Polinomların Çarpanları ve Sıfırları
Konu tekrarı için: Özdeşlikler | Çarpanlara Ayırma
Polinomların Çarpanları
Çarpımları \( P(x) \) polinomunu veren polinomlara \( P(x) \) polinomunun çarpanları denir.
\( P(x) = Q(x) \cdot R(x) \cdot T(x) \) ise,
\( Q(x), R(x), T(x) \) polinomları \( P(x) \) polinomunun çarpanlarıdır.
\( 3x^2 + 8x - 3 = (3x - 1)(x + 3) \)
\( 2x^5 + x^4 - 2x - 1 = (2x + 1)(x^2 + 1)(x + 1)(x - 1) \)
Çarpanlarına ayrılmış bir polinom çarpanlar dışında ek bir terim içeremez. Aşağıdaki polinom çarpanlarına ayrılmış bir polinom değildir.
\( 2(x + 1)(x - 2)(x + 3) \textcolor{red}{+ 1} \)
Bir polinomu çarpanlarına ayırırken amaç çoğu zaman her bir çarpanı daha fazla çarpanlarına ayrılamayacak forma getirmektir. Bu şekilde çarpanlarına ayırma işlemine tam çarpanlarına ayırma, bu işlemle elde edilen polinoma tam çarpanlarına ayrılmış polinom denir.
Tam çarpanlarına ayrılmış bir polinomda çarpanlar sadece birinci veya ikinci dereceden olabilir. Buna göre üçüncü ve daha yüksek dereceden polinomlar mutlaka birinci ve ikinci dereceden çarpanlarına ayrılabilir.
- Birinci dereceden çarpan: \( ax + b \) formundaki bir çarpan daha fazla çarpanlarına ayrılamaz.
- İkinci dereceden çarpan: \( ax^2 + bx + c \) formundaki bir çarpanın deltası (diskriminantı) sıfırdan küçük ise (reel sayılarda) daha fazla çarpanlarına ayrılamaz, sıfır ya da sıfırdan büyük ise ayrılabilir.
Buna göre tam çarpanlarına ayrılmış bir polinom sadece birinci dereceden ve deltası sıfırdan küçük ikinci dereceden çarpanlardan oluşabilir. Aşağıdaki örnekte sadece son satırdaki polinom tam çarpanlarına ayrılmış formdadır.
\( P(x) = x^7 - x \)
\( = x(x^6 - 1) \)
\( = x(x^3 - 1)(x^3 + 1) \)
\( = x(x - 1)(x^2 + x + 1)(x + 1)(x^2 - x + 1) \)
Polinomun Sıfırları
Bir polinomda \( x \) yerine konduğunda polinom değerini sıfır yapan değerlere polinomun sıfırları denir.
\( P(a) = 0 \) ise,
\( x = a \) değeri \( P(x) \) polinomunun bir sıfırıdır.
\( P(x) = x^3 - 5x^2 + 3x + 6 \)
\( x = 2 \) polinom değerini sıfır yaptığı için polinomun bir sıfırıdır.
\( P(2) = 2^3 - 5(2)^2 + 3(2) + 6 = 0 \)
\( x = 1 \) polinom değerini sıfır yapmadığı için polinomun bir sıfırı değildir.
\( P(1) = 1^3 - 5(1)^2 + 3(1) + 6 = 5 \ne 0 \)
Polinom Denklemi ve Kökleri
Bir polinomun sıfıra eşitlenmiş denklem haline polinom denklemi denir.
\( P(x) = 0 \)
Tam çarpanlarına ayrılmış bir polinom denkleminin her bir çarpanını sıfır yapan \( x \) değerlerine o polinom denkleminin kökleri denir. Bir \( P(x) \) polinomunun sıfırları aynı zamanda \( P(x) = 0 \) polinom denkleminin kökleridir.
\( P(x) = (x + 1)(x - 2) \)
\( P(-1) = 0, \quad P(2) = 0 \)
\( x \in \{ -1, 2 \} \) değerleri \( P(x) \) polinomunun sıfırları ve \( P(x) = 0 \) polinom denkleminin kökleridir.
Bu tanıma göre, "sıfır" bir polinom ya da fonksiyonu sıfır yapan değerler için kullanılırken "kök" bir denklemi sağlayan değerler için kullanılır. Bununla birlikte çoğu kaynakta (bu sitedeki notlarda da) bu iki terim birbiri yerine sıklıkla kullanılır.
Çarpan Teoremi
Çarpan teoremi önceki bölümde gördüğümüz kalan teoreminin bir uzantısıdır ve bir polinomun sıfırları ile çarpanları arasındaki ilişkiyi tanımlar.
Çarpan teoremine göre, \( x = a \) değeri bir polinomun sıfırı ise \( x - a \) bu polinomun bir çarpanıdır. Bunun karşıtı da doğrudur, yani \( x - a \) bir polinomun çarpanı ise \( x = a \) değeri bu polinomun bir sıfırıdır.
\( P(x) \) bir polinom olmak üzere,
- \( P(a) = 0 \) ise \( x - a \) ifadesi \( P(x) \) polinomunun bir çarpanıdır.
- \( x - a \) ifadesi \( P(x) \) polinomunun bir çarpanı ise \( P(a) = 0 \) olur.
\( P(x) = x^3 - 2x^2 + 1 \)
\( P(1) = 1^3 - 2(1)^2 + 1 = 0 \)
\( P(1) = 0 \) olduğu için \( x - 1 \) polinomun bir çarpanıdır.
\( P(x) = (x - 1)Q(x) \)
Polinom bölmesi ile polinomun diğer çarpanını bulabiliriz.
\( P(x) = (x - 1)(x^2 - x - 1) \)
İSPATI GÖSTER
Aşağıdaki gibi bir polinom bölme işlemi tanımlayalım.
\( B(x) \ne 0 \) olmak üzere,
\( P(x) = B(x)Q(x) + K(x) \)
Çarpan teoreminin iki kısmının ispatını sırayla yapalım.
İspat 1:
Önerme: \( P(a) = 0 \) ise \( x - a \) polinomu \( P(x) \) polinomunun bir çarpanıdır.
Daha önce ispatını yaptığımız kalan teoremine göre, \( P(x) \) polinomunun birinci dereceden bir \( x - a \) polinomuna bölümünden kalan \( P(a) \) olur.
\( P(x) = (x - a)Q(x) + P(a) \)
\( P(a) = 0 \) ise bu bölme işlemi aşağıdaki şekilde olur.
\( P(x) = (x - a)Q(x) \)
Bu durumda \( x - a \) polinomun bir çarpanı olmuş olur.
İspat 2:
Önerme: \( x - a \) polinomu \( P(x) \) polinomunun bir çarpanı ise \( P(a) = 0 \) olur.
Kalan teoremine göre, \( P(x) \) polinomunun birinci dereceden bir \( x - a \) polinomuna bölümünden kalan \( P(a) \) olur.
\( P(x) = (x - a)Q(x) + P(a) \)
\( x - a \) polinomu \( P(x) \) polinomunun bir çarpanı ise \( P(x) \) polinomunu tam bölüyor demektir, dolayısıyla bölme işleminde kalan sıfır olur.
\( P(a) = 0 \)
\( P(x) = (x - a)Q(x) \)
Çarpan teoremine göre, tam çarpanlarına ayrılmış bir polinomun her bir çarpanını sıfır yapan \( x \) değerleri polinomun sıfırlarıdır.
\( P(x) = x(3x + 2)^2(x - 2)(2x - 7) \)
\( x \in \left\{ -\dfrac{2}{3}, 0, 2, \dfrac{7}{2} \right\} \) değerleri \( P(x) \) polinomunun sıfırlarıdır.
