Çarpanlara Ayırma
Çarpanlara ayırma, bir cebirsel ifadenin ya da sayının kendisini oluşturan daha basit bileşenlerin çarpımı şeklinde yazılmasıdır. Çarpanlara ayırma matematiğin hemen her konusunda karşımıza çıktığı için, farklı yöntemlerin iyi anlaşılması ve yeterli işlem becerisine sahip olunması oldukça önemlidir.
Bir ifade farklı amaçlarla çarpanlarına ayrılabilir.
- Bir rasyonel ifadenin pay ve paydasındaki ortak çarpanları belirlemek ve ifadeyi sadeleştirmek
- Bir denklemin ya da eşitsizliğin çözüm kümesini bulmak
- Bir cebirsel ifadeyi sıfır yapan değerleri bulmak
- Fonksiyonların \( x \) ekseni ile ya da birbiri ile kesişim noktalarını bulmak
- Bir rasyonel fonksiyonu basit kesirlerin toplamı şeklinde yazmak
Bir ifadeyi çarpanlarına ayırmak için kullanılabilecek yöntemler aşağıdaki gibidir.
Ortak Çarpan Parantezine Alma
Bir ifadenin her teriminde ortak bazı çarpanlar bulunuyorsa ifade bu çarpanların parantezine alınabilir. Ortak çarpanlar birer sayı (2, 5 gibi), değişken (\( x, y \) gibi) ya da ikisinin çarpımı (\( 2x^2y \) gibi) şeklinde ifadeler olabilir.
Çarpanlarına ayırma işleminde öncelikle bu yönteme başvurulmalıdır, bu şekilde ortak çarpanları sadeleşmiş ifadeye diğer yöntemlerin uygulanması daha kolay olacaktır.
\( 30x^2y + 12xy^2 \) ifadesini çarpanlarına ayıralım.
Terim 1: \( 30x^2y = \textcolor{red}{2} \cdot \textcolor{red}{3} \cdot 5 \cdot \textcolor{red}{x} \cdot x \cdot \textcolor{red}{y} \)
Terim 2: \( 12xy^2 = \textcolor{red}{2} \cdot 2 \cdot \textcolor{red}{3} \cdot \textcolor{red}{x} \cdot y \cdot \textcolor{red}{y} \)
Ortak çarpanlar: \( 2 \cdot 3 \cdot x \cdot y = 6xy \)
\( (6xy)(5x) + (6xy)(2y) = 6xy(5x + 2y) \)
Bu yönteme verilebilecek diğer bazı örnekler aşağıdaki gibidir.
| İfade | Çarpanlar |
|---|---|
| \( 24x - 32z \) | \( 8(3x - 4z) \) |
| \( 24x^2y^4z - 36x^3y^3z^2 \) | \( 12x^2y^3z(2y - 3xz) \) |
| \( \dfrac{x}{ya} + \dfrac{x}{yb} - \dfrac{x}{yc} \) | \( \dfrac{x}{y} \left( \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} - \dfrac{1}{c} \right) \) |
| \( -3 - a \) | \( -1(3 + a) \) |
Gruplara Ayırma
Bazı ifadelerde tüm terimlerin ortak çarpanı yoktur, ancak terimler gruplara ayrılıp ayrı ayrı çarpanlarına ayrıldığında ortak çarpanlar oluşur.
\( x^3 + x^2 + 2x + 2 \) ifadesini çarpanlarına ayıralım.
Terimleri her grup ayrı ayrı çarpanlarına ayrılabilecek şekilde gruplayalım.
\( = (x^3 + x^2) + (2x + 2) \)
Her grubu çarpanlarına ayıralım.
\( = x^2(x + 1) + 2(x + 1) \)
Tüm ifadeyi ortak \( x + 1 \) parantezine alalım.
\( = (x + 1)(x^2 + 2) \)
\( ab + a - 3b - 3 \) ifadesini çarpanlarına ayırın.
Çözümü GösterTerimleri her grup ayrı ayrı çarpanlarına ayrılabilecek şekilde gruplayalım.
