Polinom Fonksiyonlarının Grafiği
Bir polinom fonksiyonunun grafiği aşağıdaki üç bilgi kullanılarak genel hatlarıyla çizilebilir. Grafiği daha detaylı bir şekilde çizebilmek için ise (yerel min/maks ve büküm noktaları, artan/azalan aralıklar vb) türevle grafik çizme yöntemlerine ihtiyaç duyulur.
- Polinomun derecesi ve başkatsayının işareti fonksiyonun pozitif ve negatif sonsuzdaki davranışını belirler.
- Polinomun kökleri ve katları fonksiyonun \( x \) eksenini kestiği noktalardaki davranışını belirler.
- Polinomun sabit terimi fonksiyonun \( y \) eksenini kestiği noktayı belirler.
Sonsuzdaki Davranış
Tüm polinomlarda grafiğin pozitif ve negatif sonsuzdaki davranışını polinomun derecesi ve başkatsayının işareti belirler. Bu davranış aşağıdaki şekilde özetlenebilir.
- Tek dereceli polinomlarda \( x \) negatif ve pozitif sonsuza giderken grafik ters yönlerde sonsuza gider. \( a \gt 0 \) için bu yön \( x \) negatif sonsuza giderken negatif sonsuz, \( x \) pozitif sonsuza giderken pozitif sonsuzdur. \( a \lt 0 \) için yönler bunun tersidir.
- Çift dereceli polinomlarda \( x \) negatif ve pozitif sonsuza giderken grafik aynı yönde sonsuza gider. Bu yön \( a \gt 0 \) için pozitif sonsuz, \( a \lt 0 \) için negatif sonsuzdur.
Bu iki prensibi kullanarak oluşan dört durum aşağıdaki tabloda daha detaylı gösterilmiştir. Tabloda da görülebileceği üzere, herhangi bir polinomun sonsuzdaki davranışı sonsuzda limit kavramı kullanılarak kolaylıkla bulunabilir.
| Grafik | Açıklama |
|---|---|
|
Tek dereceli polinom (pozitif başkatsayı): \( a \gt 0 \) olmak üzere, \( f(x) = ax^{2k + 1} + \ldots \) \( x \) negatif ve pozitif sonsuza giderken grafik ters yönlerde sonsuza gider. Grafiğin yönü \( x \) negatif sonsuza giderken negatif sonsuz, \( x \) pozitif sonsuza giderken pozitif sonsuzdur. \( \lim\limits_{x \to -\infty} (5x^3 + \ldots) = -\infty \) \( \lim\limits_{x \to \infty} (5x^3 + \ldots) = \infty \) |
|
Tek dereceli polinom (negatif başkatsayı): \( a \lt 0 \) olmak üzere, \( f(x) = ax^{2k + 1} + \ldots \) \( x \) negatif ve pozitif sonsuza giderken grafik ters yönlerde sonsuza gider. Grafiğin yönü \( x \) negatif sonsuza giderken pozitif sonsuz, \( x \) pozitif sonsuza giderken negatif sonsuzdur. \( \lim\limits_{x \to -\infty} (-5x^3 + \ldots) = \infty \) \( \lim\limits_{x \to \infty} (-5x^3 + \ldots) = -\infty \) |
|
Çift dereceli polinom (pozitif başkatsayı): \( a \gt 0 \) olmak üzere, \( f(x) = ax^{2k} + \ldots \) \( x \) negatif ve pozitif sonsuza giderken grafik aynı yönde sonsuza gider. Grafiğin yönü \( x \) hem negatif hem de pozitif sonsuza giderken pozitif sonsuzdur. \( \lim\limits_{x \to -\infty} (5x^4 + \ldots) = \infty \) \( \lim\limits_{x \to \infty} (5x^4 + \ldots) = \infty \) |
|
Çift dereceli polinom (negatif başkatsayı): \( a \lt 0 \) olmak üzere, \( f(x) = ax^{2k} + \ldots \) \( x \) negatif ve pozitif sonsuza giderken grafik aynı yönde sonsuza gider. Grafiğin yönü \( x \) hem negatif hem de pozitif sonsuza giderken negatif sonsuzdur. \( \lim\limits_{x \to -\infty} (-5x^4 + \ldots) = -\infty \) \( \lim\limits_{x \to \infty} (-5x^4 + \ldots) = -\infty \) |
\( f(x) = -3x^{99} + \ldots \) polinomu \( x \) negatif sonsuza giderken pozitif sonsuza, \( x \) pozitif sonsuza giderken negatif sonsuza gider.
