Polinomlarda Bölme İşlemi
Polinomlar arasında toplama, çıkarma ve çarpma işlemi yapılabildiği gibi bölme işlemi de yapılabilir. Sayılar arasındaki bölme işlemine benzer şekilde, polinom bölme işleminde de bölünen ve bölen, işlemin sonucu olan bölüm ve bölme işlemi kalansız olmuyorsa kalan vardır. Polinom bölme işleminde bu dört terim de birer polinomdur.
Sayılar arasındaki bölme işleminde olduğu gibi, bölünen polinom bölen ve bölüm polinomlarının çarpımı ile kalan polinomunun toplamı şeklinde yazılabilir.
\( B(x) \ne 0 \) olmak üzere,
\( P(x) = B(x)Q(x) + K(x) \)
\( 2x^2 + 5x - 6 = (x - 3)(2x + 11) + 27 \)
Yukarıdaki eşitlikte tüm terimler \( B(x) \) polinomuna bölündüğünde aşağıdaki eşitlik elde edilir. Buna göre \( P(x) \) polinomu \( B(x) \) polinomuna bölündüğünde bölüm \( Q(x) \) polinomu, tam bölünemeyen (kalan) kısım da \( K(x) \) polinomu olur.
\( \dfrac{P(x)}{B(x)} = Q(x) + \dfrac{K(x)}{B(x)} \)
\( \dfrac{2x^2 + 5x - 6}{x - 3} = 2x + 11 + \dfrac{27}{x - 3} \)
Bu dört polinomun dereceleri arasında aşağıdaki iki ilişki vardır.
\( der[Q] = der[P] - der[B] \)
\( der[K] \lt der[B] \)
Örnek olarak, 5. dereceden bir polinom 3. dereceden bir polinoma bölündüğünde sonuç 2. dereceden bir polinom olur. İşlem kalanlı bir bölme ise kalan polinomunun derecesi 3'ten küçük olmak zorundadır, çünkü derecenin 3 ya da daha büyük olması kalan polinomunun bölen polinomuna bir kez daha bölünebilmesi anlamına gelecektir.
Kalan polinomunun derecesi bölüm polinomunun derecesinden küçükse işlemde \( B(x) \) ile \( Q(x) \)'in yer değiştirmesi kalanı değiştirmez.
\( \dfrac{2x^2 + 5x - 6}{\textcolor{red}{x - 3}} = \textcolor{blue}{2x + 11} + \dfrac{27}{\textcolor{red}{x - 3}} \)
\( \dfrac{2x^2 + 5x - 6}{\textcolor{blue}{2x + 11}} = \textcolor{red}{x - 3} + \dfrac{27}{\textcolor{blue}{2x + 11}} \)
\( K(x) = 0 \) olması \( P(x) \) polinomunun \( B(x) \) polinomuna tam bölünüyor olması anlamına gelir, bu da \( B(x) \) ve \( Q(x) \) polinomlarının \( P(x) \) polinomunun birer çarpanı olduğu anlamına gelir.
\( K(x) = 0 \) ise,
\( P(x) = B(x)Q(x) \)
\( \dfrac{x^2 - 9}{x - 3} = x + 3 \)
\( P(x) \) polinomu \( 2x + 5 \) ile bölündüğünde bölüm \( 2x^3 - 2 \) ve kalan \( x - 2 \) olduğuna göre, \( P(x) \) polinomunu bulunuz.
Çözümü GösterPolinom bölme işleminde bölünen polinom, bölen ve bölüm polinomlarının çarpımı ile kalan polinomunun toplamına eşittir.
\( P(x) = B(x)Q(x) + K(x) \)
\( P(x) = (2x + 5)(2x^3 - 2) + (x - 2) \)
Parantez içindeki ifadeleri genişletelim.
\( = 4x^4 - 4x + 10x^3 - 10 + x - 2 \)
\( = 4x^4 + 10x^3 - 3x - 12 \)
\( P(x) \) polinomu \( x^2 - 3 \) ile bölündüğünde bölüm \(x^3 + 1 \) ve kalan \( 3x + 2 \) olduğuna göre, \( P(x) \) polinomunu bulunuz.
Çözümü GösterPolinom bölme işleminde bölünen polinom, bölen ve bölüm polinomlarının çarpımı ile kalan polinomunun toplamına eşittir.