\( (ab + a) - (3b + 3) \)
Her grubu çarpanlarına ayıralım.
\( = a(b + 1) - 3(b + 1) \)
Tüm ifadeyi ortak \( b + 1 \) parantezine alalım.
\( = (b + 1)(a - 3) \)
\( ac + ad + bc + bd \) ifadesini çarpanlarına ayırın.
Çözümü GösterTerimleri her grup ayrı ayrı çarpanlarına ayrılabilecek şekilde gruplayalım.
\( (ac + ad) + (bc + bd) \)
Her grubu çarpanlarına ayıralım.
\( = a(c + d) + b(c + d) \)
Tüm ifadeyi ortak \( c + d \) parantezine alalım.
\( = (a + b)(c + d) \)
\( a^2 + b^2 + a^2b^2 + 1 \) ifadesini çarpanlarına ayırın.
Çözümü GösterTerimleri her grup ayrı ayrı çarpanlarına ayrılabilecek şekilde gruplayalım.
\( (a^2b^2 + a^2) + (b^2 + 1) \)
Her grubu çarpanlarına ayıralım.
\( = a^2(b^2 + 1) + (b^2 + 1) \)
Tüm ifadeyi ortak \( b^2 + 1 \) parantezine alalım.
\( = (a^2 + 1)(b^2 + 1) \)
\( 2x^2 - 2y^2 - x - y \) ifadesini çarpanlarına ayırın.
Çözümü GösterTerimleri her grup ayrı ayrı çarpanlarına ayrılabilecek şekilde gruplayalım.
\( (2x^2 - 2y^2) - (x + y) \)
Her grubu çarpanlarına ayıralım.
\( = 2(x - y)(x + y) - (x + y) \)
Tüm ifadeyi ortak \( x + y \) parantezine alalım.
\( = (x + y)(2(x - y) - 1) \)
\( = (x + y)(2x - 2y - 1) \)
\( a^2 - b^2 - 4a - 6b - 5 \) ifadesini çarpanlarına ayırın.
Çözümü GösterÖnce sabit terimi \( -5 = 4 - 9 \) şeklinde yazalım.
\( a^2 - 4a - b^2 - 6b + 4 - 9 \)
Tam kare ifadeye çevrilebilecek terimleri gruplayalım.
\( = (a^2 - 4a + 4) - (b^2 + 6b + 9) \)
\( = (a - 2)^2 - (b + 3)^2 \)
İki kare farkı özdeşliğini kullanalım.
\( = ((a - 2) - (b + 3))((a - 2) + (b + 3)) \)
\( = (a - 2 - b - 3)(a - 2 + b + 3) \)
\( = (a - b - 5)(a + b + 1) \)
\( 3x^3 + 5x^2 - 12x - 20 = 0 \) denkleminin çözüm kümesi nedir?
Çözümü GösterDenklemi gruplara ayırma yöntemi ile çarpanlarına ayıralım.
İlk iki ve son iki terimi ayrı ayrı ortak paranteze alalım.
\( x^2(3x + 5) - 4(3x + 5) = 0 \)
Terimleri \( 3x + 5 \) parantezine alalım.
\( (3x + 5)(x^2 - 4) = 0 \)
\( (3x + 5)(x - 2)(x + 2) = 0 \)
Denklemin kökleri her bir çarpanı sıfır yapan değerlerdir.
\( 3x + 5 = 0 \) ya da \( x - 2 = 0 \) ya da \( x + 2 = 0 \)
\( x = -\frac{5}{3} \) ya da \( x = 2 \) ya da \( x = -2 \)
Çözüm kümesi: \( x \in \{-2, -\frac{5}{3}, 2\} \)
\( x^3 - x^2 - x + 1 = 0 \) denkleminin çözüm kümesi nedir?
Çözümü GösterDenklemi gruplara ayırma yöntemi ile çarpanlarına ayıralım.
İlk iki terimi ortak paranteze alalım.
\( x^2(x - 1) - (x - 1) = 0 \)
Terimleri \( x - 1 \) parantezine alalım.