Katlı Kökler
Çarpanlarına tam ayrılmış bir polinom fonksiyonunun grafiği, \( x \) eksenini her bir çarpanı sıfır yapan \( x \) noktalarında keser.
\( f(x) = (2x + 1)(x - 2)(x^2 - 2x + 5) \)
Grafik \( x \) eksenini \( (-\frac{1}{2}, 0) \) ve \( (2, 0) \) noktalarında keser.
Bir kökün kaç katlı olduğu grafiğin \( x \) eksenini kestiği bu noktadaki davranışını belirler.
- Tek katlı köklerde (\( n = 1, 3, 5, ... \)) grafik \( x \) eksenini keser ve eksenin diğer tarafına geçer.
- Çift katlı köklerde (\( n = 2, 4, 6, ... \)) grafik \( x \) eksenini teğet geçer (dokunur) ve eksenin diğer tarafına geçmeden geri döner.
- Kökün derecesi arttıkça grafiğin kök civarındaki geçişi artan düzeyde düzleşir.
Aşağıda farklı dereceden katlı kökler için fonksiyon grafiğinin davranışı gösterilmiştir.
| Grafik | Açıklama |
|---|---|
|
Basit (1 Katlı) Kök \( f(x) = (x - a)\ Q(x), \quad Q(a) \ne 0 \) Grafik \( x \) eksenini keser ve eksenin diğer tarafına geçer. Grafiğin kök noktasındaki eğimi (birinci türevi) sıfırdan farklıdır (grafik \( x \) eksenini bir açıyla keser). |
|
2 Katlı Kök \( f(x) = (x - a)^2\ Q(x), \quad Q(a) \ne 0 \) Grafik \( x \) eksenine dokunur ve eksenin diğer tarafına geçmeden geri döner (grafik eksene bu noktada teğettir). Grafiğin kök noktasındaki eğimi (birinci türevi) sıfırdır. |
|
3 Katlı Kök \( f(x) = (x - a)^3\ Q(x), \quad Q(a) \ne 0 \) Grafik \( x \) eksenini keser ve eksenin diğer tarafına geçer. Basit köke kıyasla, grafik kök noktası civarında daha yatay bir geçiş yapar. Grafiğin kök noktasındaki eğimi (birinci türevi) sıfırdır. |
|
4 Katlı Kök \( f(x) = (x - a)^4\ Q(x), \quad Q(a) \ne 0 \) Grafik \( x \) eksenine dokunur ve eksenin diğer tarafına geçmeden geri döner (grafik eksene bu noktada teğettir). 2 katlı köke kıyasla, grafik kök noktası civarında daha yatay bir geçiş yapar. Grafiğin kök noktasındaki eğimi (birinci türevi) sıfırdır. |
Daha yüksek dereceden katlı kökler de (tek katlı kökler kendi aralarında, çift katlı kökler de kendi aralarında olmak üzere) benzer bir davranış gösterirler, tek fark derece arttıkça grafiğin kök noktası civarındaki düzlüğünün artmasıdır.
Dönüm Noktaları
Bir polinom fonksiyonunda grafiğin yön değiştirdiği (artarken azalmaya ya da azalırken artmaya başladığı) noktalara dönüm noktası adı verilir. Türev konusunda bu noktalara yerel ekstremum noktası da dendiğini göreceğiz.
\( n \). dereceden bir polinom fonksiyonunun grafiğinde en fazla \( n - 1 \) adet dönüm noktası bulunur.
Örnek Polinom Grafikleri
2. Dereceden Polinomların (Parabol) Grafiği
2. dereceden bir polinom fonksiyonu tam çarpanlarına ayrıldığında reel kökleri aşağıdaki üç durumdan birinde olur.
