Minimum - Maksimum Problemleri

Adım 1: Problem tanımı

Problemde aşağıdaki çarpımın en büyük değeri istenmektedir.

\( A = x^3y \)

Adım 2: Amaç fonksiyonu

Amaç fonksiyonunu tek bir değişken cinsinden yazabilmek için \( x \) ve \( y \) değişkenleri arasında verilen ilişkiyi kullanalım.

\( x + y = 80 \)

\( y = 80 - x \)

\( y \) değişenini çarpımda yerine koyduğumuzda sadece \( x \) değişkenine bağlı olan amaç fonksiyonunu elde ederiz.

\( A = x^3y \)

\( = x^3(80 - x) \)

\( = 80x^3 - x^4 \)

\( y \ge 0 \) bilgisini kullanarak \( x \) tanım aralığını bulalım.

\( y = 80 - x \ge 0 \)

\( x \le 80 \)

Buna göre en büyük değerini bulmak istediğimiz amaç fonksiyonu aşağıdaki gibidir.

\( A: [0, 80] \to \mathbb{R^+} \)

\( A(x) = 80x^3 - x^4 \)

Adım 3: Problem çözümü

\( A \) fonksiyonu kapalı bir aralıkta tanımlıdır ve bir polinom fonksiyonu olduğu için süreklidir.

Fonksiyonun kritik noktaları birinci türevin sıfır ya da tanımsız olduğu iç noktalardır.

\( A'(x) = 240x^2 - 4x^3 \)

Fonksiyonun tanım kümesi içinde birinci türevinin sıfır olduğu iç noktaları bulalım.

\( 240x^2 - 4x^3 = 0 \)

\( 4x^2(60 - x) = 0 \)

\( x = 60 \)

Fonksiyonun tanım kümesi içinde birinci türevinin tanımsız olduğu iç nokta yoktur.

Kritik nokta: \( x = 60 \)

Fonksiyonun kritik noktadaki değerini bulalım.

\( A(60) = 80(60)^3 - (60)^4 = 60^3(80 - 60) \)

\( = 60^3(20) = 432 \cdot 10^4 \)

Fonksiyonun kapalı uç noktalarındaki değerini bulalım.

\( A(0) = 80(0)^3 - (0)^4 = 0 \)

\( A(80) = 80(80)^3 - (80)^4 = 0 \)

Bu değerleri karşılaştırdığımızda fonksiyon tanım aralığındaki en büyük değeri \( x = 60 \) noktasında \( 432 \cdot 10^4 \) olarak alır.

Amaç fonksiyonunun grafiği, bulduğumuz noktalar ve değerleri aşağıdaki şekilde gösterilmiştir.

Adım 1: Problem tanımı

\( x \): Bir günde üretilen traktör adedi

Birim maliyetin en küçük olduğu üretim adedi istenmektedir.

Adım 2: Amaç fonksiyonu

Üretilen traktör sayısı pozitif bir tam sayıdır.

\( x \in \mathbb{Z^+} \)

Maliyet pozitif bir büyüklüktür.

\( m \in \mathbb{R^+} \)

Buna göre en küçük değerini bulmak istediğimiz amaç fonksiyonu aşağıdaki gibidir.

\( m: [1, \infty) \to \mathbb{R^+} \)

\( m(x) = x^3 + \dfrac{1875}{x} - 100 \)

Adım 3: Problem çözümü

\( m \) fonksiyonu açık bir aralıkta tanımlıdır ve bir rasyonel fonksiyon içerdiği için paydayı sıfır yapan ve tanım aralığı dışındaki \( x = 0 \) noktası hariç süreklidir.

Fonksiyonun kritik noktaları birinci türevin sıfır ya da tanımsız olduğu iç noktalardır.

\( m'(x) = 3x^2 - \dfrac{1875}{x^2} \)

\( = \dfrac{3x^4 - 1875}{x^2} \)

Fonksiyonun tanım kümesi içinde birinci türevinin sıfır olduğu iç noktaları bulalım.

\( \dfrac{3x^4 - 1875}{x^2} = 0 \)

\( 3x^4 - 1875 = 0 \)

\( 3(x - 5)(x + 5)(x^2 + 25) = 0 \)

\( x = 5 \)

Fonksiyonun tanım aralığı içinde birinci türevinin tanımsız olduğu iç nokta yoktur.

Kritik nokta: \( x = 5 \)

Fonksiyonun kritik noktadaki değerini bulalım.

\( m(5) = 5^3 + \dfrac{1875}{5} - 100 = 400 \)

Fonksiyonun kapalı uç noktasındaki değerini bulalım.

\( m(1) = 1^3 + \dfrac{1875}{1} - 100 = 1776 \)

Fonksiyonun açık uç noktasındaki limitini bulalım.

\( \lim\limits_{x \to \infty} (x^3 + \dfrac{1875}{x} - 100) = \infty + 0 - 100 = \infty \)

Bu değerleri karşılaştırdığımızda fonksiyon tanım aralığındaki en küçük değeri \( x = 5 \) noktasında alır.

Dolayısıyla üretici ortalama maliyetin en az olması için günde \( 5 \) adet traktör üretmelidir.

Amaç fonksiyonunun grafiği, bulduğumuz noktalar ve değerleri aşağıdaki şekilde gösterilmiştir.

Adım 1: Problem tanımı

\( x \): Bir günde üretilen litre cinsinden sirke miktarı

Problemde kârın en yüksek değerini aldığı litre cinsinden üretim miktarı istenmektedir.

Adım 2: Amaç fonksiyonu

Hacim pozitif bir büyüklüktür.

\( x \in \mathbb{R^+} \)

Buna göre en büyük değerini bulmak istediğimiz amaç fonksiyonu aşağıdaki gibidir.

\( k: [100, 400] \to \mathbb{R^+} \)

\( k(x) = \dfrac{(x - 100)^3}{3000} - \dfrac{x - 10}{10} + 500 \)

Adım 3: Problem çözümü

\( k \) fonksiyonu kapalı bir aralıkta tanımlıdır ve bir polinom fonksiyonu olduğu için süreklidir.

Fonksiyonun kritik noktaları birinci türevin sıfır ya da tanımsız olduğu iç noktalardır.

\( k'(x) = \dfrac{(x - 100)^2}{1000} - \dfrac{1}{10} \)

\( = \dfrac{(x - 100)^2 - 100}{1000} \)

Fonksiyonun tanım kümesi içinde birinci türevinin sıfır olduğu iç noktaları bulalım.

\( \dfrac{(x - 100)^2 - 100}{1000} = 0 \)

\( (x - 100)^2 - 100 = 0 \)

\( (x - 100)^2 = 100 \)

\( x - 100 = \pm 10 \)

\( x \) değişkeni \( [100, 400] \) aralığında tanımlıdır.

\( x = 110 \)

Fonksiyonun tanım kümesi içinde birinci türevinin tanımsız olduğu iç nokta yoktur.

Kritik nokta: \( x = 110 \)

Fonksiyonun kritik noktadaki değerini bulalım.

\( k(110) = \dfrac{(110 - 100)^3}{3000} - \dfrac{110 - 10}{10} + 500 = \dfrac{1471}{3} \)

Fonksiyonun kapalı uç noktalarındaki değerini bulalım.

\( k(100) = \dfrac{(100 - 100)^3}{3000} - \dfrac{100 - 10}{10} + 500 = 491 \)

\( k(400) = \dfrac{(400 - 100)^3}{3000} - \dfrac{400 - 10}{10} + 500 = 9461 \)

Bu değerleri karşılaştırdığımızda fonksiyon tanım aralığındaki en büyük değeri olarak \( x = 400 \) noktasında aldığı \( 9461 \) TL değeri bulunur.

Dolayısıyla firma kârın en yüksek olması için günde 400 litre sirke üretmelidir.

Amaç fonksiyonunun grafiği, bulduğumuz noktalar ve değerleri aşağıdaki şekilde gösterilmiştir.

Adım 1: Problem tanımı

\( x \): Bir günde üretilen ayakkabı adedi

\( G \): Bir günde satılan ayakkabıdan elde edilen toplam gelir

\( M \): Bir günde satılan ayakkabının toplam maliyeti

\( K \): Firmanın günlük kârı

Problemde ayakkabı satışından en yüksek kârın elde edildiği günlük ayakkabı üretim adedi istenmektedir.

Adım 2: Amaç fonksiyonu

Bir günde üretilen ayakkabı adedi ile bir adet ayakkabının satış fiyatının çarpımı, bir günde elde edilen toplam geliri verir.

\( G = x(136 - 0,1x) \)

Bir günde üretilen ayakkabıların toplam maliyeti soruda verilmiştir.

\( M = 100 + 0,2x \)

Firmanın günlük kârı, bir güne ait toplam gelir ile toplam maliyetin farkına eşittir.

\( K = x(136 - 0,1x) - (100 + 0,2x) \)

\( K = -0,1x^2 + (135,8)x - 100 \)

Üretilen ayakkabı adedi pozitif bir tam sayıdır.

\( x \in \mathbb{Z^+} \)

Birim satış fiyatı pozitif bir büyüklüktür.

\( 136 - 0,1x \gt 0 \)

\( x \lt 1360 \)

Toplam maliyet pozitif bir büyüklüktür.

\( M \in \mathbb{R^+} \)

\( 100 + 0,2x \gt 0 \)

\( x \gt -500 \)

Bulduğumuz \( x \) değer aralıklarının kesişim kümesini bulalım.

\( 0 \lt x \lt 1360 \)

Buna göre en büyük değerini bulmak istediğimiz amaç fonksiyonu aşağıdaki gibidir.

\( K: [1, 1360) \to \mathbb{R} \)

\( K(x) = -0,1x^2 + (135,8)x - 100 \)

Adım 3: Problem çözümü

\( K \) fonksiyonu açık bir aralıkta tanımlıdır ve bir polinom fonksiyonu olduğu için süreklidir.

\( K \) fonksiyonu negatif başkatsayılı (kolları aşağı yönlü) bir parabol olduğu için (eğer tanım aralığı bu noktayı içeriyorsa) en büyük değerini birinci türevinin sıfır olduğu tepe noktasında alır.

\( K'(x) = -0,2x + 135,8 \)

Tepe noktasını bulmak için birinci türevi sıfıra eşitleyelim.

\( -0,2x + 135,8 = 0 \)

\( x = 679 \)

Tepe noktası fonksiyonun tanım aralığında olduğu için \( K \) fonksiyonu en büyük değerini bu noktada alır ve fonksiyonun uç noktalarını kontrol etmemize gerek yoktur.

Dolayısıyla firma en yüksek kârı günde \( x = 679 \) adet ayakkabı ürettiğinde elde eder.

Amaç fonksiyonunun grafiği, bulduğumuz noktalar ve değerleri aşağıdaki şekilde gösterilmiştir.

Adım 1: Problem tanımı

\( P(x, y) \): Parabol üzerindeki herhangi bir nokta

\( d \): \( A \) ve \( P \) noktaları arasındaki uzaklık

Problemde \( A \) noktasının parabole uzaklığının en küçük olduğu nokta istenmektedir.

Adım 2: Amaç fonksiyonu

İki nokta arasındaki uzaklık formülünü kullanalım.

\( d = \sqrt{(x - 6)^2 + (y - 0)^2} \)

\( = \sqrt{(x - 6)^2 + y^2} \)

Bir karekök ifadesi en küçük değerini kök içindeki ifade en küçük değerini aldığında alır.

O halde bir \( D \) fonksiyonu tanımlayalım ve işlemlerimizi bu fonksiyon üzerinden yapalım.

\( D = (x - 6)^2 + y^2 \)

\( D \) fonksiyonu en küçük değerini aldığında soruda istenen \( d \) uzaklığı da en küçük değerini alacaktır.

Uzaklık pozitif bir büyüklüktür.

\( d, D \in \mathbb{R^+} \)

Amaç fonksiyonunu tek bir değişken cinsinden yazabilmek için \( x \) ve \( y \) değişkenleri arasında bir ilişki kurmaya çalışalım.

\( P(x, y) \) noktası parabol üzerinde olduğu için parabol denklemini sağlar.

\( P(x, y = \dfrac{x^2}{2}) \)

Bulduğumuz \( y \) değerini formülde yerine koyduğumuzda sadece \( x \) değişkenine bağlı olan amaç fonksiyonunu elde ederiz.

\( D = (x - 6)^2 + (\dfrac{x^2}{2})^2 \)

\( = x^2 - 12x + 36 + \dfrac{x^4}{4} \)

Buna göre en küçük değerini bulmak istediğimiz amaç fonksiyonu aşağıdaki gibidir.

\( D: \mathbb{R} \to \mathbb{R^+} \)

\( D(x) = \dfrac{x^4}{4} + x^2 - 12x + 36 \)

Adım 3: Problem çözümü

\( D \) fonksiyonu açık bir aralıkta tanımlıdır ve bir polinom fonksiyonu olduğu için süreklidir.

Fonksiyonun kritik noktaları birinci türevin sıfır ya da tanımsız olduğu iç noktalardır.

\( D'(x) = x^3 + 2x - 12 \)

Fonksiyonun tanım kümesi içinde birinci türevinin sıfır olduğu iç noktaları bulalım.

\( x^3 + 2x - 12 = 0 \)

\( (x - 2)(x^2 + 2x + 6) = 0 \)

\( x^2 + 2x + 6 = 0 \) denkleminin deltasını hesaplayalım.

\( \Delta = b^2 - 4ac \)

\( = 2^2 - 4(1)(6) = -20 \lt 0 \)

İkinci çarpanın reel kökü yoktur.

\( x = 2 \)

Fonksiyonun tanım kümesi içinde birinci türevinin tanımsız olduğu iç nokta yoktur.

Kritik nokta: \( x = 2 \)

Fonksiyonun kritik noktadaki değerini bulalım.

\( D(2) = \dfrac{2^4}{4} + 2^2 - 12(2) + 36 = 20 \)

Fonksiyonun açık uç noktalarındaki limitini bulalım.

\( \lim\limits_{x \to -\infty} (\dfrac{x^4}{4} + x^2 - 12x + 36) = \infty \)

\( \lim\limits_{x \to \infty} (\dfrac{x^4}{4} + x^2 - 12x + 36) = \infty \)

Bu değerleri karşılaştırdığımızda fonksiyon tanım aralığındaki en küçük değeri \( x = 2 \) noktasında alır.

Dolayısıyla \( d \) uzaklığı da tanım kümesi içinde en küçük değerini \( x = 2 \) noktasında alır.

