Artan ve Azalan Aralıkların Bulunması

Bir fonksiyon birinci türevinin (eğiminin) pozitif olduğu aralıklarda artan, negatif olduğu aralıklarda azalandır.

(a) seçeneği:

\( f(x) = \dfrac{1}{3}x^3 - 2x^2 + 3x + 6 \)

Fonksiyonun birinci türevini alalım.

\( f'(x) = x^2 - 4x + 3 \)

Birinci türevin pozitif olduğu aralıkları bulalım.

\( f'(x) = x^2 - 4x + 3 \gt 0 \)

\( (x - 1)(x - 3) \gt 0 \)

Bu eşitsizlik aşağıdaki aralıkta sağlandığı için fonksiyon bu aralıkta artandır.

\( x \in (-\infty, 1) \cup (3, \infty) \)

(b) seçeneği:

\( g(x) = 2x^3 - 6x + 4 \)

Fonksiyonun birinci türevini alalım.

\( g'(x) = 6x^2 - 6 \)

Birinci türevin pozitif olduğu aralıkları bulalım.

\( g'(x) = 6x^2 - 6 \gt 0 \)

\( 6(x - 1)(x + 1) \gt 0 \)

Bu eşitsizlik aşağıdaki aralıkta sağlandığı için fonksiyon bu aralıkta artandır.

\( x \in (-\infty, -1) \cup (1, \infty) \)

(c) seçeneği:

\( h(x) = -x^3 - \dfrac{9}{2}x^2 + 30x - 8 \)

Fonksiyonun birinci türevini alalım.

\( h'(x) = -3x^2 - 9x + 30 \)

Birinci türevin pozitif olduğu aralıkları bulalım.

\( h'(x) = -3x^2 - 9x + 30 \gt 0 \)

\( -3(x + 5)(x - 2) \gt 0 \)

Bu eşitsizlik aşağıdaki aralıkta sağlandığı için fonksiyon bu aralıkta artandır.

\( x \in (-5, 2) \)

Bir fonksiyon birinci türevinin (eğiminin) pozitif olduğu aralıklarda artan, negatif olduğu aralıklarda azalandır.

(a) seçeneği:

\( f(x) = 2x^3 - 4x^2 + 10 \)

Fonksiyonun birinci türevini alalım.

\( f'(x) = 6x^2 - 8x \)

Birinci türevin negatif olduğu aralıkları bulalım.

\( f'(x) = 6x^2 - 8x \lt 0 \)

\( 2x(3x - 4) \lt 0 \)

Bu eşitsizlik aşağıdaki aralıkta sağlandığı için fonksiyon bu aralıkta azalandır.

\( x \in (0, \frac{4}{3}) \)

(b) seçeneği:

\( g(x) = 2 - 5x^2 - 10x^3 \)

Fonksiyonun birinci türevini alalım.

\( g'(x) = -10x - 30x^2 \)

Birinci türevin negatif olduğu aralıkları bulalım.

\( g'(x) = -10x - 30x^2 \lt 0 \)

\( -10x(1 + 3x) \lt 0 \)

Bu eşitsizlik aşağıdaki aralıkta sağlandığı için fonksiyon bu aralıkta azalandır.

\( x \in (-\infty, -\frac{1}{3}) \cup (0, \infty) \)

(c) seçeneği:

\( h(x) = 4x^3 + 3x^2 - 6x \)

Fonksiyonun birinci türevini alalım.

\( h'(x) = 12x^2 + 6x - 6 \)

Birinci türevin negatif olduğu aralıkları bulalım.

\( h'(x) = 12x^2 + 6x - 6 \lt 0 \)

\( 6(2x - 1)(x + 1) \lt 0 \)

Bu eşitsizlik aşağıdaki aralıkta sağlandığı için fonksiyon bu aralıkta azalandır.

\( x \in (-1, \frac{1}{2}) \)

Bir fonksiyonun artan olduğu aralıklarda türevi pozitif, azalan olduğu aralıklarda türevi negatiftir.

