Yerel Minimum ve Maksimum Noktalarının Bulunması
Aşağıdaki tabloda önceki bölümlerde gördüğümüz durağan noktaların, türevlenebilir ekstremum noktaların ve büküm noktalarının bir özeti verilmiştir.
Bir fonksiyonun türevlenebilir yerel minimum ve maksimum noktalarını bulmak için birinci türevin sıfır olduğu durağan noktaları bulmamız yeterli değildir, çünkü durağan noktalar yerel minimum ve maksimum noktalarla birlikte yatay (durağan) büküm noktalarını da içerir.
Bir fonksiyonun türevlenebilir yerel minimum ve maksimum noktalarını bulmak için fonksiyonun birinci türevinin işaret değiştirdiği noktaları bulmamız gerekir. Birinci türevin işaret değiştirdiği noktaları bulmak için kullanabileceğimiz iki yöntem vardır. Bu yöntemleri kullanırken fonksiyonların türevlenebilir olmayan yerel minimum ve maksimum noktaları da olabileceği unutulmamalıdır.
Birinci Türev Testi
Bu testte fonksiyonun birinci türevinin bir durağan noktada işaret değiştirip değiştirmediğini belirlemek için birinci türevin bu noktanın solundaki ve sağındaki işaretleri karşılaştırılır.
\( x = a \) noktası \( f \) fonksiyonunun bir durağan noktası olmak üzere (\( f'(a) = 0 \)):
\( f'(x) \) fonksiyonu \( x = a \) noktasında negatiften pozitife işaret değiştiriyorsa bu nokta bir yerel minimum noktasıdır.
\( f'(x) \) fonksiyonu \( x = a \) noktasında pozitiften negatife işaret değiştiriyorsa bu nokta bir yerel maksimum noktasıdır.
Aksi durumda \( x = a \) noktası bir yatay (durağan) büküm noktasıdır.
Aşağıdaki şekildeki \( f \) fonksiyonunda birinci türev sıfır olduğu noktada negatiften pozitife işaret değiştirdiği için bu nokta bir yerel minimum noktasıdır. Aynı şekildeki \( g \) fonksiyonunda ise birinci türev sıfır olduktan sonra işareti negatif tarafta kaldığı için bu nokta bir yatay büküm noktasıdır.
Benzer bir şekil aşağıda yerel maksimum noktası için verilmiştir.
Fonksiyonun birinci türevinin \( x = a \) noktasında çift katlı (2, 4, 6, vb.) bir kökü varsa birinci türev bu noktada işaret değiştirmeyeceği için bu noktada bir yerel minimum ya da maksimum nokta bulunmadığından emin olabiliriz.
\( f(x) = \frac{1}{4}x^4 + \frac{1}{3}x^3 - 3x^2 + 10 \) fonksiyonunun yerel minimum ve maksimum noktalarını fonksiyonun birinci türevini kullanarak bulalım.
Verilen fonksiyon bir polinom fonksiyonudur ve tüm reel sayılarda türevlenebilirdir.
Fonksiyonun birinci türevini alalım.
\( f'(x) = x^3 + x^2 - 6x \)
\( = x(x + 3)(x - 2) \)
Fonksiyonun durağan noktalarında birinci türevi sıfıra eşit olur.
\( f'(x) = x(x + 3)(x - 2) = 0 \)
Buna göre aşağıdaki noktalar fonksiyonun durağan noktalarıdır.
\( x \in \{-3, 0, 2\} \)
Birinci türev fonksiyonunun bulduğumuz kök değerleri arasındaki işaretlerini bir işaret tablosu ile bulalım.
Buna göre birinci türevin işareti \( x = -3 \) ve \( x = 2 \) noktalarında negatiften pozitife dönmüş, yani fonksiyon bu noktalarda azalırken artmaya başlamıştır. Dolayısıyla bu iki noktada yerel minimum noktaları vardır.
Birinci türevin işareti \( x = 0 \) noktasında ise pozitiften negatife dönmüş, yani fonksiyon bu noktada artarken azalmaya başlamıştır. Dolayısıyla bu noktada yerel maksimum noktası vardır.
\( f \) fonksiyonun grafiği aşağıda verilmiştir.
İkinci Türev Testi
Bu testte fonksiyonun birinci türevinin bir durağan noktada işaret değiştirip değiştirmediğini belirlemek için fonksiyonun bu noktadaki ikinci türevine bakılır.
\( x = a \) noktası \( f \) fonksiyonunun bir durağan noktası olmak üzere (\( f'(a) = 0 \)):
\( f''(a) \gt 0 \) ise bu nokta bir yerel minimum noktasıdır.
\( f''(a) \lt 0 \) ise bu nokta bir yerel maksimum noktasıdır.
\( f''(a) = 0 \) ise ya da \( f''(a) \) tanımlı değilse bu nokta bir yerel minimum ya da yerel maksimum noktası olabilir ya da ikisi de olmayabilir.
