Kapalı Fonksiyonların Türevi

Eşitliğin iki tarafının \( x \)'e göre türevini alalım.

Türevi alırken \( y \) değişkeninin \( x \)'e bağlı bir fonksiyon olduğunu dikkate almalıyız.

\( \dfrac{d(\tan(4y))}{dx} = \dfrac{d(4\tan{x})}{dx} \)

\( 4\sec^2(4y)\dfrac{dy}{dx} = 4\sec^2{x} \)

\( \dfrac{dy}{dx} \) ifadesini yalnız bırakalım.

\( \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{\sec^2{x}}{\sec^2(4y)} \) bulunur.

(a) seçeneği:

\( \dfrac{(2x + y)^2}{x^3 - xy^2} + x = y \)

Eşitliği düzenleyelim.

\( \dfrac{(2x + y)^2}{x^3 - xy^2} = y - x \)

\( 4x^2 + 4xy + y^2 = (y - x)(x^3 - xy^2) \)

\( 4x^2 + 4xy + y^2 = x^3y - xy^3 - x^4 + x^2y^2 \)

Eşitliğin iki tarafının \( x \)'e göre türevini alalım.

Türevi alırken \( y \) değişkeninin \( x \)'e bağlı bir fonksiyon olduğunu dikkate almalıyız.

\( \dfrac{d(4x^2 + 4xy + y^2)}{dx} = \dfrac{d(x^3y - xy^3 - x^4 + x^2y^2)}{dx} \)

\( 8x + (4 \cdot y + 4x \cdot \dfrac{dy}{dx}) + 2y\dfrac{dy}{dx} = (3x^2 \cdot y + x^3 \cdot \dfrac{dy}{dx}) - (y^3 + x \cdot 3y^2\dfrac{dy}{dx}) - 4x^3 + (2x \cdot y^2 + x^2 \cdot 2y\dfrac{dy}{dx}) \)

\( 8x + 4y + 4x\dfrac{dy}{dx} + 2y\dfrac{dy}{dx} = 3x^2y + x^3\dfrac{dy}{dx} - y^3 - 3xy^2\dfrac{dy}{dx} - 4x^3 + 2xy^2 + 2x^2y\dfrac{dy}{dx} \)

\( \dfrac{dy}{dx} \) ifadesini yalnız bırakalım.

\( \dfrac{dy}{dx}(4x + 2y - x^3 + 3xy^2 - 2x^2y) = 3x^2y - y^3 - 4x^3 + 2xy^2 - 8x - 4y \)

\( \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{3x^2y - y^3 - 4x^3 + 2xy^2 - 8x - 4y}{4x + 2y - x^3 + 3xy^2 - 2x^2y} \)

Elde ettiğimiz ifade verilen kapalı fonksiyonun türevidir.

(b) seçeneği:

\( 2\sqrt{xy} + y - 2x = 0 \)

Eşitliği düzenleyelim.

\( 2\sqrt{xy} = 2x - y \)

Köklü ifadeden kurtulalım.

\( (2\sqrt{xy})^2 = (2x - y)^2 \)

\( 4xy = 4x^2 - 4xy + y^2 \)

\( 4x^2 - 8xy + y^2 = 0 \)

Eşitliğin iki tarafının \( x \)'e göre türevini alalım.

Türevi alırken \( y \) değişkeninin \( x \)'e bağlı bir fonksiyon olduğunu dikkate almalıyız.

\( \dfrac{d(4x^2 - 8xy + y^2)}{dx} = \dfrac{d(0)}{dx} \)

\( 8x - (8 \cdot y + 8x \cdot \dfrac{dy}{dx}) + 2y\dfrac{dy}{dx} = 0 \)

\( 8x - 8y - 8x\dfrac{dy}{dx} + 2y\dfrac{dy}{dx} = 0 \)

\( \dfrac{dy}{dx} \) ifadesini yalnız bırakalım.

\( \dfrac{dy}{dx}(2y - 8x) = 8y - 8x \)

\( \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{4y - 4x}{y - 4x} \)

Elde ettiğimiz ifade verilen kapalı fonksiyonun türevidir.

(c) seçeneği:

\( 2xy(x^2 + y^2) = (2x + 1)(x + 1) \)

Eşitliği düzenleyelim.

\( 2x^3y + 2xy^3 = 2x^2 + 3x + 1 \)

Eşitliğin iki tarafının \( x \)'e göre türevini alalım.

Türevi alırken \( y \) değişkeninin \( x \)'e bağlı bir fonksiyon olduğunu dikkate almalıyız.

\( \dfrac{d(2x^3y + 2xy^3)}{dx} = \dfrac{d(2x^2 + 3x + 1)}{dx} \)

\( (6x^2 \cdot y + 2x^3 \cdot \dfrac{dy}{dx}) + (2 \cdot y^3 + 2x \cdot 3y^2\dfrac{dy}{dx}) = 4x + 3 \)

\( 6x^2y + 2x^3\dfrac{dy}{dx} + 2y^3 + 6xy^2\dfrac{dy}{dx} = 4x + 3 \)

\( \dfrac{dy}{dx} \) ifadesini yalnız bırakalım.

\( \dfrac{dy}{dx}(2x^3 + 6xy^2) = 4x - 6x^2y - 2y^3 + 3 \)

\( \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{4x - 6x^2y - 2y^3 + 3}{2x^3 + 6xy^2} \)

Elde ettiğimiz ifade verilen kapalı fonksiyonun türevidir.

