Yüzdelerle İşlemler
Yüzdelerle Dört İşlem
Yüzdeler de kesirler ve ondalık sayılar gibi rasyonel sayı oldukları için aralarında toplama, çıkarma, çarpma ve bölme gibi işlemler yapılabilir.
Toplama/çıkarma/çarpma/bölme işlemleri sayılar yüzdesel gösterimde iken yapılabileceği gibi, bu sayılar kesir ya da ondalık gösterime dönüştürülerek de yapılabilir.
\( \% 25 + \% 60 = \% 85 \)
\( = \dfrac{1}{4} + \dfrac{3}{5} = \dfrac{5}{20} + \dfrac{12}{20} \)
\( = \dfrac{17}{20} = \% 85 \)
\( \% 97 - \% 33 = 0,97 + 0,33 \)
\( = 0,64 = \% 64 \)
\( \% 40 \cdot \% 25 = \dfrac{2}{5} \cdot \dfrac{1}{4} \)
\( = \dfrac{2}{20} = \% 10 \)
Kesirler, ondalık sayılar ve yüzdeler arası dönüşümleri önümüzdeki bölümlerde inceleyeceğiz.
Yüzdesel Değişim
Yüzdesel değişim ya da değişim yüzdesi, bir çokluğun önceki değerine göre ne kadar arttığını ya da azaldığını gösteren yüzdesel bir ifadedir.
Önceki ve Sonraki Değerlerin Bilindiği Durumda Yüzdesel Değişim
Bir çokluğun önceki ve sonraki değerlerinin bilindiği durumda yüzdesel değişim aşağıdaki formülle bulunabilir.
\( A \): Önceki değer
\( B \): Sonraki değer
\( Y \): Yüzdesel değişim (%)
\( Y = \dfrac{B - A}{A} \)
Fiyatı 120 TL'den 150 TL'ye çıkan bir kitabın fiyatındaki yüzdesel değişim:
Değişim % \( = \dfrac{150 - 120}{120} \)
\( = \dfrac{1}{4} = \% 25 \)
Bu formüle göre;
- Önceki değere göre bir artış söz konusu ise formülün payı ve bunun sonucu olarak yüzdesel değişim pozitif değer alır.
- Önceki değere göre bir azalma söz konusu ise formülün payı ve bunun sonucu olarak yüzdesel değişim negatif değer alır.
- \( \%0 \)'lık bir yüzdesel değişim herhangi bir değişim olmadığını gösterir.
Aşağıdaki tabloda önceki fiyatı 100 TL olan bir ürünün yeni fiyatının farklı düzeyleri için fiyattaki yüzdesel değişim oranı verilmiştir.
| Yeni Fiyat | Hesaplama | Yüzdesel Değişim |
|---|---|---|
| \( 40 \) TL | \( \frac{40 - 100}{100} = \frac{-60}{100} = -\%60 \) | %60 azalma |
| \( 75 \) TL | \( \frac{75 - 100}{100} = \frac{-25}{100} = -\%25 \) | %25 azalma |
| \( 100 \) TL | \( \frac{100 - 100}{100} = \frac{0}{100} = \%0 \) | %0 değişim |
| \( 125 \) TL | \( \frac{125 - 100}{100} = \frac{25}{100} = \%25 \) | %25 artış |
| \( 160 \) TL | \( \frac{160 - 100}{100} = \frac{60}{100} = \%60 \) | %60 artış |
| \( 250 \) TL | \( \frac{250 - 100}{100} = \frac{150}{100} = \%150 \) | %150 artış |
Önceki Değer ve Yüzdesel Değişimin Bilindiği Durumda Sonraki Değer
Bir çokluğun önceki değerinin ve yüzdesel değişimin bilindiği durumda sonraki değer aşağıdaki formülle bulunabilir.