Verilen türev grafiği \( (-7, -2) \) ve \( (6, \infty) \) aralıklarında pozitif değer alır, dolayısıyla \( f \) fonksiyonu bu aralıklarda artandır.

Fonksiyonun türevi \( x = -7 \), \( x = -2 \) ve \( x = 6 \) noktalarında sıfırdır ve bu noktalarda artan ya da azalan değil durağandır, dolayısıyla bu noktalar fonksiyonun artan olduğu aralıklara dahil edilmez.

Bir fonksiyon birinci türevinin (eğiminin) negatif olduğu aralıkta azalandır.

Fonksiyonun türevini alalım.

\( f'(x) = x^2 + 4x - 12 \)

\( f'(x) \lt 0 \)

\( x^2 + 4x - 12 \lt 0 \)

\( (x + 6)(x - 2) \lt 0 \)

Bu ifade \( x \in (-6, 2) \) açık aralığında negatif olur.

Buna göre \( f(x) \) fonksiyonu \( (-6, 2) \) aralığında azalandır.

Bir fonksiyon birinci türevinin (eğiminin) pozitif olduğu aralıkta artandır.

Buna göre fonksiyon daima artan ise tüm tanım aralığında \( f'(x) \gt 0 \) olmalıdır.

Fonksiyonun türevini almak için bölme kuralını uygulayalım.

\( f'(x) = \dfrac{(x + 8)' \cdot (x - a) - (x + 8) \cdot (x - a)'}{(x - a)^2} \)

\( = \dfrac{1 \cdot (x - a) - (x + 8) \cdot 1}{(x - a)^2} \)

\( = \dfrac{x - a - x - 8}{(x - a)^2} = \dfrac{-a - 8}{(x - a)^2} \)

Payda fonksiyonun tanım aralığında her zaman pozitiftir. Buna göre paydaki ifade pozitif olduğunda birinci türev pozitif olur.

\( f'(x) \gt 0 \)

\( -a - 8 \gt 0 \)

\( a \lt -8 \)

Buna göre \( a \)'nın alabileceği en büyük tam sayı değeri \( -9 \) olur.

Fonksiyon birinci türevinin pozitif olduğu aralıkta artandır.

Fonksiyonun türevini alalım.

\( f'(x) = 2xe^x + x^2e^x \)

Birinci türevin pozitif olduğu aralığı bulalım.

\( 2xe^x + x^2e^x \gt 0 \)

\( xe^x(2 + x) \gt 0 \)

\( e^x \) ifadesi tüm reel sayılarda pozitiftir.

Buna göre eşitsizliğin sol tarafındaki ifadeyi sıfır yapan değerler \( x = -2 \) ve \( x = 0 \) değerleridir.

Bu ifade kök değerlerinde sıfır, köklerin arasındaki aralıkta negatif, dışındaki aralıkta pozitif olur.

Buna göre \( f \) fonksiyonu \( (-\infty, -2) \cup (0, \infty) \) aralığında artandır.

Bir fonksiyonun hangi aralıkta azalıp arttığını o fonksiyonun birinci türevinin işareti belirler. Bir fonksiyon birinci türevinin pozitif olduğu aralıklarda artar, negatif olduğu aralıklarda azalır.

Fonksiyonların birinci türevini alalım.

\( f'(x) = 6x^2 - 24x - 30 \)

\( = 6(x^2 - 4x - 5) \)

\( = 6(x + 1)(x - 5) \)

\( f \) fonksiyonu birinci türevini sıfır yapan \( x = -1 \) ve \( x = 5 \) noktalarının arasında kalan \( (-1, 5) \) aralığında azalandır, dışında kalan aralıkta artandır.

\( g'(x) = 8x - 24 \)

\( = 8(x - 3) \)

\( g \) fonksiyonu birinci türevini sıfır yapan \( x = 3 \) noktasının sağında kalan \( (3, \infty) \) aralığında artandır, solunda kalan \( (-\infty, 3) \) azalandır.

