \sqrt{2} \) noktası

Fonksiyonun grafiği ve karşılaştırma yaptığımız nokta ve değerler aşağıdaki şekilde gösterilmiştir.

\( f \) fonksiyonu sonsuz aralıkta tanımlıdır.

Fonksiyonun sonsuzdaki limitlerini bulalım.

\( \lim\limits_{x \to -\infty} {f(x)} = \lim\limits_{x \to -\infty} (x^2 - 4x - 12) \)

\( = \lim\limits_{x \to -\infty} {x^2} = \infty \)

Buna göre fonksiyonun mutlak maksimum değeri yoktur.

\( \lim\limits_{x \to \infty} {f(x)} = \lim\limits_{x \to \infty} (x + 2) = \infty \)

\( f \) parçalı fonksiyonunun \( x = 0 \) geçiş noktasında sürekli olup olmadığını bulalım.

\( x = 0 \) noktasındaki soldan limiti bulalım.

\( \lim\limits_{x \to 0^-} {f(x)} = \lim\limits_{x \to 0^-} (x^2 - 4x - 12) \)

\( = 0^2 - 4(0) - 12 = -12 \)

\( x = 0 \) noktasındaki sağdan limiti bulalım.

\( \lim\limits_{x \to 0^+} {f(x)} = \lim\limits_{x \to 0^+} (x + 2) \)

\( = 0 + 2 = 2 \)

Soldan ve sağdan limitler birbirine eşit olmadığı için fonksiyon \( x = 0 \) noktasında süreksizdir.

Fonksiyonun mutlak minimum noktasının olup olmadığını bulmak için kritik noktadaki değerini bulalım.

\( f \) fonksiyonunun türevini bulalım.

Fonksiyon \( x = 0 \) noktasında süreksiz olduğu için türevi tanımsızdır.

\( f'(x) = \begin{cases} 2x - 4 & x \lt 0 \\ \text{Tanımsız} & x = 0 \\ 1 & x \gt 0 \end{cases} \)

Fonksiyonun kritik noktaları birinci türevin sıfır ya da tanımsız olduğu iç noktalardır.

Fonksiyonun tanım kümesi içinde birinci türevinin sıfır olduğu iç noktaları bulalım.

\( x \lt 0 \) için:

\( 2x - 4 = 0 \)

Bu aralıkta bu denklemi sağlayan bir \( x \) değeri yoktur.

\( x \gt 0 \) için:

\( 1 = 0 \)

Bu denklemi sağlayan bir \( x \) değeri yoktur.

Fonksiyonun \( x = 0 \) noktasında birinci türevi tanımsızdır.

Kritik nokta: \( x = 0 \)

Fonksiyonun kritik noktadaki değerini bulalım.

\( f(0) = 0 + 2 = 2 \)

Bu değerleri karşılaştırdığımızda fonksiyonun mutlak minimum ve maksimum değerleri ve noktaları aşağıdaki gibi bulunur.

Mutlak minimum: \( x \to 0^- \) iken limit değeri (\( -12 \)) karşılaştırma yaptığımız diğer değerlerden küçük olduğu ve fonksiyon bu limit değerini almadığı için fonksiyonun mutlak minimum noktası yoktur.

Mutlak maksimum: \( x \to \infty \) ve \( x \to -\infty \) iken limit sonsuz olduğu için fonksiyonun mutlak maksimum noktası yoktur.

Fonksiyonun grafiği ve karşılaştırma yaptığımız nokta ve değerler aşağıdaki şekilde gösterilmiştir.

Mutlak değer fonksiyonunu parçalı fonksiyon şeklinde yazalım.

Sinüs fonksiyonu birinci ve ikinci bölgede pozitif, üçüncü ve dördüncü bölgede negatif değer alır.

\( f(x) = \begin{cases} \sin{x} & 0 \le x \le \pi \\ -\sin{x} & \pi \lt x \le 2\pi \end{cases} \)

\( f \) parçalı fonksiyonunun \( x = \pi \) geçiş noktasında sürekli olup olmadığını bulalım.