\( P(x) = B(x)Q(x) + K(x) \)
\( P(x) = (x^2 - 3)(x^3 + 1) + (3x + 2) \)
Parantez içindeki ifadeleri genişletelim.
\( = x^5 + x^2 - 3x^3 - 3 + 3x + 2 \)
\( = x^5 - 3x^3 + x^2 + 3x - 1 \)
Polinom Bölme Yöntemleri
Polinomlar arası bölme işleminde aşağıdaki yöntemler kullanılır.
Çarpanlara Ayırma ve Sadeleştirme
Bölünen ve bölen polinomları çarpanlarına ayrıldığında bölen polinomunun tüm çarpanları bölünen polinomunun içinde mevcutsa bu çarpanlar sadeleştirilerek kalansız bir şekilde bölme işlemi gerçekleştirilebilir.
\( P(x) = 2x^3 + 2x^2 - 12x \) polinomunu \( B(x) = x^2 - 2x \) polinomuna bölelim.
\( \dfrac{P(x)}{B(x)} = \dfrac{2x^3 + 2x^2 - 12x}{x^2 - 2x} \)
Her iki polinomu çarpanlarına ayıralım.
\( = \dfrac{2x(x + 3)(x - 2)}{x(x - 2)} \)
Ortak çarpanları sadeleştirelim.
\( = \dfrac{2\ \cancel{x}\ (x + 3)\ \cancel{(x - 2)}}{\cancel{x}\ \cancel{(x - 2)}} \)
Paydadaki bölen polinomunun tüm çarpanları sadeleştiği için bölme işlemi kalansızdır ve bulduğumuz sonuç bölüm polinomunu verir.
\( = 2(x + 3) = Q(x) \)
Polinom Bölmesi
Bu yöntemi önümüzdeki polinom bölmesi sayfasında inceleyeceğiz.
Horner Yöntemi
Bu yöntemi önümüzdeki Horner yöntemi sayfasında inceleyeceğiz.
\( P(x) = (x + 1) + (x + 2) + \ldots + (x + 20) \) polinomunun \( Q(x) = (x + 1) + (x + 2) + \ldots + (x + 10) \) polinomuna bölümünden kalan kaçtır?
Çözümü Göster\( P(x) = (x + 1) + (x + 2) + \ldots + (x + 20) \)
\( = 20x + (1 + 2 + \ldots + 20) \)
\( = 20x + \dfrac{20 \cdot 21}{2} \)
\( = 20x + 210 \)
\( Q(x) = (x + 1) + (x + 2) + \ldots + (x + 10) \)
\( = 10x + (1 + 2 + \ldots + 10) \)
\( = 10x + \dfrac{10 \cdot 11}{2} \)
\( = 10x + 55 \)
\( \dfrac{P(x)}{Q(x)} = \dfrac{20x + 210}{10x + 55} \)
\( = \dfrac{2(10x + 55) + 100}{10x + 55} \)
\( = 2 + \dfrac{100}{10x + 55} \)
Buna göre bölme işleminde kalan polinomu \( 100 \) olur.
\( P(x) \) polinomu \( x^2 + x - 12 \) ile bölündüğünde bölüm \( Q(x) \) ve kalan \( 2x + 1 \) olduğuna göre,
\( P(x) \) polinomunun \( x - 3 \) ile bölümünde kalan nedir?
Çözümü GösterSoruda verilen bölme işlemini yazalım.
\( P(x) = (x^2 + x - 12)Q(x) + 2x + 1 \)
Bölen polinomunu çarpanlarına ayıralım.
\( P(x) = (x - 3)(x + 4)Q(x) + 2x + 1 \)
Eşitliğin taraflarını \( x - 3 \)'e bölelim.
\( \dfrac{P(x)}{x - 3} = (x + 4)Q(x) + \dfrac{2x + 1}{x - 3} \)
Kalan polinomu içinde \( x - 3 \) polinomu iki kez vardır.
\( = (x + 4)Q(x) + \dfrac{2(x - 3)}{x - 3} + \dfrac{7}{x - 3} \)
\( = [(x + 4)Q(x) + 2] + \dfrac{7}{x - 3} \)
Buna göre \( P(x) \) polinomunun \( x - 3 \) polinomuna bölme işleminde bölüm \( (x + 4)Q(x) + 2 \) ve kalan \( 7 \) olur.
