Polinom Tanımı
Katsayıların, değişkenlerin ve bu değişkenlerin doğal sayı kuvvetlerinin çarpımından oluşan tek terimli cebirsel ifadelere monom denir.
\( 3x^2, \quad 5x^3y, \quad -2xy^2z^5, \quad 4 \)
Bu tanıma göre bir monom ifadede değişkenler;
- Sadece doğal sayı kuvvetleri ile bulunabilir (\( x, x^2, x^3, \ldots \)).
- Kesirli bir ifadenin paydasında bulunamaz.
- Köklü ya da mutlak değerli ifadelerin içinde yer alamaz.
- Trigonometrik ya da logaritmik fonksiyonların içinde yer alamaz.
Aşağıdaki ifadelerin neden birer monom olmadığını belirtiniz.
\( 3x^2 - y, \quad \frac{x}{y^2}, \quad 2^x \)
\( 5x^2\sqrt{y^3}, \quad 4\abs{y} \)
\( 3\sin{x}, \quad 2x^2\log{y} \)
Çözümü Göster\( 3x^2 - y \): Bir monom ifade tek bir terimden oluşabilir.
\( \frac{x}{y^2} = xy^{-2} \): Bir monom ifadede değişkenler sadece doğal sayı kuvvetleri ile bulunabilir.
\( 2^x \): Bir monom ifadede değişkenler üslü bir ifadenin tabanında bulunabilir, üssünde bulunamaz.
\( 5x^2\sqrt{y^3} = 5x^2y^{\frac{3}{2}} \): Bir monom ifadede değişkenler sadece doğal sayı kuvvetleri ile bulunabilir.
\( 4\abs{y} \): Bir monom ifadede değişkenler mutlak değer içinde yer alamaz.
\( 3\sin{x} \): Bir monom ifadede değişkenler trigonometrik fonksiyonların içinde yer alamaz.
\( 2x^2\log{y} \): Bir monom ifadede değişkenler logaritmik fonksiyonların içinde yer alamaz.
Yukarıdaki kısıtlamalar ifadenin katsayısı için geçerli değildir, buna göre aşağıdaki ifadeler birer monomdur.
\( -\frac{1}{3}x^2y, \quad \sqrt{3}x, \quad \abs{-3}xy^3 \)
\( \sin{\frac{\pi}{3}} \cdot xy^2z^3, \quad -\log{5} \cdot x^2y \)
Sonlu sayıda monomun toplamından oluşan çok terimli ifadelere polinom denir. Polinomlar genellikle \( P(x) \), \( Q(x) \), \( R(x) \) şeklinde büyük harflerle gösterilir.
\( P(x) = 3xy^2 - x^2y + 2xy \)
\( Q(x) = 5x^6y^2z - 3xz^3 + yz + 6 \)
Polinomlarda sadece doğal sayı üslere izin verilmesinin (negatif ya da rasyonel üslere izin verilmemesinin) bir sonucu olarak, polinomların bu bölümde inceleyeceğimiz tüm reel sayılarda tanımlı/sürekli ve her mertebeden türeve sahip olma gibi özellikleri vardır.
Reel Katsayılı, Tek Değişkenli Polinomlar
Yukarıda yaptığımız tanıma göre polinomlar birden fazla değişken içerebilir ve katsayıları reel ya da karmaşık sayı olabilir. Biz bu bölümde reel katsayılı ve tek değişkenli polinomları inceleyeceğiz.
\( a_0, a_1, \ldots, a_n \in \mathbb{R} \),
\( n \in \mathbb{N} \) ve \( a_n \ne 0 \) olmak üzere,
\( P(x) = a_nx^n + a_{n - 1}x^{n - 1} + a_{n - 2}x^{n - 2} + \ldots + a_2x^2 + a_1x + a_0 \)
formundaki ifadelere reel katsayılı ve tek değişkenli polinom denir.
