Polinomlarda Değer Bulma ve Özel Değerler
Bir polinomda \( x \) yerine \( a \) yazıldığında elde edilen değere polinomun \( x = a \) için değeri denir ve \( P(a) \) ile gösterilir.
\( P(x) = 4x^3 - 3x^2 + x - 9 \) polinomunun \( x = 2 \) ve \( x = -1 \) için değerini bulalım.
\( P(2) \) değeri için \( x = 2 \) yazalım.
\( P(2) = 4(2)^3 - 3(2)^2 + 2 - 9 = 13 \)
\( P(-1) \) değeri için \( x = -1 \) yazalım.
\( P(-1) = 4(-1)^3 - 3(-1)^2 + (-1) - 9 = -17 \)
Katsayılar Toplamı
Bir polinomun katsayılar toplamı, açılımındaki tüm terimlerin katsayılarının toplamıdır.
Bir polinomun katsayılar toplamını bulmak için tüm değişkenlere 1 değeri verilir ve bu şekilde değişkenlerin yok olması ve sadece terimlerin katsayılarının kalması sağlanır. \( P(x) \) polinomu için katsayılar toplamı \( P(1) \) değerine eşittir.
\( P(x) = (3x - 4)^3 \) polinomunun katsayılar toplamını bulalım.
\( x = 1 \) verelim.
\( P(1) = (3(1) - 4)^3 = -1 \)
Buna göre, \( P(x) \) polinomunun katsayılar toplamı \( P(1) = -1 \)'dir.
Polinomun açılımını yazalım ve bulduğumuz sonucu kontrol edelim.
\( P(x) = 27x^3 - 108x^2 + 144x - 64 \)
Katsayıların toplamını bulalım.
\( 27 + (-108) + 144 + (-64) = -1 \)
Bir polinomda \( x \) yerine farklı bir ifade geldiğinde katsayılar toplamı \( P(1) \) değerine değil, tüm değişkenlere 1 değeri verildiğinde elde edilen polinom değerine eşittir.
\( P(2x + 3) = (2x^2 + 1)^3 \) polinomunun katsayılar toplamını bulalım.
\( Q(x) = P(2x + 3) \) şeklinde bir polinom tanımlayalım.
\( x = 1 \) verelim.
\( Q(1) = P(2(1) + 3) = (2(1)^2 + 1)^3 \)
\( Q(1) = P(5) = 27 \)
Buna göre, \( P(2x + 3) \) polinomunun katsayılar toplamı \( P(5) = 27 \)'dir.
Polinomun açılımını yazalım ve bulduğumuz sonucu kontrol edelim.
\( P(2x + 3) = 8x^6 + 12x^4 + 6x^2 + 1 \)
Katsayıların toplamını bulalım.
\( 8 + 12 + 6 + 1 = 27 \)
Tek ve Çift Dereceli Terimlerin Katsayılar Toplamı
Bir \( P(x) \) polinomunun tek ve çift dereceli terimlerinin katsayılar toplamı aşağıdaki formüllerle hesaplanabilir.
Tek dereceli terimlerin katsayılar toplamı \( = \dfrac{P(1) - P(-1)}{2} \)
Çift dereceli terimlerin katsayılar toplamı \( = \dfrac{P(1) + P(-1)}{2} \)
\( P(x) = 4x^4 + 6x^3 - 10x^2 + 12x - 36 \) polinomunun tek ve çift dereceli terimlerinin katsayılar toplamını bulalım.
\( P(1) = 4(1)^4 + 6(1)^3 - 10(1)^2 + 12(1) - 36 = -24 \)
\( P(-1) = 4(-1)^4 + 6(-1)^3 - 10(-1)^2 + 12(-1) - 36 = -60 \)
Tek dereceli terimlerin katsayılar toplamı \( = \dfrac{-24 - (-60)}{2} = \textcolor{blue}{18} \)
Tek dereceli terimlerin katsayılarını toplayarak bulduğumuz sonucu kontrol edelim.
\( 6 + 12 = \textcolor{blue}{18} \)
Çift dereceli terimlerin katsayılar toplamı \( = \dfrac{-24 + (-60)}{2} = \textcolor{red}{-42} \)
Çift dereceli terimlerin katsayılarını toplayarak bulduğumuz sonucu kontrol edelim.
