Yüksek Mertebeden Türev

(a) seçeneği:

\( f(x) = 2x^6 + 5x^3 - 4x \)

\( f'(x) = 12x^5 + 15x^2 - 4 \)

\( f''(x) = 60x^4 + 30x \)

\( f'''(x) = 240x^3 + 30 \)

\( f^{(4)}(x) = 720x^2 \)

(b) seçeneği:

\( g(x) = \sqrt[3]{x^2} = x^{\frac{2}{3}} \)

\( g'(x) = \dfrac{2}{3} \cdot x^{-\frac{1}{3}} \)

\( = \dfrac{2x^{-\frac{1}{3}}}{3} \)

\( g''(x) = -\dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{2x^{-\frac{4}{3}}}{3} \)

\( = -\dfrac{2x^{-\frac{4}{3}}}{9} \)

\( g'''(x) = -\dfrac{4}{3} \cdot -\dfrac{2x^{-\frac{7}{3}}}{9} \)

\( = \dfrac{8x^{-\frac{7}{3}}}{27} \)

\( g^{(4)}(x) = -\dfrac{7}{3} \cdot \dfrac{8x^{-\frac{10}{3}}}{27} \)

\( = -\dfrac{56x^{-\frac{10}{3}}}{81} \)

\( = -\dfrac{56}{81\sqrt[3]{x^{10}}} \)

(c) seçeneği:

\( h(x) = e^x\sin{x} \)

İfadeye çarpma kuralını uygulayarak fonksiyonun birinci türevini bulalım.

\( h'(x) = (e^x)'\sin{x} + e^x(\sin{x})' \)

\( = e^x\sin{x} + e^x\cos{x} \)

İki terime ayrı ayrı çarpma kuralını uygulayarak fonksiyonun ikinci türevini bulalım.

\( h''(x) = [(e^x)'\sin{x} + e^x(\sin{x})'] + [(e^x)'\cos{x} + e^x(\cos{x})'] \)

\( = e^x\sin{x} + e^x\cos{x} + e^x\cos{x} + e^x(-\sin{x}) \)

\( = 2e^x\cos{x} \)

İfadeye çarpma kuralını uygulayarak fonksiyonun üçüncü türevini bulalım.

\( h'''(x) = (2e^x)'\cos{x} + 2e^x(\cos{x})' \)

\( = 2e^x\cos{x} + 2e^x(-\sin{x}) \)

\( = 2e^x\cos{x} - 2e^x\sin{x} \)

İki terime ayrı ayrı çarpma kuralını uygulayarak fonksiyonun dördüncü türevini bulalım.

\( h^{(4)}(x) = [(2e^x)'\cos{x} + 2e^x(\cos{x})'] - [(2e^x)'\sin{x} + 2e^x(\sin{x})'] \)

\( = (2e^x\cos{x} - 2e^x\sin{x}) - (2e^x\sin{x} + 2e^x\cos{x}) \)

\( = -4e^x\sin{x} \)

\( \dfrac{d^3f(x)}{dx^3} \) ifadesi \( f \) fonksiyonunun 3. mertebeden türevidir.

Çarpma kuralını kullanarak fonksiyonun birinci türevini alalım.

\( f'(x) = (x^2)'\ln{x} + x^2(\ln{x})' \)

\( = 2x\ln{x} + x^2\dfrac{1}{x} \)

\( = 2x\ln{x} + x \)

Fonksiyonun ikinci türevini alalım.

\( f''(x) = 2((x)'\ln{x} + x(\ln{x})') + 1 \)

\( = 2(\ln{x} + x\dfrac{1}{x}) + 1 \)

\( = 2\ln{x} + 3 \)

Fonksiyonun üçüncü türevini alalım.

\( f'''(x) = \dfrac{2}{x} \) bulunur.

\( f(x) = 3x^9 - 2x^{\frac{1}{2}} - \cos(3x) + e^{-2x} \)

Verilen ifadenin sırayla 1. mertebeden 5. mertebeden kadar türevini alalım.

