Kalan Teoremi

(a) seçeneği:

Kalan teoremine göre, \( P(x) \) polinomunun \( x - 4 \) polinomuna bölümünden kalan, bölen polinomunu sıfır yapan \( x = 4 \) değeri için bölünen polinomunun değeri, yani \( P(4) \) olur.

\( P(4) = 4^2 + 5(4) - 14 \)

\( = 22 \)

Buna göre, \( P(x) \) polinomunun \( x - 4 \) polinomuna bölümünden kalan \( P(4) = 22 \) olur.

(b) seçeneği:

Kalan teoremine göre, \( P(x) \) polinomunun \( x + 3 \) polinomuna bölümünden kalan, bölen polinomunu sıfır yapan \( x = -3 \) değeri için bölünen polinomunun değeri, yani \( P(-3) \) olur.

\( P(-3) = (-3)^2 + 5(-3) - 14 \)

\( = -20 \)

Buna göre, \( P(x) \) polinomunun \( x + 3 \) polinomuna bölümünden kalan \( P(-3) = -20 \) olur.

(c) seçeneği:

Kalan teoremine göre, \( P(x) \) polinomunun \( x + 1 \) polinomuna bölümünden kalan, bölen polinomunu sıfır yapan \( x = -1 \) değeri için bölünen polinomunun değeri, yani \( P(-1) \) olur.

\( P(-1) = (-1)^2 + 5(-1) - 14 \)

\( = -18 \)

Buna göre, \( P(x) \) polinomunun \( x + 1 \) polinomuna bölümünden kalan \( P(-1) = -18 \) olur.

(a) seçeneği:

Kalan teoremine göre, \( P(x) \) polinomunun \( 19x - 57 \) polinomuna bölümünden kalan, bölen polinomunu sıfır yapan \( x = 3 \) değeri için bölünen polinomunun değeri, yani \( P(3) \) olur.

\( P(3) = 3^7 - 3(3)^6 - 6(3)^4 + 4(3)^2 + 3 - 27 \)

\( = -474 \)

Buna göre, \( P(x) \) polinomunun \( 19x - 57 \) polinomuna bölümünden kalan \( P(3) = -474 \) olur.

(b) seçeneği:

Kalan teoremine göre, \( P(x) \) polinomunun \( 4 - x \) polinomuna bölümünden kalan, bölen polinomunu sıfır yapan \( x = 4 \) değeri için bölünen polinomunun değeri, yani \( P(4) \) olur.

\( P(4) = 4^8 - 4(4)^7 + 4^6 - 64(4)^3 + 10 \)

\( = 10 \)

Buna göre, \( P(x) \) polinomunun \( 4 - x \) polinomuna bölümünden kalan \( P(4) = 10 \) olur.

(c) seçeneği:

Kalan teoremine göre, \( P(x) \) polinomunun \( -3x - 6 \) polinomuna bölümünden kalan, bölen polinomunu sıfır yapan \( x = -2 \) değeri için bölünen polinomunun değeri, yani \( P(-2) \) olur.

\( P(-2) = 2(-2)^3 - 3(-2)^2 + 2(-2) - 4 \)

\( = -36 \)

Buna göre, \( P(x) \) polinomunun \( -3x - 6 \) polinomuna bölümünden kalan \( P(-2) = -36 \) olur.

(a) seçeneği:

Kalan teoremine göre, \( P(3 - x) \) polinomunun \( x + 5 \) polinomuna bölümünden kalan, bölen polinomunu sıfır yapan \( x = -5 \) değeri için bölünen polinomunun değeri, yani \( P(3 - (-5)) = P(8) \) olur.

\( P(8) = 8^4 - 3(8)^3 - 8^2 + 5 \)

\( = 2501 \)

Buna göre, \( P(3 - x) \) polinomunun \( x + 5 \) polinomuna bölümünden kalan \( P(8) = 2501 \) olur.

(b) seçeneği:

Kalan teoremine göre, \( P(2x - 1) \) polinomunun \( 36 - 18x \) polinomuna bölümünden kalan, bölen polinomunu sıfır yapan \( x = 2 \) değeri için bölünen polinomunun değeri, yani \( P(2(2) - 1) = P(3) \) olur.

\( P(3) = 3^4 - 3(3)^3 - 3^2 + 5 \)

\( = -4 \)

Buna göre, \( P(2x - 1) \) polinomunun \( 36 - 18x \) polinomuna bölümünden kalan \( P(3) = -4 \) olur.

