Artan ve Azalan Aralıkların Bulunması
Konu tekrarı için: Artan ve Azalan Fonksiyonlar
Bir fonksiyonun birinci türevi bir noktadaki anlık değişim oranını verdiği için, birinci türevin (teğet doğrunun eğiminin) belirli bir aralıktaki işareti fonksiyonun bu aralıkta artan, azalan ya da sabit olması hakkında bilgi verir.
Aşağıdaki grafikte bir fonksiyonun artan ve azalan olduğu aralıklar ve birinci türevi arasındaki ilişki gösterilmiştir. Şekilde ana fonksiyonun grafiği üzerindeki \( + \) ve \( - \) işaretleri fonksiyonun değerinin değil, eğiminin işaretini göstermektedir.
Buna göre ana fonksiyonun artan olduğu aralıklarda (yeşil zemin rengi) birinci türev pozitif, azalan olduğu aralıklarda (mavi zemin rengi) birinci türev negatif olur. Ana fonksiyonun durağan olduğu \( a \), \( b \), \( c \), \( d \) noktalarında ise birinci türev sıfır olur.
\( f \) fonksiyonu \( (a, b) \) aralığında türevlenebilir olmak üzere,
Her \( x \in (a, b) \) değeri için,
- \( f'(x) \gt 0 \) ise \( f \) fonksiyonu bu aralıkta artandır.
- \( f'(x) \lt 0 \) ise \( f \) fonksiyonu bu aralıkta azalandır.
- \( f'(x) = 0 \) ise \( f \) fonksiyonu bu aralıkta sabittir.
Dolayısıyla, bir fonksiyonun (yukarıdaki süreklilik ve türevlenebilirlik koşullarını sağladığı bir tanım aralığında) artan olduğu aralıkları bulmak için birinci türevin pozitif olduğu, azalan olduğu aralıkları bulmak için de birinci türevin negatif olduğu aralıklar bulunur.
Bir \( f \) fonksiyonunun;
- Artan olduğu aralıkları bulmak için \( f'(x) \gt 0 \) eşitsizliği çözülür.
- Azalan olduğu aralıkları bulmak için \( f'(x) \lt 0 \) eşitsizliği çözülür.
\( f(x) = x^4 - 2x^3 - 20x^2 + 5 \) fonksiyonunun artan ve azalan olduğu aralıkları bulalım.
Bir fonksiyon birinci türevinin pozitif olduğu aralıklarda artan, negatif olduğu aralıklarda azalandır.
Fonksiyonun birinci türevini bulalım.
\( f'(x) = 4x^3 - 6x^2 - 40x \)
Polinom ifadesini çarpanlarına ayıralım.
\( = 2x(2x + 5)(x - 4) \)
Her bir çarpanı sıfır yapan \( x \in \{ 0, -\frac{5}{2}, 4 \} \) noktalarında birinci türev sıfır olur, dolayısıyla bu noktalar fonksiyonun durağan noktalarıdır.
Bu noktalar arasında kalan aralıklarda birinci türevin işaretini bulmak için bir işaret tablosu hazırlayalım.