\( x = \pi \) noktasındaki soldan limiti bulalım.

\( \lim\limits_{x \to \pi^-} {f(x)} = \lim\limits_{x \to \pi^-} {\sin{x}} \)

\( = \sin{\pi} = 0 \)

\( x = \pi \) noktasındaki sağdan limiti bulalım.

\( \lim\limits_{x \to \pi^+} {f(x)} = \lim\limits_{x \to \pi^+} (-\sin{x}) \)

\( = -\sin{\pi} = 0 \)

\( x = \pi \) noktasındaki fonksiyon değerini bulalım.

\( f(\pi) = \sin{\pi} = 0 \)

Buna göre bu noktada soldan ve sağdan limitler ve fonksiyon değeri birer reel sayı olarak tanımlı ve birbirine eşittir, dolayısıyla fonksiyon \( x = \pi \) noktasında süreklidir.

\( f(\pi^-) = f(\pi^+) = f(\pi) \)

Fonksiyonun mutlak minimum ve maksimum noktalarının olup olmadığını bulmak için kritik ve kapalı uç noktalarındaki değerini bulalım.

\( f \) fonksiyonunun türevini bulalım.

Sürekliliğini gösterdiğimiz \( x = \pi \) noktasındaki türevlenebilirliği kontrol edelim.

Fonksiyonun \( x = \pi \) noktasındaki soldan türevini bulalım.

\( f'(x) = \cos{x} \)

\( f'(\pi^-) = \cos{\pi} = -1 \)

Fonksiyonun \( x = \pi \) noktasındaki sağdan türevini bulalım.

\( f'(x) = -\cos{x} \)

\( f'(\pi^+) = -\cos{\pi} = 1 \)

Buna göre bu noktada soldan ve sağdan türevler birbirine eşit değildir, dolayısıyla fonksiyonun \( x = \pi \) noktasında türevi tanımsızdır.

\( f'(x) = \begin{cases} \cos{x} & 0 \le x \lt \pi \\ \text{Tanımsız} & x = \pi \\ -\cos{x} & \pi \lt x \le 2\pi \end{cases} \)

Fonksiyonun kritik noktaları birinci türevin sıfır ya da tanımsız olduğu iç noktalardır.

Fonksiyonun tanım kümesi içinde birinci türevinin sıfır olduğu iç noktaları bulalım.

\( 0 \le x \lt \pi \) için:

\( \cos{x} = 0 \)

Kosinüs fonksiyonu \( 0 \) değerini verilen tanım aralığı içinde aşağıdaki açı değerinde alır.

\( x = \dfrac{\pi}{2} \)

\( \pi \lt x \le 2\pi \) için:

\( -\cos{x} = 0 \)

Kosinüs fonksiyonu \( 0 \) değerini verilen tanım aralığı içinde aşağıdaki açı değerinde alır.

\( x = \dfrac{3\pi}{2} \)

Fonksiyonun \( x = \pi \) noktasında birinci türevi tanımsızdır.

Kritik noktalar: \( x \in \{ \frac{\pi}{2}, \pi, \frac{3\pi}{2} \} \)

Fonksiyonun kritik noktalardaki değerini bulalım.

\( f(\dfrac{\pi}{2}) = \sin{\dfrac{\pi}{2}} = 1 \)

\( f(\pi) = \sin{\pi} = 0 \)

\( f(\dfrac{3\pi}{2}) = -\sin{\dfrac{3\pi}{2}} = 1 \)

Fonksiyonun kapalı uç noktalarındaki değerini bulalım.

\( f(0) = \sin{0} = 0 \)

\( f(2\pi) = -\sin(2\pi) = 0 \)

Bu değerleri karşılaştırdığımızda fonksiyonun mutlak minimum ve maksimum değerleri ve noktaları aşağıdaki gibi bulunur.

