Yerel Minimum ve Maksimum Noktaları
Yerel Ekstremum Noktası Tanımı
Bir noktadaki fonksiyon değeri, bu noktanın hemen solunda ve sağında bulunan tanım kümesi içindeki noktaların fonksiyon değerinden küçük ya da onlara eşitse bu noktaya yerel minimum noktası denir.
Bir noktadaki fonksiyon değeri, bu noktanın hemen solunda ve sağında bulunan tanım kümesi içindeki noktaların fonksiyon değerinden büyük ya da onlara eşitse bu noktaya yerel maksimum noktası denir.
Yerel minimum ve maksimum noktalarının matematiksel tanımı aşağıdaki gibidir.
\( f: A \to \mathbb{R} \) ve \( \delta \in \mathbb{R} \) olmak üzere,
Bir \( a \in A \) noktası çevresinde \( (a - \delta, a + \delta) \cap A \) şeklinde tanımlı bir açık aralıktaki her \( x \) değeri için;
\( f(a) \le f(x) \) koşulunu sağlayan bir \( \delta \gt 0 \) varsa \( x = a \) fonksiyonun bir yerel minimum noktasıdır.
\( f(a) \ge f(x) \) koşulunu sağlayan bir \( \delta \gt 0 \) varsa \( x = a \) fonksiyonun bir yerel maksimum noktasıdır.
Bir fonksiyonun yerel minimum ve maksimum noktalarına genel bir terim olarak ekstremum noktaları da denir.
Bir fonksiyonun herhangi bir sayıda (sıfır ve sonsuz dahil) yerel ekstremum noktası olabilir. Örneğin aşağıda soldaki fonksiyonun hiçbir yerel ekstremum noktası yokken sağdaki periyodik fonksiyonun sonsuz sayıda yerel ekstremum noktası vardır.
Türevlenebilir Noktalar
Bir fonksiyonun birinci türevinin sıfır olduğu ve işaret değiştirdiği noktalar yukarıdaki tanımı sağlar, buna göre aşağıdaki grafikteki \( A \) ve \( C \) noktaları yerel maksimum, \( B \) ve \( D \) noktaları da yerel minimum noktalarıdır. Birinci türevin sıfır olduğu, ancak işaret değiştirmediği \( E \) noktası ise bir yerel ekstremum noktası değildir.
Fermat teoremine göre, bir fonksiyonun iç noktaları içinde türevlenebilir olan yerel ekstremum noktaları birer durağan noktadır, yani bu noktalardaki birinci türevi sıfırdır.
\( f \) fonksiyonunun \( x = a \) noktasında bir iç yerel ekstremum noktası varsa ve fonksiyon bu noktada türevlenebilir ise,
\( f'(a) = 0 \) olur.
Yukarıdaki \( E \) noktası örneğinde gördüğümüz üzere, Fermat teoreminin karşıtı her zaman doğru değildir, yani bir fonksiyonun birinci türevinin sıfır olduğu her nokta yerel ekstremum noktası değildir.
Türevlenebilir Olmayan Noktalar
Ekstremum noktaların türevlenebilir olma zorunluluğu yoktur. Aşağıdaki grafikteki türevlenebilir olmayan \( A \) ve \( B \) noktaları, yukarıda tanımı sağladıkları için sırasıyla birer yerel maksimum ve minimum noktasıdır.
Aşağıdaki grafikte \( f \) fonksiyonunun üç noktasının yerel minimum olma durumları incelenmiştir. Buna göre fonksiyon \( x = a \) noktasının hemen solundaki ve sağındaki noktalar içinde en küçük değerini \( A \) noktasında almaz, bu yüzden bu nokta bir yerel minimum noktası değildir. Fonksiyon \( x = b \) ve \( x = c \) noktalarının hemen solundaki ve sağındaki noktalar içinde en küçük değerini \( B \) ve \( C \) noktalarında alır, bu yüzden bu iki nokta birer yerel minimum noktasıdır.
Sabit Aralıklar
Bir fonksiyonun sabit olduğu bir açık aralıktaki tüm noktalar yukarıdaki tanımı sağladığı için hem yerel minimum hem de yerel maksimum noktalarıdır. Buna göre aşağıdaki grafikte \( A \) bir yerel maksimum noktası, \( C \) bir yerel minimum noktasıdır, \( (a, c) \) açık aralığındaki tüm noktalar da hem yerel minimum hem de yerel maksimum noktalarıdır.
Sınır Noktaları
Yukarıdaki tanıma göre; bir fonksiyonun tanımlı olduğu sınır noktaları da yerel extremum noktası olabilir. Buna göre aşağıdaki \( f \) fonksiyonunda \( A \) bir yerel minimum noktası, \( B \) bir yerel maksimum noktasıdır.