\( x = 2 \) için \( y \) değerini bulalım.

\( y = \dfrac{x^2}{2} = \dfrac{2^2}{2} = 2 \)

Buna göre parabol grafiği üzerinde \( A(6, 0) \) noktasına en yakın olan nokta \( P(2, 2) \) noktasıdır.

Amaç fonksiyonunun grafiği, bulduğumuz noktalar ve değerleri aşağıdaki şekilde gösterilmiştir.

Adım 1: Problem tanımı

\( C \): Dikdörtgenin çevresi

\( (a, 2 - a^2) \): Dikdörtgenin \( f \) fonksiyonu üzerinde bulunan köşesinin koordinatları

Problemde dikdörtgenin çevresinin en büyük değeri istenmektedir.

Adım 2: Amaç fonksiyonu

Fonksiyonun \( x \) eksenini kestiği noktayı bulalım.

\( 0 = 2 - x^2 \)

\( x = \sqrt{2} \)

Birinci bölgede bir dikdörtgen oluşması için \( a \) değer aralığı aşağıdaki gibi olmalıdır.

\( a \in (0, \sqrt{2}) \)

Çevre pozitif bir büyüklüktür.

\( C \in \mathbb{R^+} \)

Fonksiyon grafiği ve dikdörtgen aşağıdaki şekildeki gibidir.

Dikdörtgenin çevresini aşağıdaki formülle bulabiliriz.

\( C = 2a + 2(2 - a^2) \)

\( = -2a^2 + 2a + 4 \)

Buna göre en büyük değerini bulmak istediğimiz amaç fonksiyonu aşağıdaki şekilde tanımlanır.

\( C: (0, \sqrt{2}) \to (0, \infty) \)

\( C(a) = -2a^2 + 2a + 4 \)

Adım 3: Problem çözümü

\( C \) fonksiyonu açık bir aralıkta tanımlıdır ve polinom fonksiyonu olduğu için süreklidir.

Fonksiyonun kritik noktaları birinci türevin sıfır ya da tanımsız olduğu iç noktalardır.

\( C'(a) = -4a + 2 \)

Fonksiyonun tanım kümesi içinde birinci türevinin sıfır olduğu iç noktaları bulalım.

\( -4a + 2 = 0 \)

\( a = \dfrac{1}{2} \)

Fonksiyonun birinci türevinin tanımsız olduğu iç nokta yoktur.

Kritik nokta: \( a = \dfrac{1}{2} \)

Fonksiyonun kritik noktadaki değerini bulalım.

\( C\left( \dfrac{1}{2} \right) = -2\left( \dfrac{1}{2} \right)^2 + 2\left( \dfrac{1}{2} \right) + 4 \)

\( = \dfrac{9}{2} \)

Fonksiyonun açık uç noktalarındaki limitini bulalım.

\( \lim\limits_{a \to 0^+} (-2a^2 + 2a + 4) = -2(0)^2 + 2(0) + 4 = 4 \)

\( \lim\limits_{a \to \sqrt{2}^-} (-2a^2 + 2a + 4) = -2(\sqrt{2})^2 + 2(\sqrt{2}) + 4 = 2\sqrt{2} \)

Buna göre amaç fonksiyonu açık uç noktaları civarında \( \frac{9}{2} \) değerinden daha büyük bir değer almaz.

Bu değerleri karşılaştırdığımızda amaç fonksiyonunun tanım aralığındaki en büyük değeri olarak \( a = \frac{1}{2} \) noktasında aldığı \( \frac{9}{2} \) değeri bulunur.

Dikdörtgenin çevresinin en büyük olduğu \( a = \frac{1}{2} \) değeri için dikdörtgenin alanını bulalım.

\( A = a(2 - a^2) = \dfrac{1}{2}\left( 2 - \left( \dfrac{1}{2} \right)^2 \right) = \dfrac{7}{8} \)

Amaç fonksiyonunun grafiği, bulduğumuz noktalar ve değerleri aşağıdaki şekilde gösterilmiştir.

Adım 1: Problem tanımı

\( a \): Dikdörtgenin genişliği

\( \abs{AB} = \abs{DC} = a \)

\( b \): Dikdörtgenin yüksekliği

\( \abs{AD} = \abs{BC} = b \)

\( A \): Dikdörtgenin alanı

Problemde \( ABCD \) dikdörtgeninin alanının en büyük değeri istenmektedir.

Adım 2: Amaç fonksiyonu

Dikdörtgenin alanını aşağıdaki formülle bulabiliriz.

\( A = ab \)

Dikdörtgenin genişliği, yüksekliği ve alanı pozitif büyüklüklerdir.

\( a, b, A \in \mathbb{R^+} \)

Amaç fonksiyonunu tek bir değişken cinsinden yazabilmek için değişkenler arasında bir ilişki kurmaya çalışalım.

\( y = x^2 \) parabolü üzerindeki \( B \) noktasının \( a \) cinsinden koordinatlarını yazalım.

\( B(a, a^2) \)

\( B \) noktasının ordinat değeri ile dikdörtgenin yüksekliğinin toplamı, \( y = 12 \) doğrusunun ordinatına eşittir.

\( a^2 + b = 12 \)

Bu eşitlikte \( b \) değişkenini yalnız bırakalım.

\( b = 12 - a^2 \)

\( b \) değerini alan formülünde yerine koyduğumuzda sadece \( a \) değişkenine bağlı olan amaç fonksiyonunu elde ederiz.

\( A = ab \)

\( A(a) = a(12 - a^2) \)

\( = 12a - a^3 \)

Belirtilen bölgede bir dikdörtgen oluşması için, \( a \) uzunluğu \( y = 12 \) doğrusu ile parabolün kesiştiği noktanın apsis değerinden küçük olmalıdır.

\( a \lt \sqrt{12} \)

Buna göre en büyük değerini bulmak istediğimiz amaç fonksiyonu aşağıdaki gibidir.

\( A: (0, \sqrt{12}) \to \mathbb{R^+} \)

\( A(a) = 12a - a^3 \)

Adım 3: Problem çözümü

\( A \) fonksiyonu açık bir aralıkta tanımlıdır ve bir polinom fonksiyonu olduğu için süreklidir.

Fonksiyonun kritik noktaları birinci türevin sıfır ya da tanımsız olduğu iç noktalardır.

\( A'(a) = 12 - 3a^2 \)

Fonksiyonun tanım aralığı içinde birinci türevinin sıfır olduğu iç noktaları bulalım.

\( 3(2 - a)(2 + a) = 0 \)

\( a = 2 \)

Fonksiyonun birinci türevinin tanımsız olduğu iç nokta yoktur.

Kritik nokta: \( a = 2 \)

Fonksiyonun kritik noktadaki değerini bulalım.

\( A(2) = 12(2) - 2^3 = 16 \)

Fonksiyonun açık uç noktalarındaki limitini bulalım.

\( \lim\limits_{x \to 0^+} (12a - a^3) = 12(0) - 0^3 = 0 \)

\( \lim\limits_{x \to \sqrt{12}^-} (12a - a^3) = 12(\sqrt{12}) - (\sqrt{12})^3 = 0 \)

Buna göre amaç fonksiyonu açık uç noktaları civarında \( 16 \) değerinden daha büyük bir değer almaz.

Bu değerleri karşılaştırdığımızda amaç fonksiyonunun tanım aralığındaki en büyük değeri olarak \( a = 2 \) noktasında aldığı \( 16 \) birimkare değeri bulunur.

Amaç fonksiyonunun grafiği, bulduğumuz noktalar ve değerleri aşağıdaki şekilde gösterilmiştir.

Adım 1: Problem tanımı

\( x \): Fotoğrafın yüksekliği

\( y \): Fotoğrafın genişliği

\( F \): Fotoğrafın alanı

\( x + 10 \): Çerçevenin yüksekliği

\( y + 5 \): Çerçevenin genişliği

\( A \): Çerçeve ile fotoğrafın kapladığı toplam alan

Problemde çerçeve ile fotoğrafın kapladığı toplam alanın en küçük değeri istenmektedir.

Adım 2: Amaç fonksiyonu

Toplam alanı ve fotoğrafın alanını aşağıdaki iki formülle bulabiliriz.

\( A = (x + 10)(y + 5) \)

\( F = xy \)

Uzunluk ve alan pozitif büyüklüklerdir.

\( x, y, F, A \in \mathbb{R^+} \)

Amaç fonksiyonunu tek bir değişken cinsinden yazabilmek için \( x \) ve \( y \) değişkenleri arasında bir ilişki kurmaya çalışalım.

Fotoğrafın alanı soruda verilmiştir.

\( 32 = xy \)

\( y = \dfrac{32}{x} \)

Bulduğumuz \( y \) değerini alan formülünde yerine koyduğumuzda sadece \( x \) değişkenine bağlı olan amaç fonksiyonunu elde ederiz.

\( A = (x + 10)(\dfrac{32}{x} + 5) \)

\( = 5x + \dfrac{320}{x} + 82 \)

Buna göre en küçük değerini bulmak istediğimiz amaç fonksiyonu aşağıdaki gibidir.

\( A: (0, \infty) \to \mathbb{R^+} \)

\( A(x) = 5x + \dfrac{320}{x} + 82 \)

Adım 3: Problem çözümü

\( A \) fonksiyonu açık bir aralıkta tanımlıdır ve bir rasyonel fonksiyon içerdiği için paydayı sıfır yapan ve tanım aralığı dışındaki \( x = 0 \) noktası hariç süreklidir.

Fonksiyonun kritik noktaları birinci türevin sıfır ya da tanımsız olduğu iç noktalardır.

\( A'(x) = 5 - \dfrac{320}{x^2} \)

Fonksiyonun tanım kümesi içinde birinci türevinin sıfır olduğu iç noktaları bulalım.

\( 5 - \dfrac{320}{x^2} = 0 \)

\( \dfrac{5x^2 - 320}{x^2} = 0 \)

\( 5x^2 - 320 = 0 \)

\( 5(x - 8)(x + 8) = 0 \)

\( x = 8 \)

Fonksiyonun tanım kümesi içinde birinci türevinin tanımsız olduğu iç nokta yoktur.

Kritik nokta: \( x = 8 \)

Fonksiyonun kritik noktadaki değerini bulalım.

\( A(8) = 5(8) + \dfrac{320}{8} + 82 = 162 \)

Fonksiyonun açık uç noktalarındaki limitini bulalım.

\( \lim\limits_{x \to 0^+} (5x + \dfrac{320}{x} + 82) = 5(0) + \dfrac{320}{0^+} + 82 = \infty \)

\( \lim\limits_{x \to \infty} (5x + \dfrac{320}{x} + 82) = \infty \)

Bu değerleri karşılaştırdığımızda fonksiyonun tanım aralığındaki en küçük değeri olarak \( x = 8 \) noktasında aldığı \( 162 \) cm\( ^2 \) değeri bulunur.

Amaç fonksiyonunun grafiği, bulduğumuz noktalar ve değerleri aşağıdaki şekilde gösterilmiştir.

Adım 1: Problem tanımı

\( (x, f(x)) \): Fonksiyon grafiği üzerinde bir nokta

Problemde teğet doğrunun eğiminin en büyük değeri istenmektedir.

Adım 2: Amaç fonksiyonu

Bir fonksiyonun birinci türevinin bir noktadaki değeri fonksiyona o noktada teğet olan doğrunun eğimini verir.

\( f'(x) = -25x^4 + 18x^2 \)

\( f'(x) \) fonksiyonu bir polinom fonksiyonudur ve tüm reel sayılarda tanımlıdır.

Buna göre en büyük değerini bulmak istediğimiz amaç fonksiyonu aşağıdaki gibidir.

\( M: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \)

\( M(x) = f'(x) = -25x^4 + 18x^2 \)

Adım 3: Problem çözümü

\( M \) fonksiyonu açık bir aralıkta tanımlıdır ve bir polinom fonksiyonu olduğu için süreklidir.

Fonksiyonun kritik noktaları birinci türevin sıfır ya da tanımsız olduğu iç noktalardır.

\( M'(x) = -100x^3 + 36x \)

Fonksiyonun tanım kümesi içinde birinci türevinin sıfır olduğu iç noktaları bulalım.

\( -100x^3 + 36x = 0 \)

\( 4x(9 - 25x^2) = 0 \)

\( 4x(3 - 5x)(3 + 5x) = 0 \)

\( x \in \{ -\frac{3}{5}, 0, \frac{3}{5} \} \)

Fonksiyonun tanım aralığı içinde birinci türevinin tanımsız olduğu iç nokta yoktur.

Kritik nokta: \( x \in \{ -\frac{3}{5}, 0, \frac{3}{5} \}\)

Fonksiyonun kritik noktalardaki değerini bulalım.

\( f(-\dfrac{3}{5}) = -25(-\dfrac{3}{5})^4 + 18(-\dfrac{3}{5})^2 = \dfrac{81}{25} \)

\( f(0) = -25(0)^4 + 18(0)^2 = 0 \)

\( f(\dfrac{3}{5}) = -25(\dfrac{3}{5})^4 + 18(\dfrac{3}{5})^2 = \dfrac{81}{25} \)

Fonksiyonun açık uç noktalarındaki limitini bulalım.

\( \lim\limits_{x \to -\infty} (-25x^4 + 18x^2) = -\infty \)

\( \lim\limits_{x \to \infty} (-25x^4 + 18x^2) = -\infty \)

Bu değerleri karşılaştırdığımızda amaç fonksiyonu tanım aralığındaki en büyük eğim değerini \( x = \pm \frac{3}{5} \) noktalarında \( \frac{81}{25} \) olarak alır.

Amaç fonksiyonunun grafiği, bulduğumuz noktalar ve değerleri aşağıdaki şekilde gösterilmiştir.

Adım 1: Problem tanımı

\( a \): Üçgenin yan kenarlarının uzunluğu

\( 2b \): Üçgenin taban uzunluğu

\( h \): Üçgenin yüksekliği

\( A \): Üçgenin alanı

\( C \): Üçgenin çevresi

Problemde ikizkenar üçgenin alanının en büyük değeri istenmektedir.

Adım 2: Amaç fonksiyonu

İkizkenar üçgeninin alanını aşağıdaki formülle bulabiliriz

\( A = \dfrac{2bh}{2} = bh \)

Uzunluk, alan ve çevre pozitif büyüklüklerdir.

\( a, b, h, A, C \in \mathbb{R^+} \)

Amaç fonksiyonunu tek bir değişken cinsinden yazabilmek için değişkenler arasında bir ilişki kurmaya çalışalım.