(a) seçeneği:

\( y^3e^{2x} = x^3e^{2y} \)

Eşitliğin iki tarafının \( x \)'e göre türevini alalım.

Türevi alırken \( y \) değişkeninin \( x \)'e bağlı bir fonksiyon olduğunu dikkate almalıyız.

\( \dfrac{d(y^3e^{2x})}{dx} = \dfrac{d(x^3e^{2y})}{dx} \)

\( 3y^2\dfrac{dy}{dx} \cdot e^{2x} + y^3 \cdot 2e^{2x} = 3x^2 \cdot e^{2y} + x^3 \cdot 2e^{2y}\dfrac{dy}{dx} \)

\( 3y^2e^{2x}\dfrac{dy}{dx} + 2y^3e^{2x} = 3x^2e^{2y} + 2x^3e^{2y}\dfrac{dy}{dx} \)

\( \dfrac{dy}{dx} \) ifadesini yalnız bırakalım.

\( \dfrac{dy}{dx}(3y^2e^{2x} - 2x^3e^{2y}) = 3x^2e^{2y} - 2y^3e^{2x} \)

\( \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{3x^2e^{2y} - 2y^3e^{2x}}{3y^2e^{2x} - 2x^3e^{2y}} \)

Elde ettiğimiz ifade verilen kapalı fonksiyonun türevidir.

(b) seçeneği:

\( e^{x^2} - 3e^{y^2} = 3xy + 1 \)

Eşitliğin iki tarafının \( x \)'e göre türevini alalım.

Türevi alırken \( y \) değişkeninin \( x \)'e bağlı bir fonksiyon olduğunu dikkate almalıyız.

\( \dfrac{d(e^{x^2} - 3e^{y^2})}{dx} = \dfrac{d(3xy + 1)}{dx} \)

\( 2xe^{x^2} - 6ye^{y^2}\dfrac{dy}{dx} = (3 \cdot y + 3x \cdot \dfrac{dy}{dx}) + 0 \)

\( 2xe^{x^2} - 6ye^{y^2}\dfrac{dy}{dx} = 3y + 3x\dfrac{dy}{dx} \)

\( \dfrac{dy}{dx} \) ifadesini yalnız bırakalım.

\( \dfrac{dy}{dx}(6ye^{y^2} + 3x) = 2xe^{x^{2}} - 3y \)

\( \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{2xe^{x^2} - 3y}{6ye^{y^2} + 3x} \)

Elde ettiğimiz ifade verilen kapalı fonksiyonun türevidir.

(c) seçeneği:

\( e^{(x + y)^2} = y - 2 \)

Eşitliği düzenleyelim.

\( e^{x^2 + 2xy + y^2} = y - 2 \)

Eşitliğin iki tarafının \( x \)'e göre türevini alalım.

Türevi alırken \( y \) değişkeninin \( x \)'e bağlı bir fonksiyon olduğunu dikkate almalıyız.

\( \dfrac{d(e^{x^2 + 2xy + y^2})}{dx} = \dfrac{d(y - 2)}{dx} \)

\( e^{x^2 + 2xy + y^2} \cdot \dfrac{d(x^2 + 2xy + y^2)}{dx} = \dfrac{dy}{dx} \)

\( e^{x^2 + 2xy + y^2}(2x + (2 \cdot y + 2x \cdot \dfrac{dy}{dx}) + 2y\dfrac{dy}{dx}) = \dfrac{dy}{dx} \)

\( e^{x^2 + 2xy + y^2}(2x + 2y + 2x\dfrac{dy}{dx} + 2y\dfrac{dy}{dx}) = \dfrac{dy}{dx} \)

\( \dfrac{dy}{dx} \) ifadesini yalnız bırakalım.

\( e^{x^2 + 2xy + y^2}(2x + 2y) + e^{x^2 + 2xy + y^2}(2x\dfrac{dy}{dx} + 2y\dfrac{dy}{dx}) = \dfrac{dy}{dx} \)

\( 2xe^{x^2 + 2xy + y^2}\dfrac{dy}{dx} + 2ye^{x^2 + 2xy + y^2}\dfrac{dy}{dx} - \dfrac{dy}{dx} = -e^{x^2 + 2xy + y^2}(2x + 2y) \)

\( \dfrac{dy}{dx}(2xe^{x^2 + 2xy + y^2} + 2ye^{x^2 + 2xy + y^2} - 1) = -(2x + 2y)e^{x^2 + 2xy + y^2} \)

\( \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{-(2x + 2y)e^{x^2 + 2xy + y^2}}{2xe^{x^2 + 2xy + y^2} + 2ye^{x^2 + 2xy + y^2} - 1} \)

Elde ettiğimiz ifade verilen kapalı fonksiyonun türevidir.

(a) seçeneği:

\( \cos{x^2} + 2y = x^3\sin{y} \)

Eşitliğin iki tarafının \( x \)'e göre türevini alalım.

Türevi alırken \( y \) değişkeninin \( x \)'e bağlı bir fonksiyon olduğunu dikkate almalıyız.

\( \dfrac{d(\cos{x^2} + 2y)}{dx} = \dfrac{d(x^3\sin{y})}{dx} \)

\( -2x\sin{x^2} + 2\dfrac{dy}{dx} = 3x^2 \cdot \sin{y} + x^3 \cdot \cos{y}\dfrac{dy}{dx} \)

\( -2x\sin{x^2} + 2\dfrac{dy}{dx} = 3x^2\sin{y} + x^3\cos{y}\dfrac{dy}{dx} \)

\( \dfrac{dy}{dx} \) ifadesini yalnız bırakalım.