\( (x - 1)(x^2 - 1) = 0 \)
\( (x - 1)(x - 1)(x + 1) = 0 \)
\( (x - 1)^2(x + 1) = 0 \)
Denklemin kökleri her bir çarpanı sıfır yapan değerlerdir.
\( x - 1 = 0 \) ya da \( x + 1 = 0 \)
\( x = 1 \) ya da \( x = -1 \)
Çözüm kümesi: \( x \in \{-1, 1\} \)
\( a, b \in \mathbb{Z} \) olmak üzere,
\( a + b = ab \) koşulunu sağlayan kaç tane \( (a, b) \) ikilisi vardır?
Çözümü Göster\( a + b - ab = 0 \)
İki taraftan 1 çıkaralım.
\( a + b - ab - 1 = -1 \)
\( b - 1 - ab + a = -1 \)
\( b - 1 - a(b - 1) = -1 \)
\( (1 - a)(b - 1) = -1 \)
\( (a - 1)(b - 1) = 1 \)
\( a \) ve \( b \) tam sayı oldukları için, çarpanlar \( 1 \cdot 1 = 1 \) ya da \( -1 \cdot (-1) = 1 \) olabilir.
Durum 1:
\( 1 \cdot 1 = 1 \)
\( a - 1 = 1 \Longrightarrow a = 2 \)
\( b - 1 = 1 \Longrightarrow b = 2 \)
Durum 2:
\( -1 \cdot (-1) = 1 \)
\( a - 1 = -1 \Longrightarrow a = 0 \)
\( b - 1 = -1 \Longrightarrow b = 0 \)
\( (a, b) \in \{(0, 0), (2, 2)\} \)
Buna göre verilen eşitliği sağlayan 2 tane \( (a, b) \) ikilisi vardır.
\( x, y \in \mathbb{Z^+} \) olmak üzere,
\( x + xy + y = 90 \) olduğuna göre, \( x + y \) toplamı kaçtır?
Çözümü GösterDeğeri verilen ifadeyi çarpanlarına ayırabilmek için eşitliğin iki tarafına 1 ekleyelim.
\( x + xy + y + 1 = 91 \)
\( x(1 + y) + y + 1 = 91 \)
\( x(y + 1) + (y + 1) = 91 \)
\( (x + 1)(y + 1) = 91 \)
\( x \) ve \( y \) pozitif tam sayılar olduğu için \( x + 1 \) ve \( y + 1 \) de pozitif tam sayılardır.
Eşitliğin sağ tarafını asal çarpanlarına ayıralım.
\( (x + 1)(y + 1) = 7 \cdot 13 \)
\( x + 1 \) ve \( y + 1 \) ifadeleri 1 ve 91 olamazlar, çünkü bu durumda \( x \) ya da \( y \)'nin sıfır olması gerekir. Buna göre bu iki ifade sadece 7 ve 13 olabilir.
Hangi ifadenin 7 hangisinin 13 olduğu sonucu değiştirmeyeceği için seçimi rastgele yapalım.
\( x + 1 = 7 \Longrightarrow x = 6 \)
\( y + 1 = 13 \Longrightarrow y = 12 \)
\( x + y = 18 \) olarak bulunur.
\( x,y \in \mathbb{Z^-} \) ve \( x \le y \) olmak üzere,
\( \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = -\dfrac{1}{6} \)
eşitliğini sağlayan kaç farklı \( (x, y) \) ikilisi vardır?
Çözümü Göster\( \dfrac{x + y}{xy} = -\dfrac{1}{6} \)
İçler - dışlar çarpımı yapalım.
\( 6(x + y) = -xy \)
\( xy + 6x + 6y = 0 \)
Eşitliğin iki tarafına 36 ekleyelim.
\( xy + 6x + 6y + 36 = 36 \)
Soldaki ifadeyi gruplara ayırma yöntemiyle çarpanlarına ayıralım.
\( x(y + 6) + 6(y + 6) = 36 \)
\( (x + 6)(y + 6) = 36 \)
\( x \) ve \( y \) negatif sayılar olduğu için, \( x \le y \) olacak şekilde bu eşitlik durumda sağlanır.
