Polinomlarda Derece İşlemleri
Bu bölümde polinomlar arası işlemlerde işlem sonucunun derecesinin nasıl belirlendiğini inceleyeceğiz.
Toplama ve Çıkarma İşlemi
İki polinomun toplamının/farkının derecesi, yüksek dereceli polinomun derecesine eşittir ya da ondan küçüktür.
\( der[P \pm Q] \le \max\{ der[P], der[Q] \} \)
Polinomların dereceleri eşit ise ve başkatsayıları birbirini götürüyorsa sonuç yüksek dereceli polinomun derecesinden küçük, diğer tüm durumlarda yüksek dereceli polinomun derecesine eşit olur. Bu iki durumu birer örnek üzerinde gösterelim.
\( P(x) = -2x^5 - 5x^4 + x - 7 \)
\( Q(x) = 7x^4 - 4x^2 + 2x + 9 \)
\( (P + Q)(x) = -2x^5 + 2x^4 - 4x^2 + 3x + 2 \)
\( der[P + Q] = 5 = \max\{ der[P], der[Q] \} \)
\( P(x) = 3x^5 - 4x^3 - 5 \)
\( Q(x) = -3x^5 + x + 4 \)
\( (P + Q)(x) = -4x^3 + x - 1 \)
\( der[P + Q] = 3 \lt \max\{ der[P], der[Q] \} \)
Çarpma İşlemi
Her iki polinom da sıfır polinomundan farklı olmak koşuluyla, iki polinomun çarpımının derecesi polinomların derecelerinin toplamına eşittir. Bunun sebebi, sonuç polinomunun en yüksek dereceli teriminin her iki polinomun en yüksek dereceli terimlerinin çarpımından oluşması ve iki üslü ifadenin çarpımının derecesinin ifadelerin üslerinin toplamına eşit olmasıdır.
\( P(x) \ne 0 \) ve \( Q(x) \ne 0 \) olmak üzere,
\( der[P \cdot Q] = der[P] + der[Q] \)
\( P(x) = -2x^5 + \ldots \)
\( Q(x) = 7x^3 + \ldots \)
\( (P \cdot Q)(x) = (-2x^5)(7x^3) + \ldots = -14x^{5 + 3} + \ldots \)
\( der[P \cdot Q] = 5 + 3 = 8 \)
Bir polinomun sıfırdan farklı bir sabit sayı ile çarpımı polinomun derecesini değiştirmez.
\( c \in \mathbb{R} \) ve \( c \ne 0 \) olmak üzere,
\( der[cP] = der[P] \)
\( P(x) = 5x^4 + \ldots \)
\( 3P(x) = 15x^4 + \ldots \)
\( der[3P] = der[P] = 4 \)
Bölme İşlemi
Polinomlarda bölme işlemini ve işlem sonucunun derecesini önümüzdeki bölümde inceleyeceğiz.
Üs İşlemi
Bir polinomun \( n \). dereceden üssünün derecesi polinomun derecesinin \( n \) katına eşittir. Bunun sebebi, sonuç polinomunun en yüksek dereceli teriminin polinomun en yüksek dereceli teriminin \( n \). üssüne eşit olmasıdır.
\( der[P^n] = n \cdot der[P] \)
\( P(x) = 2x^5 + \ldots \)
\( P^3(x) = (2x^5 + \ldots)^3 = (2x^5)^3 + \ldots = 8x^{5 \cdot 3} + \ldots \)
\( der[P^3] = 3 \cdot 5 = 15 \)
Bileşke İşlemi
İki polinomun bileşkesinin derecesi polinomların derecelerinin çarpımına eşittir. Bunun sebebi, bileşke işleminde birinci polinomdaki her \( x \) değişkeni yerine ikinci polinomun yazılması ve bir üslü ifadenin bir diğer üssünün derecesinin üslerin çarpımına eşit olmasıdır.