(c) seçeneği:

Kalan teoremine göre, \( P(3x - 19) \) polinomunun \( 28 - 4x \) polinomuna bölümünden kalan, bölen polinomunu sıfır yapan \( x = 7 \) değeri için bölünen polinomunun değeri, yani \( P(3(7) - 19) = P(2) \) olur.

\( P(2) = 2^4 - 3(2)^3 - 2^2 + 5 \)

\( = -7 \)

Buna göre, \( P(3x - 19) \) polinomunun \( 28 - 4x \) polinomuna bölümünden kalan \( P(2) = -7 \) olur.

Kalan teoremine göre, \( P(x - 5) \) polinomunun \( x - 7 \) polinomuna bölümünden kalan, bölen polinomunu sıfır yapan \( x = 7 \) değeri için bölünen polinomunun değeri, yani \( P(7 - 5) = P(2) \) olur.

\( P(2) \) değerini bulmak için soruda verilen polinomda parantez içini 2 yapan \( x \) değerini bulalım.

\( 4x - 2 = 2 \Longrightarrow x = 1 \)

\( P(4(1) - 2) = 2(1)^3 - 3(1)^2 - 4(1) + 6 \)

\( P(2) = 1 \)

Buna göre, \( P(x - 5) \) polinomunun \( x - 7 \) polinomuna bölümünden kalan \( P(2) = 1 \) olur.

Kalan teoremine göre, \( P(x + 1) \) polinomunun \( x + 1 \) polinomuna bölümünden kalan, bölen polinomunu sıfır yapan \( x = -1 \) değeri için bölünen polinomunun değeri, yani \( P(-1 + 1) = P(0) \) olur.

Kalan teoremine göre, \( P(x - 1) \) polinomunun \( x + 2 \) polinomuna bölümünden kalan, bölen polinomunu sıfır yapan \( x = -2 \) değeri için bölünen polinomunun değeri, yani \( P(-2 - 1) = P(-3) \) olur.

Bu iki bölme işleminde kalanlar birbirine eşittir.

\( P(0) = P(-3) \)

\( 2(0)^3 + a(0) + 4 = 2(-3)^3 + a(-3) + 4 \)

\( 4 = -54 - 3a + 4 \)

\( a = -18 \) bulunur.

Kalan teoremine göre, \( P(x) \) polinomu \( x - 2 \) ile tam bölünebildiği için \( P(2) = 0 \) olur.

\( P(x + 3) \) polinomunda \( P(2) \)'yi elde etmek için \( x = -1 \) yazalım.

\( P(-1 + 3) = 2(-1)^2 + 3(-1) - a \)

\( P(2) = -1 - a = 0 \)

\( a = -1 \)

Buna göre \( P(x + 3) \) polinomu aşağıdaki gibi olur.

\( P(x + 3) = 2x^2 + 3x + 1 \)

Kalan teoremine göre, \( P(-x + 3) \) polinomunun \( x - 5 \) ile bölümünden kalan, bölen polinomunu sıfır yapan \( x = 5 \) değeri için bölünen polinomunun değeri, yani \( P(-5 + 3) = P(-2) \) olur.

\( P(x + 3) \) polinomunda \( P(-2) \)'yi elde etmek için \( x = -5 \) yazalım.

\( P(-5 + 3) = 2(-5)^2 + 3(-5) + 1 \)

\( P(-2) = 36 \)

Buna göre, \( P(-x + 3) \) polinomunun \( x - 5 \) polinomuna bölümünden kalan \( P(-2) = 36 \) olur.

Kalan teoremine göre, \( P(x) \) polinomunun \( x - k \) ile bölümünden kalan, bu bölen polinomunu sıfır yapan \( x = k \) değerini \( P(x) \) polinomunda yerine koyduğumuzda elde ettiğimiz \( P(k) \) değeridir.

\( P(k) = k^3 + 6k^2 - 4k - 23 = 1 \)

\( k^3 + 6k^2 - 4k - 24 = 0 \)

Elde ettiğimiz denklemi çarpanlarına ayıralım.

\( k^2(k + 6) - 4(k + 6) = 0 \)

\( (k + 6)(k^2 - 4) = 0 \)

\( (k + 6)(k - 2)(k + 2) = 0 \)

\( k \)'nın alabileceği değerler yukarıdaki çarpanları sıfır yapan değerlerdir.

