Basit (Kısmi) Kesirlere Ayırma
Konu tekrarı için: Polinomlarda Bölme İşlemi
İki ya da daha fazla rasyonel ifadenin toplamını tek bir ifade şeklinde yazmak istediğimizde paydaları eşitleyerek ve payları toplayarak bunu gerçekleştirebiliriz.
\( \dfrac{-5}{x + 1} + \dfrac{3}{x + 3} + \dfrac{2}{x - 2} \)
\( = \dfrac{-5(x + 3)(x - 2)}{(x + 1)(x + 3)(x - 2)} \) \( + \dfrac{3(x + 1)(x - 2)}{(x + 1)(x + 3)(x - 2)} \) \( + \dfrac{2(x + 1)(x + 3)}{(x + 1)(x + 3)(x - 2)} \)
\( = \dfrac{30}{(x + 1)(x + 3)(x - 2)} \)
Basit (ya da kısmi) kesirlere ayırma yöntemi yukarıdaki işlemin tersini gerçekleştirmek, yani bir rasyonel ifadeyi basit kesirlerin toplamı şeklinde yazmak istediğimizde kullanabileceğimiz bir yöntemdir.
Basit Kesirlere Ayırma Yöntemi
Pay ve paydası birer polinom olan bir rasyonel ifadeyi basit kesirlerin toplamı şeklinde yazmak istiyor olalım.
\( P(x) \) ve \( Q(x) \) birer polinom olmak üzere,
\( R(x) = \dfrac{P(x)}{Q(x)} \)
Bu yöntemin uygulanışını üzerinde göstereceğimiz iki rasyonel ifade tanımlayalım.
\( \dfrac{5x + 3}{x^2 + 2x - 3} \) ifadesini basit kesirlerin toplamı şeklinde yazalım.
\( \dfrac{2x^4 - 7x^3 + 6x^2 + 4x - 4}{x^3 - 4x^2 + 4x} \) ifadesini basit kesirlerin toplamı şeklinde yazalım.
Buna göre basit kesirlere ayırma yöntemi aşağıdaki adımlardan oluşur.
Adım 1: Polinom Bölmesi
Basit kesirlere ayırma yöntemini kullanabilmemiz için rasyonel ifadenin payının derecesi paydasının derecesinden küçük olmalıdır.
\( R(x) = \dfrac{P(x)}{Q(x)} \) ifadesinde
\( der[P(x)] \lt der[Q(x)] \) ise,
yöntem \( \frac{P(x)}{Q(x)} \) ifadesine uygulanır.
Verilen ifade bu koşulu sağlamıyorsa pay ve payda arasında polinom bölmesi yapılarak paydaki ifade içindeki paydanın katları ayrılır ve ifade istenen koşulu sağlayacak forma getirilir.
\( der[P(x)] \ge der[Q(x)] \) ise,
\( P(x) \) ve \( Q(x) \) arasında polinom bölmesi işlemi yapılır ve ifade aşağıdaki forma getirilir.
\( der[P_1(x)] \lt der[Q(x)] \) olmak üzere,
\( R(x) = S(x) + \dfrac{P_1(x)}{Q(x)} \)
Sonrasında yöntem \( \frac{P_1(x)}{Q(x)} \) ifadesine uygulanır.
Yukarıda tanımladığımız iki örneğe bu adımı uygulayalım.
\( der[5x + 3] = 1 \)
\( der[x^2 + 2x - 3] = 2 \)
Payın derecesi paydanın derecesinden küçük olduğu için polinom bölmesine gerek kalmadan basit kesirlere ayırma yöntemini verilen ifadeye uygulayabiliriz.
\( der[2x^4 - 7x^3 + 6x^2 + 4x - 4] = 4 \)
\( der[x^3 - 4x^2 + 4x] = 3 \)
Payın derecesi paydanın derecesinden küçük olmadığı için polinom bölmesi ile ifadeyi bu koşulu sağlayacak forma getirelim.
\( \dfrac{2x^4 - 7x^3 + 6x^2 + 4x - 4}{x^3 - 4x^2 + 4x} \) \( = 2x + 1 \) \( + \dfrac{2x^2 - 4}{x^3 - 4x^2 + 4x} \)
Buna göre basit kesirlere ayırma yöntemini polinom bölmesi sonucunda elde ettiğimiz \( \frac{2x^2 - 4}{x^3 - 4x^2 + 4x} \) ifadesine uygulayabiliriz.
Adım 2: Paydayı Çarpanlarına Ayırma
Bu adımda rasyonel ifadenin paydası daha fazla çarpanlarına ayrılamayacak şekilde birinci ve ikinci dereceden, her biri reel katsayılı ve tek ya da çok katlı çarpanlarına ayrılır. İkinci dereceden bir polinomun reel katsayılı çarpanlarına ayrılamayacağından emin olmak için deltasının (diskriminantının) sıfırdan küçük olduğu kontrol edilebilir.
Buna göre, paydadaki (ya da herhangi bir reel katsayılı) polinom aşağıdaki dört tipteki reel katsayılı polinomların çarpımı şeklinde yazılabilir.
| Çarpan Tipi | Açıklama |
|---|---|
| \( ax + b \) | Birinci dereceden tek katlı çarpan |
| \( (ax + b)^n \) | Birinci dereceden \( n \) katlı çarpan |
| \( ax^2 + bx + c \) |
\( \Delta = b^2 - 4ac \lt 0 \) olmak üzere, İkinci dereceden tek katlı çarpan |
| \( (ax^2 + bx + c)^n \) |
\( \Delta = b^2 - 4ac \lt 0 \) olmak üzere, İkinci dereceden \( n \) katlı çarpan |
Yukarıda tanımladığımız iki örneğe bu adımı uygulayalım.
Paydadaki ifadeyi çarpanlarına ayıralım.
\( x^2 + 2x - 3 = (x + 3)(x - 1) \)
\( \dfrac{5x + 3}{x^2 + 2x - 3} \) \( = \dfrac{5x + 3}{(x + 3)(x - 1)} \)
Paydadaki ifadeyi çarpanlarına ayıralım.