Üçgenin çevre formülünü yazalım

\( C = 2a + 2b \)

Üçgenin çevre uzunluğu soruda verilmiştir.

\( 60 = 2a + 2b \)

\( a = 30 - b \)

Üçgenin yüksekliği, tabanı ve yan kenarının oluşturduğu üçgende Pisagor teoremini uygulayalım.

\( h^2 + b^2 = a^2 \)

\( h = \sqrt{a^2 - b^2} \)

Bulduğumuz \( a \) değerini formülde yerine koyalım.

\( h = \sqrt{(30 - b)^2 - b^2} \)

\( = \sqrt{900 - 60b} \)

\( h \) değerini alan formülünde yerine koyduğumuzda sadece \( b \) değişkenine bağlı olan amaç fonksiyonunu elde ederiz.

\( A = bh \)

\( = b\sqrt{900 - 60b} \)

\( = \sqrt{900b^2 - 60b^3} \)

Bir karekök ifadesi en büyük değerini kök içindeki ifade en büyük değerini aldığında alır.

O halde bir \( f \) fonksiyonu tanımlayalım ve işlemlerimizi bu fonksiyon üzerinden yapalım.

\( f(b) = 900b^2 - 60b^3 \)

\( f \) fonksiyonu en büyük değerini aldığında soruda istenen \( A \) alanı da en büyük değerini alacaktır.

\( A \in \mathbb{R^+} \) bilgisini kullanarak \( b \) tanım aralığını bulalım.

\( A = \sqrt{900b^2 - 60b^3} \gt 0 \)

\( 900b^2 - 60b^3 \gt 0 \)

\( 60b^2(15 - b) \gt 0 \)

\( 0 \lt b \lt 15 \)

Buna göre en büyük değerini bulmak istediğimiz amaç fonksiyonu aşağıdaki şekilde tanımlanır.

\( f: (0, 15) \to \mathbb{R^+} \)

\( f(b) = 900b^2 - 60b^3 \)

Adım 3: Problem çözümü

\( f \) fonksiyonu açık bir aralıkta tanımlıdır ve bir polinom fonksiyonu olduğu için süreklidir.

Fonksiyonun kritik noktaları birinci türevin sıfır ya da tanımsız olduğu iç noktalardır.

\( f'(b) = 1800b - 180b^2 \)

Fonksiyonun tanım kümesi içinde birinci türevinin sıfır olduğu iç noktaları bulalım.

\( 1800b - 180b^2 = 0 \)

\( 180b(10 - b) = 0 \)

Fonksiyon \( b = 0 \) noktasında tanımlı değildir.

\( b = 10 \)

Fonksiyonun tanım kümesi içinde birinci türevinin tanımsız olduğu iç nokta yoktur.

Kritik nokta: \( b = 10 \)

Fonksiyonun kritik noktadaki değerini bulalım.

\( f(10) = 900(10)^2 - 60(10)^3 = 30000 \)

Fonksiyonun açık uç noktalarındaki değerini bulalım.

\( \lim\limits_{x \to 0^+} (900b^2 - 60b^3) = 900(0)^2 - 60(0)^3 = 0 \)

\( \lim\limits_{x \to 15^-} (900b^2 - 60b^3) = 900(15)^2 - 60(15)^3 = 0 \)

Buna göre fonksiyon açık uç noktaları civarında 30000 değerinden daha büyük bir değer almaz.

Bu değerleri karşılaştırdığımızda \( f \) fonksiyonu tanım kümesi içindeki en büyük değerini \( b = 10 \) noktasında alır.

Dolayısıyla \( A \) alanı da en büyük değerini \( b = 10 \) noktasında alır.

\( b = 10 \) için \( A \) değerini bulalım.

\( A = \sqrt{f(10)} \)

\( = \sqrt{30000} = 100\sqrt{3} \) birimkare bulunur.

Amaç fonksiyonunun grafiği, bulduğumuz noktalar ve değerleri aşağıdaki şekilde gösterilmiştir.

Adım 1: Problem tanımı

Verilen denklem merkezi orijin olan ve eksenleri \( (5, 0), (-5, 0), (0, 4), (0, -4) \) noktalarında kesen bir elips belirtir.

Elipsin ve içine yerleştirilen dikdörtgenin koordinat düzlemindeki görüntüsü aşağıdaki gibidir.

\( (x, y) \): Dikdörtgenin birinci bölgede kalan köşesinin koordinatları

\( 2x \): Dikdörtgenin genişliği

\( 2y \): Dikdörtgenin yüksekliği

\( A \): Dikdörtgenin alanı

Problemde dikdörtgenin alanının en büyük değeri istenmektedir.

Adım 2: Amaç fonksiyonu

Dikdörtgenin alanını aşağıdaki formülle bulabiliriz.

\( A = (2x)(2y) = 4xy \)

Uzunluk ve alan pozitif büyüklüklerdir.

\( x, y, A \in \mathbb{R^+} \)

Amaç fonksiyonunu tek bir değişken cinsinden yazabilmek için \( x \) ve \( y \) değişkenleri arasında bir ilişki kurmaya çalışalım.

Dikdörtgenin köşesi elips üzerinde bir noktadır ve elips denklemini sağlar.

\( (x, y) \) noktasının koordinatlarını \( x \) cinsinden yazalım.

\( \dfrac{x^2}{25} + \dfrac{y^2}{16} = 1 \)

\( y^2 = 16(1 - \dfrac{x^2}{25}) \)

\( y = \sqrt{16(1 - \dfrac{x^2}{25})} \)

\( = \dfrac{4}{5}\sqrt{25 - x^2} \)

\( y \) değerini alan formülünde yerine koyduğumuzda sadece \( x \) değişkenine bağlı olan amaç fonksiyonunu elde ederiz.

\( A = 4xy \)

\( = 4x \cdot \dfrac{4}{5}\sqrt{25 - x^2} \)

\( = \dfrac{16x}{5} \sqrt{25 - x^2} \)

Elipsin içinde bir dikdörtgen oluşması için dikdörtgenin genişliği elipsin yatay eksen uzunluğundan küçük olmalıdır.

\( 2x \lt 10 \)

\( x \lt 5 \)

Buna göre en büyük değerini bulmak istediğimiz amaç fonksiyonu aşağıdaki gibidir.

\( A: (0, 5) \to \mathbb{R^+} \)

\( A(x) = \dfrac{16x}{5}\sqrt{25 - x^2} \)

Adım 3: Problem çözümü

\( A \) fonksiyonu açık bir aralıkta tanımlıdır ve iki sürekli fonksiyonun çarpımından oluştuğu için tanım kümesi içinde süreklidir.

Fonksiyonun kritik noktaları birinci türevin sıfır ya da tanımsız olduğu iç noktalardır.

\( A'(x) = \dfrac{16}{5}(\sqrt{25 - x^2} - \dfrac{x^2}{\sqrt{25 - x^2}}) \)

\( = \dfrac{16(25 - 2x^2)}{5\sqrt{25 - x^2}} \)

Fonksiyonun tanım kümesi içinde birinci türevinin sıfır olduğu iç noktaları bulalım.

\( \dfrac{16(25 - 2x^2)}{5\sqrt{25 - x^2}} = 0 \)

\( 25 - 2x^2 = 0 \)

\( x = \dfrac{5\sqrt{2}}{2} \)

Fonksiyonun tanım kümesi içinde birinci türevinin tanımsız olduğu iç nokta yoktur.

Kritik nokta: \( x = \frac{5\sqrt{2}}{2}\)

Fonksiyonun kritik noktadaki değerini bulalım.

\( A(\dfrac{5\sqrt{2}}{2}) = \dfrac{16(\frac{5\sqrt{2}}{2})}{5}\sqrt{25 - (\frac{5\sqrt{2}}{2})^2} \)

\( = 8\sqrt{2}\dfrac{5}{\sqrt{2}} = 40 \)

Fonksiyonun açık uç noktalarındaki limitini bulalım.

\( \lim\limits_{x \to 0^+} {\dfrac{16x}{5}\sqrt{25 - x^2}} = \dfrac{16(0)}{5}\sqrt{25 - 0^2} = 0 \)

\( \lim\limits_{x \to 5^-} {\dfrac{16x}{5}\sqrt{25 - x^2}} = \dfrac{16(5)}{5}\sqrt{25 - (5^-)^2} = 0 \)

Bu değerleri karşılaştırdığımızda fonksiyonun tanım aralığındaki en büyük değeri olarak \( x = \frac{5\sqrt{2}}{2} \) noktasında aldığı \( 40 \) birimkare değeri bulunur.

Amaç fonksiyonunun grafiği, bulduğumuz noktalar ve değerleri aşağıdaki şekilde gösterilmiştir.

Adım 1: Problem tanımı

\( r \): Koninin taban yarıçapı

\( h \): Koninin yüksekliği

\( l \): Koninin yan yüz yüksekliği

\( A \): Koninin yüzey alanı

\( V \): Koninin hacmi

Zehra en az miktarda kil kullanmak istemektedir, bu da vazonun yüzey alanının en küçük değeri alması ile mümkün olur.

Problemde vazonun yüzey alanını en küçük yapan \( h \) değeri istenmektedir.

Adım 2: Amaç fonksiyonu

Koninin yüzey alanını aşağıdaki formülle bulabiliriz.

Yüzey alanını hesaplarken koninin üst tabanının açık olduğunu dikkate almalıyız.

\( A = \pi rl \)

Uzunluk, alan ve hacim pozitif büyüklüklerdir.

\( r, h, l, A, V \in \mathbb{R^+} \)

Amaç fonksiyonunu tek bir değişken cinsinden yazabilmek için değişkenler arasında bir ilişki kurmaya çalışalım.

Koninin hacim formülünü yazalım.

\( V = \dfrac{1}{3} \pi r^2h \)

Koninin hacmi soruda verilmiştir.

\( 288\pi = \dfrac{1}{3} \pi r^2h \)

Hacim formülünde \( r \) değişkenini yalnız bırakalım.

\( r = \sqrt{\dfrac{864}{h}} \)

Koninin yüksekliği, taban yarıçapı ve yan yüz yüksekliğinin oluşturduğu üçgende Pisagor teoremini uygulayalım.

\( l^2 = h^2 + r^2 \)

Bulduğumuz \( r \) değerini formülde yerine koyalım.

\( l^2 = h^2 + \dfrac{864}{h} \)

\( l = \sqrt{h^2 + \dfrac{864}{h}} \)

\( = \sqrt{\dfrac{h^3 + 864}{h}} \)

Bulduğumuz değerleri yüzey alanı formülünde yerine koyduğumuzda sadece \( h \) değişkenine bağlı olan amaç fonksiyonunu elde ederiz.

\( A = \pi rl \)

\( = \pi \sqrt{\dfrac{864}{h}} \sqrt{\dfrac{h^3 + 864}{h}} \)

\( = \dfrac{12\sqrt{6}\pi}{h} \sqrt{h^3 + 864} \)

Buna göre en küçük değerini bulmak istediğimiz amaç fonksiyonu aşağıdaki şekilde tanımlanır.

\( A: (0, \infty) \to \mathbb{R^+} \)

\( A(h) = \dfrac{12\sqrt{6}\pi}{h} \sqrt{h^3 + 864} \)

Adım 3: Problem çözümü

\( A \) fonksiyonu açık bir aralıkta tanımlıdır ve iki sürekli fonksiyonun çarpımından oluştuğu için tanım kümesi içinde süreklidir.

Fonksiyonun kritik noktaları birinci türevin sıfır ya da tanımsız olduğu iç noktalardır.

\( A'(h) = -\dfrac{12\sqrt{6}\pi}{h^2} \sqrt{h^3 + 864} + \dfrac{3h^2}{2\sqrt{h^3 + 864}} \cdot \dfrac{12\sqrt{6}\pi}{h} \)

\( = \dfrac{12\sqrt{6}\pi}{h}\left( -\dfrac{\sqrt{h^3 + 864}}{h} + \dfrac{3h^2}{2\sqrt{h^3 + 864}} \right) \)

\( = \dfrac{12\sqrt{6}\pi}{h} \cdot \dfrac{-2(h^3 + 864) + 3h^3}{2h\sqrt{h^3 + 864}} \)

\( = \dfrac{6\sqrt{6}\pi(h^3 - 1728)}{h^2\sqrt{h^3 + 864}} \)

Fonksiyonun tanım kümesi içinde birinci türevinin sıfır olduğu iç noktaları bulalım.

\( \dfrac{6\sqrt{6}\pi(h^3 - 1728)}{h^2\sqrt{h^3 + 864}} = 0 \)

\( h^3 - 1728 = 0 \)

\( h = 12 \)

Fonksiyonun birinci türevinin tanımsız olduğu iç nokta yoktur.

Kritik nokta: \( h = 12 \)

Fonksiyonun kritik noktadaki değerini bulalım.

\( A(12) = \dfrac{12\sqrt{6}\pi}{12} \sqrt{12^3 + 864} \)

\( = 72\sqrt{3}\pi \)

Fonksiyonun açık uç noktalarındaki limitini bulalım.

\( \lim\limits_{h \to 0^+} \left( \dfrac{12\sqrt{6}\pi}{h} \sqrt{h^3 + 864} \right) = \dfrac{12\sqrt{6}\pi}{0^+} \sqrt{0^3 + 864} = \infty \)

\( \lim\limits_{h \to \infty} \left( \dfrac{12\sqrt{6}\pi}{h} \sqrt{h^3 + 864} \right) = \lim\limits_{h \to \infty} {12\sqrt{6}\pi \sqrt{\dfrac{h^3 + 864}{h^2}}} = \infty \)

Bu değerleri karşılaştırdığımızda fonksiyonun tanım aralığındaki en küçük değeri olarak \( h = 12 \) noktasında aldığı \( 72\sqrt{3}\pi \) cm\(^2 \) değeri bulunur.

Dolayısıyla Zehra'nın vazoyu en az miktarda kil kullanarak yapabilmesi için vazonun yüksekliği \( h = 12 \) cm olmalıdır.

Amaç fonksiyonunun grafiği, bulduğumuz noktalar ve değerleri aşağıdaki şekilde gösterilmiştir.

Adım 1: Problem tanımı

Kürenin ve içine yerleştirilen silindirin iki boyutlu görüntüsü aşağıdaki gibidir.

\( r \): Silindirin taban yarıçapı

\( h \): Silindirin yüksekliği

\( V \): Silindirin hacmi

Problemde silindirin hacminin en büyük değeri istenmektedir.

Adım 2: Amaç fonksiyonu

Silindirin hacmini aşağıdaki formülle bulabiliriz.