\( \dfrac{dy}{dx} = 27x^8 - x^{-\frac{1}{2}} + 3\sin(3x) - 2e^{-2x} \)

\( \dfrac{d^2y}{dx^2} = 216x^7 + \dfrac{1}{2}x^{-\frac{3}{2}} + 9\cos(3x) + 4e^{-2x} \)

\( \dfrac{d^3y}{dx^3} = 1512x^6 - \dfrac{3}{4}x^{-\frac{5}{2}} - 27\sin(3x) - 8e^{-2x} \)

\( \dfrac{d^4y}{dx^4} = 9072x^5 + \dfrac{15}{8}x^{-\frac{7}{2}} - 81\cos(3x) + 16e^{-2x} \)

\( \dfrac{d^5y}{dx^5} = 45360x^4 -\dfrac{105}{16}x^{-\frac{9}{2}} + 243\sin(3x) - 32e^{-2x} \)

\( = 45360x^4 -\dfrac{105}{16\sqrt{x^9}} + 243\sin(3x) - 32e^{-2x} \)

Fonksiyonun birkaç kez türevini alarak bir örüntü yakalamaya çalışalım.

\( f(x) = xe^{x} \)

\( f'(x) = (1)e^x + xe^x = (x + 1)e^x \)

\( f''(x) = (1)e^x + (x + 1)e^x = (x + 2)e^x \)

\( f'''(x) = (1)e^x + (x + 2)e^x = (x + 3)e^x \)

Fonksiyonun türevlerinde her adımda parantez içindeki sabit sayının türevin mertebesiyle birlikte birer birer arttığını ve \( e^x \) çarpanının aynen kaldığını görüyoruz.

Buna göre ifadenin \( n \). mertebeden türevi aşağıdaki gibi olur.

\( f^{(n)}(x) = (x + n)e^x \)

Fonksiyonun birkaç kez türevini alarak bir örüntü yakalamaya çalışalım.

\( f(x) = \sin(-x) \)

\( f'(x) = -\cos(-x) \)

\( f''(x) = -\sin(-x) \)

\( f'''(x) = \cos(-x) \)

\( f^{(4)}(x) = \sin(-x) = f(x) \)

Fonksiyonun 4. mertebeden türevi kendisine eşit olduğuna göre, periyodik olarak her 4 türevde bir fonksiyon kendisine eşit olacaktır.

199'un 4'e bölümünden kalan 3'tür.

\( 199 = 4 \cdot 49 + 3 \)

\( f^{(199)}(x) = f'''(x) \)

\( = \cos(-x) \) bulunur.

Verilen ifadenin birkaç kez türevini alarak bir örüntü yakalamaya çalışalım.

\( y = \dfrac{1}{x} = x^{-1} \)

\( y' = -1x^{-2} = -1!x^{-2} \)

\( y'' = 2x^{-3} = 2!x^{-3} \)

\( y''' = -6x^{-4} = -3!x^{-4} \)

\( y^{(4)} = 24x^{-5} = 4!x^{-5} \)

Buna göre fonksiyonun \( n \). mertebeden türevinde ilk çarpan \( n! \), parantez içindeki ifadenin üssü \( -(n + 1) \) olmaktadır, ayrıca \( n \)'nin tek sayı değerlerinde ifade negatif, çift sayı değerlerinde pozitif olmaktadır.

Buna göre fonksiyonun \( n \). mertebeden türevinin formülü aşağıdaki gibi olur.

\( y^{(n)} = (-1)^n n! x^{-n - 1} \)

Fonksiyonun 100. mertebeden türevi için formülde \( n = 100 \) koyalım.

\( y^{(100)} = (-1)^{100} 100! x^{-100 - 1} \)

\( = \dfrac{100!}{x^{101}} \) bulunur.

Mutlak değer içindeki ifadeyi çarpanlarına ayıralım.

