Polinomlarda Derece İşlemleri
Bu bölümde polinomlar arası işlemlerde işlemin terimi ve sonucu olan polinomların dereceleri arasındaki ilişkiyi inceleyeceğiz.
Toplama ve Çıkarma İşlemi
İki polinomun toplamı/farkı olan bir polinomun derecesi polinomlardan yüksek dereceli olanın derecesine eşittir.
\( der[P(x)] = m \) ve
\( der[Q(x)] = n \) olmak üzere,
\( der[P(x) \pm Q(x)] = \) \( \begin{cases} m & m \ge n \\ n & m \lt n \\ \end{cases} \)
\( P(x) = 2x^5 + \ldots \)
\( Q(x) = 3x^3 + \ldots \)
\( der[P(x) + Q(x)] = der[P(x)] = 5 \)
\( der[P(x) - Q(x)] = der[P(x)] = 5 \)
Bir istisna olarak, iki polinomun dereceleri eşitse ve aralarındaki toplama/çıkarma işlemi sonucunda en yüksek dereceli terimler birbirini götürüyorsa işlem sonucu daha düşük dereceli bir polinom çıkabilir.
\( P(x) = 3x^4 - 4x^2 - 5 \)
\( Q(x) = -3x^4 + x + 4 \)
\( P(x) + Q(x) = (3 - 3)x^4 - 4x^2 + x - 5 + 4 \)
\( = -4x^2 + x - 1 \)
\( der[P(x) + Q(x)] = 2 \)
Çarpma İşlemi
Her iki polinom da sıfır polinomundan farklı olmak koşuluyla, iki polinomun çarpımının derecesi polinomların derecelerinin toplamına eşittir. Bunun sebebi, sonuç polinomunun en yüksek dereceli teriminin her iki polinomun en yüksek dereceli terimlerinin çarpımından oluşması ve iki üslü ifadenin çarpımının derecesinin ifadelerin üslerinin toplamına eşit olmasıdır.
\( P(x) \ne 0 \) ve \( Q(x) \ne 0 \) olmak üzere,
\( der[P(x) \cdot Q(x)] \) \( = der[P(x)] + der[Q(x)] \)
\( P(x) = 2x^5 + \ldots \)
\( Q(x) = 3x^3 + \ldots \)
\( P(x) \cdot Q(x) = 2x^5 \cdot 3x^3 + \ldots \) \( = 6x^{5 + 3} + \ldots \)
\( der[P(x) \cdot Q(x)] \) \( = 5 + 3 = 8 \)
Üs İşlemi
Bir polinomun \( n \). dereceden üssünün derecesi polinomun derecesinin \( n \) katına eşittir. Bunun sebebi, sonuç polinomunun en yüksek dereceli teriminin polinomun en yüksek dereceli teriminin kendisiyle \( n \) kez çarpımından oluşmasıdır.
\( der[P^n(x)] = n \cdot der[P(x)] \)
\( P(x) = 2x^5 + \ldots \)
\( P^3(x) = (2x^5 + \ldots)^3 \) \( = (2x^5)^3 + \ldots \) \( = 8x^{5 \cdot 3} + \ldots \)
\( der[P^3(x)] = 3 \cdot 5 = 15 \)
Bileşke İşlemi
İki polinomun bileşkesinin derecesi polinomların derecelerinin çarpımına eşittir. Bunun sebebi, bileşke işleminde birinci polinomdaki her \( x \) değişkeni yerine ikinci polinomun konması ve bir üslü ifadenin bir diğer üssünün derecesinin üslerin çarpımına eşit olmasıdır.
\( der[(P \circ Q)(x)] \) \( = der[P(Q(x))] \) \( = der[P(x)] \cdot der[Q(x)] \)
\( P(x) = 3x^5 + \ldots \)
\( Q(x) = 2x^3 \)
\( P((Q(x)) = 3(2x^3)^5 + \ldots \) \( = 96x^{3 \cdot 5} + \ldots \)
\( der[(P \circ Q)(x)] \) \( = 5 \cdot 3 = 15 \)
\( P(x) \) polinomunun derecesi 5, \( Q(x) \) polinomunun derecesi 3 olduğuna göre, aşağıdaki polinomların derecesi kaçtır?