\( 4 + (-10) + (-36) = \textcolor{red}{-42} \)
İSPATI GÖSTER
Aşağıdaki gibi bir \( P(x) \) polinomu tanımlayalım.
\( P(x) = a_{2n}x^{2n} + a_{2n - 1}x^{2n - 1} + \ldots + a_3x^3 + a_2x^2 + a_1x + a_0 \)
Bu polinomda tek ve çift dereceli terimler aşağıdaki gibi olmaktadır.
Tek dereceli terimler: \( a_{2n - 1}x^{2n - 1}, a_{2n - 3}x^{2n - 3}, \ldots, a_3x^3, a_1x \)
Çift dereceli terimler: \( a_{2n}x^{2n}, a_{2n - 2}x^{2n - 2}, \ldots, a_2x^2, a_0 \)
\( P(1) \) ve \( P(-1) \) değerlerini hesaplayalım.
\( P(1) = a_{2n}(1)^{2n} + a_{2n - 1}(1)^{2n - 1} + \ldots + a_3(1)^3 + a_2(1)^2 + a_1(1) + a_0 \)
\( P(-1) = a_{2n}(-1)^{2n} + a_{2n - 1}(-1)^{2n - 1} + \ldots + a_3(-1)^3 + a_2(-1)^2 + a_1(-1) + a_0 \)
İfadeleri sadeleştirdiğimizde aşağıdaki değerleri elde ederiz. \( P(-1) \) ifadesinde çift dereceli terimlerin işaretinin pozitif, tek dereceli terimlerin işaretinin ise negatif olduğuna dikkat edelim.
\( P(1) = a_{2n} + a_{2n - 1} + \ldots + a_3 + a_2 + a_1 + a_0 \)
\( P(-1) = a_{2n} - a_{2n - 1} + \ldots - a_3 + a_2 - a_1 + a_0 \)
\( P(1) + P(-1) \) toplamını aldığımızda çift dereceli terimlerden ikişer tane kaldığını, tek dereceli terimlerin ise birbirlerini götürdüğünü görürüz.
\( P(1) + P(-1) = 2a_{2n} + 2a_{2n - 2} + \ldots + 2a_2 + 2a_0 \)
Bu ifadeyi ikiye böldüğümüzde yukarıdaki çift dereceli terimlerin katsayılar toplam formülünü elde ederiz.
\( \dfrac{P(1) + P(-1)}{2} = a_{2n} + a_{2n - 2} + \ldots + a_2 + a_0 \)
\( P(1) - P(-1) \) farkını aldığımızda da çift dereceli terimlerin birbirlerini götürdüğünü, tek dereceli terimlerin ise ikişer tane kaldığını görürüz.
\( P(1) - P(-1) = 2a_{2n - 1} + 2a_{2n - 3} + \ldots + 2a_3 + 2a_1 \)
Bu ifadeyi ikiye böldüğümüzde yukarıdaki tek dereceli terimlerin katsayılar toplam formülünü elde ederiz.
\( \dfrac{P(1) - P(-1)}{2} = a_{2n - 1} + a_{2n - 3} + \ldots + a_3 + a_1 \)
Sabit Terim
Bir polinomun sabit terimi, açılımındaki değişken içermeyen sabit değerdir.
Bir polinomun sabit terimini bulmak için tüm değişkenlere 0 değeri verilir ve bu şekilde değişken içeren terimlerin yok olması ve sadece sabit terimin kalması sağlanır. \( P(x) \) polinomu için sabit terim \( P(0) \) değerine eşittir.
\( P(x) = (4x - 3)^3 \) polinomunun sabit terimini bulalım.
\( x = 0 \) verelim.
\( P(0) = (4(0) - 3)^3 = -27 \)
Buna göre, \( P(x) \) polinomunun sabit terimi \( P(0) = -27 \)'dir.
Polinomun açılımını yazalım ve bulduğumuz sonucu kontrol edelim.
\( P(x) = 64x^3 - 144x^2 + 108x - 27 \)
Açılımda görebileceğimiz gibi polinomun sabit terimi \( -27 \)'dir.
Bir polinomda \( x \) yerine farklı bir ifade geldiğinde sbit terim \( P(0) \) değerine değil, tüm değişkenlere 0 değeri verildiğinde elde edilen polinom değerine eşittir.