\( f(x) = \abs{x(x + 6)} - 8x^3 \)

\( x = -1 \) mutlak değer ifadesinin bir kritik noktası olmadığı için fonksiyonun bu değerin bulunduğu aralıktaki tanımını bulalım.

\( (-6, 0) \) aralığında mutlak değer içindeki ifadenin değeri negatif olur, dolayısıyla mutlak değerden negatif işaretli olarak çıkar.

\( x \in (-6, 0) \) aralığı için:

\( f(x) = -(x^2 + 6x) - 8x^3 \)

\( f(x) = -8x^3 - x^2 - 6x \)

Bu aralıktaki fonksiyon tanımının birinci türevini alalım.

\( f'(x) = -24x^2 - 2x - 6 \)

Bu aralıktaki fonksiyon tanımının ikinci türevini alalım.

\( f''(x) = -48x - 2 \)

\( f''(-1) \) değerini bulmak için \( x = -1 \) yazalım.

\( f''(-1) = -48(-1) - 2 = 46 \) bulunur.

\( \frac{d^ny}{dx^n} \) ifadesi verilen fonksiyonun \( n \). mertebeden türevidir.

İfadenin birkaç kez türevini alarak bir örüntü yakalamaya çalışalım.

\( y' = n \cdot n(2x + 1)^{n - 1} \cdot 2 \)

\( y'' = n \cdot n(n - 1)(2x + 1)^{n - 2} \cdot 2^2 \)

\( y''' = n \cdot n(n - 1)(n - 2)(2x + 1)^{n - 3} \cdot 2^3 \)

İfadenin \( n \). mertebeden türevinde parantez içindeki ifade \( (2x + 1)^{n - n} = (2x + 1)^0 \) olur.

İfadenin \( n \). mertebeden türevinde parantezin üssünden \( n! \) çarpanı gelir.

İfadenin \( n \). mertebeden türevinde parantez içinin türevinden \( 2^n \) çarpanı gelir.

Buna göre ifadenin \( n \). mertebeden türevi aşağıdaki gibi olur.

\( y^{(n)} = n \cdot n!(2x + 1)^0 \cdot 2^n \)

\( = n \cdot n! \cdot 2^n \) bulunur.

\( \ln{x} = y \) diyelim.

\( \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{1}{x} \)

\( \dfrac{d^2y}{dx^2} = -\dfrac{1}{x^2} \)

\( \dfrac{d^3y}{dx^3} = \dfrac{2}{x^3} \)

\( \dfrac{d^4y}{dx^4} = -\dfrac{6}{x^4} \)

\( \dfrac{d^5y}{dx^5} = \dfrac{24}{x^5} \)

\( \vdots \)

Oluşan örüntüye göre çift sayı mertebeden türevlerin sonucu negatif, tek sayı mertebeden türevlerin sonucu pozitiftir.

Buna göre \( n \). mertebeden türev formülünde \( (-1)^{n - 1} \) çarpanı bulunmalıdır.

Ayrıca paydaki katsayı \( n \)'nin bir eksiğine kadarki pozitif tam sayıların çarpımıdır.

Buna göre \( n \). mertebeden türev formülünde paydaki katsayı \( (n - 1)! \) olur.

\( n \). mertebeden türevde paydadaki ifade \( x \)'in \( n \). üssü olur.

Buna göre verilen ifadenin \( n \). mertebeden türev formülü aşağıdaki gibi olur.

\( \dfrac{d^n(\ln{x})}{dx^n} = (-1)^{n - 1} \dfrac{(n - 1)!}{x^n} \)

Formülde \( n = 100 \) yazalım.

\( \dfrac{d^{100}(\ln{x})}{dx^{100}} = (-1)^{100 - 1} \dfrac{(100 - 1)!}{x^{100}} \)

\( = -\dfrac{99!}{x^{100}} \) bulunur.

Verilen ifadenin birkaç kez türevini alarak bir örüntü yakalamaya çalışalım.