\( x^3 - 4x^2 + 4x = x(x - 2)^2 \)
\( \dfrac{2x^2 - 4}{x^3 - 4x^2 + 4x} \) \( = \dfrac{2x^2 - 4}{x(x - 2)^2} \)
Adım 3: Basit Kesirlere Ayırma
Bu adımda rasyonel ifade basit kesirlerin toplamı şeklinde ve her kesrin payı değerlerini bulmak istediğimiz bilinmeyenlerden oluşacak şekilde yazılır.
Bir polinomun yukarıda tanımladığımız dört tipteki çarpanının her biri için eklememiz gereken basit kesirler aşağıdaki gibidir. Buna göre, her tek katlı çarpan için bir basit kesir eklerken, her \( n \) katlı çarpan için her birinde çarpanın kuvveti birer artacak şekilde \( n \) basit kesir eklenir.
| Çarpan Tipi | Basit Kesirler |
|---|---|
| \( ax + b \) | \( \dfrac{A}{ax + b} \) |
| \( (ax + b)^n \) | \( \dfrac{A_1}{ax + b} + \dfrac{A_2}{(ax + b)^2} + \ldots + \dfrac{A_n}{(ax + b)^n} \) |
| \( ax^2 + bx + c \) | \( \dfrac{Ax + B}{ax^2 + bx + c} \) |
| \( (ax^2 + bx + c)^n \) | \( \dfrac{A_1x + B_1}{ax^2 + bx + c} + \dfrac{A_2x + B_2}{(ax^2 + bx + c)^2} + \ldots + \dfrac{A_nx + B_n}{(ax^2 + bx + c)^n} \) |
Yukarıda tanımladığımız iki örneğe bu adımı uygulayalım.
\( \dfrac{5x + 3}{(x + 3)(x - 1)} \)
Paydanın çarpan tiplerine göre ifadeyi basit kesirlerin toplamı şeklinde yazalım.
\( = \dfrac{A}{x + 3} + \dfrac{B}{x - 1} \)
\( \dfrac{2x^2 - 4}{x(x - 2)^2} \)
Paydanın çarpan tiplerine göre ifadeyi basit kesirlerin toplamı şeklinde yazalım.
\( = \dfrac{A}{x} + \dfrac{B}{x - 2} + \dfrac{C}{(x - 2)^2} \)
Adım 4: Bilinmeyen Değerleri Bulma
Bu adımda denklem çözüm yöntemleri ve polinomların eşitliğinde aynı dereceli terimlerin katsayılarının eşitliği kuralı kullanılarak bilinmeyenlerin değerleri bulunur.
Yukarıda tanımladığımız iki örneğe bu adımı uygulayalım.
\( \dfrac{5x + 3}{(x + 3)(x - 1)} \) \( = \dfrac{A}{x + 3} + \dfrac{B}{x - 1} \)
Kesirlerin paydalarını eşitleyelim.
\( = \dfrac{A(x - 1)}{(x + 3)(x - 1)} + \dfrac{B(x + 3)}{(x + 3)(x - 1)} \)
\( = \dfrac{A(x - 1) + B(x + 3)}{(x + 3)(x - 1)} \)
Rasyonel ifade ile basit kesirlere ayrılmış halinin paydalarını eşitlediğimiz için paylarını da eşitleyebiliriz.
\( 5x + 3 = A(x - 1) + B(x + 3) \)
Bilinmeyen değerleri bulmak için \( x \)'e değer verelim.
\( A \)'lı terimi sıfırlamak için \( x = 1 \) verelim.
\( 5(1) + 3 = A(1 - 1) + B(1 + 3) \)
\( 8 = A(0) + B(4) \)
\( B = 2 \)
\( B \)'li terimi sıfırlamak için \( x = -3 \) verelim.
\( 5(-3) + 3 = A(-3 - 1) + B(-3 + 3) \)
\( -12 = A(-4) + B(0) \)
\( A = 3 \)
Buna göre rasyonel ifadenin basit kesirlere ayrılmış hali aşağıdaki gibi olur.
\( \dfrac{5x + 3}{x^2 + 2x - 3} \) \( = \dfrac{A}{x + 3} + \dfrac{B}{x - 1} \)
\( = \dfrac{3}{x + 3} + \dfrac{2}{x - 1} \)
\( \dfrac{2x^2 - 4}{x(x - 2)^2} \) \( = \dfrac{A}{x} + \dfrac{B}{x - 2} + \dfrac{C}{(x - 2)^2} \)
Kesirlerin paydalarını eşitleyelim.
\( = \dfrac{A(x - 2)^2}{x(x - 2)^2} + \dfrac{Bx(x - 2)}{x(x - 2)^2} + \dfrac{Cx}{x(x - 2)^2} \)
\( = \dfrac{A(x - 2)^2 + Bx(x - 2) + Cx}{x(x - 2)^2} \)
Rasyonel ifade ile basit kesirlere ayrılmış halinin paydalarını eşitlediğimiz için paylarını da eşitleyebiliriz.
\( 2x^2 - 4 = A(x - 2)^2 + Bx(x - 2) + Cx \)
Bilinmeyen değerleri bulmak için \( x \)'e değer verelim.
\( A \)'lı ve \( B \)'li terimleri sıfırlamak için \( x = 2 \) verelim.
\( 2(2)^2 - 4 = A(2 - 2)^2 + B(2)(2 - 2) + C(2) \)
\( 4 = A(0) + B(2)(0) + C(2) \)
\( C = 2 \)
\( B \)'li ve \( C \)'li terimleri sıfırlamak için \( x = 0 \) verelim.
\( 2(0)^2 - 4 = A(0 - 2)^2 + B(0)(0 - 2) + C(0) \)
\( -4 = A(4) + B(0)(-2) + C(0) \)
\( A = -1 \)
Birbirine eşit iki polinomun aynı dereceli terimlerinin katsayıları birbirine eşit olur.