\( P(2x + 3) = (3x^2 - 2)^3 \) polinomunun sabit terimini bulalım.
\( Q(x) = P(2x + 3) \) şeklinde bir polinom tanımlayalım.
\( x = 0 \) verelim.
\( Q(0) = P(2(0) + 3) = (3(0)^2 - 2)^3 \)
\( Q(0) = P(3) = -8 \)
Buna göre, \( P(2x + 3) \) polinomunun sabit terimi \( P(3) = -8 \)'dir.
Polinomun açılımını yazalım ve bulduğumuz sonucu kontrol edelim.
\( P(2x + 3) = 27x^6 - 54x^4 + 36x^2 - 8 \)
Açılımda görebileceğimiz gibi polinomun sabit terimi \( -8 \)'dir.
\( P(x) = x^4 - 2x^3 + 2x + 1 \)
\( Q(x) = x^3 + x^2 - 3x - 2 \)
olduğuna göre, \( 3P(1) + 2Q(-1) \) toplamı kaçtır?
Çözümü Göster\( P(1) = 1^4 - 2(1)^3 + 2(1) + 1 = 2 \)
\( Q(-1) = (-1)^3 + (-1)^2 - 3(-1) - 2 = 1 \)
\( 3P(1) + 2Q(-1) = 3 \cdot 2 + 2 \cdot 1 \)
\( = 8 \) bulunur.
\( P(x) = (x^3 - 3x + 1)^2 - 2 \) polinomunun tek ve çift dereceli terimlerinin katsayılar toplamını bulunuz.
Çözümü GösterPolinomun tek ve çift dereceli terimlerinin katsayılar toplamını bulmak için \( P(1) \) ve \( P(-1) \) değerlerini bulalım.
\( P(1) = (1^3 - 3(1) + 1)^2 - 2 = -1 \)
\( P(-1) = ((-1)^3 - 3(-1) + 1)^2 - 2 = 7 \)
Tek dereceli terimlerin katsayılar toplamı:
\( \dfrac{P(1) - P(-1)}{2} = \dfrac{-1 - 7}{2} = -4 \)
Çift dereceli terimlerin katsayılar toplamı:
\( \dfrac{P(1) + P(-1)}{2} = \dfrac{-1 + 7}{2} = 3 \)
\( P(3x - 2) = x^3 - 6x + 3 \) olduğuna göre, \( P(4) \) kaçtır?
Çözümü GösterPolinom tanımında parantez içini 4 yapacak \( x \) değerini bulalım.
\( 3x - 2 = 4 \Longrightarrow x = 2 \)
Polinom tanımında \( x = 2 \) yazalım.
\( P(3(2) - 2) = 2^3 - 6(2) + 3 \)
\( P(4) = -1 \) bulunur.
\( P(x + 3) + Q(x - 4) = 4x^2 - 3x + 1 \)
\( Q(-2) = 6 \)
olduğuna göre, \( P(5) \) değeri kaçtır?
Çözümü GösterVerilen eşitlikte \( x = 2 \) yazalım.
\( P(2 + 3) + Q(2 - 4) = 4(2)^2 - 3(2) + 1 \)
\( P(5) + Q(-2) = 11 \)
\( P(5) + 6 = 11 \)
\( P(5) = 5 \) olarak bulunur.
\( P(4x - 7) = x^3 - 6x^2 + 3x - 1 \) olduğuna göre, \( P(x) \) polinomunun katsayılar toplamı kaçtır?
Çözümü GösterBir polinomun katsayılar toplamını bulmak için tüm değişkenlere 1 değeri verilir, dolayısıyla \( P(x) \) polinomunun katsayılar toplamı \( P(1) \) değerine eşittir.
\( P(1) \) değerini bulmak için \( P(4x - 7) \) polinomunda \( x \) yerine yazmamız gereken değeri bulalım.
\( 4x - 7 = 1 \Longrightarrow x = 2 \)
\( P(4x - 7) \) polinomunda \( x = 2 \) yazalım.
\( P(4(2) - 7) = 2^3 - 6(2)^2 + 3(2) - 1 \)
\( P(1) = -11 \) bulunur.
\( P(x - 2) - P(x - 3) = 6x^2 - 4 \) eşitliği veriliyor.