Fonksiyonun ikinci türevinin bir noktada pozitif (ya da negatif) olması bu noktada birinci türevin artan (ya da azalan) olması anlamına gelir. Birinci türevin bu noktada sıfır olduğunu bildiğimiz için, bu durumda birinci türev negatiften pozitife (ya da pozitiften negatife) işaret değiştiriyor olmalıdır, bu da bu noktada bir yerel minimum (ya da yerel maksimum) noktası bulunduğunu gösterir.
Birinci ve ikinci türev testleri arasında tercih yaparken dikkate alınabilecek iki nokta aşağıdaki gibidir.
- Birinci türev testi bir noktanın yerel minimum ya da maksimum nokta olup olmadığı konusunda kesin sonuç verir. İkinci türev testi ise yukarıda belirttiğimiz koşullar sağlandığında çalışır.
- Fonksiyonun ikinci türevini almanın kolay olmadığı durumlarda birinci türev testi tercih edilebilir. Benzer şekilde, ikinci türevi almanın kolay olduğu durumlarda ikinci türev testi kullanılabilir.
\( f(x) = \frac{1}{4}x^4 + \frac{1}{3}x^3 - 3x^2 + 10 \) fonksiyonunun yerel minimum ve maksimum noktalarını fonksiyonun ikinci türevini kullanarak bulalım.
Verilen fonksiyon bir polinom fonksiyonudur ve tüm reel sayılarda türevlenebilirdir.
Fonksiyonun birinci türevini alalım.
\( f'(x) = x^3 + x^2 - 6x \)
\( = x(x + 3)(x - 2) \)
Fonksiyonun durağan noktalarında birinci türevi sıfıra eşit olur.
\( f'(x) = x(x + 3)(x - 2) = 0 \)
Buna göre aşağıdaki noktalar fonksiyonun durağan noktalarıdır.
\( x \in \{-3, 0, 2\} \)
Bu noktaların yerel minimum ya da yerel maksimum nokta olup olmadığını bulmak için ikinci türev testini yapalım.
\( f''(x) = 3x^2 + 2x - 6 \)
\( f''(-3) = 3(-3)^2 + 2(-3) - 6 = 15 \)
\( f''(-3) \gt 0 \) olduğu için \( x = -3 \) bir yerel minimum noktasıdır.
\( f''(0) = 3(0)^2 + 2(0) - 6 = -6 \)
\( f''(0) \lt 0 \) olduğu için \( x = 0 \) bir yerel maksimum noktasıdır.
\( f''(2) = 3(2)^2 + 2(2) - 6 = 10 \)
\( f''(2) \gt 0 \) olduğu için \( x = 2 \) bir yerel minimum noktasıdır.
Bu şekilde yukarıda birinci türev testini kullandığımız örnekle aynı sonucu elde etmiş olduk.
Aşağıdaki fonksiyonların en geniş tanım kümelerindeki yerel minimum ve maksimum noktalarını fonksiyonların ikinci türevlerini kullanarak bulunuz.
(a) \( f(x) = \dfrac{1}{3}x^3 - \dfrac{1}{2}x^2 - 2x \)
(b) \( g(x) = x^3 + 15x^2 + 72x \)
(c) \( h(x) = 2x + \dfrac{8}{x}, \quad x \ne 0 \)
Çözümü GösterBir fonksiyonun türevlenebilir olduğu bir aralıkta yerel minimum ve maksimum noktaları birinci türevin işaret değiştirdiği noktalarda oluşur. Bu noktaları ikinci türevi kullanarak bulmak için birinci türevin sıfır, ikinci türevin sıfırdan farklı olduğu noktaları bulmamız gerekir.
Buna göre birinci türevin sıfır olduğu bir noktada ikinci türev pozitif ise bu nokta bir yerel minimum noktası, negatif ise bir yerel maksimum noktasıdır.
(a) seçeneği:
\( f(x) = \dfrac{1}{3}x^3 - \dfrac{1}{2}x^2 - 2x \)
Verilen fonksiyon bir polinom fonksiyonudur ve tüm reel sayılarda tanımlı ve türevlenebilirdir.
Fonksiyonun birinci türevini alalım.
\( f'(x) = x^2 - x - 2 \)
Fonksiyonun birinci türevinin sıfıra eşit olduğu noktaları bulalım.
\( f'(x) = x^2 - x - 2 = 0 \)
\( (x + 1)(x - 2) = 0 \)
\( x \in \{-1, 2\} \)
Bu \( x \) değerlerini fonksiyonda yerine yazarak bu noktalardaki ordinat değerlerini bulalım.
\( f(-1) = \dfrac{1}{3}(-1)^3 - \dfrac{1}{2}(-1)^2 - 2(-1) = \dfrac{7}{6} \)
\( f(2) = \dfrac{1}{3}2^3 - \dfrac{1}{2}2^2 - 2(2) = -\dfrac{10}{3} \)
Bu noktaların yerel minimum ya da yerel maksimum nokta olup olmadığını bulmak için bu noktalarda ikinci türevin işaretini inceleyelim.