Mutlak minimum: Fonksiyonun \( 0 \) değerini aldığı \( x = 0, x = \pi \) ve \( x = 2\pi \) noktaları

Mutlak maksimum: Fonksiyonun \( 1 \) değerini aldığı \( x = \frac{\pi}{2} \) ve \( x = \frac{3\pi}{2} \) noktaları

Fonksiyonun grafiği ve karşılaştırma yaptığımız nokta ve değerler aşağıdaki şekilde gösterilmiştir.

Mutlak değer fonksiyonunu parçalı fonksiyon şeklinde yazalım.

\( f(x) = \begin{cases} \sqrt{2 - 4x} & 0 \le x \lt \dfrac{1}{2} \\ \sqrt{4x - 2} & \dfrac{1}{2} \le x \le 2 \end{cases} \)

\( f \) parçalı fonksiyonunun \( x = \frac{1}{2} \) geçiş noktasında sürekli olup olmadığını bulalım.

\( x = \frac{1}{2} \) noktasındaki soldan limiti bulalım.

\( \lim\limits_{x \to \frac{1}{2}^-} {f(x)} = \lim\limits_{x \to \frac{1}{2}^-} {\sqrt{2 - 4x}} \)

\( = \sqrt{2 - 4(\frac{1}{2})} = 0 \)

\( x = \frac{1}{2} \) noktasındaki sağdan limiti bulalım.

\( \lim\limits_{x \to \frac{1}{2}^+} {f(x)} = \lim\limits_{x \to \frac{1}{2}^+} {\sqrt{4x - 2}} \)

\( = \sqrt{4(\frac{1}{2}) - 2} = 0 \)

\( x = \frac{1}{2} \) noktasındaki fonksiyon değerini bulalım.

\( f(\frac{1}{2}) = \sqrt{4(\frac{1}{2}) - 2} = 0 \)

Buna göre bu noktada soldan ve sağdan limitler ve fonksiyon değeri birer reel sayı olarak tanımlı ve birbirine eşittir, dolayısıyla fonksiyon \( x = \frac{1}{2} \) noktasında süreklidir.

\( f(\frac{1}{2}^-) = f(\frac{1}{2}^+) = f(\frac{1}{2}) \)

Fonksiyonun mutlak minimum ve maksimum noktalarının olup olmadığını bulmak için kritik ve kapalı uç noktalarındaki değerini bulalım.

\( f \) fonksiyonunun türevini bulalım.

Sürekliliğini gösterdiğimiz \( x = \frac{1}{2} \) noktasındaki türevlenebilirliği kontrol edelim.

Fonksiyonun \( x = \frac{1}{2} \) noktasındaki soldan türevini bulalım.

\( f'(x) = -\dfrac{2}{\sqrt{2 - 4x}} \)

\( f'(\frac{1}{2}^-) = -\dfrac{2}{\sqrt{2 - 4(\frac{1}{2}^-)}} \)

\( = -\dfrac{2}{\sqrt{0^+}} = -\infty \)

Fonksiyonun \( x = \frac{1}{2} \) noktasındaki sağdan türevini bulalım.

\( f'(x) = \dfrac{2}{\sqrt{4x - 2}} \)

\( f'(\frac{1}{2}^+) = \dfrac{2}{\sqrt{4(\frac{1}{2}^+) - 2}} \)

\( = \dfrac{2}{\sqrt{0^+}} = \infty \)

Buna göre bu noktada soldan ve sağdan türevler birer reel sayı olarak tanımlı değildir, dolayısıyla fonksiyonun \( x = \frac{1}{2} \) noktasında türevi tanımsızdır.

\( f'(x) = \begin{cases} -\dfrac{2}{\sqrt{2 - 4x}} & 0 \le x \lt \dfrac{1}{2} \\ \text{Tanımsız} & x = \dfrac{1}{2} \\ \dfrac{2}{\sqrt{4x - 2}} & \dfrac{1}{2} \lt x \le 2 \end{cases} \)

Fonksiyonun kritik noktaları birinci türevin sıfır ya da tanımsız olduğu iç noktalardır.

Fonksiyonun tanım kümesi içinde birinci türevinin sıfır olduğu iç noktaları bulalım.

