Polinomlarda İşlemler
Polinomların Eşitliği
Dereceleri aynı olan terimlerinin katsayıları birbirine eşit olan polinomlar eşittir. Bunun karşıtı da doğrudur, yani birbirine eşit iki polinomun aynı dereceli terimlerinin katsayıları birbirine eşittir.
\( P(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \ldots + a_1x + a_0 \)
\( Q(x) = b_nx^n + b_{n-1}x^{n-1} + \ldots + b_1x + b_0 \)
\( P(x) = Q(x) \) ise,
\( a_n = b_n, a_{n-1} = b_{n-1}, \ldots, a_1 = b_1, a_0 = b_0 \)
\( P(x) = 2x^2 + bx \)
\( Q(x) = ax^2 - 3x + c \)
\( P(x) = Q(x) \) ise,
\( a = 2, \quad b = -3, \quad c = 0 \)
İki polinom eşitse her \( x \) için polinomların değerleri de eşittir.
\( \dfrac{3x + 6}{(x - 2)(x + 1)} = \dfrac{A}{x - 2} + \dfrac{B}{x + 1} \)
olduğuna göre, \( AB \) çarpımı kaçtır?
Çözümü GösterEşitliğin iki tarafındaki ifadeleri birbirine benzetmek için eşitliğin sağ tarafında paydaları eşitleyelim.
\( \dfrac{3x + 6}{(x - 2)(x + 1)} = \dfrac{A(x + 1)}{(x - 2)(x + 1)} + \dfrac{B(x - 2)}{(x + 1)(x - 2)} \)
\( \dfrac{3x + 6}{(x - 2)(x + 1)} = \dfrac{Ax + A + Bx - 2B}{(x - 2)(x + 1)} \)
Paydalar eşit olduğuna göre paylar da eşit olmalıdır.
\( 3x + 6 = Ax + A + Bx - 2B \)
\( 3x + 6 = (A + B)x + A - 2B \)
İki polinomun eşitliğinde dereceleri aynı olan terimlerin katsayıları ve sabit terimler ayrı ayrı birbirine eşittir.
\( 3 = A + B \)
\( 6 = A - 2B \)
Birinci denklemden ikinci denklemi taraf tarafa çıkaralım.
\( -3 = 3B \Longrightarrow B = -1 \)
Bu değeri birinci denklemde yerine koyalım.
\( 3 = A + B \Longrightarrow A = 4 \)
\( AB = 4 \cdot (-1) = -4 \) bulunur.
\( P(x) \) bir polinom olmak üzere,
\( P(x - 2) = x^2 + ax + b \)
\( P(x - 1) = x^2 - x - 4 \)
olduğuna göre, \( a + b \) toplamı kaçtır?
Çözümü GösterPolinomları birbirine eşitleyebilmek için ikinci eşitlikte \( x \) yerine \( x - 1 \) yazalım.
\( P((x - 1) - 1) = (x - 1)^2 - (x - 1) - 4 \)
\( P(x - 2) = x^2 - 2x + 1 - x + 1 - 4 \)
\( P(x - 2) = x^2 - 3x - 2 \)
\( P(x - 2) \) polinomu için elimizdeki iki tanımı birbirine eşitleyelim.
\( x^2 + ax + b = x^2 - 3x - 2 \)
İki polinomun eşitliğinde dereceleri aynı olan terimlerin katsayıları ve sabit terimler ayrı ayrı birbirine eşittir.
\( a = -3 , \quad b = -2 \)
Buna göre \( a + b = (-3) + (-2) = -5 \) bulunur.
\( P(x) = K(2x - 1) + L(x + 2)^2 - 2Mx \)
\( P(x) \) bir sabit polinom ve \( P(x) = -3 \) olduğuna göre, \( K + L + M \) toplamını bulunuz.
Çözümü GösterPolinom tanımındaki terimlerin açılımını yazalım.
\( P(x) = 2Kx - K + L(x^2 + 4x + 4) - 2Mx \)
\( = 2Kx - K + Lx^2 + 4Lx + 4L - 2Mx \)
Benzer terimlerin katsayılarını toplayalım.
\( = Lx^2 + (2K + 4L - 2M)x - K + 4L \)
\( P(x) = -3 \) olarak veriliyor.
