Mutlak Değer Fonksiyonunun Parçalı Yazılışı
Mutlak değer fonksiyonları mutlak değer içindeki ifadelerin pozitif ya da negatif olma durumuna göre farklı tanımlara sahip oldukları için birer parçalı fonksiyon şeklinde yazılabilirler.
Bir mutlak değer fonksiyonu aşağıdaki adımlar takip edilerek parçalı fonksiyon şeklinde yazılabilir.
- Mutlak değer ifadelerini sıfır yapan kritik noktalar belirlenir. \( n \) tane farklı kritik nokta sayı doğrusunu \( n + 1 \) aralığa böler.
- Her bir mutlak değer ifadesinin bu aralıklardaki işareti belirlenir. Bunun için ifadelere her aralıkta bir değer verilebilir ya da (biliniyorsa) ifadelerin grafik bilgisi kullanılabilir.
- Her aralıktaki işaret bilgileri doğrultusunda mutlak değer fonksiyonunun her aralıktaki tanımı belirlenir.
- Her aralık için elde edilen tanımlar bir parçalı fonksiyon şeklinde yazılır.
Fonksiyon birden fazla mutlak değer ifadesi içeriyorsa işaretlerin takibi için işaret tablosu kullanılması önerilir.
\( ax + b \) formundaki doğrusal ifadeler, \( a \gt 0 \) ise kritik noktanın solunda negatif, sağında pozitif, \( a \lt 0 \) ise kritik noktanın solunda pozitif, sağında negatif olur.
\( f(x) = \abs{2x - 6} \) fonksiyonunu parçalı fonksiyon şeklinde yazalım.
Mutlak değerli bir ifadenin kritik noktaları mutlak değer içini sıfır yapan \( x \) değerleridir.
\( 2x - 6 = 0 \Longrightarrow x = 3 \)
Pozitif başkatsayılı \( 2x - 6 \) ifadesi kritik noktanın solunda negatif, sağında pozitif olur.
Buna göre fonksiyonun parçalı fonksiyon tanımı aşağıdaki gibi olur.
\( f(x) = \begin{cases} -(2x - 6) & x \lt 3 \\ 2x - 6 & x \ge 3 \end{cases} \)
\( f(x) = \abs{8 - 4x} \) fonksiyonunu parçalı fonksiyon şeklinde yazalım.
Mutlak değerli bir ifadenin kritik noktaları mutlak değer içini sıfır yapan \( x \) değerleridir.
\( 8 - 4x = 0 \Longrightarrow x = 2 \)
Negatif başkatsayılı \( 8 - 4x \) ifadesi kritik noktanın solunda pozitif, sağında negatif olur.
Buna göre fonksiyonun parçalı fonksiyon tanımı aşağıdaki gibi olur.
\( f(x) = \begin{cases} 8 - 4x & x \lt 2 \\ -(8 - 4x) & x \ge 2 \end{cases} \)
Birden fazla mutlak değerli ifade içeren fonksiyonlara bir örnek verelim.
\( f(x) = 2\abs{x + 3} - 3\abs{4 - x} \) fonksiyonunu parçalı fonksiyon şeklinde yazalım.
Mutlak değerli bir ifadenin kritik noktaları mutlak değer içini sıfır yapan \( x \) değerleridir.
\( x + 3 = 0 \Longrightarrow x = -3 \)
Pozitif başkatsayılı \( x + 3 \) ifadesi kritik noktanın solunda negatif, sağında pozitif olur.
\( 4 - x = 0 \Longrightarrow x = 4 \)
Negatif başkatsayılı \( 4 - x \) ifadesi kritik noktanın solunda pozitif, sağında negatif olur.
Mutlak değer ifadelerini ve her aralıktaki işaretlerini bir işaret tablosu üzerinde gösterelim.
Buna göre fonksiyonun parçalı fonksiyon tanımı aşağıdaki gibi olur.
\( f(x) = \begin{cases} x - 18 & x \lt -3 \\ 5x - 6 & -3 \le x \lt 4 \\ -x + 18 & x \ge 4 \end{cases} \)
Daha yüksek dereceden polinom ifadelerinde ifade önce çarpanlarına ayrılır, daha sonra yukarıda kullandığımız yöntemle her çarpanın işareti ayrı ayrı belirlenir.