\( B \) değerini bulmak için eşitliğin her iki tarafındaki \( x^2 \)'li terimlerin katsayılarını eşitleyelim.
\( 2 = A + B \)
\( B = 3 \)
Buna göre rasyonel ifadenin basit kesirlere ayrılmış hali aşağıdaki gibi olur.
\( \dfrac{2x^4 - 7x^3 + 6x^2 + 4x - 4}{x^3 - 4x^2 + 4x} \) \( = \dfrac{A}{x} + \dfrac{B}{x - 2} + \dfrac{C}{(x - 2)^2} \)
\( = \dfrac{-1}{x} + \dfrac{3}{x - 2} + \dfrac{2}{(x - 2)^2} \)
\( \dfrac{2x}{x^2 - 1} \) ifadesini basit kesirlerin toplamı şeklinde yazınız.
Çözümü GösterPay ve paydadaki polinomların derecelerini bulalım.
\( der[2x] = 1 \)
\( der[x^2 - 1] = 2 \)
Payın derecesi paydanın derecesinden küçük olduğu için polinom bölmesine gerek kalmadan basit kesirlere ayırma yöntemini verilen rasyonel ifadeye uygulayabiliriz.
Paydadaki ifadeyi çarpanlarına ayıralım.
\( x^2 - 1 = (x + 1)(x - 1) \)
\( \dfrac{2x}{x^2 - 1} = \dfrac{2x}{(x + 1)(x - 1)} \)
Paydanın çarpan tiplerine göre ifadeyi basit kesirlerin toplamı şeklinde yazalım.
\( \dfrac{2x}{(x + 1)(x - 1)} = \dfrac{A}{x + 1} + \dfrac{B}{x - 1} \)
Kesirlerin paydalarını eşitleyelim.
\( = \dfrac{A(x - 1)}{(x + 1)(x - 1)} + \dfrac{B(x + 1)}{(x - 1)(x + 1)} \)
\( = \dfrac{A(x - 1) + B(x + 1)}{(x + 1)(x - 1)} \)
Rasyonel ifade ile basit kesirlere ayrılmış halinin paydalarını eşitlediğimiz için paylarını da eşitleyebiliriz.
\( 2x = A(x - 1) + B(x + 1) \)
Bilinmeyen değerleri bulmak için \( x \)'e değer verelim.
\( A \)'lı terimi sıfırlamak için \( x = 1 \) verelim.
\( 2(1) = A(1 - 1) + B(1 + 1) \)
\( 2(1) = A(0) + B(2) \)
\( B = 1 \)
\( B \)'li terimi sıfırlamak için \( x = -1 \) verelim.
\( 2(-1) = A(-1 - 1) + B(-1 + 1) \)
\( 2(-1) = A(-2) + B(0) \)
\( A = 1 \)
Buna göre rasyonel ifadenin basit kesirlere ayrılmış hali aşağıdaki gibi olur.
\( \dfrac{2x}{x^2 - 1} = \dfrac{A}{x + 1} + \dfrac{B}{x - 1} \)
\( = \dfrac{1}{x + 1} + \dfrac{1}{x - 1} \)
\( \dfrac{15}{x^2 + 9x + 14} \) ifadesini basit kesirlerin toplamı şeklinde yazınız.
Çözümü GösterPay ve paydadaki polinomların derecelerini bulalım.
\( der[15] = 0 \)
\( der[x^2 + 9x + 14] = 2 \)
Payın derecesi paydanın derecesinden küçük olduğu için polinom bölmesine gerek kalmadan basit kesirlere ayırma yöntemini verilen rasyonel ifadeye uygulayabiliriz.
Paydadaki ifadeyi çarpanlarına ayıralım.
\( x^2 + 9x + 14 = (x + 7)(x + 2) \)
\( \dfrac{15}{x^2 + 9x + 14} = \dfrac{15}{(x + 7)(x + 2)} \)
Paydanın çarpan tiplerine göre ifadeyi basit kesirlerin toplamı şeklinde yazalım.
\( \dfrac{15}{(x + 7)(x + 2)} = \dfrac{A}{x + 7} + \dfrac{B}{x + 2} \)
Kesirlerin paydalarını eşitleyelim.
\( = \dfrac{A(x + 2)}{(x + 7)(x + 2)} + \dfrac{B(x + 7)}{(x + 2)(x + 7)} \)
\( = \dfrac{A(x + 2) + B(x + 7)}{(x + 2)(x + 7)} \)
Rasyonel ifade ile basit kesirlere ayrılmış halinin paydalarını eşitlediğimiz için paylarını da eşitleyebiliriz.
\( 15 = A(x + 2) + B(x + 7) \)
Bilinmeyen değerleri bulmak için \( x \)'e değer verelim.
\( A \)'lı terimi sıfırlamak için \( x = -2 \) verelim.
\( 15 = A(-2 + 2) + B(-2 + 7) \)
\( 15 = A(0) + B(5) \)
\( B = 3 \)
\( B \)'li terimi sıfırlamak için \( x = -7 \) verelim.
\( 15 = A(-7 + 2) + B(-7 + 7) \)
\( 15 = A(-5) + B(0) \)
\( A = -3 \)
Buna göre rasyonel ifadenin basit kesirlere ayrılmış hali aşağıdaki gibi olur.
\( \dfrac{15}{x^2 +9x + 14} = \dfrac{A}{x + 7} + \dfrac{B}{x + 2} \)
\( = \dfrac{-3}{x + 7} + \dfrac{3}{x + 2} \)
\( \dfrac{x^3 + 14x^2 + 45x + 30}{x^2 + 6x + 8} \) ifadesini basit kesirlerin toplamı şeklinde yazınız.
Çözümü GösterPay ve paydadaki polinomların derecelerini bulalım.
\( der[x^3 + 14x^2 + 45x + 30] = 3 \)
\( der[x^2 + 6x + 8] = 2 \)
Payın derecesi paydanın derecesinden küçük olmadığı için polinom bölmesi ile ifadeyi bu koşulu sağlayacak forma getirelim.