\( \dfrac{dy}{dx}(2 - x^3\cos{y}) = 3x^2\sin{y} + 2x\sin{x^2} \)

\( \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{3x^2\sin{y} + 2x\sin{x^2}}{2 - x^3\cos{y}}\)

Elde ettiğimiz ifade verilen kapalı fonksiyonun türevidir.

(b) seçeneği:

\( e^{2y}\sin(xy) = 1 - \cos{x} + y \)

Eşitliğin iki tarafının \( x \)'e göre türevini alalım.

Türevi alırken \( y \) değişkeninin \( x \)'e bağlı bir fonksiyon olduğunu dikkate almalıyız.

\( \dfrac{d(e^{2y}\sin(xy))}{dx} = \dfrac{d(1 - \cos{x + y})}{dx} \)

\( 2e^{2y}\dfrac{dy}{dx} \cdot \sin(xy) + e^{2y} \cdot \cos(xy)\dfrac{d(xy)}{dx} = \sin{x} + \dfrac{dy}{dx} \)

\( 2e^{2y}\dfrac{dy}{dx} \cdot \sin(xy) + e^{2y} \cdot \cos(xy)(1 \cdot y + x \cdot \dfrac{dy}{dx}) = \sin{x} + \dfrac{dy}{dx} \)

\( 2e^{2y}\sin(xy)\dfrac{dy}{dx} + e^{2y}\cos(xy)(y + x\dfrac{dy}{dx}) = \sin{x} + \dfrac{dy}{dx} \)

\( 2e^{2y}\sin(xy)\dfrac{dy}{dx} + ye^{2y}\cos(xy) + xe^{2y}\cos(xy)\dfrac{dy}{dx} = \sin{x} + \dfrac{dy}{dx} \)

\( \dfrac{dy}{dx} \) ifadesini yalnız bırakalım.

\( \dfrac{dy}{dx}(2e^{2y}\sin(xy) + xe^{2y}\cos(xy) - 1) = \sin{x} - ye^{2y}\cos(xy) \)

\( \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{\sin{x} - ye^{2y}\cos(xy)}{2e^{2y}\sin(xy) + xe^{2y}\cos(xy) - 1} \)

Elde ettiğimiz ifade verilen kapalı fonksiyonun türevidir.

(c) seçeneği:

\( \csc(xy) = xy^2 + 1 \)

Eşitliğin iki tarafının \( x \)'e göre türevini alalım.

Türevi alırken \( y \) değişkeninin \( x \)'e bağlı bir fonksiyon olduğunu dikkate almalıyız.

\( \dfrac{d(\csc(xy))}{dx} = \dfrac{d(xy^2 + 1)}{dx} \)

\( -\cot(xy)\csc(xy)\dfrac{d(xy)}{dx} = 1 \cdot y^2 + x \cdot 2y\dfrac{dy}{dx} \)

\( -\cot(xy)\csc(xy)(1 \cdot y + x \cdot \dfrac{dy}{dx}) = y^2 + x \cdot 2y\dfrac{dy}{dx} \)

\( -\cot(xy)\csc(xy)(y + x\dfrac{dy}{dx}) = y^2 + 2xy\dfrac{dy}{dx} \)

\( \dfrac{dy}{dx} \) ifadesini yalnız bırakalım.

\( -y\cot(xy)\csc(xy) - x\cot(xy)\csc(xy)\dfrac{dy}{dx} = y^2 + 2xy\dfrac{dy}{dx} \)

\( \dfrac{dy}{dx}(-x\cot(xy)\csc(xy) - 2xy) = y\cot(xy)\csc(xy) + y^2 \)

\( \dfrac{dy}{dx} = -\dfrac{y\cot(xy)\csc(xy) + y^2}{x\cot(xy)\csc(xy) + 2xy} \)

Elde ettiğimiz ifade verilen kapalı fonksiyonun türevidir.

Eşitliğin iki tarafının doğal logaritmasını alalım.

\( \ln(2xe^{x^{2}}) = \ln{y^{2y}} \)

\( \ln(2x) + \ln{e^{x^2}} = \ln{y^{2y}} \)

\( \ln(2x) + x^2\ln{e} = 2y\ln{y} \)

\( \ln(2x) + x^2 = 2y\ln{y} \)

Eşitliğin iki tarafının \( x \)'e göre türevini alalım.

Türevi alırken \( y \) değişkeninin \( x \)'e bağlı bir fonksiyon olduğunu dikkate almalıyız.

\( \dfrac{d(\ln(2x) + x^2)}{dx} = \dfrac{d(2y\ln{y})}{dx} \)

\( \dfrac{2}{2x} + 2x = 2\dfrac{dy}{dx} \cdot \ln{y} + 2y \cdot \dfrac{1}{y}\dfrac{dy}{dx} \)

\( \dfrac{1}{x} + 2x = 2\ln{y}\dfrac{dy}{dx} + 2\dfrac{dy}{dx} \)

\( \dfrac{dy}{dx} \) ifadesini yalnız bırakalım.

\( \dfrac{dy}{dx}(2\ln{y} + 2) = \dfrac{1}{x} + 2x \)

\( \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{\frac{1}{x} + 2x}{2\ln{y} + 2} \) bulunur.

