Derece İndirgeme Yöntemiyle Kalan Bulma
Bir polinom bölme işleminde kalanı bulmak için kullanabileceğimiz iki yöntemi önceki polinom bölmesi ve kalan teoremi sayfalarında gördük. Polinom bölmesi tüm bölme işlemlerine uygulanabilirken kalan teoremi bölen polinomunu sıfır yapan \( x \) değerlerinin bulunduğu durumlarda kullanılabilir.
Derece indirgeme yöntemi yüksek dereceden polinomlarda bölme işlemi yapmaya gerek kalmadan kalan bulmakta kullanılır. Bu yöntemde bölünen polinom, bölen polinomunun en yüksek dereceli terimi kullanılarak derecesi kalan polinomunun derecesi ile aynı olana kadar sadeleştirilir.
Bu yöntemin adımlarını paylaşmadan önce uygulamasını bir örnek üzerinde gösterelim.
\( P(x) = 3x^3 + 2x^2 + 7x - 3 \) polinomunun \( x^2 - x + 1 \) polinomuna bölümünden kalanı bulalım.
Verilen bölme işlemini yazalım.
\( P(x) = (x^2 - x + 1)Q(x) + K(x) \)
Kalan polinomunu bulmak için bölen polinomunu sıfıra eşitleyip en yüksek dereceli terimi yalnız bırakalım.
\( x^2 - x + 1 = 0 \)
\( x^2 = x - 1 \)
Bu değeri kullanarak \( P(x) \) polinomundaki diğer daha yüksek dereceden ifadelerin değerini bulalım.
\( x^3 = x^2x = x(x - 1) \)
\( = x^2 - x = (x - 1) - x \)
\( = -1 \)
Bulduğumuz değerleri \( P(x) \) polinomunda yerine koyarak kalan polinomunu bulalım.
\( 3x^3 + 2x^2 + 7x - 3 = 3(-1) + 2(x - 1) + 7x - 3 \)
\( = 9x - 8 \)
Elde ettiğimiz polinomunun derecesi \( x^2 - x + 1 \) polinomunun derecesinden düşüktür ve aradığımız kalan polinomudur.
\( P(x) = (x^2 - x - 1)Q(x) + 9x - 8 \)
Verilen iki polinom arasında polinom bölme işlemi yapıldığında aynı kalanın elde edileceği görülebilir.
Bu yöntem \( B(x) \) bölen polinomunun \( k. \) dereceden olduğu \( P(x) = B(x)Q(x) + K(x) \) formundaki bir bölme işlemine aşağıdaki adımlar takip edilerek uygulanabilir.
- \( B(x) \) polinomu sıfıra eşitlenir, polinomun en yüksek \( k. \) dereceden terimi (\( x^k \)) yalnız bırakılır ve diğer terimler eşitliğin sağ tarafına atılır.
- \( x^k \) için elde edilen bu ifade kullanılarak \( P(x) \) polinomunda \( k \) ya da daha yüksek dereceden olan tüm terimlerin derecesi \( k \)'dan düşük olacak şekilde yazılır.
- Bu işlem sonucunda elde edilen polinom \( K(x) \) kalan polinomudur.
Bu yöntemde yapılabilecek olası bir hata ile ilgili uyarımızı bir örnek üzerinde yapalım.
\( P(x) = x^{14} + x^{10} + 3x - 8 \) polinomunun \( x^3 + 1 \) polinomuna bölümünden kalanı bulalım.
Verilen bölme işlemini yazalım.
\( P(x) = (x^3 + 1)Q(x) + K(x) \)
Kalan polinomunu bulmak için bölen polinomunu sıfıra eşitleyip en yüksek dereceli terimi yalnız bırakalım.
\( x^3 + 1 = 0 \)
\( x^3 = -1 \)
Bu değeri kullanarak \( P(x) \) polinomundaki diğer daha yüksek dereceden ifadelerin değerini bulalım.
\( x^{10} = (x^3)^3x \)
\( = (-1)^3x = -x \)
\( x^{14} = (x^3)^4x^2 \)
\( = (-1)^4x^2 = x^2 \)
Bulduğumuz değerleri \( P(x) \) polinomunda yerine koyarak kalan polinomunu bulalım.
\( x^{14} + x^{10} + 3x - 8 = -x + x^2 + 3x - 8 \)
\( = x^2 + 2x - 8 \)
Bu adımda yapılabilecek olası bir hata, \( x^3 = -1 \) eşitliğinden \( x = -1 \) sonucunu çıkararak üçten daha düşük dereceli \( x \) terimlerinde de \( x = -1 \) yazmak olacaktır. Bu yöntemde bölen polinomunun sadece en yüksek dereceli terimi ve onun tam sayı üsleri \( P(x) \) polinomunda yerine konmalıdır.