Bir \( P(x) \) polinomunun çarpanlarının sıfırları/kökleri/çarpanları, \( P(x) \) polinomunun da birer sıfırı/kökü/çarpanıdır.
\( P(x) = Q(x)\ R(x) \) olmak üzere,
\( Q(a) = 0 \Longrightarrow P(a) = 0 \)
\( R(b) = 0 \Longrightarrow P(b) = 0 \)
Cebirin Temel Teoremi
Cebirin temel teoremine göre, reel katsayılı ve \( n \). dereceden bir polinom denkleminin, kökler katları adedince sayılmak üzere, reel ya da karmaşık sayı toplam \( n \) adet kökü vardır.
Reel katsayılı bir polinom denkleminin karmaşık sayı kökleri varsa bu kökler mutlaka birbirinin eşleniği şeklinde olur, dolayısıyla karmaşık sayı köklerin sayısı sadece ikinin katları şeklinde olabilir.
Reel katsayılı bir \( P(x) \) polinomu ve \( a \) sayısı için aşağıdaki ifadelerden herhangi biri doğru ise diğerleri de doğru olur.
- \( x = a \) değeri polinomu sıfır yapar (\( P(a) = 0 \)).
- \( x - a \) ifadesi \( P(x) \) polinomunun bir çarpanıdır (\( P(x) = (x - a)Q(x) \)).
- \( x = a \) değeri \( P(x) = 0 \) polinom denkleminin bir köküdür.
Katlı Kökler
Tam çarpanlarına ayrılmış bir polinomda bir çarpan \( n \) kez bulunuyorsa bu çarpanı sıfır yapan değere \( n \) katlı kök denir. \( n = 1 \) olan kökler basit kök olarak adlandırılır.
\( f(x) = (x + 2)(x - 1)^2(x - 5)^3 \) olmak üzere,
\( x = -2 \) fonksiyonun basit (1 katlı) köküdür.
\( x = 1 \) fonksiyonun 2 katlı köküdür.
\( x = 5 \) fonksiyonun 3 katlı köküdür.
\( n \)'nin tek sayı olduğu köklere tek katlı kök, çift sayı olduğu köklere çift katlı kök denir.
\( x = a \) bir polinomun \( n \) katlı kökü ise aşağıdaki eşitlik sağlanır. Bu eşitlikte (\( x = a \) değerinin sıfır yaptığı) tüm \( (x - a) \) çarpanları \( (x - a)^n \) ifadesinde, (\( x = a \) değerinin sıfır yapmadığı) diğer çarpanlar \( Q(x) \) polinomunda toplanır.
\( P(x) = (x - a)^n\ Q(x), \quad Q(a) \ne 0 \) ise,
\( x = a \) değeri \( P(x) \) polinomunun \( n \) katlı köküdür.
Tam çarpanlarına ayrılmamış bir polinomda belirli bir \( x = a \) değerinin kaç katlı kök olduğu iki yöntemle bulunabilir.
Birinci yöntemde, \( P(x) \) polinomunun \( x - a \) ifadesine kalansız bölünebilme sayısı \( x = a \) değerinin kaç katlı kök olduğunu belirler.
\( P(x) = 2x^6 - x^5 - 6x^4 + 6x^3 - 2x^2 + 3x - 2 \)
\( x = 1 \) değerinin \( P(x) \) polinomunun kaç katlı kökü olduğunu bölme yöntemini kullanarak bulalım.
\( P(x) \) polinomunu \( x - 1 \) ifadesine bölelim.
\( P(x) = (x - 1)(2x^5 + x^4 - 5x^3 + x^2 - x + 2) \)
Bölme işlemi kalansız olduğu için bölüm polinomunu tekrar \( x - 1 \) ifadesine bölelim.
\( 2x^5 + x^4 - 5x^3 + x^2 - x + 2 = (x - 1)(2x^4 + 3x^3 - 2x^2 - x - 2) \)
Bölme işlemi kalansız olduğu için bölüm polinomunu tekrar \( x - 1 \) ifadesine bölelim.
\( 2x^4 + 3x^3 - 2x^2 - x - 2 = (x - 1)(2x^3 + 5x^2 + 3x + 2) \)
Bölme işlemi kalansız olduğu için bölüm polinomunu tekrar \( x - 1 \) ifadesine bölelim.
\( 2x^3 + 5x^2 + 3x + 2 = (x - 1)(2x^2 + 7x + 10) \textcolor{red}{+ 12} \)
Bölme işlemi kalanlıdır.
\( P(x) \) polinomu \( x - 1 \) ifadesine 3 kez kalansız bölünebildiği için \( x = 1 \) polinomun 3 katlı bir köküdür.
\( P(x) = (x - 1)^3\ Q(x), \quad Q(1) \ne 0 \)
İkinci yöntemde, \( P(x) \) polinomunun ilk \( k \lt n \) mertebeden türevleri için \( P^{(k)}(a) = 0 \) ve \( n \). mertebeden türevi için \( P^{(n)}(a) = 0 \) oluyorsa \( x = a \) değeri polinomun \( n \) katlı bir köküdür.
\( P(x) = 2x^6 - x^5 - 6x^4 + 6x^3 - 2x^2 + 3x - 2 \)
\( x = 1 \) değerinin \( P(x) \) polinomunun kaç katlı kökü olduğunu türev yöntemini kullanarak bulalım.
\( P(1) \) değerini bulalım.
\( P(1) = 2(1)^6 - (1)^5 - 6(1)^4 + 6(1)^3 - 2(1)^2 + 3(1) - 2 = 0 \)
\( P(1) = 0 \) olduğuna göre \( x = 1 \) polinomun bir sıfırıdır.
\( P'(1) \) değerini bulalım.
\( P'(x) = 12x^5 - 5x^4 - 24x^3 + 18x^2 - 4x + 3 \)
\( P'(1) = 12(1)^5 - 5(1)^4 - 24(1)^3 + 18(1)^2 - 4(1) + 3 = 0 \)
\( P'(1) = 0 \) olduğu için polinomun tekrar türevini alalım.
\( P''(x) = 60x^4 - 20x^3 - 72x^2 + 36x - 4 \)
\( P''(1) = 60(1)^4 - 20(1)^3 - 72(1)^2 + 36(1) - 4 = 0 \)
\( P''(1) = 0 \) olduğu için polinomun tekrar türevini alalım.
\( P'''(x) = 240x^3 - 60x^2 - 144x + 36 \)
\( P'''(1) = 240(1)^3 - 60(1)^2 - 144(1) + 36 = 72 \ne 0 \)
\( P'''(1) \ne 0 \) olduğu için \( x = 1 \) polinomun 3 katlı bir köküdür.
\( P(x) = (x - 1)^3\ Q(x), \quad Q(1) \ne 0 \)
Polinomun Sıfırlarının Bulunması
Bir polinomun sıfırlarını (ya da polinom denkleminin köklerini) bulmak için kullanılabilecek yöntemlerden bazıları aşağıdaki gibidir.
- Çarpanlara ayırma: Tam çarpanlarına ayrılmış bir polinomda her çarpanı sıfır yapan \( x \) değeri polinomun bir sıfırıdır. Farklı çarpanlara ayırma yöntemleri için çarpanlara ayırma sayfasını ziyaret edebilirsiniz.
- Polinom grafiği: Bir polinom fonksiyonunun grafiğinin \( x \) eksenini kestiği noktaların apsis değerleri polinomun birer sıfırıdır.