\( f(x) = \abs{x^2 - x - 6} - 4x \) fonksiyonunu parçalı fonksiyon şeklinde yazalım.
İkinci dereceden ifadeyi çarpanlarına ayıralım.
\( f(x) = \abs{(x + 2)(x - 3)} - 4x \)
İki ifadenin çarpımının mutlak değeri, mutlak değerlerinin çarpımına eşittir.
\( = \abs{x + 2}\abs{x - 3} - 4x \)
Mutlak değerli bir ifadenin kritik noktaları mutlak değer içini sıfır yapan \( x \) değerleridir.
\( x + 2 = 0 \Longrightarrow x = -2 \)
Pozitif başkatsayılı \( x + 2 \) ifadesi kritik noktanın solunda negatif, sağında pozitif olur.
\( x - 3 = 0 \Longrightarrow x = 3 \)
Pozitif başkatsayılı \( x - 3 \) ifadesi kritik noktanın solunda negatif, sağında pozitif olur.
Mutlak değer ifadelerini ve her aralıktaki işaretlerini bir işaret tablosu üzerinde gösterelim.
Buna göre fonksiyonun parçalı fonksiyon tanımı aşağıdaki gibi olur.
\( f(x) = \begin{cases} x^2 - 5x - 6 & x \lt -2 \\ -x^2 - 3x + 6 & -2 \le x \lt 3 \\ x^2 - 5x - 6 & x \ge 3 \end{cases} \)
Mutlak değer içinin farklı ifadeler içerdiği durumlara bir örnek verelim.
\( f: (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}) \to \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( f(x) = \abs{e^x - e} + \abs{\tan{x}} \) fonksiyonunu parçalı fonksiyon şeklinde yazalım.
Mutlak değerli bir ifadenin kritik noktaları mutlak değer içini sıfır yapan \( x \) değerleridir.
\( e^x - e = 0 \Longrightarrow x = 1 \)
Tüm reel sayılarda artan \( e^x - e \) ifadesi kritik noktanın solunda negatif, sağında pozitif olur.
\( \tan{x} = 0 \Longrightarrow x = 0 \)
\( (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}) \) aralığında artan \( \tan{x} \) ifadesi kritik noktanın solunda negatif, sağında pozitif olur.
Mutlak değer ifadelerini ve her aralıktaki işaretlerini bir işaret tablosu üzerinde gösterelim.
Buna göre fonksiyonun parçalı fonksiyon tanımı aşağıdaki gibi olur.
\( f(x) = \begin{cases} -(e^x - e) - \tan{x} & x \lt 0 \\ -(e^x - e) + \tan{x} & 0 \le x \lt 1 \\ e^x - e + \tan{x} & x \ge 1 \end{cases} \)
İç İçe Mutlak Değerli İfadeler
İç içe mutlak değerli ifade içeren fonksiyonlarda yukarıda paylaştığımız yöntem, en içten en dışa doğru ve her adımda bir mutlak değerli ifade parçalı fonksiyona dönüştürülerek uygulanır.
\( f(x) = \abs{\abs{x - 2} - 3} \) fonksiyonunu parçalı fonksiyon şeklinde yazalım.
Mutlak değerli bir ifadenin kritik noktaları mutlak değer içini sıfır yapan \( x \) değerleridir.
İçteki mutlak değer:
İlk adımda fonksiyonu içteki mutlak değerden kurtaralım.
\( x - 2 = 0 \Longrightarrow x = 2 \)
Pozitif başkatsayılı \( x - 2 \) ifadesi kritik noktanın solunda negatif, sağında pozitif olur.
Buna göre fonksiyonun içteki mutlak değerden kurtulmuş parçalı fonksiyon tanımı aşağıdaki gibi olur.
\( f(x) = \begin{cases} \abs{-(x - 2) - 3} & x \lt 2 \\ \abs{(x - 2) - 3} & x \ge 2 \end{cases} \)
\( = \begin{cases} \abs{x + 1} & x \lt 2 \\ \abs{x - 5} & x \ge 2 \end{cases} \)
Dıştaki mutlak değer:
İkinci adımda fonksiyonu dıştaki mutlak değerden kurtaralım.
