Horner Yöntemi
Horner yöntemi, bir polinomun belirli bir \( x = a \) için değerini en az sayıda çarpma işlemi kullanarak hesaplayan bir yöntemdir. Bu yöntem \( P(x) \) polinomuna \( x = a \) için uygulandığında aynı zamanda polinomun \( x - a \) ile bölümündeki bölüm ve kalan polinomları elde edilir.
Horner Yöntemi ile Değer Bulma
Bir \( P(x) \) polinomu tanımlayalım ve standart yöntemle \( x = 3 \) için değerini bulalım.
\( P(x) = 2x^4 - 5x^3 + x^2 - 7x + 3 \)
Polinomun \( x = 3 \) için değerini bulalım.
\( P(3) = 2(3)^4 - 5(3)^3 + 3^2 - 7(3) + 3 = 18 \)
Şimdi de \( P(x) \) polinomunu Horner formu olarak adlandıracağımız forma getirelim ve \( x = 3 \) için değerini bulalım.
\( P(x) = 2x^4 - 5x^3 + x^2 - 7x + 3 \)
\( x \) içeren terimleri \( x \) parantezine alalım.
\( = x(2x^3 - 5x^2 + x - 7) + 3 \)
Aynı işlemi parantez içine uygulayalım.
\( = x(x(2x^2 - 5x + 1) - 7) + 3 \)
Aynı işlemi en içteki paranteze uygulayalım.
\( = x(x(x(2x - 5) + 1) - 7) + 3 \)
\( x \) çarpanlarını parantezlerin sonuna alalım.
\( = (((2x - 5)x + 1)x - 7)x + 3 \)
Elde ettiğimiz bu yeni forma Horner formu adı verilir.
Polinomun \( x = 3 \) için değerini bulalım.
\( = (((2(3) - 5)(3) + 1)(3) - 7)(3) + 3 = 18 \)
Horner formunun temel özelliği, her biri \( ax + b \) formunda (doğrusal) iç içe ifadelerden oluşmasıdır. Bu formdaki bir polinom cebirsel açıdan yine yüksek dereceden bir polinomdur, ancak yazım açısından üslü ifade içermez.
\( P(x) = a_nx^n + a_{n - 1}x^{n - 1} + a_{n - 2}x^{n - 2} + \ldots + a_2x^2 + a_1x + a_0 \)
\( = (((\ldots(a_nx + a_{n-1})x + \ldots + a_3)x + a_2)x + a_1)x + a_0 \)
Bir polinomun değerini Horner formunu kullanarak hesaplama yöntemine Horner yöntemi denir. Bu işlem aşağıdaki örnekteki gibi bir tablo yardımıyla daha kolay bir şekilde gerçekleştirilebilir.
Aşağıdaki \( P(x) \) polinomunun \( x = 3 \) için değerini Horner yöntemini kullanarak bulalım.
\( P(x) = 2x^4 - 5x^3 + x^2 - 7x + 3 \)
Horner yöntemi verilen polinoma aşağıdaki adımlar takip edilerek uygulanır.