Fonksiyonun ikinci türevini alalım.
\( f''(x) = 2x - 1 \)
\( f''(-1) = 2(-1) - 1 = -3 \)
\( f''(-1) \lt 0 \) olduğu için \( (-1, \frac{7}{6}) \) bir yerel maksimum noktasıdır.
\( f''(2) = 2(2) - 1 = 3 \)
\( f''(2) \gt 0 \) olduğu için \( (2, -\frac{10}{3}) \) bir yerel minimum noktasıdır.
(b) seçeneği:
\( g(x) = x^3 + 15x^2 + 72x \)
Verilen fonksiyon bir polinom fonksiyonudur ve tüm reel sayılarda tanımlı ve türevlenebilirdir.
Fonksiyonun birinci türevini alalım.
\( g'(x) = 3x^2 + 30x + 72 \)
Fonksiyonun birinci türevinin sıfıra eşit olduğu noktaları bulalım.
\( g'(x) = 3x^2 + 30x + 72 = 0 \)
\( 3(x + 6)(x + 4) = 0 \)
\( x \in \{-6, -4\} \)
Bu \( x \) değerlerini fonksiyonda yerine yazarak bu noktalardaki ordinat değerlerini bulalım.
\( g(-6) = (-6)^3 + 15(-6)^2 + 72(-6) = -108 \)
\( g(-4) = (-4)^3 + 15(-4)^2 + 72(-4) = -112 \)
Bu noktaların yerel minimum ya da yerel maksimum nokta olup olmadığını bulmak için bu noktalarda ikinci türevin işaretini inceleyelim.
Fonksiyonun ikinci türevini alalım.
\( g''(x) = 6x + 30 \)
\( g''(-6) = 6(-6) + 30 = -6 \)
\( g''(-6) \lt 0 \) olduğu için \( (-6, -108) \) bir yerel minimum noktasıdır.
\( g''(-4) = 6(-4) + 30 = 6 \)
\( g''(-4) \gt 0 \) olduğu için \( (-4, -112) \) bir yerel minimum noktasıdır.
(c) seçeneği:
\( h(x) = 2x + \dfrac{8}{x} \)
Verilen fonksiyon \( x = 0 \) noktası hariç tüm reel sayılarda tanımlı ve türevlenebilirdir.
Fonksiyonun birinci türevini alalım.
\( h'(x) = 2 - \dfrac{8}{x^2} \)
Fonksiyonun birinci türevinin sıfıra eşit olduğu noktaları bulalım.
\( h'(x) = 2 - \dfrac{8}{x^2} = 0 \)
\( x^2 = 4 \)
\( x \in \{-2, 2\} \)
Bu \( x \) değerlerini fonksiyonda yerine yazarak bu noktalardaki ordinat değerlerini bulalım.
\( h(-2) = 2(-2) + \dfrac{8}{-2} = -8 \)
\( h(2) = 2(2) + \dfrac{8}{2} = 8 \)
Bu noktaların yerel minimum ya da yerel maksimum nokta olup olmadığını bulmak için bu noktalarda ikinci türevin işaretini inceleyelim.
Fonksiyonun ikinci türevini alalım.
\( h''(x) = \dfrac{16}{x^3} \)
\( h''(-2) = \dfrac{16}{(-2)^3} = -2 \)
\( h''(-2) \lt 0 \) olduğu için \( (-2, -8) \) bir yerel maximum noktasıdır.
\( h''(2) = \dfrac{16}{2^3} = 2 \)
\( h''(2) \gt 0 \) olduğu için \( (2, 8) \) bir yerel minimum noktasıdır.
Aşağıdaki fonksiyonların en geniş tanım kümelerindeki yerel minimum ve maksimum noktalarını fonksiyonların ikinci türevlerini kullanarak bulunuz.
(a) \( f(x) = 20\sqrt{x} - \dfrac{5}{3}\sqrt{x^3} \)
(b) \( g(x) = \dfrac{5}{2}x^2 - 3\sqrt[3]{x^5} \)
(c) \( h(x) = \dfrac{1}{x} - \dfrac{2}{3\sqrt{x}} \)
Çözümü GösterBir fonksiyonun türevlenebilir olduğu bir aralıkta yerel minimum ve maksimum noktaları birinci türevin işaret değiştirdiği noktalarda oluşur. Bu noktaları ikinci türevi kullanarak bulmak için birinci türevin sıfır, ikinci türevin sıfırdan farklı olduğu noktaları bulmamız gerekir.
Buna göre birinci türevin sıfır olduğu bir noktada ikinci türev pozitif ise bu nokta bir yerel minimum noktası, negatif ise bir yerel maksimum noktasıdır.