Bu değerlerin toplamı \( -6 + (-2) + 2 = 6 \) olarak bulunur.

Kalan teoremine göre, \( P(x) \) polinomunun \( x - k \) ile bölümünden kalan, bu bölen polinomunu sıfır yapan \( x = k \) değerini \( P(x) \) polinomunda yerine koyduğumuzda elde ettiğimiz \( P(k) \) değeridir.

\( P(x) \) polinomunun \( x - k \) ile bölümünden kalan \( P(k) \) olur.

\( P(k) = 9k^2 - 6k + 1 \)

\( P(x) \) polinomunun \( x - \frac{k}{3} \) ile bölümünden kalan \( P(\frac{k}{3}) \) olur.

\( P(\frac{k}{3}) = 9(\frac{k}{3})^2 - 6(\frac{k}{3}) + 1 \)

\( = k^2 - 2k + 1 \)

Bu iki bölme işleminde kalanlar birbirine eşittir.

\( 9k^2 - 6k + 1 = k^2 - 2k + 1 \)

Tüm terimleri eşitliğin aynı tarafında toplayalım.

\( 8k^2 - 4k = 0 \)

\( 4k(2k - 1) = 0 \)

\( k \)'nın alabileceği değerler bu denklemin çarpanlarını sıfır yapan tam sayı değerlerdir.

\( k = 0 \) bulunur.

Kalan teoremine göre, \( P(x) \) polinomunun \( x - k \) ile bölümünden kalan, bu bölen polinomunu sıfır yapan \( x = k \) değerini \( P(x) \) polinomunda yerine koyduğumuzda elde ettiğimiz \( P(k) \) değeridir.

\( P(x) \) polinomunun \( x - a \) ile bölümünden kalan \( P(a) \) olur.

\( P(a) = a^2 - 2a + 3 \)

\( P(x) \) polinomunun \( x + a \) ile bölümünden kalan \( P(-a) \) olur.

\( P(-a) = (-a)^2 - 2(-a) + 3 \)

\( = a^2 + 2a + 3 \)

\( P(a) \) değeri \( P(-a) \) değerinin 3 katıdır.

\( P(a) = 3P(-a) \)

\( a^2 - 2a + 3 = 3(a^2 + 2a + 3) \)

\( a^2 - 2a + 3 = 3a^2 + 6a + 9 \)

Tüm terimleri eşitliğin aynı tarafında toplayalım.

\( 2a^2 + 8a + 6 = 0 \)

\( 2(a + 3)(a + 1) = 0 \)

\( a \)'nın alabileceği değerler her bir çarpanı sıfır yapan değerlerdir.

Bu değerlerin toplamı \( -3 + (-1) = -4 \) olarak bulunur.

Kalan teoremine göre, \( P(x - 1) \) polinomunun \( x \) polinomuna bölümünden kalan 6 ise \( P(0 - 1) = P(-1) = 6 \) olur.

Benzer şekilde, \( P(x + 3) \) polinomunun \( x + 1 \) polinomuna bölümünden kalan 3 ise \( P(-1 + 3) = P(2) = 3 \) olur.

\( P(x) \) polinomunun ikinci dereceden \( x^2 - x - 2 \) polinomuna bölümünden kalan, bölen polinomunun derecesinden daha düşük dereceden \( K(x) = ax + b \) polinomu olur.

Soruda verilen bölme işlemini yazalım.

\( P(x) = B(x)Q(x) + K(x) \)

\( P(x) = (x^2 - x - 2)Q(x) + ax + b \)

İkinci dereceden ifadeyi çarpanlarına ayıralım.

\( P(x) = (x + 1)(x - 2)Q(x) + ax + b \)

Kalan polinomundaki bilinmeyen \( a \) ve \( b \) değerlerini \( P(-1) \) ve \( P(2) \) değerlerini kullanarak bulalım.

\( P(-1) = (-1 + 1)(-1 - 2)Q(-1) + a(-1) + b \)

\( 6 = -a + b \)

\( P(2) = (2 + 1)(2 - 2)Q(2) + a(2) + b \)

\( 3 = 2a + b \)

Bu iki denklemi ortak çözdüğümüzde aşağıdaki değerleri buluruz.

\( a = -1, \quad b = 5 \)

\( K(x) = ax + b = -x + 5 \)

Buna göre, \( P(x) \) polinomunun \( x^2 - x - 2 \) polinomuna bölümünden kalan \( -x + 5 \) polinomudur.