NOT: Farklı kaynaklarda yerel ekstremum noktalarının fonksiyonun iç noktaları ile sınırlı olacak şekilde tanımlandığı görülebilir. Biz burada tanımı sınır noktalarını da kapsayacak şekilde yapıyoruz.
Yerel Ekstremum Noktalarının Bulunması
Yerel ekstremum noktaları türevlenebilir noktalarda oluşabildiği gibi, türevlenebilir olmayan noktalarda da oluşabilir.
Türevlenebilir Yerel Ekstremum Noktaları
Fermat teoremine göre, bir fonksiyonun türevlenebilir yerel ekstremum noktalarında birinci türevi sıfırdır, dolayısıyla bu noktaları bulmak için öncelikle birinci türevin sıfır olduğu noktaları bulmamız gerekir. Bununla birlikte, birinci türevin sıfır olduğu noktalar iki tipte olabilir ve bunlardan sadece birincisi yerel ekstremum noktalarıdır.
- Türevlenebilir ekstremum noktaları: Bu noktalarda fonksiyonun grafiğinde bir yerel minimum ya da maksimum oluşur. Şekildeki \( A \) ve \( B \) noktaları bu tipte noktalardır.
- Yatay büküm noktası: Bu noktalarda fonksiyonun grafiğinde bir yerel minimum ya da maksimum oluşmaz. Şekildeki \( C \) noktası bu tipte bir noktadır.
Birinci türevin sıfır olduğu bu iki tipteki noktalar arasından hangilerinin yerel ekstremum noktaları olduğunu bulabilmek için kullanılabilecek iki yöntem birinci ve ikinci türev testleridir.
Birinci Türev Testi
Aşağıdaki şekilde birinci türevin sıfır olduğu iki tipte nokta verilmiştir.
- Soldaki grafikte eğim sırasıyla negatif, sıfır ve pozitif olmakta ve \( A \) noktasında bir yerel minimum noktası oluşmaktadır.
- Sağdaki grafikte ise eğim sırasıyla negatif, sıfır ve negatif olmakta ve \( B \) noktasında bir yerel minimum noktası değil, yatay büküm noktası oluşmaktadır.
Her iki fonksiyonun birinci türev grafiğini karşılaştırdığımızda, bir yerel minimumun oluştuğu \( A \) noktasını \( B \) noktasından ayıran özelliğin, \( A \) noktasında birinci türevin negatiften pozitife işaret değiştirmesi olduğunu görebiliriz.
Benzer şekilde, aşağıdaki şekilde bir yerel maksimumun oluştuğu \( A \) noktasını \( B \) noktasından ayıran özelliğin, yine \( A \) noktasında birinci türevin pozitiften negatife işaret değiştirmesi olduğunu görebiliriz.
Birinci türev testinde, birinci türevin sıfır olduğu noktalardan hangilerinin yerel minimum noktası, hangilerinin yerel maksimum noktası olduğunu, hangilerinin ikisi de olmadığını anlamak için birinci türevin ilgili noktadaki işaret değişimine bakılır.
\( x = a \) noktası \( f \) fonksiyonunun sürekli olduğu bir durağan noktası olmak üzere, \( f'(x) \) fonksiyonunun bu noktada işareti;
- negatiften pozitife dönüyorsa nokta bir yerel minimum noktasıdır,
- pozitiften negatife dönüyorsa nokta bir yerel maksimum noktasıdır,
- değişmiyorsa nokta bir yerel ekstremum noktası değildir.
Fonksiyonun birinci türevinin \( x = a \) noktasında çift katlı (2, 4, 6, vb.) bir kökü varsa birinci türev bu noktada işaret değiştirmeyeceği için bu noktada bir yerel minimum ya da maksimum nokta bulunmadığından emin olabiliriz.
\( f(x) = \frac{1}{4}x^4 + \frac{1}{3}x^3 - 3x^2 + 10 \) fonksiyonunun yerel minimum ve maksimum noktalarını birinci türev testi ile bulalım.
Verilen fonksiyon bir polinom fonksiyonudur ve tüm reel sayılarda türevlenebilirdir.
Fonksiyonun birinci türevini bulalım.
\( f'(x) = x^3 + x^2 - 6x \)
\( = x(x + 3)(x - 2) \)
Fonksiyonun türevlenebilir ekstremum noktalarında birinci türevi sıfır olur.
\( f'(x) = x(x + 3)(x - 2) = 0 \)
Bu eşitliği sağlayan noktalar fonksiyonun durağan noktalarıdır.
\( x \in \{ -3, 0, 2 \} \)
Bir işaret tablosu oluşturalım ve bu durağan noktaların oluşturduğu farklı aralıklarda birinci türevin işaretini bulalım.