- İkinci dereceden polinomlar: İkinci dereceden bir polinomun sıfırları ikinci dereceden denklemler konusunda gördüğümüz kök bulma formülü ile de bulunabilir.
- Değer verme: \( 0, \pm 1, \pm 2 \) gibi denemesi kolay bir değer polinom değerini sıfır yapıyorsa bu değer polinomun bir sıfırıdır.
- Polinom bölmesi: Bir \( x = a \) değerinin bir polinomu sıfır yaptığı ya da \( x - a \) ifadesinin polinomun bir çarpanı olduğu biliniyorsa polinom bölmesi ile polinom \( x - a \) polinomuna bölünerek polinomun derecesi düşürülebilir ve elde edilen polinom diğer yöntemler kullanılarak çarpanlarına ayrılabilir.
- Rasyonel kök teoremi: Bir polinomun rasyonel kökleri önümüzdeki bölümde inceleyeceğimiz rasyonel kök teoremi ile de bulunabilir.
Bu çarpanlara ayırma yöntemlerinden bazılarını bir örnek üzerinde gösterelim.
\( P(x) = 6x^4 + 11x^3 - 5x^2 - 12x \) polinomunu çarpanlarına ayıralım.
Polinomun sabit terimi bulunmadığı için ifadeyi \( x \) parantezine alabiliriz.
\( P(x) = x(6x^3 + 11x^2 - 5x - 12) \)
\( x = 1 \) değerinin parantez içindeki polinomu sıfır yaptığı görülebilir.
\( = x(x - 1)Q(x) \)
Parantez içindeki ifadeyi polinom bölmesi ile \( x - 1 \) ifadesine bölerek \( Q(x) \) çarpanını bulalım.
\( = x(x - 1)(6x^2 + 17x + 12) \)
2. dereceden polinomu çarpanlarına ayırmak için kök bulma formülünü kullanalım.
\( x_{1,2} = \dfrac{-17 \pm \sqrt{17^2 - 4(6)(12)}}{2(6)} \)
\( = \dfrac{-17 \pm 1}{12} \)
\( x_1 = -\dfrac{4}{3}, \quad x_2 = -\dfrac{3}{2} \)
Buna göre tam çarpanlarına ayrılmış \( P(x) \) polinomu aşağıdaki gibi bulunur.
\( P(x) = x(x - 1)(3x + 4)(2x + 3) \)
Aşağıdakilerden hangileri \( P(x) = 6x^4 - 11x^3 - 22x^2 + x + 6 \) polinomunun bir çarpanıdır?
(a) \( x + 1 \)
(b) \( x - 2 \)
(c) \( 2x - 1 \)
Çözümü GösterÇarpan teoremine göre, belirli bir \( x = a \) değeri için \( P(a) = 0 \) ise \( x - a \) ifadesi polinomun bir çarpanıdır.
(a) seçeneği:
\( x + 1 \) ifadesini sıfır yapan \( x \) değerini bulalım.
\( x + 1 = 0 \Longrightarrow x = -1 \)
\( P(-1) \) değerini bulalım.
\( P(-1) = 6(-1)^4 - 11(-1)^3 - 22(-1)^2 + (-1) + 6 \)
\( = 6 - (-11) - 22 + (-1) + 6 = 0 \)
\( P(-1) = 0 \) olduğuna göre, \( x + 1 \) ifadesi \( P(x) \) polinomunun bir çarpanıdır.
(b) seçeneği:
\( x - 2 \) ifadesini sıfır yapan \( x \) değerini bulalım.
\( x - 2 = 0 \Longrightarrow x = 2 \)
\( P(2) \) değerini bulalım.
\( P(2) = 6(2)^4 - 11(2)^3 - 22(2)^2 + 2 + 6 \)
\( = 96 - 88 - 88 + 2 + 6 = -72 \ne 0 \)
\( P(2) \ne 0 \) olduğuna göre, \( x - 2 \) ifadesi \( P(x) \) polinomunun bir çarpanı değildir.
(c) seçeneği:
\( 2x - 1 \) ifadesini sıfır yapan \( x \) değerini bulalım.
\( 2x - 1 = 0 \Longrightarrow x = \dfrac{1}{2} \)
\( P(\frac{1}{2}) \) değerini bulalım.
\( P\left( \dfrac{1}{2} \right) = 6\left( \dfrac{1}{2} \right)^4 - 11\left( \dfrac{1}{2} \right)^3 - 22\left( \dfrac{1}{2} \right)^2 + \dfrac{1}{2} + 6 \)
\( = \dfrac{6}{16} - \dfrac{11}{8} - \dfrac{22}{4} + \dfrac{1}{2} + 6 = 0 \)
\( P(\frac{1}{2}) = 0 \) olduğuna göre, \( 2x - 1 \) ifadesi \( P(x) \) polinomunun bir çarpanıdır.
Ek bilgi olarak, \( P(x) \) polinomunun çarpanlarına ayrılmış hali aşağıdaki gibidir.
\( P(x) = (3x + 2)(2x - 1)(x + 1)(x - 3) \)
\( P(x) = 2x^3 - 5x^2 - x + 6 \) polinomu veriliyor.
\( x + 1 \) ifadesinin \( P(x) \) polinomunun bir çarpanı olduğu gösteriniz ve polinomun tüm çarpanlarını bulunuz.
Çözümü GösterÇarpan teoremine göre, belirli bir \( x = a \) değeri için \( P(a) = 0 \) ise \( x - a \) ifadesi polinomun bir çarpanıdır.
\( x + 1 \) ifadesini sıfır yapan \( x \) değerini bulalım.
\( x + 1 = 0 \Longrightarrow x = -1 \)
\( P(-1) \) değerini bulalım.
\( P(-1) = 2(-1)^3 - 5(-1)^2 - (-1) + 6 \)
\( = -2 - 5 + 1 + 6 = 0 \)
\( P(-1) = 0 \) olduğu için \( x + 1 \) ifadesi \( P(x) \) polinomunun bir çarpanıdır.
\( P(x) \) polinomunu \( x + 1 \) polinomuna böldüğümüzde bölüm polinomu aşağıdaki gibi bulunur.
\( P(x) = (x + 1)(2x^2 - 7x + 6) \)
Bulduğumuz ikinci dereceden polinomu çarpanlarına ayıralım.
\( P(x) = (x + 1)(2x - 3)(x - 2) \)
\( P(x) = x^3 - 4x^2 - x + 4k^2 \) polinomu veriliyor.
\( x - k \) ifadesi \( P(x) \) polinomunun bir çarpanı olduğuna göre, \( k \)'nın alabileceği değerleri bulunuz.
Çözümü GösterÇarpan teoremine göre, \( x - k \) ifadesi \( P(x) \) polinomunun bir çarpanı ise \( x = k \) polinomun sıfırıdır, yani \( P(k) = 0 \) olur.
\( P(k) = k^3 - 4k^2 - k + 4k^2 = 0 \)
\( k^3 - k = 0 \)
\( k(k - 1)(k + 1) = 0 \)
Buna göre \( k \)'nın alabileceği değerler aşağıdaki gibidir.
\( k \in \{ -1, 0, 1 \} \)
\( P(x) = 2x^4 - 5x^3 - 11x^2 + 20x + 12 \) polinomunun çarpanlarından ikisi \( 2x + 1 \) ve \( x - 3 \) olduğuna göre, polinomun tüm sıfırlarını bulunuz.
Çözümü Göster\( P(x) \) polinomunu aşağıdaki şekilde yazabiliriz.
\( P(x) = (2x + 1)(x - 3)Q(x) \)
\( P(x) \) polinomunu \( (2x + 1)(x - 3) = 2x^2 - 5x - 3 \) polinomuna böldüğümüzde bölüm polinomu aşağıdaki gibi bulunur.
