Kesirlerde Sıralama
Bir reel sayı; sayı doğrusu üzerinde solunda bulunan tüm sayılardan daha büyük, sağında bulunan tüm sayılardan daha küçüktür, dolayısıyla kesirleri karşılaştırırken ya da sıralarken sayı doğrusu üzerindeki konumlarını belirlememiz önem taşır.
Tam sayılı kesirlerde tam sayı kısmı daha büyük olan kesir daha büyüktür. Aşağıda bahsedeceğimiz yöntemler kesirlerin tam sayı dışındaki kısımlarını karşılaştırmak için kullanılabilir.
Paydaları Eşit Kesirler
Paydaları eşit kesirler içinde payı daha büyük olan kesir daha büyüktür. Paydaları eşit kesirler aynı sayıda dilime bölünmüş (dolayısıyla aynı büyüklükte dilimlerden oluşan) pastalar olarak düşünüldüğünde, daha çok sayıda dilimin daha büyük bir çokluğa karşılık gelmesi mantıklıdır.
Aşağıdaki kesirleri küçükten büyüğe doğru sıralayalım.
\( \dfrac{5}{6}, \quad \dfrac{7}{9}, \quad \dfrac{11}{15} \)
Kesirlerin paydalarını EKOK'larında eşitleyelim.
\( EKOK(6, 9, 15) = 90 \)
\( \dfrac{5 \cdot 15}{6 \cdot 15} = \dfrac{75}{90} \)
\( \dfrac{7 \cdot 10}{9 \cdot 10} = \dfrac{70}{90} \)
\( \dfrac{11 \cdot 6}{15 \cdot 6} = \dfrac{66}{90} \)
Paydaları eşit kesirler içinde payı daha büyük olan kesir daha büyüktür.
\( \dfrac{66}{90} \lt \dfrac{70}{90} \lt \dfrac{75}{90} \)
Negatif işareti paya yansıtıldığında, bu yöntem karşılaştırmaya negatif işaretli kesirler dahil edildiğinde de doğru sonuç verecektir.
Payları Eşit Kesirler
Payları eşit ve pozitif kesirler içinde paydası daha küçük olan kesir daha büyüktür. Payları eşit kesirler farklı sayıda dilime bölünmüş (dolayısıyla farklı büyüklükte dilimlerden oluşan) pastalar olarak düşünüldüğünde, daha az sayıda dilime bölünmüş pastadan alınacak aynı sayıda dilimin daha büyük bir çokluğa karşılık gelmesi mantıklıdır.
Aşağıdaki kesirleri küçükten büyüğe doğru sıralayalım.
\( \dfrac{21}{26}, \quad \dfrac{15}{19}, \quad \dfrac{35}{44} \)
Kesirlerin paylarını EKOK'larında eşitleyelim.
\( EKOK(21, 15, 35) = 105 \)
\( \dfrac{21 \cdot 5}{26 \cdot 5} = \dfrac{105}{130} \)
\( \dfrac{15 \cdot 7}{19 \cdot 7} = \dfrac{105}{133} \)
\( \dfrac{35 \cdot 3}{44 \cdot 3} = \dfrac{105}{132} \)
Payları eşit kesirler içinde paydası daha küçük olan kesir daha büyüktür.
\( \dfrac{105}{133} \lt \dfrac{105}{132} \lt \dfrac{105}{130} \)
Payı ve Paydası Arasındaki Fark Eşit Olan Kesirler
Payı ve paydası arasındaki fark eşit olan basit kesirler içinde payı daha büyük olan kesir daha büyüktür.
Aşağıdaki kesirleri küçükten büyüğe doğru sıralayalım.
\( \dfrac{10}{11}, \quad \dfrac{29}{32}, \quad \dfrac{19}{21} \)
Kesirlerin pay ve paydaları arasındaki farkları EKOK'larında eşitleyelim.
\( EKOK(1, 3, 2) = 6 \)
\( \dfrac{10 \cdot 6}{11 \cdot 6} = \dfrac{60}{66} \)
\( \dfrac{29 \cdot 2}{32 \cdot 2} = \dfrac{58}{64} \)
\( \dfrac{19 \cdot 3}{21 \cdot 3} = \dfrac{57}{63} \)
Payı ve paydası arasındaki fark aynı olan basit kesirler içinde payı daha büyük olan kesir daha büyüktür.
\( \dfrac{57}{63} \lt \dfrac{58}{64} \lt \dfrac{60}{66} \)
Yukarıda bahsettiğimiz üç yönteme göre, kesirlerin karşılaştırmasında paydalar kolay eşitlenebilir sayılarsa paydalar, paylar kolay eşitlenebilir sayılarsa paylar, üçüncü bir seçenek olarak da pay ve paydalar arasındaki farklar eşitlenir.
Diğer Kesirler
Bazı durumlarda yukarıdaki yöntemlere gerek kalmadan, kesirler üçüncü bir kesre göre konumları belirlenerek de sıralanabilir. Pay ve paydaların birbirine oranı dikkatli incelendiğinde, aşağıdaki birinci örnekteki kesirlerin \( \frac{1}{2} \)'ye, ikinci örnekteki kesirlerin de \( \frac{2}{3} \)'e göre konumları kullanılarak kesirler sıralanabilir.
\( \dfrac{10}{19}, \quad \dfrac{13}{27} \)
\( \dfrac{13}{27} \lt \dfrac{1}{2} \lt \dfrac{10}{19} \)
\( \dfrac{35}{54}, \quad \dfrac{43}{63} \)
\( \dfrac{35}{54} \lt \dfrac{2}{3} \lt \dfrac{43}{63} \)
Aşağıdaki kesirleri küçükten büyüğe doğru sıralayın.