\( \dfrac{d(e\ln{x})}{dx} = ex^{-1} \)

\( \dfrac{d^2(e\ln{x})}{dx^2} = (ex^{-1})' = -1ex^{-2} \)

\( \dfrac{d^3(e\ln{x})}{dx^3} = -1(-2)ex^{-3} \)

\( = (-1)^2(2!)ex^{-3} \)

\( \dfrac{d^4(e\ln{x})}{dx^4} = -1(-2)(-3)ex^{-4} \)

\( = (-1)^3(3!)ex^{-4} \)

Bu örüntüyü kullanarak ifadenin \( n \). mertebeden türev formülünü yazalım.

\( \dfrac{d^n(e\ln{x})}{dx^n} = (-1)^{n - 1}(n - 1)!ex^{-n} \)

\( = \dfrac{(-1)^{n - 1}(n - 1)!e}{x^{n}} \) bulunur.

İstenen ifade \( f \) fonksiyonunun 64. mertebeden türevidir.

Verilen ifadenin birkaç kez türevini alarak bir örüntü yakalamaya çalışalım.

\( f(x) = \dfrac{1}{7x + 1} = (7x + 1)^{-1} \)

\( f'(x) = -1(7x + 1)^{-2} \cdot 7 \)

\( f''(x) = 2(7x + 1)^{-3} \cdot 7^2 \)

\( f'''(x) = -6(7x + 1)^{-4} \cdot 7^3 \)

\( f^{(4)}(x) = 24(7x + 1)^{-5} \cdot 7^4 \)

Buna göre fonksiyonun \( n \). mertebeden türevinde ilk çarpan \( n! \), parantez içindeki ifadenin üssü \( (-n - 1) \) ve son çarpan \( 7^n \) olmaktadır, ayrıca \( n \)'nin çift sayı değerlerinde ifade pozitif, tek sayı değerlerinde negatif olmaktadır.

Buna göre fonksiyonun \( n \). mertebeden türevinin formülü aşağıdaki gibi olur.

\( f^{(n)}(x) = (-1)^nn!(7x + 1)^{-n - 1} \cdot 7^n \)

Fonksiyonun 64. mertebeden türevi için formülde \( n = 64 \) koyalım.

\( f^{(64)}(x) = (-1)^{64}64!(7x + 1)^{-64 - 1} \cdot 7^{64} \)

\( = 64!\ 7^{64}\ (7x + 1)^{-65} \) bulunur.

Türev bölme kuralı ile ifadenin birinci mertebeden türevini alalım.

\( (\dfrac{f(x)}{g(x)})' = \dfrac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{g^2(x)} \)

Türev bölme kuralı ile ifadenin ikinci mertebeden türevini alalım.

\( (\dfrac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{g^2(x)})' = \dfrac{(f'(x)g(x) - f(x)g'(x))'g^2(x) - (f'(x)g(x) - f(x)g'(x))(g^2(x))'}{g^4(x)} \)

Türev çarpma kuralını uygulayalım.

\( = \dfrac{(f''(x)g(x) + f'(x)g'(x) - (f'(x)g'(x) + f(x)g''(x)))g^2(x) - (f'(x)g(x) - f(x)g'(x))2g(x)g'(x)}{g^4(x)} \)

Bu türev ifadesinin \( x = 0 \) noktasındaki değerini bulalım.

\( \dfrac{(f''(0)g(0) + f'(0)g'(0) - (f'(0)g'(0) + f(0)g''(0)))g^2(0) - (f'(0)g(0) - f(0)g'(0))2g(0)g'(0)}{g^4(0)} \)

Soruda verilen değerleri yerine koyalım.

\( = \dfrac{(4(1) + 0(1) - (0(1) + 2(2)))1^2 - (0(1) - 2(1))2(1)(1)}{1^4} \)

\( = \dfrac{(4 - 4)(1) - (-2)(2)}{1} \)

\( = 4 \) bulunur.

\( f \) fonksiyonunun belirli bir noktadaki eğimini bulmak için fonksiyonun türevini alalım.