(a) \( der[P(x) \cdot Q(x)] \)
(b) \( der[P(x) + 3Q(x)] \)
(c) \( der[P^3(x) \cdot Q^2(x)] \)
Çözümü Göster(a) seçeneği:
\( der[P(x) \cdot Q(x)] \)
İki polinomun çarpımı olan polinomun derecesi polinomların derecelerinin toplamına eşittir.
\( der[P(x) \cdot Q(x)] = der[P(x)] + der[Q(x)] \)
\( = 5 + 3 = 8 \)
(b) seçeneği:
\( der[P(x) + 3Q(x)] \)
Bir polinomun sıfırdan farklı bir sabit sayı ile çarpımı polinomun derecesini değiştirmez.
İki polinomun toplamı/farkı olan polinomun derecesi polinomlardan yüksek dereceli olanın derecesine eşittir.
\( der[P(x) + 3Q(x)] = der[P(x) + Q(x)] \)
\( = 5 \)
(c) seçeneği:
\( der[P^3(x) \cdot Q^2(x)] \)
Bir polinomun \( n \). dereceden üssünün derecesi polinomun derecesinin \( n \) katına eşittir.
\( der[P^3(x) \cdot Q^2(x)] = der[P^3(x)] + der[Q^2(x)] \)
\( = 3 \cdot der[P(x)] + 2 \cdot der[Q(x)] \)
\( = 3 \cdot 5 + 2 \cdot 3 \)
\( = 21 \)
\( P(x) \) ve \( Q(x) \) birer polinom ve \( a \in \mathbb{N} \) olmak üzere,
\( der[P(x)] = 3a + 2 \)
\( der[Q(x)] = a + 3 \)
\( der[P(x) \cdot Q(x)] = 17 \) ise, \( a \) değeri kaçtır?
Çözümü Gösterİki polinomun çarpımı olan polinomun derecesi polinomların derecelerinin toplamına eşittir.
\( der[P(x) \cdot Q(x)] = der[P(x)] + der[Q(x)] \)
\( 3a + 2 + a + 3 = 17 \)
\( 4a + 5 = 17 \)
\( a = 3 \) bulunur.
\( P(x) = (x^2 + 3x - 1)^3 \cdot (x^3 - x)^k \cdot (x^4 - x)^8 \)
polinomunun derecesi 44 olduğuna göre, \( k \) değeri kaçtır?
Çözümü GösterVerilen polinomun derecesini bulmak için önce her çarpanın en yüksek dereceli terimini bulalım.
\( P(x) = ((x^2)^3 + \ldots) \cdot ((x^3)^k - \ldots) \cdot ((x^4)^8 - \ldots) \)
\( = (x^6 + \ldots) \cdot (x^{3k} - \ldots) \cdot (x^{32} - \ldots) \)
Polinomun derecesi bu çarpanların en yüksek dereceli terimlerinin çarpımı ile oluşan terimin derecesine eşit olur.
\( der[P(x)] = 6 + 3k + 32 = 44 \)
\( 3k = 6 \)
\( k = 2 \) bulunur.
\( P(x) \) üçüncü dereceden, \( Q(x) \) ikinci dereceden birer polinom olmak üzere,
\( P^2(x^2) \cdot Q^4(3x) \) polinomunun derecesi kaçtır?
Çözümü Göster\( der[P(x)] = 3 \)
\( P(x^2) \) polinomunda tüm değişkenlerin karesi alınacağı için derecesi \( P(x) \) polinomunun derecesinin 2 katı olur.
\( der[P(x^2)] = 2 \cdot 3 = 6 \)
\( P^2(x^2) \) polinomunun da derecesi \( P(x^2) \) polinomunun derecesinin 2 katı olur.
\( der[P^2(x^2)] = 2 \cdot der[P(x^2)] = 2 \cdot 6 = 12 \)
\( der[Q(x)] = 2 \)
Tüm \( x \) değişkenlerinin yerine \( 3x \) yazmamız polinomun derecesini değiştirmez.
\( der[Q(3x)] = der[Q(x)] = 2 \)
\( Q^4(3x) \) polinomunun derecesi \( Q(3x) \) polinomunun derecesinin 4 katı olur.