\( \dfrac{x^3 + 14x^2 + 45x + 30}{x^2 + 6x + 8} = (x + 8) + \dfrac{-11x - 34}{x^2 + 6x + 8} \)
Buna göre basit kesirlere ayırma yöntemini polinom bölmesi sonucunda elde ettiğimiz \( \frac{-11x - 34}{x^2 + 6x + 8} \) rasyonel ifadesine uygulayabiliriz.
Paydadaki ifadeyi çarpanlarına ayıralım.
\( x^2 + 6x + 8 = (x + 4)(x + 2) \)
\( \dfrac{-11x - 34}{x^2 + 6x + 8} = \dfrac{-11x - 34}{(x + 4)(x + 2)} \)
Paydanın çarpan tiplerine göre ifadeyi basit kesirlerin toplamı şeklinde yazalım.
\( \dfrac{-11x - 34}{(x + 4)(x + 2)} = \dfrac{A}{x + 4} + \dfrac{B}{x + 2} \)
Kesirlerin paydalarını eşitleyelim.
\( = \dfrac{A(x + 2)}{(x + 4)(x + 2)} + \dfrac{B(x + 4)}{(x + 2)(x + 4)} \)
\( = \dfrac{A(x + 2) + B(x + 4)}{(x + 4)(x + 2)} \)
Rasyonel ifade ile basit kesirlere ayrılmış halinin paydalarını eşitlediğimiz için paylarını da eşitleyebiliriz.
\( -11x - 34 = A(x + 2) + B(x + 4) \)
Bilinmeyen değerleri bulmak için \( x \)'e değer verelim.
\( A \)'lı terimi sıfırlamak için \( x = -2 \) verelim.
\( -11(-2) - 34 = A(-2 + 2) + B(-2 + 4) \)
\( 22 - 34 = A(0) + B(2) \)
\( B = -6 \)
\( B \)'li terimi sıfırlamak için \( x = -4 \) verelim.
\( -11(-4) - 34 = A(-4 + 2) + B(-4 + 4) \)
\( 44 - 34 = A(-2) + B(0) \)
\( A = -5 \)
Buna göre rasyonel ifadenin basit kesirlere ayrılmış hali aşağıdaki gibi olur.
\( \dfrac{x^3 + 14x^2 + 45x + 30}{x^2 + 6x + 8} = x + 8 + \dfrac{A}{x + 4} + \dfrac{B}{x + 2} \)
\( = x + 8 + \dfrac{-5}{x + 4} + \dfrac{-6}{x + 2} \)
\( = x + 8 - \dfrac{5}{x + 4} - \dfrac{6}{x + 2} \)
\( \dfrac{x^2 - x - 21}{2x^3 - x^2 + 8x - 4} \) ifadesini basit kesirlerin toplamı şeklinde yazınız.
Çözümü GösterPay ve paydadaki polinomların derecelerini bulalım.
\( der[x^2 - x - 21] = 2 \)
\( der[2x^3 - x^2 + 8x - 4] = 3 \)
Payın derecesi paydanın derecesinden küçük olduğu için polinom bölmesine gerek kalmadan basit kesirlere ayırma yöntemini verilen rasyonel ifadeye uygulayabiliriz.
Paydadaki ifadeyi çarpanlarına ayıralım.
\( 2x^3 - x^2 + 8x - 4 = (2x - 1)(x^2 + 4) \)
\( \dfrac{x^2 - x - 21}{2x^3 - x^2 + 8x - 4} = \dfrac{x^2 - x - 21}{(2x - 1)(x^2 + 4)} \)
Paydanın çarpan tiplerine göre ifadeyi basit kesirlerin toplamı şeklinde yazalım.
\( \dfrac{x^2 - x - 21}{(2x - 1)(x^2 - 4)} = \dfrac{A}{2x - 1} + \dfrac{Bx + C}{x^2 + 4} \)
Kesirlerin paydalarını eşitleyelim.
\( = \dfrac{A(x^2 + 4)}{(2x - 1)(x^2 + 4)} + \dfrac{(Bx + C)(2x - 1)}{(x^2 + 4)(2x - 1)} \)
\( = \dfrac{A(x^2 + 4) + (Bx + C)(2x - 1)}{(2x - 1)(x^2 + 4)} \)
Rasyonel ifade ile basit kesirlere ayrılmış halinin paydalarını eşitlediğimiz için paylarını da eşitleyebiliriz.
\( x^2 - x - 21 = A(x^2 + 4) + (Bx + C)(2x - 1) \)
\( = Ax^2 + 4A + 2Bx^2 - Bx + 2Cx - C \)
\( = (A + 2B)x^2 + (2C - B)x + 4A - C \)
Birbirine eşit iki polinomun eşit dereceli terimlerinin katsayıları birbirine eşit olur.
\( A + 2B = 1 \)
\( 2C - B = -1 \)
\( 4A - C = -21 \)
Bu üç bilinmeyen ve üç denklemden oluşan denklem sistemini yok etme yöntemi ile çözdüğümüzde aşağıdaki değerleri buluruz.
\( A = -5, \quad B = 3, \quad C = 1 \)
Buna göre rasyonel ifadenin basit kesirlere ayrılmış hali aşağıdaki gibi olur.
\( \dfrac{x^2 - x - 21}{2x^3 - x^2 + 8x - 4} = \dfrac{A}{2x - 1} + \dfrac{Bx + C}{x^2 + 4} \)
\( = \dfrac{-5}{2x - 1} + \dfrac{3x + 1}{x^2 + 4} \)
\( \dfrac{4x^3 + 10x^2 + 15}{(x^2 + 2x + 3)^2} \) ifadesini basit kesirlerin toplamı şeklinde yazınız.
Çözümü GösterPay ve paydadaki polinomların derecelerini bulalım.
\( der[4x^3 + 10x^2 + 15] = 3 \)
\( der[(x^2 + 2x + 3)^2] = 4 \)
Payın derecesi paydanın derecesinden küçük olduğu için polinom bölmesine gerek kalmadan basit kesirlere ayırma yöntemini verilen rasyonel ifadeye uygulayabiliriz.