(a) seçeneği:
\( f(x) = 20\sqrt{x} - \dfrac{5}{3}\sqrt{x^3} \)
Verilen fonksiyon karekök ifadesinden dolayı pozitif reel sayılarda tanımlı ve türevlenebilirdir.
\( f(x) = 20x^{\frac{1}{2}} - \dfrac{5}{3}x^{\frac{3}{2}} \)
Fonksiyonun birinci türevini alalım.
\( f'(x) = 10x^{-\frac{1}{2}} - \dfrac{5}{2}x^{\frac{1}{2}} \)
Fonksiyonun birinci türevinin sıfıra eşit olduğu noktaları bulalım.
\( f'(x) = 10x^{-\frac{1}{2}} - \dfrac{5}{2}x^{\frac{1}{2}} = 0 \)
\( 10x^{-\frac{1}{2}} = \dfrac{5}{2}x^{\frac{1}{2}} \)
\( \dfrac{4}{x^{\frac{1}{2}}} = x^{\frac{1}{2}} \)
\( x = 4 \)
Bu \( x \) değerini fonksiyonda yerine yazarak bu noktalardaki ordinat değerlerini bulalım.
\( f(4) = 20\sqrt{4} - \dfrac{5}{3}\sqrt{4^3} = \dfrac{80}{3} \)
Bu noktanın yerel minimum ya da yerel maksimum nokta olup olmadığını bulmak için bu noktada ikinci türevin işaretini inceleyelim.
Fonksiyonun ikinci türevini alalım.
\( f''(x) = -5x^{-\frac{3}{2}} - \dfrac{5}{4}x^{-\frac{1}{2}} \)
\( f''(4) = -5(4)^{-\frac{3}{2}} - \dfrac{5}{4}4^{-\frac{1}{2}} = -\dfrac{5}{2} \)
\( f''(4) \lt 0 \) olduğu için \( (4, \frac{80}{3}) \) bir yerel maximum noktasıdır.
(b) seçeneği:
\( g(x) = \dfrac{5}{2}x^2 - 3\sqrt[3]{x^5} \)
Verilen fonksiyon tüm reel sayılarda tanımlı ve türevlenebilirdir.
\( g(x) = \dfrac{5}{2}x^2 - 3x^{\frac{5}{3}} \)
Fonksiyonun birinci türevini alalım.
\( g'(x) = 5x - 5x^{\frac{2}{3}} \)
Fonksiyonun birinci türevinin sıfıra eşit olduğu noktaları bulalım.
\( g'(x) = 5x - 5x^{\frac{2}{3}} = 0 \)
\( 5x = 5x^{\frac{2}{3}} \)
\( x^{\frac{1}{3}} = 1 \)
\( x = 1 \)
Bu \( x \) değerini fonksiyonda yerine yazarak bu noktalardaki ordinat değerlerini bulalım.
\( g(1) = \dfrac{5}{2}1^2 - 3\sqrt[3]{1^5} = -\dfrac{1}{2} \)
Bu noktanın yerel minimum ya da yerel maksimum nokta olup olmadığını bulmak için bu noktada ikinci türevin işaretini inceleyelim.
Fonksiyonun ikinci türevini alalım.
\( g''(x) = 5 - \dfrac{10}{3}x^{-\frac{1}{3}} \)
\( g''(1) = 5 - \dfrac{10}{3}1^{-\frac{1}{3}} = \dfrac{5}{3} \)
\( g''(1) \gt 0 \) olduğu için \( (1, -\frac{1}{2}) \) bir yerel minimum noktasıdır.
(c) seçeneği:
\( h(x) = \dfrac{1}{x} - \dfrac{2}{3\sqrt{x}} \)
Verilen fonksiyon karekök ifadesinden dolayı pozitif reel sayılarda tanımlı ve türevlenebilirdir.
\( h(x) = x^{-1} - \dfrac{2}{3}x^{-\frac{1}{2}} \)
Fonksiyonun birinci türevini alalım.
\( h'(x) = -x^{-2} + \dfrac{1}{3}x^{-\frac{3}{2}} \)
Fonksiyonun birinci türevinin sıfıra eşit olduğu noktaları bulalım.
\( h'(x) = -x^{-2} + \dfrac{1}{3}x^{-\frac{3}{2}} = 0 \)
\( x^{-2} = \dfrac{1}{3}x^{-\frac{3}{2}} \)
\( \dfrac{1}{x^2} = \dfrac{1}{3x^{\frac{3}{2}}} \)
\( x^2 = 3x^{\frac{3}{2}} \)
\( x^{\frac{1}{2}} = 3 \)
\( x = 9 \)
Bu \( x \) değerini fonksiyonda yerine yazarak bu noktalardaki ordinat değerlerini bulalım.
\( h(9) = \dfrac{1}{9} - \dfrac{2}{3\sqrt{9}} = -\dfrac{1}{9} \)
Bu noktanın yerel minimum ya da yerel maksimum nokta olup olmadığını bulmak için bu noktada ikinci türevin işaretini inceleyelim.