\( x = -3 \) ve \( x = 2 \) noktalarında birinci türevin işareti negatiften pozitife döndüğü için bu iki noktada yerel minimum noktaları oluşur.
\( x = 0 \) noktasında birinci türevin işareti pozitiften negatife döndüğü için bu noktada bir yerel maksimum noktası oluşur.
Bulduğumuz sonuç \( f \) fonksiyonun aşağıdaki grafiği ile teyit edilebilir.
İkinci Türev Testi
Birinci türevin sıfır olduğu noktalardan hangilerinin yerel minimum ya da maksimum noktası olduğu fonksiyonun ikinci türevi ile de anlaşılabilir.
Yukarıda yerel minimum noktası için kullandığımız grafiklerin ikinci türev fonksiyonları eklenmiş hali aşağıdadır. Her iki fonksiyonun ikinci türevinin grafiğini incelediğimizde, bir yerel minimumun oluştuğu \( A \) noktasını \( B \) noktasından ayıran özelliğin, \( A \) noktasında ikinci türevin pozitif olduğunu görebiliriz.
İkinci türev testinde, birinci türevin sıfır olduğu noktalardan hangilerinin yerel minimum noktası, hangilerinin yerel maksimum noktası olduğunu, hangilerinin ikisi de olmadığını anlamak için ikinci türevin ilgili noktadaki işaretine bakılır.
\( x = a \) noktası \( f \) fonksiyonunun bir durağan noktası olmak üzere,
- \( f''(a) \gt 0 \) ise bu nokta bir yerel minimum noktasıdır.
- \( f''(a) \lt 0 \) ise bu nokta bir yerel maksimum noktasıdır.
- \( f''(a) = 0 \) ise ya da \( f''(a) \) tanımlı değilse bu nokta bir yerel minimum ya da yerel maksimum noktası olabilir ya da ikisi de olmayabilir.
Fonksiyonun ikinci türevinin bir noktada pozitif (ya da negatif) olması bu noktada birinci türevin artan (ya da azalan) olması anlamına gelir. Birinci türevin bu noktada sıfır olduğunu bildiğimiz için, bu durumda birinci türev negatiften pozitife (ya da pozitiften negatife) işaret değiştiriyor olmalıdır, bu da bu noktada bir yerel minimum (ya da yerel maksimum) noktası bulunduğunu gösterir.
\( f(x) = \frac{1}{4}x^4 + \frac{1}{3}x^3 - 3x^2 + 10 \) fonksiyonunun yerel minimum ve maksimum noktalarını fonksiyonun ikinci türevini kullanarak bulalım.
Verilen fonksiyon bir polinom fonksiyonudur ve tüm reel sayılarda türevlenebilirdir.
Fonksiyonun birinci türevini alalım.
\( f'(x) = x^3 + x^2 - 6x \)
\( = x(x + 3)(x - 2) \)
Fonksiyonun durağan noktalarında birinci türevi sıfıra eşit olur.
\( f'(x) = x(x + 3)(x - 2) = 0 \)
Buna göre aşağıdaki noktalar fonksiyonun durağan noktalarıdır.
\( x \in \{-3, 0, 2\} \)
Bu noktaların yerel minimum ya da yerel maksimum nokta olup olmadığını bulmak için ikinci türev testini uygulayalım.
\( f''(x) = 3x^2 + 2x - 6 \)
\( f''(-3) = 3(-3)^2 + 2(-3) - 6 = 15 \)
\( f''(-3) \gt 0 \) olduğu için \( x = -3 \) bir yerel minimum noktasıdır.
\( f''(0) = 3(0)^2 + 2(0) - 6 = -6 \)
\( f''(0) \lt 0 \) olduğu için \( x = 0 \) bir yerel maksimum noktasıdır.
\( f''(2) = 3(2)^2 + 2(2) - 6 = 10 \)
\( f''(2) \gt 0 \) olduğu için \( x = 2 \) bir yerel minimum noktasıdır.
Bu şekilde yukarıda birinci türev testini kullandığımız örnekle aynı sonucu elde etmiş olduk.
Birinci ve ikinci türev testleri arasında tercih yaparken dikkate alınabilecek iki nokta aşağıdaki gibidir.
- Birinci türev testi bir noktanın yerel minimum ya da maksimum nokta olup olmadığı konusunda kesin sonuç verir. İkinci türev testi ise yukarıda belirttiğimiz koşullar sağlandığında çalışır.
- Fonksiyonun ikinci türevini almanın kolay olmadığı durumlarda birinci türev testi tercih edilebilir. Benzer şekilde, ikinci türevi almanın kolay olduğu durumlarda ikinci türev testi kullanılabilir.
