Polinom Bölmesi

Eğer bölünen ve bölen polinomları tüm çarpanlarına ayrılmıyorsa ya da ayrıldığında bölen polinomunun tüm çarpanları sadeleşmiyorsa bölme işlemi polinom bölmesi adı verilen yöntemle gerçekleştirilebilir. Bu işlem sayılarla bölme işlemine benzemekte olup, örnek bir bölme işlemi üzerinden anlatacağımız aşağıdaki adımlardan oluşur.

ÖRNEK:

Aşağıdaki \( P(x) \) polinomunu \( B(x) \) polinomuna bölelim.

\( P(x) = 2x^4 + x^3 - x^2 + 12x - 5 \)

\( B(x) = x^2 + 2x \)

İşlem	Açıklama
	Adım 1: Önce bölme çizgileri çizilerek bölünen (1) ve bölen (8) polinomları yerlerine yazılır. Bu noktada polinom terimlerinin en yüksekten en düşük dereceye doğru sıralandığından emin olunmalıdır.
	Adım 2: Bölünen polinomunun (1) ilk terimi (\( 2x^4 \)) bölen polinomunun (8) ilk terimine (\( x^2 \)) bölünür ve sonuç bölüm (9) kısmına yazılır (\( 2x^2 \)). Bulunan sonuç (\( 2x^2 \)) bölen polinomu (8) ile çarpılarak sonuç 2. satıra, her terim aynı dereceli terimin altına gelecek şekilde yazılır (\( 2x^4 + 4x^3 \)). 2. satırdaki polinom 1. satırdaki polinomdan benzer terimlerin katsayılarının farkı alınarak çıkarılır ve sonuç 3. satıra yazılır (\( -3x^3 - x^2 + 12x - 5 \)). Çıkarma işlemi sonucunda elde edilen polinomun (3) derecesi bölen polinomunun (8) derecesinden küçük olmadığı için bölme işlemine devam edilir.
	Adım 3: Bu adımda 2. adımdaki işlemler 1. satır yerine 3. satır baz alınarak tekrarlanır. 3. satırdaki polinomun ilk terimi (\( -3x^3 \)) bölen polinomunun (8) ilk terimine (\( x^2 \)) bölünür ve sonuç bölüm (9) kısmına yeni bir terim olarak yazılır (\( -3x \)). Bulunan sonuç (\( -3x \)) bölen polinomu (8) ile çarpılarak sonuç 4. satıra yazılır (\( -3x^3 - 6x^2 \)). 4. satırdaki polinom 3. satırdaki polinomdan çıkarılır ve sonuç 5. satıra yazılır (\( 5x^2 + 12x - 5 \)). Çıkarma işlemi sonucunda elde edilen polinomun (5) derecesi bölen polinomunun (8) derecesinden küçük olmadığı için bölme işlemine devam edilir.
	Adım 4: Bu adımda 2. adımdaki işlemler 1. satır yerine 5. satır baz alınarak tekrarlanır. 5. satırdaki polinomun ilk terimi (\( 5x^2 \)) bölen polinomunun (8) ilk terimine (\( x^2 \)) bölünür ve sonuç bölüm (9) kısmına yeni bir terim olarak yazılır (\( +5 \)). Bulunan sonuç (\( +5 \)) bölen polinomu (8) ile çarpılarak sonuç 6. satıra yazılır (\( 5x^2 + 10x \)). 6. satırdaki polinom 5. satırdaki polinomdan çıkarılır ve sonuç 7. satıra yazılır (\( 2x - 5 \)). Çıkarma işlemi sonucunda elde edilen polinomun (7) derecesi bölen polinomunun (8) derecesinden küçük olduğu için bölme işlemi tamamlanmıştır. Bölüm kısmındaki polinom (9) işlemin bölümü, kalan kısmındaki polinom (7) da kalanıdır. Kalan polinomu sıfırdan farklı olduğu için bölme işlemi kalanlı bir bölmedir.

Bu işlemin sonucunda bölüm ve kalan polinomları aşağıdaki gibi elde edilir.

\( Q(x) = 2x^2 - 3x + 5 \)

\( K(x) = 2x - 5 \)

Bu bölme işlemi aşağıdaki şekilde ifade edilebilir.

\( P(x) = B(x)Q(x) + K(x) \)

\( \underbrace{2x^4 + x^3 - x^2 + 12x - 5}_{P(x)} = \underbrace{(x^2 + 2x)}_{B(x)}\underbrace{(2x^2 - 3x + 5)}_{Q(x)} + \underbrace{2x - 5}_{K(x)} \)

Polinomların derecelerinin yukarıda paylaştığımız iki kuralla tutarlı olduğu kontrol edilebilir.