\( P(x) \) polinomunun katsayılar toplamı 10 olduğuna göre, \( P(x) \) polinomunun sabit terimi kaçtır?
Çözümü Göster\( P(x) \) polinomunun katsayılar toplamı 10 ise \( P(1) = 10 \) demektir.
Bir polinomun sabit terimini bulmak için tüm değişkenlere 0 değeri verilir, dolayısıyla \( P(x) \) polinomunun sabit terimi \( P(0) \) değerine eşittir.
Verilen eşitlikte \( P(1) \) değerini kullanarak \( P(0) \) değerini bulmak için \( x = 3 \) yazalım.
\( P(3 - 2) - P(3 - 3)= 6(3)^2 - 4 \)
\( P(1) - P(0) = 54 - 4 \)
\( 10 - P(0) = 50 \)
\( P(0) = -40 \)
Buna göre \( P(x) \) polinomunun sabit terimi \( P(0) = -40 \) olarak bulunur.
\( P(x) = x^5 - 3x^3 - ax + 3 \) polinomu veriliyor.
\( P(2x + 1) \) polinomunun sabit terimi \( P(3x - 1) \) polinomunun katsayılar toplamına eşit olduğuna göre, \( a \) kaçtır?
Çözümü GösterBir polinomun sabit terimini bulmak için tüm değişkenlere 0 değeri verilir, dolayısıyla \( P(2x + 1) \) polinomunun sabit terimi \( P(2(0) + 1) = P(1) \) değerine eşittir.
\( P(1) \) değerini bulmak için \( P(x) \) polinomunda \( x = 1 \) yazalım.
\( P(1) = 1^5 - 3(1)^3 - a(1) + 3 \)
\( = 1 - a \)
Bir polinomun katsayılar toplamını bulmak için tüm değişkenlere 1 değeri verilir, dolayısıyla \( P(3x - 1) \) polinomunun katsayılar toplamı \( P(3(1) - 1) = P(2) \) değerine eşittir.
\( P(2) \) değerini bulmak için \( P(x) \) polinomunda \( x = 2 \) yazalım.
\( P(2) = 2^5 - 3(2)^3 - a(2) + 3 \)
\( = 11 - 2a \)
Bu iki değerin birbirine eşit olduğu bilgisi veriliyor.
\( 1 - a = 11 - 2a \)
\( a = 10 \) bulunur.
\( P(x) = 2002x^{2 - a} - 1001x^{a - 2} - 1000 \) polinomu için aşağıdakilerden hangileri doğrudur?
I. Katsayılar toplamı 1'dir.
II. Sabit terimi 1'dir.
III. Sabit bir polinomdur.
Çözümü GösterTanım gereği bir polinomda değişkenler sadece doğal sayı kuvvetleri ile bulunabilir.
\( 2 - a \ge 0 \Longrightarrow a \le 2 \)
\( a - 2 \ge 0 \Longrightarrow a \ge 2 \)
Bu iki eşitsizlik sadece \( a = 2 \) olduğunda sağlanır.
\( P(x) = 2002x^{2 - 2} - 1001x^{2 - 2} - 1000 \)
\( = 2002 - 1001 - 1000 = 1 \)
Buna göre \( P(x) \) sabit polinomdur ve öncüllerin üçü de doğrudur.
\( P(3x - 2) = x^3 - ax^2 + 2x + 3 \) polinomu veriliyor.
\( P(4) = -P(-5) \) olduğuna göre, \( a \) kaçtır?
Çözümü GösterVerilen polinomda parantez içlerini \( P(4) \) ve \( P(-5) \) yapmak için \( x \) yerine önce 2, sonra -1 yazalım.
\( x = 2 \) yazalım.
\( P(3(2) - 2) = 2^3 - a(2)^2 + 2(2) + 3 \)
\( P(4) = 15 - 4a \)
\( x = -1 \) yazalım.
\( P(3(-1) - 2) = (-1)^3 - a(-1)^2 + (-1)2 + 3 \)
\( P(-5) = -a \)
Bu değerleri verilen eşitlikte yerine koyalım.
\( P(4) = -P(-5) \)
\( 15 - 4a = -(-a) \)
\( a = 3 \) bulunur.