- Basit 2 reel kök
- 2 katlı 1 reel kök
- Reel kök yok
Bu üç durum için fonksiyonun çarpanlarına ayrılmış hali ve temsili fonksiyon grafiği aşağıdaki gibidir. Aşağıdaki grafikler \( a \gt 0 \) için verilmiş olup, \( a \lt 0 \) olduğu durumda grafikler \( x \) eksenine göre simetrik olur.
| Grafik | Açıklama |
|---|---|
|
Basit 2 reel kök \( f(x) = a(x - x_1)(x - x_2) \) |
|
2 katlı 1 reel kök \( f(x) = a(x - x_1)^2 \) |
|
Reel kök yok \( f(x) = ax^2 + bx + c \) |
2. dereceden polinomların grafikleri ile ilgili bazı önemli noktalar aşağıdaki gibidir.
- \( a \gt 0 \) ise pozitif sonsuzdan gelip pozitif sonsuza gider, \( a \lt 0 \) ise negatif sonsuzdan gelip negatif sonsuza gider.
- \( x \) eksenini 1 ya da 2 noktada keser ya da kesmez.
- \( y \) eksenini her zaman tek bir noktada keser.
- Tepe noktası etrafında simetriktir.
3. Dereceden Polinomların Grafiği
3. dereceden bir polinom fonksiyonu tam çarpanlarına ayrıldığında reel kökleri aşağıdaki dört durumdan birinde olur.
- Basit 3 reel kök
- 2 katlı 1 reel kök + basit 1 reel kök
- 3 katlı 1 reel kök
- Basit 1 reel kök
Bu dört durum için fonksiyonun çarpanlarına ayrılmış hali ve temsili fonksiyon grafiği aşağıdaki gibidir. Aşağıdaki grafikler \( a \gt 0 \) için verilmiş olup, \( a \lt 0 \) olduğu durumda grafikler \( x \) eksenine göre simetrik olur.
| Grafik | Açıklama |
|---|---|
|
Basit 3 reel kök \( f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)(x - x_3) \) |
|
2 katlı 1 reel kök + basit 1 reel kök \( f(x) = a(x - x_1)^2(x - x_2) \) |
|
3 katlı 1 reel kök \( f(x) = a(x - x_1)^3 \) |
|
Basit bir reel kök \( f(x) = a(x - x_1)(x^2 + bx + c) \) |
3. dereceden polinomların grafikleri ile ilgili bazı önemli noktalar aşağıdaki gibidir.
- \( a \gt 0 \) ise negatif sonsuzdan gelip pozitif sonsuza gider, \( a \lt 0 \) ise pozitif sonsuzdan gelip negatif sonsuza gider.
- \( x \) eksenini 1, 2 ya da 3 noktada keser, dolayısıyla mutlaka en az bir reel kökü vardır.
- \( y \) eksenini her zaman tek bir noktada keser.
- En az sıfır, en fazla iki yerel ekstremum noktası vardır.
- Büküm noktası etrafında simetriktir.
4. Dereceden Polinomların Grafiği
4. dereceden bir polinom fonksiyonu tam çarpanlarına ayrıldığında reel kökleri aşağıdaki sekiz durumdan birinde olur.
- Basit 4 reel kök
- 2 katlı 1 reel kök + basit 2 reel kök
- 2 katlı 2 reel kök
- 3 katlı 1 reel kök + basit 1 reel kök
- 4 katlı 1 reel kök
- Basit 2 reel kök
- 2 katlı 1 reel kök
- Reel kök yok
Bu sekiz durum için fonksiyonun çarpanlarına ayrılmış hali ve temsili fonksiyon grafiği aşağıdaki gibidir. Aşağıdaki grafikler \( a \gt 0 \) için verilmiş olup, \( a \lt 0 \) olduğu durumda grafikler \( x \) eksenine göre simetrik olur.
| Grafik | Açıklama |
|---|---|
|
Basit 4 reel kök \( f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)(x - x_3)(x - x_4) \) |
|
2 katlı 1 reel kök + basit 2 reel kök \( f(x) = a(x - x_1)^2(x - x_2)(x - x_3) \) |
|
2 katlı 2 reel kök \( f(x) = a(x - x_1)^2(x - x_2)^2 \) |
|
3 katlı 1 reel kök + basit 1 kök \( f(x) = a(x - x_1)^3(x - x_2) \) |
|
4 katlı 1 reel kök \( f(x) = a(x - x_1)^4 \) |
|
Basit 2 reel kök \( f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)(x^2 + bx + c) \) |
|
2 katlı 1 reel kök \( f(x) = a(x - x_1)^2(x^2 + bx + c) \) |
|
Reel kök yok \( f(x) = a(x^2 + bx + c)(x^2 + dx + e) \) |
4. dereceden polinomların grafikleri ile ilgili bazı önemli noktalar aşağıdaki gibidir.