Elde ettiğimiz polinomunun derecesi \( x^3 + 1 \) polinomunun derecesinden düşüktür ve aradığımız kalan polinomudur.
\( P(x) = (x^3 + 1)Q(x) + x^2 + 2x - 8 \)
\( P(x) = 2x^{11} + 3x^4 + ax^3 - bx^2 + 2c + a \) polinomu veriliyor.
\( P(x) \) polinomunun \( x^3 + 1 \) ile bölümünden kalan \( -6x^2 - 3x + 2 \) olduğuna göre, \( b + c \) toplamı kaçtır?
Çözümü GösterSoruda verilen bölme işlemini yazalım.
\( P(x) = (x^3 + 1)Q(x) - 6x^2 - 3x + 2 \)
Derece indirgeme yöntemini kullanalım.
Kalan polinomunu bulmak için bölen polinomunu sıfıra eşitleyip en yüksek dereceli terimi yalnız bırakalım.
\( x^3 + 1 = 0 \)
\( x^3 = -1 \)
Bu değeri kullanarak \( P(x) \) polinomundaki diğer daha yüksek dereceden ifadelerin değerini bulalım.
\( x^{11} = (x^3)^3x^2 \)
\( = (-1)^3x^2 = -x^2 \)
\( x^4 = x^3x \)
\( = (-1)x = -x \)
Bulduğumuz değerleri \( P(x) \) polinomunda yerine koyarak kalan polinomunu bulalım.
\( 2x^{11} + 3x^4 + ax^3 - bx^2 + 2c + a = 2(-x^2) + 3(-x) + a(-1) - bx^2 + 2c + a \)
\( = -(b + 2)x^2 - 3x + 2c \)
Elde ettiğimiz polinomunun derecesi \( x^3 + 1 \) polinomunun derecesinden düşüktür ve aradığımız kalan polinomudur.
Bu polinomu soruda verilen kalan polinomuna eşitleyelim.
\( -(b + 2)x^2 - 3x + 2c = -6x^2 - 3x + 2 \)
İki polinomun eşitliğinde dereceleri aynı olan terimlerin katsayıları ve sabit terimler ayrı ayrı birbirine eşittir.
\( -(b + 2) = -6 \Longrightarrow b = 4 \)
\( 2c = 2 \Longrightarrow c = 1 \)
\( b + c = 4 + 1 = 5 \) bulunur.
\( P(x) \) polinomunun \( x^3 + 1 \) ile bölümünden kalan \( x^2 + 2x + 4 \) olduğuna göre, \( x^2 - x + 1 \) ile bölümünden kalan nedir?
Çözümü GösterSoruda verilen birinci bölme işlemini yazalım.
\( P(x) = (x^3 + 1)Q(x) + x^2 + 2x + 4 \)
Bölen polinomunu küp toplamı özdeşliğini kullanarak çarpanlarına ayıralım.
\( P(x) = (x + 1)(x^2 - x + 1)Q(x) + x^2 + 2x + 4 \)
Kalan polinomunu bulmak için bölen polinomunu sıfıra eşitleyip en yüksek dereceli terimi yalnız bırakalım.
\( x^2 - x + 1 = 0 \)
\( x^2 = x - 1 \)
Yukarıdaki bölme işleminde \( x^2 = x - 1 \) koyalım.
\( P(x) = (x + 1)(x^2 - x + 1)Q(x) + x^2 + 2x + 4 \)
\( = (x + 1)((x - 1) - x + 1)Q(x) + (x - 1) + 2x + 4 \)
\( = 3x + 3 \)
Elde ettiğimiz polinomun derecesi \( x^2 - x + 1 \) polinomunun derecesinden düşüktür ve aradığımız kalan polinomudur.
Buna göre \( P(x) \) polinomunun \( x^2 - x + 1 \) ile bölümünden kalan \( 3x + 3 \) polinomudur.
\( P(x) \) polinomunun \( x^3 - 1 \) ile bölümünden kalan \( x^2 - 2ax + b \) polinomu, \( x^2 + x + 1 \) ile bölümünden kalan \( -3x + 1 \) polinomudur.
Buna göre \( a + b \) toplamı kaçtır?
Çözümü Göster\( x^3 - 1 \) polinomunu çarpanlarına ayıralım.
\( x^3 - 1 = (x - 1)(x^2 + x + 1) \)
Soruda verilen bölme işlemlerini yazalım.
\( P(x) = (x - 1)(x^2 + x + 1)Q_1(x) + x^2 - 2ax + b \)
\( P(x) = (x^2 + x + 1)Q_2(x) - 3x + 1 \)
Dikkat edilirse \( x^2 + x + 1 \) çarpanı iki bölme işleminde de ortaktır.
Birinci bölme işleminde \( x^2 = -x - 1 \) yazdığımızda \( P(x) \) polinomunun \( x^2 + x + 1 \) polinomu ile bölümünden kalanı buluruz.