Eşitliğin iki tarafının \( x \)'e göre türevini alalım.

Türevi alırken \( y \) değişkeninin \( x \)'e bağlı bir fonksiyon olduğunu dikkate almalıyız.

\( \dfrac{d(2y^2 + x^2)}{dx} = \dfrac{d(11)}{dx} \)

\( 4y\dfrac{dy}{dx} + 2x = 0 \)

\( \dfrac{dy}{dx} = -\dfrac{x}{2y} \)

İkinci türev için bölme kuralını kullanalım.

\( \dfrac{d^2y}{dx^2} = -\dfrac{1 \cdot 2y - x \cdot 2\frac{dy}{dx}}{(2y)^2} \)

\( = -\dfrac{2y - 2x\frac{dy}{dx}}{4y^2} \)

\( \frac{dy}{dx} = -\frac{x}{2y} \) yazalım.

\( = -\dfrac{2y - 2x(-\frac{x}{2y})}{4y^2} \)

\( = -\dfrac{2y + \frac{x^2}{y}}{4y^2} \)

\( = -\dfrac{2y^2 + x^2}{4y^3} \) bulunur.

Eşitliğin iki tarafının \( x \)'e göre türevini alalım.

Türevi alırken \( y \) değişkeninin \( x \)'e bağlı bir fonksiyon olduğunu dikkate almalıyız.

\( \dfrac{d(x^2y - x^2 + y^2 - 3x - 2y)}{dx} = \dfrac{d(0)}{dx} \)

\( (2xy + x^2 \cdot \dfrac{dy}{dx}) - 2x + 2y \cdot \dfrac{dy}{dx} - 3 - 2\dfrac{dy}{dx} = 0 \)

\( \frac{dy}{dx} \) ifadesini yalnız bırakalım.

\( \dfrac{dy}{dx} \cdot (x^2 + 2y - 2) = -2xy + 2x + 3 \)

\( \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{-2xy + 2x + 3}{x^2 + 2y - 2} \) bulunur.

Elde ettiğimiz ifade verilen kapalı fonksiyonun türevidir.

\( F(x, y) = e^{5xy} - 3y = 0 \)

Eşitliğin iki tarafının \( x \)'e göre türevini alalım.

Türevi alırken \( y \) değişkeninin \( x \)'e bağlı bir fonksiyon olduğunu dikkate almalıyız.

\( \dfrac{d}{dx} (e^{5xy} - 3y) = \dfrac{d}{dx}(0) \)

\( \dfrac{d}{dx} (e^{5xy}) - \dfrac{d}{dx} (3y) = 0 \)

\( e^{5xy}\dfrac{d}{dx} (5xy) - 3\dfrac{dy}{dx} = 0 \)

\( e^{5xy}(5y + 5x\dfrac{dy}{dx}) - 3\dfrac{dy}{dx} = 0 \)

\( 5ye^{5xy} + 5xe^{5xy}\dfrac{dy}{dx} - 3\dfrac{dy}{dx} = 0 \)

\( \frac{dy}{dx} \) ifadesini yalnız bırakalım.

\( \dfrac{dy}{dx}(5xe^{5xy} - 3) = -5ye^{5xy} \)

\( \dfrac{dy}{dx} = -\dfrac{5ye^{5xy}}{5xe^{5xy} - 3} \)

Elde ettiğimiz ifade verilen kapalı fonksiyonun türevidir.

\( F(x, y) = e^{5xy} - 3y = 0 \)

\( \dfrac{dy}{dx} = -\dfrac{F_x}{F_y} \)

Kapalı fonksiyonun \( x \) değişkenine göre kısmi türevini alalım.

\( F_x = e^{5xy} \cdot 5y - 0 \)

Kapalı fonksiyonun \( y \) değişkenine göre kısmi türevini alalım.

\( F_y = e^{5xy} \cdot 5x - 3 \)

Kısmi türevleri genel formülde yerine koyalım.

\( \dfrac{dy}{dx} = -\dfrac{F_x}{F_y} \)

\( = -\dfrac{5ye^{5xy}}{5xe^{5xy} - 3} \)

Elde ettiğimiz ifade verilen kapalı fonksiyonun türevidir ve yukarıdaki bölümde genel formülü kullanmadan bulduğumuz türeve eşittir.

Verilen fonksiyonu \( F(x, y) = 0 \) formunda yazalım.

\( y - \sin(3x - 5y) = 0 \)

Kapalı fonksiyonun \( x \) değişkenine göre kısmi türevini alalım.

\( F_x = 0 - \cos(3x - 5y) \cdot \dfrac{d(3x - 5y)}{dx} \)

\( = -\cos(3x - 5y) \cdot 3 \)

\( = -3\cos(3x - 5y) \)

Kapalı fonksiyonun \( y \) değişkenine göre kısmi türevini alalım.

\( F_y = 1 - \cos(3x - 5y) \cdot \dfrac{d(3x - 5y)}{dy} \)

\( = 1 - \cos(3x - 5y) \cdot (-5) \)

\( = 1 + 5\cos(3x - 5y) \)

Kısmi türevleri kapalı fonksiyonların genel türev formülünde yerine koyalım.

\( \dfrac{dy}{dx} = -\dfrac{F_x}{F_y} \)

\( = \dfrac{3\cos(3x - 5y)}{1 + 5\cos(3x - 5y)} \)

Elde ettiğimiz ifade verilen kapalı fonksiyonun türevidir.

