Köklü Fonksiyonların Grafikleri
Önceki bölümde gördüğümüz gibi köklü fonksiyonların tanım ve görüntü kümeleri köklü ifadenin derecesine göre farklılık gösterir, dolayısıyla bu fonksiyonların grafiklerini köklü ifadenin derecesine göre ayrı ayrı incelememiz gerekir.
Tek Dereceli Köklü Fonksiyonlar
Tek dereceli köklü ifadelerin kök içi ve sonucu pozitif ve negatif olabildiği için, bu fonksiyonların tanım ve görüntü kümeleri tüm reel sayılardır.
| Fonksiyon | Tanım Kümesi | Görüntü Kümesi |
|---|---|---|
|
\( n \in \mathbb{Z^+} \) olmak üzere, \( f(x) = \sqrt[2n + 1]{x} \) |
\( \mathbb{R} \) | \( \mathbb{R} \) |
Aşağıda tek dereceli üç köklü fonksiyonun grafikleri verilmiştir.
Bu grafikler doğrultusunda tek dereceli köklü fonksiyonların grafikleri ile ilgili şu yorumlar yapılabilir.
- \( x = 0 \) için her tek dereceden kök değeri \( 0 \) olduğu için, grafik her zaman orijinden geçer.
- \( x = 1 \) için her tek dereceden kök değeri \( 1 \) olduğu için, grafik her zaman \( (1, 1) \) noktasından geçer.
- \( x = -1 \) için her tek dereceden kök değeri \( -1 \) olduğu için, grafik her zaman \( (-1, -1) \) noktasından geçer.
- \( (0, 1) \) aralığında daha yüksek dereceli fonksiyonların değeri daha düşük dereceli fonksiyonların değerinden büyüktür.
- \( (1, \infty) \) aralığında daha yüksek dereceli fonksiyonların değeri daha düşük dereceli fonksiyonların değerinden küçüktür.
- Bu fonksiyonlar tek fonksiyondur ve orijine göre simetriktir.
- Bu fonksiyonlar tüm tanım aralığında artandır.
Çift Dereceli Köklü Fonksiyonlar
Çift dereceli köklü ifadelerin kök içi ve sonucu sadece sıfır ve pozitif olabildiği için, bu fonksiyonların tanım ve görüntü kümeleri sıfır ve pozitif reel sayılardır.
\( n \in \mathbb{Z^+} \) olmak üzere, köklü fonksiyonların tanım ve görüntü kümeleri aşağıdaki tabloda özetlenmiştir.
| Fonksiyon | Tanım Kümesi | Görüntü Kümesi |
|---|---|---|
|
\( n \in \mathbb{Z^+} \) olmak üzere, \( f(x) = \sqrt[2n]{x} \) |
\( [0, \infty) \) | \( [0, \infty) \) |
Aşağıda çift dereceli üç köklü fonksiyonun grafikleri verilmiştir.
Bu grafikler doğrultusunda çift dereceli köklü fonksiyonların grafikleri ile ilgili şu yorumlar yapılabilir.
- \( x = 0 \) için her çift dereceden kök değeri \( 0 \) olduğu için, grafik her zaman orijinden geçer.
- \( x = 1 \) için her çift dereceden kök değeri \( 1 \) olduğu için, grafik her zaman \( (1, 1) \) noktasından geçer.
- \( (0, 1) \) aralığında daha yüksek dereceli fonksiyonların değeri daha düşük dereceli fonksiyonların değerinden büyüktür.
- \( (1, \infty) \) aralığında daha yüksek dereceli fonksiyonların değeri daha düşük dereceli fonksiyonların değerinden küçüktür.
- Bu fonksiyonlar çift fonksiyondur ve \( y \) eksenine göre simetriktir.
- Bu fonksiyonlar tüm tanım aralığında artandır.