- \( a \gt 0 \) ise pozitif sonsuzdan gelip pozitif sonsuza gider, \( a \lt 0 \) ise negatif sonsuzdan gelip negatif sonsuza gider.
- \( x \) eksenini 1, 2, 3 ya da 4 noktada keser ya da kesmez.
- \( y \) eksenini her zaman tek bir noktada keser.
- En az bir, en fazla üç yerel ekstremum noktası vardır.
Polinom Grafiğini Çizme
Bir polinom fonksiyonunun grafiği genel hatlarıyla, bu bölümde paylaştığımız bilgileri kullanarak ve türev uygulamalarına girmeden, aşağıdaki adımlar takip edilerek çizilebilir.
- Polinomun derecesi ve başkatsayısının işareti kullanılarak grafiğin negatif ve pozitif sonsuzdaki davranışı belirlenir.
- Polinom tam çarpanlarına ayrılır, kökleri ve köklerin katları belirlenir.
- Polinom sabit terimini kullanarak grafiğin \( y \) eksenini kestiği nokta belirlenir.
- Tüm bu bilgiler bir koordinat düzleminde işaretlenir ve sürekli bir eğri ile birleştirilerek fonksiyonun grafiği çizilir.
\( f(x) = -x^5 + 8x^3 - 16x \) polinom fonksiyonunun yaklaşık grafiğini çizelim.
Polinom ifadesini çarpanlarına ayıralım.
\( f(x) = -x(x^4 - 8x^2 + 16) \)
\( = -x(x^2 - 4)^2 \)
\( = -x[(x - 2)(x + 2)]^2 \)
\( = -x(x - 2)^2(x + 2)^2 \)
Fonksiyon 5. dereceden ve negatif başkatsayılı olduğu için grafiği \( x \) negatif sonsuza giderken pozitif sonsuza, \( x \) pozitif sonsuza giderken negatif sonsuza gider.
Fonksiyonun \( x = 0 \) noktasında basit, \( x = -2 \) ve \( x = 2 \) noktalarında da 2 katlı kökü vardır.
Polinomun sabit terimi 0 olduğu için grafiği \( y \) eksenini \( y = 0 \) noktasında keser.
Fonksiyonun negatif ve pozitif sonsuzdaki davranışlarını, köklerini ve köklerin katlarına göre ilgili noktadaki davranışlarını grafik üzerinde işaretleyelim.
- Grafik basit köke sahip olduğu \( x = 0 \) noktasında \( x \) eksenini keser ve eksenin diğer tarafına geçer.
- Grafik 2 katlı köke sahip olduğu \( x = -2 \) ve \( x = 2 \) noktalarında \( x \) eksenine dokunur ve eksenin diğer tarafına geçmeden geri döner.
Her kök noktasındaki geçişlerin yönünü bilmediğimiz için ekseni iki yönde de işaretleyelim.
\( x \) negatif sonsuza giderken grafiğin pozitif sonsuza gittiğini bildiğimiz için koordinat düzleminin sol üstünden başlayarak grafiği çizmeye başlayalım.
- Fonksiyon önce \( x = -2 \) noktasında \( x \) eksenine üstten dokunur ve eksenin diğer tarafına geçmeden geri döner.
- Daha sonra \( x = 0 \) noktasında \( x \) eksenini üstten keser ve eksenin altına geçer.
- Daha sonra \( x = 2 \) noktasında \( x \) eksenine alttan dokunur ve eksenin diğer tarafına geçmeden geri döner.
- Son olarak \( x \) pozitif sonsuza giderken negatif sonsuza gider.
Buna göre fonksiyonun yaklaşık grafiği aşağıdaki gibidir.
Yukarıdaki grafik aşağıdaki polinom fonksiyonlarından hangisine ait olabilir?