\( der[P \circ Q] = der[P] \cdot der[Q] \)
\( P(x) = 3x^5 + \ldots \)
\( Q(x) = 2x^3 \)
\( (P \circ Q)(x) = 3(2x^3)^5 + \ldots = 96x^{3 \cdot 5} + \ldots \)
\( der[P \circ Q] = 5 \cdot 3 = 15 \)
\( P(x) \) polinomunun derecesi 5, \( Q(x) \) polinomunun derecesi 3 olduğuna göre, aşağıdaki polinomların derecesi kaçtır?
(a) \( der[P \cdot Q] \)
(b) \( der[P + 3Q] \)
(c) \( der[P^3 \cdot Q^2] \)
Çözümü Göster(a) seçeneği:
\( der[P \cdot Q] \)
İki polinomun çarpımının derecesi polinomların derecelerinin toplamına eşittir.
\( der[P \cdot Q] = der[P] + der[Q] \)
\( = 5 + 3 = 8 \)
(b) seçeneği:
\( der[P + 3Q] \)
Bir polinomun sıfırdan farklı bir sabit sayı ile çarpımı polinomun derecesini değiştirmez.
İki polinomun toplamının/farkının derecesi polinomlardan yüksek dereceli olanın derecesine eşittir.
\( der[P + 3Q] = der[P + Q] \)
\( = 5 \)
(c) seçeneği:
\( der[P^3 \cdot Q^2] \)
\( der[P^3 \cdot Q^2] = der[P^3] + der[Q^2] \)
Bir polinomun \( n \). dereceden üssünün derecesi polinomun derecesinin \( n \) katına eşittir.
\( = 3 \cdot der[P] + 2 \cdot der[Q] \)
\( = 3 \cdot 5 + 2 \cdot 3 = 21 \)
\( P(x) \) ve \( Q(x) \) birer polinom ve \( a \in \mathbb{N} \) olmak üzere,
\( der[P] = 3a + 2 \)
\( der[Q] = a + 3 \)
\( der[P \cdot Q] = 17 \) olduğuna göre, \( a \) değeri kaçtır?
Çözümü Gösterİki polinomun çarpımının derecesi polinomların derecelerinin toplamına eşittir.
\( der[P \cdot Q] = der[P] + der[Q] \)
\( 3a + 2 + a + 3 = 17 \)
\( 4a + 5 = 17 \)
\( a = 3 \) bulunur.
\( P(x) = (x^2 + 3x - 1)^3(x^3 - x)^k(x^4 - x)^8 \)
polinomunun derecesi 44 olduğuna göre, \( k \) değeri kaçtır?
Çözümü GösterVerilen polinomun derecesini bulmak için her çarpanın en yüksek dereceli terimini bulalım.
\( P(x) = ((x^2)^3 + \ldots)((x^3)^k - \ldots)((x^4)^8 - \ldots) \)
\( = (x^6 + \ldots)(x^{3k} - \ldots)(x^{32} - \ldots) \)
Polinomun derecesi bu çarpanların en yüksek dereceli terimlerinin çarpımı ile oluşan terimin derecesine eşit olur.
\( der[P] = 6 + 3k + 32 = 44 \)
\( k = 2 \) bulunur.
\( P(x) \) üçüncü dereceden, \( Q(x) \) ikinci dereceden birer polinom olmak üzere,
\( P^2(x^2) \cdot Q^4(3x) \) polinomunun derecesi kaçtır?
Çözümü Göster\( der[P] = 3 \)
\( P(x^2) \) polinomunda tüm değişkenlerin karesi alınacağı için derecesi \( P(x) \) polinomunun derecesinin 2 katı olur.
\( der[P(x^2)] = 2 \cdot 3 = 6 \)
\( P^2(x^2) \) polinomunun derecesi \( P(x^2) \) polinomunun derecesinin 2 katı olur.
\( der[P^2(x^2)] = 2 \cdot der[P(x^2)] = 2 \cdot 6 = 12 \)
\( der[Q] = 2 \)
Tüm \( x \) değişkenlerinin yerine \( 3x \) yazmamız polinomun derecesini değiştirmez.