Aşağıdaki fonksiyonların en geniş tanım kümelerindeki yerel minimum ve maksimum noktalarını fonksiyonların ikinci türevlerini kullanarak bulunuz.
(a) \( f(x) = \dfrac{1}{3}x^3 - \dfrac{1}{2}x^2 - 2x \)
(b) \( g(x) = x^3 + 15x^2 + 72x \)
(c) \( h(x) = 2x + \dfrac{8}{x}, \quad x \ne 0 \)
Çözümü GösterBir fonksiyonun türevlenebilir olduğu bir aralıkta yerel minimum ve maksimum noktaları birinci türevin işaret değiştirdiği noktalarda oluşur. Bu noktaları ikinci türevi kullanarak bulmak için birinci türevin sıfır, ikinci türevin sıfırdan farklı olduğu noktaları bulmamız gerekir.
Buna göre birinci türevin sıfır olduğu bir noktada ikinci türev pozitif ise bu nokta bir yerel minimum noktası, negatif ise bir yerel maksimum noktasıdır.
(a) seçeneği:
\( f(x) = \dfrac{1}{3}x^3 - \dfrac{1}{2}x^2 - 2x \)
Verilen fonksiyon bir polinom fonksiyonudur ve tüm reel sayılarda tanımlı ve türevlenebilirdir.
Fonksiyonun birinci türevini alalım.
\( f'(x) = x^2 - x - 2 \)
Fonksiyonun birinci türevinin sıfıra eşit olduğu noktaları bulalım.
\( f'(x) = x^2 - x - 2 = 0 \)
\( (x + 1)(x - 2) = 0 \)
\( x \in \{-1, 2\} \)
Bu \( x \) değerlerini fonksiyonda yerine yazarak bu noktalardaki ordinat değerlerini bulalım.
\( f(-1) = \dfrac{1}{3}(-1)^3 - \dfrac{1}{2}(-1)^2 - 2(-1) = \dfrac{7}{6} \)
\( f(2) = \dfrac{1}{3}2^3 - \dfrac{1}{2}2^2 - 2(2) = -\dfrac{10}{3} \)
Bu noktaların yerel minimum ya da yerel maksimum nokta olup olmadığını bulmak için bu noktalarda ikinci türevin işaretini inceleyelim.
Fonksiyonun ikinci türevini alalım.
\( f''(x) = 2x - 1 \)
\( f''(-1) = 2(-1) - 1 = -3 \)
\( f''(-1) \lt 0 \) olduğu için \( (-1, \frac{7}{6}) \) bir yerel maksimum noktasıdır.
\( f''(2) = 2(2) - 1 = 3 \)
\( f''(2) \gt 0 \) olduğu için \( (2, -\frac{10}{3}) \) bir yerel minimum noktasıdır.
(b) seçeneği:
\( g(x) = x^3 + 15x^2 + 72x \)
Verilen fonksiyon bir polinom fonksiyonudur ve tüm reel sayılarda tanımlı ve türevlenebilirdir.
Fonksiyonun birinci türevini alalım.
\( g'(x) = 3x^2 + 30x + 72 \)
Fonksiyonun birinci türevinin sıfıra eşit olduğu noktaları bulalım.
\( g'(x) = 3x^2 + 30x + 72 = 0 \)
\( 3(x + 6)(x + 4) = 0 \)
\( x \in \{-6, -4\} \)
Bu \( x \) değerlerini fonksiyonda yerine yazarak bu noktalardaki ordinat değerlerini bulalım.
\( g(-6) = (-6)^3 + 15(-6)^2 + 72(-6) = -108 \)
\( g(-4) = (-4)^3 + 15(-4)^2 + 72(-4) = -112 \)
Bu noktaların yerel minimum ya da yerel maksimum nokta olup olmadığını bulmak için bu noktalarda ikinci türevin işaretini inceleyelim.
Fonksiyonun ikinci türevini alalım.
\( g''(x) = 6x + 30 \)
\( g''(-6) = 6(-6) + 30 = -6 \)
\( g''(-6) \lt 0 \) olduğu için \( (-6, -108) \) bir yerel maksimum noktasıdır.
\( g''(-4) = 6(-4) + 30 = 6 \)
\( g''(-4) \gt 0 \) olduğu için \( (-4, -112) \) bir yerel minimum noktasıdır.
(c) seçeneği:
\( h(x) = 2x + \dfrac{8}{x} \)
Verilen fonksiyon \( x = 0 \) noktası hariç tüm reel sayılarda tanımlı ve türevlenebilirdir.
Fonksiyonun birinci türevini alalım.
