Bir Çokluğun Bir Yüzde Kadarı

Bütün ve yüzdenin verildiği problemlerde parça aşağıdaki formülle hesaplanabilir.

\( \text{Parça} = \text{Bütün} \times \text{Yüzde} \)

(a) seçeneği:

250'nin \( \%12 \)'si kaçtır?

\( \text{Parça} = 250 \cdot \%12 \)

\( = 250 \cdot \dfrac{12}{100} \)

\( = 25 \cdot \dfrac{12}{10} = 30 \)

(b) seçeneği:

50'nin \( \%18000 \)'i kaçtır?

\( x \) sayısının \( \%y \)'si, \( y \) sayısının \( \%x \)'ine eşittir.

Buna göre verilen ifade 18000'in \( \%50 \)'sine eşittir.

\( \text{Parça} = 18000 \cdot \%50 \)

\( = 18000 \cdot \dfrac{50}{100} \)

\( = 18000 \cdot \dfrac{1}{2} = 9000 \)

(c) seçeneği:

60'ın \( \%30 \)'u kaçtır?

\( \text{Parça} = 60 \cdot \%30 \)

\( = 60 \cdot \dfrac{30}{100} \)

\( = 6 \cdot 3 = 18 \)

Bütün ve parçanın verildiği problemlerde yüzde aşağıdaki formülle hesaplanabilir.

\( \text{Yüzde} = \dfrac{\text{Parça}}{\text{Bütün}} \)

(a) seçeneği:

60'ın yüzde kaçı 12'dir?

\( \text{Yüzde} = \dfrac{12}{60} \)

\( = \dfrac{2}{10} = \dfrac{20}{100} \)

\( = \%20 \)

(b) seçeneği:

240'ın yüzde kaçı 60'tır?

\( \text{Yüzde} = \dfrac{60}{240} \)

\( = \dfrac{1}{4} = \dfrac{25}{100} \)

\( = \%25 \)

(c) seçeneği:

50'nin yüzde kaçı 130'dur?

\( \text{Yüzde} = \dfrac{130}{50} \)

\( = \dfrac{260}{100} = \%260 \)

Parça ve yüzdenin verildiği problemlerde bütün aşağıdaki formülle hesaplanabilir.

\( \text{Bütün} = \dfrac{\text{Parça}}{\text{Yüzde}} \)

(a) seçeneği:

Kaçın \( \%35 \)'i 28'dir?

\( \text{Bütün} = \dfrac{28}{\%35} \)

\( = \dfrac{28}{\frac{35}{100}} = 28 \cdot \dfrac{100}{35} \)

\( = 80 \)

(b) seçeneği:

Kaçın \( \%32 \)'si 16'dır?

\( \text{Bütün} = \dfrac{16}{\%32} \)

\( = \dfrac{16}{\frac{32}{100}} = 16 \cdot \dfrac{100}{32} \)

\( = 50 \)

(c) seçeneği:

Kaçın \( \%150 \)'si 84'tür?

\( \text{Bütün} = \dfrac{84}{\%150} \)

\( = \dfrac{84}{\frac{150}{100}} = 84 \cdot \dfrac{100}{150} \)

\( = 56 \)

\( 234500 \cdot \%0,2 = 234500 \cdot \dfrac{0,2}{100} \)

\( = 234500 \cdot \dfrac{2}{1000} \)

\( = 2345 \cdot \dfrac{2}{10} \)

\( = 469 \) bulunur.

İstenen sayıya \( a \) diyelim.

Verilen bilgileri denklem şeklinde yazalım.

\( a \cdot \dfrac{200}{100} = 140 \cdot \dfrac{20}{100} \)

\( a = \dfrac{140 \cdot 20}{200} \)

\( = 14 \) bulunur.

Gizem'in yaşına \( 100x \) diyelim.

Serpil'in yaşı Gizem'in yaşından \( \%25 \) daha fazladır.

\( \text{Serpil'in yaşı} = 100x + 100x \cdot \dfrac{25}{100} \)

\( = 125x \)

Yaşları arasındaki farkı bulalım.