\( = (2x + 1)(x - 3)(x^2 - 4) \)
\( = (2x + 1)(x - 3)(x - 2)(x + 2) \)
Polinomun sıfırları her bir çarpanı sıfır yapan değerlerden oluşur.
\( x \in \left\{ -2, -\dfrac{1}{2}, 2, 3 \right\} \)
\( P(x) = 3x^3 - (a + 3)x^2 + (b - 2)x + 2a + 2 \) polinomu \( x^2 - 2x \) polinomuna kalansız bölündüğüne göre, \( ab \) çarpımı kaçtır?
Çözümü Göster\( P(x) \) polinomu \( x^2 - 2x \) polinomuna kalansız bölünüyorsa aşağıdaki eşitliği yazabiliriz.
\( P(x) = (x^2 - 2x)Q(x) \)
\( = x(x - 2)Q(x) \)
Buna göre \( x \) ve \( x - 2 \) ifadeleri \( P(x) \) polinomunun birer çarpanıdır ve \( x = 0 \) ve \( x = 2 \) değerleri polinomu sıfır yapar.
\( x = 0 \) için:
\( P(0) = 3(0)^3 - (a + 3)(0)^2 + (b - 2)(0) + 2a + 2 = 0 \)
\( a = -1 \)
\( x = 2 \) için:
\( P(2) = 3(2)^3 - (-1 + 3)(2)^2 + (b - 2)(2) + 2(-1) + 2 = 0 \)
\( 24 - 8 + 2b - 4 - 2 + 2 = 0 \)
\( b = -6 \)
Buna göre \( ab = (-1)(-6) = 6 \) bulunur.
\( P(x) \) ikinci dereceden bir polinomdur.
\( P(4) = P(6) = 0 \) olduğuna göre, \( \frac{P(3)}{P(5)} \) kaçtır?
Çözümü Göster\( P(x) \) ikinci bir polinom olduğuna ve sıfırları bilindiğine göre polinomu aşağıdaki şekilde yazabiliriz.
\( P(x) = a(x - 4)(x - 6) \)
\( P(3) \) ve \( P(5) \) değerlerini \( a \) cinsinden bulalım.
\( P(3) = a(3 - 4)(3 - 6) = 3a \)
\( P(5) = a(5 - 4)(5 - 6) = -a \)
\( \dfrac{P(3)}{P(5)} = \dfrac{3a}{-a} = -3 \) bulunur.
\( a \) ve \( b \) asal sayılardır.
Başkatsayısı 2 olan 3. dereceden \( P(x) \) polinomunun kökleri \( 5 \), \( a \) ve \( b \) olarak veriliyor.
\( P(0) = -350 \) olduğuna göre, \( P(8) \) kaçtır?
Çözümü GösterVerilen bilgiler doğrultusunda polinom tanımını aşağıdaki şekilde yazabiliriz.
\( P(x) = 2(x - 5)(x - a)(x - b) \)
\( P(0) \) değerini bulmak için \( x = 0 \) yazalım.
\( P(0) = 2(0 - 5)(0 - a)(0 - b) = -350 \)
\( 2(-5)(-a)(-b) = -350 \)
\( ab = 35 \)
\( a \) ve \( b \) asal sayılar oldukları için, iki sayı sadece (herhangi bir sırada) \( 5 \) ve \( 7 \) olabilir.
\( P(x) = 2(x - 5)(x - 5)(x - 7) \)
\( = 2(x - 5)^2(x - 7) \)
\( P(8) \) değerini bulmak için \( x = 8 \) yazalım.
\( P(8) = 2(8 - 5)^2(8 - 7) = 18 \) bulunur.
\( P(x) \) bir polinom olmak üzere,
\( (x + 1)P(x) = x^4 - ax^3 - x + a + 4 \) olduğuna göre, \( P(a) \) kaçtır?
Çözümü Göster\( P(x) \) ifadesini yalnız bırakalım.
\( P(x) = \dfrac{x^4 - ax^3 - x + a + 4}{x + 1} \)
\( P(x) \)'in polinom olabilmesi için, \( x + 1 \) ifadesi \( x^4 - ax^3 - x + a + 4 \) polinomunu tam bölmelidir.
Paydaki ifade \( x + 1 \)'e tam bölünebiliyorsa \( x + 1 \) paydaki ifadenin bir çarpanıdır, bir diğer ifadeyle \( x + 1 \)'i sıfır yapan \( x = -1 \) değeri payı da sıfır yapar.
Paydaki polinomda \( x = -1 \) koyarak ifadeyi sıfıra eşitleyelim.
\( x^4 - ax^3 - x + a + 4 = 0 \)
\( (-1)^4 - a(-1)^3 - (-1) + a + 4 = 0 \)
\( 1 + a + 1 + a + 4 = 0 \)
\( a = -3 \)
Buna göre \( a = -3 \) olması durumunda paydaki ifade \( x + 1 \)'e tam bölünür.
\( P(x) = \dfrac{x^4 + 3x^3 - x + 1}{x + 1} \)
Payı paydaya polinom bölmesi ile böldüğümüzde aşağıdaki sonucu buluruz.
\( = x^3 + 2x^2 - 2x + 1 \)
\( P(a) = P(-3) \) değerini bulalım.
\( P(-3) = (-3)^3 + 2(-3)^2 - 2(-3) + 1 \)
\( = -27 + 18 + 6 + 1 = -2 \) bulunur.
2. dereceden \( P(x) \) polinomunun başkatsayısı 5'tir.
\( P(-4)P(1) = 0 \)
\( P(-2)P(4) = 0 \)
\( P(1)P(4) \ne 0 \)
olduğuna göre, polinomun sabit terimi kaçtır?
Çözümü Göster\( P(1)P(4) \ne 0 \) olduğundan \( P(1) \ne 0 \) ve \( P(4) \ne 0 \) olur.
Dolayısıyla \( P(-4) = 0 \) ve \( P(-2) = 0 \) olmalıdır.
Buna göre \( P(x) \) polinomunun sıfırları \( -4 \) ve \( -2 \) olur.
Başkatsayısı 5 ve sıfırları \( -4 \) ve \( -2 \) olan \( P(x) \) polinomunu yazalım.
\( P(x) = 5(x + 4)(x + 2) \)
\( = 5x^2 + 30x + 40 \)
\( P(x) \) polinomunun sabit terimi 40'tır.
\( a, b \in \mathbb{Z} \) olmak üzere,
\( P(x) = (x - a)x^2 + b(12 - x) \)
\( Q(x) = x^3 + b(6 - x^2) - (a - 6)x \)
\( x - 4 \) ifadesi \( P(x) \) ve \( Q(x) \) polinomlarının ortak çarpanı olduğuna göre, \( ab \) çarpımı kaçtır?
Çözümü GösterÇarpan teoremine göre, \( x - 4 \) iki polinomun ortak bir çarpanı ise \( P(4) = Q(4) = 0 \) olur.
\( P(4) = (4 - a)4^2 + b(12 - 4) = 0 \)
\( 16a - 8b = 64 \)
\( Q(4) = 4^3 + b(6 - 4^2) - (a - 6)4 = 0 \)
\( 4a + 10b = 88 \)
İlk denklemi -4'e bölelim ve denklemleri taraf tarafa toplayalım.
\( (-4a + 2b) + (4a + 10b) = -16 + 88 \)
\( 12b = 72 \Longrightarrow b = 6 \)
İkinci denklemde \( b = 6 \) yazalım.