(a) \( f(x) = (x - a)(x - b)^2 \)
(b) \( f(x) = -(x - a)(x - b)^2 \)
(c) \( f(x) = -(x - a)(x - b)^5 \)
(d) \( f(x) = -(x - a)^2(x - b)^2 \)
(e) \( f(x) = (x - a)(x - b)^3 \)
Çözümü Göster\( x \) negatif ve pozitif sonsuza giderken grafik aynı yönde sonsuza gittiği için fonksiyon çift derecelidir (çarpanların dereceleri toplamı çift sayıdır).
Grafiğin yönü \( x \) hem negatif hem de pozitif sonsuza giderken negatif sonsuz olduğu için başkatsayı negatiftir.
Grafik \( x = a \) noktasında \( x \) eksenini bir açıyla kesip eksenin diğer tarafına geçtiği için bu noktadaki kök basit bir köktür (\( (x - a) \)).
Grafik \( x = b \) noktasında \( x \) eksenini yatay geçerek kesip eksenin diğer tarafına geçtiği için bu noktadaki kök 1'den büyük olmak üzere tek katlıdır (\( (x - b)^{2k+1}, k \gt 1 \)).
Tüm bu koşulları \( (c) \) seçeneğindeki fonksiyon sağlar.
\( f(x) = -(x - a)(x - b)^5 \)
Yukarıdaki grafik aşağıdaki polinom fonksiyonlarından hangisine ait olabilir?
(a) \( f(x) = (x - a)^2(x - b)(x - c)^3(x - d) \)
(b) \( f(x) = -(x - a)^3(x - b)(x - c)^3(x - d)^2 \)
(c) \( f(x) = -(x - a)^3(x - b)(x - c)^2(x - d) \)
(d) \( f(x) = (x - a)^3(x - b)^3(x - c)^2(x - d) \)
(e) \( f(x) = (x - a)^3(x - b)(x - c)^2(x - d) \)
Çözümü Göster\( x \) negatif ve pozitif sonsuza giderken grafik ters yönlerde sonsuza gittiği için fonksiyon tek derecelidir (çarpanların dereceleri toplamı tek sayıdır).
Grafiğin yönü \( x \) negatif sonsuza giderken negatif sonsuz, \( x \) pozitif sonsuza giderken pozitif sonsuz olduğu için başkatsayı pozitiftir.
Grafik \( x = a \) noktasında \( x \) eksenini yatay geçerek kesip eksenin diğer tarafına geçtiği için bu noktadaki kök 1'den büyük olmak üzere tek katlıdır (\( (x - a)^{2k+1}, k \gt 1 \)).
Grafik \( x = b \) noktasında \( x \) eksenini bir açıyla kesip eksenin diğer tarafına geçtiği için bu noktadaki kök basit bir köktür (\( (x - b) \)).
Grafik \( x = c \) noktasında \( x \) eksenine dokunup eksenin diğer tarafına geçmeden geri döndüğü için bu noktadaki kök çift katlıdır (\( (x - c)^{2k} \)).
Grafik \( x = d \) noktasında \( x \) eksenini bir açıyla kesip eksenin diğer tarafına geçtiği için bu noktadaki kök basit bir köktür (\( (x - d) \)).
Tüm bu koşulları \( (e) \) seçeneğindeki fonksiyon sağlar.
\( f(x) = (x - a)^3(x - b)(x - c)^2(x - d) \)
Yukarıdaki grafik aşağıdaki polinom fonksiyonlarından hangisine ait olabilir?
(a) \( f(x) = (x - a)(x - b)(x - c)^2 \)
(b) \( f(x) = (x - a)^3(x - b)(x - c)^2 \)
(c) \( f(x) = -(x - a)^3(x - b)(x - c)^2 \)
(d) \( f(x) = -(x - a)^2(x - b)(x - c)^3 \)
(e) \( f(x) = (x - a)^2(x - b)(x - c)^3 \)
Çözümü Göster\( x \) negatif ve pozitif sonsuza giderken grafik aynı yönde sonsuza gittiği için fonksiyon çift derecelidir (çarpanların dereceleri toplamı çift sayıdır).
Grafiğin yönü \( x \) hem negatif hem de pozitif sonsuza giderken pozitif sonsuz olduğu için başkatsayı pozitiftir.