İki fonksiyonun türevinin farklı aralıklardaki işaretleri için bir işaret tablosu hazırlayalım.

Buna göre \( (-\infty, -1) \) aralığında \( f \) fonksiyonu artarken \( g \) fonksiyonu azalmaktadır. \( (3, 5) \) aralığında ise \( f \) fonksiyonu azalırken \( g \) fonksiyonu artmaktadır.

Cevap \( (-\infty, -1) \) ve \( (3, 5) \) aralıkları olarak bulunur.

Eşitliğin sol tarafındaki ifadeyi bir polinom fonksiyonu şeklinde tanımlayalım.

\( f(x) = x^9 + x^7 + x^5 + 1 \)

Buna göre \( f \) fonksiyonunun grafiğinin \( x \) eksenini kaç noktada kestiği sorulmaktadır.

Fonksiyonun türevini alalım.

\( f'(x) = 9x^8 + 7x^6 + 5x^4 \)

Türev fonksiyonundaki terimlerin tümü çift dereceli olduğu için türev hiçbir zaman negatif değer almaz, dolayısıyla \( f \) fonksiyonu tüm reel sayılarda artandır.

Tek dereceli polinom fonksiyonlarının en az bir reel kökü vardır. Tüm reel sayılarda artan olan fonksiyon bu kök değerinden sonra ikinci bir kök için azalan olamayacağı için fonksiyonun tek bir reel sayı kökü vardır.

Bir fonksiyonun bir aralıkta azalan olabilmesi için fonksiyon değeri o aralıkta azalabilir ya da sabit kalabilir, ama artamaz.

Fonksiyon azalan ise \( P(b) \) değeri \( P(a) \) değerine eşit ya da ondan küçük olmalıdır. Buna göre I. öncül her zaman doğrudur.

Bir fonksiyonun azalan olduğu aralıkta birinci türevi sıfır ya da negatif olur, dolayısıyla \( P'(a) \le 0 \) ve \( P'(b) \le 0 \) olduğunu söyleyebiliriz, ancak bu iki noktadaki birinci türev değerleri arasında bir karşılaştırma yapamayız.

Bir fonksiyon azalan olduğu bir aralıkta eğimi artıyor (\( P''(x) \gt 0 \)), azalıyor (\( P''(x) \lt 0 \)) ya da sabit kalıyor (\( P''(x) = 0 \)) olabilir. Bu yüzden bu iki noktadaki ikinci türev değerleri arasında bir karşılaştırma yapamayız.

Sadece I. öncül kesinlikle doğrudur.

Bir fonksiyonunun ters fonksiyonunun tanımlı olması için fonksiyon birebir olmalıdır.

Bir fonksiyonun birebir olması için grafiği kesin artan ya da kesin azalan olmalıdır, aksi takdirde fonksiyon belirli bir \( y \) değerini birden fazla \( x \) değerinde alır.

Verilen fonksiyonun türevini alalım.

\( f'(x) = \cos{x} + k \)

Fonksiyonun kesin artan olması için birinci türevi tüm reel sayılarda pozitif, kesin azalan olması için tüm reel sayılarda negatif olmalıdır.

Durum 1: Kesin artan

\( f'(x) = \cos{x} + k \gt 0 \)

Kosinüs fonksiyonu \( [-1, 1] \) aralığında değer alır.

Bu eşitsizliğin her \( x \) değeri için sağlanması için \( k \gt 1 \) olmalıdır.

Durum 2: Kesin azalan

\( f'(x) = \cos{x} + k \lt 0 \)

Bu eşitsizliğin her \( x \) değeri için sağlanması için \( k \lt -1 \) olmalıdır.

Bu iki durumdan birinin sağlandığı durumda fonksiyon birebir olacağı için \( k \) değer aralığı bulduğumuz iki aralığın birleşim kümesi olur.

\( k \in (-\infty, -1) \cup (1, \infty) \)