| İşlem | Açıklama |
|---|---|
|
Adım 1: Öncelikle polinom terimlerinin derecelerine göre büyükten küçüğe doğru sıralandığından emin olunmalıdır. \( P(x) \) polinomunun katsayıları birinci satıra yazılır. Eksik terimlerin katsayıları tabloya sıfır olarak girilmelidir (örnek: \( P(x) = 3x^3 - 5 \) polinomu için \( (3, 0, 0, -5) \)). Polinomun hesaplanacağı değer (\( x = 3 \)) dikey çizginin soluna yazılır. İlk adımda ilk satır ve sütundaki polinomun başkatsayısı (2) olduğu gibi aynı sütunda üçüncü satıra yazılır. |
|
Adım 2: Yeşil kutudaki değer 3 ile çarpılarak mavi kutuya yazılır, daha sonra ikinci sütundaki iki değerin toplamı aynı sütundaki turuncu kutuya yazılır. \( 2 \cdot 3 = 6 \) \( -5 + 6 = 1 \) |
|
Adım 3: Yeşil kutudaki değer 3 ile çarpılarak mavi kutuya yazılır, daha sonra üçüncü sütundaki iki değerin toplamı aynı sütundaki turuncu kutuya yazılır. \( 1 \cdot 3 = 3 \) \( 1 + 3 = 4 \) |
|
Adım 4: Yeşil kutudaki değer 3 ile çarpılarak mavi kutuya yazılır, daha sonra dördüncü sütundaki iki değerin toplamı aynı sütundaki turuncu kutuya yazılır. \( 4 \cdot 3 = 12 \) \( -7 + 12 = 5 \) |
|
Adım 5: Yeşil kutudaki değer 3 ile çarpılarak mavi kutuya yazılır, daha sonra beşinci sütundaki iki değerin toplamı aynı sütundaki turuncu kutuya yazılır. \( 5 \cdot 3 = 15 \) \( 3 + 15 = 18 \) Son sütuna ulaştığımız için işlem tamamlanmıştır. Elde ettiğimiz \( 18 \) değeri \( P(x) \) polinomunun \( x = 3 \) için değeridir. |
Bu tablodaki işlemler yukarıdaki Horner formu ile değer hesaplamadaki işlemlerle karşılaştırıldığında, işlemlerin birebir aynı olduğu görülebilir. Buna göre bu tablo yöntemi Horner yönteminin bir kısa yolu olarak düşünülebilir.
Bir polinomun değerini hesaplamada standart form ile Horner formu arasındaki birkaç fark aşağıdaki gibidir.
- \( n \). dereceden bir polinomun değerini standart form kullanarak hesaplama en optimal yaklaşımda \( n \) adet toplama ve \( 2n - 1 \) adet çarpma işlemi gerektirir.
- Aynı işlem Horner formunda \( n \) adet toplama ve \( n \) adet çarpma işlemi gerektirir.
Bu açıdan bakınca, çok yüksek dereceden polinomların değerinin milyonlarca kez hesaplandığı uygulamalarda Horner yöntemi daha verimli bir algoritma sunmaktadır.
Horner Yöntemi ile Bölme
Horner yönteminin önemli bir avantajı, bir \( P(x) \) polinomunun \( x = a \) için değerini bulurken aynı zamanda polinomun \( x - a \) ile bölümündeki bölüm ve kalan polinomlarını da veriyor olmasıdır.
Buna göre yukarıdaki örnekte kullandığımız aşağıdaki tabloya göre, \( P(x) \) polinomunun \( x - 3 \) ile bölümünde bölüm polinomu yeşil kutulardaki katsayılara sahip \( Q(x) = 2x^3 + x^2 + 4x + 5 \), kalan polinomu da turuncu kutudaki \( K(x) = 18 \) olur.
\( P(x) = 2x^4 - 5x^3 + x^2 - 7x + 3 \) olmak üzere,
\( P(x) = B(x)Q(x) + K(x) \)
\( P(x) = (x - 3)(2x^3 + x^2 + 4x + 5) + 18 \)
\( P(x) \) polinomu \( ax + b \) formunda bir polinoma bölündüğünde bölen polinomu \( a \) parantezine alınır ve \( P(x) \) polinomu \( x + \frac{b}{a} \) polinomuna bölünür. Bu durumda kalan polinomu değişmez, ancak elde edilen bölüm polinomu \( a \) sayısına bölünmelidir.
\( P(x) = (ax + b)Q(x) + K(x) \)
\( = a\left( x + \dfrac{b}{a} \right)Q(x) + K(x) \)
\( = \left( x + \dfrac{b}{a} \right)[aQ(x)] + K(x) \)
\( = \left( x + \dfrac{b}{a} \right)Q'(x) + K(x) \)
\( Q(x) = \dfrac{Q'(x)}{a} \)
Aşağıda verilen polinomların belirtilen \( x \) için değerini Horner yöntemi ile bulunuz.
