Polinom Tipleri
Bazı polinom tipleri aşağıdaki gibidir.
Doğrusal Polinom
Birinci dereceden polinomlara doğrusal polinom denir.
\( a \ne 0 \) olmak üzere,
\( P(x) = ax + b \)
\( der[P(x)] = 1 \)
\( P(x) = 3x - 2 \)
Bir fonksiyon olarak tanımlandığında doğrusal polinomun grafiği eğimi sıfırdan farklı olan doğrudur.
Sabit Polinom
Sadece sabit terim içeren polinomlara sabit polinom denir.
\( P(x) = c \)
\( der[P(x)] = 0 \)
\( P(x) = -5 \)
Bir fonksiyon olarak tanımlandığında sabit polinomun grafiği eğimi sıfır olan (yatay) doğrudur.
\( P(x) = (m - 4)x^3 + (n + 2)x^5 + mn + 6 \)
\( P(x) \) sabit polinom olduğuna göre, \( P(1000) \) kaçtır?
Çözümü Göster\( P(x) \) sabit polinom olduğuna göre, \( x \) değişkeni içeren tüm terimlerin katsayısı sıfır olmalıdır.
\( m - 4 = 0 \Longrightarrow m = 4 \)
\( n + 2 = 0 \Longrightarrow n = -2 \)
Buna göre \( P(x) \) tanımı aşağıdaki gibi olur.
\( P(x) = (4 - 4)x^3 + (-2 + 2)x^5 + 4(-2) + 6 \)
\( = -2 \)
\( P(x) \) sabit polinom olduğu için tüm \( x \) değerleri için değeri aynıdır.
\( P(1000) = -2 \) bulunur.
\( P(x) = (a + P(4))x + 9 + 2a \)
\( P(x) \) sabit polinom olduğuna göre, \( P(a) \) kaçtır?
Çözümü Göster\( P(x) \) sabit polinom olduğuna göre, \( x \)'li terimin katsayısı sıfır olmalıdır.
\( a + P(4) = 0 \)
\( P(4) = -a \)
\( P(x) = 9 + 2a \)
\( P(4) \) değerini bulmak için \( x = 4 \) yazalım.
\( P(4) = 9 + 2a = -a \)
\( a = -3 \)
Buna göre \( P(x) \) tanımı aşağıdaki gibi olur.
\( P(x) = 9 + 2(-3) = 3 \)
\( P(x) \) sabit polinom olduğu için tüm \( x \) değerleri için değeri aynıdır.
\( P(a) = P(-3) = 3 \) bulunur.
Sıfır Polinomu
Tüm terimlerinin katsayısı 0 olan polinoma sıfır polinomu denir.
\( P(x) = 0x^n + 0x^{n - 1} + \ldots + 0x^1 + 0x^0 \)
\( P(x) = 0 \)
Sıfır polinomunun derecesi hakkında matematikçiler arasında kesin bir mutabakat olmayıp farklı kaynaklarda tanımsız, \( -\infty \) ya da \( -1 \) olarak geçmektedir. Bunlar içinde en çok kabul göreni \( -\infty \) olup, ana sebebi polinomlar arası işlemlerde kullanılan derece formüllerinin bu durumda daha tutarlı sonuçlar vermesidir.
\( P(x) = x^2, \quad der[P] = 2 \)
\( Q(x) = 0, \quad der[Q] = -\infty \) olmak üzere,
\( P(x) + Q(x) = x^2 \)
\( der[P + Q] = \max(der[P], der[Q]) \)
\( = \max(2, -\infty) = 2 \)
\( P(x)Q(x) = 0 \)
\( der[P \cdot Q] = der[P] + der[Q] \)
\( = 2 + (-\infty) = -\infty \)
\( P(x) = a^2x^5 - 9x^5 + 16 - b^2 \) sıfır polinomu olduğuna göre, \( a + b \) toplamının en küçük değeri kaçtır?
Çözümü Göster\( P(x) = (a^2 - 9)x^5 + 16 - b^2 \)
Sıfır polinomunda sabit terim dahil tüm terimlerinin katsayısı sıfır olur.
\( a^2 - 9 = 0 \Longrightarrow a \in \{-3, 3\} \)
\( 16 - b^2 = 0 \Longrightarrow b \in \{-4, 4\} \)
\( a + b \) toplamı en küçük değerini \( a \) ve \( b \) ayrı ayrı en küçük değerlerini aldığında alır.
Buna göre, \( a + b \) toplamının en küçük değeri \( (-3) + (-4) = -7 \) olur.