Grafik \( x = a \) noktasında \( x \) eksenini yatay geçerek kesip eksenin diğer tarafına geçtiği için bu noktadaki kök 1'den büyük olmak üzere tek katlıdır (\( (x - a)^{2k+1}, k \gt 1 \)).
Grafik \( x = b \) noktasında \( x \) eksenini bir açıyla kesip eksenin diğer tarafına geçtiği için bu noktadaki kök basit bir köktür (\( (x - b) \)).
Grafik \( x = c \) noktasında \( x \) eksenine dokunup eksenin diğer tarafına geçmeden geri döndüğü için bu noktadaki kök çift katlıdır (\( (x - c)^{2k} \)).
Tüm bu koşulları \( (b) \) seçeneğindeki fonksiyon sağlar.
\( f(x) = (x - a)^3(x - b)(x - c)^2 \)
Yukarıdaki grafik aşağıdaki polinom fonksiyonlarından hangisine ait olabilir?
(a) \( f(x) = -(x - a)(x - b)^2(x^2 + cx + d) \)
(b) \( f(x) = -(x - a)(x - b)^2 \)
(c) \( f(x) = (x - a)(x - b)^2 \)
(d) \( f(x) = (x - a)(x - b)^2(x^2 + cx + d) \)
(e) \( f(x) = (x - a)(x - b)^4 \)
Çözümü Göster\( x \) negatif ve pozitif sonsuza giderken grafik ters yönlerde sonsuza gittiği için fonksiyon tek derecelidir (çarpanların dereceleri toplamı tek sayıdır).
Grafiğin yönü \( x \) negatif sonsuza giderken pozitif sonsuz, \( x \) pozitif sonsuza giderken negatif sonsuz olduğu için başkatsayı negatiftir.
Grafik \( x = a \) noktasında \( x \) eksenini bir açıyla kesip eksenin diğer tarafına geçtiği için bu noktadaki kök basit bir köktür (\( (x - a) \)).
Grafik \( x = b \) noktasında \( x \) eksenine dokunup eksenin diğer tarafına geçmeden geri döndüğü için bu noktadaki kök çift katlıdır (\( (x - b)^{2k} \)).
Ek olarak grafiğin dört adet dönüm (yerel ekstremum) noktası vardır, dolayısıyla fonksiyonun derecesi en az 5 olmalıdır. Bulduğumuz (reel köklere karşılık gelen) çarpanların dereceleri toplamı 3 olduğu için fonksiyonun en azından bir (reel kökü olmayan) ikinci dereceden çarpanı olmalıdır.
Tüm bu koşulları \( (a) \) seçeneğindeki fonksiyon sağlar.
\( f(x) = -(x - a)(x - b)^2(x^2 + cx + d) \)
\( a \gt 0 \) olmak üzere,
\( f(x) = a(x + 3)^2(x^2 - 1)(x - 3)^3 \) polinom fonksiyonunun yaklaşık grafiğini çiziniz.
Çözümü Göster\( x^2 - 1 \) ifadesini çarpanlarına ayıralım.
\( f(x) = a(x + 3)^2(x - 1)(x + 1)(x - 3)^3 \)
Fonksiyon 7. dereceden ve pozitif başkatsayılı olduğu için grafiği \( x \) negatif sonsuza giderken negatif sonsuza, \( x \) pozitif sonsuza giderken pozitif sonsuza gider.
Fonksiyonun \( x = -1 \) ve \( x = 1 \) noktalarında basit, \( x = -3 \) noktasında 2 katlı, \( x = 3 \) noktasında da 3 katlı kökü vardır.
Fonksiyonun negatif ve pozitif sonsuzdaki davranışlarını, köklerini ve köklerin katlarına göre ilgili noktadaki davranışlarını grafik üzerinde işaretleyelim.
- Grafik basit köke sahip olduğu \( x = -1 \) ve \( x = 1 \) noktalarında \( x \) eksenini keser ve eksenin diğer tarafına geçer.
- Grafik 2 katlı köke sahip olduğu \( x = -3 \) noktasında \( x \) eksenine dokunur ve eksenin diğer tarafına geçmeden geri döner.
- Grafik 3 katlı köke sahip olduğu \( x = 3 \) noktasında \( x \) eksenini keser ve bu noktada yatay bir geçiş yaparak eksenin diğer tarafına geçer.