\( P(x) = 3x^2 - 5 \)
\( Q(x) = x^5 - 2x^4 + x^2 - 3x + 7 \)
\( R(x) = x^{99} + x^{49} + x \)
Polinomun Bileşenleri
Bir polinomu oluşturan ve toplama ve çıkarma işlemleriyle ayrılmış monom ifadelere polinomun terimleri denir.
Bir değişkenin doğal sayı üssü o değişkenin derecesidir. Her polinom terimi belirli bir derecedeki değişkenden ve önündeki reel sayı katsayıdan oluşur.
Bir terimin önündeki \( + \) ya da \( - \) işareti o terimin katsayısının bir parçasıdır, dolayısıyla önünde \( - \) işareti olan bir terimin katsayısı negatiftir.
Bir polinomun değişken içermeyen terimine polinomun sabit terimi denir. Sabit terim derecesi sıfır olan terimin katsayısı olarak da düşünülebilir.
\( P(x) = 2x^2 + 3x - \textcolor{red}{4} = 2x^2 + 3x^1 - \textcolor{red}{4x^0} \)
Bir polinomda belirli bir dereceden terim bulunmuyorsa o terimin katsayısı sıfır kabul edilir.
\( P(x) = 5x^3 - 3x = 5x^3 + \textcolor{red}{0}x^2 - 3x + \textcolor{red}{0}x^0 \)
Polinomlarda bir değişkenin derecesi aynı zamanda bulunduğu terimin derecesini belirler. Bir terimin derecesi çift sayı ise o terime çift dereceli terim, tek sayı ise tek dereceli terim denir. Sabit terim derecesi sıfır olduğu için çift dereceli bir terimdir.
Polinomun en yüksek dereceli teriminin katsayısına polinomun başkatsayısı denir.
Polinomların terimleri genel bir standart olarak en yüksek dereceden en düşük dereceye doğru sıralanır.
Polinomun Derecesi
Bir \( P(x) \) polinomunun en yüksek dereceli teriminin derecesi o polinomun derecesini belirler ve \( der[P] \) ile gösterilir.
Bir polinomun (en yüksek dereceli teriminin) derecesi çift sayı ise o polinoma çift dereceli polinom, tek sayı ise tek dereceli polinom denir.
Aşağıda bazı örnek polinomlar ve dereceleri verilmiştir.
| Örnek Polinom | Derece | Polinomun Adı |
|---|---|---|
| \( P(x) = \textcolor{red}{3} \) | \( 0 \) | Sabit polinom |
| \( P(x) = \textcolor{red}{2x} + 1 \) | \( 1 \) | Birinci dereceden (doğrusal) polinom |
| \( P(x) = \textcolor{red}{x^2} - 5x + 6 \) | \( 2 \) | İkinci dereceden polinom |
| \( P(x) = \textcolor{red}{-2x^3} - x^2 + 4x - 3 \) | \( 3 \) | Üçüncü dereceden polinom |
| \( P(x) = \textcolor{red}{x^n} - 2x^{n - 1} + x - 1 \) | \( n \) | \( n \). dereceden polinom |
Yukarıda tanımladığımız polinom bileşen ve özelliklerini aşağıdaki \( P(x) \) polinomu üzerinde gösterelim.
\( P(x) = 2x^5 - 3x^4 + 5x^3 - x^2 - 4x + 8 \)
Polinomun derecesi: \( 5 \)
Polinomun başkatsayısı: \( 2 \)
Terim sayısı: \( 6 \)
Polinomun terimleri: \( 2x^5, -3x^4, 5x^3, -x^2, -4x, 8 \)
Polinomun katsayıları: \( 2, -3, 5, -1, -4, 8 \)
Polinomun sabit terimi: \( 8 \)
Konu anlatımının farklı noktalarında kullanacağımız üç kavram arasındaki ayrımı kısaca yapalım.