Fonksiyonun ikinci türevini alalım.
\( h''(x) = 2x^{-3} - \dfrac{1}{2}x^{-\frac{5}{2}} \)
\( h''(9) = 2(9)^{-3} - \dfrac{1}{2}9^{-\frac{5}{2}} = \dfrac{1}{2 \cdot 3^6} \)
\( h''(9) \gt 0 \) olduğu için \( (9, -\frac{1}{9}) \) bir yerel minimum noktasıdır.
\( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \)
\( f(x) = 3\sqrt[3]{x^5} - 15\sqrt[3]{x^4} - 25x + 10 \)
Yukarıda verilen eğrinin yerel minimum ve yerel maksimum noktalarını bulunuz.
Çözümü GösterBir fonksiyonun türevlenebilir olduğu bir aralıkta yerel minimum ve maksimum noktaları birinci türevin işaret değiştirdiği noktalarda oluşur. Bu noktaları ikinci türevi kullanarak bulmak için birinci türevin sıfır, ikinci türevin sıfırdan farklı olduğu noktaları bulmamız gerekir.
Buna göre birinci türevin sıfır olduğu bir noktada ikinci türev pozitif ise bu nokta bir yerel minimum noktası, negatif ise bir yerel maksimum noktasıdır.
\( f(x) = 3x^{\frac{5}{3}} - 15x^{\frac{4}{3}} - 25x + 10 \)
\( f'(x) = 5x^{\frac{2}{3}} - 20x^{\frac{1}{3}} - 25 \)
Birinci türevin sıfır olduğu noktaları bulalım.
\( 5x^{\frac{2}{3}} - 20x^{\frac{1}{3}} - 25 = 0 \)
\( x^{\frac{2}{3}} - 4x^{\frac{1}{3}} - 5 = 0 \)
\( (x^{\frac{1}{3}})^2 - 4x^{\frac{1}{3}} - 5 = 0 \)
\( (x^{\frac{1}{3}} + 1)(x^{\frac{1}{3}} - 5) = 0 \)
\( x^{\frac{1}{3}} = -1 \Longrightarrow x = -1 \)
\( x^{\frac{1}{3}} = 5 \Longrightarrow x = 125 \)
\( x \in \{-1, 125\} \)
Bu noktaların yerel minimum ya da yerel maksimum nokta olup olmadığını bulmak için bu noktalarda ikinci türevin işaretini inceleyelim.
Fonksiyonun ikinci türevini alalım.
\( f''(x) = \dfrac{10}{3}x^{-\frac{1}{3}} - \dfrac{20}{3}x^{-\frac{2}{3}} \)
\( f''(-1) = \dfrac{10}{3}(-1)^{-\frac{1}{3}} - \dfrac{20}{3}(-1)^{-\frac{2}{3}} = -10 \)
\( f''(-1) \lt 0 \) olduğu için \( x = -1 \) apsisli noktada bir yerel maksimum noktasıdır.
\( f''(125) = \dfrac{10}{3}(125)^{-\frac{1}{3}} - \dfrac{20}{3}(125)^{-\frac{2}{3}} = \dfrac{2}{5} \)
\( f''(125) \gt 0 \) olduğu için \( x = 125 \) apsisli noktada bir yerel minimum noktasıdır.
\( f(x) = x^2 + ax - b \) eğrisinin \( A(-1, 4) \) noktasında yerel maksimumu olduğuna göre, \( a + b \) kaçtır?
Çözümü Göster\( A(-1, 4) \) noktası fonksiyon grafiği üzerinde bir nokta olduğu için fonksiyon denklemini sağlar.
\( f(-1) = 4 \)
\( (-1)^2 + a(-1) - b = 4 \)
\( -a - b = 3 \)
Verilen fonksiyon bir polinom fonksiyonudur ve tüm reel sayılarda türevlenebilirdir.
Bir fonksiyonun türevlenebilir ekstremum noktalarında birinci türevi sıfıra eşit olur.
\( f'(x) = 2x + a \)
\( f'(-1) = 0 \)
\( 2(-1) + a = 0 \)
\( a = 2 \)
\( -a - b = 3 \Longrightarrow b = -5 \)
\( a + b = 2 + (-5) = -3 \) bulunur.
\( f(x) = x^3 + (a + 1)x^2 + (b - 1)x + 4 \)
fonksiyonunun \( x = 1 \) apsisli noktada yerel minimumu, \( x = -1 \) apsisli noktada yerel maksimumu olduğuna göre, \( a - b \) kaçtır?
Çözümü GösterVerilen fonksiyon bir polinom fonksiyonudur ve tüm reel sayılarda türevlenebilirdir.
Bir fonksiyonun türevlenebilir ekstremum noktalarında birinci türevi sıfıra eşit olur.
\( f'(x) = 3x^2 + 2(a + 1)x + b - 1 \)
\( x = 1 \) apsisli noktada birinci türev sıfır olur.