\( 0 \le x \lt \frac{1}{2} \) için:

\( -\dfrac{2}{\sqrt{2 - 4x}} = 0 \)

Bu denklemi sağlayan bir \( x \) değeri yoktur.

\( \frac{1}{2} \lt x \le 2 \) için:

\( \dfrac{2}{\sqrt{2 - 4x}} = 0 \)

Bu denklemi sağlayan bir \( x \) değeri yoktur.

Fonksiyonun \( x = \frac{1}{2} \) noktasında birinci türevi tanımsızdır.

Kritik nokta: \( x = \frac{1}{2} \)

Fonksiyonun kritik noktadaki değerini bulalım.

\( f(\frac{1}{2}) = \sqrt{4(\frac{1}{2}) - 2} = 0 \)

Fonksiyonun kapalı uç noktalarındaki değerini bulalım.

\( f(0) = \sqrt{2 - 4(0)} = \sqrt{2} \)

\( f(2) = \sqrt{4(2) - 2} = \sqrt{6} \)

Bu değerleri karşılaştırdığımızda fonksiyonun mutlak minimum ve maksimum değerleri ve noktaları aşağıdaki gibi bulunur.

Mutlak minimum: Fonksiyonun \( 0 \) değerini aldığı \( x = \frac{1}{2} \) noktası

Mutlak maksimum: Fonksiyonun \( \sqrt{6} \) değerini aldığı \( x = 2 \) noktası

Fonksiyonun grafiği ve karşılaştırma yaptığımız nokta ve değerler aşağıdaki şekilde gösterilmiştir.

\( f \) fonksiyonu kapalı bir aralıkta tanımlıdır ve bir polinom fonksiyonu olduğu için süreklidir.

Kapalı bir aralıkta tanımlı ve sürekli bir fonksiyon, mutlak minimum ve maksimum değerlerini kritik ya da kapalı uç noktalarından birinde alır.

Fonksiyonun kritik noktaları birinci türevin sıfır ya da tanımsız olduğu iç noktalardır.

\( f'(x) = -3x^2 - 2 \)

Fonksiyonun birinci türevinin sıfır olduğu iç noktaları bulalım.

\( -3x^2 - 2 = 0 \)

\( x^2 = -\dfrac{2}{3} \)

Fonksiyonun birinci türevinin sıfır olduğu nokta yoktur.

Fonksiyonun birinci türevinin tanımsız olduğu iç nokta yoktur.

Kritik noktalar: \( x \in \emptyset \)

Uç değer teoremine göre, kapalı bir aralıkta tanımlı ve sürekli bir fonksiyon bu aralıkta en az bir kez mutlak minimum ve en az bir kez mutlak maksimum değeri alır.

Buna göre fonksiyon, mutlak ekstremum değerlerini sınır noktalarında alır.

Türev fonksiyonu tüm tanım aralığında negatiftir.

\( f'(x) = -3x^2 - 2 \lt 0 \)

Dolayısıyla \( f \) fonksiyonu daima azalandır.

Bu nedenle fonksiyon en büyük değerini tanım aralığının sol uç noktasında, en küçük değerini de sağ uç noktasında alır.

Buna göre fonksiyonun mutlak minimum ve maksimum noktaları aşağıdaki gibi bulunur.

Mutlak minimum: \( x = b \) noktası

Mutlak maksimum: \( x = a \) noktası

Fonksiyonun grafiği ve karşılaştırma yaptığımız nokta ve değerler aşağıdaki şekilde gösterilmiştir.

Mutlak değer fonksiyonunu parçalı fonksiyon şeklinde yazalım.

\( f(x) = \begin{cases} -x - 3 - x + 7 & -4 \le x \lt -3 \\ x + 3 - x + 7 & -3 \le x \lt 7 \\ x + 3 + x - 7 & 7 \le x \le 10 \end{cases} \)

İfadeyi düzenleyelim.