\( P(x) = (2x^4 + 2x^2 - 3)^3(3x^2 + 5)^2 \) polinomu için aşağıdaki öncüllerden hangileri doğrudur?
I. Sabit terimi 675'tir.
II. Katsayılar toplamı 64'tür.
III. Derecesi 16'dır.
IV. Başkatsayısı 96'dır.
Çözümü GösterI. öncül:
Bir polinomun sabit terimini bulmak için tüm değişkenlere 0 değeri verilir, dolayısıyla \( P(x) \) polinomunun sabit terimi \( P(0) \) değerine eşittir.
\( P(0) = (2(0)^4 + 2(0)^2 - 3)^3(3(0)^2 + 5)^2 \)
\( = (-3)^3(5)^2 = -675 \)
I. öncül yanlıştır.
II. öncül:
Bir polinomun katsayılar toplamını bulmak için tüm değişkenlere 1 değeri verilir, dolayısıyla \( P(x) \) polinomunun katsayılar toplamı \( P(1) \) değerine eşittir.
\( P(1) = (2(1)^4 + 2(1)^2 - 3)^3(3(1)^2 + 5)^2 \)
\( = (2 + 2 - 3)^3(3 + 5)^2 = 64 \)
II. öncül doğrudur.
III. öncül:
Polinomun en yüksek dereceli terimini bulmak için her çarpanın en yüksek dereceli terimini alalım.
\( (2x^4)^3(3x^2)^2 = 8x^{12} \cdot 9x^4 \)
\( = 72x^{16} \)
Buna göre polinomun derecesi 16'dır.
III. öncül doğrudur.
IV. öncül:
III. öncülde bulduğumuz en yüksek dereceli terime göre, polinomun başkatsayısı 72'dir.
IV. öncül yanlıştır.
Buna göre II. ve III. öncüller doğrudur.
\( P(x) = (x - 1)^2 + (x - 2)^2 + \ldots + (x - n)^2 \)
polinomunun sabit terimi katsayılar toplamından 25 fazla olduğuna göre, \( n \) kaçtır?
Çözümü GösterBir polinomun katsayılar toplamını bulmak için tüm değişkenlere 1 değeri verilir, dolayısıyla \( P(x) \) polinomunun katsayılar toplamı \( P(1) \) değerine eşittir.
\( P(1) = (1 - 1)^2 + (1 - 2)^2 + \ldots + (1 - n)^2 \)
\( = (0)^2 + (-1)^2 + \ldots + (1 - n)^2 \)
Bir polinomun sabit terimini bulmak için tüm değişkenlere 0 değeri verilir, dolayısıyla \( P(x) \) polinomunun sabit terimi \( P(0) \) değerine eşittir.
\( P(0) = (0 - 1)^2 + (0 - 2)^2 + \ldots + (0 - n)^2 \)
\( = (-1)^2 + (-2)^2 + \ldots + (-n)^2 \)
Polinomun sabit terimi katsayılar toplamından 25 fazladır.
İkinci eşitlikten birinci eşitliği taraf tarafa çıkaralım.
\( 25 = (-n)^2 - 0^2 = n^2 \)
\( n = 5 \) ya da \( n = -5 \) olabilir.
Polinom tanımında \( n \) sayısı \( (1, 2, 3, \ldots) \) şeklindeki bir dizinin son terimi olarak verildiği için değeri pozitiftir.
Buna göre \( n = 5 \) olur.
\( P(x) \), \( Q(x) \) ve \( R(x) \) birer polinom olmak üzere,
\( P(x) = Q(x)R(x + 1) \) eşitliği veriliyor.
\( P(x) \) polinomunun sabit terimi \( Q(x) \) polinomunun sabit teriminin iki katı olduğuna göre, \( R(x) \) polinomunun katsayılar toplamı kaçtır?
Çözümü GösterBir polinomun sabit terimini bulmak için tüm değişkenlere 0 değeri verilir, dolayısıyla \( P(x) \) polinomunun sabit terimi \( P(0) \) değerine eşittir.
\( P(x) \) polinomunun sabit terimi \( Q(x) \) polinomunun sabit teriminin iki katı ise aşağıdaki eşitliği yazabiliriz.
