Polinom Fonksiyonları
Bir polinom ifadesi ile tanımlı fonksiyonlara polinom fonksiyonu denir.
\( n \in \mathbb{N} \) ve \( a_n \ne 0 \) olmak üzere,
\( f(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + a_{n-2}x^{n-2} + \ldots + a_2x^2 + a_1x + a_0 \)
Bu tanıma göre diğer başlıklar altında incelediğimiz aşağıdaki fonksiyon tipleri de birer polinom fonksiyonudur.
| Adı | Denklemi | Derecesi |
|---|---|---|
| Sabit fonksiyon | \( f(x) = c \) | \( 0 \) |
| Doğrusal fonksiyon | \( g(x) = ax + b \) | \( 1 \) |
| İkinci dereceden fonksiyon (parabol) | \( h(x) = ax^2 + bx + c \) | \( 2 \) |
Polinom fonksiyonlarını tanımsız yapan bir \( x \) değeri olmadığı için en geniş tanım kümeleri tüm reel sayılardır.
Aşağıdaki özellikleri polinom fonksiyonlarını temel matematik konularının öğretimi açısından oldukça faydalı kılmaktadır.
- Toplamları, farkları ve çarpımları yine birer polinom fonksiyonudur.
- Tüm reel sayılar kümesinde tanımlıdır.
- Tüm reel sayılar kümesinde süreklidir.
- Tüm reel sayılar kümesinde türevlenebilirdir.
- Üzerlerinde limit, türev ve integral alma gibi işlemler kolaylıkla yapılabilir.
- Dereceleri, başkatsayıları ve kökleri kullanılarak (yaklaşık) grafikleri kolaylıkla çizilebilir.
Polinom Fonksiyonu Dönüşümleri
Fonksiyonların dönüşümü konusunda gördüğümüz tüm dönüşümler polinom fonksiyonlarına uygulanarak fonksiyonun denkleminde, grafiğinin konumunda ve şeklinde değişiklikler meydana getirilebilir.
İkinci dereceden \( P(x + 1) \) polinomunun birbirinden farklı iki kökü \( 2 \) ve \( a \)'dır.
\( P^n(2 - x) = 0 \) denkleminin farklı kökleri toplamı 7 olduğuna göre, \( a \) kaçtır?
Çözümü Göster\( P(x + 1) \) polinomunu bir fonksiyon olarak düşünerek soruyu grafik dönüşümleri üzerinden çözelim.
\( P(x + 1) \) fonksiyonunun kökleri \( 2 \) ve \( a \) ise fonksiyon \( x \) eksenini bu noktalarda keser.
\( P(x + 1) \) fonksiyonu \( P(x) \) fonksiyonunun grafiğinin 1 birim sola ötelenmesi ile elde edildiği için \( P(x) \) fonksiyonu \( x \) eksenini \( 3 \) ve \( a + 1 \) noktalarında keser.
\( P^n(2 - x) = P^n(-(x - 2)) \)
\( P(-(x - 2)) \) fonksiyonunu elde etmek için \( P(x) \) fonksiyonunun grafiğinin önce \( y \) eksenine göre yansıması alınır, sonra 2 birim sağa ötelenir.
Grafiğin \( y \) eksenine göre yansıması alınınca \( x \) eksenini kestiği noktalar \( -3 \) ve \( -a - 1 \) olur.
Grafik 2 birim sağa ötelenince \( x \) eksenini kestiği noktalar \( -3 + 2 = -1 \) ve \( -a - 1 + 2 = -a + 1 \) olur.
Fonksiyonun \( n \). kuvvetinin alınmasının \( P(x) = 0 \) olduğu noktalardaki fonksiyon değerini değiştirmediği için fonksiyonun \( x \) eksenini kestiği noktalar değişmez.
Buna göre \( P^n(2 - x) \) fonksiyonunun \( x \) eksenini kestiği noktalar \( -1 \) ve \( -a + 1 \) olur.
\( -1 + (-a + 1) = 7 \)
\( a = -7 \) bulunur.