Kalan teoremine göre \( P(x) \) polinomunun \( x - 2 \)'ye bölümünden kalan 1 ise \( P(2) = 1 \) olur.

Verilen eşitlikte \( x = 2 \) yazalım.

\( \dfrac{2P(2) - 2Q(2 - 3)}{2(2) + 1} = 5(2) - 2 \)

\( \dfrac{2(1) - 2Q(-1)}{5} = 8 \)

\( Q(-1) = -19 \)

Kalan teoremine göre, \( Q(x + 4) \) polinomunun \( x + 5 \) polinomuna bölümünden kalan, bölen polinomunu sıfır yapan \( x = -5 \) değeri için bölünen polinomunun değeri, yani \( Q(-5 + 4) = Q(-1) \) olur.

Buna göre istenen kalan değeri \( Q(-1) = -19 \) olarak bulunur.

Kalan teoremine göre, \( P(x) \) polinomunun \( x - 1 \) polinomuna bölümünden kalan, bölen polinomunu sıfır yapan \( x = 1 \) değeri için bölünen polinomunun değeri, yani \( P(1) \) olur.

\( P(1) \) değerini bulmak için \( x = 1 \) yazalım.

\( P(1) = 2 - 6 + 10 - 14 + \ldots - 198 \)

Daha rahat hesaplama yapmak için ifadeyi 2 parantezine alalım.

\( = 2(1 - 3 + 5 - 7 + \ldots - 99) \)

Parantez içindeki terimleri ikişerli gruplayalım.

\( = 2((1 - 3) + (5 - 7) + (9 - 11) + \ldots + (97 - 99)) \)

Her grubun değeri \( -2 \)'ye eşittir.

\( = 2((-2) + (-2) + (-2) + \ldots + (-2)) \)

Terim sayısı formülünü kullanarak \( -2 \) terimlerinin sayısını bulalım. Terim sayısını bulurken parantez içindeki ilk terimler olan 1, 5, 9, ..., 97 sayılarını referans alalım.

\( \text{Terim sayısı} = \dfrac{\text{Son terim} - \text{İlk terim}}{\text{Artış miktarı}} + 1 \)

\( = \dfrac{97 - 1}{4} + 1 = 25 \)

\( P(1) \) değerini bulalım.

\( P(1) = 2 \cdot 25 \cdot (-2) = -100 \) bulunur.

Bir \( P(x) \) polinomunun tek dereceli terimlerinin katsayılar toplamı aşağıdaki formülle hesaplanır.

Tek dereceli terimlerin katsayılar toplamı \( = \dfrac{P(1) - P(-1)}{2} \)

\( P(2x + 3) \) polinomunun tek dereceli terimlerinin katsayılar toplamı formülünde \( x = 1 \) yazalım.

\( \dfrac{P(2(1) + 3) - P(2(-1) + 3)}{2} = \dfrac{P(5) - P(1)}{2} \)

\( P(x + 2) = P(x - 2)Q(x) + 10 \) bölme işleminde polinomlardaki \( x \)'lerin katsayıları aynı olduğu için \( Q(x) = 1 \) olmalıdır.

\( P(x + 2) = P(x - 2) + 10 \)

\( P(x + 2) - P(x - 2) = 10 \)

\( x = 3 \) yazalım.

\( P(3 + 2) - P(3 - 2) = P(5) - P(1) = 10 \)

Buna göre \( P(2x + 3) \) polinomunun tek dereceli terimlerinin katsayılar toplamı \( \frac{P(5) - P(1)}{2} = \frac{10}{2} = 5 \) olur.

Kalan teoremine göre, bir \( P(x) \) polinomunun \( x - a \) polinomuna bölümünden kalan bu bölen polinomunu sıfır yapan \( x = a \) değerini \( P(x) \) polinomunda yerine koyduğumuzda elde ettiğimiz \( P(a) \) değeridir.

Buna göre \( P(x) \) polinomunun \( x + 3 \) ile bölümünden kalan \( P(-3) \), \( x + 4 \) ile bölümünden kalan \( P(-4) \) olur.

\( M = P(-3) = a(-3)^3 + b(-3)^2 + c(-3) + d \)

\( = -27a + 9b - 3c + d \)

\( N = P(-4) = a(-4)^3 + b(-4)^2 + c(-4) + d \)

\( = -64a + 16b - 4c + d \)

\( M - N \) ifadesini bulalım.