\( der[Q(3x)] = der[Q] = 2 \)
\( Q^4(3x) \) polinomunun derecesi \( Q(3x) \) polinomunun derecesinin 4 katı olur.
\( der[Q^4(3x)] = 4 \cdot der[Q(3x)] = 4 \cdot 2 = 8 \)
\( P^2(x^2) \cdot Q^4(3x) \) çarpımının derecesi polinomların derecelerinin toplamına eşittir.
\( der[P^2(x^2) \cdot Q^4(3x)] = der[P^2(x^2)] + der[Q^4(3x)] \)
\( = 12 + 8 = 20 \) bulunur.
\( P(x) \) ve \( Q(x) \) birer polinom olmak üzere,
\( der \left[ \dfrac{P}{Q} \right] = 6 \) ve \( \dfrac{der[P]}{der[Q]} = 3 \) olduğuna göre, \( der[P] \) kaçtır?
Çözümü Göster\( der[P] = p \) ve \( der[Q] = q \) diyelim.
\( der \left[ \dfrac{P}{Q} \right] = 6 = p - q \)
\( \dfrac{der[P]}{der[Q]} = 3 = \dfrac{p}{q} \)
\( p = 3q \)
İki denklemi ortak çözdüğümüzde aşağıdaki değerleri buluruz.
\( p = 9, \quad q = 3 \)
\( der[P] = p = 9 \) bulunur.
\( P(x) \) bir polinom olmak üzere,
\( der[P \circ P] = 16 \) olduğuna göre, \( der[P(x^2 - 1)] \) değeri kaçtır?
Çözümü Gösterİki polinomun bileşkesinin derecesi polinomların derecelerinin çarpımına eşittir.
\( der[P \circ P] = der[P] \cdot der[P] = 16 \)
\( der[P] = 4 \)
\( P(x^2 - 1) \) polinomu da \( P(x) \) ve \( x^2 - 1 \) polinomları arasında bir bileşke işlemi olduğu için derecesi iki polinomun derecelerinin çarpımına eşittir.
\( der[P(x^2 - 1)] = der[P] \cdot der[x^2 - 1] \)
\( = 4 \cdot 2 = 8 \) bulunur.
\( P(x) = (x^3 + 2)^a + (x^2 + 3)^b + (x^4 + 3)^c + 5 \) polinomu ile ilgili olarak aşağıdaki bilgiler veriliyor.
\( \dfrac{a - b}{b} = \dfrac{a - c}{a} = \dfrac{2c - b}{b} = \dfrac{1}{2} \)
\( der[P] = 36 \)
Buna göre \( a + b + c \) kaçtır?
Çözümü GösterVerilen orantıyı ikili çözelim.
\( \dfrac{a - b}{b} = \dfrac{1}{2} \)
\( 2a = 3b \)
\( \dfrac{a - c}{a} = \dfrac{1}{2} \)
\( a = 2c \)
Buna göre aşağıdaki eşitliği elde ederiz.
\( 2a = 3b = 4c \)
Eşitliği bir orantı sabitine eşitleyerek tüm bilinmeyenleri orantı sabiti cinsinden ifade edelim.
\( 2a = 3b = 4c = 12k \)
\( a = 6k, \quad b = 4k, \quad c = 3k \)
Bu değerleri polinom tanımında yerine koyalım.
\( P(x) = (x^3 + 2)^{6k} + (x^2 + 3)^{4k} + (x^4 + 3)^{3k} + 5 \)
İfadelerin açılımını yazdığımızda her birinden en yüksek dereceli terim olarak sırasıyla \( x^{18k} \), \( x^{8k} \) ve \( x^{12k} \) gelir. Bu terimlerden en yüksek dereceli olanı \( x^{18k} \) olduğu için polinomun derecesi de \( 18k \) olur.