\( 4a + 10(6) = 88 \)
\( a = 7 \)
Buna göre \( ab = 7 \cdot 6 = 42 \) bulunur.
\( (x + 2)(2x - 3)(x - 1) = 5(1 - x^2) - x + 1 \) denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
Çözümü GösterParantezleri genişletelim.
\( (2x^2 + x - 6)(x - 1) = -5x^2 - x + 6 \)
\( 2x^3 - 2x^2 + x^2 - x - 6x + 6 = -5x^2 - x + 6 \)
\( 2x^3 - x^2 - 7x + 6 = -5x^2 - x + 6 \)
Tüm terimleri eşitliğin sol tarafında toplayalım.
\( 2x^3 + 4x^2 - 6x = 0 \)
Eşitliğin sol tarafını çarpanlarına ayıralım.
\( 2x(x^2 + 2x - 3) = 0 \)
\( 2x(x + 3)(x - 1) = 0 \)
Denklemin çözüm kümesi her bir çarpanı sıfır yapan değerlerdir.
Çözüm kümesi: \( x \in \{-3, 0, 1\} \)
\( a, b, c \in \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( x^4 - ax^3 + bx^2 - 108x + c = 0 \) denklemi dört katlı köke sahip olduğuna göre, \( c \) kaçtır?
Çözümü GösterDenklemin dört katlı köküne \( r \) diyelim.
\( (x - r)^4 = x^4 - 4rx^3 + 6r^2x^2 - 4r^3x + r^4 \)
Bu denklemi soruda verilen denkleme eşitleyelim.
\( x^4 - 4rx^3 + 6r^2x^2 - 4r^3x + r^4 = x^4 - ax^3 + bx^2 - 108x + c \)
İki polinomun eşitliğinde dereceleri aynı olan terimlerin katsayıları birbirine eşittir.
\( x \)'li terimlerin katsayılarını eşitleyelim.
\( -4r^3 = -108 \)
\( r = 3 \)
Sabit terimleri eşitleyelim.
\( c = r^4 \)
\( = 3^4 = 81 \) bulunur.
\( P(x) = x^4 - 3x^3 + (3m + 2)x^2 - (m - 1)^2x - 1 \) polinomunun çarpanlarından biri \( x - 1 \) olduğuna göre, \( m \)'nin alabileceği değerler çarpımı nedir?
Çözümü GösterÇarpan teoremine göre, \( x - 1 \) ifadesi \( P(x) \) polinomunun bir çarpanı ise bu çarpanı sıfır yapan \( x = 1 \) değeri polinomun sıfırıdır, yani \( P(1) = 0 \) olur.
\( P(1) = 1^4 - 3(1)^3 + (3m + 2)(1)^2 - (m - 1)^2(1) - 1 = 0 \)
\( 1 - 3 + (3m + 2) - (m - 1)^2 - 1 = 0 \)
\( m^2 - 5m + 2 = 0 \)
Bulduğumuz ikinci dereceden denklemin katsayıları aşağıdaki gibidir.
\( a = 1, \quad b = -5, \quad c = 2 \)
İkinci dereceden denklemin deltasını bulalım.
\( \Delta = b^2 - 4ac \)
\( = (-5)^2 - 4(1)(2) = 17 \gt 0 \)
Denklemin deltası sıfırdan büyük olduğu için birbirinden farklı iki reel sayı kökü vardır.
\( m \)'nin alabileceği değerler çarpımı için ikinci dereceden denklemin kökler çarpımı formülünü kullanalım.
Kökler çarpımı \( = \dfrac{c}{a} = \dfrac{2}{1} = 2 \) bulunur.
\( 5x^3 + (k - 1)x^2 - 25kx - 25k - 5 = 0 \) polinom denkleminin bir kökü \( x = -1 \) olduğuna göre, denklemin çözüm kümesi nedir?
Çözümü Göster\( x = -1 \) denklemin bir kökü ise denklemi sağlamalıdır.
Denklemde \( x = -1 \) yazarak \( k \) sabit sayısını bulalım.
\( 5(-1)^3 + (k - 1)(-1)^2 - 25k(-1) - 25k - 5 = 0 \)
\( -5 + (k - 1) + 25k - 25k - 5 = 0 \)
\( k = 11 \)
\( k \) değerini denklemde yerine yazalım.
\( 5x^3 + 10x^2 - 275x - 280 = 0 \)
Eşitliğin taraflarını 5'e bölelim.
\( x^3 + 2x^2 - 55x - 56 = 0 \)
Çarpan teoremine göre, \( x = -1 \) değeri \( P(x) = 0 \) denkleminin bir kökü ise \( x + 1 \) ifadesi \( P(x) \) polinomun bir çarpanıdır.
\( x^3 + 2x^2 - 55x - 56 \) ifadesini polinom bölmesi ile \( x + 1 \) ifadesine bölerek diğer çarpanı bulalım.
\( (x + 1)(x^2 + x - 56) = 0 \)
İkinci dereceden ikinci çarpanı çarpanlarına ayıralım.
\( (x + 1)(x + 8)(x - 7) = 0 \)
Denklemin çözüm kümesi her bir çarpanı sıfır yapan değerlerden oluşur.
Çözüm kümesi: \( x \in \{ -8, -1, 7 \} \)
\( P(x) = ax^2 + 3ax - a - 9 \) polinomu veriliyor.
\( P(3x - 1) \) polinomunun çarpanlarından biri \( x \) olduğuna göre, \( a \) kaçtır?
Çözümü GösterÇarpan teoremine göre, \( x \) ifadesi \( P(3x - 1) \) polinomunun bir çarpanı ise bu çarpanı sıfır yapan \( x = 0 \) değeri polinomun sıfırıdır, yani \( P(3(0) - 1) = P(-1) = 0 \) olur.
Polinom tanımında \( x = -1 \) yazalım.
\( P(-1) = a(-1)^2 + 3a(-1) - a - 9 \)
\( 0 = a - 3a - a - 9 \)
\( a = -3 \) bulunur.
\( x^3 + ax^2 + bx - c = 0 \) denkleminin kökleri arasında \( 2 : 3 : 11 \) şeklinde bir orantı vardır.
\( c = 4224 \) olduğuna göre, \( a + b \) toplamı kaçtır?
Çözümü GösterDenklemin köklerine \( 2k \), \( 3k \) ve \( 11k \) diyelim.
Denklemi bu kök değerlerini kullanarak çarpanlarına ayrılmış şekilde yazalım.
\( (x - 2k)(x - 3k)(x - 11k) = 0 \)
Parantezleri genişletelim.
\( (x^2 - 5kx + 6k^2)(x - 11k) = 0 \)
\( x^3 - 16kx^2 + 61k^2x - 66k^3 = 0 \)
Bu polinomun katsayılarını verilen polinom ile karşılaştıralım.
\( a = -16k, b = 61k^2, c = 66k^3 \)
\( c = 4224 \) olarak veriliyor.
\( c = 66k^3 = 4224 \)
\( k = 4 \)
\( a \) ve \( b \) değerlerini bulalım.
\( a = -16k = -64 \)
\( b = 61k^2 = 976 \)
\( a + b = 912 \) bulunur.
Başkatsayısı 2 olan üçüncü dereceden bir \( P(x) \) polinomu veriliyor.
\( P(-2) = P(1) = P(5) = 0 \) olduğuna göre, \( P(x) \) polinomunun \( x - 3 \) ile bölümünden kalan kaçtır?
Çözümü Göster\( P(-2) = P(1) = P(5) = 0 \) ise bu üç değer \( P(x) \) polinomunun birer sıfırıdır ve \( x + 2 \), \( x - 1 \) ve \( x - 5 \) polinomun çarpanlarıdır.