\( f'(1) = 0 \)
\( 3 + 2(a + 1) + b - 1 = 0 \)
\( 2a + b = -4 \)
\( x = -1 \) apsisli noktada birinci türev sıfır olur.
\( f'(-1) = 0 \)
\( 3 - 2(a + 1) + b - 1 = 0 \)
\( -2a + b = 0 \)
\( a \) ve \( b \) bilinmeyenlerinden oluşan iki denklemi ortak çözelim.
\( a = -1, \quad b = -2 \)
\( a - b = -1 - (-2) = 1 \) bulunur.
Reel sayılar kümesinde tanımlı
\( f(x) = \dfrac{2x^3}{3} - 14x \)
fonksiyonunun yerel ekstremum noktaları \( A \) ve \( B \)'dir. Buna göre \( AB \) doğrusunun eğimi kaçtır?
Çözümü GösterVerilen fonksiyon bir polinom fonksiyonudur ve tüm reel sayılarda türevlenebilirdir.
Bir fonksiyonun türevlenebilir ekstremum noktalarında birinci türevi sıfıra eşit olur.
\( f'(x) = 2x^2 - 14 \)
\( 2x^2 - 14 = 0 \)
\( x^2 = 7 \)
Buna göre ekstremum noktaların apsis değerleri aşağıdaki gibi olur.
\( x \in \{-\sqrt{7}, \sqrt{7}\} \)
Bu noktaların ordinat değerlerini bulalım.
\( f(\sqrt{7}) = \dfrac{14\sqrt{7}}{3} - 14\sqrt{7} = -\dfrac{28\sqrt{7}}{3} \)
\( f(-\sqrt{7}) = -\dfrac{14\sqrt{7}}{3} + 14\sqrt{7} = \dfrac{28\sqrt{7}}{3} \)
Ekstremum noktaların koordinatları aşağıdaki gibi olur.
\( A(\sqrt{7}, -\dfrac{28\sqrt{7}}{3}) \)
\( B(-\sqrt{7}, \dfrac{28\sqrt{7}}{3}) \)
Bu iki noktadan geçen doğrunun eğimini bulalım.
\( m = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \)
\( = \dfrac{\dfrac{28\sqrt{7}}{3} - (-\dfrac{28\sqrt{7})}{3}}{-\sqrt{7} - \sqrt{7}} \)
\( = -\dfrac{28}{3} \) bulunur.
\( f: [0, 2\pi] \to \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( f(x) = \sin{x} + \sqrt{3}\cos{x} \) fonksiyonunun alabileceği en büyük değer kaçtır?
Çözümü GösterSinüs ve kosinüs fonksiyonları tüm reel sayılarda sürekli ve türevlenebilirdir. İki fonksiyonun toplamından oluşan \( f \) fonksiyonu da tüm reel sayılarda sürekli ve türevlenebilir bir fonksiyondur.
Fonksiyonun durağan noktalarında birinci türevi sıfıra eşit olur.
\( f'(x) = \cos{x} - \sqrt{3}\sin{x} = 0 \)
\( \cos{x} = \sqrt{3}\sin{x} \)
\( \tan{x} = \dfrac{1}{\sqrt{3}} \)
Buna göre aşağıdaki noktalar fonksiyonun durağan noktalarıdır.
\( x \in \{\frac{\pi}{6}, \frac{7\pi}{6}\} \)
Bu noktaların yerel minimum ya da yerel maksimum nokta olup olmadığını bulmak için ikinci türev testini yapalım.
\( f''(x) = -\sin{x} - \sqrt{3}\cos{x} \)
\( f''(\frac{\pi}{6}) = -\sin{\frac{\pi}{6}} - \sqrt{3}\cos{\frac{\pi}{6}} \)
\( = -\dfrac{1}{2} - \sqrt{3} \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} = -2 \)
\( f''(\frac{7\pi}{6}) = -\sin{\frac{7\pi}{6}} - \sqrt{3}\cos{\frac{7\pi}{6}} \)
\( = -(-\dfrac{1}{2}) - \sqrt{3} \cdot (-\dfrac{\sqrt{3}}{2}) = 2 \)
\( f''(\frac{\pi}{6}) \lt 0 \) olduğu için \( x = \frac{\pi}{6} \) bir yerel maksimum noktasıdır.
\( f''(\frac{7\pi}{6}) \gt 0 \) olduğu için \( x = \frac{7\pi}{6} \) bir yerel minimum noktasıdır.
Fonksiyonun \( [0, 2\pi] \) aralığındaki en büyük değerini bulmak için yerel maksimum noktasındaki fonksiyon değerini bulalım.
\( f(\frac{\pi}{6}) = \sin{\frac{\pi}{6}} + \sqrt{3}\cos{\frac{\pi}{6}} \)
\( = \dfrac{1}{2} + \sqrt{3} \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} = 2 \) bulunur.