\( V = \pi r^2h \)

Uzunluk ve hacim pozitif büyüklüklerdir.

\( r, h, V \in \mathbb{R^+} \)

Amaç fonksiyonunu tek bir değişken cinsinden yazabilmek için değişkenler arasında bir ilişki kurmaya çalışalım.

Silindirin yüksekliğinin yarısı ve taban yarıçapı, hipotenüsü kürenin yarıçapı olan bir dik üçgen oluştururlar.

Bu üçgene Pisagor teoremini uygulayalım.

\( r^2 + (\frac{h}{2})^2 = 1 \)

Bu eşitlikte \( h \) değişkenini yalnız bırakalım.

\( h = 2\sqrt{1 - r^2} \)

\( h \) değerini hacim formülünde yerine koyduğumuzda sadece \( r \) değişkenine bağlı olan amaç fonksiyonunu elde ederiz.

\( V(r) = 2\pi r^2\sqrt{1 - r^2} \)

Kürenin içinde bir silindirin oluşması için taban yarıçapı kürenin yarıçapından küçük olmalıdır.

\( r \lt 1 \)

Buna göre en büyük değerini bulmak istediğimiz amaç fonksiyonu aşağıdaki gibidir.

\( V: (0, 1) \to \mathbb{R^+} \)

\( V(r) = 2\pi r^2\sqrt{1 - r^2} \)

Adım 3: Problem çözümü

\( V \) fonksiyonu açık bir aralıkta tanımlıdır ve iki sürekli fonksiyonun (kuvvet ve karekök) çarpımından oluştuğu için tanım kümesi içinde süreklidir.

Fonksiyonun kritik noktaları birinci türevin sıfır ya da tanımsız olduğu iç noktalardır.

\( V'(r) = 2\pi\left( 2r\sqrt{1 - r^2} - \dfrac{r^3}{\sqrt{1 - r^2}} \right) \)

Fonksiyonun tanım aralığı içinde birinci türevinin sıfır olduğu iç noktaları bulalım.

\( 2\pi\left( 2r\sqrt{1 - r^2} - \dfrac{r^3}{\sqrt{1 - r^2}}\right) = 0 \)

\( 2r\sqrt{1 - r^2} = \dfrac{r^3}{\sqrt{1 - r^2}} \)

\( r \gt 0 \) olduğu için \( r \) çarpanları sadeleşir.

\( 2(1 - r^2) = r^2 \)

\( (r - \sqrt{\frac{2}{3}})(r + \sqrt{\frac{2}{3}}) = 0 \)

\( r = \sqrt{\frac{2}{3}} \)

Fonksiyonun tanım aralığı içinde birinci türevinin tanımsız olduğu iç nokta yoktur.

Kritik nokta: \( r = \sqrt{\frac{2}{3}} \)

Fonksiyonun kritik noktadaki değerini bulalım.

\( V(\sqrt{\frac{2}{3}}) = 2\pi (\sqrt{\frac{2}{3}})^2\sqrt{1 - (\sqrt{\frac{2}{3}})^2} \)

\( = 2\pi \cdot \dfrac{2}{3} \cdot \sqrt{1 - \frac{2}{3}} \)

\( = \dfrac{4\sqrt{3}\pi}{9} \)

Fonksiyonun açık uç noktalarındaki limitini bulalım.

\( \lim\limits_{x \to 0^+} (2\pi r^2\sqrt{1 - r^2}) = 2\pi 0^2\sqrt{1 - 0^2} = 0 \)

\( \lim\limits_{x \to 1^-} (2\pi r^2\sqrt{1 - r^2}) = 2\pi 1^2\sqrt{1 - 1^2} = 0 \)

Buna göre fonksiyon açık uç noktaları civarında \( \frac{4\sqrt{3}\pi}{9} \) değerinden daha büyük bir değer almaz.

Bu değerleri karşılaştırdığımızda fonksiyonun tanım aralığındaki en büyük değeri olarak \( r = \sqrt{\frac{2}{3}} \) noktasında aldığı \( \frac{4\sqrt{3}\pi}{9} \) birimküp değeri bulunur.

Amaç fonksiyonunun grafiği, bulduğumuz noktalar ve değerleri aşağıdaki şekilde gösterilmiştir.

Adım 1: Problem tanımı

\( r \): Silindirin taban yarıçapı

\( h \): Silindirin yüksekliği

\( V \): Silindirin hacmi

Problemde silindirin hacminin en büyük değeri istenmektedir.

Adım 2: Amaç fonksiyonu

Silindirin hacmini aşağıdaki formülle bulabiliriz.

\( V = \pi r^2h \)

Uzunluk ve hacim pozitif büyüklüklerdir.

\( r, h, V \in \mathbb{R^+} \)

Amaç fonksiyonunu tek bir değişken cinsinden yazabilmek için \( r \) ve \( h \) değişkenleri arasında bir ilişki kurmaya çalışalım.

Koninin silindirin üstünde kalan kısmı ile bütününün kesitleri arasında üçgen benzerliği kullanalım.

\( \dfrac{12 - h}{r} = \dfrac{12}{6} \)

Bu eşitlikte \( h \) değişkenini yalnız bırakalım.

\( h = 12 - 2r \)

\( h \) değerini hacim formülünde yerine koyduğumuzda sadece \( r \) değişkenine bağlı olan amaç fonksiyonunu elde ederiz

\( V = \pi r^2h \)

\( = \pi r^2(12 - 2r) \)

\( = 12\pi r^2 - 2\pi r^3 \)

Koninin içinde bir silindirin oluşabilmesi için taban yarıçapı koninin yarıçapından küçük olmalıdır.

\( r \lt 6 \)

Buna göre en büyük değerini bulmak istediğimiz amaç fonksiyonu aşağıdaki gibidir.

\( V: (0, 6) \to \mathbb{R^+} \)

\( V(r) = 12\pi r^2 - 2\pi r^3 \)

Adım 3: Problem çözümü

\( V \) fonksiyonu açık bir aralıkta tanımlıdır ve bir polinom fonksiyonu olduğu için süreklidir.

Fonksiyonun kritik noktaları birinci türevin sıfır ya da tanımsız olduğu iç noktalardır.

\( V'(r) = 24\pi r - 6\pi r^2 \)

Fonksiyonun tanım kümesi içinde birinci türevinin sıfır olduğu iç noktaları bulalım.

\( 24\pi r - 6\pi r^2 = 0 \)

\( 6\pi r(4 - r) = 0 \)

\( r = 4 \)

Fonksiyonun tanım kümesi içinde birinci türevinin tanımsız olduğu iç nokta yoktur.

Kritik nokta: \( r = 4 \)

Fonksiyonun kritik noktadaki değerini bulalım.

\( V(4) = 12\pi (4)^2 - 2\pi (4)^3 = 64\pi \)

Fonksiyonun açık uç noktalarındaki limitini bulalım.

\( \lim\limits_{x \to 0^+} (12\pi r^2 - 2\pi r^3) = 12\pi (0)^2 - 2\pi (0)^3 = 0 \)

\( \lim\limits_{x \to 6^-} (12\pi r^2 - 2\pi r^3) = 12\pi (6)^2 - 2\pi (6)^3 = 0 \)

Bu değerleri karşılaştırdığımızda fonksiyonun tanım aralığındaki en büyük değeri olarak \( r = 4 \) noktasında aldığı \( 64\pi \) cm\( ^3 \) değeri bulunur.

Amaç fonksiyonunun grafiği, bulduğumuz noktalar ve değerleri aşağıdaki şekilde gösterilmiştir.

Adım 1: Problem tanımı

\( a \): Prizmanın kare tabanının bir kenar uzunluğu

\( h \): Prizmanın yüksekliği

\( A \): Prizmanın yüzey alanı

\( V \): Prizmanın hacmi

\( M \): Prizmanın maliyeti

Problemde heykelin hacmini en büyük yapan \( h \) yüksekliği istenmektedir.

Adım 2: Amaç fonksiyonu

Kare prizmanın hacmini aşağıdaki formülle bulabiliriz.

\( V = a^2h \)

Uzunluk, alan, hacim ve maliyet pozitif büyüklüklerdir.

\( a, h, A, V, M \in \mathbb{R^+} \)

Amaç fonksiyonunu tek bir değişken cinsiden yazabilmek için değişkenler arasında bir ilişki kurmaya çalışalım.

Heykelin maliyeti, prizmanın yüzey alanında kullanılan malzemelerin toplam maliyetidir.

Prizmanın alanı, alt ve üst yüzeylerin alanları ile 4 yan yüzeyin alanları toplamına eşittir.

\( A = 2a^2 + 4ah \)

Birim maliyetler, prizmanın üst ve alt yüzeyleri için 50 TL, yan yüzeyleri için 100 TL'dir.

\( M = (50)2a^2 + (100)4ah \)

\( = 100a^2 + 400ah \)

Prizmanın toplam maliyeti soruda verilmiştir.

\( 10800 = 100a^2 + 400ah \)

\( 108 = a^2 + 4ah \)

\( h \) değişkenini yalnız bırakalım.

\( h = \dfrac{108 - a^2}{4a} \)

\( h \) değerini hacim formülünde yerine koyduğumuzda sadece \( a \) değişkenine bağlı olan amaç fonksiyonunu elde ederiz.

\( V = a^2 \cdot \dfrac{108 - a^2}{4a} \)

\( = \dfrac{108a - a^3}{4} \)

Prizmanın tabanının bir kenar uzunluğu \( (a) \) en az 1 en fazla 4 metredir.

\( 1 \le a \le 4 \)

Buna göre en küçük değerini bulmak istediğimiz amaç fonksiyonu aşağıdaki şekilde tanımlanır.

\( V: [1, 4] \to \mathbb{R^+} \)

\( V(a) = \dfrac{108a - a^3}{4} \)

Adım 3: Problem çözümü

\( V \) fonksiyonu kapalı bir aralıkta tanımlıdır ve bir polinom fonksiyonu olduğu için süreklidir.

Fonksiyonun kritik noktaları birinci türevin sıfır ya da tanımsız olduğu iç noktalardır.

\( V'(x) = \dfrac{108 - 3a^2}{4} \)

Fonksiyonun tanım kümesi içinde birinci türevinin sıfır olduğu iç noktaları bulalım.

\( \dfrac{108 - 3a^2}{4} = 0 \)

\( \dfrac{3(36 - a^2)}{4} = 0 \)

\( a = \pm 6 \)

Fonksiyonun tanım kümesi \( [1, 4] \) aralığı olduğu için birinci türevinin sıfır olduğu iç nokta yoktur.

Fonksiyonun birinci türevinin tanımsız olduğu iç nokta yoktur.

Kritik noktalar: \( a \in \emptyset \)

Fonksiyonun kapalı uç noktalarındaki değerini bulalım.

\( V(1) = \dfrac{108(1) - 1^3}{4} = \dfrac{107}{4} \)

\( V(4) = \dfrac{108(4) - 4^3}{4} = 92 \)

Bu değerleri karşılaştırdığımızda \( V \) fonksiyonunun tanım kümesi içindeki en büyük değeri olarak \( a = 4 \) noktasında aldığı \( 92 \) m\(^3 \) değeri bulunur.

\( a = 4 \) için \( h \) değerini bulalım.

\( h = \dfrac{108 - 4^2}{4(4)} \)

\( = \dfrac{23}{4} \) m bulunur.

Amaç fonksiyonunun grafiği, bulduğumuz noktalar ve değerleri aşağıdaki şekilde gösterilmiştir.

Adım 1: Problem tanımı

\( P \): Ceren'in denizde bulunduğu nokta

\( A \): Ceren'in denizde bulunduğu noktanın kıyıya en yakın noktası

\( B \): Ceren'in toplantısının olacağı nokta

\( C \): Ceren'in yüzerek sahile çıkacağı nokta

\( \abs{PC} \): Ceren'in yüzeceği mesafe

\( \abs{CB} \): Ceren'in koşacağı mesafe

\( t_1 \): Ceren'in yüzdüğü süre

\( t_2 \): Ceren'in koştuğu süre

\( t \): Ceren'in yüzdüğü + koştuğu toplam süre

Problemde Ceren'in yüzdüğü + koştuğu toplam sürenin en küçük değeri istenmektedir.

Adım 2: Amaç fonksiyonu

Pisagor teoreminden \( \abs{AB} \) uzaklığını bulalım.

\( \abs{AB}^2 + 6^2 = 10^2 \)

\( \abs{AB} = 8 \)

\( \abs{AC} \) uzaklığına \( x \) diyelim.

\( \abs{AB} = \abs{AC} + \abs{CB} \)

\( 8 = x + \abs{CB} \)

\( \abs{CB} = 8 - x \)

O halde Ceren'in sahile çıktığı nokta ile kafe arasındaki uzaklık \( 8 - x \) olur.

Ceren'in koştuğu mesafe: \( 8 - x \) km

Pisagor teoremini kullanarak \( \abs{PC} \) uzaklığını bulalım.

\( \abs{PC}^2 = x^2 + 6^2 \)

\( \abs{PC} = \sqrt{x^2 + 36} \)

Ceren'in yüzdüğü mesafe: \( \sqrt{x^2 + 36} \) km

Hız denklemini yazalım.

Yol = Hız x Zaman

Ceren'in yüzdüğü yolun hız denklemini yazalım.

Ceren'in yüzme hızı: 3 km/sa

\( \sqrt{x^2 + 36} = 3t_1 \)

\( t_1 = \dfrac{\sqrt{x^2 + 36}}{3} \)

Ceren'in koştuğu yolun hız denklemini yazalım.

Ceren'in koşma hızı: 5 km/sa

\( 8 - x = 5t_2 \)

\( t_2 = \dfrac{8 - x}{5} \)

Toplam geçen süreyi bulalım.

\( T = t_1 + t_2 \)

\( = \dfrac{\sqrt{x^2 + 36}}{3} + \dfrac{8 - x}{5} \)

Süre ve uzaklık pozitif büyüklüklerdir.

\( T, x \in \mathbb{R^+} \)

\( x \), \( \abs{AB} \) uzunluğundan büyük olamaz.

\( x \in [0, 8] \)

Buna göre en küçük değerini bulmak istediğimiz amaç fonksiyonu aşağıdaki gibidir.

\( T: [0, 8] \to \mathbb{R^+} \)

\( T(x) = \dfrac{\sqrt{x^2 + 36}}{3} + \dfrac{8 - x}{5} \)

Adım 3: Problem çözümü

\( T \) fonksiyonu kapalı bir aralıkta tanımlıdır ve iki sürekli fonksiyonun toplamından oluştuğu için tanım kümesi içinde süreklidir.