\( 125x - 100x = 25x \)

Buna göre Gizem'in yaşı Serpil'in yaşından \( 25x \) daha azdır.

\( 25x \)'in Serpil'in yaşının yüzde kaçı olduğunu bulalım.

\( \dfrac{25x}{125x} = \dfrac{1}{5} \)

\( = \%20 \) daha az bulunur.

Bilinmeyen sayıya \( x \) diyelim.

\( x \) sayısının önce %30'unu sonra %40'ını alarak 15 sayısına eşitleyelim.

\( x \cdot \dfrac{30}{100} \cdot \dfrac{40}{100} = 15 \)

\( x \cdot \dfrac{3}{10} \cdot \dfrac{2}{5} = 15 \)

\( x \cdot \dfrac{3}{25} = 15 \)

\( x = \dfrac{15 \cdot 25}{3} = 125 \)

125 sayısının %0,05'ini bulalım.

\( 125 \cdot \dfrac{0,05}{100} = 125 \cdot \dfrac{5}{10000} \)

\( = 125 \cdot \dfrac{1}{2000} = \dfrac{25}{400} \)

\( = \dfrac{5}{80} = \dfrac{1}{16} \) bulunur.

Bilinmeyen sayıya \( x \) diyelim.

\( x \cdot \dfrac{30}{100} + 378 = x \cdot \dfrac{57}{100} - 108 \)

\( \dfrac{27x}{100} = 486 \)

\( x = 1800 \)

Bu sayının %18'ini bulalım.

\( 1800 \cdot \dfrac{18}{100} = 324 \) bulunur.

\( x \) sayısının \( \%y \)'si, \( y \) sayısının \( \%x \)'ine eşittir.

Buna göre verilen ifade 19800'in %25'ine eşittir.

\( 19800 \cdot \dfrac{25}{100} = 19800 \cdot \dfrac{1}{4} \)

\( = 4950 \) bulunur.

Ahmet'in başlangıçtaki parasına \( 100x \) diyelim.

Ahmet önce parasının %35'ini harcıyor.

\( 100x \cdot \dfrac{35}{100} = 35x \)

Ahmet'in kalan parasını bulalım.

\( 100x - 35x = 65x \)

Ahmet sonra kalan parasının %60'ını harcıyor.

\( 65x \cdot \dfrac{60}{100} = 39x \)

Ahmet'in en sonda kalan parasını bulalım.

\( 65x - 39x = 26x \)

\( 26x \) başlangıçtaki \( 100x \)'in \( \frac{26x}{100x} = \%26 \)'sıdır.

Verilen ifadeyi denklem şeklinde yazalım.

\( x \cdot \dfrac{10}{100} + y \cdot \dfrac{40}{100} = x \cdot \dfrac{1}{5} \)

\( x \cdot \dfrac{10}{100} + y \cdot \dfrac{40}{100} = x \cdot \dfrac{20}{100} \)

\( y \cdot \dfrac{40}{100} = x \cdot \dfrac{10}{100} \)

İstenen yüzdeye \( a \) diyelim.

\( y \) sayısı \( x \) sayısının yüzde \( a \)'sına eşittir.

\( y = x \cdot \dfrac{a}{100} \)

Bu ifadeyi birinci eşitlikte yerine koyalım.

\( x \cdot \dfrac{a}{100} \cdot \dfrac{40}{100} = x \cdot \dfrac{10}{100} \)

\( \dfrac{a}{100} \cdot \dfrac{40}{100} = \dfrac{10}{100} \)

\( \dfrac{a}{100} \cdot 40 = 10 \)

\( a = \dfrac{10 \cdot 100}{40} = 25 \)

Buna göre \( y \) sayısı \( x \) sayısının yüzde 25'idir.

\( a \) sayısının \( \%48 \)'i, \( b \) sayısının \( \%80 \)'ine eşittir.

\( a \cdot \dfrac{48}{100} = b \cdot \dfrac{80}{100} \)

\( 48a = 80b \)

\( 3a = 5b \)

\( k \in \mathbb{R} \) olmak üzere, iki sayıyı \( k \) cinsinden aşağıdaki şekilde ifade edebiliriz.