Verilen fonksiyon ikinci terimin paydasında kendisini sonsuza kadar tekrarladığı için payda yerine \( y \) yazabiliriz.

\( y = x - \dfrac{1}{y} \)

Elde ettiğimiz eşitliği bir kapalı fonksiyon şeklinde yazalım.

\( y = \dfrac{xy - 1}{y} \)

\( y^2 = xy - 1 \)

\( F(x, y) = y^2 - xy + 1 = 0 \)

Kapalı fonksiyonun \( x \) değişkenine göre kısmi türevini alalım.

\( F_x = 0 - y + 0 = -y \)

Kapalı fonksiyonun \( y \) değişkenine göre kısmi türevini alalım.

\( F_y = 2y - x + 0 = 2y - x \)

Kısmi türevleri kapalı fonksiyonların genel türev formülünde yerine koyalım.

\( \dfrac{dy}{dx} = -\dfrac{F_x}{F_y} \)

\( = \dfrac{y}{2y - x} \)

Elde ettiğimiz ifade verilen kapalı fonksiyonun türevidir.

\( F(x, y) = 0 \) kapalı fonksiyonunda \( y \) değişkeninin \( x \) değişkenine göre türevinin genel formülü aşağıdaki gibidir.

\( \dfrac{dy}{dx} = -\dfrac{\frac{\partial F}{\partial x}}{\frac{\partial F}{\partial y}} = -\dfrac{F_x}{F_y} \)

\( = -\dfrac{9x^2 + 6y - 1}{6x + 4y} \)

Eğrinin \( A(-1, 3) \) noktasındaki eğimini bulmak için türev fonksiyonunda \( (x, y) = (-1, 3) \) yazalım.

\( \dfrac{dy}{dx}|_{(-1, 3)} = -\dfrac{9(-1)^2 + 6(3) - 1}{6(-1) + 4(3)} \)

\( = -\dfrac{26}{6} = -\dfrac{13}{3} \)

Eğimi ve bir noktası bilinen doğrunun denklemini yazalım.

\( y - y_1 = m(x - x_1) \)

\( y - 3 = -\dfrac{13}{3}(x - (-1)) \)

\( y = -\dfrac{13}{3}x - \dfrac{4}{3} \) bulunur.

Fonksiyonu \( F(x, y) = 0 \) formunda yazalım.

\( \cos{\dfrac{x}{2}}\sin{\dfrac{y}{3}} - \dfrac{\sqrt{3}}{4} = 0 \)

\( F(x, y) = 0 \) kapalı fonksiyonunda \( y \) değişkeninin \( x \) değişkenine göre türevinin genel formülü aşağıdaki gibidir.

\( \dfrac{dy}{dx} = -\dfrac{\frac{\partial F}{\partial x}}{\frac{\partial F}{\partial y}} = -\dfrac{F_x}{F_y} \)

\( = -\dfrac{-\frac{1}{2}\sin{\frac{x}{2}}\sin{\frac{y}{3}} - 0}{\frac{1}{3}\cos{\frac{x}{2}}\cos{\frac{y}{3}} - 0} \)

\( = \dfrac{3\sin{\frac{x}{2}}\sin{\frac{y}{3}}}{2\cos{\frac{x}{2}}\cos{\frac{y}{3}}} \)

\( = \dfrac{3}{2}\tan{\dfrac{x}{2}}\tan{\dfrac{y}{3}} \)

Eğrinin \( P(\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{2}) \) noktasındaki eğimini bulmak için türev fonksiyonunda \( (x, y) = (\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{2}) \) yazalım.

\( \dfrac{dy}{dx}|_{(\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{2})} = \dfrac{3}{2}\tan{\frac{\frac{\pi}{3}}{2}}\tan{\frac{\frac{\pi}{2}}{3}} \)

\( = \dfrac{3}{2}\tan{\dfrac{\pi}{6}}\tan{\dfrac{\pi}{6}} \)

\( = \dfrac{3}{2}\dfrac{\sqrt{3}}{3}\dfrac{\sqrt{3}}{3} \)

\( = \dfrac{1}{2} \)

Eğimi ve bir noktası bilinen doğrunun denklemini yazalım.

\( y - y_1 = m(x - x_1) \)

\( y - \dfrac{\pi}{2} = \dfrac{1}{2}(x - \dfrac{\pi}{3}) \)

\( y = \dfrac{1}{2}x + \dfrac{\pi}{3} \) bulunur.

Fonksiyonu \( F(x, y) = 0 \) formunda yazalım.

\( 2\cos{x} + 4\sin{y} - 3 = 0 \)

\( F(x, y) = 0 \) kapalı fonksiyonunda \( y \) değişkeninin \( x \) değişkenine göre türevinin genel formülü aşağıdaki gibidir.

\( \dfrac{dy}{dx} = -\dfrac{\frac{\partial F}{\partial x}}{\frac{\partial F}{\partial y}} = -\dfrac{F_x}{F_y} \)

\( = -\dfrac{-2\sin{x} + 0 - 0}{0 + 4\cos{y} - 0} \)

\( = \dfrac{\sin{x}}{2\cos{y}} \)

Eğrinin \( A(\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{6}) \) noktasındaki eğimini bulmak için türev fonksiyonunda \( (x, y) = (\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{6}) \) yazalım.