\( Lx^2 + (2K + 4L - 2M)x - K + 4L = -3 \)
İki polinomun eşitliğinde dereceleri aynı olan terimlerin katsayıları ve sabit terimler ayrı ayrı birbirine eşittir.
\( L = 0 \)
\( -K + 4L = -3 \)
\( -K + 4(0) = -3 \)
\( K = 3 \)
\( 2K + 4L - 2M = 0 \)
\( 2(3) + 4(0) - 2M = 0 \)
\( M = 3 \)
\( K + L + M = 3 + 0 + 3 = 6 \) bulunur.
Toplama ve Çıkarma İşlemi
İki polinom arasındaki toplama/çıkarma işleminde, dereceleri aynı olan terimlerin katsayıları kendi aralarında toplanır/çıkarılır ve o terimin katsayısı olarak yazılır.
\( (P + Q)(x) = (a_n + b_n)x^n + (a_{n-1} + b_{n-1})x^{n-1} + \ldots + (a_1 + b_1)x + (a_0 + b_0) \)
\( (P - Q)(x) = (a_n - b_n)x^n + (a_{n-1} - b_{n-1})x^{n-1} + \ldots + (a_1 - b_1)x + (a_0 - b_0) \)
\( P(x) = 2x^3 + 3x^2 - 5x + 2 \)
\( Q(x) = x^2 - x - 3 \)
\( (P + Q)(x) = (2 + 0)x^3 + (3 + 1)x^2 + (-5 + (-1))x + (2 + (-3)) \)
\( = 2x^3 + 4x^2 - 6x - 1 \)
\( (P - Q)(x) = (2 - 0)x^3 + (3 - 1)x^2 + (-5 - (-1))x + (2 - (-3)) \)
\( = 2x^3 + 2x^2 - 4x + 5 \)
İki polinomun toplamının/farkının belirli bir \( x = a \) için değeri, polinomların bu \( x = a \) için değerlerinin toplamına/farkına eşittir.
\( a \in \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( (P + Q)(a) = P(a) + Q(a) \)
\( (P - Q)(a) = P(a) - Q(a) \)
\( P(x) = x^3 + 2x^2 - 3x + 5 \)
\( Q(x) = x^2 - 4x + 7 \)
\( (P + Q)(1) = P(1) + Q(1) \)
\( = 5 + 4 = 9 \)
İki polinomun toplamı/farkı yine bir polinomdur.
Çarpma İşlemi
İki polinomun çarpımında birinci polinomun her terimi ikinci polinomun her terimi ile çarpılır ve elde edilen çarpımlar içindeki benzer terimler aralarında toplanır.
\( P(x) = \textcolor{red}{2x^2 - 3x + 1} \)
\( Q(x) = \textcolor{blue}{x - 2} \)
\( (P \cdot Q)(x) = (\textcolor{red}{2x^2 - 3x + 1})(\textcolor{blue}{x - 2}) \)
\( = \textcolor{red}{2x^2} \cdot \textcolor{blue}{x} + \textcolor{red}{2x^2} \cdot (\textcolor{blue}{-2}) + (\textcolor{red}{-3x}) \cdot \textcolor{blue}{x} + (\textcolor{red}{-3x}) \cdot (\textcolor{blue}{-2}) + \textcolor{red}{1} \cdot \textcolor{blue}{x} + \textcolor{red}{1} \cdot (\textcolor{blue}{-2}) \)
\( = 2x^3 - 4x^2 - 3x^2 + 6x + x - 2 \)
\( = 2x^3 - 7x^2 + 7x - 2 \)
\( m \) terimli bir polinom ile \( n \) terimli bir polinomun çarpımı sonucunda \( mn \) terimli bir polinom oluşur, ancak benzer terimlerin aralarında toplanması/çıkarılması sonucunda toplam terim sayısı daha düşük olabilir.
İki polinomun çarpımının belirli bir \( x = a \) için değeri, polinomların bu \( x = a \) için değerlerinin çarpımına eşittir.
\( a \in \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( (P \cdot Q)(a) = P(a) \cdot Q(a) \)
\( P(x) = x^3 + 2x^2 - 3x + 5 \)
\( Q(x) = x^2 - 4x + 7 \)
\( (P \cdot Q)(0) = P(0) \cdot Q(0) \)
\( = 5 \cdot 7 = 35 \)
İki polinomun çarpımı yine bir polinomdur.