\( A \): Önceki değer
\( B \): Sonraki değer
\( Y \): Yüzdesel değişim (%)
\( B = A \cdot (1 + Y) \)
Saatte 200 km/sa hızla giden bir motor hızını %35 arttırdığındaki yeni hızı:
\( = 200 \cdot (1 + \% 35) \)
\( = 200 \cdot 1,35 = 270 \) km/sa
Aşağıdaki tabloda önceki fiyatı 100 TL olan bir ürünün farklı yüzdesel değişim oranları için yeni fiyatı verilmiştir.
| Yüzdesel Değişim | Hesaplama | Yeni Fiyat |
|---|---|---|
| %50 azalma | \( 100 \cdot (1 + \frac{-50}{100}) = 50 \) | \( 50 \) TL |
| %0 değişim | \( 100 \cdot (1 + \frac{0}{100}) = 100 \) | \( 100 \) TL |
| %20 artış | \( 100 \cdot (1 + \frac{20}{100}) = 120 \) | \( 120 \) TL |
| %100 artış | \( 100 \cdot (1 + \frac{100}{100}) = 200 \) | \( 200 \) TL |
| %150 artış | \( 100 \cdot (1 + \frac{150}{100}) = 250 \) | \( 250 \) TL |
Bu bilgiler doğrultusunda bazı yüzdesel değişimler aşağıdaki şekilde özetlenebilir.
Bir büyüklüğün değeri;
- %100 azalırsa değeri sıfır olur.
- %50 azalırsa değeri yarıya iner.
- %0 değişirse değeri aynı kalır.
- %100 artarsa değeri iki katına çıkar.
- %200 artarsa değeri üç katına çıkar.
Aşağıdaki ürünlerin belirtilen değişimler sonucunda oluşan yeni fiyatlarını bulunuz.
(a) 450 TL olan bir monta \( \%12 \) indirim uygulanıyor.
(b) 2000 TL olan bir masaya \( \%1 \) zam uygulanıyor.
(c) 200 TL olan bir kameraya önce \( \%5 \) zam, ardından yeni fiyatına \( \%10 \) indirim uygulanıyor.
Çözümü GösterBir çokluğun önceki değerinin ve yüzdesel değişiminin bilindiği durumda sonraki değer aşağıdaki formülle bulunabilir.
\( A \): Önceki değer
\( B \): Sonraki değer
\( Y \): Yüzdesel değişim \( (\%) \)
\( B = A \cdot (1 + Y) \)
(a) seçeneği:
450 TL olan bir monta \( \%12 \) indirim uygulanıyor.
\( B = 450 \cdot (1 + (-\%12)) \)
Yüzde ifadesini kesir olarak yazalım.
\( = 450 \cdot (1 - \dfrac{12}{100}) \)
\( = 450 \cdot \dfrac{88}{100} = 396 \) TL
(b) seçeneği:
2000 TL olan bir masaya \( \%1 \) zam uygulanıyor.
\( B = 2000 \cdot (1 + \%1) \)
Yüzde ifadesini kesir olarak yazalım.
\( = 2000 \cdot (1 + \dfrac{1}{100}) \)
\( = 2000 \cdot \dfrac{101}{100} = 2020 \) TL
(c) seçeneği:
200 TL olan bir kameraya önce \( \%5 \) zam, ardından yeni fiyatına \( \%10 \) indirim uygulanıyor.
Önce \( \%5 \) zamlı fiyatını bulalım.
\( B' = 200 \cdot (1 + \%5) \)
Yüzde ifadesini kesir olarak yazalım.
\( = 200 \cdot (1 + \dfrac{5}{100}) \)
\( = 200 \cdot \dfrac{105}{100} = 210 \) TL
Bulduğumuz fiyata \( \%10 \) indirim uygulayalım.
\( B = 210 \cdot (1 + (-\%10)) \)
Yüzde ifadesini kesir olarak yazalım.
\( = 210 \cdot (1 - \dfrac{10}{100}) \)
\( = 210 \cdot \dfrac{90}{100} = 189 \) TL
Aşağıdaki fiyat değişimlerini yüzdelik olarak ifade ediniz.
(a) Bir telefonun fiyatı 3500 TL’den 4200 TL’ye çıkmıştır.
(b) Bir bilgisayarın fiyatı 12000 TL’den 10800 TL’ye düşmüştür.
(c) Bir ayakkabının fiyatı 1000 TL’den 600 TL’ye düşmüştür.
Çözümü GösterBir çokluğun önceki ve sonraki değerlerinin bilindiği durumda yüzdesel değişim aşağıdaki formülle bulunabilir.