\( f(x) = \begin{cases} 4 - 2x & -4 \le x \lt -3 \\ 10 & -3 \le x \lt 7 \\ 2x - 4 & 7 \le x \le 10 \end{cases} \)

\( f \) parçalı fonksiyonunun \( x = -3 \) geçiş noktasında sürekli olup olmadığını bulalım.

\( x = -3 \) noktasındaki soldan limiti bulalım.

\( \lim\limits_{x \to -3^-} {f(x)} = \lim\limits_{x \to -3^-} (4 - 2x) \)

\( = 4 - 2(-3) = 10 \)

\( x = -3 \) noktasındaki sağdan limiti bulalım.

\( \lim\limits_{x \to -3^+} {f(x)} = \lim\limits_{x \to -3^+} {10} = 10 \)

\( x = -3 \) noktasındaki fonksiyon değerini bulalım.

\( f(-3) = 10 \)

Buna göre bu noktada soldan ve sağdan limitler ve fonksiyon değeri birer reel sayı olarak tanımlı ve birbirine eşittir, dolayısıyla fonksiyon \( x = -3 \) noktasında süreklidir.

\( f(-3^-) = f(-3^+) = f(-3) \)

\( f \) parçalı fonksiyonunun \( x = 7 \) geçiş noktasında sürekli olup olmadığını bulalım.

\( x = 7 \) noktasındaki soldan limiti bulalım.

\( \lim\limits_{x \to 7^-} {f(x)} = \lim\limits_{x \to 7^-} {10} = 10 \)

\( x = 7 \) noktasındaki sağdan limiti bulalım.

\( \lim\limits_{x \to 7^+} {f(x)} = \lim\limits_{x \to 7^+} (2x - 4) \)

\( = 2(7) - 4 = 10 \)

\( x = 7 \) noktasındaki fonksiyon değerini bulalım.

\( f(7) = 2(7) - 4 = 10 \)

Buna göre bu noktada soldan ve sağdan limitler ve fonksiyon değeri birer reel sayı olarak tanımlı ve birbirine eşittir, dolayısıyla fonksiyon \( x = 7 \) noktasında süreklidir.

\( f(7^-) = f(7^+) = f(7) \)

Fonksiyonun mutlak minimum ve maksimum noktalarının olup olmadığını bulmak için kritik ve kapalı uç noktalarındaki değerini bulalım.

\( f \) fonksiyonunun türevini bulalım.

Sürekliliğini gösterdiğimiz bu noktalardaki türevlenebilirliği kontrol edelim.

Fonksiyonun \( x = -3 \) noktasındaki soldan türevini bulalım.

\( f'(x) = -2 \)

\( f'(-3^-) = -2 \)

Fonksiyonun \( x = -3 \) noktasındaki sağdan türevini bulalım.

\( f'(x) = 0 \)

\( f'(-3^+) = 0 \)

Buna göre bu noktada soldan ve sağdan türevler birbirine eşit değildir, dolayısıyla fonksiyonun \( x = -3 \) noktasında türevi tanımsızdır.

Fonksiyonun \( x = 7 \) noktasındaki soldan türevini bulalım.

\( f'(x) = 0 \)

\( f'(7^-) = 0 \)

Fonksiyonun \( x = 7 \) noktasındaki sağdan türevini bulalım.

\( f'(x) = 2 \)

\( f'(7^+) = 2 \)

Buna göre bu noktada soldan ve sağdan türevler birbirine eşit değildir, dolayısıyla fonksiyonun \( x = 7 \) noktasında türevi tanımsızdır.

\( f'(x) = \begin{cases} -2 & -4 \le x \lt -3 \\ \text{Tanımsız} & x = -3 \\ 0 & -3 \lt x \lt 7 \\ \text{Tanımsız} & x = 7 \\ 2 & 7 \lt x \le 10 \end{cases} \)

Fonksiyonun kritik noktaları birinci türevin sıfır ya da tanımsız olduğu iç noktalardır.

Fonksiyonun tanım kümesi içinde birinci türevinin sıfır olduğu iç noktaları bulalım.

\( -4 \le x \lt -3 \) için:

\( -2 = 0 \)

Bu denklemi sağlayan bir \( x \) değeri yoktur.