Üs İşlemi
Bir \( P(x) \) polinomunun \( n \). dereceden üssü, \( n \) adet \( P(x) \) polinomunun çarpımına eşittir.
\( n \in \mathbb{Z^+} \) olmak üzere,
\( [P^n](x) = \underbrace{P(x) \cdot P(x) \cdot \ldots \cdot P(x)}_\text{n adet} \)
\( P(x) = x^2 - 2 \)
\( [P^3](x) = (x^2 - 2)^3 \)
Parantez küpü özdeşliğini kullanarak ifadenin açılımını yazalım.
\( = (x^2)^3 - 3(x^2)^2 \cdot 2 + 3x^2 \cdot 2^2 - 2^3 \)
\( = x^6 - 6x^4 + 12x^2 - 8 \)
Bir polinomun \( n \). dereceden üssünün belirli bir \( x = a \) için değeri, polinomun bu \( x = a \) için değerinin \( n \). dereceden üssüne eşittir.
\( a \in \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( (P^n)(a) = [P(a)]^n \)
\( P(x) = x^3 + 3x^2 - 4x + 2 \)
\( (P^5)(1) = [P(1)]^5 \)
\( = 2^5 = 32 \)
Bir polinomun bir pozitif tam sayı üssü yine bir polinomdur.
Bileşke İşlemi
Polinomlar arasında bileşke işlemi fonksiyonlardakine benzer şekilde yapılır. Buna göre iki polinom arasındaki bileşke işleminde birinci (dıştaki) polinomdaki her \( x \) değişkeni yerine ikinci (içteki) polinom yazılır.
\( (P \circ Q)(x) = P(Q(x)) \)
\( P(x) = x^2 - 2x + 2 \)
\( Q(x) = 5x^3 \)
\( (P \circ Q)(x) = P(Q(x)) = P(5x^3) \)
\( = (5x^3)^2 - 2(5x^3) + 2 \)
\( = 25x^6 - 10x^3 + 2 \)
Bir polinomun diğer bir polinomla bileşkesi yine bir polinomdur.
\( (-x^2 + x + 7)(3x^2 + 2x + 3) \) çarpımının açılımını yazınız.
Çözümü GösterBirinci çarpandaki terimleri sırayla ikinci çarpanla çarpalım.
\( = -x^2(3x^2 + 2x + 3) + x(3x^2 + 2x + 3) + 7(3x^2 + 2x + 3) \)
Parantez dışındaki çarpanları parantez içine dağıtalım.
\( = (-3x^4 - 2x^3 -3x^2) + (3x^3 + 2x^2 + 3x) + (21x^2 + 14x + 21) \)
Benzer terimlerin katsayılarını toplayalım.
\( = -3x^4 + (-2 + 3)x^3 + (-3 + 2 + 21)x^2 + (3 + 14)x + 21 \)
\( = -3x^4 + x^3 + 20x^2 + 17x + 21 \)
\( P(x) = 3x^3 - 2x + 1 \)
\( Q(x) = x^2 - 4x + 1 \)
olduğuna göre, \( (P \cdot Q)(-2) \) değeri kaçtır?
Çözümü Gösterİki polinomun çarpımının belirli bir \( x = a \) için değeri, polinomların bu \( x = a \) için değerlerinin çarpımına eşittir.
\( (P \cdot Q)(-2) = P(-2) \cdot Q(-2) \)
\( P(-2) = 3(-2)^3 - 2(-2) + 1 = -19 \)
\( Q(-2) = (-2)^2 - 4(-2) + 1 = 13 \)
\( P(-2) \cdot Q(-2) = -19 \cdot 13 \)
\( = -247 \) bulunur.
\( (3x^3 + ax^2 + x - 2)(2x^3 + 3x^2 - x - 1) \) çarpımının açılımındaki \( x^4 \)'lü terimin katsayısı 2 olduğuna göre, \( a \) kaçtır?
Çözümü GösterAçılımdaki \( x^4 \)'lü terim her bir parantezden gelen aşağıdaki terimlerin çarpımının toplamı ile elde edilir.