\( a, c \in \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( x^4 + ax^2 + 18x + c \) polinomu \( x^2 + 3x + 1 \) polinomuna kalansız bölündüğüne göre, \( a + c \) toplamı kaçtır?
Çözümü Göster\( q, p \in \mathbb{R} \) olmak üzere,
Verilen dördüncü dereceden polinomun diğer çarpanına \( x^2 + qx + p \) diyelim. Dördüncü dereceden polinomun ve verilen birinci çarpanın başkatsayıları 1 olduğu için ikinci çarpanın başkatsayısı da 1 olmalıdır.
Bu durumda dördüncü dereceden polinomu bu iki polinomun çarpımı şeklinde ifade edebiliriz.
\( x^4 + ax^2 + 18x + c = (x^2 + 3x + 1)(x^2 + qx + p) \)
Eşitliğin sağ tarafını genişletelim.
\( = x^4 + (q + 3)x^3 + (p + 3q + 1)x^2 + (3p + q)x + p \)
İki polinomun eşitliğinde aynı dereceli terimlerin katsayıları birbirine eşit olur.
\( x^3 \)'lü terimlerin katsayılarını eşitleyelim.
\( q + 3 = 0 \Longrightarrow q = -3 \)
\( x \)'li terimlerin katsayılarını eşitleyelim.
\( 3p + q = 18 \)
\( 3p + (-3) = 18 \Longrightarrow p = 7 \)
İki polinomun çarpımını alıp verilen dördüncü dereceden polinoma eşitleyelim.
\( (x^2 + 3x + 1)(x^2 - 3x + 7) = x^4 - x^2 + 18x + 7 \)
\( a = -1, \quad c = 7 \)
\( a + c = -1 + 7 = 6 \) bulunur.
\( n \in \mathbb{Z^+} \) olmak üzere,
\( (n + 6)^2 \) ifadesi \( n + 3 \) ifadesine kalansız bölündüğüne göre, \( n \) sayısı kaça eşittir?
Çözümü Gösterİki ifade arasında polinom bölmesi yapalım.
\( (n + 6)^2 = (n + 3)(n + 9) + 9 \)
\( \dfrac{(n + 6)^2}{n + 3} = (n + 9) + \dfrac{9}{n + 3} \)
Buna göre \( n + 3 \) ifadesi 9'u kalansız bölmelidir.
9'un pozitif bölenleri \( \{1, 3, 9\} \) sayılarıdır.
\( n \in \mathbb{Z^+} \) olduğu için \( n = 6 \) olarak bulunur.
\( P(x) \) birinci dereceden bir polinomdur.
\( P(2x + 3) \) polinomunun \( P(x) \) polinomu ile bölümünden elde edilen bölüm ve kalanın çarpımı 12'dir.
\( P(-1) = 4 \) olduğuna göre, \( P(5) \) kaçtır?
Çözümü GösterDerece işlem kurallarına göre \( P(x) \) ve \( P(2x + 3) \) polinomlarının dereceleri aynıdır.
Birinci dereceden \( P(x) \) polinomunu aşağıdaki gibi yazalım.
\( P(x) = ax + b \)
\( P(2x + 3) = a(2x + 3) + b = 2ax + 3a + b \)
\( P(2x + 3) \) polinomunu \( P(x) \) cinsinden yazalım.
\( P(2x + 3) = 2(ax + b) + 3a - b \)
\( P(2x + 3) = P(x) \cdot 2 + 3a - b \)
Buna göre \( P(2x + 3) \) polinomunun \( P(x) \) polinomuna bölümünde bölüm 2, kalan \( 3a - b \) olur.
Bu işlemde bölüm ve kalanın çarpımı 12 olarak veriliyor.
\( 2 \cdot (3a - b) = 12 \)
\( 3a - b = 6 \)
\( P(-1) \) değerini bulalım.
\( P(-1) = a(-1) + b = 4 \)
\( b - a = 4 \)
İki denklemi ortak çözdüğümüzde aşağıdaki değerleri buluruz.
\( a = 5, \quad b = 9 \)
\( P(x) \) polinom tanımı aşağıdaki gibi olur.