\( \dfrac{dy}{dx}|_{(\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{6})} = \dfrac{\sin{\frac{\pi}{3}}}{2\cos{\frac{\pi}{6}}} \)

\( = \dfrac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{2\frac{\sqrt{3}}{2}} \)

\( = \dfrac{1}{2} \)

Eğimi ve bir noktası bilinen doğrunun denklemini yazalım.

\( y - y_1 = m(x - x_1) \)

\( y - \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{1}{2}(x - \dfrac{\pi}{3}) \)

Teğetin \( x \) eksenini kestiği noktanın apsisini bulmak için \( y = 0 \) yazalım.

\( 0 - \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{1}{2}(x - \dfrac{\pi}{3}) \)

\( x = 0 \)

Buna göre, fonksiyon grafiğine \( A \) noktasında çizilen teğet doğru \( x \) eksenini orijinde keser.

Bir fonksiyonun birinci türevinin tanımlı ve sıfır olduğu noktalara durağan nokta denir.

Fonksiyonu \( F(x, y) = 0 \) formunda yazalım.

\( 3x^2 + 2xy + y^2 - 18 = 0 \)

\( F(x, y) = 0 \) kapalı fonksiyonunda \( y \) değişkeninin \( x \) değişkenine göre türevinin genel formülü aşağıdaki gibidir.

\( \dfrac{dy}{dx} = -\dfrac{\frac{\partial F}{\partial x}}{\frac{\partial F}{\partial y}} = -\dfrac{F_x}{F_y} \)

\( = -\dfrac{6x + 2y + 0 - 0}{0 + 2x + 2y - 0} \)

\( = -\dfrac{3x + y}{x + y} \)

Fonksiyonun durağan noktalarını bulmak için birinci türevi sıfıra eşitleyelim.

\( -\dfrac{3x + y}{x + y} = 0 \)

\( 3x + y = 0 \)

\( y = -3x \)

Fonksiyonda \( y = -3x \) yazarak bu eşitliği sağlayan apsis değerlerini bulalım.

\( 3x^2 + 2x(-3x) + (-3x)^2 - 18 = 0 \)

\( 3x^2 - 6x^2 + 9x^2 - 18 = 0 \)

\( x^2 = 3 \)

\( x = \pm \sqrt{3} \)

Buna göre fonksiyonun \( x = \sqrt{3} \) ve \( x = -\sqrt{3} \) apsisli noktalarda durağan noktası vardır.

Bir fonksiyonun birinci türevinin tanımlı ve sıfır olduğu noktalara durağan nokta denir.

Fonksiyonu \( F(x, y) = 0 \) formunda yazalım.

\( e^{2y} - \dfrac{2x^2 + 6}{x - 1} = 0 \)

\( e^{2y}(x - 1) - 2x^2 + 6 = 0 \)

\( xe^{2y} - e^{2y} - 2x^2 + 6 = 0 \)

\( F(x, y) = 0 \) kapalı fonksiyonunda \( y \) değişkeninin \( x \) değişkenine göre türevinin genel formülü aşağıdaki gibidir.

\( \dfrac{dy}{dx} = -\dfrac{e^{2y} - 0 - 4x + 0}{2xe^{2y} - 2e^{2y} - 0 + 0} \)

\( = -\dfrac{e^{2y} - 4x}{2xe^{2y} - 2e^{2y}} \)

Fonksiyonun durağan noktalarını bulmak için birinci türevi sıfıra eşitleyelim.

\( -\dfrac{e^{2y} - 4x}{2xe^{2y} - 2e^{2y}} = 0 \)

\( e^{2y} - 4x = 0 \)

\( e^{2y} \) yerine fonksiyon tanımını yazalım.

\( \dfrac{2x^2 + 6}{x - 1} - 4x = 0 \)

\( 2x^2 + 6 - 4x(x - 1) = 0 \)

\( 2x^2 + 6 - 4x^2 + 4x = 0 \)

\( -2x^2 + 4x + 6 = 0 \)

\( -2(x + 1)(x - 3) = 0 \)

\( x = -1 \) ya da \( x = 3 \)

\( x \gt 1 \) olduğu için \( x = -1 \) geçerli bir çözüm değildir.

\( x = 3 \)

Fonksiyonun \( x = 3 \) apsisli noktadaki ordinat değerini bulalım.

\( e^{2y} = \dfrac{2(3)^2 + 6}{3 - 1} = 12 \)

\( y = \dfrac{\ln{12}}{2} \)

Buna göre fonksiyonun \( (3, \frac{\ln{12}}{2}) \) noktasında bir durağan noktası vardır.

Fonksiyonu \( F(x, y) = 0 \) formunda yazalım.

\( y^3 + xy + y - 2x - 5 = 0 \)

\( F(x, y) = 0 \) kapalı fonksiyonunda \( y \) değişkeninin \( x \) değişkenine göre türevinin genel formülü aşağıdaki gibidir.

\( \dfrac{dy}{dx} = -\dfrac{\frac{\partial F}{\partial x}}{\frac{\partial F}{\partial y}} = -\dfrac{F_x}{F_y} \)

\( = -\dfrac{y - 2}{3y^2 + x + 1} \)

Eğrinin \( A(-3, 1) \) noktasındaki eğimini bulmak için türev fonksiyonunda \( (x, y) = (-3, 1) \) yazalım.

\( \dfrac{dy}{dx}|_{(-3, 1)} = -\dfrac{1 - 2}{3(1)^2 + (-3) + 1} \)

\( = 1 \)

Bir eğrinin bir noktadaki teğet ve normal doğrularının eğimleri çarpımı \( -1 \)' dir.