\( x + 1 = 0 \Longrightarrow x = -1 \)
\( x = -1 \) değeri bu tanımın geçerli olduğu \( x \lt 2 \) aralığında bulunduğu için bu aralığı ikiye böler.
Pozitif başkatsayılı \( x + 1 \) ifadesi kritik noktanın solunda negatif, sağında pozitif olur.
\( x - 5 = 0 \Longrightarrow x = 5 \)
\( x = 5 \) değeri bu tanımın geçerli olduğu \( x \ge 2 \) aralığında bulunduğu için bu aralığı ikiye böler.
Pozitif başkatsayılı \( x - 5 \) ifadesi kritik noktanın solunda negatif, sağında pozitif olur.
Buna göre fonksiyonun parçalı fonksiyon tanımı aşağıdaki gibi olur.
\( f(x) = \begin{cases} -(x + 1) & x \lt -1 \\ x + 1 & -1 \le x \lt 2 \\ -(x - 5) & 2 \le x \lt 5 \\ x - 5 & x \ge 5 \end{cases} \)
\( = \begin{cases} -x - 1 & x \lt -1 \\ x + 1 & -1 \le x \lt 2 \\ -x + 5 & 2 \le x \lt 5 \\ x - 5 & x \ge 5 \end{cases} \)
Aşağıdaki fonksiyonları parçalı fonksiyon şeklinde yazınız.
(a) \( f(x) = \abs{x + 1} + 2x \)
(b) \( g(x) = x^2 - 2\abs{2 - x} \)
(c) \( h(x) = 3\abs{x} - 3x \)
Çözümü Göster(a) seçeneği:
\( f(x) = \abs{x + 1} + 2x \)
Mutlak değerli bir ifadenin kritik noktaları mutlak değer içini sıfır yapan \( x \) değerleridir.
\( x + 1 = 0 \Longrightarrow x = -1 \)
Pozitif başkatsayılı \( x + 1 \) ifadesi kritik noktanın solunda negatif, sağında pozitif olur.
Buna göre fonksiyonun parçalı fonksiyon tanımı aşağıdaki gibi olur.
\( f(x) = \begin{cases} -(x + 1) + 2x & x \lt -1 \\ (x + 1) + 2x & x \ge -1 \end{cases} \)
\( = \begin{cases} x - 1 & x \lt -1 \\ 3x + 1 & x \ge -1 \end{cases} \)
(b) seçeneği:
\( g(x) = x^2 - 2\abs{2 - x} \)
Mutlak değerli bir ifadenin kritik noktaları mutlak değer içini sıfır yapan \( x \) değerleridir.
\( 2 - x = 0 \Longrightarrow x = 2 \)
Negatif başkatsayılı \( 2 - x \) ifadesi kritik noktanın solunda pozitif, sağında negatif olur.
Buna göre fonksiyonun parçalı fonksiyon tanımı aşağıdaki gibi olur.
\( g(x) = \begin{cases} x^2 - 2(2 - x) & x \lt 2 \\ x^2 + 2(2 - x) & x \ge 2 \end{cases} \)
\( = \begin{cases} x^2 + 2x - 4 & x \lt 2 \\ x^2 - 2x + 4 & x \ge 2 \end{cases} \)
(c) seçeneği:
\( h(x) = 3\abs{x} - 3x \)
Mutlak değerli bir ifadenin kritik noktaları mutlak değer içini sıfır yapan \( x \) değerleridir.
\( x = 0 \)
Pozitif başkatsayılı \( x \) ifadesi kritik noktanın solunda negatif, sağında pozitif olur.
Buna göre fonksiyonun parçalı fonksiyon tanımı aşağıdaki gibi olur.
\( h(x) = \begin{cases} -3x - 3x & x \lt 0 \\ 3x - 3x & x \ge 0 \end{cases} \)
\( = \begin{cases} -6x & x \lt 0 \\ 0 & x \ge 0 \end{cases} \)