\( x^3x^1, \quad x^2x^2, \quad x^1x^3 \)
\( (3x^3)(-x) + (ax^2)(3x^2) + (x)(2x^3) = (-3 + 3a + 2)x^4 \)
Bu terimin katsayısı 2 olarak veriliyor.
\( -3 + 3a + 2 = 2 \)
\( a = 1 \) bulunur.
\( P(x) = 17x^4 + 8x^3 + 12x^2 - 3x + 2 \) ve
\( Q(x) = 23x^4 - 11x^3 - 9x^2 + 7 \) polinomları veriliyor.
\( P(x) \cdot Q(x) \) çarpımının açılımındaki \( x^3 \)'lü terimin katsayısı kaçtır?
Çözümü GösterAçılımdaki \( x^3 \)'lü terim her bir polinomdan gelen aşağıdaki terimlerin çarpımının toplamı ile elde edilir.
\( x^3x^0, \quad x^2x^1, \quad x^1x^2, \quad x^0x^3 \)
\( (8x^3)(7) + (12x^2)(0x) + (-3x)(-9x^2) + (2)(-11x^3) = (56 + 0 + 27 - 22)x^2 \)
\( = 61x^3 \)
Buna göre \( x^3 \)'li terimin katsayısı 61'dir.
\( P(3x - 1) - P(x - 2) = 6x + 3 \) olduğuna göre, \( P(2) - P(1) \) kaçtır?
Çözümü GösterVerilen ifadeye göre \( P(x) \) polinomu birinci dereceden bir polinomdur.
\( P(x) = ax + b \)
\( P(x) \) polinomunda \( x \) yerine \( 3x - 1 \) yazarak \( P(3x - 1) \) polinomunu, \( x - 2 \) yazarak \( P(x - 2) \) polinomunu bulalım.
\( [a(3x - 1) + b] - [a(x - 2) + b] = 6x + 3 \)
\( 2ax + a = 6x + 3 \)
İki polinomun eşitliğinde dereceleri aynı olan terimlerin katsayıları ve sabit terimler ayrı ayrı birbirine eşittir.
\( a = 3 \)
\( P(x) = 3x + b \)
Sorudaki ifadenin değerini bulmak için \( b \) değerine ihtiyacımız yoktur.
\( P(2) - P(1) = [3(2) + b] - [3(1) + b] = 3 \) bulunur.
\( A, B, C, D \in \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( \dfrac{(x - 1)(x^2 + x + 1) + 2x}{x + 1} = Ax^2 + Bx + C + \dfrac{D}{2(x + 1)} \)
olduğuna göre, \( A + B + D + C \) kaçtır?
Çözümü GösterEşitliğin solunda paydaki iki çarpanı küp farkı şeklinde yazalım.
\( (x - 1)(x^2 + x + 1) = x^3 - 1 \)
\( \dfrac{x^3 - 1 + 2x}{x + 1} = Ax^2 + Bx + C + \dfrac{D}{2(x + 1)} \)
Eşitliğin taraflarını \( x + 1 \) ile çarpalım.
\( x^3 + 2x - 1 = (Ax^2 + Bx + C)(x + 1) + \dfrac{D}{2} \)
\( x^3 + 2x - 1 = Ax^3 + Ax^2 + Bx^2 + Bx + Cx + C + \dfrac{D}{2} \)
Benzer terimlerin katsayılarını toplayalım.
\( x^3 + 2x - 1 = Ax^3 + (A + B)x^2 + (B + C)x + C + \dfrac{D}{2} \)
İki polinomun eşitliğinde dereceleri aynı olan terimlerin katsayıları ve sabit terimler ayrı ayrı birbirine eşittir.
\( x^3 = Ax^3 \Longrightarrow A = 1 \)
Eşitliğin solunda \( x^2 \)'li terim yoktur.
\( 0x^2 = (A + B)x^2 \)
\( 0 = A + B \Longrightarrow B = -1 \)
\( 2x = (B + C)x \)
\( 2 = B + C \Longrightarrow C = 3 \)
\( -1 = C + \dfrac{D}{2} \)
\( -1 = 3 + \dfrac{D}{2} \)
\( D = -8 \)
\( A + B + D + C = 1 + (-1) + 3 + (-8) = -5 \) bulunur.