Fonksiyonun kritik noktaları birinci türevin sıfır ya da tanımsız olduğu iç noktalardır.

\( T'(x) = \dfrac{x}{3\sqrt{x^2 + 36}} - \dfrac{1}{5} \)

Fonksiyonun tanım kümesi içinde birinci türevinin sıfır olduğu iç noktaları bulalım.

\( \dfrac{x}{3\sqrt{x^2 + 36}} - \dfrac{1}{5} = 0 \)

\( \dfrac{5x - 3\sqrt{x^2 + 36}}{15\sqrt{x^2 + 36}} = 0 \)

\( 5x - 3\sqrt{x^2 + 36} = 0 \)

\( 5x = 3\sqrt{x^2 + 36} \)

Eşitliğin iki tarafının da karesini alalım.

\( 25x^2 = 9x^2 + 324 \)

\( 16x^2 = 324 \)

\( x^2 = \dfrac{81}{4} \)

\( x = \dfrac{9}{2} \)

Fonksiyonun tanım aralığı içinde birinci türevinin tanımsız olduğu iç nokta yoktur.

Kritik nokta: \( x = \frac{9}{2} \)

Fonksiyonun kritik noktadaki değerini bulalım.

\( T(\dfrac{9}{2}) = \dfrac{\sqrt{(\frac{9}{2})^2 + 36}}{3} + \dfrac{8 - \frac{9}{2}}{5} = \dfrac{16}{5} \)

Fonksiyonun kapalı uç noktalarındaki değerini bulalım.

\( f(0) = \dfrac{\sqrt{0^2 + 36}}{3} + \dfrac{8 - 0}{5} = \dfrac{18}{5} \)

\( f(8) = \dfrac{\sqrt{8^2 + 36}}{3} + \dfrac{8 - 8}{5} = \dfrac{10}{3} \)

Bu değerleri karşılaştırdığımızda fonksiyonun tanım aralığındaki en küçük değeri olarak \( x = \frac{9}{2} \) noktasında aldığı \( \frac{16}{5} \) değeri bulunur.

O halde Ceren, toplantıya en kısa sürede varabilmek için \( x = \frac{9}{2} \) olan noktaya kadar yüzmeli, o noktadan kafeye kadar koşmalıdır.

Amaç fonksiyonunun grafiği, bulduğumuz noktalar ve değerleri aşağıdaki şekilde gösterilmiştir.

Adım 1: Problem tanımı

\( r \): Daire diliminin yarıçapı

\( x \): Daire diliminin merkez açısı (radyan)

\( a \): Daire diliminin yay uzunluğu

\( A \): Daire diliminin alanı

\( C \): Daire diliminin çevresi

Problemde daire diliminin çevresinin en küçük değeri istenmektedir.

Adım 2: Amaç fonksiyonu

Merkez açısının ölçüsü radyan cinsinden verilen daire diliminin yay uzunluğu ve alanı aşağıdaki iki formülle hesaplanır.

\( a = rx \)

\( A = \dfrac{r^2x}{2} \)

Daire diliminin çevresini aşağıdaki formülle bulabiliriz.

\( C = a + 2r \)

\( = rx + 2r \)

Uzunluk, açı, çevre ve alan pozitif büyüklüklerdir.

\( r, a, x, C, A \in \mathbb{R^+} \)

Amaç fonksiyonunu tek bir değişken cinsiden yazabilmek için değişkenler arasında bir ilişki kurmaya çalışalım.

Daire diliminin alanı verilmiştir.

\( A = 64 \) cm\( ^2 \)

Bu değeri alan formülünde yerine koyalım.

\( 64 = \dfrac{r^2x}{2} \)

\( rx \) ifadesini yalnız bırakalım.

\( rx = \dfrac{128}{r} = a \)

Bulduğumuz değeri çevre formülünde yerine koyduğumuzda sadece \( r \) değişkenine bağlı olan amaç fonksiyonunu elde ederiz.

\( C = \dfrac{128}{r} + 2r \)

Buna göre en küçük değerini bulmak istediğimiz amaç fonksiyonu aşağıdaki şekilde tanımlanır.

\( C: (0, \infty) \to \mathbb{R^+} \)

\( C(r) = \dfrac{128}{r} + 2r \)

Adım 3: Problem çözümü

\( C \) fonksiyonu açık bir aralıkta tanımlıdır ve bir rasyonel fonksiyon içerdiği için paydayı sıfır yapan ve tanım aralığı dışındaki \( r = 0 \) noktası hariç süreklidir.

Fonksiyonun kritik noktaları birinci türevin sıfır ya da tanımsız olduğu iç noktalardır.

\( C'(r) = -\dfrac{128}{r^2} + 2 \)

Fonksiyonun tanım aralığı içinde birinci türevinin sıfır olduğu iç noktaları bulalım.

\( -\dfrac{128}{r^2} + 2 = 0 \)

\( r^2 = 64 \)

\( r = 8 \)

Fonksiyonun tanım aralığı içinde birinci türevinin tanımsız olduğu iç nokta yoktur.

Kritik nokta: \( x = 8 \)

Fonksiyonun kritik noktadaki değerini bulalım.

\( C(8) = \dfrac{128}{8} + 2(8) = 32 \)

Fonksiyonun açık uç noktalarındaki limitini bulalım.

\( \lim\limits_{x \to 0^+} \left( \dfrac{128}{r} + 2r \right) = \infty + 0 = \infty \)

\( \lim\limits_{x \to \infty} \left( \dfrac{128}{r} + 2r \right) = 0 + \infty = \infty \)

Bu değerleri karşılaştırdığımızda \( C \) fonksiyonun tanım aralığındaki en küçük değeri olarak \( r = 8 \) noktasında aldığı \( 32 \) cm değeri bulunur.

Amaç fonksiyonunun grafiği, bulduğumuz noktalar ve değerleri aşağıdaki şekilde gösterilmiştir.

Adım 1: Problem tanımı

\( 2x \): Yarım dairenin yarıçapı

\( y \): Dikdörtgenin yüksekliği

\( C_1 \): Pencerenin yarım daire kısmının çevresi

\( C_2 \): Pencerenin dikdörtgen kısmının çevresi

\( C \): Pencerenin toplam çevresi

\( A_1 \): Pencerenin yarım daire kısmının alanı

\( A_2 \): Pencerenin dikdörtgen kısmının alanı

\( A \): Pencerenin toplam alanı

Bitkinin en fazla ışığı alması istenmektedir, bu da pencerenin alanının en büyük değeri ile mümkün olur.

Problemde pencerenin alanını en büyük yapan yarıçap değeri istenmektedir.

Adım 2: Amaç fonksiyonu

Yarım dairenin ve dikdörtgenin alanını aşağıdaki iki formülle bulabiliriz.

\( A_1 = \dfrac{\pi (2x)^2}{2} = 2\pi x^2 \)

\( A_2 = 4xy \)

\( A = A_1 + A_2 \)

\( A = 2\pi x^2 + 4xy \)

Uzunluk, yarıçap, çevre ve alan pozitif büyüklüklerdir.

\( x, y, C, A \in \mathbb{R^+} \)

Amaç fonksiyonunu tek bir değişken cinsinden yazabilmek için değişkenler arasında bir ilişki kurmaya çalışalım.

Yarım dairenin ve dikdörtgenin çevre formülünü yazalım.

\( C_1 = \dfrac{2\pi \cdot 2x}{2} \)

\( = 2\pi x \)

\( C_2 = 4x + 2y \)

\( C = C_1 + C_2 \)

\( = 2\pi x + 4x + 2y \)

Pencerenin çevre uzunluğu soruda verilmiştir.

\( 4 = 2\pi x + 4x + 2y \)

\( y \) değişkenini yalnız bırakalım.

\( y = 2 - \pi x - 2x \)

\( y \) değerini alan formülünde yerine koyduğumuzda sadece \( x \) değişkenine bağlı olan amaç fonksiyonunu elde ederiz.

\( A = 2\pi x^2 + 4x(2 - \pi x - 2x) \)

\( = 8x - x^2(2\pi + 8) \)

\( y \in \mathbb{R^+} \) bilgisini kullanarak \( x \) tanım aralığını bulalım.

\( y = 2 - \pi x - 2x \gt 0 \)

\( 2 - x(\pi + 2) \gt 0 \)

\( x \lt \dfrac{2}{\pi + 2} \)

Buna göre en büyük değerini bulmak istediğimiz amaç fonksiyonu aşağıdaki gibidir.

\( A: (0, \frac{2}{\pi + 2}) \to \mathbb{R^+} \)

\( A(x) = 8x - x^2(2\pi + 8) \)

Adım 3: Problem çözümü

\( A \) fonksiyonu ikinci dereceden bir polinom fonksiyondur ve tanım kümesi içinde süreklidir.

\( A \) fonksiyonu negatif başkatsayılı (kolları aşağı yönlü) bir parabol olduğu için (eğer tanım aralığı bu noktayı içeriyorsa) en büyük değerini birinci türevinin sıfır olduğu tepe noktasında alır.

\( A'(x) = 8 - 2x(2\pi + 8) \)

Tepe noktasını bulmak için birinci türevi sıfıra eşitleyelim.

\( 8 - 2x(2\pi + 8) = 0 \)

\( x = \dfrac{2}{\pi + 4} \)

Tepe noktası fonksiyonun tanım aralığında olduğu için \( A \) fonksiyonu en büyük değerini bu noktada alır ve fonksiyonun uç noktalarını kontrol etmemize gerek yoktur.

Dolayısıyla pencerenin alanı en büyük değerini \( x = \frac{2}{\pi + 4} \) olduğunda alır.

Problemde pencerenin alanını en büyük yapan yarım dairenin yarıçap değeri istenmektedir.

\( 2x = 2 \cdot \dfrac{2}{\pi + 4} \)

\( = \dfrac{4}{\pi + 4} \) bulunur.

Amaç fonksiyonunun grafiği, bulduğumuz noktalar ve değerleri aşağıdaki şekilde gösterilmiştir.

Adım 1: Problem tanımı

\( r \): Silindirin taban yarıçapı

\( h \): Silindirin yüksekliği

\( A \): Silindirin yüzey alanı

\( V \): Silindirin hacmi

Problemde vazonun hacminin en büyük değeri istenmektedir.

Adım 2: Amaç fonksiyonu

Silindirin hacmini aşağıdaki formülle bulabiliriz.

\( V = \pi r^2h \)

Uzunluk, alan ve hacim pozitif büyüklüklerdir.

\( r, h, A, V \in \mathbb{R^+} \)

Amaç fonksiyonunu tek bir değişken cinsinden yazabilmek için değişkenler arasında bir ilişki kurmaya çalışalım.

Silindirin yüzey alan formülünü yazalım.

Yüzey alanını hesaplarken silindirin üst tabanının açık olduğunu dikkate almalıyız.

\( A = \pi r^2 + 2\pi rh \)

Silindirin yüzey alanı soruda verilmiştir.

\( 300 = \pi r^2 + 2\pi rh \)

Alan formülünde \( h \) değişkenini yalnız bırakalım.

\( h = \dfrac{300 - \pi r^2}{2\pi r} \)

\( h \) değerini hacim formülünde yerine koyduğumuzda sadece \( r \) değişkenine bağlı olan amaç fonksiyonunu elde ederiz.

\( V = \pi r^2h \)

\( = \pi r^2 \cdot \dfrac{300 - \pi r^2}{2\pi r} \)

\( = 150r - \dfrac{\pi r^3}{2} \)

\( h \in \mathbb{R^+} \) bilgisini kullanarak \( r \) tanım aralığını bulalım.

\( h = \dfrac{300 - \pi r^2}{2\pi r} \gt 0 \)

\( 300 - \pi r^2 \gt 0 \)

\( \dfrac{300}{\pi} \gt r^2 \)

\( 0 \lt r \lt \sqrt{\dfrac{300}{\pi}} \)

Buna göre en büyük değerini bulmak istediğimiz amaç fonksiyonu aşağıdaki gibidir.

\( V: (0, \sqrt{\frac{300}{\pi}}) \to \mathbb{R^+} \)

\( V(r) = 150r - \dfrac{\pi r^3}{2} \)

Adım 3: Problem çözümü

\( V \) fonksiyonu açık bir aralıkta tanımlıdır ve bir polinom fonksiyonu olduğu için süreklidir.

Fonksiyonun kritik noktaları birinci türevin sıfır ya da tanımsız olduğu iç noktalardır.

\( V'(r) = 150 - \dfrac{3\pi r^2}{2} \)

\( = \dfrac{300 - 3\pi r^2}{2} \)

Fonksiyonun tanım kümesi içinde birinci türevinin sıfır olduğu iç noktaları bulalım.

\( \dfrac{300 - 3\pi r^2}{2} = 0 \)

\( \dfrac{3(10 - \sqrt{\pi}r)(10 + \sqrt{\pi}r)}{2} = 0 \)

\( r = \dfrac{10}{\sqrt{\pi}} \)

Fonksiyonun tanım kümesi içinde birinci türevinin tanımsız olduğu iç nokta yoktur.

Kritik nokta: \( r = \frac{10}{\sqrt{\pi}} \)

Fonksiyonun kritik noktadaki değerini bulalım.

\( V(\dfrac{10}{\sqrt{\pi}}) = 150 \cdot \dfrac{10}{\sqrt{\pi}} - \dfrac{\pi(\frac{10}{\sqrt{\pi}})^3}{2} \)

\( = \dfrac{1000}{\sqrt{\pi}} \)

Fonksiyonun açık uç noktalarındaki değerini bulalım.

\( \lim\limits_{x \to 0^+} (150r - \dfrac{\pi r^3}{2}) = 150(0) - \dfrac{\pi (0)^3}{2} = 0 \)

\( \lim\limits_{x \to \sqrt{\frac{300}{\pi}}^-} (150r - \dfrac{\pi r^3}{2}) = 150(\sqrt{\frac{300}{\pi}}) - \dfrac{\pi (\sqrt{\frac{300}{\pi}})^3}{2} \)

\( = \dfrac{300(\sqrt{\frac{300}{\pi}}) - \pi (\sqrt{\frac{300}{\pi}})^3}{2} \)

\( = \dfrac{\sqrt{\frac{300}{\pi}}(300 - \pi (\frac{300}{\pi}))}{2} \)

\( = \dfrac{\sqrt{\frac{300}{\pi}}(300 - 300)}{2} = 0 \)

Bu değerleri karşılaştırdığımızda fonksiyonun tanım aralığındaki en büyük değeri olarak \( r = \frac{10}{\sqrt{\pi}} \) noktasında aldığı \( \frac{1000}{\sqrt{\pi}} \) cm\(^3 \) değeri bulunur.