\( -3 \lt x \lt 7 \) için:

\( 0 = 0 \)

Bu aralıktaki tüm \( x \) değerleri denklemi sağlar.

\( x \in (-3, 7) \)

\( 7 \lt x \le 10 \) için:

\( 2 = 0 \)

Bu denklemi sağlayan bir \( x \) değeri yoktur.

Fonksiyonun \( x = -3 \) ve \( x = 7 \) noktalarında birinci türevi tanımsızdır.

Kritik noktalar: \( x \in [-3, 7] \)

Fonksiyonun kritik noktalardaki değerini bulalım.

\( x \in [-3, 7) \) aralığında fonksiyon sabit 10 değerini alır.

\( f(7) = 2(7) - 4 = 10 \)

Fonksiyonun kapalı uç noktalarındaki değerini bulalım.

\( f(-4) = 4 - 2(-4) = 12 \)

\( f(10) = 2(10) - 4 = 16 \)

Bu değerleri karşılaştırdığımızda fonksiyonun mutlak minimum ve maksimum değerleri ve noktaları aşağıdaki gibi bulunur.

Mutlak minimum: Fonksiyonun \( 10 \) değerini aldığı \( x \in [-3, 7] \) aralığındaki noktalar

Mutlak maksimum: Fonksiyonun \( 16 \) değerini aldığı \( x = 10 \) noktası

Fonksiyonun grafiği ve karşılaştırma yaptığımız nokta ve değerler aşağıdaki şekilde gösterilmiştir.

Mutlak değer fonksiyonunu parçalı fonksiyon şeklinde yazalım.

\( f(x) = \begin{cases} -x - 7 - (-x + 3) & x \lt -7 \\ x + 7 - (-x + 3) & -7 \le x \lt 3 \\ x + 7 - (x - 3) & 3 \le x \end{cases} \)

İfadeyi düzenleyelim.

\( f(x) = \begin{cases} -10 & x \lt -7 \\ 2x + 4 & -7 \le x \lt 3 \\ 10 & 3 \le x \end{cases} \)

\( f \) fonksiyonu sonsuz aralıkta tanımlıdır.

Fonksiyonun sonsuzdaki limitlerini bulalım.

\( \lim\limits_{x \to \infty} {f(x)} = \lim\limits_{x \to \infty} {10} = 10 \)

\( \lim\limits_{x \to -\infty} {f(x)} = \lim\limits_{x \to \infty} (-10) = -10 \)

\( f \) parçalı fonksiyonunun \( x = -7 \) geçiş noktasında sürekli olup olmadığını bulalım.

\( x = -7 \) noktasındaki soldan limiti bulalım.

\( \lim\limits_{x \to -7^-} {f(x)} = \lim\limits_{x \to -7^-} {-10} = -10 \)

\( x = -7 \) noktasındaki sağdan limiti bulalım.

\( \lim\limits_{x \to -7^+} {f(x)} = \lim\limits_{x \to -7^+} (2x + 4) \)

\( = 2(-7) + 4 = -10 \)

\( x = -7 \) noktasındaki fonksiyon değerini bulalım.

\( f(-7) = 2(-7) + 4 = -10 \)

Buna göre bu noktada soldan ve sağdan limitler ve fonksiyon değeri birer reel sayı olarak tanımlı ve birbirine eşittir, dolayısıyla fonksiyon \( x = -7 \) noktasında süreklidir.

\( f(-7^-) = f(-7^+) = f(-7) \)

\( f \) parçalı fonksiyonunun \( x = 3 \) geçiş noktasında sürekli olup olmadığını bulalım.

\( x = 3 \) noktasındaki soldan limiti bulalım.

\( \lim\limits_{x \to 3^-} {f(x)} = \lim\limits_{x \to 3^-} (2x + 4) \)

\( = 2(3) + 4 = 10 \)

\( x = 3 \) noktasındaki sağdan limiti bulalım.