Paydanın çarpan tiplerine göre ifadeyi basit kesirlerin toplamı şeklinde yazalım.
\( \dfrac{4x^3 + 10x^2 + 15}{(x^2 + 2x + 3)^2} = \dfrac{Ax + B}{x^2 + 2x + 3} + \dfrac{Cx + D}{(x^2 + 2x + 3)^2} \)
Kesirlerin paydalarını eşitleyelim.
\( = \dfrac{(Ax + B)(x^2 + 2x + 3)}{(x^2 + 2x + 3)(x^2 + 2x + 3)} + \dfrac{Cx + D}{(x^2 + 2x + 3)^2} \)
\( = \dfrac{(Ax + B)(x^2 + 2x + 3) + Cx + D}{(x^2 + 2x + 3)^2} \)
Rasyonel ifade ile basit kesirlere ayrılmış halinin paydalarını eşitlediğimiz için paylarını da eşitleyebiliriz.
\( 4x^3 + 10x^2 + 15 = (Ax + B)(x^2 + 2x + 3) + Cx + D \)
\( = Ax^3 + 2Ax^2 + 3Ax + Bx^2 + 2Bx + 3B + Cx + D \)
\( = Ax^3 + (2A + B)x^2 + (3A + 2B + C)x + 3B + D \)
Birbirine eşit iki polinomun eşit dereceli terimlerinin katsayıları birbirine eşit olur.
\( A = 4 \)
\( 2A + B = 10 \)
\( 3A + 2B + C = 0 \)
\( 3B + D = 15 \)
Bu dört bilinmeyen ve dört denklemden oluşan denklem sistemini çözdüğümüzde aşağıdaki değerleri buluruz.
\( A = 4, \quad B = 2, \quad C = -16, \quad D = 9 \)
Buna göre rasyonel ifadenin basit kesirlere ayrılmış hali aşağıdaki gibi olur.
\( \dfrac{4x^3 + 10x^2 + 15}{(x^2 + 2x + 3)^2} = \dfrac{Ax + B}{x^2 + 2x + 3} + \dfrac{Cx + D}{(x^2 + 2x + 3)^2} \)
\( = \dfrac{4x + 2}{x^2 + 2x + 3} + \dfrac{-16x + 9}{(x^2 + 2x + 3)^2} \)
\( \dfrac{4x^2 + 16x + 25}{(2x + 3)^3} \) ifadesini basit kesirlerin toplamı şeklinde yazınız.
Çözümü GösterPay ve paydadaki polinomların derecelerini bulalım.
\( der[4x^2 + 16x + 25] = 2 \)
\( der[(2x + 3)^3] = 3 \)
Payın derecesi paydanın derecesinden küçük olduğu için polinom bölmesine gerek kalmadan basit kesirlere ayırma yöntemini verilen rasyonel ifadeye uygulayabiliriz.
Paydanın çarpan tiplerine göre ifadeyi basit kesirlerin toplamı şeklinde yazalım.
\( \dfrac{4x^2 + 16x + 25}{(2x + 3)^3} = \dfrac{A}{2x + 3} + \dfrac{B}{(2x + 3)^2} + \dfrac{C}{(2x + 3)^3} \)
Kesirlerin paydalarını eşitleyelim.
\( = \dfrac{A(2x + 3)^2}{(2x + 3)(2x + 3)^2} + \dfrac{B(2x + 3)}{(2x + 3)^2(2x + 3)} + \dfrac{C}{(2x + 3)^3}\)
\( = \dfrac{A(2x + 3)^2 + B(2x + 3) + C}{(2x + 3)^3} \)
Rasyonel ifade ile basit kesirlere ayrılmış halinin paydalarını eşitlediğimiz için paylarını da eşitleyebiliriz.
\( 4x^2 + 16x + 25 = A(2x + 3)^2 + B(2x + 3) + C \)
\( = 4Ax^2 + 12Ax + 9A + 2Bx + 3B + C \)
\( = 4Ax^2 + (12A + 2B)x + 9A + 3B + C \)
Birbirine eşit iki polinomun eşit dereceli terimlerinin katsayıları birbirine eşit olur.
\( 4A = 4 \)
\( 12A + 2B = 16 \)
\( 9A + 3B + C = 25 \)
Bu üç bilinmeyen ve üç denklemden oluşan denklem sistemini çözdüğümüzde aşağıdaki değerleri buluruz.
\( A = 1, \quad B = 2, \quad C = 10 \)
Buna göre rasyonel ifadenin basit kesirlere ayrılmış hali aşağıdaki gibi olur.
\( \dfrac{4x^2 + 16x + 25}{(2x + 3)^3} = \dfrac{A}{2x + 3} + \dfrac{B}{(2x + 3)^2} + \dfrac{C}{(2x + 3)^3} \)
\( = \dfrac{1}{2x + 3} + \dfrac{2}{(2x + 3)^2} + \dfrac{10}{(2x + 3)^3} \)
\( \dfrac{5x^2 + 3x - 27}{x^3 - 27} \) ifadesini basit kesirlerin toplamı şeklinde yazınız.
Çözümü GösterPay ve paydadaki polinomların derecelerini bulalım.
\( der[5x^2 + 3x - 27] = 2 \)
\( der[x^3 - 27] = 3 \)
Payın derecesi paydanın derecesinden küçük olduğu için polinom bölmesine gerek kalmadan basit kesirlere ayırma yöntemini verilen rasyonel ifadeye uygulayabiliriz.
Paydadaki ifadeyi çarpanlarına ayıralım.
\( x^3 - 27 = (x - 3)(x^2 + 3x + 9) \)
\( \dfrac{5x^2 + 3x - 27}{x^3 - 27} = \dfrac{5x^2 + 3x - 27}{(x - 3)(x^2 + 3x + 9)} \)
Paydanın çarpan tiplerine göre ifadeyi basit kesirlerin toplamı şeklinde yazalım.