- Polinom ifadesi: Polinom tanımını sağlayan cebirsel ifade (\( 2x^3 - 3x^2 + 4x + 7 \))
- Polinom fonksiyonu: Bir polinom ifadesi ile tanımlı fonksiyon (\( f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4x + 7 \))
- Polinom denklemi: Bir polinomun sıfıra eşitlenmiş denklem hali (\( 2x^3 - 3x^2 + 4x + 7 = 0 \))
\( P(x) = (m - 4)x^6 + 3x^{n - 2} + 2x^4 + 5 \)
polinomunun derecesi 5 olduğuna göre, \( m + n \) toplamı kaçtır?
Çözümü GösterPolinomun derecesi 5 olduğuna göre, derecesi 6 olan terimin katsayısı 0 olmalıdır ve polinomda derecesi 5 olan bir terim olmalıdır.
\( m - 4 = 0 \Longrightarrow m = 4 \)
\( n - 2 = 5 \Longrightarrow n = 7 \)
\( m + n = 4 + 7 = 11 \) bulunur.
Aşağıdaki ifadelerden hangileri reel katsayılı polinomdur?
I. \( \dfrac{3x^4}{4} - \dfrac{7x}{5} + \dfrac{3}{2x} \)
II. \( 2x^5 - x^3 + \sqrt{x^2} \)
III. \( 3x^2 - \sqrt{-2}x + 1 \)
IV. \( \cos(3\pi) x^3 - \sqrt{3} \)
Çözümü GösterTanım gereği bir polinomda değişkenler sadece doğal sayı kuvvetleri ile bulunabilir.
I. öncül: \( \frac{3}{2x} = \frac{3x^{-1}}{2} \) teriminde değişkenin kuvveti negatif olduğu için ifade polinom değildir.
II. öncül: \( \sqrt{x^2} = \abs{x} \) teriminde değişken kök/mutlak değer içinde olduğu için ifade polinom değildir.
III. öncül: İfade polinomdur, ancak \( \sqrt{-2} \) reel sayı olmadığı için reel katsayılı değildir.
IV. öncül: İfade reel katsayılı polinomdur.
Buna göre sadece IV. öncüldeki ifade reel katsayılı polinomdur.
\( P(x) = (a - 2)\dfrac{1}{x} + (b + 3)\sqrt{x} + 4x \) ifadesi bir polinom olduğuna göre, \( ab \) çarpımı kaçtır?
Çözümü GösterTanım gereği bir polinomda değişkenler sadece doğal sayı kuvvetleri ile bulunabilir.
Buna göre polinomda \( \frac{1}{x} \) ve \( \sqrt{x} \) terimleri bulunamayacağı için katsayıları 0 olmalıdır.
\( a - 2 = 0 \Longrightarrow a = 2 \)
\( b + 3 = 0 \Longrightarrow b = -3 \)
\( ab = 2 \cdot (-3) = -6 \) bulunur.
\( P(x) = 3x^{2a + 1} + x^{8 - 3a} + \frac{a}{2}x + 1 \)
\( P(x) \) bir polinom olduğuna göre, \( a \)'nın alabileceği kaç farklı tam sayı değeri vardır?
Çözümü GösterTanım gereği bir polinomda değişkenler sadece doğal sayı kuvvetleri ile bulunabilir.
\( 2a + 1 \ge 0 \Longrightarrow a \ge -\frac{1}{2} \)
\( 8 - 3a \ge 0 \Longrightarrow a \le \frac{8}{3} \)
Bu iki aralığın kesişim kümesi aşağıdaki gibidir.
\( -\frac{1}{2} \le a \le \frac{8}{3} \)
Bu aralıkta \( a \)'nın alabileceği tam sayı değerleri aşağıdaki gibidir.
\( a \in \{ 0, 1, 2 \} \)
Polinomların katsayıları reel sayı olduğu için \( \frac{a}{2}x \) teriminde \( x \)'in katsayısının tam sayı olmaması \( P(x) \)'in polinom olmasına engel değildir.
\( P(x) = 2x^{\frac{3n + 1}{n - 2}} + x^2 - 7 \) ifadesi bir polinom belirttiğine göre, \( n \) sayısının alabileceği değerler toplamı kaçtır?