\( der[P] = 36 = 18k \)
\( k = 2 \)
\( 2a = 3b = 4c = 12k = 24 \)
\( a = 12, \quad b = 8, \quad c = 6 \)
\( a + b + c = 12 + 8 + 6 = 26 \) bulunur.
\( P(x) \) ve \( Q(x) \) birer polinom olmak üzere,
\( der[P] = 2 \) ve \( der[Q] = 3 \) olduğuna göre,
\( der[x^6 \cdot P(4x) + P(x^2 - 1) \cdot Q^2(x)] \) ifadesinin değeri kaçtır?
Çözümü Göster\( der[x^6] = 6 \)
İki polinomun bileşkesinin derecesi polinomların derecelerinin çarpımına eşittir.
\( der[P(4x)] = der[P] \cdot der[4x] = 2 \cdot 1 = 2 \)
\( der[P(x^2 - 1)] = der[P] \cdot der[x^2 - 1] = 2 \cdot 2 = 4 \)
Bir polinomun \( n \). dereceden üssünün derecesi polinomun derecesinin \( n \) katına eşittir.
\( der[Q^2] = 2 \cdot 3 = 6 \)
İki polinomun çarpımının derecesi polinomların derecelerinin toplamına eşittir.
Buna göre derecesi 6 olan \( x^6 \) polinomu ile derecesi 2 olan \( P(4x) \) polinomunun çarpımının derecesi \( 6 + 2 = 8 \) olur.
Derecesi 4 olan \( P(x^2 - 1) \) polinomu ile derecesi 6 olan \( Q^2 \) polinomunun çarpımının derecesi \( 4 + 6 = 10 \) olur.
İki polinomun toplamının derecesi polinomlardan yüksek dereceli olanın derecesine eşittir.
Buna göre sorudaki ifadenin derecesi 10 olur.
\( P(x) \) bir polinom olmak üzere,
\( der[P^2(2x^2 + 2)] = 16 \) olduğuna göre, \( (P(3x) - x^5)^2 \) polinomunun derecesi kaçtır?
Çözümü GösterVerilen ifadede dıştan içe doğru giderek \( P(x) \) polinomunun derecesini bulalım.
Bir polinomun \( n \). dereceden üssünün derecesi polinomun derecesinin \( n \) katına eşittir.
\( der[P^2(2x^2 + 2)] = 2 \cdot der[P(2x^2 + 2)] = 16 \)
\( der[P(2x^2 + 2)] = 8 \)
İki polinomun bileşkesinin derecesi polinomların derecelerinin çarpımına eşittir.
\( der[P(2x^2 + 2)] = der[P] \cdot der[2x^2 + 2] = 8 \)
\( der[P] \cdot 2 = 8 \)
\( der[P] = 4 \)
\( der[P(3x)] = der[P] \cdot der[3x] \)
\( = 4 \cdot 1 = 4 \)
\( P(3x) - x^5 \) polinomunun derecesi derecesi en yüksek teriminin, yani \( x^5 \)'in derecesine eşittir, yani 5'tir.
\( P(3x) - x^5 \) polinomun karesi alındığında derecesi iki katına çıkar.
\( der[(P(3x) - x^5)^2] = 2 \cdot 5 = 10 \) bulunur.
\( [(2x^2 + 3)^9 + (-3x^3 + 17)^5]^7 + [(5x^4 + 2)^8 + (x^9 - 1)^3]^5 \) polinomunun derecesi kaçtır?
Çözümü GösterBirinci terimin derecesini hesaplayalım.
\( [(2x^2 + 3)^9 + (-3x^3 + 17)^5]^7 \)
Bir polinomun \( n \). dereceden üssünün derecesi polinomun derecesinin \( n \) katına eşittir.
\( der[(2x^2 + 3)^9] = 9 \cdot der[2x^2 + 3] = 18 \)
\( der[(-3x^3 + 17)^5] = 5 \cdot der[-3x^3 + 17] = 15 \)
İki polinomun toplamının derecesi, derecesi daha büyük olan polinomun derecesine eşittir.