\( der[Q^4(3x)] = 4 \cdot der[Q(3x)] = 4 \cdot 2 = 8 \)
\( P^2(x^2) \cdot Q^4(3x) \) çarpımının derecesi polinomların derecelerinin toplamına eşittir.
\( der[P^2(x^2) \cdot Q^4(3x)] = der[P^2(x^2)] + der[Q^4(3x)] \)
\( = 12 + 8 = 20 \) bulunur.
\( P(x) \) ve \( Q(x) \) birer polinom olmak üzere,
\( der[\dfrac{P(x)}{Q(x)}] = 6 \) ve \( \dfrac{der[P(x)]}{der[Q(x)]} = 3 \) olduğuna göre, \( der[P(x)] \) kaçtır?
Çözümü Göster\( der[P(x)] = p \) ve \( der[Q(x)] = q \) diyelim.
\( der[\dfrac{P(x)}{Q(x)}] = 6 = p - q \)
\( \dfrac{der[P(x)]}{der[Q(x)]} = 3 = \dfrac{p}{q} \)
\( p = 3q \)
İki denklemi ortak çözdüğümüzde aşağıdaki değerleri buluruz.
\( p = 9, \quad q = 3 \)
\( der[P(x)] = p = 9 \) bulunur.
\( P(x) \) bir polinom olmak üzere,
\( der[P(P(x))] = 16 \) olduğuna göre, \( der[P(x^2 - 1)] \) değeri kaçtır?
Çözümü Gösterİki polinomun bileşkesinin derecesi polinomların derecelerinin çarpımına eşittir.
\( der[P(P(x))] = der[P(x)] \cdot der[P(x)] = 16 \) ise,
\( der[P(x)] = 4 \)
\( P(x^2 - 1) \) polinomu da \( P(x) \) ve \( x^2 - 1 \) polinomları arasında bir bileşke işlemi olduğu için derecesi iki polinomun derecelerinin çarpımına eşittir.
\( der[P(x^2 - 1)] = der[P(x)] \cdot der[x^2 - 1] \)
\( = 4 \cdot 2 = 8 \) bulunur.
\( P(x) \) ve \( Q(x) \) birer polinom olmak üzere,
\( der[P(x)] = 2 \) ve \( der[Q(x)] = 3 \) olduğuna göre,
\( der[x^3 \cdot P(4x) + P(x - 1) \cdot Q^2(x)] \) ifadesinin değeri kaçtır?
Çözümü Gösterİki polinomun çarpımının derecesi polinomların derecelerinin toplamına eşittir.
Bir polinomun \( n \). dereceden üssünün derecesi polinomun derecesinin \( n \) katına eşittir.
Buna göre derecesi 2 olan \( P(4x) \) polinomu ile derecesi 3 olan \( x^3 \) polinomunun çarpımının derecesi \( 2 + 3 = 5 \) olur.
Derecesi 2 olan \( P(x - 1) \) polinomu ile derecesi 3 olan \( Q(x) \) polinomunun karesinin çarpımının derecesi \( 2 + 3 \cdot 2 = 8 \) olur.
İki polinomun toplamının derecesi polinomlardan yüksek dereceli olanın derecesine eşittir.
Buna göre sorudaki ifadenin derecesi 8 olur.
\( P(x) \) bir polinom olmak üzere,
\( der[P^2(2x^2 + 2)] = 16 \)
olduğuna göre, \( [P(3x) - x^5]^2 \) polinomunun derecesi kaçtır?
Çözümü GösterVerilen ifadede dıştan içe doğru giderek \( P(x) \)'in derecesini bulalım.
\( P^2(\ldots) \) formundaki bir ifadenin derecesi 16 ise \( P(\ldots) \) formundaki ifadenin derecesi 8 olur.
\( der[P(2x^2 + 2)] = 8 \)
\( P(x^2) \)'li ifadenin derecesi 8 ise \( P(x) \)'li ifadenin derecesi 4 olur.
\( der[P(x)] = 4 \)
\( P(x) \)'in derecesi 4 ise \( P(3x) \)'in derecesi de \( 4 \) olur.
