Mutlak Minimum ve Maksimum Noktaları

Bir fonksiyonun tanım kümesi içinde aldığı en küçük değere fonksiyonun mutlak minimum değeri, bu değeri aldığı nokta ya da noktalara mutlak minimum noktası denir.

Bir fonksiyonun tanım kümesi içinde aldığı en büyük değere fonksiyonun mutlak maksimum değeri, bu değeri aldığı nokta ya da noktalara mutlak maksimum noktası denir.

Bir noktanın mutlak minimum ya da mutlak maksimum noktası olabilmesi için fonksiyonun o noktadaki değeri bir reel sayı olarak tanımlı olmalıdır. Bunun bir sonucu olarak aşağıdaki iki yorumu yapabiliriz.

• Fonksiyon değeri negatif sonsuza giden fonksiyonların mutlak minimum, pozitif sonsuza giden fonksiyonların mutlak maksimum değerleri ve noktaları yoktur.
• Bir fonksiyonun yerel minimum (maksimum) noktalarının olması mutlak minimum (maksimum) noktalarının olmasını gerektirmez.

Uç Değer Teoremi

Uç değer teoremine göre, \( [a, b] \) kapalı aralığında tanımlı ve sürekli bir \( f \) fonksiyonu, bu aralıkta en az bir kez mutlak minimum ve en az bir kez mutlak maksimum değeri alır.

Aşağıdaki tabloda bazı fonksiyon grafiklerinin mutlak minimum ve maksimum noktaları incelenmiştir.

Grafik	Açıklama
	\( f: (a, b) \to \mathbb{R} \) olmak üzere, \( x = a \) noktası tanım kümesine dahil olmadığı için fonksiyonun mutlak minimum noktası yoktur. Fonksiyon değeri pozitif tarafta sonsuza gittiği için fonksiyonun mutlak maksimum noktası yoktur.
	\( f: [a, b) \to \mathbb{R} \) olmak üzere, Fonksiyonun \( x = c \) noktasında mutlak minimum noktası vardır. \( x = b \) noktası tanım aralığına dahil olmadığı için fonksiyonun mutlak maksimum noktası yoktur.
	\( f: \mathbb{R} \to [-1, 1] \) olmak üzere, \( x \in \{ \ldots, -\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}, \frac{7\pi}{2}, \ldots \} \) noktaları fonksiyonun mutlak minimum noktalarıdır. Fonksiyonun \( x \in \{ \ldots, -\frac{3\pi}{2}, \frac{\pi}{2}, \frac{5\pi}{2}, \ldots \} \) noktaları fonksiyonun mutlak maksimum noktalarıdır.