Amaç fonksiyonunun grafiği, bulduğumuz noktalar ve değerleri aşağıdaki şekilde gösterilmiştir.

Adım 1: Problem tanımı

\( A_1 \) : Karenin alanı

\( A_2 \) : Dikdörtgenin alanı

\( A \) : Toplam alan

\( a \): Karenin bir kenar uzunluğu

\( b \): Dikdörtgenin kısa kenar uzunluğu

\( 2b \): Dikdörtgenin uzun kenar uzunluğu

\( x \): Kareyi oluşturan telin uzunluğu, dolayısıyla karenin çevresi

\( 34 - x \): Dikdörtgeni oluşturan telin uzunluğu, dolayısıyla dikdörtgenin çevresi

Problemde kare ve dikdörtgenin toplam alanının en küçük değeri istenmektedir.

Adım 2: Amaç fonksiyonu

Karenin alan formülünü yazalım.

\( A_1 = a^2 \)

Dikdörtgenin alan formülünü yazalım.

\( A_2 = b \cdot 2b = 2b^2 \)

\( A = A_1 + A_2 \)

\( = a^2 + 2b^2 \)

Uzunluk ve alan pozitif büyüklüklerdir.

\( a, b, x, A \in \mathbb{R^+} \)

Amaç fonksiyonunu tek bir değişken cinsinden yazabilmek için değişkenler arasında bir ilişki kurmaya çalışalım.

Karenin çevre formülünü kullanarak \( a \) değişkenini \( x \) cinsinden yazalım.

\( 4a = x \)

\( a = \dfrac{x}{4} \)

Dikdörtgenin çevre formülünü kullanarak \( b \) değişkenini \( x \) cinsinden yazalım.

\( 34 - x = 2(2b + b) = 6b \)

\( b = \dfrac{34 - x}{6} \)

Bulduğumuz değerleri alan formülünde yerine koyalım .

\( A = (\dfrac{x}{4})^2 + 2(\dfrac{34 - x}{6})^2 \)

\( = \dfrac{x^2}{16} + \dfrac{(34 - x)^2}{18} \)

\( x \) uzunluğundaki tel büyük telin bir parçasıdır.

\( 0 \le x \le 34 \)

Buna göre en küçük değerini bulmak istediğimiz amaç fonksiyonu aşağıdaki gibidir.

\( A: [0, 34] \to \mathbb{R^+} \)

\( A(x) = \dfrac{x^2}{16} + \dfrac{(34 - x)^2}{18} \)

Adım 3: Problem çözümü

\( A \) fonksiyonu ikinci dereceden bir polinom fonksiyonudur ve tanım kümesi içinde süreklidir.

\( A \) fonksiyonu pozitif başkatsayılı (kolları yukarı yönlü) bir parabol olduğu için (eğer tanım aralığı bu noktayı içeriyorsa) en küçük değerini birinci türevinin sıfır olduğu tepe noktasında alır.

\( A'(x) = \dfrac{x}{8} - \dfrac{34 - x}{9} \)

Tepe noktasını bulmak için birinci türevi sıfıra eşitleyelim.

\( \dfrac{x}{8} - \dfrac{34 - x}{9} = 0 \)

\( x = 16 \)

Tepe noktası fonksiyonun tanım aralığında olduğu için \( A \) fonksiyonu en küçük değerini bu noktada alır ve fonksiyonun uç noktalarını kontrol etmemize gerek yoktur.

Buna göre \( A \) fonksiyonu tanım kümesi içinde en küçük değerini \( x = 16 \) noktasında alır.

\( x = 16 \) için toplam alanı bulalım.

\( A(16) = \dfrac{16^2}{16} + \dfrac{(34 - 16)^2}{18} \)

\( = 34 \)

Buna göre fonksiyonun tanım aralığındaki en küçük değeri olarak \( x = 16 \) noktasında aldığı \( 34 \) değeri bulunur.

Dolayısıyla oluşan şekillerin toplam alanının en küçük değeri 34 cm\(^2 \) olarak bulunur.

Amaç fonksiyonunun grafiği, bulduğumuz noktalar ve değerleri aşağıdaki şekilde gösterilmiştir.

Adım 1: Problem tanımı

\( A \): Üçgenin alanı

Dik üçgenin hipotenüsü \( f \) fonksiyonunun bir noktasındaki teğetidir ve teğet noktası fonksiyon denklemini sağlar.

\( (a, -\ln{a}) \): Üçgenin hipotenüsünün \( f \) fonksiyonuna teğet olduğu noktanın koordinatları

Problemde üçgenin alanının en büyük değeri istenmektedir.

Adım 2: Amaç fonksiyonu

Alan pozitif bir büyüklüktür.

\( A \in \mathbb{R^+} \)

Bir fonksiyonun birinci türevinin bir noktadaki değeri fonksiyona o noktada teğet olan doğrunun eğimini verir.

\( f'(x) = -\dfrac{1}{x} \)

\( f'(a) = -\dfrac{1}{a} \)

\( (x_1, y_1) \) noktasından geçen ve eğimi \( m \) olan doğrunun denklemi aşağıdaki formülle bulunur.

\( y - y_1 = m(x - x_1) \)

\( y - (-\ln{a}) = -\dfrac{1}{a}(x - a) \)

\( y = 1 -\dfrac{x}{a} - \ln{a} \)

Teğet doğrunun (hipotenüsün) eksenleri kestiği noktaları bulalım.

\( x = 0 \) için:

\( y = 1 -\dfrac{0}{a} - \ln{a} \)

\( = 1 - \ln{a} \)

\( (0, 1 - \ln{a}) \)

\( y = 0 \) için:

\( 0 = 1 -\dfrac{x}{a} - \ln{a} \)

\( x = a - a\ln{a} \)

\( (a - a\ln{a}, 0) \)

\( f \) fonksiyonunun ve üçgenin koordinat düzlemindeki görüntüsü aşağıdaki gibidir.

Üçgenin alanı taban ile yüksekliğin çarpımının yarısına eşittir.

\( A = \dfrac{(a - a\ln{a})(1 - \ln{a})}{2} \)

\( = \dfrac{a(1 - \ln{a})^2}{2} \)

Üçgenin birinci bölgede olması için teğet doğru \( y \) eksenini pozitif tarafta kesmelidir.

\( 1 - \ln{a} \gt 0 \)

\( \ln{a} \lt 1 \)

\( a \lt e \)

Üçgenin birinci bölgede olması için teğet doğru \( x \) eksenini pozitif tarafta kesmelidir.

\( a - a\ln{a} \gt 0 \)

\( a(1 - \ln{a}) \gt 0 \)

\( 0 \lt a \lt e \)

Buna göre en küçük ve en büyük değerini bulmak istediğimiz amaç fonksiyonu aşağıdaki şekilde tanımlanır.

\( A: (0, e) \to (0, \infty) \)

\( A(a) = \dfrac{a(1 - \ln{a})^2}{2} \)

Adım 3: Problem çözümü

\( A \) fonksiyonu açık bir aralıkta tanımlıdır ve sürekli fonksiyonların çarpımından oluştuğu için tanım kümesi içinde süreklidir.

Fonksiyonun kritik noktaları birinci türevin sıfır ya da tanımsız olduğu iç noktalardır.

\( A'(a) = \dfrac{(1 - \ln{a})^2 + 2a(1 - \ln{a})(-\frac{1}{a})}{2} \)

\( = \dfrac{\ln^2{a} -1}{2} \)

Fonksiyonun tanım kümesi içinde birinci türevinin sıfır olduğu iç noktaları bulalım.

\( \dfrac{\ln^2{a} - 1}{2} = 0 \)

\( \dfrac{(\ln{a} - 1)(\ln{a} + 1)}{2} = 0 \)

Bu eşitlik iki durumda sağlanır.

Durum 1:

\( \ln{a} - 1 = 0 \)

\( \ln{a} = 1 \)

\( a = e \)

Bu değer amaç fonksiyonunun tanım kümesi içinde değildir.

Durum 2:

\( \ln{a} + 1 = 0 \)

\( \ln{a} = -1 \)

\( a = e^{-1} \)

Fonksiyonun birinci türevinin tanımsız olduğu iç nokta yoktur.

Kritik nokta: \( a = e^{-1} \)

Fonksiyonun kritik noktadaki değerini bulalım.

\( A(e^{-1}) = \dfrac{e^{-1}(1 - \ln{e^{-1}})^2}{2} = \dfrac{e^{-1}(1 + 1)^2}{2} \)

\( = \dfrac{2}{e} \)

Fonksiyonun açık uç noktalarındaki limitini bulalım.

\( \lim\limits_{a \to 0^+} {\dfrac{a(1 - \ln{a})^2}{2}} = \dfrac{1}{2} \lim\limits_{a \to 0^+} {\dfrac{(1 - \ln{a})^2}{\frac{1}{a}}} \)

Bu limit ifadesinde \( \frac{\infty}{\infty} \) belirsizliği vardır.

İfadeye L'Hospital kuralını uygulayalım.

\( = \dfrac{1}{2} \lim\limits_{a \to 0^+} {\dfrac{2(1 - \ln{a})(-\frac{1}{a})}{-\frac{1}{a^2}}} = \lim\limits_{a \to 0^+} {\dfrac{1 - \ln{a}}{\frac{1}{a}}} \)

Bu limit ifadesinde \( \frac{\infty}{\infty} \) belirsizliği vardır.

İfadeye tekrar L'Hospital kuralını uygulayalım.

\( = \lim\limits_{a \to 0^+} {\dfrac{\frac{1}{a}}{\frac{1}{a^2}}} = \lim\limits_{a \to 0^+} {a} = 0 \)

\( \lim\limits_{a \to e^-} {\dfrac{a(1 - \ln{a})^2}{2}} = {\dfrac{e(1 - \ln{e})^2}{2}} = 0 \)

Buna göre amaç fonksiyonu açık uç noktaları civarında \( \frac{2}{e} \) değerinden daha büyük bir değer almaz.

Bu değerleri karşılaştırdığımızda amaç fonksiyonunun tanım aralığındaki en büyük değeri olarak \( a = e^{-1} \) noktasında aldığı \( \frac{2}{e} \) değeri bulunur.

Amaç fonksiyonunun grafiği, bulduğumuz noktalar ve değerleri aşağıdaki şekilde gösterilmiştir.

Adım 1: Problem tanımı

\( x \): Merdivenin yere temas ettiği noktanın duvara olan uzaklığı

\( y \): Merdivenin ağaca temas ettiği noktanın yerden yüksekliği

\( d \): Merdivenin uzunluğu

Problemde merdivenin uzunluğunun en küçük değeri istenmektedir.

Adım 2: Amaç fonksiyonu

Ağaç, merdiven ve yerin oluşturduğu üçgene Pisagor teoremini uygulayalım.

\( d^2 = y^2 + (x + 1)^2 \)

\( d = \sqrt{y^2 + (x + 1)^2} \)

Bir karekök ifadesi en küçük değerini kök içindeki ifade en küçük değerini aldığında alır.

O halde bir \( D \) fonksiyonu tanımlayalım ve işlemlerimizi bu fonksiyon üzerinden yapalım.

\( D(x, y) = y^2 + (x + 1)^2 \)

\( D \) fonksiyonu en küçük değerini aldığında soruda istenen \( d \) uzaklığı da en küçük değerini alacaktır.

Uzunluk pozitif bir büyüklüktür.

\( x, y, d, D \in \mathbb{R^+} \)

Amaç fonksiyonunu tek bir değişken cinsinden yazabilmek için \( x \) ve \( y \) değişkenleri arasında bir ilişki kurmaya çalışalım.

Ağaç, merdiven ve yerin oluşturduğu üçgen ile duvar, merdiven ve yerin oluşturduğu üçgen benzer üçgenlerdir.

\( \dfrac{x}{2\sqrt{2}} = \dfrac{x + 1}{y} \)

Bu eşitlikte \( y \) değişkenini yalnız bırakalım.

\( y = \dfrac{2\sqrt{2}(x + 1)}{x} \)

\( y \) değerini denklemde yerine koyduğumuzda sadece \( x \) değişkenine bağlı olan amaç fonksiyonunu elde ederiz.

\( D(x, y) = y^2 + (x + 1)^2 \)

\( D(x) = (\dfrac{2\sqrt{2}(x + 1)}{x})^2 + (x + 1)^2 \)

\( = \dfrac{x^4 + 2x^3 + 9x^2 + 16x + 8}{x^2} \)

Buna göre en küçük değerini bulmak istediğimiz amaç fonksiyonu aşağıdaki gibidir.

\( D: (0, \infty) \to \mathbb{R^+} \)

\( D(x) = \dfrac{x^4 + 2x^3 + 9x^2 + 16x + 8}{x^2} \)

Adım 3: Problem çözümü

\( D \) fonksiyonu açık bir aralıkta tanımlıdır ve bir rasyonel fonksiyon olduğu için paydayı sıfır yapan ve tanım aralığı dışındaki \( x = 0 \) noktası hariç süreklidir.

Fonksiyonun kritik noktaları birinci türevin sıfır ya da tanımsız olduğu iç noktalardır.

\( D'(x) = \dfrac{(4x^3 + 6x^2 + 18x + 16)x^2 - 2x(x^4 + 2x^3 + 9x^2 + 16x + 8)}{x^4} \)

\( = \dfrac{2x^5 + 2x^4 - 16x^2 - 16x}{x^4} \)

\( = \dfrac{2(x + 1)(x^3 - 8)}{x^3} \)

\( = \dfrac{2(x + 1)(x - 2)(x^2 + 2x + 4)}{x^3} \)

Fonksiyonun tanım kümesi içinde birinci türevinin sıfır olduğu iç noktaları bulalım.

\( 2(x + 1)(x - 2)(x^2 + 2x + 4) = 0 \)

\( x = 2 \)

Fonksiyonun tanım kümesi içinde birinci türevinin tanımsız olduğu iç nokta yoktur.

Kritik nokta: \( x = 2 \)

Fonksiyonun kritik noktadaki değerini bulalım.

\( D(2) = \dfrac{2^4 + 2(2)^3 + 9(2)^2 + 16(2) + 8}{2^2} = 27 \)

Fonksiyonun açık uç noktalarındaki limitini bulalım.