\( P(x) = 5x + 9 \)
\( P(5) = 5(5) + 9 = 34 \) bulunur.
\( P(x) \) polinomunun \( x^2 - 6x + 9 \) ile bölümünde bölüm \( Q(x) \) polinomu, kalan \( x - 10 \) polinomudur.
\( Q(x) \) polinomunun \( x + 6 \) ile bölümünden kalan 3, \( P(x) \) polinomunun \( x^3 - 27x + 54 \) ile bölümünden kalan \( K(x) \) polinomu olduğuna göre, \( K(-2) \) kaçtır?
Çözümü GösterVerilen birinci bölme işlemini yazalım.
\( P(x) = (x^2 - 6x + 9)Q(x) + x - 10 \)
Verilen ikinci bölme işlemini yazalım.
\( Q(x) = (x + 6)S(x) + 3 \)
\( Q(x) \) polinomunu birinci bölme işleminde yerine yazalım.
\( P(x) = (x^2 - 6x + 9)[(x + 6)S(x) + 3] + x - 10 \)
\( = (x^2 - 6x + 9)(x + 6)S(x) + (x^2 - 6x + 9) \cdot 3 + x - 10 \)
\( = (x^3 - 27x + 54)S(x) + 3x^2 - 17x + 17 \)
Kalan polinomunun derecesi (\( 3x^2 - 17x + 17 \)) bölen polinomunun derecesinden (\( x^3 - 27x + 54 \)) küçük olduğu için, elde ettiğimiz bu işlem \( P(x) \) polinomunun \( x^3 - 27x + 54 \) ile bölme işlemidir, dolayısıyla bölme işleminin kalanı aşağıdaki gibi olur.
\( K(x) = 3x^2 - 17x + 17 \)
\( K(-2) = 3(-2)^2 - 17(-2) + 17 = 63 \) bulunur.
\( P(x) = (x^6 - 2x^5 + 3x^4 + x^3 - 4x^2 + 2x + 1)^3 \) polinomunun açılımındaki çift dereceli terimlerden \( S(x) \) polinomu oluşturuluyor.
Buna göre \( S(x) \) polinomunun \( x^2 - 1 \) ile bölümünden kalan kaçtır?
Çözümü GösterBir \( P(x) \) polinomunun çift dereceli terimlerinden oluşan polinom aşağıdaki formülle elde edilebilir. Bu formülde \( P(x) \) ve \( P(-x) \) polinomlarındaki tek dereceli terimler birbirini yok eder.
\( S(x) = \dfrac{P(x) + P(-x)}{2} \)
Soruda verilen bölme işlemini yazalım.
Bölme işleminde bölen polinomu ikinci dereceden olduğu için kalan polinomu en fazla birinci dereceden olabilir.
\( S(x) = (x^2 - 1)Q(x) + ax + b \)
Kalanı bulmak için \( S(x) \) denkleminde \( x = 1 \) ve \( x = -1 \) değerlerini verelim.
\( S(1) = (1^2 - 1)Q(1) + a(1) + b = a + b \)
\( S(-1) = ((-1)^2 - 1)Q(1) + a(-1) + b = -a + b \)
\( S(x) \) yalnızca çift dereceli terimlerden oluştuğu için \( S(1) = S(-1) \) eşitliği sağlanır.
\( a + b = -a + b \)
\( a = 0 \)
Bu durumda kalan polinomu \( b \) olup sabit sayıdır.
\( S(1) = \dfrac{P(1) + P(-1)}{2} \)
\( P(1) = (1^6 - 2(1)^5 + 3(1)^4 + 1^3 - 4(1)^2 + 2(1) + 1)^3 \)
\( = 2^3 = 8 \)
\( P(-1) = ((-1)^6 - 2(-1)^5 + 3(-1)^4 - 1^3 - 4(-1)^2 + 2(-1) + 1)^3 \)
\( = 0^3 = 0 \)
\( S(1) = \dfrac{P(1) + P(-1)}{2} = \dfrac{8 + 0}{2} = 4 \)
\( S(1) = a + b = 4 \)
\( 0 + b = 4 \)
\( b = 4 \)
\( S(x) \) polinomunun \( x^2 - 1 \) ile bölümünden kalan 4 olarak bulunur.