(a) \( P(x) = 5x^5 - 12x^3 + 4x - 6 (x = 2) \)
(b) \( Q(x) = 3x^6 + 8x^5 - 13x^4 + 5x^3 - 22x^2 + 19x + 7 (x = -4) \)
(c) \( R(x) = -4x^6 + 7x^5 - 3x^4 + 19x^2 - 15x (x = -1) \)
Çözümü Göster(a) seçeneği:
\( P(x) = 5x^5 - 12x^3 + 4x - 6 \)
Verilen polinoma \( x = 2 \) için Horner yöntemini uygulayalım.
Buna göre polinomun \( x = 2 \) için değeri \( 66 \) olarak bulunur.
(b) seçeneği:
\( Q(x) = 3x^6 + 8x^5 - 13x^4 + 5x^3 - 22x^2 + 19x + 7 \)
Verilen polinoma \( x = -4 \) için Horner yöntemini uygulayalım.
Buna göre polinomun \( x = -4 \) için değeri \( 27 \) olarak bulunur.
(c) seçeneği:
\( R(x) = -4x^6 + 7x^5 - 3x^4 + 19x^2 - 15x \)
Verilen polinoma \( x = -1 \) için Horner yöntemini uygulayalım.
Buna göre polinomun \( x = -1 \) için değeri \( 20 \) olarak bulunur.
\( P(x) = 3x^5 - 4x^4 - 26x^3 - 15x^2 - 43x + 13 \)
polinomunun \( x - 4 \) ile bölümündeki bölümü ve kalanı bulunuz.
Çözümü GösterVerilen polinomun \( x - 4 \) ile bölümünü bulmak için polinoma \( x = 4 \) için Horner yöntemini uygulayalım.
Buna göre polinomun \( x - 4 \) ile bölümünde bölüm ve kalan aşağıdaki gibi bulunur.
\( P(x) = (x - 4)Q(x) + K(x) \) olmak üzere,
\( Q(x) = 3x^4 + 8x^3 + 6x^2 + 9x - 7 \)
\( K(x) = -15 \)
\( P(x) = -2x^6 - 7x^5 + 11x^4 - 14x^3 + 19x^2 - 27x + 79 \)
polinomunun \( x + 5 \) ile bölümündeki bölümü ve kalanı bulunuz.
Çözümü GösterVerilen polinomun \( x + 5 \) ile bölümünü bulmak için polinoma \( x = -5 \) için Horner yöntemini uygulayalım.
Buna göre polinomun \( x + 5 \) ile bölümünde bölüm ve kalan aşağıdaki gibi bulunur.
\( P(x) = (x + 5)Q(x) + K(x) \) olmak üzere,
\( Q(x) = -2x^5 + 3x^4 - 4x^3 + 6x^2 - 11x + 28 \)
\( K(x) = -61 \)
\( P(x) = 6x^6 - 5x^5 + 19x^4 - 3x^3 + 11x^2 - 23x + 21 \)
polinomunun \( 2x - 1 \) ile bölümündeki bölümü ve kalanı bulunuz.
Çözümü GösterHorner yöntemi \( x - a \) formundaki ifadelere bölme işlemlerinde kullanıldığı için bölen polinomunu 2 parantezine alalım.
\( P(x) = 2\left( x - \dfrac{1}{2} \right)Q(x) + K(x) \)
\( = \left( x - \dfrac{1}{2} \right)[2Q(x)] + K(x) \)
Buna göre \( P(x) \) polinomunu \( x - \frac{1}{2} \) ile böldüğümüzde elde edeceğimiz bölüm polinomu bulmak istediğimiz sonucun iki katı, kalan polinomu ise aynısı olur.
Verilen polinomun \( x - \frac{1}{2} \) ile bölümünü bulmak için polinoma \( x = \frac{1}{2} \) için Horner yöntemini uygulayalım.
Buna göre polinomun \( x - \frac{1}{2} \) ile bölümünde bölüm ve kalan aşağıdaki gibi bulunur.
\( P(x) = \left( x - \frac{1}{2} \right)[2Q(x)] + K(x) \) olmak üzere,
\( 2Q(x) = 6x^5 - 2x^4 + 18x^3 + 6x^2 + 14x - 16 \)
\( Q(x) = 3x^5 - x^4 + 9x^3 + 3x^2 + 7x - 8 \)
\( K(x) = 13 \)