\( P(3x) - x^5 \) polinomunun derecesi derecesi en yüksek terimin, yani \( x^5 \)'in derecesine eşittir, yani 5'tir.
\( P(3x) - x^5 \) polinomun karesi alındığında derecesi iki katına çıkar.
\( der[P(3x) - x^5]^2 = 2 \cdot 5 = 10 \) bulunur.
\( [(2x^2 + 3)^9 + (-3x^3 + 17)^5]^7 \) \( + [(5x^4 + 2)^8 + (x - 1)^3]^5 \) ifadesinin derecesi kaçtır?
Çözümü Gösterİki polinomun toplamının derecesi, derecesi daha büyük olan polinomun derecesine eşittir.
\( (2x^2 + 3)^9 \) ifadesindeki en yüksek dereceli terimin (\( (2x^2)^9 \)) derecesi 18'dir.
\( (-3x^3 + 17)^5 \) ifadesindeki en yüksek dereceli terimin (\( (-3x^3)^5 \)) derecesi \( 15 \)'dir.
\( (2x^2 + 3)^9 + (-3x^3 + 17)^5 \) ifadesindeki en yüksek dereceli terimin derecesi 18. ve 15. dereceden terimlerin büyük olanı, yani 18'dir.
O zaman \( [(2x^2 + 3)^9 + (-3x^3 + 17)^5]^7 \) ifadesinin derecesi \( 18 \cdot 7 = 126 \)'dır.
\( (5x^4 + 2)^8 \) ifadesindeki en yüksek dereceli terimin derecesi 32'dir.
\( (x - 1)^3 \) ifadesindeki en yüksek dereceli terimin derecesi 3'tür.
\( (5x^4 + 2)^8 + (x - 1)^3 \) ifadesindeki en yüksek dereceli terimin derecesi 32. ve 3. dereceden terimlerin büyük olanı, yani 32'dir.
O zaman \( [(5x^4 + 2)^8 + (x - 1)^3]^5 \) ifadesinin derecesi \( 32 \cdot 5 = 160 \)'dır.
Buna göre, verilen ifadenin derecesi 126. ve 160. dereceden terimlerin büyüğü, yani 160'dır.
\( P(x) = (x^3 + 2)^a + (x^2 + 3)^b + (x^4 + 3)^c + 5 \) polinomu ile ilgili olarak aşağıdaki bilgiler veriliyor.
\( \dfrac{a - b}{b} = \dfrac{a - c}{a} = \dfrac{2c - b}{b} = \dfrac{1}{2} \)
\( der[P(x)] = 36 \)
Buna göre \( a + b + c \) kaçtır?
Çözümü GösterVerilen orantıyı ikili çözelim.
\( \dfrac{a - b}{b} = \dfrac{1}{2} \)
\( 2a = 3b \)
\( \dfrac{a - c}{a} = \dfrac{1}{2} \)
\( a = 2c \)
Buna göre aşağıdaki eşitliği elde ederiz.
\( 2a = 3b = 4c \)
Eşitliği bir orantı sabitine eşitleyerek tüm bilinmeyenleri orantı sabiti cinsinden ifade edelim.
\( 2a = 3b = 4c = 12k \)
\( a = 6k, \quad b = 4k, \quad c = 3k \)
Bu değerleri polinom tanımında yerine koyalım.
\( P(x) = (x^3 + 2)^{6k} + (x^2 + 3)^{4k} + (x^4 + 3)^{3k} + 5 \)
İfadelerin açılımını yazdığımızda her birinden en yüksek dereceli terim olarak sırasıyla \( x^{18k} \), \( x^{8k} \) ve \( x^{12k} \) gelir. Bu terimlerden en yüksek dereceli olanı \( x^{18k} \) olduğu için polinomun derecesi de \( 18k \) olur.
\( der[P(x)] = 36 = 18k \)
\( k = 2 \)
\( 2a = 3b = 4c = 12k = 24 \)
\( a = 12, \quad b = 8, \quad c = 6 \)
\( a + b + c = 12 + 8 + 6 = 26 \) bulunur.