\( m_t \cdot m_n = -1 \)

\( 1 \cdot m_n = -1 \)

\( m_n = -1 \)

Eğimi ve bir noktası bilinen doğrunun denklemini yazalım.

\( y - y_1 = m(x - x_1) \)

\( y - 1 = -1(x - (-3)) \)

\( y = -x - 2 \) bulunur.

Fonksiyonu \( F(x, y) = 0 \) formunda yazalım.

\( x^2 + (2y - x)^2 - 32 = 0 \)

\( F(x, y) = 0 \) kapalı fonksiyonunda \( y \) değişkeninin \( x \) değişkenine göre türevinin genel formülü aşağıdaki gibidir.

\( \dfrac{dy}{dx} = -\dfrac{\frac{\partial F}{\partial x}}{\frac{\partial F}{\partial y}} = -\dfrac{F_x}{F_y} \)

\( \dfrac{dy}{dx} = -\dfrac{2x + 2(2y - x)(-1)}{0 + 2(2y - x)(2)} \)

\( = -\dfrac{2x - 4y + 2x}{8y - 4x} \)

\( = \dfrac{x - y}{x - 2y} \)

Eğrinin \( P(4, 4) \) noktasındaki eğimini bulmak için türev fonksiyonunda \( (x, y) = (4, 4) \) yazalım.

\( \dfrac{dy}{dx}|_{(4, 4)} = \dfrac{4 - 4}{4 - 2(4)} \)

\( = 0 \)

Bir eğrinin bir noktadaki teğet ve normal doğrularının eğimleri çarpımı \( -1 \)' dir.

\( m_t \cdot m_n = -1 \)

Bu eşitliğin özel bir durumu olarak, doğrulardan birinin eğimi sıfır ise diğerinin eğimi tanımsız olur, yani doğru eğim açısı \( 90° \) olacak şekilde \( x \) eksenine dik olur.

\( P(4, 4) \) noktasından geçen ve \( x \) eksenine dik olan doğrunun denklemini yazalım.

\( x = 4 \) bulunur.

Fonksiyonu \( F(x, y) = 0 \) formunda yazalım.

\( ax^2 + 2xy^2 + by - \dfrac{1}{12} = 0 \)

\( F(x, y) = 0 \) kapalı fonksiyonunda \( y \) değişkeninin \( x \) değişkenine göre türevinin genel formülü aşağıdaki gibidir.

\( \dfrac{dy}{dx} = -\dfrac{\frac{\partial F}{\partial x}}{\frac{\partial F}{\partial y}} = -\dfrac{F_x}{F_y} \)

\( = -\dfrac{2ax + 2y^2 + 0 - 0}{0 + 4xy + b - 0} \)

\( = -\dfrac{2ax + 2y^2}{4xy + b} \)

Bir eğriye belirli bir noktada teğet ve normal olan doğruların eğimleri çarpımı \( -1 \) olduğuna göre, normal doğrusunun eğimini veren fonksiyon aşağıdaki gibi olur.

\( \dfrac{4xy + b}{2ax + 2y^2} \)

Fonksiyon grafiğine \( P(-1, 2) \) noktasında normal olan doğrunun açık denklemini yazalım.

\( 6x - 5y + 16 = 0 \)

\( y = \dfrac{6}{5}x + \dfrac{16}{5} \)

Buna göre fonksiyonun normal doğrusunun eğimini veren fonksiyonun \( P(-1, 2) \) noktasındaki değeri, normal doğrunun bu noktadaki eğimi olan \( \frac{6}{5} \) değerine eşittir.

\( \dfrac{4(-1)(2) + b}{2a(-1) + 2(2)^2} = \dfrac{6}{5} \)

\( \dfrac{-8 + b}{-2a + 8} = \dfrac{6}{5} \)

İçler - dışlar çarpımı yapalım.

\( -40 + 5b = -12a + 48 \)

\( 12a + 5b = 88 \)

İkinci bir koşul olarak, \( P(-1, 2) \) noktası verilen fonksiyonu sağlar.

\( a(-1)^2 + 2(-1)(2)^2 + b(2) = \dfrac{1}{12} \)

\( a - 8 + 2b = \dfrac{1}{12} \)

\( a + 2b = \dfrac{97}{12} \)

İki denklemi ortak çözdüğümüzde aşağıdaki değerleri buluruz.

\( a = \dfrac{1627}{228}, \quad b = \dfrac{9}{19} \)

Fonksiyon \( y \) eksenini \( A \) noktasında kestiğine göre, \( A \) noktasının apsisi 0'dır.

\( A \) noktasının ordinatını bulmak için fonksiyonda \( x = 0 \) koyalım.

\( (y - 3)(2(0)y + 3) = 6 \)

\( y = 5 \)

\( A(0, 5) \)

Fonksiyon grafiğine \( A \) noktasında teğet olan doğrunun eğimini bulmak için fonksiyonun türevini alalım.

Fonksiyonu \( F(x, y) = 0 \) formunda yazalım.

\( (y - 3)(2xy + 3) - 6 = 0 \)

\( 2xy^2 + 3y - 6xy - 15 = 0 \)

\( F(x, y) = 0 \) kapalı fonksiyonunda \( y \) değişkeninin \( x \) değişkenine göre türevinin genel formülü aşağıdaki gibidir.