\( A \): Önceki değer
\( B \): Sonraki değer
\( Y \): Yüzdesel değişim \( (\%) \)
\( Y = \dfrac{B - A}{A} \)
(a) seçeneği:
Bir telefonun fiyatı 3500 TL’den 4200 TL’ye çıkmıştır.
\( Y = \dfrac{4200 - 3500}{3500} \)
\( = \dfrac{700}{3500} = \dfrac{20}{100} \)
\( = \%20 \)
(b) seçeneği:
Bir bilgisayarın fiyatı 12000 TL’den 10800 TL’ye düşmüştür.
\( Y = \dfrac{10800 - 12000}{12000} \)
\( = -\dfrac{1200}{12000} = -\dfrac{10}{100} \)
\( = -\%10 \)
(c) seçeneği:
Bir ayakkabının fiyatı 1000 TL’den 600 TL’ye düşmüştür.
\( Y = \dfrac{600 - 1000}{1000} \)
\( = -\dfrac{400}{1000} = -\dfrac{40}{100} \)
\( = -\%40 \)
Aşağıdaki ürünlerin ilk fiyatını bulunuz.
(a) Bir televizyonun fiyatı \( \%4 \) zam ile 10400 TL olmuştur.
(b) Bir tabletin fiyatı \( \%10 \) indirim ile 1800 TL olmuştur.
(c) Bir saatin fiyatına önce \( \%20 \) zam yapılmış, ardından yeni fiyatına \( \%10 \) indirim uygulanarak 432 TL olmuştur.
Çözümü GösterBir çokluğun yüzdesel değişiminin ve sonraki değerinin bilindiği durumda önceki değer aşağıdaki formülle bulunabilir.
\( A \): Önceki değer
\( B \): Sonraki değer
\( Y \): Yüzdesel değişim \( (\%) \)
\( A = \dfrac{B}{1 + Y} \)
(a) seçeneği:
Bir televizyonun fiyatı \( \%4 \) zam ile 10400 TL olmuştur.
\( A = \dfrac{10400}{1 + \%4} \)
Yüzde ifadesini kesir olarak yazalım.
\( = \dfrac{10400}{1 + \frac{4}{100}} = \dfrac{10400}{\frac{104}{100}} \)
\( = \dfrac{10400 \cdot 100}{104} = 10000 \) TL
(b) seçeneği:
Bir tabletin fiyatı \( \%10 \) indirim ile 1800 TL olmuştur.
\( A = \dfrac{1800}{1 + (-\%10)} \)
Yüzde ifadesini kesir olarak yazalım.
\( = \dfrac{1800}{1 - \frac{10}{100}} = \dfrac{1800}{\frac{90}{100}} \)
\( = \dfrac{1800 \cdot 100}{90} = 2000 \) TL
(c) seçeneği:
Bir saatin fiyatına önce \( \%20 \) zam yapılmış, ardından yeni fiyatına \( \%10 \) indirim uygulanarak 432 TL olmuştur.
Önce \( \%10 \) indirim uygulanarak 432 TL olan fiyatı bulalım.
\( A' = \dfrac{432}{1 + (-\%10)} \)
Yüzde ifadesini kesir olarak yazalım.
\( = \dfrac{432}{1 - \frac{10}{100}} = \dfrac{432}{\frac{90}{100}} \)
\( = \dfrac{432 \cdot 100}{90} = 480 \) TL
Şimdi \( \%20 \) zam yapılarak 480 TL olan fiyatı bulalım.
\( A = \dfrac{480}{1 + \%20} \)
Yüzde ifadesini kesir olarak yazalım.
\( = \dfrac{480}{1 + \frac{20}{100}} = \dfrac{480}{\frac{120}{100}} \)
\( = \dfrac{480 \cdot 100}{120} = 400 \) TL
Aşağıdaki işlemlerin sonucu yüzde ve ondalık olarak kaçtır?
(a) \( \% 45 \cdot 0,10 \)
(b) \( (\% 9)^2 \)
(c) \( \sqrt{\% 121} \)
Çözümü Göster(a) seçeneği:
\( \% 45 \cdot 0,10 \)
Sayıları kesirli gösterimde yazalım.