\( P(x) \) ve \( Q(x) \) birer polinom olmak üzere,
\( der[P^2(x) \cdot Q^3(x^2)] = 18 \)
\( der[\dfrac{P^3(-2x) \cdot x^2}{Q^2(x)}] = 7 \) olduğuna göre,
\( der[P(x) \cdot Q(x)] \) kaçtır?
Çözümü Göster\( der[P(x)] = p \) ve \( der[Q(x)] = q \) diyelim.
İki polinomun çarpımının derecesi polinomların derecelerinin toplamına eşittir.
İki polinomun bölümünün derecesi polinomların derecelerinin farkına eşittir.
Bir polinomun \( n \). dereceden üssünün derecesi polinomun derecesinin \( n \) katına eşittir.
\( der[P^2(x) \cdot Q^3(x^2)] = 18 = 2p + 3 \cdot 2q \)
\( der[\dfrac{P^3(-2x) \cdot x^2}{Q^2(x)}] = 7 = 3p + 2 - 2q \)
Bu iki denklemi ortak çözdüğümüzde aşağıdaki değerleri buluruz.
\( p = 3, \quad q = 2 \)
\( der[P(x) \cdot Q(x)] = p + q \)
\( = 3 + 2 = 5 \) bulunur.
\( P(x) \) pozitif başkatsayılı bir polinom olmak üzere,
\( P(P(x)) = (a + 4)x^3 + 16x - 5a \) veriliyor.
Buna göre, \( P(x) \) polinomunun katsayılar toplamı ile sabit teriminin toplamı kaçtır?
Çözümü Gösterİki polinomun bileşkesinin derecesi polinomların derecelerinin çarpımına eşittir. Buna göre bir polinomun kendisiyle bileşkesinin derecesi polinomun derecesinin karesine eşittir.
\( der[P(P(x))] = (der[P(x)])^2 \)
Verilen \( P(P(x)) \) polinomu 3. dereceden terim içermektedir. 3 tam kare bir sayı olmadığı için \( x^3 \)'lü terimin katsayısı 0 olmalıdır. Bu durumda polinomun derecesi 1 olacaktır.
\( a + 4 = 0 \Longrightarrow a = -4 \)
Bu durumda \( P(P(x)) \) polinomu aşağıdaki gibi olur.
\( P(P(x)) = 16x + 20 \)
Bir polinomun kendisiyle bileşkesinin derecesi 1 ise polinomun derecesi de 1 olur.
\( P(x) = mx + n \)
\( P(P(x)) = P(mx + n) = m(mx + n) + n \)
\( m^2x + mn + n = 16x + 20 \)
İki polinomun eşitliğinde dereceleri aynı olan terimlerin katsayıları ve sabit terimler ayrı ayrı birbirine eşittir.
Polinomun başkatsayısı pozitif olarak veriliyor.
\( m^2 = 16 \Longrightarrow m = 4 \)
\( mn + n = 20 \Longrightarrow n = 4 \)
\( P(x) = 4x + 4 \)
\( P(x) \) polinomunun katsayılar toplamı \( P(1) \)'e, sabit terimi \( P(0) \)'a eşittir.
\( P(1) + P(0) = (4(1) + 4) + (4(0) + 4) \)
\( = 12 \) bulunur.
\( P(x) \) bir polinom olmak üzere,
\( 7P(2x - 3) = P^2(x + 3) \)
olduğuna göre, \( P(11) \)'in alabileceği değerlerin toplamı kaçtır?
Çözümü Göster\( P(x) \) polinomunun derecesine \( n \) dersek \( P^2(x) \) polinomunun derecesi \( 2n \) olur.
Eşitliğin iki tarafındaki polinomların birbirine eşit olması, sadece \( P(x) \) polinomunun derecesi sıfır olan sabit polinom olması ile mümkün olur, aksi takdirde polinomun karesini aldığımızda eşitliğin sağ tarafının derecesi sol tarafının derecesinden büyük olur.
\( c \in \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( P(x) = c \) diyelim.
\( 7c = c^2 \)
\( 7c - c^2 = 0 \)
\( c(7 - c) = 0 \)
\( c = 0 \) ya da \( c = 7 \)
Buna göre \( P(11) = 0 \) ya da \( P(11) = 7 \) olabilir.
\( 0 + 7 = 7 \) bulunur.