\( der[(2x^2 + 3)^9 + (-3x^3 + 17)^5] = 18 \)
\( der[[(2x^2 + 3)^9 + (-3x^3 + 17)^5]^7] = 7 \cdot der[(2x^2 + 3)^9 + (-3x^3 + 17)^5] = 126 \)
İkinci terimin derecesini hesaplayalım.
\( [(5x^4 + 2)^8 + (x^9 - 1)^3]^5 \)
\( der[(5x^4 + 2)^8] = 8 \cdot der[5x^4 + 2] = 32 \)
\( der[(x^9 - 1)^3] = 3 \cdot der[x^9 - 1] = 27 \)
İki polinomun toplamının derecesi, derecesi daha büyük olan polinomun derecesine eşittir.
\( der[(5x^4 + 2)^8 + (x^9 - 1)^3] = 32 \)
\( der[[(5x^4 + 2)^8 + (x^9 - 1)^3]^5] = 5 \cdot der[(5x^4 + 2)^8 + (x^9 - 1)^3] = 160 \)
Buna göre, dereceleri 126 ve 160 olan iki polinomun toplamının derecesi 160'tır.
\( P(x) \) bir polinom olmak üzere,
\( 7P(2x - 3) = P^2(x + 3) \)
olduğuna göre, \( P(11) \) ifadesinin alabileceği değerlerin toplamı kaçtır?
Çözümü Göster\( P(x) \) polinomunun derecesine \( n \) dersek \( P^2(x) \) polinomunun derecesi \( 2n \) olur.
Eşitliğin her iki tarafındaki polinomların birbirine eşit olması, sadece \( P(x) \) polinomunun derecesi sıfır olan sabit polinom olması ile mümkün olur, aksi takdirde polinomun karesini aldığımızda eşitliğin sağ tarafının derecesi sol tarafının derecesinden büyük olur.
\( c \in \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( P(x) = c \) diyelim.
\( 7c = c^2 \)
\( 7c - c^2 = 0 \)
\( c(7 - c) = 0 \)
\( c = 0 \) ya da \( c = 7 \)
Buna göre \( P(11) = 0 \) ya da \( P(11) = 7 \) olabilir.
\( 0 + 7 = 7 \) bulunur.
\( P(x) \) pozitif başkatsayılı bir polinomdur.
\( (P \circ P)(x) = (a + 4)x^3 + 16x - 5a \) olduğuna göre, \( P(10) \) kaçtır?
Çözümü Gösterİki polinomun bileşkesinin derecesi polinomların derecelerinin çarpımına eşittir. Buna göre bir polinomun kendisiyle bileşkesinin derecesi polinomun derecesinin karesine eşittir.
\( der[P \circ P] = (der[P])^2 \)
Verilen \( P \circ P \) polinomu 3. dereceden terim içermektedir. 3 bir tam kare sayı olmadığı için \( x^3 \)'lü terimin katsayısı 0 olmalıdır. Buna göre polinomun derecesi 1 olmalıdır.
\( a + 4 = 0 \Longrightarrow a = -4 \)
Bu durumda \( P \circ P \) polinomu aşağıdaki gibi olur.
\( (P \circ P)(x) = 16x + 20 \)
Buna göre \( P(x) \) polinomunun derecesi de 1 olur.
\( P(x) = mx + n \)
\( (P \circ P)(x) = P(mx + n) = m(mx + n) + n \)
\( m^2x + mn + n = 16x + 20 \)
İki polinomun eşitliğinde dereceleri aynı olan terimlerin katsayıları ve sabit terimler ayrı ayrı birbirine eşittir.
Polinomun başkatsayısı pozitif olarak veriliyor.
\( m^2 = 16 \Longrightarrow m = 4 \)
\( mn + n = 20 \Longrightarrow n = 4 \)
\( P(x) = 4x + 4 \)
\( P(x) = 4x + 4 \)
\( P(10) \) değerini bulalım.
\( P(10) = 4(10) + 4 = 44 \) bulunur.