\( \dfrac{dy}{dx} = -\dfrac{\frac{\partial F}{\partial x}}{\frac{\partial F}{\partial y}} = -\dfrac{F_x}{F_y} \)

\( = -\dfrac{2y^2 + 0 - 6y - 0}{4xy + 3 - 6x - 0} \)

\( = -\dfrac{2y^2 - 6y}{4xy + 3 - 6x} \)

Eğrinin \( A(0, 5) \) noktasındaki eğimini bulmak için türev fonksiyonunda \( (x, y) = (0, 5) \) yazalım.

\( \dfrac{dy}{dx}|_{(0, 5)} = -\dfrac{2(5)^2 - 6(5)}{4(0)(5) + 3 - 6(0)} \)

\( = -\dfrac{20}{3} \)

Eğimi ve bir noktası bilinen doğrunun denklemini yazalım.

\( y - y_1 = m(x - x_1) \)

\( y - 5 = -\dfrac{20}{3}(x - 0) \)

\( y = -\dfrac{20}{3}x + 5 \)

Teğet doğrusu ile fonksiyonun kesişim noktalarını bulmak için, fonksiyonda \( y \) yerine teğet denkleminde \( y \)'nin karşılığını yazalım.

\( ((-\dfrac{20}{3}x + 5) - 3)(2x(-\dfrac{20}{3}x + 5) + 3) = 6 \)

\( (-\dfrac{20}{3}x + 2)(-\dfrac{40}{3}x^2 + 10x + 3) = 6 \)

\( (-20x + 6)(-40x^2 + 30x + 9) = 54 \)

\( (-20x + 6)(-40x^2 + 30x + 9) = 54 \)

\( 800x^3 - 840x^2 = 0 \)

\( x^2(20x - 21) = 0 \)

\( x = 0 \) ya da \( x = \frac{21}{20} \)

\( x = 0 \) apsisli nokta yukarıda bulduğumuz \( A \) noktasıdır.

Fonksiyon ve teğet doğrunun \( x = \frac{21}{20} \) apsisli kesişim noktasındaki ordinat değerini bulalım.

\( y = -\dfrac{20}{3}(\dfrac{21}{20}) + 5 \)

\( y = -2 \)

Buna göre teğet doğru fonksiyonu \( A \) noktasına ek olarak \( (\frac{21}{20} , -2) \) noktasında keser.

\( x = 3 \) apsisli noktaların koordinatlarını bulalım.

\( 2y^2 + 2(3)y - 3^2 = 11 \)

\( 2y^2 + 6y - 20 = 0 \)

\( 2(y + 5)(y - 2) = 0 \)

\( y = -5 \) ya da \( y = 2 \)

\( (3, -5) \) ve \( (3, 2) \) noktalarından çizilen teğet doğruların eğimlerini bulalım.

Eşitliğin iki tarafının \( x \)'e göre türevini alalım.

Türevi alırken \( y \) değişkeninin \( x \)'e bağlı bir fonksiyon olduğunu dikkate almalıyız.

\( \dfrac{d(2y^2 + 2xy - x^2)}{dx} = \dfrac{d(11)}{dx} \)

\( 4y\dfrac{dy}{dx} + (2 \cdot y + 2x \cdot \dfrac{dy}{dx}) - 2x = 0 \)

\( 4y\dfrac{dy}{dx} + 2y + 2x\dfrac{dy}{dx} - 2x = 0 \)

\( \dfrac{dy}{dx} \) ifadesini yalnız bırakalım.

\( \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{x - y}{x + 2y} \)

\( (3, -5) \) ve \( (3, 2) \) noktalarını sırayla türev fonksiyonunda yerine koyalım.

\( (3, -5) \) noktası için:

\( \dfrac{3 - (-5)}{2(-5) + 3} = -\dfrac{8}{7} \)

Fonksiyona \( (3, -5) \) noktasında teğet olan doğrunun eğimi \( -\frac{8}{7} \)'dir.

\( (3, 2) \) noktası için:

\( \dfrac{3 - 2}{3 + 2(2)} = \dfrac{1}{7} \)

Fonksiyona \( (3, 2) \) noktasında teğet olan doğrunun eğimi \( \frac{1}{7} \)'dir.

Her iki teğet doğru için eğimi ve bir noktası bilinen doğrunun denklemini yazalım.

\( y - y_1 = m(x - x_1) \)

\( (3, -5) \) noktası için:

\( y - (-5) = -\dfrac{8}{7}(x - 3) \)

\( y = -\dfrac{8}{7}x - \dfrac{11}{7} \)

\( (3, 2) \) noktası için:

\( y - 2 = \dfrac{1}{7}(x - 3) \)

\( y = \dfrac{1}{7}x + \dfrac{11}{7} \)

Teğet doğruların kesişim noktasını bulmak için \( y \) değerlerini eşitleyelim.

\( -\dfrac{8}{7}x - \dfrac{11}{7} = \dfrac{1}{7}x + \dfrac{11}{7} \)

\( x = -\dfrac{22}{9} \)

Denklemlerin birinde \( x \) değerini yerine koyalım ve kesişim noktasının ordinatını bulalım.

\( y = \dfrac{1}{7}(-\dfrac{22}{9}) + \dfrac{11}{7} = \dfrac{11}{9} \)

Teğet doğruların kesişim noktası \( ( -\frac{22}{9}, \frac{11}{9}) \) olarak bulunur.