Polinom üçüncü dereceden olduğu için sabit bir sayı hariç başka bir çarpanı yoktur.
Polinomun başkatsayısı 2 olarak veriliyor.
\( P(x) = 2(x + 2)(x - 1)(x - 5) \)
Kalan teoremine göre, \( P(x) \) polinomunun \( x - 3 \) polinomuna bölümünden kalan, bölen polinomunu sıfır yapan \( x = 3 \) değeri için bölünen polinomunun değeri, yani \( P(3) \) olur.
\( P(3) = 2(3 + 2)(3 - 1)(3 - 5) \)
\( = -40 \) bulunur.
\( P(x) \) üçüncü dereceden bir polinomdur.
\( P(-1) = P(1) = P(3) = 5 \) ve \( P(2) = 11 \) eşitlikleri veriliyor.
Buna göre \( P(x) \) polinomunun sabit terimi kaçtır?
Çözümü GösterÜçüncü dereceden polinomun değeri üç farklı \( x \) değeri için birbirine eşit ve 5'tir.
Buna göre bu üç değer \( P(x) - 5 \) polinomunu sıfır yapar, dolayısıyla polinomun çarpanlarını aşağıdaki şekilde yazabiliriz.
\( P(x) - 5 = a(x + 1)(x - 1)(x - 3) \)
\( P(x) = a(x + 1)(x - 1)(x - 3) + 5 \)
\( a \) katsayısını bulmak için \( P(2) \) değerini kullanalım.
\( P(2) = 11 = a(2 + 1)(2 - 1)(2 - 3) + 5 \)
\( a = \dfrac{6}{-3} = -2 \)
Buna göre polinom tanımı aşağıdaki gibi olur.
\( P(x) = 2(x + 1)(x - 1)(x - 3) + 5 \)
Bir polinomun sabit terimini bulmak için tüm değişkenlere \( 0 \) değeri verilir, dolayısıyla \( P(x) \) polinomunun sabit terimi \( P(0) \) değerine eşittir.
\( P(0) = -2(0 + 1)(0 - 1)(0 - 3) + 5 \)
\( = -1 \) bulunur.
Başkatsayısı 4 olan 3. dereceden \( P(x) \) polinomunun çarpanlarından biri \( x^2 - 5 \)'dir.
\( P(x) \) polinomunun \( x \) ile bölümünden kalan \( -20 \) olduğuna göre \( P(x + 1) \) polinomunun \( x - 2 \) ile bölümünden kalan kaçtır?
Çözümü Göster3. dereceden \( P(x) \) polinomunun 2. dereceden bir çarpanı verildiğine göre diğer çarpanı 1. dereceden olur.
\( P(x) = a(x^2 - 5)(x - b) \)
Polinomun başkatsayısı 4 olarak veriliyor.
\( P(x) = 4(x^2 - 5)(x - b) \)
Kalan teoremine göre, \( P(x) \) polinomunun \( x \) ile bölümünden kalan \( -5 \) ise \( P(0) = -20 \) olur.
\( P(0) = 4(0 - b)(0^2 - 5) = -20 \)
\( 4(-b)(-5) = -20 \)
\( b = -1 \)
Buna göre \( P(x) \) tanımı aşağıdaki gibi olur.
\( P(x) = 4(x + 1)(x^2 - 5) \)
Kalan teoremine göre, \( P(x + 1) \) polinomunun \( x - 2 \) polinomuna bölümünden kalan, bölen polinomunu sıfır yapan \( x = 2 \) değeri için bölünen polinomunun değeri, yani \( P(2 + 1) = P(3) \) olur.
\( P(3) = 4(3 + 1)(3^2 - 5) = 64 \) bulunur.
Başkatsayısı 3 olan 2. dereceden \( P(x) \) polinomunun sıfırdan ve birbirinden farklı sıfırları \( P(0) \) ve \( m \) olduğuna göre, \( m \) kaçtır?
Çözümü GösterBaşkatsayısı 3 ve sıfırları \( P(0) \) ve \( m \) olan ikinci dereceden polinomu aşağıdaki gibi yazabiliriz.
\( P(x) = 3(x - P(0))(x - m) \)
\( x = 0 \) yazalım.
\( P(0) = 3(0 - P(0))(0 - m) \)
\( P(0) = 3mP(0) \)
\( m = \dfrac{1}{3} \) bulunur.
Katsayılar toplamı 60 ve sabit terimi 18 olan dördüncü dereceden ve reel katsayılı bir polinom \( x + 1 \), \( x + 2 \) ve \( x - 3 \) ile tam bölünebilmektedir.
Buna göre, bu polinom \( x - 2 \) ile bölündüğünde kalan kaçtır?
Çözümü GösterBir polinomun katsayılar toplamını bulmak için tüm değişkenlere 1 değeri verilir, dolayısıyla \( P(x) \) polinomunun katsayılar toplamı \( P(1) \) değerine eşittir.
\( P(1) = 60 \)
Bir polinomun sabit terimini bulmak için tüm değişkenlere 0 değeri verilir, dolayısıyla \( P(x) \) polinomunun sabit terimi \( P(0) \) değerine eşittir.
\( P(0) = 18 \)
Reel katsayılı bir polinomun karmaşık sayı kökleri varsa bu kökler birbirinin eşleniği olacak şekilde ikinin katları adedince bulunabilir.
Polinomun köklerinden üçü reel sayı olarak verildiği için, dördüncü kök de reel sayı olmalıdır.
Buna göre polinomu aşağıdaki şekilde yazabiliriz.
\( P(x) = (x + 1)(x + 2)(x - 3)(ax + b) \)
\( a \) ve \( b \) değerlerini bulmak için \( P(0) \) ve \( P(1) \) değerlerini kullanalım.
\( P(0) = 18 = (0 + 1)(0 + 2)(0 - 3)(a(0) + b) \)
\( -6b = 18 \)
\( b = -3 \)
\( P(1) = 60 = (1 + 1)(1 + 2)(1 - 3)(a(1) + b) \)
\( -12(a - 3) = 60 \)
\( a = -2 \)
Buna göre \( P(x) \) polinomu aşağıdaki gibidir.
\( P(x) = (x + 1)(x + 2)(x - 3)(-2x - 3) \)
Kalan teoremine göre, \( P(x) \) polinomunun \( x - 2 \) polinomuna bölümünden kalan, bölen polinomunu sıfır yapan \( x = 2 \) değeri için bölünen polinomunun değeri, yani \( P(2) \) olur.
\( P(2) = (2 + 1)(2 + 2)(2 - 3)(-2(2) - 3) \)
\( = 84 \) bulunur.
Üçüncü dereceden bir \( P(x) \) polinom fonksiyonunun grafiği orijine göre simetriktir.
\( P(-1) = -5, \quad P(2) = 22 \)
olduğuna göre, \( P(3) \) kaçtır?
Çözümü GösterOrijine göre simetrik fonksiyonlar tek fonksiyondur. Bir tek polinom fonksiyonu sadece tek dereceli terim içerir.
\( P(x) = ax^3 + bx \)
\( P(x) \) polinomunda \( x = -1 \) ve \( x = 2 \) yazalım.
\( P(-1) = a(-1)^3 + b(-1) = -5 \)
\( -a - b = -5 \)
\( P(2) = a(2)^3 + b(2) = 22 \)
\( 8a + 2b = 22 \)
Bu iki denklemi ortak çözdüğümüzde aşağıdaki değerleri buluruz.
\( a = 2, \quad b = 3 \)
Buna göre \( P(x) \) polinomu aşağıdaki gibi olur.