\( \dfrac{5x^2 + 3x - 27}{(x - 3)(x^2 + 3x + 9)} = \dfrac{A}{x - 3} + \dfrac{Bx + C}{x^2 + 3x + 9} \)
Kesirlerin paydalarını eşitleyelim.
\( = \dfrac{A(x^2 + 3x + 9)}{(x - 3)(x^2 + 3x + 9)} + \dfrac{(Bx + C)(x - 3)}{(x^2 + 3x + 9)(x - 3)} \)
\( = \dfrac{A(x^2 + 3x + 9) + (Bx + C)(x - 3)}{(x - 3)(x^2 + 3x + 9)} \)
Rasyonel ifade ile basit kesirlere ayrılmış halinin paydalarını eşitlediğimiz için paylarını da eşitleyebiliriz.
\( 5x^2 + 3x - 27 = A(x^2 + 3x + 9) + (Bx + C)(x - 3) \)
\( = Ax^2 + 3Ax + 9A + Bx^2 - 3Bx + Cx - 3C \)
\( = (A + B)x^2 + (3A - 3B + C)x + 9A - 3C \)
Birbirine eşit iki polinomun eşit dereceli terimlerinin katsayıları birbirine eşit olur.
\( A + B = 5 \)
\( 3A - 3B + C = 3 \)
\( 9A - 3C = -27 \)
Bu üç bilinmeyen ve üç denklemden oluşan denklem sistemini yok etme yöntemi ile çözdüğümüzde aşağıdaki değerleri buluruz.
\( A = 1, \quad B = 4, \quad C = 12 \)
Buna göre rasyonel ifadenin basit kesirlere ayrılmış hali aşağıdaki gibi olur.
\( \dfrac{5x^2 + 3x - 27}{x^3 - 27} = \dfrac{A}{x - 3} + \dfrac{Bx + C}{x^2 + 3x + 9} \)
\( = \dfrac{1}{x - 3} + \dfrac{4x + 12}{x^2 + 3x + 9} \)
\( \dfrac{x^3 + x^2 + x + 2}{x^4 + 3x^2 + 2} \) ifadesini basit kesirlerin toplamı şeklinde yazınız.
Çözümü GösterPay ve paydadaki polinomların derecelerini bulalım.
\( der[x^3 + x^2 + x + 2] = 3 \)
\( der[x^4 + 3x^2 + 2] = 4 \)
Payın derecesi paydanın derecesinden küçük olduğu için polinom bölmesine gerek kalmadan basit kesirlere ayırma yöntemini verilen rasyonel ifadeye uygulayabiliriz.
Paydadaki ifadeyi çarpanlarına ayıralım.
\( x^4 + 3x^2 + 2 = (x^2 + 2)(x^2 + 1) \)
\( \dfrac{x^3 + x^2 + x + 2}{x^4 + 3x^2 + 2} = \dfrac{x^3 + x^2 + x + 2}{(x^2 + 2)(x^2 + 1)} \)
Paydanın çarpan tiplerine göre ifadeyi basit kesirlerin toplamı şeklinde yazalım.
\( \dfrac{x^3 + x^2 + x + 2}{(x^2 + 2)(x^2 + 1)} = \dfrac{Ax + B}{x^2 + 2} + \dfrac{Cx + D}{x^2 + 1} \)
Kesirlerin paydalarını eşitleyelim.
\( = \dfrac{(Ax + B)(x^2 + 1)}{(x^2 + 2)(x^2 + 1)} + \dfrac{(Cx + D)(x^2 + 2)}{(x^2 + 1)(x^2 + 2)} \)
\( = \dfrac{(Ax + B)(x^2 + 1) + (Cx + D)(x^2 + 2)}{(x^2 + 2)(x^2 + 1)} \)
Rasyonel ifade ile basit kesirlere ayrılmış halinin paydalarını eşitlediğimiz için paylarını da eşitleyebiliriz.
\( x^3 + x^2 + x + 2 = (Ax + B)(x^2 + 1) + (Cx + D)(x^2 + 2) \)
\( = Ax^3 + Ax + Bx^2 + B + Cx^3 + 2Cx + Dx^2 + 2D \)
\( = (A + C)x^3 + (B + D)x^2 + (A + 2C)x + B + 2D \)
Birbirine eşit iki polinomun eşit dereceli terimlerinin katsayıları birbirine eşit olur.
\( A + C = 1 \)
\( B + D = 1 \)
\( A + 2C = 1 \)
\( B + 2D = 2 \)
Bu dört bilinmeyen ve dört denklemden oluşan denklem sistemini yok etme yöntemi ile çözdüğümüzde aşağıdaki değerleri buluruz.
\( A = 1, \quad B = 0, \quad C = 0, \quad D = 1 \)
Buna göre rasyonel ifadenin basit kesirlere ayrılmış hali aşağıdaki gibi olur.
\( \dfrac{x^3 + x^2 + x + 2}{x^4 + 3x^2 + 2} = \dfrac{Ax + B}{x^2 + 2} + \dfrac{Cx + D}{x^2 + 1} \)
\( = \dfrac{x}{x^2 + 2} + \dfrac{1}{x^2 + 1} \)
\( \dfrac{1}{4^x - 5 \cdot 2^x + 6} \) ifadesini basit kesirlerin toplamı şeklinde yazınız.
Çözümü GösterYukarıdaki ifadeyi değişken değiştirme yöntemi ile daha sade hale getirelim ve çarpanlarına ayıralım.
\( 2^x = t \) dönüşümü uygulayalım.
\( \dfrac{1}{4^x - 5 \cdot 2^x + 6} = \dfrac{1}{t^2 - 5t + 6} \)
Paydadaki ifadeyi çarpanlarına ayıralım.
\( t^2 - 5t + 6 = (t - 3)(t - 2) \)
\( \dfrac{1}{t^2 - 5t + 6} = \dfrac{1}{(t - 3)(t - 2)} \)
Paydanın çarpan tiplerine göre ifadeyi basit kesirlerin toplamı şeklinde yazalım.