\( f(x) = x^4 + 4x^3 - 8x^2 + 10 \) fonksiyonunun yerel minimum noktalarının apsis değerlerinin çarpımı kaçtır?
Çözümü GösterVerilen fonksiyon bir polinom fonksiyonudur ve tüm reel sayılarda türevlenebilirdir.
Fonksiyonun birinci türevini alalım.
\( f'(x) = 4x^3 + 12x^2 - 16x \)
\( = 4x(x^2 + 3x - 4) \)
\( = 4x(x + 4)(x - 1) \)
Bir fonksiyonun türevlenebilir ekstremum noktalarında birinci türevi sıfıra eşit olur.
\( f'(x) = 0 \)
\( 4x(x + 4)(x - 1) = 0 \)
Buna göre fonksiyonun aşağıdaki noktalarda birer yerel ekstremum noktası vardır.
\( x \in \{-4, 0, 1\} \)
Bu noktaların hangilerinin yerel minimum, hangilerinin yerel maksimum nokta olduğunu bulmak için ikinci türev testini yapalım.
\( f''(x) = 12x^2 + 24x - 16 \)
\( f''(-4) = 12(-4)^2 + 24(-4) - 16 = 80 \)
\( f''(0) = 12(0)^2 + 24(0) - 16 = -16 \)
\( f''(1) = 12(1)^2 + 24(1) - 16 = 20 \)
\( f''(-4) \gt 0 \) olduğu için \( x = -4 \) bir yerel minimum noktasıdır.
\( f''(0) \lt 0 \) olduğu için \( x = 0 \) bir yerel maksimum noktasıdır.
\( f''(1) \gt 0 \) olduğu için \( x = 1 \) bir yerel minimum noktasıdır.
Buna göre yerel minimum noktalarının apsis değerlerinin çarpımı \( -4 \cdot 1 = -4 \) olarak bulunur.
\( f(x) = (k + 2)x^3 + (2k + 5)x^2 - (4k + 4)x + k^3 \)
fonksiyonunun \( x = -2 \) değerinde yerel maksimumu olduğuna göre, \( k \)'nin en küçük tam sayı değeri kaçtır?
Çözümü Göster\( f \) fonksiyonunun \( x = -2 \) noktasında yerel maksimumu olduğuna göre bu noktada birinci türevi sıfıra eşittir.
\( f'(x) = 3(k + 2)x^2 + 2(2k + 5)x - 4k - 4 \)
\( f'(-2) = 3(k + 2)(-2)^2 + 2(2k + 5)(-2) - 4k - 4 = 0 \)
\( 12k + 24 - 8k - 20 - 4k - 4 = 0 \)
\( 24 - 20 - 4 = 0 = 0 \)
Bu eşitliğin \( k \) değerinden bağımsız olarak sağlandığını görüyoruz, bu da fonksiyonun her \( k \) değeri için bu noktada bir yerel ekstremumu (yerel minimumu ya da maksimumu) olduğunu gösterir.
\( x = -2 \) noktası bir yerel maksimum noktası ise bu noktada ayrıca ikinci türev de negatif olmalıdır.
\( f''(x) \lt 0 \)
\( f''(x) = 6(k + 2)x + 2(2k + 5) \)
\( f''(-2) = 6(k + 2)(-2) + 2(2k + 5) \lt 0 \)
\( -12k - 24 + 4k + 10 \lt 0 \)
\( 8k \gt -14 \)
\( k \gt -\dfrac{7}{4} \)
Buna göre \( k \)'nin alabileceği en küçük tam sayı değeri -1 olur.
NOT: Bu sonucu yorumlamamız gerekirse, \( x = -2 \) noktası her \( k \) değeri için bir yerel ekstremum noktasıdır. \( k \gt -\frac{7}{4} \) için nokta bir yerel maksimum nokta iken \( k \lt -\frac{7}{4} \) için yerel minimum nokta olmaktadır, \( k = -\frac{7}{4} \) için ise bir yatay büküm noktasıdır.
\( x \in [0, 2\pi] \) olmak üzere,
\( f(x) = 2\sin{x} + x - \sqrt{3} \) fonksiyonunun alabileceği en büyük değer kaçtır?
Çözümü GösterSinüs fonksiyonu ve birim fonksiyon tüm reel sayılarda türevlenebilir olduğu için verilen fonksiyon da tüm reel sayılarda türevlenebilirdir.
Türevlenebilir bir fonksiyonun yerel minimum ve maksimum noktalarında birinci türevi sıfır olur.
Yerel minimum ve maksimum noktalarını bulmak için fonksiyonun birinci türevini sıfıra eşitleyelim.
\( f'(x) = 2\cos{x} + 1 \)
\( 2\cos{x} + 1 = 0 \)
\( \cos{x} = -\dfrac{1}{2} \)
Kosinüs fonksiyonu \( [0, 2\pi] \) aralığında \( -\frac{1}{2} \) değerini \( x \in \{\frac{2\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}\} \) noktalarında alır.