\( P(x) = 2x^3 + 3x \)
\( P(3) \) değerini bulmak için \( x = 3 \) yazalım.
\( P(3) = 2(3)^3 + 3(3) = 63 \) bulunur.
\( a, b \in \mathbb{Z} \) olmak üzere,
\( P(x) = x^3 - ax^2 - (b + 2)x + 4b \)
\( Q(x) = x^2 - 2ax + b \)
\( P(-4) = 0, \quad Q(-4) \ne 0 \) veriliyor.
\( Q(x) \) polinomunun sıfırları aynı zamanda \( P(x) \) polinomunun da sıfırları olduğuna göre, \( a + b \) toplamı kaçtır?
Çözümü Göster\( P(-4) = 0 \) ve \( Q(-4) \ne 0 \) olduğuna göre, \( x = -4 \) \( P(x) \) polinomunun bir sıfırıdır, ancak \( Q(x) \) polinomunun bir sıfırı değildir.
Buna göre, \( x + 4 \) \( P(x) \) polinomunun bir çarpanıdır, ancak \( Q(x) \) polinomunun bir çarpanı değildir.
\( Q(x) \) polinomunun sıfırları aynı zamanda \( P(x) \) polinomunun da sıfırları olduğuna göre, \( P(x) \) polinomunu aşağıdaki şekilde yazabiliriz.
\( P(x) = (x + 4)Q(x) \)
\( x^3 - ax^2 - (b + 2)x + 4b = (x^2 - 2ax + b)(x + 4) \)
\( x^3 - ax^2 - (b + 2)x + 4b = x^3 + 4x^2 - 2ax^2 - 8ax + bx + 4b \)
\( x^3 - ax^2 - (b + 2)x + 4b = x^3 + (4 - 2a)x^2 + (b - 8a)x + 4b \)
İki polinomun eşitliğinde dereceleri aynı terimlerin katsayıları birbirine eşittir.
\( -a = 4 - 2a \Longrightarrow a = 4 \)
\( -(b + 2) = b - 8a \Longrightarrow b = 15 \)
\( a + b = 4 + 15 = 19 \) bulunur.
\( \dfrac{P(x + 1) + x - 2}{x^2 - 1} \) ifadesi bir polinom olduğuna göre, \( P(x) \) polinomunun \( x^2 - 2x \) ile bölümünden kalan kaçtır?
Çözümü GösterVerilen ifade bir polinom olduğuna göre, paydaki ifade \( x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1) \) polinomuna kalansız bölünmelidir, dolayısıyla \( x - 1 \) ve \( x + 1 \) çarpanlarını içermeli ve \( x = 1 \) ve \( x = -1 \) değerleri paydaki polinomu sıfır yapmalıdır.
\( x = 1 \) için:
\( P(1 + 1) + 1 - 2 = 0 \)
\( P(2) = 1 \)
\( x = -1 \) için:
\( P(-1 + 1) + (-1) - 2 = 0 \)
\( P(0) = 3 \)
Sorudaki bölme işlemini yazalım. Bölen polinomu ikinci dereceden bir polinom olduğu için kalan polinomu birinci dereceden bir polinom olmalıdır.
\( x^2 - 2x = x(x - 2) \)
\( P(x) = x(x - 2)Q(x) + ax + b \)
Dikkat edilirse polinom değerlerini bulduğumuz \( x = 0 \) ve \( x = 2 \) değerleri, bu bölme işleminde bölen polinomunu sıfır yapan değerlerdir.
\( x = 0 \) yazalım.
\( P(0) = 0(0 - 2)Q(0) + a(0) + b = 3 \)
\( b = 3 \)
\( x = 2 \) yazalım.
\( P(2) = 2(2 - 2)Q(2) + a(2) + b = 1 \)
\( 2a + 3 = 1 \)
\( a = -1 \)
Kalan polinomu \( ax + b = -x + 3 \) olarak bulunur.
\( P(x) \) üçüncü dereceden bir polinomdur.
\( P(x) \)'in \( x^2 - 2x - 3 \) ile bölümünden kalan 4'tür.
\( P(x) \)'in \( x^2 - 4x + 3 \) ile bölümünden kalan 4'tür.
\( P(0) = 13 \) olduğuna göre, \( P(4) \) kaçtır?
Çözümü GösterVerilen bölme işlemlerindeki bölenleri çarpanlarına ayıralım.
\( x^2 - 2x - 3 = (x + 1)(x - 3) \)
\( x^2 - 4x + 3 = (x - 1)(x - 3) \)
Verilen bölme işlemlerini yazalım.
\( P(x) = (x + 1)(x - 3)Q_1(x) + 4 \)
\( P(x) = (x - 1)(x - 3)Q_2(x) + 4 \)
Bu iki eşitliğe göre, \( P(x) \) polinomu \( x + 1 \), \( x - 1 \) ve \( x - 3 \) ile bölündüğünde aynı 4 kalanını verir.
\( P(-1) = P(1) = P(3) = 4 \)
Buna göre \( x \in \{-1, 1, 3\} \) değerleri \( P(x) - 4 \) polinomunu sıfır yapar, dolayısıyla polinomun çarpanlarını aşağıdaki şekilde yazabiliriz.
\( P(x) - 4 = a(x + 1)(x - 1)(x - 3) \)
\( P(x) = a(x + 1)(x - 1)(x - 3) + 4 \)
\( a \) katsayısını bulmak için \( P(0) = 13 \) değerini kullanalım.
\( P(0) = a(0 + 1)(0 - 1)(0 - 3) + 4 = 13 \)
\( 3a + 4 = 13 \)
\( a = 3 \)
\( P(4) \) değerini bulmak için \( x = 4 \) yazalım.
\( P(4) = 3(4 + 1)(4 - 1)(4 - 3) + 4 \)
\( = 3(5)(3)(1) + 4 = 49 \) bulunur.
\( P(x) \) ikinci dereceden bir polinomdur.
\( P(x) \) ve \( P(x - 2) \) polinomlarının ortak kökü 1'dir.
\( P(0) = -4 \) olduğuna göre, \( P(2) \) kaçtır?
Çözümü Göster\( P(x - 2) \) polinomunun grafiği \( P(x) \) polinomunun grafiğinin iki birim sağa ötelenmiş halidir.
Bu iki polinomun birer kökü ortak ve 1 ise \( P(x) \) polinomunun büyük kökü \( 1 \), küçük kökü \( 1 - 2 = -1 \) olmalıdır.
Buna göre \( P(x) \) polinomunu aşağıdaki gibi yazabiliriz.
\( P(x) = a(x - 1)(x + 1) \)
Polinomun başkatsayısını bulmak için \( P(0) = -4 \) değerini kullanalım.
\( P(0) = a(0 - 1)(0 + 1) = -4 \)
\( a = 4 \)
\( P(x) = 4(x - 1)(x + 1) \)
\( P(2) \) değerini bulmak için \( x = 2 \) yazalım.
\( P(2) = 4(2 - 1)(2 + 1) = 12 \) bulunur.
\( P(x) \) başkatsayısı 1 olan 3. dereceden bir polinomdur.
\( P(1) = 3, \quad P(2) = 6, \quad P(3) = 9 \)
olduğuna göre, \( P(5) \) kaçtır?
Çözümü Göster3. dereceden polinomun 3 farklı noktası arasındaki ilişkiyi inceleyelim.
\( x \)'in her 1 birim artışında polinom değeri 3 birim arttığına göre, bu üç nokta \( P(x) - 3x \) polinomunun sıfırlarıdır.
Buna göre \( P(x) \) polinomunu aşağıdaki gibi yazabiliriz.