\( \dfrac{1}{(t - 3)(t - 2)} = \dfrac{A}{t - 3} + \dfrac{B}{t - 2} \)
Kesirlerin paydalarını eşitleyelim.
\( = \dfrac{A(t - 2)}{(t - 3)(t - 2)} + \dfrac{B(t - 3)}{(t - 2)(t - 3)} \)
\( = \dfrac{A(t - 2) + B(t - 3)}{(t - 3)(t - 2)} \)
Rasyonel ifade ile basit kesirlere ayrılmış halinin paydalarını eşitlediğimiz için paylarını da eşitleyebiliriz.
\( 1 = A(t - 2) + B(t - 3) \)
Bilinmeyen değerleri bulmak için \( t \)'ye değer verelim.
\( A \)'lı terimi sıfırlamak için \( t = 2 \) verelim.
\( 1 = A(2 - 2) + B(2 - 3) \)
\( 1 = A(0) + B(-1) \)
\( B = -1 \)
\( B \)'li terimi sıfırlamak için \( t = 3 \) verelim.
\( 1 = A(3 - 2) + B(3 - 3) \)
\( 1 = A(1) + B(0) \)
\( A = 1 \)
Buna göre rasyonel ifadenin basit kesirlere ayrılmış hali aşağıdaki gibi olur.
\( \dfrac{1}{t^2 - 5t + 6} = \dfrac{A}{t - 3} + \dfrac{B}{t - 2} \)
\( = \dfrac{1}{t - 3} + \dfrac{-1}{t - 2} \)
\( t = 2^x \) dönüşümü ile ifadeyi tekrar \( x \) değişkenine çevirelim.
\( = \dfrac{1}{2^x - 3} - \dfrac{1}{2^x - 2} \)
\( \dfrac{16}{x^4 + 4} \) ifadesini basit kesirlerin toplamı şeklinde yazınız.
Çözümü GösterPaydadaki ifadeyi terim ekleme/çıkarma yöntemi ile çarpanlarına ayıralım. Bunun için ifadeye \( 4x^2 \) ekleyip çıkaralım.
\( x^4 + 4 = x^4 + 4x^2 + 4 - 4x^2 \)
\( = (x^2 + 2)^2 - (2x)^2 \)
\( = (x^2 + 2 - 2x)(x^2 + 2 + 2x) \)
\( = (x^2 - 2x + 2)(x^2 + 2x + 2) \)
Bu durumda verilen ifade aşağıdaki gibi olur.
\( \dfrac{16}{x^4 + 4} = \dfrac{16}{(x^2 - 2x + 2)(x^2 + 2x + 2)} \)
Paydanın çarpan tiplerine göre ifadeyi basit kesirlerin toplamı şeklinde yazalım.
\( \dfrac{16}{(x^2 - 2x + 2)(x^2 + 2x + 2)} = \dfrac{Ax + B}{x^2 - 2x + 2} + \dfrac{Cx + D}{x^2 + 2x + 2} \)
Kesirlerin paydalarını eşitleyelim.
\( = \dfrac{(Ax + B)(x^2 + 2x + 2)}{(x^2 - 2x + 2)(x^2 + 2x + 2)} \) \( + \dfrac{(Cx + D)(x^2 - 2x + 2)}{(x^2 - 2x + 2)(x^2 + 2x + 2)} \)
\( = \dfrac{(Ax + B)(x^2 + 2x + 2) + (Cx + D)(x^2 - 2x + 2)}{(x^2 - 2x + 2)(x^2 + 2x + 2)} \)
Rasyonel ifade ile basit kesirlere ayrılmış halinin paydalarını eşitlediğimiz için paylarını da eşitleyebiliriz.
\( 16 = (Ax + B)(x^2 + 2x + 2) \) \( + (Cx + D)(x^2 - 2x + 2) \)
\( = Ax^3 + 2Ax^2 \) \( + 2Ax + Bx^2 \) \( + 2Bx + 2B \) \( + Cx^3 - 2Cx^2 \) \( + 2Cx + Dx^2 \) \( - 2Dx + 2D \)
\( = (A + C)x^3 \) \( + (2A + B - 2C + D)x^2 \) \( + (2A + 2B + 2C - 2D)x \) \( + 2B + 2D \)
Birbirine eşit iki polinomun eşit dereceli terimlerinin katsayıları birbirine eşit olur.
\( A + C = 0 \)
\( \Longrightarrow A = -C \)
\( 2A + 2B + 2C - 2D = 0 \)
\( \Longrightarrow B = D \)
\( 2B + 2D = 16 \)
\( B = D = 4 \)
\( 2A + B - 2C + D = 0 \)
\( A = -2, \quad C = 2 \)
Buna göre rasyonel ifadenin basit kesirlere ayrılmış hali aşağıdaki gibi olur.
\( \dfrac{16}{x^4 + 4} = \dfrac{Ax + B}{x^2 - 2x + 2} + \dfrac{Cx + D}{x^2 + 2x + 2} \)
\( = \dfrac{-2x + 4}{x^2 - 2x + 2} + \dfrac{2x + 4}{x^2 + 2x + 2} \)
\( \dfrac{2}{(\sqrt{x} - 2)(\sqrt{x} + 3)} \) ifadesini basit kesirlerin toplamı şeklinde yazınız.
Çözümü GösterVerilen ifadeyi değişken değiştirme yöntemi ile daha sade hale getirelim ve çarpanlarına ayıralım.
Aşağıdaki şekilde değişken değiştirme uygulayalım.
\( \sqrt{x} = t \)
\( \dfrac{2}{(\sqrt{x} - 2)(\sqrt{x} + 3)} = \dfrac{2}{(t - 2)(t + 3)} \)
Paydanın çarpan tiplerine göre ifadeyi basit kesirlerin toplamı şeklinde yazalım.
\( \dfrac{2}{(t - 2)(t + 3)} = \dfrac{A}{t - 2} + \dfrac{B}{t + 3} \)
Kesirlerin paydalarını eşitleyelim.