Bu noktaların yerel minimum noktası mı, yerel maksimum noktası mı olduğunu bulmak için fonksiyonun ikinci türevini alalım.
\( f''(x) = -2\sin{x} \)
\( f''(\dfrac{2\pi}{3}) = -2\sin{\dfrac{2\pi}{3}} \)
\( = -\sqrt{3} \lt 0 \)
İkinci türev negatif olduğu için \( x = \frac{2\pi}{3} \) bir yerel maksimum noktasıdır.
\( f''(\dfrac{4\pi}{3}) = -2\sin{\dfrac{4\pi}{3}} \)
\( = \sqrt{3} \gt 0 \)
İkinci türev pozitif olduğu için \( x = \frac{4\pi}{3} \) bir yerel minimum noktasıdır.
Fonksiyonun \( [0, 2\pi] \) aralığındaki en büyük değeri bu aralıktaki yerel maksimum noktalarından ya da aralığın sınır noktalarından birinde oluşur.
Fonksiyonun yerel maksimum noktasındaki ve sınır noktalarındaki değerini bulalım.
\( f(0) = 2\sin{0} + 0 - \sqrt{3} \)
\( = -\sqrt{3} \)
\( f(2\pi) = 2\sin(2\pi) + 2\pi - \sqrt{3} \)
\( = 2\pi - \sqrt{3} \approx 4,55 \)
\( f(\dfrac{2\pi}{3}) = 2\sin{\dfrac{2\pi}{3}} + \dfrac{2\pi}{3} - \sqrt{3} \)
\( = 2 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} + \dfrac{2\pi}{3} - \sqrt{3} \)
\( = \dfrac{2\pi}{3} \approx 2,09 \)
Buna göre fonksiyon verilen aralıkta en büyük değerini \( x = 2\pi \) noktasında alır ve bu değer \( 2\pi - \sqrt{3} \) olur.
Reel sayılar kümesinde tanımlı,
\( f(x) = (x + 5)e^{7 - x} \)
fonksiyonunun mutlak maksimum noktasındaki değeri kaçtır?
Çözümü GösterVerilen fonksiyon tüm reel sayılarda türevlenebilirdir.
Bir fonksiyonun türevlenebilir ekstremum noktalarında birinci türevi sıfıra eşit olur.
\( f'(x) = (x + 5)'e^{7 - x} + (x + 5)(e^{7 - x})' \)
\( = e^{7 - x} - (x + 5)e^{7 - x} \)
\( = (-x - 4)e^{7 - x} \)
Yerel ekstremum noktaları bulmak için birinci türevi sıfıra eşitleyelim.
\( f'(x) = 0 \)
Üstel fonksiyon hiçbir \( x \) değerinde sıfır olamayacağı için \( -x - 4 \) çarpanını sıfır yapan \( x = -4 \) değeri birinci türevi de sıfır yapar.
\( f'(-4) = 0 \)
Buna göre \( x = -4 \) noktası yerel ekstremum noktasıdır.
Bu noktanın yerel minimum mu yerel maksimum mu olduğunu bulmak için bu noktadaki ikinci türeve bakalım.
\( f''(x) = (-x - 4)'e^{7 - x} + (-x - 4)(e^{7 - x})' \)
\( = -e^{7 - x} - (-x - 4)e^{7 - x} \)
\( = (x + 3)e^{7 - x} \)
\( x = -4 \) noktasındaki ikinci türev değerini bulalım.
\( f''(-4) = (-4 + 3)e^{7 - (-4)} \)
\( = -e^{11} \lt 0 \)
İkinci türev \( x = -4 \) noktasında negatif olduğu için bu nokta yerel maksimum noktasıdır.
Bu nokta ayrıca fonksiyonun tek yerel maksimum noktasıdır.
\( f(-4) = (-4 + 5)e^{7 - (-4)} = e^{11} \)
Fonksiyonun negatif ve pozitif sonsuzdaki limit değerini bulalım.
\( f(x) = \dfrac{x + 5}{e^{x - 7}} \)
\( x \to -\infty \) iken \( (x + 5) \to -\infty \)
\( x \to -\infty \) iken \( e^{x - 7} \to 0 \)
\( \lim\limits_{x \to -\infty} \dfrac{x + 5}{e^{x - 7}} = -\infty \)
\( x \to \infty \) iken \( (x + 5) \to +\infty \)
\( x \to \infty \) iken \( e^{x - 7} \to +\infty \)
\( \lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{x + 5}{e^{x - 7}} = \lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{(x + 5)'}{(e^{x - 7})'} \)
\( = \lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{1}{e^{x - 7}} = 0 \)
Negatif ve pozitif sonsuzda fonksiyon bulduğumuz yerel maksimum değerinden daha büyük bir değer almadığı için \( x = -4 \) noktası aynı zamanda mutlak maksimum noktasıdır.
Buna göre fonksiyonun mutlak maksimum değeri \( e^{11} \) olarak bulunur.