\( a = 5k \)

\( b = 3k \)

Buna göre küçük olan sayı \( b \) sayısıdır.

\( b = 60 \)

Denklemde yerine koyalım.

\( 3a = 5(60) \)

\( a = 100 \) bulunur.

\( K \) sayısının %36'sı \( T \) sayısının %63'üne eşittir.

\( K \cdot \dfrac{36}{100} = T \cdot \dfrac{63}{100} \)

İstenen yüzdeye \( x \) diyelim.

\( K \) sayısının %22'si \( T \) sayısının yüzde \( x \)'ine eşittir.

\( K \cdot \dfrac{22}{100} = T \cdot \dfrac{x}{100} \)

İki eşitliği taraf tarafa birbirine bölelim.

\( \dfrac{K \cdot \frac{36}{100}}{K \cdot \frac{22}{100}} = \dfrac{T \cdot \frac{63}{100}}{T \cdot \frac{x}{100}} \)

\( \dfrac{36}{22} = \dfrac{63}{x} \)

İçler - dışlar çarpımı yapalım.

\( 36x = 63 \cdot 22 \)

\( x = \dfrac{63 \cdot 22}{36} \)

\( = \dfrac{77}{2} = 38,5 \) olarak bulunur.

Arazideki toplam ekilen bitki sayısına \( 100x \) diyelim.

\( A \) bitkisi tüm bitkilerin \( \%15 \)’idir.

\( 100x \cdot \dfrac{15}{100} = 15x \)

\( A \) bitkisinin \( \%5 \)’i zarar görmüştür.

\( 15x \cdot \dfrac{5}{100} = \dfrac{75x}{100} \)

\( B \) bitkisi tüm bitkilerin \( \%40 \)’ıdır.

\( 100x \cdot \dfrac{40}{100} = 40x \)

\( B \) bitkisinin \( \%10 \)’u zarar görmüştür.

\( 40x \cdot \dfrac{10}{100} = \dfrac{400x}{100} \)

\( C \) bitkisi tüm bitkilerin \( \%45 \)’idir.

\( 100x \cdot \dfrac{45}{100} = 45x \)

\( C \) bitkisinin \( \%15 \)’i zarar görmüştür.

\( = 45x \cdot \dfrac{15}{100} = \dfrac{675x}{100} \)

Zarar gören toplam bitki sayısını bulalım.

\( \dfrac{75x}{100} + \dfrac{400x}{100} + \dfrac{675x}{100} = \dfrac{1150x}{100} \)

Zarar görmeyen bitki sayısını bulmak için, toplam ekilen bitki sayısından zarar gören bitki sayısını çıkaralım.

\( 100x - \dfrac{1150x}{100} = \dfrac{10000x}{100} - \dfrac{1150x}{100} \)

\( = \dfrac{8850x}{100} \)

Zarar görmeyen bitki sayısının toplam ekilen bitki sayısının yüzde kaçı olduğunu bulalım.

\( \dfrac{\frac{8850x}{100}}{100x} = \dfrac{8850}{10000} \)

\( = \dfrac{88,5}{100} = \%88,5 \) bulunur.

\( x \) sayısı \( a \)'nın %32'sidir.

\( x = \dfrac{32a}{100} \)

Bu \( x \) değerini birinci eşitlikte yerine yazalım.

\( a = 25 \cdot \dfrac{32a}{100} - 245 \)

\( a = 8a - 245 \)

\( a = 35 \)

Bu değeri birinci eşitlikte yerine yazarak \( x \) değerini bulalım.

\( 35 = 25x - 245 \)

\( x = \dfrac{56}{5} \)

Bu \( x \) değerini ikinci eşitlikte yerine yazalım.

\( b = 35 \cdot \dfrac{56}{5} - 168 \)

\( b = 392 - 168 = 224 \)

\( x \) sayısı \( b \)'nin yüzde \( k \)'sı diyelim.

\( b \cdot \dfrac{k}{100} = x \)

\( 224 \cdot \dfrac{k}{100} = \dfrac{56}{5} \)

\( k = \dfrac{5600}{224 \cdot 5} = 5 \)

\( x \) sayısı \( b \)'nin %5'ine eşittir.