Bölüm polinomunun derecesi bölünen ve bölen polinomlarının dereceleri farkına eşittir (\( 2 = 4 - 2 \)).
Kalan polinomunun derecesi bölen polinomunun derecesinden küçüktür (\( 1 \le 2 \)).

Polinom bölme işleminde polinomlar alt alta yazılıp birbirinden çıkarılırken, sıfır katsayılı terimlerin de dahil edilmesi ve eşit dereceli terimlerin dikey olarak hizalanması hem işlem kolaylığı sağlayacak hem de olası işlem hatalarının önüne geçecektir.

SORU 1 :

Aşağıdaki polinom bölme işlemlerinde bölüm ve kalan polinomlarını bulunuz.

(a) \( 2x^3 - x + 1 \) polinomunun \( x^2 + x + 1 \) ile bölümü

(b) \( 2x^4 + 3x^3 + 3x^2 - 5x - 3 \) polinomunun \( 2x^2 - x - 5 \) ile bölümü

Çözümü Göster

(a) seçeneği:

\( 2x^3 - x + 1 \) polinomunun \( x^2 + x + 1 \) ile bölümünde bölüm polinomu \( 2x - 2 \), kalan polinomu \( 3 - x \) olarak bulunur.

\( 2x^3 - x + 1 = (x^2 + x + 1)(2x - 2) + 3 - x \)

Bölme işleminin adımları aşağıda gösterilmiştir.

(b) seçeneği:

\( 2x^4 + 3x^3 + 3x^2 - 5x - 3 \) polinomunun \( 2x^2 - x - 5 \) ile bölümünde bölüm polinomu \( x^2 + 2x + 5 \), kalan polinomu \( 10x + 22 \) olarak bulunur.

\( 2x^4 + 3x^3 + 3x^2 - 5x - 3 = (2x^2 - x - 5)(x^2 + 2x + 5) + 10x + 22 \)

Bölme işleminin adımları aşağıda gösterilmiştir.

(c) seçeneği:

\( 9x^3 + 5 \) polinomunun \( 2x^3 - 3 \) ile bölümünde bölüm polinomu \( \frac{9}{2} \), kalan polinomu \( \frac{37}{2} \) olarak bulunur.

\( 9x^3 + 5 = (2x^3 - 3) \cdot \dfrac{9}{2} + \dfrac{37}{2} \)

Bölme işleminin adımları aşağıda gösterilmiştir.

Chatbot'a canlı soru sorun Soru sorun (e-mail) Soruda hata bildirin

SORU 2 :

Aşağıdaki polinom bölme işlemlerinde bölüm ve kalan polinomlarını bulunuz.

(a) \( -6x^4 + x^3 + 10x^2 + 18x + 3 \) polinomunun \( 3x + 1 \) ile bölümü

(b) \( 7x^5 + 9x^4 - 5x^3 + 3x - 8 \) polinomunun \( x^2 + 1 \) ile bölümü

Çözümü Göster

(a) seçeneği:

\( -6x^4 + x^3 + 10x^2 + 18x + 3 \) polinomunun \( 3x + 1 \) ile bölümünde bölüm polinomu \( -2x^3 + x^2 + 3x + 5 \), kalan polinomu \( -2 \) olarak bulunur.

\( -6x^4 + x^3 + 10x^2 + 18x + 3 = (3x + 1)(-2x^3 + x^2 + 3x + 5) - 2 \)

Bölme işleminin adımları aşağıda gösterilmiştir.

(b) seçeneği:

\( 7x^5 + 9x^4 - 5x^3 + 3x - 8 \) polinomunun \( x^2 + 1 \) ile bölümünde bölüm polinomu \( 7x^3 + 9x^2 - 12x - 9 \), kalan polinomu \( 15x + 1 \) olarak bulunur.

\( 7x^5 + 9x^4 - 5x^3 + 3x - 8 = (x^2 + 1)(7x^3 + 9x^2 - 12x - 9) + 15x + 1 \)

Bölme işleminin adımları aşağıda gösterilmiştir.

(c) seçeneği:

\( -10x^6 + 6x^5 + 2x^3 + 5x - 3 \) polinomunun \( -x^3 + x^2 - 3 \) ile bölümünde bölüm polinomu \( 10x^3 + 4x^2 + 4x - 28 \), kalan polinomu \( 40x^2 + 17x - 87 \) olarak bulunur.

\( -10x^6 + 6x^5 + 2x^3 + 5x - 3 = (-x^3 + x^2 - 3)(10x^3 + 4x^2 + 4x - 28) + 40x^2 + 17x - 87 \)

Bölme işleminin adımları aşağıda gösterilmiştir.