Durum 1:
\( (x + 6)(y + 6) = (-36)(-1) \)
\( x = -42, \quad y = -7 \)
Durum 2:
\( (x + 6)(y + 6) = (-18)(-2) \)
\( x = -24, \quad y = -8 \)
Durum 3:
\( (x + 6)(y + 6) = (-12)(-3) \)
\( x = -18, \quad y = -9 \)
Durum 4:
\( (x + 6)(y + 6) = (-9)(-4) \)
\( x = -15, \quad y = -10 \)
Durum 5:
\( (x + 6)(y + 6) = (-6)(-6) \)
\( x = -12, \quad y = -12 \)
\( (x, y) \in \{(-42, -7), (-24, -8), (-18, -9), (-15, -10), (-12, -12)\} \)
Buna göre verilen koşulları sağlayan 5 farklı \( (x, y) \) ikilisi vardır.
Terim Ekleme/Çıkarma
Bazı durumlarda ifadeye bir terim eklenerek ve çıkarılarak ifade diğer yöntemlerle çarpanlarına ayırmaya uygun bir forma getirilebilir.
\( x^4 + x^2 + 1 \) ifadesini çarpanlarına ayıralım.
İfadeye \( x^2 \) ekleyelim ve çıkaralım.
\( = x^4 + x^2 + 1 + (x^2 - x^2) \)
\( = x^4 + 2x^2 + 1 - x^2 \)
İlk üç terimi parantez karesi şeklinde yazalım.
\( = (x^2 + 1)^2 - x^2 \)
Kare farkı özdeşliğini uygulayalım.
\( = (x^2 + 1 - x)(x^2 + 1 + x) \)
\( a^4 + 4 \) ifadesini çarpanlarına ayırın.
Çözümü Gösterİfadeye \( 4a^2 \) ekleyelim ve çıkaralım.
\( a^4 + 4 + (4a^2 - 4a^2) \)
\( = a^4 + 4a^2 + 4 - 4a^2 \)
İlk üç terimi parantez karesi şeklinde yazalım.
\( = (a^2 + 2)^2 - (2a)^2 \)
İki kare farkı özdeşliğini kullanalım.
\( = (a^2 + 2 - 2a)(a^2 + 2 + 2a) \)
\( = (a^2 - 2a + 2)(a^2 + 2a + 2) \)
\( \dfrac{a^4 - 15a^2 + 49}{a^2 + a - 7} = 0 \)
olduğuna göre, \( a^2 - a \) kaçtır?
Çözümü GösterPaydaki ifadeye \( a^2 \) ekleyip çıkaralım.
\( \dfrac{a^4 - 15a^2 + 49 + a^2 - a^2}{a^2 + a - 7} = 0 \)
\( \dfrac{(a^4 - 14a^2 + 49) - a^2}{a^2 + a - 7} = 0 \)
\( \dfrac{(a^2 - 7)^2 - a^2}{a^2 + a - 7} = 0 \)
Paydaki ifade için iki kare farkı özdeşliğini kullanalım.
\( \dfrac{(a^2 - 7 - a)(a^2 - 7 + a)}{a^2 + a - 7} = 0 \)
\( a^2 - a - 7 = 0 \)
\( a^2 - a = 7 \) bulunur.
\( \dfrac{x^4 + 324}{x^2 - 6x + 18} \) ifadesinin en sade halini çarpanlara ayırma yöntemiyle bulunuz.
Çözümü Göster\( x^4 + 324 = x^4 + 18^2 \)
Yukarıdaki ifadeye bir terim ekleyip/çıkarıp ifadeyi tam kareye tamamlayalım.
\( = x^4 + 18^2 + 36x^2 - 36x^2 = (x^4 + 36x^2 + 18^2) - 36x^2 \)
\( = (x^2 + 18)^2 - 36x^2 \)
İki kare farkı özdeşliğini kullanalım.
\( = (x^2 + 18 - 6x)(x^2 + 18 + 6x) \)
\( = (x^2 - 6x + 18)(x^2 + 6x + 18) \)
Verilen bölme işlemini yapalım.