\( \lim\limits_{x \to 3^+} {f(x)} = \lim\limits_{x \to 3^+} {10} = 10 \)

\( x = 3 \) noktasındaki fonksiyon değerini bulalım.

\( f(3) = 10 \)

Buna göre bu noktada soldan ve sağdan limitler ve fonksiyon değeri birer reel sayı olarak tanımlı ve birbirine eşittir, dolayısıyla fonksiyon \( x = 3 \) noktasında süreklidir.

\( f(3^-) = f(3^+) = f(3) \)

Fonksiyonun mutlak minimum ve maksimum noktalarının olup olmadığını bulmak için kritik noktalardaki değerini bulalım.

\( f \) fonksiyonunun türevini bulalım.

Sürekliliğini gösterdiğimiz bu noktalardaki türevlenebilirliği kontrol edelim.

Fonksiyonun \( x = -7 \) noktasındaki soldan türevini bulalım.

\( f'(x) = 0 \)

\( f'(-7^-) = 0 \)

Fonksiyonun \( x = -7 \) noktasındaki sağdan türevini bulalım.

\( f'(x) = 2 \)

\( f'(-7^+) = 2 \)

Buna göre bu noktada soldan ve sağdan türevler birbirine eşit değildir, dolayısıyla fonksiyonun \( x = -7 \) noktasında türevi tanımsızdır.

Fonksiyonun \( x = 3 \) noktasındaki soldan türevini bulalım.

\( f'(x) = 2 \)

\( f'(3^-) = 2 \)

Fonksiyonun \( x = 3 \) noktasındaki sağdan türevini bulalım.

\( f'(x) = 0 \)

\( f'(3^+) = 0 \)

Buna göre bu noktada soldan ve sağdan türevler birbirine eşit değildir, dolayısıyla fonksiyonun \( x = 3 \) noktasında türevi tanımsızdır.

\( f'(x) = \begin{cases} 0 & x \lt -7 \\ \text{Tanımsız} & x = -7 \\ 2 & -7 \lt x \lt 3 \\ \text{Tanımsız} & x = 3 \\ 0 & 3 \lt x \end{cases} \)

Fonksiyonun kritik noktaları birinci türevin sıfır ya da tanımsız olduğu iç noktalardır.

Fonksiyonun tanım kümesi içinde birinci türevinin sıfır olduğu iç noktaları bulalım.

\( x \lt -7 \) için:

\( 0 = 0 \)

Bu aralıktaki tüm \( x \) değerleri denklemi sağlar.

\( x \in (-\infty, -7) \)

\( -7 \lt x \lt 3 \\ \) için:

\( 2 = 0 \)

Bu denklemi sağlayan bir \( x \) değeri yoktur.

\( 3 \lt x \) için:

\( 0 = 0 \)

Bu aralıktaki tüm \( x \) değerleri denklemi sağlar.

\( x \in (3, \infty) \)

Fonksiyonun \( x = -7 \) ve \( x = 3 \) noktalarında birinci türevi tanımsızdır.

Kritik noktalar: \( x \in (-\infty, -7] \cup [3, \infty) \)

Fonksiyonun kritik noktalardaki değerini bulalım.

\( x \in (-\infty, -7) \) aralığında fonksiyon sabit \( -10 \) değerini alır.

\( x \in [3, \infty) \) aralığında fonksiyon sabit \( 10 \) değerini alır.

\( f(-7) = 2(-7) + 4 = -10 \)

\( f(3) = 2(3) + 4 = 10 \)

Bu değerleri karşılaştırdığımızda fonksiyonun mutlak minimum ve maksimum değerleri ve noktaları aşağıdaki gibi bulunur.

Mutlak minimum: Fonksiyonun \( -10 \) değerini aldığı \( x \in (-\infty, -7] \) aralığındaki noktalar

Mutlak maksimum: Fonksiyonun \( 10 \) değerini aldığı \( x \in [3, \infty) \) aralığındaki noktalar

Fonksiyonun grafiği ve karşılaştırma yaptığımız nokta ve değerler aşağıdaki şekilde gösterilmiştir.