Çözümü GösterTanım gereği bir polinomda değişkenler sadece doğal sayı kuvvetleri ile bulunabilir.
Buna göre birinci terimin kuvveti doğal sayı olmalıdır.
\( \dfrac{3n + 1}{n - 2} = \dfrac{3(n - 2) + 7}{n - 2} \)
\( = 3 + \dfrac{7}{n - 2} \)
\( \frac{7}{n - 2} \) ifadesini tam sayı yapan \( n \) değerlerinden hangileri için \( 3 + \frac{7}{n - 2} \) ifadesinin doğal sayı olduğunu kontrol edelim.
7'nin tam bölenleri \( \{\pm 1, \pm 7\} \) olmak üzere dört tanedir.
Paydayı bu dört değer yapan tam sayı \( n \) değerleri \( \{3, 9, 1, -5\} \) olur.
Bu \( n \) değerleri için \( 3 + \frac{7}{n - 2} \) ifadesinin değeri sırasıyla \( \{10, 4, -4, 2\} \) olur.
Bu değerlerden \( -4 \) dışındakiler doğal sayıdır.
Buna göre \( n \)'nin alabileceği değerler toplamı \( 3 + 9 + (-5) = 7 \) olur.
\( P(x) = x^{\frac{n + 10}{n + 1}} + x^{n - 2} + 1 \) ifadesi bir polinom belirttiğine göre, \( n \) sayısının alabileceği değerler toplamı kaçtır?
Çözümü GösterTanım gereği bir polinomda değişkenler sadece doğal sayı kuvvetleri ile bulunabilir.
Buna göre birinci terimin kuvveti doğal sayı olmalıdır.
\( \dfrac{n + 10}{n + 1} = \dfrac{n + 1}{n + 1} + \dfrac{9}{n + 1} \)
\( = 1 + \dfrac{9}{n + 1} \)
Bu ifadeyi doğal sayı yapan \( n \) değerleri aşağıdaki gibi olur. \( n = -2 \) ve \( n = -4 \) değerleri ifadeyi tam sayı yapsa da doğal sayı yapmaz.
\( n \in \{-10, 0, 2, 8\} \)
Ayrıca ikinci terimin kuvveti de doğal sayı olmalıdır.
\( n - 2 \ge 0 \Longrightarrow n \ge 2 \)
Her iki koşulu sağlayan \( n \) değerleri aşağıdaki gibi olur.
\( n \in \{2, 8\} \)
\( n \) sayısının alabileceği değerler toplamı \( 2 + 8 = 10 \) olarak bulunur.
\( P(x) = 2x^3 + x^{4 - n} - 3x^n + n \) polinomunun sabit teriminin alabileceği değerler toplamı kaçtır?
Çözümü GösterTanım gereği bir polinomda değişkenler sadece doğal sayı kuvvetleri ile bulunabilir.
Buna göre değişken içeren ifadelerin üsleri doğal sayı olmalıdır.
\( 4 - n \ge 0 \Longrightarrow n \le 4 \)
\( n \ge 0 \)
Buna göre \( n \)'nin alabileceği değerler aşağıdaki gibidir.
\( n \in \{0, 1, 2, 3, 4\} \)
\( n \in \{1, 2, 3\} \) için sabit terim \( n \) değerine eşittir.
\( n = 0 \) için sabit terim \( 3x^n \) teriminin katsayısını da içerir.
\( P(x) = 2x^3 + x^{4 - 0} - 3x^0 + 0 \)
\( = 2x^3 + x^4 - 3 \)
\( n = 4 \) için sabit terim \( x^{4 - n} \) teriminin katsayısını da içerir.
\( P(x) = 2x^3 + x^{4 - 4} - 3x^4 + 4 \)
\( = 2x^3 - 3x^4 + 5 \)
Buna göre sabit terimin alabileceği değerler toplamı \( -3 + 1 + 2 + 3 + 5 = 8 \) olarak bulunur.