\( P(x - 1) = 2x^2 + 3x - 4 \) olduğuna göre, \( P(2x + 1) \) polinomu nedir?
Çözümü Göster\( P(x - 1) \) ifadesinde parantez içini \( 2x + 1 \) yapmak için polinomda \( x \) gördüğümüz yere \( 2x + 2 \) yazalım.
\( P((2x + 2) - 1) = 2(2x + 2)^2 + 3(2x + 2) - 4 \)
\( P(2x + 1) = 2(4x^2 + 8x + 4) + 6x + 6 - 4 \)
\( P(2x + 1) = 8x^2 + 22x + 10 \)
\( A, B \in \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( P(x) = x^5 - 9x^4 + 32x^3 - 56x^2 + 48x - 9 \)
\( Q(x) = (x - 1)(x - A)^4 + B \)
polinomları birbirine eşit olduğuna göre, \( A + B \) kaçtır?
Çözümü Gösterİki polinom eşitse her \( x \) için polinomların değerleri de eşittir.
\( B \) değerini bulmak için her iki polinomda \( x = 1 \) yazalım.
\( P(1) = 1^5 - 9(1)^4 + 32(1)^3 - 56(1)^2 + 48(1) - 9 \)
\( = 1 - 9 + 32 - 56 + 48 - 9 = 7 \)
\( Q(1) = (1 - 1)(1 - A)^4 + B = B \)
Her iki polinomdan gelen değerleri birbirine eşitleyelim.
\( P(1) = Q(1) \)
\( B = 7 \)
\( Q(x) \) polinomunda \( B \) değerini yerine yazalım.
\( Q(x) = (x - 1)(x - A)^4 + 7 \)
Her iki polinomda herhangi bir değer olarak \( x = 2 \) yazalım.
\( P(2) = 2^5 - 9(2)^4 + 32(2)^3 - 56(2)^2 + 48(2) - 9 \)
\( = 32 - 144 + 256 - 224 + 96 - 9 \)
\( = 7 \)
\( Q(2) = (2 - 1)(2 - A)^4 + 7 = (2 - A)^4 + 7 \)
Her iki polinomdan gelen değerleri birbirine eşitleyelim.
\( P(2) = Q(2) \)
\( (2 - A)^4 + 7 = 7 \)
\( (2 - A)^4 = 0 \)
\( A = 2 \)
\( A + B = 2 + 7 = 9 \) bulunur.
\( k, A, B \in \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( P(x) = x^5 - 5x^3 + 19x + 12 \) polinomu,
\( P(x) = (x - 2)^2 \cdot Q(x) + Ax + B \) eşitliğini de sağladığına göre, \( A + B \) kaçtır?
Çözümü Göster\( P(2) \) değerini bulmak için her iki ifadede \( x = 2 \) yazalım.
\( P(2) = 2^5 - 5(2)^3 + 19(2) + 12 = 42 \)
\( P(2) = (2 - 2)^2 \cdot Q(2) + 2A + B = 2A + B \)
Her iki ifadeden gelen \( P(2) \) değerlerini birbirine eşitleyelim.
\( 2A + B = 42 \)
İkinci eşitlikte \( x - 2 \) çarpanı iki katlı olduğu için ifadenin türevinde de \( x = 2 \) yazarak \( Q(x) \) çarpanını yok edebiliriz.
Soruda verilen eşitliklerin türevlerini alalım.
\( P'(x) = 5x^4 - 15x^2 + 19 \)
\( P'(x) = 2(x - 2) \cdot Q(x) + (x - 2)^2 \cdot Q'(x) + A \)
\( P'(2) \) değerini bulmak için her iki ifadede \( x = 2 \) yazalım.
\( P'(2) = 5(2)^4 - 15(2)^2 + 19 = 39 \)
\( P'(2) = 2(2 - 2) \cdot Q(2) + (2 - 2)^2 \cdot Q'(2) + A = A \)
Her iki ifadeden gelen \( P'(2) \) değerlerini birbirine eşitleyelim.
\( A = 39 \)
\( 2A + B = 52 \) denkleminde \( A = 39 \) yazalım.
\( 2(39) + B = 42 \)
\( B = -36 \)
\( A + B = 39 + (-36) = 3 \) bulunur.