\( P(x) - 3x = a(x - 1)(x - 2)(x - 3) \)
\( P(x) = a(x - 1)(x - 2)(x - 3) + 3x \)
Polinomun başkatsayısı 1 olarak veriliyor.
\( P(x) = (x - 1)(x - 2)(x - 3) + 3x \)
\( P(5) \) değerini bulmak için \( x = 5 \) yazalım.
\( P(5) = (5 - 1)(5 - 2)(5 - 3) + 3(5) = 39 \) bulunur.
\( P(x) = x^4 + 8x^3 + 24x^2 + 32x - 65 \) polinomunu sıfır yapan reel sayı \( x \) değerlerinin çarpımı kaçtır?
Çözümü GösterPolinomu sıfıra eşitleyelim.
\( x^4 + 8x^3 + 24x^2 + 32x - 65 = 0 \)
Eşitliğin sol tarafını düzenleyelim.
\( x^4 + 8x^3 + 24x^2 + 32x + 16 - 81 = 0 \)
\( x^4 + 4x^3(2) + 6x^2(2)^2 + 4x(2)^3 + 2^4 - 81 = 0 \)
Eşitliğin sol tarafı son terim hariç \( (x + 2)^4 \) ifadesinin açılımıdır.
\( (x + 2)^4 - 3^4 = 0 \)
\( ((x + 2)^2 - 3^2)((x + 2)^2 - 4 + 3^2) = 0 \)
\( ((x + 2) - 3)((x + 2) + 3)((x + 2)^2 - 4 + 9) = 0 \)
\( (x - 1)(x + 5)(x^2 + 4x + 9) = 0 \)
İlk iki çarpanı sıfır yapan yapan değerler polinomun reel birer sıfırıdır. Üçüncü çarpanın deltası sıfırdan küçük olduğu için bu çarpanı sıfır yapan reel sayı değer yoktur.
Buna göre polinomu sıfır yapan reel sayı değerlerin çarpımı \( 1 \cdot (-5) = -5 \) bulunur.
Katsayıları tam sayı olan 4. dereceden \( P(x) \) polinomu ile ilgili aşağıdakiler bilinmektedir.
\( P(x + 3) \) polinomunun bir çarpanı \( x - 2 \)'dir.
\( P(0) = -6 \)
\( \dfrac{P(x + 7)}{x + 4}, \dfrac{P(x - 5)}{x - 3} \) ve \( \dfrac{P(x)}{x - 1} \) ifadeleri birer polinomdur.
Buna göre, \( P(8) \) kaçtır?
Çözümü Göster\( P(x + 7) \) polinomunun \( x + 4 \) ile bölümü yine bir polinom ise bu ifadeye kalansız bölünür.
\( P(x + 7) = (x + 4)Q_1(x) \)
\( x = -4 \) verelim.
\( P(-4 + 7) = (-4 + 4)Q_1(-4) \)
\( P(3) = 0 \)
Benzer şekilde \( P(x - 5) \) polinomunun \( x - 3 \) ile bölümü bir polinom ise bu ifadeye kalansız bölünür.
\( x = 3 \Longrightarrow P(-2) = 0 \)
Benzer şekilde \( P(x) \) polinomunun \( x - 1 \) ile bölümü bir polinom ise bu ifadeye kalansız bölünür.
\( x = 1 \Longrightarrow P(1) = 0 \)
\( P(x + 3) \) polinomunun çarpanlarından biri \( x - 2 \) ise \( x = 2 \) polinomun sıfırlarından biridir.
\( x = 2 \Longrightarrow P(5) = 0 \)
Buna göre 4. dereceden \( P(x) \) polinomunun dört sıfırını da biliyor oluruz.
\( P(-2) = P(1) = P(3) = P(5) = 0 \)
Polinomun denklemini aşağıdaki şekilde yazabiliriz.
\( P(x) = a(x - 3)(x + 2)(x - 1)(x - 5) \)
Polinomun başkatsayısını bulmak için \( P(0) = -6 \) değerini kullanalım.
\( P(0) = a(0 - 3)(0 + 2)(0 - 1)(0 - 5) \)
\( -6 = a(-3)(2)(-1)(-5) \)
\( a = \dfrac{1}{5} \)
\( P(x) = \dfrac{1}{5}(x - 3)(x + 2)(x - 1)(x - 5) \)
\( P(8) \) değerini bulmak için \( x = 8 \) yazalım.
\( P(8) = \dfrac{1}{5}(8 - 3)(8 + 2)(8 - 1)(8 - 5) \)
\( = 210 \) bulunur.
\( P(x) = x^5 + ax^2 + bx + c \) polinomu \( (x - 1)^3 \) ile tam bölündüğüne göre, \( abc \) çarpımı kaçtır?
Çözümü GösterBir \( P(x) \) polinomu \( (x - a)^n \) ile tam bölünüyorsa \( x - a \) polinomun \( n \) katlı bir çarpanıdır ve \( x = a \) değeri hem \( P(x) \) polinomunu hem de \( n - 1 \) sayıda türevini sıfır yapar.
\( P(a) = P'(a) = P''(a) = \ldots = P^{n - 1}(a) = 0 \)
Buna göre verilen polinomda \( P(1) = 0 \) eşitliği sağlanır.
\( P(1) = 1 + a + b + c = 0 \)
\( a + b + c = -1 \)
Ek olarak \( P'(1) = 0 \) eşitliği de sağlanır.
\( P'(x) = 5x^4 + 2ax + b = 0 \)
\( P'(1) = 5 + 2a + b = 0 \)
\( 2a + b = -5 \)
Ek olarak \( P''(1) = 0 \) eşitliği de sağlanır.
\( P''(x) = 20x^3 + 2a = 0 \)
\( P''(1) = 20 + 2a = 0 \)
\( a = -10 \)
\( a \) değerini kullanarak diğer bilinmeyen değerlerini bulalım.
\( 2a + b = -5 \Longrightarrow b = 15 \)
\( a + b + c = -1 \Longrightarrow c = -6 \)
\( abc = (-10) \cdot 15 \cdot (-6) = 900 \) bulunur.
6. dereceden bir \( P(x) \) polinomu ile ilgili aşağıdakiler biliniyor.
\( P(-1) = P(0) = P(4) = 5 \)
\( P(x) = 5 \) polinomun en küçük değeri ve \( P(1) = 77 \) olduğuna göre, \( P(3) \) kaça eşittir?
Çözümü Göster\( P(x) \) polinomu verilen üç noktada en küçük değerine ulaşıyorsa \( P(x) - 5 \) polinomunun bu üç noktada çift katlı kökleri vardır (bu noktalarda \( x \) eksenine teğettir).
Buna göre \( P(x) - 5 \) polinomunu aşağıdaki şekilde yazabiliriz.
\( P(x) - 5 = ax^2(x + 1)^2(x - 4)^2 \)
\( P(x) = ax^2(x + 1)^2(x - 4)^2 + 5 \)
\( a \) değerini bulmak için \( P(1) \) değerini kullanalım.
\( P(1) = a(1)^2(1 + 1)^2(1 - 4)^2 + 5 \)
\( 77 = a(1)(4)(9) + 5 \)
\( a = 2 \)
Buna göre \( P(x) \) polinomunun tanımı aşağıdaki gibidir.
\( P(x) = 2x^2(x + 1)^2(x - 4)^2 + 5 \)
\( P(3) \) değerini bulmak için \( x = 3 \) koyalım.
\( P(3) = 2(3)^2(3 + 1)^2(3 - 4)^2 + 5 \)
\( = 293 \) bulunur.