\( h'(x) = 2 - \dfrac{8}{x^2} \)
Fonksiyonun birinci türevinin sıfıra eşit olduğu noktaları bulalım.
\( h'(x) = 2 - \dfrac{8}{x^2} = 0 \)
\( x^2 = 4 \)
\( x \in \{-2, 2\} \)
Bu \( x \) değerlerini fonksiyonda yerine yazarak bu noktalardaki ordinat değerlerini bulalım.
\( h(-2) = 2(-2) + \dfrac{8}{-2} = -8 \)
\( h(2) = 2(2) + \dfrac{8}{2} = 8 \)
Bu noktaların yerel minimum ya da yerel maksimum nokta olup olmadığını bulmak için bu noktalarda ikinci türevin işaretini inceleyelim.
Fonksiyonun ikinci türevini alalım.
\( h''(x) = \dfrac{16}{x^3} \)
\( h''(-2) = \dfrac{16}{(-2)^3} = -2 \)
\( h''(-2) \lt 0 \) olduğu için \( (-2, -8) \) bir yerel maksimum noktasıdır.
\( h''(2) = \dfrac{16}{2^3} = 2 \)
\( h''(2) \gt 0 \) olduğu için \( (2, 8) \) bir yerel minimum noktasıdır.
Aşağıdaki fonksiyonların en geniş tanım kümelerindeki yerel minimum ve maksimum noktalarını fonksiyonların ikinci türevlerini kullanarak bulunuz.
(a) \( f(x) = 20\sqrt{x} - \dfrac{5}{3}\sqrt{x^3} \)
(b) \( g(x) = \dfrac{5}{2}x^2 - 3\sqrt[3]{x^5} \)
(c) \( h(x) = \dfrac{1}{x} - \dfrac{2}{3\sqrt{x}} \)
Çözümü GösterBir fonksiyonun türevlenebilir olduğu bir aralıkta yerel minimum ve maksimum noktaları birinci türevin işaret değiştirdiği noktalarda oluşur. Bu noktaları ikinci türevi kullanarak bulmak için birinci türevin sıfır, ikinci türevin sıfırdan farklı olduğu noktaları bulmamız gerekir.
Buna göre birinci türevin sıfır olduğu bir noktada ikinci türev pozitif ise bu nokta bir yerel minimum noktası, negatif ise bir yerel maksimum noktasıdır.
(a) seçeneği:
\( f(x) = 20\sqrt{x} - \dfrac{5}{3}\sqrt{x^3} \)
Verilen fonksiyon karekök ifadesinden dolayı pozitif reel sayılarda tanımlı ve türevlenebilirdir.
\( f(x) = 20x^{\frac{1}{2}} - \dfrac{5}{3}x^{\frac{3}{2}} \)
Fonksiyonun birinci türevini alalım.
\( f'(x) = 10x^{-\frac{1}{2}} - \dfrac{5}{2}x^{\frac{1}{2}} \)
Fonksiyonun birinci türevinin sıfıra eşit olduğu noktaları bulalım.
\( f'(x) = 10x^{-\frac{1}{2}} - \dfrac{5}{2}x^{\frac{1}{2}} = 0 \)
\( 10x^{-\frac{1}{2}} = \dfrac{5}{2}x^{\frac{1}{2}} \)
\( \dfrac{4}{x^{\frac{1}{2}}} = x^{\frac{1}{2}} \)
\( x = 4 \)
Bu \( x \) değerini fonksiyonda yerine yazarak bu noktalardaki ordinat değerlerini bulalım.
\( f(4) = 20\sqrt{4} - \dfrac{5}{3}\sqrt{4^3} = \dfrac{80}{3} \)
Bu noktanın yerel minimum ya da yerel maksimum nokta olup olmadığını bulmak için bu noktada ikinci türevin işaretini inceleyelim.
Fonksiyonun ikinci türevini alalım.
\( f''(x) = -5x^{-\frac{3}{2}} - \dfrac{5}{4}x^{-\frac{1}{2}} \)
\( f''(4) = -5(4)^{-\frac{3}{2}} - \dfrac{5}{4}4^{-\frac{1}{2}} = -\dfrac{5}{2} \)
\( f''(4) \lt 0 \) olduğu için \( (4, \frac{80}{3}) \) bir yerel maksimum noktasıdır.
(b) seçeneği:
\( g(x) = \dfrac{5}{2}x^2 - 3\sqrt[3]{x^5} \)
Verilen fonksiyon tüm reel sayılarda tanımlı ve türevlenebilirdir.
\( g(x) = \dfrac{5}{2}x^2 - 3x^{\frac{5}{3}} \)
Fonksiyonun birinci türevini alalım.