\( M - N = -27a + 9b - 3c + d - (-64a + 16b - 4c + d) \)

\( = 37a - 7b + c \)

\( M - N \) ifadesinin en küçük değerini alması için en büyük katsayıya sahip \( a \) en küçük değeri almalıdır.

Aynı şekilde en küçük katsayıya sahip \( b \) en büyük değeri almalıdır.

Bu durumda \( a = 4 \) ve \( b = 7 \) olur. \( c \) de geriye kalan 5 ve 6 değerlerinden küçük olan değeri alır.

\( c = 5, \quad d = 6 \)

\( M - N = 37 \cdot 4 - 7 \cdot 7 + 5 = 104 \) bulunur.

Soruda verilen bölme işlemini yazalım.

\( P(x) = (x - 2)^3Q(x) + 3x^2 + 2x + 6 \)

Kalan teoremine göre, \( P(x) \) polinomunun \( x - 2 \) polinomuna bölümünden kalan, bölen polinomunu sıfır yapan \( x = 2 \) değeri için bölünen polinomunun değeri, yani \( P(2) \) olur.

Verilen bölme işleminde bölenin çarpanlarından biri \( x - 2 \) olduğu için, bölme işleminde \( x = 2 \) koyarak ve işlemin kalan polinomu dışındaki terimini sıfırlayarak \( P(2) \) değerini bulabiliriz.

\( P(2) = (2 - 2)^3Q(2) + 3(2)^2 + 2(2) + 6 \)

\( = 0 + 12 + 4 + 6 = 22 \) bulunur.

Buna göre, \( P(x) \) polinomunun \( x - 2 \) polinomuna bölümünden kalan \( P(2) = 22 \) olur.

Soruda verilen bölme işlemini yazalım.

\( P(x) = (3x^2 - 10x - 8)Q(x) + 3x + 5 \)

İkinci dereceden bölen polinomunun çarpanlarına ayrıldığını görebiliriz.

\( P(x) = (3x + 2)(x - 4)Q(x) + 3x + 5 \)

Kalan teoremine göre, \( P(x) \) polinomunun \( 3x + 2 \) polinomuna bölümünden kalan, bölen polinomunu sıfır yapan \( x = -\frac{2}{3} \) değeri için bölünen polinomunun değeri, yani \( P(-\frac{2}{3}) \) olur.

Verilen bölme işleminde bölenin çarpanlarından biri \( 3x + 2 \) olduğu için, bölme işleminde \( x = -\frac{2}{3} \) koyarak ve işlemin kalan polinomu dışındaki terimini sıfırlayarak \( P(-\frac{2}{3}) \) değerini bulabiliriz.

\( P(-\frac{2}{3}) = (3(-\frac{2}{3}) + 2)(-\frac{2}{3} - 4)Q(-\frac{2}{3}) + 3(-\frac{2}{3}) + 5 \)

\( = (-2 + 2)(-\frac{2}{3} - 4)Q(-\frac{2}{3}) + (-2) + 5 \)

\( = 0 + 3 = 3 \) bulunur.

Buna göre, \( P(x) \) polinomunun \( 3x + 2 \) polinomuna bölümünden kalan \( P(-\frac{2}{3}) = 3 \) olur.

Soruda verilen bölme işlemini yazalım.

\( P(x - 4) = (x^2 - 8x + 12)Q(x) + 4x - 1 \)

İkinci dereceden bölen polinomunun çarpanlarına ayrıldığını görebiliriz.

\( P(x - 4) = (x - 2)(x - 6)Q(x) + 4x - 1 \)

Kalan teoremine göre, \( P(x + 2) \) polinomunun \( x + 4 \) polinomuna bölümünden kalan, bölen polinomunu sıfır yapan \( x = -4 \) değeri için bölünen polinomunun değeri, yani \( P(-4 + 2) = P(-2) \) olur.

Verilen bölme işleminde bölenin çarpanlarından biri \( x - 2 \) olduğu için, bölme işleminde \( x = 2 \) koyarak ve işlemin kalan polinomu dışındaki terimini sıfırlayarak \( P(-2) \) değerini bulabiliriz.

\( P(2 - 4) = (2 - 2)(2 - 6)Q(2) + 4(2) - 1 \)

\( P(-2) = 0 + 8 - 1 = 7 \) bulunur.