\( = \dfrac{45}{100} \cdot \dfrac{1}{10} \)
\( = \dfrac{45}{1000} \)
Bulduğumuz sayının ondalık ve yüzde karşılıklarını yazalım.
\( = 0,045 = \%4,5 \)
(b) seçeneği:
\( (\% 9)^2 \)
Sayıyı kesirli gösterimde yazalım.
\( = \left( \dfrac{9}{100} \right)^2 = \dfrac{81}{10000} \)
Bulduğumuz sayının ondalık ve yüzde karşılıklarını yazalım.
\( = 0,0081 = \%0,81 \)
(c) seçeneği:
\( \sqrt{\% 121} \)
Sayıyı kesirli gösterimde yazalım.
\( = \sqrt{\frac{121}{100}} \)
\( = \dfrac{11}{10} \)
Bulduğumuz sayının ondalık ve yüzde karşılıklarını yazalım.
\( = 1,1 = \% 110 \)
Aşağıdaki işlemlerin sonucu yüzde ve ondalık olarak kaçtır?
(a) \( \dfrac{ \%12 \cdot \%4 }{\%24} \)
(b) \( \sqrt{\%144} \)
(c) \( \sqrt[3]{\%800} \)
Çözümü Göster(a) seçeneği:
Sayıyı kesirli gösterimde yazalım.
\( \dfrac{ \%12 \cdot \%4 }{\%24} = \dfrac{\frac{12}{100} \cdot \frac{4}{100} }{\frac{24}{100}} \)
\( = \dfrac{12}{100} \cdot \dfrac{4}{100} \cdot \dfrac{100}{24} \)
\( = \dfrac{2}{100} \)
Bulduğumuz sayının ondalık ve yüzde karşılıklarını yazalım.
\( = 0,02 = \% 2 \)
(b) seçeneği:
Sayıyı kesirli gösterimde yazalım.
\( \sqrt{\%144} = \sqrt{\dfrac{144}{100}} \)
\( = \dfrac{12}{10} \)
Bulduğumuz sayının ondalık ve yüzde karşılıklarını yazalım.
\( = 1,2 = \% 120 \)
(c) seçeneği:
Sayıyı kesirli gösterimde yazalım.
\( \sqrt[3]{\%800} = \sqrt[3]{\dfrac{800}{100}} \)
\( = \sqrt[3]{8} \)
\( = 2 \)
Bulduğumuz sayının ondalık ve yüzde karşılıklarını yazalım.
\( = 2 = \% 200 \)
\( \dfrac{3}{\%6} + \dfrac{4}{\%200} - \dfrac{\%120}{6} \) ifadesinin değeri kaçtır?
Çözümü GösterYüzde ifadelerini kesir olarak yazalım.
\( \dfrac{3}{\frac{6}{100}} + \dfrac{4}{\frac{200}{100}} - \dfrac{\frac{120}{100}}{6} \)
\( = \dfrac{3 \cdot 100}{6} + \dfrac{4 \cdot 100}{200} - \dfrac{120}{100 \cdot 6} \)
\( = 50 + 2 - \dfrac{1}{5} \)
\( = \dfrac{259}{5} \) bulunur.
Bir karenin tüm kenar uzunlukları \( \%20 \) kısaltılırsa bu karenin yeni alanı eski alanının yüzde kaçı olur?
Çözümü GösterKarenin bir kenar uzunluğuna \( 100x \) diyelim.
Karenin alanını hesaplayalım.
\( A_1 = (100x)^2 \)
Tüm kenar uzunlukları \( \%20 \) kısaltılmış bir karenin bir kenar uzunluğunu bulalım.
\( 100x - 100x \cdot \dfrac{20}{100} = 80x \)
Yeni karenin alanını hesaplayalım.
\( A_2 = (80x)^2 \)
Yeni alanın önceki alanın yüzde kaçı olduğunu bulalım.
\( \dfrac{A_2}{A_1} = \dfrac{(80x)^2}{(100x)^2} \)
\( = \dfrac{80x \cdot 80x}{100x \cdot 100x} \)
\( = \dfrac{64}{100} = \%64 \) bulunur.