\( g'(x) = 5x - 5x^{\frac{2}{3}} \)
Fonksiyonun birinci türevinin sıfıra eşit olduğu noktaları bulalım.
\( g'(x) = 5x - 5x^{\frac{2}{3}} = 0 \)
\( 5x = 5x^{\frac{2}{3}} \)
\( x^{\frac{1}{3}} = 1 \)
\( x = 1 \)
Bu \( x \) değerini fonksiyonda yerine yazarak bu noktalardaki ordinat değerlerini bulalım.
\( g(1) = \dfrac{5}{2}1^2 - 3\sqrt[3]{1^5} = -\dfrac{1}{2} \)
Bu noktanın yerel minimum ya da yerel maksimum nokta olup olmadığını bulmak için bu noktada ikinci türevin işaretini inceleyelim.
Fonksiyonun ikinci türevini alalım.
\( g''(x) = 5 - \dfrac{10}{3}x^{-\frac{1}{3}} \)
\( g''(1) = 5 - \dfrac{10}{3}1^{-\frac{1}{3}} = \dfrac{5}{3} \)
\( g''(1) \gt 0 \) olduğu için \( (1, -\frac{1}{2}) \) bir yerel minimum noktasıdır.
(c) seçeneği:
\( h(x) = \dfrac{1}{x} - \dfrac{2}{3\sqrt{x}} \)
Verilen fonksiyon karekök ifadesinden dolayı pozitif reel sayılarda tanımlı ve türevlenebilirdir.
\( h(x) = x^{-1} - \dfrac{2}{3}x^{-\frac{1}{2}} \)
Fonksiyonun birinci türevini alalım.
\( h'(x) = -x^{-2} + \dfrac{1}{3}x^{-\frac{3}{2}} \)
Fonksiyonun birinci türevinin sıfıra eşit olduğu noktaları bulalım.
\( h'(x) = -x^{-2} + \dfrac{1}{3}x^{-\frac{3}{2}} = 0 \)
\( x^{-2} = \dfrac{1}{3}x^{-\frac{3}{2}} \)
\( \dfrac{1}{x^2} = \dfrac{1}{3x^{\frac{3}{2}}} \)
\( x^2 = 3x^{\frac{3}{2}} \)
\( x^{\frac{1}{2}} = 3 \)
\( x = 9 \)
Bu \( x \) değerini fonksiyonda yerine yazarak bu noktalardaki ordinat değerlerini bulalım.
\( h(9) = \dfrac{1}{9} - \dfrac{2}{3\sqrt{9}} = -\dfrac{1}{9} \)
Bu noktanın yerel minimum ya da yerel maksimum nokta olup olmadığını bulmak için bu noktada ikinci türevin işaretini inceleyelim.
Fonksiyonun ikinci türevini alalım.
\( h''(x) = 2x^{-3} - \dfrac{1}{2}x^{-\frac{5}{2}} \)
\( h''(9) = 2(9)^{-3} - \dfrac{1}{2}9^{-\frac{5}{2}} = \dfrac{1}{2 \cdot 3^6} \)
\( h''(9) \gt 0 \) olduğu için \( (9, -\frac{1}{9}) \) bir yerel minimum noktasıdır.
\( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \)
\( f(x) = 3\sqrt[3]{x^5} - 15\sqrt[3]{x^4} - 25x + 10 \)
Yukarıda verilen fonksiyonun yerel minimum ve yerel maksimum noktalarını bulunuz.
Çözümü GösterBir fonksiyonun türevlenebilir olduğu bir aralıkta yerel minimum ve maksimum noktaları birinci türevin işaret değiştirdiği noktalarda oluşur. Bu noktaları ikinci türevi kullanarak bulmak için birinci türevin sıfır, ikinci türevin sıfırdan farklı olduğu noktaları bulmamız gerekir.
Buna göre birinci türevin sıfır olduğu bir noktada ikinci türev pozitif ise bu nokta bir yerel minimum noktası, negatif ise bir yerel maksimum noktasıdır.
\( f(x) = 3x^{\frac{5}{3}} - 15x^{\frac{4}{3}} - 25x + 10 \)
\( f'(x) = 5x^{\frac{2}{3}} - 20x^{\frac{1}{3}} - 25 \)
Birinci türevin sıfır olduğu noktaları bulalım.
\( 5x^{\frac{2}{3}} - 20x^{\frac{1}{3}} - 25 = 0 \)
\( x^{\frac{2}{3}} - 4x^{\frac{1}{3}} - 5 = 0 \)
\( (x^{\frac{1}{3}})^2 - 4x^{\frac{1}{3}} - 5 = 0 \)
\( (x^{\frac{1}{3}} + 1)(x^{\frac{1}{3}} - 5) = 0 \)
\( x^{\frac{1}{3}} = -1 \Longrightarrow x = -1 \)
\( x^{\frac{1}{3}} = 5 \Longrightarrow x = 125 \)
\( x \in \{-1, 125\} \)
Bu noktaların yerel minimum ya da yerel maksimum nokta olup olmadığını bulmak için bu noktalarda ikinci türevin işaretini inceleyelim.