Buna göre, \( P(x + 2) \) polinomunun \( x + 4 \) polinomuna bölümünden kalan \( P(-2) = 7 \) olur.

İkinci dereceden bölen polinomunun çarpanlarına ayrıldığını görebiliriz.

\( P(x + 7) = (x + 1)(x - 3)Q(x) + 2x^2 + x + 1 \)

Kalanı istenen bölme işlemini yazalım.

\( P(x + 1) = (x - 5)Q(x) + K(x) \)

Kalan teoremine göre, \( P(x + 1) \) polinomunun \( x - 5 \) polinomuna bölümünden kalan, bölen polinomunu sıfır yapan \( x = 5 \) değeri için bölünen polinomunun değeri, yani \( P(5 + 1) = P(6) \) olur.

\( P(6) \) değerini bulmak için soruda verilen polinomda \( x = -1 \) yazalım. Bu değer bölme işleminin kalan polinomu dışındaki kısmını da sıfır yapar.

\( P(-1 + 7) = 0 \cdot Q(x) + 2(-1)^2 + (-1) + 1 \)

\( P(6) = 2 \) bulunur.

Buna göre, \( P(x + 1) \) polinomunun \( x - 5 \) polinomuna bölümünden kalan \( P(6) = 2 \) olur.

Kalan teoremine göre, \( P(x) \) polinomunun \( x - 3 \) polinomuna bölümünden kalan \( 7 \) ise \( P(3) = 7 \) olur.

Benzer şekilde, \( P(x) \) polinomunun \( x + 3 \) polinomuna bölümünden kalan \( -5 \) ise \( P(-3) = -5 \) olur.

\( P(x) \) polinomunun ikinci dereceden \( x^2 - 9 \) polinomuna bölümünden kalan, bölen polinomunun derecesinden daha düşük dereceden \( K(x) = ax + b \) formunda bir polinom olur.

Kalanı istenen bölme işlemini yazalım.

\( P(x) = (x^2 - 9)Q(x) + ax + b \)

Bu bölme işleminde bölenin çarpanlarının soruda verilen iki bölme işleminin bölenleri olduğunu görebiliriz.

\( P(x) = (x - 3)(x + 3)Q(x) + ax + b \)

Kalan polinomunda bilinmeyen \( a \) ve \( b \) değerlerini \( P(3) \) ve \( P(-3) \) değerlerini kullanarak bulabiliriz.

\( P(3) = (3 - 3)(3 + 3)Q(3) + a(3) + b \)

\( = 3a + b = 7 \)

\( P(-3) = (-3 - 3)(-3 + 3)Q(-3) + a(-3) + b \)

\( = -3a + b = -5 \)

Bu iki denklemi ortak çözdüğümüzde aşağıdaki değerleri buluruz.

\( a = 2, \quad b = 1 \)

\( K(x) = ax + b = 2x + 1 \)

Buna göre, \( P(x) \) polinomunun \( x^2 - 9 \) polinomuna bölümünden kalan \( 2x + 1 \) polinomudur.

Kalan teoremine göre, \( P(x) \) polinomunun \( x - 4 \) polinomuna bölümünden kalan 15 ise \( P(4) = 15 \) olur.

Benzer şekilde, \( P(x) \) polinomunun \( x + 2 \) polinomuna bölümünden kalan -3 ise \( P(-2) = -3 \) olur.

\( P(x) \) polinomunun ikinci dereceden \( x^2 - 2x - 8 \) polinomuna bölümünden kalan, bölen polinomunun derecesinden daha düşük dereceden \( K(x) = ax + b \) formunda bir polinom olur.

Kalanı istenen bölme işlemini yazalım.

\( P(x) = (x^2 - 2x - 8)Q(x) + ax + b \)

Bu bölme işleminde bölenin çarpanlarının soruda verilen iki bölme işleminin bölenleri olduğunu görebiliriz.

\( P(x) = (x - 4)(x + 2)Q(x) + ax + b \)

Kalan polinomunda bilinmeyen \( a \) ve \( b \) değerlerini \( P(4) \) ve \( P(-2) \) değerlerini kullanarak bulabiliriz.

\( P(4) = (4 - 4)(4 + 2)Q(4) + a(4) + b \)

\( = 4a + b = 15 \)

\( P(-2) = (-2 - 4)(-2 + 2)Q(-2) + a(-2) + b \)

\( = -2a + b = -3 \)

Bu iki denklemi ortak çözdüğümüzde aşağıdaki değerleri buluruz.