\( \dfrac{x^4 + 324}{x^2 - 6x + 18} = \dfrac{(x^2 - 6x + 18)(x^2 + 6x + 18)}{x^2 - 6x + 18} \)
\( = x^2 + 6x + 18 \) bulunur.
Özdeşlikler
İfadenin bütünü ya da bir kısmı standart özdeşliklerin açılımlarından birine uyuyorsa ya da benzetilebiliyorsa ifade o özdeşliğin kapalı formuna çevrilebilir.
Parantez Karesi/Küpü Özdeşlikleri
\( x^2 + 2xy + y^2 = (x + y)^2 \)
\( x^2 - 2xy + y^2 = (x - y)^2 \)
\( x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3 = (x + y)^3 \)
\( x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3 = (x - y)^3 \)
Kare/Küp Farkı/Toplamı Özdeşlikleri
\( x^2 - y^2 = (x - y)(x + y) \)
\( x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2) \)
\( x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2) \)
Özdeşliklerle ilgili daha fazla bilgi için özdeşlikler ve özdeşliklerin farklı kombinasyonları bölümlerini inceleyebilirsiniz.
Üç Terimli İfadeler
Üç terimli ifadeleri çarpanlarına ayırmakta kullanılabilecek yöntemi önümüzdeki bölümde detaylandıracağız.
Üç terimli ifadeler genellikle \( ax^2 + bx + c \) şeklinde ikinci dereceden bir bilinmeyenli polinomlar şeklinde olsa da, bu yöntem aşağıda örnekleri verilen diğer üç terimli ifadelerde de kullanılabilir.
| Üç Terimli İfade | Çarpanlar |
|---|---|
| \( x^6 + 2x^3 - 15 \) | \( (x^3 + 5)(x^3 - 3) \) |
| \( 2x^2 - 3xy - 2y^2 \) | \( (2x + y)(x - 2y) \) |
| \( \tan^2{x} - \tan{x} - 6 \) | \( (\tan{x} + 2)(\tan{x} - 3) \) |
Polinom Bölmesi
Çarpan teoremine göre, bir \( a \) değeri bir polinomu sıfır yapıyorsa \( x - a \) ifadesi bu polinomun bir çarpanıdır. Başka bir yöntemle polinomun çarpanlarına ayrılamadığı durumlarda, polinom bölmesi yöntemiyle polinom \( x - a \) çarpanına bölünerek polinomun diğer çarpanı bulunabilir ve bu daha düşük dereceli polinom çarpanlarına daha kolay şekilde ayrılabilir.
\( P(x) = 6x^3 - 5x^2 - 3x + 2 \)
Diğer yöntemlerle polinomu çarpanlarına ayıramadığımızı varsayalım.
\( P(1) = 6(1)^3 - 5(1)^2 - 3(1) + 2 = 0 \)
\( x = 1 \) verdiğimizde polinom değeri 0 olduğu için çarpan teoremine göre \( (x - 1) \) polinomun bir çarpanıdır.
\( P(x) = (x - 1) \cdot Q(x) \)
Polinom bölmesi ile polinomun diğer çarpanını bulalım.
\( P(x) = (x - 1)(6x^2 + x - 2) \)
2. dereceden diğer çarpanı daha kolay şekilde çarpanlarına ayırabiliriz.
\( P(x) = (x - 1)(2x - 1)(3x + 2) \)
Polinom bölmesi yönteminin detayları için polinomlarda bölme işlemi sayfasını inceleyebilirsiniz.
\( P(x) = x^4 - x^3 - x^2 - x - 2 \) polinomunu çarpanlarına ayırın.
Çözümü GösterDiğer yöntemlerle çarpanlarına ayıramadığımız durumda bu polinomun köklerinden birini tahmin etmeyi deneyebiliriz.
Örneğin \( x = 1 \) için polinom değerini hesaplayalım.
\( P(1) = 1^4 - 1^3 - 1^2 - 1 - 2 = -4 \)Sonuç \( -4 \) olduğu için \( x = 1 \) polinomun bir kökü değildir.
\( x = -1 \) için polinom değerini hesaplayalım.
