Fonksiyon Grafikleri

Bir fonksiyonun birinci ve ikinci türevi, fonksiyonun grafiği ve davranışı hakkında önemli bilgiler verir. Bu fonksiyonların en temel yorumu aşağıdaki şekilde özetlenebilir.

Fonksiyon	Açıklama
\( f(x) \)	\( f(x) \) grafiğinde belirli bir \( x \) için \( y \) değişkeninin değeri
\( f'(x) \)	\( f(x) \) grafiğine belirli bir \( x \) noktasında çizilen teğet doğrunun eğimi \( f'(x) \) pozitif olduğu aralıkta \( f(x) \) artandır. \( f'(x) \) negatif olduğu aralıkta \( f(x) \) azalandır. \( f'(x) \) sıfır olduğu aralıkta \( f(x) \) sabittir.
\( f''(x) \)	\( f'(x) \) grafiğine belirli bir \( x \) noktasında çizilen teğet doğrunun eğimi \( f''(x) \) pozitif olduğu aralıkta \( f'(x) \) artandır (\( f(x) \) eğimi artandır). \( f''(x) \) negatif olduğu aralıkta \( f'(x) \) azalandır (\( f(x) \) eğimi azalandır). \( f''(x) \) sıfır olduğu aralıkta \( f'(x) \) sabittir (\( f(x) \) eğimi sabittir).

Fonksiyon

Açıklama

\( f(x) \)

\( f(x) \) grafiğinde belirli bir \( x \) için \( y \) değişkeninin değeri

\( f'(x) \)

\( f(x) \) grafiğine belirli bir \( x \) noktasında çizilen teğet doğrunun eğimi

\( f'(x) \) pozitif olduğu aralıkta \( f(x) \) artandır.

\( f'(x) \) negatif olduğu aralıkta \( f(x) \) azalandır.

\( f'(x) \) sıfır olduğu aralıkta \( f(x) \) sabittir.

\( f''(x) \)

\( f'(x) \) grafiğine belirli bir \( x \) noktasında çizilen teğet doğrunun eğimi

\( f''(x) \) pozitif olduğu aralıkta \( f'(x) \) artandır (\( f(x) \) eğimi artandır).

\( f''(x) \) negatif olduğu aralıkta \( f'(x) \) azalandır (\( f(x) \) eğimi azalandır).

\( f''(x) \) sıfır olduğu aralıkta \( f'(x) \) sabittir (\( f(x) \) eğimi sabittir).

Bu bölümde önce fonksiyon grafikleri ile ilgili bazı önemli kavramları inceleyeceğiz, daha sonra bu kavramları ve türev fonksiyonlarını kullanarak grafiklerle ilgili daha detaylı yorumlar yapmaya çalışacağız.

Sabit, Artan ve Azalan Aralıklar

Bir fonksiyonun birinci türevinin belirli bir noktadaki değeri, fonksiyonun grafiğine o noktada çizilen teğet doğrunun eğimine eşittir. Buna göre; bir fonksiyonun grafiğinin sabit, artan ya da azalan olduğu aralıklarda birinci türevinin işareti sırasıyla sıfır, pozitif ya da negatif olur.

Sabit Aralık

Bir fonksiyonun grafiğinin sabit olduğu (eğiminin sıfır olduğu) bir aralıkta birinci türevi sıfır olur.

Artan Aralık

Bir fonksiyonun grafiğinin artan (eğiminin pozitif) olduğu bir aralıkta birinci türevi pozitif olur. Aşağıdaki grafikteki üç fonksiyonun da verilen aralıkta grafikleri artandır, dolayısıyla birinci türevleri pozitiftir.

Azalan Aralık

Bir fonksiyonun grafiğinin azalan (eğiminin negatif) olduğu bir aralıkta birinci türevi negatif olur. Aşağıdaki grafikteki üç fonksiyonun da verilen aralıkta grafikleri azalandır, dolayısıyla birinci türevleri negatiftir.

Konveks ve Konkav Aralıklar

Bir fonksiyonun grafiğinin sabit, artan ya da azalan olması birinci türevinin işareti ile ilgili iken, konveks ya da konkav olması ikinci türevinin işareti ile ilgilidir.

Konveks (Dış Bükey) Aralık

Bir fonksiyonun belirli bir aralıktaki grafiği, grafik üzerindeki her nokta ikilisini birleştiren doğru parçasının altında kalıyorsa konvekstir (dış bükeydir).

Konveks bir grafik şekildeki \( f \) fonksiyonu gibi artan (pozitif eğim ve birinci türev) ya da \( g \) fonksiyonu gibi azalan (negatif eğim ve birinci türev) olabilir, ancak eğim değeri (birinci türev) her zaman artandır, dolayısıyla ikinci türev pozitiftir.

Konkav (İç Bükey) Aralık

Bir fonksiyonun belirli bir aralıktaki grafiği, grafik üzerindeki her nokta ikilisini birleştiren doğru parçasının üstünde kalıyorsa konkavdır (iç bükeydir).

Konkav bir grafik şekildeki \( f \) fonksiyonu gibi artan (pozitif eğim ve birinci türev) ya da \( g \) fonksiyonu gibi azalan (negatif eğim ve birinci türev) olabilir, ancak eğim değeri (birinci türev) her zaman azalandır, dolayısıyla ikinci türev negatiftir.

ÖRNEK:

\( f(x) = x^4 - 4x^3 + 6x + 1 \) fonksiyonunun konveks ve konkav olduğu aralıkları bulalım.

Bir fonksiyonun grafiğinin konveks olduğu aralıkta birinci türevi (eğimi) artandır, yani ikinci türevi pozitiftir.