\( a = 3, \quad b = 3 \)

\( K(x) = ax + b = 3x + 3 \)

Buna göre, \( P(x) \) polinomunun \( x^2 - 2x - 8 \) polinomuna bölümünden kalan \( 3x + 3 \) polinomudur.

Soruda kalanları verilen bölme işlemlerini yazalım.

\( P(x) = (x^2 - 1)Q_1(x) + x + 3 \)

\( P(x) = (x^2 - 9)Q_2(x) + 3x + 1 \)

İki işlemde de bölen polinomlarını çarpanlarına ayıralım.

\( P(x) = (x - 1)(x + 1)Q_1(x) + x + 3 \)

\( P(x) = (x - 3)(x + 3)Q_2(x) + 3x + 1 \)

Kalanı istenen bölme işlemini yazalım.

\( P(x) \) polinomunun ikinci dereceden \( x^2 + 2x - 3 \) polinomuna bölümünden kalan, bölen polinomunun derecesinden daha düşük dereceden \( K(x) = ax + b \) şeklinde bir polinom olur.

\( P(x) = (x^2 + 2x - 3)Q_3(x) + ax + b \)

Bu işlemde de bölen polinomunu çarpanlarına ayıralım.

\( P(x) = (x - 1)(x + 3)Q_3(x) + ax + b \)

Üçüncü bölme işlemindeki bölen polinomunun çarpanlarından \( (x - 1) \)'in birinci bölme işleminin böleninin, \( (x - 3) \)'ün de ikinci bölme işleminin böleninin bir çarpanı olduğunu görüyoruz. Dolayısıyla soruda istenen \( ax + b \) polinomunu bulmak için bölen polinomunu sıfır yapacak iki \( x \) değeri için polinom değerlerini ilk iki bölme işlemini kullanarak bulabiliriz.

Birinci bölme işleminde \( x = 1 \) yazalım.

\( P(1) = (1 - 1)(1 + 1)Q_1(1) + 1 + 3 \)

\( = 4 \)

İkinci bölme işleminde \( x = -3 \) yazalım.

\( P(-3) = (-3 - 3)(-3 + 3)Q_2(-3) + 3(-3) + 1 \)

\( = -8 \)

Elde ettiğimiz bu iki polinom değerini üçüncü bölme işleminde yerine koyalım.

\( P(1) = (1 + 3)(1 - 1)Q_3(1) + a(1) + b \)

\( = a + b = 4 \)

\( P(-3) = (-3 + 3)(-3 - 1)Q_3(-3) + a(-3) + b \)

\( = -3a + b = -8 \)

Bu iki denklemi ortak çözdüğümüzde aşağıdaki değerleri buluruz.

\( a = 3, \quad b = 1 \)

\( K(x) = ax + b = 3x + 1 \)

Buna göre, \( P(x) \) polinomunun \( x^2 + 2x - 3 \) polinomuna bölümünden kalan \( 3x + 1 \) polinomudur.

Soruda verilen bölme işlemini yazalım.

Beşinci dereceden \( P(x) \) polinomu dördüncü dereceden \( x^4 + 3 \) polinomuna bölündüğünde bölüm polinomu birinci dereceden olur.

\( P(x) = (x^4 + 3)(4x + a) + 4x + a \)

\( P(x) \) polinomunun katsayılar toplamı \( x = 1 \) yazdığımızda elde ettiğimiz \( P(1) \) değeridir.

\( P(1) = (1^4 + 3)(4(1) + a) + 4(1) + a \)

\( 0 = 4(4 + a) + 4 + a \)

\( a = -4 \)

Bulduğumuz değeri polinomda yerine yazalım.

\( P(x) = (x^4 + 3)(4x - 4) + 4x - 4 \)

Kalan teoremine göre, \( P(x) \) polinomunun \( x - 2 \) polinomuna bölümünden kalan, bölen polinomunu sıfır yapan \( x = 2 \) değeri için bölünen polinomunun değeri, yani \( P(2) \) olur.

\( P(2) = (2^4 + 3)(4(2) - 4) + 4(2) - 4 \)

\( = 19(4) + 8 - 4 = 80 \) bulunur.

Kalan teoremine göre, bir \( P(x) \) polinomunun \( x - k \) ile bölümünden kalan, bu bölen polinomunu sıfır yapan \( x = k \) değerini \( P(x) \) polinomunda yerine koyduğumuzda elde ettiğimiz \( P(k) \) değeridir.