\( f'(x) = 9x^2 + 10x \)

En küçük eğim değerini bulmak için birinci türev fonksiyonunun mutlak minimum noktasını bulmalıyız. Pozitif başkatsayılı (kolları yukarı yönlü) ikinci dereceden polinom fonksiyonu için bu nokta birinci türev grafiğinin eğiminin sıfır olduğu tepe noktasıdır.

Bu noktayı bulmak için ikinci türev fonksiyonunun sıfıra eşit olduğu noktayı bulalım.

\( f''(x) = 18x + 10 = 0 \)

\( x = -\dfrac{5}{9} \)

Eğimin en küçük değerini aldığı bu noktayı birinci türevde yerine yazıp eğim değerini bulalım.

\( f'(-\frac{5}{9}) = 9(-\frac{5}{9})^2 + 10(-\frac{5}{9}) \)

\( = -\dfrac{25}{9} \) bulunur.

Bir polinom fonksiyonunun her türevi alındığında derecesi bir eksilir.

\( f \) fonksiyonunun birinci ve ikinci türevlerinin toplamının derecesi 1 olduğuna göre \( f \) fonksiyonunun derecesi 2'dir.

\( f(x) = ax^2 + bx + c \)

\( f'(x) = 2ax + b \)

\( f''(x) = 2a \)

\( f'(x) + f''(x) = 2ax + b + 2a = 8x + 3 \)

Birbirine eşit iki polinomun eşit dereceli terimlerinin katsayıları birbirine eşittir.

\( 2ax = 8x \Longrightarrow a = 4 \)

\( b + 2a = 3 \Longrightarrow b = -5 \)

\( f(x) \) fonksiyonunu yazalım.

\( f(x) = 4x^2 - 5x + c \)

Soruda aşağıdaki eşitsizlik veriliyor.

\( f(2)f(3) \lt 0 \)

\( f(2) = 4(2)^2 - 5(2) + c = 6 + c \)

\( f(3) = 4(3)^2 - 5(3) + c = 21 + c \)

\( (6 + c)(21 + c) \lt 0 \)

Bu eşitsizliğe göre \( c \) değer aralığı \( (-21, -6) \) açık aralığı olur.

\( f(1) = 4(1)^2 - 5(1) + c = c - 1 \)

Buna göre \( f(1) \)'in alabileceği en büyük tam sayı değeri \( -7 - 1 = -8 \) olur.

İfadenin \( n \). mertebeden türevini daha kolay alabilmek için öncelikle rasyonel fonksiyonu basit kesirlerin toplamı şeklinde yazalım.

Adım 1: Basit kesirlere ayırma

Pay ve paydadaki polinomların derecelerini bulalım.

\( der[2x] = 1 \)

\( der[x^2 - 1] = 2 \)

Payın derecesi paydanın derecesinden küçük olduğu için polinom bölmesine gerek kalmadan basit kesirlere ayırma yöntemini verilen rasyonel ifadeye uygulayabiliriz.

Paydadaki ifadeyi çarpanlarına ayıralım.

\( x^2 - 1 = (x + 1)(x - 1) \)

\( \dfrac{2x}{x^2 - 1} = \dfrac{2x}{(x + 1)(x - 1)} \)

Paydanın çarpan tiplerine göre ifadeyi basit kesirlerin toplamı şeklinde yazalım.

\( \dfrac{2x}{(x + 1)(x - 1)} = \dfrac{A}{x + 1} + \dfrac{B}{x - 1} \)

Kesirlerin paydalarını eşitleyelim.

\( = \dfrac{A(x - 1)}{(x + 1)(x - 1)} + \dfrac{B(x + 1)}{(x - 1)(x + 1)} \)

\( = \dfrac{A(x - 1) + B(x + 1)}{(x + 1)(x - 1)} \)

Rasyonel ifade ile basit kesirlere ayrılmış halinin paydalarını eşitlediğimiz için paylarını da eşitleyebiliriz.