Bir fonksiyonun grafiğinin konkav olduğu aralıkta birinci türevi (eğimi) azalandır, yani ikinci türevi negatiftir.

Fonksiyonun birinci ve ikinci türevini bulalım.

\( f'(x) = 4x^3 - 12x^2 + 6 \)

\( f''(x) = 12x^2 - 24x \)

\( = 12x(x - 2) \)

İkinci türev için bir işaret tablosu hazırlayalım.

Buna göre \( (0, 2) \) aralığında ikinci türev negatiftir, dolayısıyla fonksiyon grafiği konkavdır.

\( (-\infty, 0) \) ve \( (2, \infty) \) aralıklarında ikinci türev pozitiftir, dolayısıyla fonksiyon grafiği konvekstir.

Aşağıdaki şekilde fonksiyonun konveks ve konkav olduğu aralıklar görülebilir.

Örnek Grafikler

Yukarıda verdiğimiz bilgiler doğrultusunda, bazı temel fonksiyonların grafikleri ve birinci/ikinci türevleri ile ilişkileri aşağıda gösterilmiştir.

Grafik	Açıklama
	Sabit Aralık Ana fonksiyonun değeri sabittir. Ana fonksiyonun eğimi sabit ve sıfır olduğu için birinci türev de sabit ve sıfırdır (\( f'(x) = 0 \)). Birinci türevin eğimi sabit ve sıfır olduğu için ikinci türev de sabit ve sıfırdır (\( f''(x) = 0 \)).
	Doğrusal Artan Aralık Ana fonksiyonun değeri doğrusal bir şekilde artar. Ana fonksiyonun eğimi sabit ve pozitif olduğu için birinci türev de sabit ve pozitiftir (\( f'(x) \gt 0 \)). Birinci türevin eğimi sabit ve sıfır olduğu için ikinci türev de sabit ve sıfırdır (\( f''(x) = 0 \)).
	Konveks (Artış Hızı Artarak) Artan Aralık Ana fonksiyonun değeri artış hızı artarak artar. Ana fonksiyonun eğimi pozitif ve artan olduğu için birinci türev de pozitif ve artandır (\( f'(x) \gt 0 \)). Birinci türev artan olduğu için ikinci türev pozitiftir (\( f''(x) \gt 0 \)). NOT: Ana fonksiyonun grafiğine göre, birinci türevin grafiği pozitif ve artan olmak koşuluyla doğrusal ya da eğrisel olabilir. Buna bağlı olarak ikinci türevin grafiği pozitif tarafta kalmak koşuluyla artan ya da azalan, doğrusal ya da eğrisel olabilir.
	Konkav (Artış Hızı Azalarak) Artan Aralık Ana fonksiyonun değeri artış hızı azalarak artar. Ana fonksiyonun eğimi pozitif ve azalan olduğu için birinci türev de pozitif ve azalandır (\( f'(x) \gt 0 \)). Birinci türev azalan olduğu için ikinci türev negatiftir (\( f''(x) \lt 0 \)). Yukarıda paylaştığımız not bu grafik için de geçerlidir.
	Doğrusal Azalan Aralık Ana fonksiyonun değeri doğrusal bir şekilde azalır. Ana fonksiyonun eğimi sabit ve negatif olduğu için birinci türev de sabit ve negatiftir (\( f'(x) \lt 0 \)). Birinci türevin eğimi sabit ve sıfır olduğu için ikinci türev de sabit ve sıfırdır (\( f''(x) = 0 \)).
	Konkav (Azalış Hızı Artarak) Azalan Aralık Ana fonksiyonun değeri azalış hızı mutlak değer olarak artarak azalır. Ana fonksiyonun eğimi negatif ve azalan olduğu için birinci türev de negatif ve azalandır (\( f'(x) \lt 0 \)). Birinci türev azalan olduğu için ikinci türev negatiftir (\( f''(x) \lt 0 \)). Yukarıda paylaştığımız not bu grafik için de geçerlidir.
	Konveks (Azalış Hızı Azalarak) Azalan Aralık Ana fonksiyonun değeri azalış hızı mutlak değer olarak azalarak azalır. Ana fonksiyonun eğimi negatif ve artandır, dolayısıyla birinci türev de negatif ve artandır (\( f'(x) \lt 0 \)). Birinci türev artan olduğu için ikinci türev pozitiftir (\( f''(x) \gt 0 \)). Yukarıda paylaştığımız not bu grafik için de geçerlidir.
	Önce Azalan Sonra Artan Aralık Ana fonksiyonun değeri \( (a, c) \) aralığında azalış hızı mutlak değer olarak azalarak azalır, \( (c, b) \) aralığında ise artış hızı artarak artar. Ana fonksiyonun eğimi \( (a, c) \) aralığında negatif, \( c \) noktasında sıfır, \( (c, b) \) aralığında pozitiftir ve tüm aralıkta artandır. Birinci türev tüm aralıkta artan olduğu için ikinci türev pozitiftir (\( f''(x) \gt 0 \)). Yukarıda paylaştığımız not bu grafik için de geçerlidir.
	Önce Artan Sonra Azalan Aralık Ana fonksiyonun değeri \( (a, c) \) aralığında artış hızı azalarak artar, \( (c, b) \) aralığında ise azalış hızı mutlak değer olarak artarak azalır. Ana fonksiyonun eğimi \( (a, c) \) aralığında pozitif, \( c \) noktasında sıfır, \( (c, b) \) aralığında negatiftir ve tüm aralıkta azalandır. Birinci türev tüm aralıkta azalan olduğu için ikinci türev negatiftir (\( f''(x) \lt 0 \)). Yukarıda paylaştığımız not bu grafik için de geçerlidir.