\( P(x) \) polinomunun \( x - 2 \) ile bölümünden kalan \( P(2) \), \( x + 2 \) ile bölümünden kalan \( P(-2) \) olur.

\( P(2) = 24 \)

\( P(-2) = 8 \)

Sorudaki üçüncü bölme işlemini yazalım.

\( P(x) = (x + 1)^3Q_3(x) + 3x^2 + x + 5 \)

Eşitlikte \( x = -1 \) yazalım.

\( P(-1) = 0 + 3(-1)^2 + (-1) + 5 = 7 \)

Bir polinom bölme işleminde kalan polinomunun derecesi bölen polinomunun derecesinden küçük olur.

\( (x - 2)(x + 2)(x + 1) \) üçüncü dereceden bir polinom olduğu için, \( P(x) \) polinomunun bu polinoma bölümünde kalan en çok ikinci dereceden olabilir.

\( P(x) = (x - 2)(x + 2)(x + 1)Q(x) + Ax^2 + Bx + C \)

Bu bölme işleminde \( Q(x) \) içeren terimi sıfır yapacak üç \( x \) değeri için \( P(x) \) değerini yukarıda bulmuştuk.

\( x \) yerine sırayla 2, -2 ve -1 koyarak \( A \), \( B \) ve \( C \) değerlerini bulalım.

\( P(2) = 0 \cdot 4 \cdot 3 \cdot Q(2) + A(2)^2 + B(2) + C \)

\( 4A + 2B + C = 24 \)

\( P(-2) = -4 \cdot 0 \cdot (-1) \cdot Q(-2) + A(-2)^2 + B(-2) + C \)

\( 4A - 2B + C = 8 \)

\( P(-1) = -3 \cdot 1 \cdot 0 \cdot Q(-1) + A(-1)^2 + B(-1) + C \)

\( A - B + C = 7 \)

\( B \) değerini bulmak için 1. denklemden 2. denklemi taraf tarafa çıkaralım.

\( (4A + 2B + C) - (4A - 2B + C) = 24 - 8 \)

\( 4B = 16 \)

\( B = 4 \)

2. ve 3. denklemlerde \( B \) değerini yerine yazalım ve denklemleri birbirinden çıkaralım.

\( 4A + C = 16 \)

\( A + C = 11 \)

\( (4A + C) - (A + C) = 16 - 11 \)

\( A = \dfrac{5}{3} \)

\( A \) ve \( B \) değerlerini 3. denklemde yerine koyalım.

\( \dfrac{5}{3} - 4 + C = 7 \)

\( C = \dfrac{28}{3} \)

\( P(x) \) polinomunun \( (x - 2)(x + 2)(x + 1) \) ile bölümünden kalan polinomu aşağıdaki gibi bulunur.

\( Ax^2 + Bx + C = \dfrac{5}{3}x^2 + 4x + \dfrac{28}{3} \) bulunur.

Sorudaki birinci bölme işlemini yazalım.

\( P(x) = (x^2 + 2)Q(x) + 2x - 1 \)

Eşitliğin taraflarının karesini alalım.

\( P^2(x) = [(x^2 + 2)Q(x) + (2x - 1)]^2 \)

Parantez karesi ifadesinin açılımını yazalım.

\( = [(x^2 + 2)Q(x)]^2 + 2(x^2 + 2)Q(x)(2x - 1) + (2x - 1)^2 \)

Bu açılımda birinci ve ikinci terimler \( x^2 + 2 \) çarpanı içerdiği için bu çarpana tam bölünür.

\( \dfrac{P^2(x)}{x^2 + 2} = (x^2 + 2)Q^2(x) + 2Q(x)(2x - 1) + \dfrac{(2x - 1)^2}{x^2 + 2} \)

Dolayısıyla \( P^2(x) \) polinomunun \( x^2 + 2 \) polinomuna bölümünden kalan son terimin \( x^2 + 2 \) polinomuna bölümünden kalana eşittir.

\( (2x - 1)^2 = 4x^2 - 4x + 1 \) polinomunu \( x^2 + 2 \) polinomuna polinom bölmesi ile böldüğümüzde \( -4x - 7 \) kalanını buluruz.

\( 4x^2 - 4x + 1 = (x^2 + 2) \cdot 4 - 4x - 7 \)

\( K(x) = -4x - 7 \) bulunur.