\( 2x = A(x - 1) + B(x + 1) \)

Bilinmeyen değerleri bulmak için \( x \)'e değer verelim.

\( A \)'lı terimi sıfırlamak için \( x = 1 \) verelim.

\( 2(1) = A(1 - 1) + B(1 + 1) \)

\( 2(1) = A(0) + B(2) \)

\( B = 1 \)

\( B \)'li terimi sıfırlamak için \( x = -1 \) verelim.

\( 2(-1) = A(-1 - 1) + B(-1 + 1) \)

\( 2(-1) = A(-2) + B(0) \)

\( A = 1 \)

Buna göre rasyonel ifadenin basit kesirlere ayrılmış hali aşağıdaki gibi olur.

\( \dfrac{2x}{x^2 - 1} = \dfrac{1}{x + 1} + \dfrac{1}{x - 1} \)

Adım 2: Türev alma

İfadeyi basit kesirlerine ayrılmış şekilde yazalım.

\( y = \dfrac{1}{x + 1} + \dfrac{1}{x - 1} \)

\( = (x + 1)^{-1} + (x - 1)^{-1} \)

İfadenin birkaç kez türevini alarak bir örüntü yakalamaya çalışalım.

\( y' = -1(x - 1)^{-2} - 1(x + 1)^{-2} \)

\( y'' = 2(x - 1)^{-3} + 2(x + 1)^{-3} \)

\( y''' = -6(x - 1)^{-4} - 6(x + 1)^{-4} \)

\( y^{(4)} = 24(x - 1)^{-5} + 24(x + 1)^{-5} \)

Buna göre fonksiyonun \( n \). mertebeden türevinde her iki terim için ilk çarpan \( n! \), parantez içindeki ifadelerin üssü \( -(n + 1) \) olmaktadır, ayrıca \( n \)'nin tek sayı değerlerinde ifade negatif, çift sayı değerlerinde pozitif olmaktadır.

Buna göre fonksiyonun \( n \). mertebeden türevinin formülü aşağıdaki gibi olur.

\( y^{(n)} = (-1)^n n!(x - 1)^{-n-1} + (-1)^n n!(x+1)^{-n-1} \)

Ortak paranteze alarak düzenleyelim.

\( y^{(n)} = (-1)^n n! \left( \dfrac{1}{(x - 1)^{n+1}} + \dfrac{1}{(x + 1)^{n+1}} \right) \)

İfadenin birkaç kez türevini alarak bir örüntü yakalamaya çalışalım.

\( f(x) = \cos(3x) \)

\( f'(x) = -3\sin(3x) \)

\( f''(x) = -3^2\cos(3x) \)

\( f'''(x) = 3^3\sin(3x) \)

\( f^{(4)}(x) = 3^4\cos(3x) \)

Bu türev fonksiyonlarında iki örüntü oluşur.

Her türev adımında fonksiyonun içinden 3 çarpanı gelir, dolayısıyla \( n \). türevde katsayı \( 3^n \) olur.

Fonksiyon \( \cos \to -\sin \to -\cos \to \sin \to \cos \) şeklinde periyodik olarak tekrarlanır.

Bu örüntüyü tek bir genel formül ile ifade etmek için kosinüs fonksiyonunun faz kayması (öteleme) özelliğini kullanabiliriz. Kosinüs fonksiyonuna her \( \frac{\pi}{2} \) eklendiğinde yukarıdaki işaret ve fonksiyon değişimleri elde edilir.

\( \cos\left( \theta + \dfrac{\pi}{2} \right) = -\sin{\theta} \)

\( \cos(\theta + \pi) = -\cos{\theta} \)

\( \cos\left( \theta + \dfrac{3\pi}{2} \right) = \sin{\theta} \)

\( \cos(\theta + 2\pi) = \cos{\theta} \)

Buna göre ifadenin \( n \). mertebeden türevi aşağıdaki gibi olur.

\( f^{(n)}(x) = 3^n \cos\left(3x + \dfrac{n\pi}{2}\right) \)