\( P(-1) = (-1)^4 - (-1)^3 - (-1)^2 - (-1) - 2 = 0 \)Sonuç \( 0 \) olduğu için \( x = -1 \) polinomun bir köküdür, dolayısıyla \( x + 1 \) polinomun bir çarpanıdır.
Polinomu \( x + 1 \)'e polinom bölmesi ile böldüğümüzde diğer çarpanı \( x^3 - 2x^2 + x - 2 \) olarak buluruz.
\( P(x) = (x + 1)(x^3 - 2x^2 + x - 2) \)Bulduğumuz ikinci çarpanı gruplara ayırma yöntemiyle çarpanlarına ayırabiliriz.
\( x^3 - 2x^2 + x - 2 = x^2(x - 2) + (x - 2) \) \( = (x - 2)(x^2 + 1) \)Buna göre polinomun çarpanlarına ayrılmış şekli aşağıdaki gibidir.
\( P(x) = (x + 1)(x - 2)(x^2 + 1) \)Rasyonel Kök Teoremi
Çarpanlarına ayrılmak istenen ifade tek değişkenli ve tüm katsayıları birer tam sayı olan bir polinom ise rasyonel kök teoremi kullanılarak polinomun rasyonel olan kökleri için polinomun çarpanları bulunabilir.
Bu yöntemin detayları için rasyonel kök teoremi sayfasını inceleyebilirsiniz.
Hangi reel sayı \( \sqrt{5} - \sqrt{10} \) ile çarpıldığında \( 2\sqrt{10} - 4\sqrt{5} \) elde edilir?
Çözümü GösterHer iki ifadeyi ortak çarpan parantezine alalım.
\( \sqrt{5} - \sqrt{10} = \sqrt{5}(1 - \sqrt{2}) \)
\( 2\sqrt{10} - 4\sqrt{5} = 2\sqrt{10} - 2\sqrt{20} \)
\( = 2\sqrt{10}(1 - \sqrt{2}) \)
İstenen reel sayıya \( k \) diyelim.
\( \sqrt{5}(1 - \sqrt{2}) \cdot k = 2\sqrt{10}(1 - \sqrt{2}) \)
\( k = \dfrac{2\sqrt{10}(1 - \sqrt{2})}{\sqrt{5}(1 - \sqrt{2})} = 2\sqrt{2} \) bulunur.
\( 4x^2 + 9y^2 - 12xy - 9y + 6x - 10 \) ifadesini çarpanlarına ayırın.
Çözümü Gösterİfadeyi düzenleyelim.
\( 4x^2 - 12xy + 9y^2 + 6x - 9y - 10 \)
\( = (2x)^2 - 12xy + (3y)^2 + 3(2x - 3y) - 10 \)
\( = (2x - 3y)^2 + 3(2x - 3y) - 10 \)
\( (2x - 3y) \) ifadesini tek bir değişken olarak düşünerek tüm ifadeyi üç terimli bir ifade olarak çarpanlarına ayıralım.
\( = [(2x - 3y) + 5][(2x - 3y) - 2] \)
\( = (2x - 3y + 5)(2x - 3y - 2) \)
\( x^4 - 7x^2 - y^2 + 2x + 2y - 2xy + 8 \) ifadesinin çarpanlarına ayrılmış hali nedir?
Çözümü Gösterİfadedeki terimleri aşağıdaki şekilde terimlere ayıralım.
\( -7x^2 = -6x^2 - x^2 \)
\( 8 = 9 - 1 \)
\( x^4 - 6x^2 - x^2 - y^2 + 2x + 2y - 2xy + 9 - 1 \)
Terimlerin sırasını düzenleyelim.
\( = (x^4 - 6x^2 + 9) - (x^2 + y^2 + 1 + 2xy - 2x - 2y) \)
\( = (x^2 - 3)^2 - (x + y - 1)^2 \)
İki kare farkı özdeşliğini kullanalım.
\( = [(x^2 - 3) - (x + y - 1)][(x^2 - 3) + (x + y - 1)] \)
\( = (x^2 - x - y - 2)(x^2 + x + y - 4) \) bulunur.