\( = \dfrac{A(t + 3)}{(t - 2)(t + 3)} + \dfrac{B(t - 2)}{(t + 3)(t - 2)} \)
\( = \dfrac{A(t + 3) + B(t - 2)}{(t - 2)(t + 3)} \)
Rasyonel ifade ile basit kesirlere ayrılmış halinin paydalarını eşitlediğimiz için paylarını da eşitleyebiliriz.
\( 2 = A(t + 3) + B(t - 2) \)
Bilinmeyen değerleri bulmak için \( t \)'ye değer verelim.
\( A \)'lı terimi sıfırlamak için \( t = -3 \) verelim.
\( 2 = A(-3 + 3) + B(-3 - 2) \)
\( 2 = A(0) + B(-5) \)
\( B = -\dfrac{2}{5} \)
\( B \)'li terimi sıfırlamak için \( t = 2 \) verelim.
\( 2 = A(2 + 3) + B(2 - 2) \)
\( 2 = A(5) + B(0) \)
\( A = \dfrac{2}{5} \)
Buna göre rasyonel ifadenin basit kesirlere ayrılmış hali aşağıdaki gibi olur.
\( \dfrac{2}{(t - 2)(t + 3)} = \dfrac{A}{t - 2} + \dfrac{B}{t + 3} \)
\( = \dfrac{\frac{2}{5}}{t - 2} + \dfrac{-\frac{2}{5}}{t + 3} \)
\( = \dfrac{2}{5(t - 2)} - \dfrac{2}{5(t + 3)} \)
\( t = \sqrt{x} \) dönüşümü ile ifadeyi tekrar \( x \) değişkenine çevirelim.
\( = \dfrac{2}{5(\sqrt{x} - 2)} - \dfrac{2}{5(\sqrt{x} + 3)} \)
\( \dfrac{3}{(x - 9)\sqrt{x}} \) ifadesini basit kesirlerin toplamı şeklinde yazınız.
Çözümü GösterVerilen ifadeyi değişken değiştirme yöntemi ile daha sade hale getirelim ve çarpanlarına ayıralım.
Aşağıdaki şekilde değişken değiştirme uygulayalım.
\( \sqrt{x} = t \)
\( \Longrightarrow x = t^2 \)
\( \dfrac{3}{(x - 9)\sqrt{x}} = \dfrac{3}{(t^2 - 9)t} \)
Pay ve paydadaki polinomların derecelerini bulalım.
\( der[3] = 0 \)
\( der[(t^2 - 9)t] = 3 \)
Payın derecesi paydanın derecesinden küçük olduğu için polinom bölmesine gerek kalmadan basit kesirlere ayırma yöntemini verilen rasyonel ifadeye uygulayabiliriz.
Paydadaki ifadeyi çarpanlarına ayıralım.
\( (t^2 - 9)t = (t - 3)(t + 3)t \)
\( \dfrac{3}{(t^2 - 9)t} = \dfrac{3}{(t - 3)(t + 3)t} \)
Paydanın çarpan tiplerine göre ifadeyi basit kesirlerin toplamı şeklinde yazalım.
\( \dfrac{3}{(t - 3)(t + 3)t} = \dfrac{A}{t - 3} + \dfrac{B}{t + 3} + \dfrac{C}{t} \)
Kesirlerin paydalarını eşitleyelim.
\( = \dfrac{A(t + 3)t}{(t - 3)(t + 3)t} + \dfrac{B(t - 3)t}{(t + 3)(t - 3)t} + \dfrac{C(t - 3)(t + 3)}{t(t - 3)(t + 3)} \)
\( = \dfrac{A(t + 3)t + B(t - 3)t + C(t - 3)(t + 3)}{(t - 3)(t + 3)t} \)
Rasyonel ifade ile basit kesirlere ayrılmış halinin paydalarını eşitlediğimiz için paylarını da eşitleyebiliriz.
\( 3 = A(t + 3)t + B(t - 3)t + C(t - 3)(t + 3) \)
Bilinmeyen değerleri bulmak için \( t \)'ye değer verelim.
\( A \)'lı ve \( B \)'li terimleri sıfırlamak için \( t = 0 \) verelim.
\( 3 = A(0 + 3)0 + B(0 - 3)0 + C(0 - 3)(0 + 3) \)
\( 3 = A(0) + B(0) + C(-9) \)
\( C = -\dfrac{1}{3} \)
\( B \)'li ve \( C \)'li terimleri sıfırlamak için \( t = 3 \) verelim.
\( 3 = A(3 + 3)3 + B(3 - 3)3 + C(3 - 3)(3 + 3) \)
\( 3 = A(18) + B(0) + C(0) \)
\( A = \dfrac{1}{6} \)
\( A \)'lı ve \( C \)'li terimleri sıfırlamak için \( t = -3 \) verelim.
\( 3 = A(-3 + 3)(-3) + B(-3 - 3)(-3) + C(-3 - 3)(-3 + 3) \)
\( 3 = A(0) + B(18) + C(0) \)
\( B = \dfrac{1}{6} \)
Buna göre rasyonel ifadenin basit kesirlere ayrılmış hali aşağıdaki gibi olur.
\( \dfrac{3}{(t^2 - 9)t} = \dfrac{A}{t - 3} + \dfrac{B}{t + 3} + \dfrac{C}{t} \)
\( = \dfrac{\frac{1}{6}}{t - 3} + \dfrac{\frac{1}{6}}{t + 3} + \dfrac{-\frac{1}{3}}{t} \)
\( = \dfrac{1}{6(t - 3)} + \dfrac{1}{6(t + 3)} - \dfrac{1}{3t} \)
\( t = \sqrt{x} \) dönüşümü ile ifadeyi tekrar \( x \) değişkenine çevirelim.
\( = \dfrac{1}{6(\sqrt{x} - 3)} + \dfrac{1}{6(\sqrt{x} + 3)} - \dfrac{1}{3\sqrt{x}} \)