Fonksiyonun ikinci türevini alalım.
\( f''(x) = \dfrac{10}{3}x^{-\frac{1}{3}} - \dfrac{20}{3}x^{-\frac{2}{3}} \)
\( f''(-1) = \dfrac{10}{3}(-1)^{-\frac{1}{3}} - \dfrac{20}{3}(-1)^{-\frac{2}{3}} = -10 \)
\( f''(-1) \lt 0 \) olduğu için \( x = -1 \) apsisli noktada bir yerel maksimum noktasıdır.
\( f''(125) = \dfrac{10}{3}(125)^{-\frac{1}{3}} - \dfrac{20}{3}(125)^{-\frac{2}{3}} = \dfrac{2}{5} \)
\( f''(125) \gt 0 \) olduğu için \( x = 125 \) apsisli noktada bir yerel minimum noktasıdır.
\( f(x) = x^2 + ax - b \)
fonksiyonunun \( A(-1, 4) \) noktasında yerel maksimumu olduğuna göre, \( a + b \) kaçtır?
Çözümü Göster\( A(-1, 4) \) noktası fonksiyon grafiği üzerinde bir nokta olduğu için fonksiyon denklemini sağlar.
\( f(-1) = 4 \)
\( (-1)^2 + a(-1) - b = 4 \)
\( -a - b = 3 \)
Verilen fonksiyon bir polinom fonksiyonudur ve tüm reel sayılarda türevlenebilirdir.
Bir fonksiyonun türevlenebilir ekstremum noktalarında birinci türevi sıfıra eşit olur.
\( f'(x) = 2x + a \)
\( f'(-1) = 0 \)
\( 2(-1) + a = 0 \)
\( a = 2 \)
\( -a - b = 3 \Longrightarrow b = -5 \)
\( a + b = 2 + (-5) = -3 \) bulunur.
\( f(x) = x^3 + (a + 1)x^2 + (b - 1)x + 4 \)
fonksiyonunun \( x = 1 \) apsisli noktada yerel minimumu, \( x = -1 \) apsisli noktada yerel maksimumu olduğuna göre, \( a - b \) kaçtır?
Çözümü GösterVerilen fonksiyon bir polinom fonksiyonudur ve tüm reel sayılarda türevlenebilirdir.
Bir fonksiyonun türevlenebilir ekstremum noktalarında birinci türevi sıfıra eşit olur.
\( f'(x) = 3x^2 + 2(a + 1)x + b - 1 \)
\( x = 1 \) apsisli noktada birinci türev sıfır olur.
\( f'(1) = 0 \)
\( 3 + 2(a + 1) + b - 1 = 0 \)
\( 2a + b = -4 \)
\( x = -1 \) apsisli noktada birinci türev sıfır olur.
\( f'(-1) = 0 \)
\( 3 - 2(a + 1) + b - 1 = 0 \)
\( -2a + b = 0 \)
\( a \) ve \( b \) bilinmeyenlerinden oluşan iki denklemi ortak çözelim.
\( a = -1, \quad b = -2 \)
\( a - b = -1 - (-2) = 1 \) bulunur.
\( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( f(x) = \dfrac{2x^3}{3} - 14x \)
fonksiyonunun yerel ekstremum noktaları \( A \) ve \( B \) olduğuna göre, \( [AB] \) doğru parçasının eğimi kaçtır?
Çözümü GösterVerilen fonksiyon bir polinom fonksiyonudur ve tüm reel sayılarda türevlenebilirdir.
Bir fonksiyonun türevlenebilir ekstremum noktalarında birinci türevi sıfıra eşit olur.
\( f'(x) = 2x^2 - 14 \)
\( 2x^2 - 14 = 0 \)
\( x^2 = 7 \)
Buna göre ekstremum noktaların apsis değerleri aşağıdaki gibi olur.
\( x \in \{-\sqrt{7}, \sqrt{7}\} \)
Bu noktaların ordinat değerlerini bulalım.
\( f(\sqrt{7}) = \dfrac{14\sqrt{7}}{3} - 14\sqrt{7} = -\dfrac{28\sqrt{7}}{3} \)
\( f(-\sqrt{7}) = -\dfrac{14\sqrt{7}}{3} + 14\sqrt{7} = \dfrac{28\sqrt{7}}{3} \)
Yerel ekstremum noktalarının koordinatları aşağıdaki gibi olur.