\( P(0) = 2Q(0) \)
Bir polinomun katsayılar toplamını bulmak için tüm değişkenlere 1 değeri verilir, dolayısıyla \( R(x) \) polinomunun katsayılar toplamı \( R(1) \) değerine eşittir.
Soruda verilen eşitlikte \( x = 0 \) yazalım.
\( P(0) = Q(0)R(1) \)
Bu eşitlikte \( P(0) = 2Q(0) \) yazalım.
\( 2Q(0) = Q(0)R(1) \)
\( R(1) = 2 \) bulunur.
\( P(x^2) = ax^7 - bx^4 + cx^3 - dx^2 + b + d - 3 \) olduğuna göre,
\( P(x) \) polinomunun katsayılar toplamı kaçtır?
Çözümü GösterPolinomlarda tanım gereği değişkenleri üssü sadece doğal sayı olabilir.
\( P(x) \) ifadesinin bir polinom olabilmesi için \( P(x^2) \) tanımında derecesi tek sayı olan terim bulunmamalıdır.
Buna göre \( P(x^2) \) tanımındaki \( a \) ve \( c \) katsayıları sıfır olmalıdır.
\( P(x^2) = - bx^4 - dx^2 + b + d - 3 \)
Bir polinomun katsayılar toplamını bulmak için tüm değişkenlere 1 değeri verilir, dolayısıyla \( P(x) \) polinomunun katsayılar toplamı \( P(1) \) değerine eşittir.
\( P(1) \) değerini bulmak için \( P(x^2) \) polinomunda \( x = 1 \) yazalım.
\( P(1^2) = -b(1)^4 - d(1)^2 + b + d - 3 \)
\( = -b - d + b + d - 3 = -3 \) bulunur.
\( P(4x + 3) \) polinomunun sabit terimi \( P(P(2)) \)'dir.
\( P(2x + 5) \) polinomunun katsayılar toplamı \( P(P(3)) \)'tür.
\( P(7) = 4 \) olduğuna göre, \( P(P(P(2))) \) kaçtır?
Çözümü GösterBir polinomun sabit terimini bulmak için tüm değişkenlere 0 değeri verilir, dolayısıyla \( P(4x + 3) \) polinomunun sabit terimi \( P(4(0) + 3) = P(3) \) değerine eşittir.
\( P(3) = P(P(2)) \)
Bir polinomun katsayılar toplamını bulmak için tüm değişkenlere 1 değeri verilir, dolayısıyla \( P(2x + 5) \) polinomunun katsayılar toplamı \( P(2(1) + 5) = P(7) \) değerine eşittir.
\( P(7) = P(P(3)) \)
Değeri sorulan ifadeyi bulmak için bulduğumuz değerleri yerine koyalım.
\( P(P(P(2))) = P(P(3)) = P(7) \)
\( P(7) = 4 \) olarak verildiği için \( P(P(P(2))) = 4 \) olarak bulunur.
\( P(x) = x^4 - 4x^3 + 6x^2 - 4x + 4 \) olduğuna göre, \( P(\sqrt[4]{6} + 1) \) değeri kaçtır?
Çözümü GösterVerilen ifadeyi \( (x - 1)^4 \) binom ifadesinin açılımına benzetmek için ifadeden 3 çıkarıp 3 ekleyelim.
\( P(x) = x^4 - 4x^3 + 6x^2 - 4x + 4 - 3 + 3 \)
\( = x^4 - 4x^3 + 6x^2 - 4x + 1 + 3 \)
\( = (x - 1)^4 + 3 \)
\( P(x) \) polinomunda \( x = \sqrt[4]{6} + 1 \) yazalım.
\( P(\sqrt[4]{6} + 1) = (\sqrt[4]{6} + 1 - 1)^4 + 3 \)
\( = (\sqrt[4]{6})^4 + 3 \)
\( = 6 + 3 = 9 \) bulunur.
\( P(x) = (9 - 3x)^{25} \) polinomunun açılımındaki katsayıların mutlak değerlerinin toplamı kaçtır?
Çözümü Göster\( P(x) = (9 - 3x)^{25} \) polinomunun açılımındaki katsayıların mutlak değerlerinin toplamı, \( Q(x) = (9 + 3x)^{25} \) polinomunun açılımındaki katsayıların toplamına eşittir.