\( \lim\limits_{x \to 0^+} {\dfrac{x^4 + 2x^3 + 9x^2 + 16x + 8}{x^2}} = \dfrac{0^4 + 2(0)^3 + 9(0)^2 + 16(0) + 8}{(0^+)^2} = \infty \)

\( \lim\limits_{x \to \infty} {\dfrac{x^4 + 2x^3 + 9x^2 + 16x + 8}{x^2}} = \infty \)

Bu değerleri karşılaştırdığımızda \( D \) fonksiyonu tanım kümesi içindeki en küçük değerini \( x = 2 \) noktasında alır.

Dolayısıyla \( d \) uzunluğu da en küçük değerini \( x = 2 \) noktasında alır.

\( x = 2 \) için \( d \) değerini bulalım.

\( d = \sqrt{D(2)} \)

\( = \sqrt{27} = 3\sqrt{3} \) metre bulunur.

Amaç fonksiyonunun grafiği, bulduğumuz noktalar ve değerleri aşağıdaki şekilde gösterilmiştir.

Adım 1: Problem tanımı

\( a \): Kağıdın katlanan parçasının uzun kenar uzunluğu

\( x \): Kağıdın katlanan parçasının kısa kenar uzunluğu

\( \abs{DE} = \abs{D'E} = x \)

\( \abs{FD} = \abs{FD'} = a \)

\( \alpha = m(\widehat{GD'F}) \)

\( \beta = m(\widehat{GFD'}) \)

\( \alpha \) ve \( \beta \) tümler açılardır.

\( \alpha = m(\widehat{CED'}) \)

\( \beta = m(\widehat{CD'E}) \)

\( d \): Katlama çizgisinin uzunluğu

Problemde katlama çizgisinin uzunluğunun en küçük değeri istenmektedir.

Adım 2: Amaç fonksiyonu

\( FDE \) üçgenine Pisagor teoremini uygulayalım.

\( d^2 = a^2 + x^2 \)

\( d = \sqrt{a^2 + x^2} \)

Bir karekök ifadesi en küçük değerini kök içindeki ifade en küçük değerini aldığında alır.

O halde bir \( D \) fonksiyonu tanımlayalım ve işlemlerimizi bu fonksiyon üzerinden yapalım.

\( D = a^2 + x^2 \)

\( D \) en küçük değeri aldığında soruda istenen \( d \) uzunluğu da en küçük değerini alacaktır.

Uzunluk ve açı pozitif büyüklüklerdir.

\( d, a, x, \alpha, \beta \in \mathbb{R^+} \)

Amaç fonksiyonunu tek bir değişken cinsinden yazabilmek için \( x \) ve \( a \) değişkenleri arasında bir ilişki kurmaya çalışalım.

\( ECD' \) üçgenine Pisagor teoremini uygulayalım.

\( \abs{D'C}^2 = x^2 - (8 - x)^2 \)

\( \abs{D'C} = \sqrt{16x - 64} \)

Tüm açıları aynı olan \( ECD' \) ve \( D'GF \) üçgenleri benzer üçgenlerdir.

\( \overset{\triangle}{ECD'} \sim \overset{\triangle}{D'GF} \)

\( \dfrac{\abs{ED'}}{\abs{CD'}} = \dfrac{\abs{D'F}}{\abs{GF}} \)

\( \dfrac{x}{\sqrt{16x - 64}} = \dfrac{a}{8} \)

Bu eşitlikte \( a \) değişkenini yalnız bırakalım.

\( a = \dfrac{8x}{\sqrt{16x - 64}} \)

\( a \) değerini denklemde yerine koyduğumuzda sadece \( x \) değişkenine bağlı olan amaç fonksiyonunu elde ederiz.

\( D = (\dfrac{8x}{\sqrt{16x - 64}})^2 + x^2 \)

\( = \dfrac{x^3}{x - 4} \)

\( x \) uzunluğu dikdörtgenin kısa kenarının bir parçasıdır.

\( x \lt 8 \)

\( a \) uzunluğu dikdörtgenin uzun kenarının bir parçasıdır.

\( a = \dfrac{8x}{\sqrt{16x - 64}} \lt 10 \)

\( \dfrac{64x^2}{16x - 64} \lt 100 \)

\( 64x^2 - 1600x + 6400 \lt 0 \)

\( x^2 - 25x + 100 \lt 0 \)

\( (x - 5)(x - 20) \lt 0 \)

\( 5 \lt x \lt 20 \)

Bu aralık ile \( x \lt 8 \) aralığının kesişimi amaç fonksiyonunun tanım kümesini verir.

Buna göre en küçük değerini bulmak istediğimiz amaç fonksiyonu aşağıdaki gibidir.

\( D: (5, 8) \to \mathbb{R^+} \)

\( D(x) = \dfrac{x^3}{x - 4} \)

Adım 3: Problem çözümü

\( D \) fonksiyonu açık bir aralıkta tanımlıdır ve bir rasyonel fonksiyon olduğu için paydayı sıfır yapan ve tanım aralığı dışındaki \( x = 4 \) noktası hariç süreklidir.

Fonksiyonun kritik noktaları birinci türevin sıfır ya da tanımsız olduğu iç noktalardır.

\( D'(x) = \dfrac{3x^2(x - 4) - x^3}{(x - 4)^2} \)

\( = \dfrac{2x^3 - 12x^2}{(x - 4)^2} \)

Fonksiyonun tanım kümesi içinde birinci türevinin sıfır olduğu iç noktaları bulalım.

\( \dfrac{2x^2(x - 6)}{(x - 4)^2} = 0 \)

\( x = 6 \)

Fonksiyonun tanım kümesi içinde birinci türevinin tanımsız olduğu iç nokta yoktur.

Kritik nokta: \( x = 6 \)

Fonksiyonun kritik noktadaki değerini bulalım.

\( D(6) = \dfrac{6^3}{6 - 4} = 108 \)

Fonksiyonun açık uç noktalarındaki limitini bulalım.

\( \lim\limits_{x \to 5^+} {\dfrac{x^3}{x - 4}} = \dfrac{5^3}{5 - 4} = 125 \)

\( \lim\limits_{x \to 8^-} {\dfrac{x^3}{x - 4}} = \dfrac{8^3}{8 - 4} = 128 \)

Bu değerleri karşılaştırdığımızda fonksiyonun tanım aralığındaki en küçük değeri olarak \( x = 6 \) noktasında aldığı \( 108 \) değeri bulunur.

\( x = 6 \) için katlama çizgisinin uzunluğunu bulalım.

\( d = \sqrt{D(6)} \)

\( = \sqrt{\dfrac{6^3}{6 - 4}} = 6\sqrt{3} \) cm bulunur.

Amaç fonksiyonunun grafiği, bulduğumuz noktalar ve değerleri aşağıdaki şekilde gösterilmiştir.

Adım 1: Problem tanımı

\( x, y \): Prizmanın kenar uzunluklarında kullanılan değişkenler

\( A \): Prizmanın yüzey alanı

\( V \): Prizmanın hacmi

Problemde dik üçgen prizmanın hacminin en büyük değeri istenmektedir.

Adım 2: Amaç fonksiyonu

Dik üçgen prizmanın hacmini aşağıdaki formülle bulabiliriz.

V = Taban alanı x Yükseklik

\( V = \dfrac{3x \cdot 4x}{2} \cdot 2y \)

\( = 12x^2y \)

Uzunluk, alan ve hacim pozitif büyüklüklerdir.

\( x, y, A, V \in \mathbb{R^+} \)

Amaç fonksiyonunu tek bir değişken cinsinden yazabilmek için değişkenler arasında bir ilişki kurmaya çalışalım.

Prizmanın alan formülünü yazalım.

\( A = \text{2 üçgen yüz} + \text{3 dikdörtgen yüz} \)

\( = 2 \cdot \dfrac{3x \cdot 4x}{2} + (3x \cdot 2y + 4x \cdot 2y + 5x \cdot 2y) \)

\( = 12x^2 + 6xy + 8xy + 10xy \)

\( = 12x^2 + 24xy \)

Prizmanın alanı soruda verilmiştir.

\( 1800 = 12x^2 + 24xy \)

\( 150 = x^2 + 2xy \)

Alan formülünde \( xy \) çarpımını yalnız bırakalım.

\( xy = \dfrac{150 - x^2}{2} \)

\( xy \) değerini hacim formülünde yerine koyduğumuzda sadece \( x \) değişkenine bağlı olan amaç fonksiyonunu elde ederiz.

\( V = 12x^2y \)

\( = 12x \cdot xy \)

\( = 12x \cdot \dfrac{150 - x^2}{2} \)

\( = 900x - 6x^3 \)

\( x, y \in \mathbb{R^+} \) bilgisini kullanarak \( x \) tanım aralığını bulalım.

\( xy \gt 0 \)

\( xy = \dfrac{150 - x^2}{2} \gt 0 \)

\( 150 - x^2 \gt 0 \)

\( 0 \lt x \lt 5\sqrt{6} \)

Buna göre en büyük değerini bulmak istediğimiz amaç fonksiyonu aşağıdaki gibidir.

\( V: (0, 5\sqrt{6}) \to \mathbb{R^+} \)

\( V(x) = 900x - 6x^3 \)

Adım 3: Problem çözümü

\( V \) fonksiyonu açık bir aralıkta tanımlıdır ve bir polinom fonksiyonu olduğu için süreklidir.

Fonksiyonun kritik noktaları birinci türevin sıfır ya da tanımsız olduğu iç noktalardır.

\( V'(r) = 900 - 18x^2 \)

Fonksiyonun tanım kümesi içinde birinci türevinin sıfır olduğu iç noktaları bulalım.

\( 900 - 18x^2 = 0 \)

\( 18(5\sqrt{2} - x)(5\sqrt{2} + x) = 0 \)

\( x = 5\sqrt{2} \)

Fonksiyonun tanım kümesi içinde birinci türevinin tanımsız olduğu iç nokta yoktur.

Kritik nokta: \( x = 5\sqrt{2} \)

Fonksiyonun kritik noktadaki değerini bulalım.

\( V(5\sqrt{2}) = 900(5\sqrt{2}) - 6(5\sqrt{2})^3 \)

\( = 4500\sqrt{2} - 1500\sqrt{2} \)

\( = 3000\sqrt{2} \)

Fonksiyonun açık uç noktalarındaki değerini bulalım.

\( \lim\limits_{x \to 0^+} (900x - 6x^3) = 900(0) - 6(0)^3 = 0 \)

\( \lim\limits_{x \to 5\sqrt{6}} (900x - 6x^3) = 900(5\sqrt{6}) - 6(5\sqrt{6})^3 \)

\( = 6 \cdot 5\sqrt{6}(150 - (5\sqrt{6})^2) \)

\( = 30\sqrt{6}(150 - 150) = 0 \)

Bu değerleri karşılaştırdığımızda fonksiyonun tanım aralığındaki en büyük değeri olarak \( x = 5\sqrt{2} \) noktasında aldığı \( 3000\sqrt{2} \) cm\(^3 \) değeri bulunur.

Amaç fonksiyonunun grafiği, bulduğumuz noktalar ve değerleri aşağıdaki şekilde gösterilmiştir.

Adım 1: Problem tanımı

\( x \): Parçacığın 64 kg kütleli cisme olan uzaklığı

Problemde parçacığa uygulanan net çekim kuvvetinin büyüklüğünün en az ve en çok olduğu değerler için parçacığın konumu istenmektedir.

Adım 2: Amaç fonksiyonu

Uzaklık pozitif bir büyüklüktür.

\( x \in \mathbb{R^+} \)

Test parçacığının 64 kg kütleli cisme olan uzaklığı, iki cismin arasındaki mesafeden küçük olmalıdır.

\( x \lt 9 \)

Mutlak değer fonksiyonunu parçalı fonksiyon şeklinde yazalım.

Fonksiyonun kritik noktalarını bulmak için mutlak değer ifadesinin içini sıfıra eşitleyelim.

\( \dfrac{64}{x^2} - \dfrac{1}{(9 - x)^2} = 0 \)

\( \dfrac{64}{x^2} = \dfrac{1}{(9 - x)^2} \)

Eşitliğin taraflarını karekök içine alalım.

\( \sqrt{\dfrac{64}{x^2}} = \sqrt{\dfrac{1}{(9 - x)^2}} \)

\( \dfrac{8}{x} = \dfrac{1}{9 - x} \)

\( x = 8 \)

\( f(x) = \begin{cases} \dfrac{64}{x^2} - \dfrac{1}{(9 - x)^2} & 0 \lt x \lt 8 \\ \dfrac{1}{(9 - x)^2} - \dfrac{64}{x^2} & 8 \le x \lt 9 \end{cases} \)

Buna göre en küçük ve en büyük değerini bulmak istediğimiz amaç fonksiyonu aşağıdaki şekilde tanımlanır.

\( f: (0, 9) \to [0, \infty) \)

\( f(x) = \begin{cases} \dfrac{64}{x^2} - \dfrac{1}{(9 - x)^2} & 0 \lt x \lt 8 \\ \dfrac{1}{(9 - x)^2} - \dfrac{64}{x^2} & 8 \le x \lt 9 \end{cases} \)

Adım 3: Problem çözümü

Fonksiyonun kritik noktaları birinci türevin sıfır ya da tanımsız olduğu iç noktalardır.

\( f \) parçalı fonksiyonunun \( x = 8 \) geçiş noktasında sürekli olup olmadığını bulalım.

\( x = 8 \) noktasındaki soldan limiti bulalım.

\( \lim\limits_{x \to 8^-} \left( \dfrac{64}{x^2} - \dfrac{1}{(9 - x)^2} \right) = \dfrac{64}{8^2} - \dfrac{1}{(9 - 8)^2} = 0 \)

\( x = 8 \) noktasındaki sağdan limiti bulalım.

\( \lim\limits_{x \to 8^+} \left( \dfrac{1}{(9 - x)^2} - \dfrac{64}{x^2} \right) = \dfrac{1}{(9 - 8)^2} - \dfrac{64}{8^2} = 0 \)

\( x = 8 \) noktasındaki fonksiyon değerini bulalım.

\( f(8) = \dfrac{1}{(9 - 8)^2} - \dfrac{64}{8^2} = 0 \)

Buna göre bu noktada soldan ve sağdan limitler ve fonksiyon değeri birer reel sayı olarak tanımlı ve birbirine eşittir, dolayısıyla fonksiyon \( x = 8 \) noktasında süreklidir.

\( f(8^-) = f(8^+) = f(8) \)

Sürekliliğini gösterdiğimiz bu noktadaki türevlenebilirliği kontrol edelim.