\( A(\sqrt{7}, -\dfrac{28\sqrt{7}}{3}) \)
\( B(-\sqrt{7}, \dfrac{28\sqrt{7}}{3}) \)
Bu iki noktadan geçen doğrunun eğimini bulalım.
\( m = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \)
\( = \dfrac{\frac{28\sqrt{7}}{3} - (-\frac{28\sqrt{7})}{3}}{-\sqrt{7} - \sqrt{7}} \)
\( = -\dfrac{28}{3} \) bulunur.
\( f(x) = x^4 + 4x^3 - 8x^2 + 10 \) fonksiyonunun yerel minimum noktalarının apsis değerlerinin çarpımı kaçtır?
Çözümü GösterVerilen fonksiyon bir polinom fonksiyonudur ve tüm reel sayılarda türevlenebilirdir.
Fonksiyonun birinci türevini alalım.
\( f'(x) = 4x^3 + 12x^2 - 16x \)
\( = 4x(x^2 + 3x - 4) \)
\( = 4x(x + 4)(x - 1) \)
Bir fonksiyonun türevlenebilir ekstremum noktalarında birinci türevi sıfıra eşit olur.
\( f'(x) = 0 \)
\( 4x(x + 4)(x - 1) = 0 \)
Buna göre fonksiyonun aşağıdaki noktalarda birer yerel ekstremum noktası vardır.
\( x \in \{-4, 0, 1\} \)
Bu noktaların hangilerinin yerel minimum, hangilerinin yerel maksimum nokta olduğunu bulmak için ikinci türev testini uygulayalım.
\( f''(x) = 12x^2 + 24x - 16 \)
\( f''(-4) = 12(-4)^2 + 24(-4) - 16 = 80 \)
\( f''(-4) \gt 0 \) olduğu için \( x = -4 \) bir yerel minimum noktasıdır.
\( f''(0) = 12(0)^2 + 24(0) - 16 = -16 \)
\( f''(0) \lt 0 \) olduğu için \( x = 0 \) bir yerel maksimum noktasıdır.
\( f''(1) = 12(1)^2 + 24(1) - 16 = 20 \)
\( f''(1) \gt 0 \) olduğu için \( x = 1 \) bir yerel minimum noktasıdır.
Buna göre yerel minimum noktalarının apsis değerlerinin çarpımı \( -4 \cdot 1 = -4 \) olarak bulunur.
\( f(x) = (k + 2)x^3 + (2k + 5)x^2 - (4k + 4)x + k^3 \)
fonksiyonunun \( x = -2 \) noktasında yerel maksimumu olduğuna göre, \( k \)'nin en küçük tam sayı değeri kaçtır?
Çözümü GösterVerilen fonksiyon bir polinom fonksiyonudur ve tüm reel sayılarda türevlenebilirdir.
\( f \) fonksiyonunun \( x = -2 \) noktasında yerel maksimumu olduğuna göre bu noktada birinci türevi sıfıra eşittir.
\( f'(x) = 3(k + 2)x^2 + 2(2k + 5)x - 4k - 4 \)
\( f'(-2) = 3(k + 2)(-2)^2 + 2(2k + 5)(-2) - 4k - 4 = 0 \)
\( 12k + 24 - 8k - 20 - 4k - 4 = 0 \)
\( 24 - 20 - 4 = 0 = 0 \)
Bu eşitliğin \( k \) değerinden bağımsız olarak sağlandığını görüyoruz, bu da fonksiyonun her \( k \) değeri için bu noktada bir yerel ekstremumu (yerel minimumu ya da maksimumu) olduğunu gösterir.
\( x = -2 \) noktası bir yerel maksimum noktası ise bu noktada ayrıca ikinci türev de negatif olmalıdır.
\( f''(x) \lt 0 \)
\( f''(x) = 6(k + 2)x + 2(2k + 5) \)
\( f''(-2) = 6(k + 2)(-2) + 2(2k + 5) \lt 0 \)
\( -12k - 24 + 4k + 10 \lt 0 \)
\( 8k \gt -14 \)
\( k \gt -\dfrac{7}{4} \)
Buna göre \( k \)'nin alabileceği en küçük tam sayı değeri -1 olur.
NOT: Bu sonucu yorumlamamız gerekirse, \( x = -2 \) noktası her \( k \) değeri için bir yerel ekstremum noktasıdır. \( k \gt -\frac{7}{4} \) için nokta bir yerel maksimum nokta iken \( k \lt -\frac{7}{4} \) için yerel minimum nokta olmaktadır, \( k = -\frac{7}{4} \) için ise bir yatay büküm noktasıdır.