Bir polinomun katsayılar toplamını bulmak için tüm değişkenlere 1 değeri verilir, dolayısıyla \( Q(x) \) polinomunun katsayılar toplamı \( Q(1) \) değerine eşittir.
\( Q(1) = (9 + 3(1))^{25} = 12^{25} \) bulunur.
Şekilde \( P(x) \) polinomunun grafiği verilmiştir.
\( P(x) = 2x^5 + ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e \) olduğuna göre, \( a + b + c + d + e \) toplamı kaçtır?
Çözümü GösterBir polinomun katsayılar toplamını bulmak için tüm değişkenlere 1 değeri verilir, dolayısıyla \( P(x) \) polinomunun katsayılar toplamı \( P(1) \) değerine eşittir.
\( P(1) = 2(1)^5 + a(1)^4 + b(1)^3 + c(1)^2 + d(1) + e \)
\( = 2 + a + b + c + d + e \)
Verilen grafiği incelediğimizde \( P(1) = 11 \) olduğu görülür.
\( P(1) = 2 + a + b + c + d + e = 11 \)
\( a + b + c + d + e = 9 \) olarak bulunur.
\( a, b, c \in \mathbb{Z^+} \) olmak üzere,
\( P(x) = (x + a)(2x + b)(3x + c) \) polinomunun katsayılar toplamı 125 olduğuna göre, \( abc \) çarpımı kaçtır?
Çözümü GösterBir polinomun katsayılar toplamını bulmak için tüm değişkenlere 1 değeri verilir, dolayısıyla \( P(x) \) polinomunun katsayılar toplamı \( P(1) \) değerine eşittir.
\( P(1) = (1 + a)(2(1) + b)(3(1) + c) \)
\( 125 = (1 + a)(2 + b)(3 + c) \)
\( a, b, c \) birer pozitif tam sayı olarak veriliyor, dolayısıyla her parantezin değeri 1'den büyük birer tam sayıdır.
\( 125 = 5^3 \) olduğu için her parantezin değeri 5'e eşit olmalıdır.
\( 125 = 5 \cdot 5 \cdot 5 \)
\( 1 + a = 5 \Longrightarrow a = 4 \)
\( 2 + b = 5 \Longrightarrow b = 3 \)
\( 3 + c = 5 \Longrightarrow c = 2 \)
\( abc = 4 \cdot 3 \cdot 2 = 24 \) bulunur.
Başkatsayısı 1, diğer katsayıları birer doğal sayı olan 4. dereceden bir \( P(x) \) polinomunun sabit terimi 2, katsayılar toplamı 8'dir.
Bu koşullara uyan kaç farklı \( P(x) \) polinomu yazılabilir?
Çözümü Göster4. dereceden bir polinomu aşağıdaki şekilde yazabiliriz.
\( P(x) = x^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e \)
Bir polinomun sabit terimini bulmak için tüm değişkenlere 0 değeri verilir, dolayısıyla \( P(x) \) polinomunun sabit terimi \( P(0) \) değerine eşittir.
\( P(0) = 0^4 + b(0)^3 + c(0)^2 + d(0) + e = 2 \)
\( P(x) = x^4 + bx^3 + cx^2 + dx + 2 \)
Bir polinomun katsayılar toplamını bulmak için tüm değişkenlere 1 değeri verilir, dolayısıyla \( P(x) \) polinomunun katsayılar toplamı \( P(1) \) değerine eşittir.
\( P(1) = 1^4 + b(1)^3 + c(1)^2 + d(1) + 2 = 8 \)
\( b + c + d = 5 \)
Katsayılar doğal sayı olduğu için, problemi 5 adet özdeş 1 sayısının birbirinden farklı 3 \( b \), \( c \) ve \( d \) kutusuna farklı dağıtım sayısı şeklinde kurgulayabiliriz.
Katsayılardan bazıları sıfır olabilir, dolayısıyla özdeş \( n \) nesnenin \( k \) farklı kutuya her kutuda herhangi bir sayıda nesne olacak şekilde dağıtımı için ayraç yöntemi kullanılır.
Farklı dağıtım sayısı \( = C(n + k - 1, k - 1) \)
\( = C(5 + 3 - 1, 3 - 1) = C(7, 2) \)
\( = \dfrac{7!}{5! \cdot 2!} = 21 \) bulunur.