\( P(x) = (x - 1)((-x - 1) + x + 1)Q_1(x) + (-x - 1) - 2ax + b \)
\( = -(2a + 1)x + b - 1 \)
Bu kalan ikinci bölme işleminin kalanına eşit olmalıdır.
\( -(2a + 1)x + b - 1 = -3x + 1 \)
İki polinomun eşitliğinde dereceleri aynı olan terimlerin katsayıları ve sabit terimler ayrı ayrı birbirine eşittir.
\( -(2a + 1) = -3 \Longrightarrow a = 1 \)
\( b - 1 = 1 \Longrightarrow b = 2 \)
\( a + b = 1 + 2 = 3 \) olarak bulunur.
\( P(x) = x^{47} - 3x^{16} + x - 2 \) polinomunun \( x^2 - x + 1 \) ile bölümünden kalan nedir?
Çözümü Göster\( x^3 + 1 = (x + 1)(x^2 - x + 1) \)
Yukarıdaki özdeşliğe göre \( x^2 - x + 1 \) polinomu \( x^3 + 1 \) polinomunun bir çarpanıdır.
Buna göre, \( P(x) \) polinomunun \( x^2 - x + 1 \) polinomuna bölümünden kalan, \( P(x) \)'in \( x^3 + 1 \) polinomuna bölümünden kalanın \( x^2 - x + 1 \) polinomuna bölümünden kalan ile aynıdır.
Sayılar arasındaki bölme işleminden bir örnek verirsek, 1345 sayısının 15'e bölümünden kalan, 1345'in 15'in bir katı olan 150'ye bölümünden kalanın (145) 15'e bölümünden kalan (10) ile aynıdır.
Dolayısıyla \( P(x) \) polinomunun \( x^2 - x + 1 \) ile bölümünden kalanı bulmak için, önce polinomun \( x^3 + 1 \) ile bölümünden kalanı bulalım.
Bölen polinomunu sıfıra eşitleyip en yüksek dereceden terimi yalnız bırakalım.
\( x^3 + 1 = 0 \)
\( x^3 = -1 \)
Bu değeri kullanarak \( P(x) \) polinomundaki diğer daha yüksek dereceden ifadelerin değerini bulalım.
\( x^{47} = (x^3)^{15}x^2 \)
\( = (-1)^{15}x^2 = -x^2 \)
\( x^{16} = (x^3)^5x \)
\( = (-1)^5x = -x \)
Bulduğumuz değerleri \( P(x) \) polinomunda yerine koyarak kalan polinomunu bulalım.
\( x^{47} - 3x^{16} + x - 2 = (-1)^{15}x^2 - 3(-1)^5x + x - 2 \)
\( = -x^2 + 4x - 2 \)
Elde ettiğimiz polinomunun derecesi \( x^3 + 1 \) polinomunun derecesinden düşüktür ve aradığımız kalan polinomudur.
Buna göre \( P(x) \) polinomunun \( x^3 + 1 \) ile bölümünden kalan \( -x^2 + 4x - 2 \) polinomudur.
Bu polinomun \( x^2 - x + 1 \) polinomuna bölümünden kalanı bulmak için \( x^2 - x + 1 = 0 \) eşitliğinden \( x^2 = x - 1 \) yazalım.
\( -(x - 1) + 4x - 2 = 3x - 1 \)
Buna göre \( P(x) \) polinomunun \( x^2 - x + 1 \) ile bölümünden kalan \( 3x - 1 \) polinomudur.
\( P(x) = x^{1881} + x^{1938} \) polinomunun \( x^4 + x^3 + x^2 + x + 1 \) polinomu ile bölümünden kalan nedir?
Çözümü GösterVerilen polinom bölme işlemini yazalım.
\( x^{1881} + x^{1938} = (x^4 + x^3 + x^2 + x + 1)B(x) + K(x) \)
Eşitliğin her iki tarafını \( (x - 1) \) ile çarpalım.
\( (x^{1881} + x^{1938})(x - 1) = (x^4 + x^3 + x^2 + x + 1)(x - 1)B(x) + K(x)(x - 1) \)
\( x^n - 1 = (x - 1)(x^{n - 1} + \ldots + x^2 + x + 1) \) özdeşliğini kullanalım.
\( (x^{1881} + x^{1938})(x - 1) = (x^5 - 1)B(x) + K(x)(x - 1) \)
Eşitliğin solundaki polinomun \( x^5 - 1 \) ile bölümünden kalanı bulmak için eşitlikte \( x^5 = 1 \) yazabiliriz.
\( (x^{1880}x^1 + x^{1935}x^3)(x - 1) = (1 - 1)B(x) + K(x)(x - 1) \)
\( (1 \cdot x + 1 \cdot x^3)(x - 1) = K(x)(x - 1) \)
\( K(x) = x^3 + x \) olarak bulunur.