Fonksiyonun \( x = 8 \) noktasındaki soldan türevini bulalım.

\( f'(x) = -\dfrac{128}{x^3} - \dfrac{2}{(9 - x)^3} \)

\( f'(8^-) = -\dfrac{128}{8^3} - \dfrac{2}{(9 - 8)^3} = -\dfrac{9}{4} \)

Fonksiyonun \( x = 8 \) noktasındaki sağdan türevini bulalım.

\( f'(x) = \dfrac{2}{(9 - x)^3} + \dfrac{128}{x^3} \)

\( f'(8^+) = \dfrac{2}{(9 - 8)^3} + \dfrac{128}{8^3} = \dfrac{9}{4} \)

Buna göre bu noktada soldan ve sağdan türevler birbirine eşit değildir, dolayısıyla fonksiyonun \( x = 8 \) noktasında türevi tanımsızdır.

\( f'(x) = \begin{cases} -\dfrac{128}{x^3} - \dfrac{2}{(9 - x)^3} & 0 \lt x \lt 8 \\ \text{Tanımsız} & x = 8 \\ \dfrac{2}{(9 - x)^3} + \dfrac{128}{x^3} & 8 \lt x \lt 9 \end{cases} \)

Fonksiyonun tanım kümesi içinde birinci türevinin sıfır olduğu iç noktaları bulalım.

\( 0 \lt x \lt 8 \) için:

\( -\dfrac{128}{x^3} - \dfrac{2}{(9 - x)^3} = 0 \)

\( -\dfrac{64}{x^3} = \dfrac{1}{(9 - x)^3} \)

Eşitliğin taraflarının küpkökünü alalım.

\( \sqrt[3]{-\dfrac{64}{x^3}} = \sqrt[3]{\dfrac{1}{(9 - x)^3}} \)

\( -\dfrac{4}{x} = \dfrac{1}{9 - x} \)

Fonksiyonun tanım aralığı içinde bu denklemi sağlayan bir \( x \) değeri yoktur.

\( 8 \lt x \lt 9 \) için:

\( \dfrac{2}{(9 - x)^3} + \dfrac{128}{x^3} = 0 \)

\( \dfrac{1}{(9 - x)^3} = -\dfrac{64}{x^3} \)

Eşitliğin taraflarının küpkökünü alalım.

\( \sqrt[3]{\dfrac{1}{(9 - x)^3}} = \sqrt[3]{-\dfrac{64}{x^3}} \)

\( \dfrac{1}{9 - x} = -\dfrac{4}{x} \)

Fonksiyonun tanım aralığı içinde bu denklemi sağlayan bir \( x \) değeri yoktur.

Fonksiyonun \( x = 8 \) noktasında birinci türevi tanımsızdır.

Kritik nokta: \( x = 8 \)

Fonksiyonun kritik noktadaki değerini bulalım.

\( f(8) = \dfrac{1}{(9 - 8)^2} - \dfrac{64}{8^2} = 0 \)

Fonksiyonun açık uç noktalarındaki limitini bulalım.

\( \lim\limits_{x \to 0^+} \left( \dfrac{64}{x^2} - \dfrac{1}{(9 - x)^2} \right) = \dfrac{64}{(0^+)^2} - \dfrac{1}{(9 - 0)^2} = \infty \)

\( \lim\limits_{x \to 9^-} \left( \dfrac{1}{(9 - x)^2} - \dfrac{64}{x^2} \right) = \dfrac{1}{(9 - 9^-)^2} - \dfrac{64}{9^2} = \infty \)

Buna göre amaç fonksiyonunun aldığı bir mutlak maksimum değer yoktur.

Bu değerleri karşılaştırdığımızda amaç fonksiyonunun tanım aralığındaki en küçük değeri olarak \( x = 8 \) noktasında aldığı \( 0 \) değeri bulunur.

Dolayısıyla parçacığa uygulanan net çekim kuvvetinin büyüklüğünün en az olması için parçacık, 64 kg kütleli cisimden 8 metre uzağa yerleştirilmelidir.

Amaç fonksiyonunun grafiği, bulduğumuz noktalar ve değerleri aşağıdaki şekilde gösterilmiştir.

Adım 1: Problem tanımı

\( \alpha \): Doğru parçasının \( [BC] \) kenarı ile yaptığı açı

\( x \): Doğru parçasının \( ABCD \) dikdörtgeninin içerisinde kalan uzunluğu

\( y \): Doğru parçasının \( BEFG \) dikdörtgeninin içerisinde kalan uzunluğu

\( L \): Doğru parçasının uzunluğu

Problemde doğru parçasının uzunluğunun en küçük değeri istenmektedir.

Adım 2: Amaç fonksiyonu

Uzunluk ve açı pozitif büyüklüklerdir.

\( x, y, L, \alpha \in \mathbb{R^+} \)

Amaç fonksiyonunu tek bir değişken cinsinden yazabilmek için değişkenler arasında bir ilişki kurmaya çalışalım.

\( L \) uzunluğu \( x \) ve \( y \) uzunluklarının toplamına eşittir.

\( L = x + y \)

\( x \) ve \( y \) uzunluklarının trigonometrik eşitliklerini yazalım.

\( x = 27\sec{\alpha} \)

\( y = 64\csc{\alpha} \)

\( L = 27\sec{\alpha} + 64\csc{\alpha} \)

\( \alpha \) açısı dikdörtgenin kenarı ile doğru parçası arasındaki açıdır. Bu nedenle dikdörtgenin bir iç açısından küçüktür.

\( 0 \lt \alpha \lt \dfrac{\pi}{2} \)

Buna göre en küçük değerini bulmak istediğimiz amaç fonksiyonu aşağıdaki gibidir.

\( L: (0, \frac{\pi}{2}) \to \mathbb{R^+} \)

\( L(\alpha) = 27\sec{\alpha} + 64\csc{\alpha} \)

Adım 3: Problem çözümü

\( L \) fonksiyonu açık bir aralıkta tanımlıdır ve iki sürekli fonksiyonun toplamından oluştuğu için tanım kümesi içinde süreklidir.

Fonksiyonun kritik noktaları birinci türevin sıfır ya da tanımsız olduğu iç noktalardır.

\( L'(\alpha) = 27\tan{\alpha}\sec{\alpha} - 64\cot{\alpha}\csc{\alpha} \)

Fonksiyonun tanım kümesi içinde birinci türevinin sıfır olduğu iç noktaları bulalım.

\( 27\tan{\alpha}\sec{\alpha} - 64\cot{\alpha}\csc{\alpha} = 0 \)

\( 27\dfrac{\sin{\alpha}}{\cos{\alpha}} \cdot \dfrac{1}{\cos{\alpha}} = 64\dfrac{\cos{\alpha}}{\sin{\alpha}} \cdot \dfrac{1}{\sin{\alpha}} \)

\( \dfrac{\sin^3{\alpha}}{\cos^3{\alpha}} = \dfrac{64}{27} \)

\( \tan^3{\alpha} = \dfrac{64}{27} \)

\( \tan{\alpha} = \dfrac{4}{3} \)

\( \alpha = \arctan{\dfrac{4}{3}} \)

Fonksiyonun tanım kümesi içinde birinci türevinin tanımsız olduğu iç nokta yoktur.

Kritik nokta: \( \alpha = \arctan{\frac{4}{3}} \)

Fonksiyonun kritik noktadaki değerini bulalım.

\( \alpha = \arctan{\frac{4}{3}} \) için \( L \) değerini bulalım.

\( \tan{\alpha} = \frac{4}{3} \) değerini kullanarak bir dik üçgen yardımıyla \( \sec{\alpha} \) ve \( \csc{\alpha} \) değerlerini bulalım.

\( \sec{\alpha} = \dfrac{5}{3} \)

\( \csc{\alpha} = \dfrac{5}{4} \)

\( L(\alpha) = 27 \sec{\alpha} + 64 \csc{\alpha} \)

\( = 27 \cdot \dfrac{5}{3} + 64 \cdot \dfrac{5}{4} = 125 \)

Fonksiyonun açık uç noktalarındaki limitini bulalım.

\( \lim\limits_{x \to 0^+} (27 \sec{\alpha} + 64 \csc{\alpha}) = 27 \sec{0} + 64 \csc{0^+} \)

\( = 27 \dfrac{1}{\cos{0}} + 64 \dfrac{1}{\sin{0^+}} \)

\( = 27 \cdot 1 + 64 \dfrac{1}{0^+} = \infty \)

\( \lim\limits_{x \to \frac{\pi}{2}^-} (27 \sec{\alpha} + 64 \csc{\alpha}) = 27 \sec{\frac{\pi}{2}^-} + 64 \csc{\frac{\pi}{2}} \)

\( = 27 \dfrac{1}{\cos{\frac{\pi}{2}^-}} + 64 \dfrac{1}{\sin{\frac{\pi}{2}}} \)

\( = 27 \dfrac{1}{0^+} + 64 \cdot 1 = \infty \)

Bu değerleri karşılaştırdığımızda fonksiyonun tanım aralığındaki en küçük değeri olarak \( \alpha = \arctan{\frac{4}{3}} \) noktasında aldığı \( 125 \) cm değeri bulunur.

Amaç fonksiyonunun grafiği, bulduğumuz noktalar ve değerleri aşağıdaki şekilde gösterilmiştir.

Adım 1: Problem tanımı

\( a \): Seyirci ile duvar arasındaki mesafe

\( x \): Perdenin en üst noktası ile zemin arasını gören açı

\( y \): Perdenin en alt noktası ile zemin arasını gören açı

\( \alpha \): Seyircinin perdeyi görüş açısı

Problemde \( \alpha \) açısını en büyük yapan \( a \) değeri istenmektedir.

Adım 2: Amaç fonksiyonu

Uzaklık ve açı pozitif büyüklüklerdir.

\( a, x, y, \alpha \in \mathbb{R^+} \)

Amaç fonksiyonunu tek bir değişken cinsinden yazabilmek için değişkenler arasında bir ilişki kurmaya çalışalım.

\( \alpha \) açısı \( x \) ve \( y \) açılarının farkına eşittir.

\( \alpha = x - y \)

Eşitliğin taraflarının tanjantını alalım.

\( \tan{\alpha} = \tan(x - y) \)

Tanjant fark formülünü kullanalım.

\( \tan{\alpha} = \dfrac{\tan{x} - \tan{y}}{1 + \tan{x}\tan{y}} \)

\( \tan{x} = \dfrac{9}{a}, \quad \tan{y} = \dfrac{3}{a} \)

\( \tan{\alpha} = \dfrac{\frac{9}{a} - \frac{3}{a}}{1 + \frac{9}{a} \cdot \frac{3}{a}} \)

\( \tan{\alpha} = \dfrac{6a}{a^2 + 27} \)

Bu eşitlikte \( \alpha \) açısını yalnız bıraktığımızda sadece \( a \) değişkenine bağlı olan amaç fonksiyonunu elde ederiz.

\( \alpha(a) = \arctan{\dfrac{6a}{a^2 + 27}} \)

\( a \) herhangi bir pozitif reel sayı değeri alabilir.

Buna göre en büyük değerini bulmak istediğimiz amaç fonksiyonu aşağıdaki gibidir.

\( \alpha: (0, \infty) \to \mathbb{R^+} \)

\( \alpha(a) = \arctan{\dfrac{6a}{a^2 + 27}} \)

Adım 3: Problem çözümü

\( \alpha \) fonksiyonu açık bir aralıkta tanımlıdır ve arctan fonksiyonu tüm reel sayılarda süreklidir.

Fonksiyonun kritik noktaları birinci türevin sıfır ya da tanımsız olduğu iç noktalardır.

\( \alpha'(a) = \left( \arctan{\dfrac{6a}{a^2 + 27}} \right)' \)

\( \arctan{x} \) fonksiyonunun türevini hatırlayalım.

\( (\arctan{x})' = \dfrac{1}{1 + x^2} \)

\( \alpha'(a) = \dfrac{1}{1 + (\frac{6a}{a^2 + 27})^2} \cdot \left( \dfrac{6a}{a^2 + 27} \right)' \)

Türev bölme kuralını kullanalım.

\( \alpha'(a) = \dfrac{1}{1 + (\frac{6a}{a^2 + 27})^2} \cdot \dfrac{6(a^2 + 27) - 6a \cdot 2a}{(a^2 + 27)^2} \)

\( \alpha'(a) = \dfrac{1}{1 + (\frac{6a}{a^2 + 27})^2} \cdot \dfrac{6(27 - a^2)}{(a^2 + 27)^2} \)

\( \alpha'(a) = \dfrac{1}{1 + (\frac{6a}{a^2 + 27})^2} \cdot \dfrac{6(3\sqrt{3} - a)(3\sqrt{3} + a)}{(a^2 + 27)^2} \)

Fonksiyonun tanım aralığı içinde birinci türevinin sıfır olduğu iç noktaları bulalım.

Paydadaki ifadeler her \( a \) değeri için pozitif olduğu için payı sıfıra eşitleyebiliriz.

\( 6(3\sqrt{3} - a)(3\sqrt{3} + a) = 0 \)

\( a = 3\sqrt{3} \)

Fonksiyonun birinci türevinin tanımsız olduğu iç nokta yoktur.

Kritik nokta: \( a = 3\sqrt{3} \)

Fonksiyonun kritik noktadaki değerini bulalım.

\( \alpha(3\sqrt{3}) = \arctan{\dfrac{6(3\sqrt{3})}{(3\sqrt{3})^2 + 27}} \)

\( = \arctan{\dfrac{\sqrt{3}}{3}} = \dfrac{\pi}{6} \)

Fonksiyonun açık uç noktalarındaki limitini bulalım.

\( \lim\limits_{x \to 0^+} {\arctan{\dfrac{6a}{a^2 + 27}}} = \arctan{\dfrac{6(0)}{0^2 + 27}} \)

\( = \arctan{0} = 0 \)

\( \lim\limits_{x \to \infty} {\arctan{\dfrac{6a}{a^2 + 27}}} = \arctan{0} = 0 \)

Buna göre fonksiyon açık uç noktaları civarında \( \frac{\pi}{6} \) değerinden daha büyük bir değer almaz.

Bu değerleri karşılaştırdığımızda fonksiyonun tanım aralığındaki en büyük değeri olarak \( a = 3\sqrt{3} \) noktasında aldığı \( \frac{\pi}{6} \) değeri bulunur.

Amaç fonksiyonunun grafiği, bulduğumuz noktalar ve değerleri aşağıdaki şekilde gösterilmiştir.