Her kök noktasındaki geçişlerin yönünü bilmediğimiz için ekseni iki yönde de işaretleyelim.
\( x \) negatif sonsuza giderken grafiğin negatif sonsuza gittiğini bildiğimiz için koordinat düzleminin sol altından başlayarak grafiği çizmeye başlayalım.
- Fonksiyon önce \( x = -3 \) noktasında \( x \) eksenine üstten dokunur ve eksenin diğer tarafına geçmeden geri döner.
- Daha sonra \( x = -1 \) noktasında \( x \) eksenini alttan keser ve eksenin üstüne geçer.
- Daha sonra \( x = 1 \) noktasında \( x \) eksenini üstten keser ve eksenin altına geçer.
- Daha sonra \( x = 3 \) noktasında \( x \) eksenini alttan keser ve yatay bir geçiş yaparak eksenin üstüne geçer.
- Son olarak \( x \) pozitif sonsuza giderken pozitif sonsuza gider.
Buna göre fonksiyonun yaklaşık grafiği aşağıdaki gibidir.
\( a \gt 0 \) olmak üzere,
\( f(x) = -a(x + 4)(x + 2)^2(x - 1)(x - 3)^2 \) polinom fonksiyonunun yaklaşık grafiğini çiziniz.
Çözümü GösterFonksiyon 6. dereceden ve negatif başkatsayılı olduğu için grafiği \( x \) hem negatif hem de pozitif sonsuza giderken negatif sonsuza gider.
Fonksiyonun \( x = -4 \) ve \( x = 1 \) noktalarında basit, \( x = -2 \) ve \( x = 3 \) noktalarında da 2 katlı kökü vardır.
Fonksiyonun negatif ve pozitif sonsuzdaki davranışlarını, köklerini ve köklerin katlarına göre ilgili noktadaki davranışlarını grafik üzerinde işaretleyelim.
- Grafik basit köke sahip olduğu \( x = -4 \) ve \( x = 1 \) noktalarında \( x \) eksenini keser ve eksenin diğer tarafına geçer.
- Grafik 2 katlı köke sahip olduğu \( x = -2 \) ve \( x = 3 \) noktasında \( x \) eksenine dokunur ve eksenin diğer tarafına geçmeden geri döner.
Her kök noktasındaki geçişlerin yönünü bilmediğimiz için ekseni iki yönde de işaretleyelim.
\( x \) negatif sonsuza giderken grafiğin negatif sonsuza gittiğini bildiğimiz için koordinat düzleminin sol altından başlayarak grafiği çizmeye başlayalım.
- Fonksiyon önce \( x = -4 \) noktasında \( x \) eksenini alttan keser ve eksenin üstüne geçer.
- Daha sonra \( x = -2 \) noktasında \( x \) eksenine üstten dokunur ve eksenin diğer tarafına geçmeden geri döner.
- Daha sonra \( x = 1 \) noktasında \( x \) eksenini üstten keser ve eksenin altına geçer.
- Daha sonra \( x = 3 \) noktasında \( x \) eksenine alttan dokunur ve eksenin diğer tarafına geçmeden geri döner.
- Son olarak \( x \) pozitif sonsuza giderken negatif sonsuza gider.
Buna göre fonksiyonun yaklaşık grafiği aşağıdaki gibidir.
\( a, b, c, d, e \in \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( p(x) = ax^5 + bx^3 + c \) ve \( q(x) = ax^5 + dx + e \) polinomları veriliyor.
Bu polinomların grafiklerinin birbiriyle kesiştiği en fazla kaç nokta olabilir?
Çözümü GösterGrafiklerin kesiştiği noktalarda \( p(x) = q(x) \) eşitliği sağlanır.
İki denklemin ortak çözümünü bulalım.
\( ax^5 + bx^3 + c = ax^5 + dx + e \)
\( bx^3 - dx + c - e = 0 \)
Bu üçüncü dereceden polinomun kökleri iki polinomun grafiklerinin kesişim noktalarının apsis değerlerini verir.
Üçüncü dereceden bir polinomun en fazla üç farklı reel kökü olabilir.
Buna göre polinomların grafikleri en fazla üç noktada kesişebilir.