(a) \( \dfrac{23}{16}, \dfrac{23}{12}, \dfrac{23}{21}, \dfrac{23}{10} \)
(b) \( -3\dfrac{2}{9}, 5\dfrac{3}{4}, 2\dfrac{1}{8}, -4\dfrac{1}{3} \)
(c) \( \dfrac{12}{11}, \dfrac{3}{7}, \dfrac{4}{5}, \dfrac{8}{3} \)
Çözümü Göster(a) seçeneği:
Payları eşit ve pozitif kesirler içinde paydası daha küçük olan kesir daha büyüktür.
\( \dfrac{23}{21} \lt \dfrac{23}{16} \lt \dfrac{23}{12} \lt \dfrac{23}{10} \)
(b) seçeneği:
Tam sayılı kesirler içinde tam sayı kısmı daha büyük olan kesir daha büyüktür.
\( -4\dfrac{1}{3} \lt -3\dfrac{2}{9} \lt 2\dfrac{1}{8} \lt 5\dfrac{3}{4} \)
(c) seçeneği:
Kesirlerin paylarını eşitlemek daha kolay olduğu için paylarını eşitleyelim.
\( EKOK(12, 3, 4, 8) = 24 \)
\( \dfrac{24}{22}, \dfrac{24}{56}, \dfrac{24}{30}, \dfrac{24}{9} \)
Payları eşit ve pozitif kesirler içinde paydası daha küçük olan kesir daha büyüktür.
\( \dfrac{24}{56} \lt \dfrac{24}{30} \lt \dfrac{24}{22} \lt \dfrac{24}{9} \)
\( a \in \mathbb{R^+} \) olmak üzere,
\( x = \dfrac{a + 2}{a + 4} \)
\( y = \dfrac{a + 4}{a + 6} \)
\( z = \dfrac{a + 6}{a + 8} \)
sayılarını küçükten büyüğe sıralayın.
Çözümü GösterVerilen rasyonel ifadelerin pay ve paydaları arasındaki farklar aynıdır.
\( (a + 4) - (a + 2) = 2 \)
\( (a + 6) - (a + 4) = 2 \)
\( (a + 8) - (a + 6) = 2 \)
Payı ve paydası arasındaki fark aynı olan basit kesirler içinde, payı en büyük olan kesir en büyüktür.
O halde kesirlerin sıralaması aşağıdaki gibi olur.
\( \dfrac{a + 2}{a + 4} \lt \dfrac{a + 4}{a + 6} \lt \dfrac{a + 6}{a + 8} \)
\( x \lt y \lt z \)
\( a \) sayısına herhangi bir pozitif reel sayı vererek bulduğumuz sonucun sağlamasını yapabiliriz.
\( a = 2 \) diyelim.
\( x = \dfrac{2 + 2}{2 + 4} = \dfrac{4}{6} = \dfrac{80}{120} \)
\( y = \dfrac{2 + 4}{2 + 6} = \dfrac{6}{8} = \dfrac{90}{120} \)
\( z = \dfrac{2 + 6}{2 + 8} = \dfrac{8}{10} = \dfrac{96}{120} \)
\( \dfrac{80}{120} \lt \dfrac{90}{120} \lt \dfrac{96}{120} \)
\( x \lt y \lt z \)
Aşağıdaki kesirli ifadeleri küçükten büyüğe doğru sıralayınız.
\( \dfrac{999}{1000}, \dfrac{1000}{999}, \dfrac{1001}{1000}, \dfrac{1000}{1001} \)
Çözümü GösterDeğerleri 1'e yakın olan kesirlerdeki 1 tam sayısını ayıralım.
\( \dfrac{999}{1000} = 1 - \dfrac{1}{1000} \)
\( \dfrac{1000}{999} = 1 + \dfrac{1}{999} \)
\( \dfrac{1001}{1000} = 1 + \dfrac{1}{1000} \)
\( \dfrac{1000}{1001} = 1 - \dfrac{1}{1001} \)
Buna göre 1. ve 4. kesirler 1'den küçük, 2. ve 3. kesirler 1'den büyüktür.
Daha küçük bir kesir çıkardığımız için 4. kesir 1. kesirden, daha büyük bir kesir eklediğimiz için 2. kesir 3. kesirden büyüktür.
Buna göre kesirlerin sıralaması aşağıdaki gibi olur.
\( \dfrac{999}{1000} \lt \dfrac{1000}{1001} \lt \dfrac{1001}{1000} \lt \dfrac{1000}{999} \)
Aşağıdaki kesirleri küçükten büyüğe doğru sıralayınız.
\( \dfrac{497}{166}, \dfrac{371}{124}, \dfrac{652}{217}, \dfrac{574}{191} \)
Çözümü GösterDeğerleri 3'e yakın olan kesirlerdeki 3 tam sayısını ayıralım.
\( \dfrac{497}{166} = \dfrac{498 - 1}{166} \)
\( = \dfrac{3 \cdot 166 - 1}{167} = 3 - \dfrac{1}{167} \)
\( \dfrac{371}{124} = \dfrac{372 - 1}{124} \)
\( = \dfrac{3 \cdot 124 - 1}{124} = 3 - \dfrac{1}{124} \)
\( \dfrac{652}{217} = \dfrac{651 + 1}{217} \)
\( = \dfrac{3 \cdot 217 + 1}{217} = 3 + \dfrac{1}{217} \)
\( \dfrac{574}{191} = \dfrac{573 + 1}{191} \)
\( = \dfrac{3 \cdot 191 + 1}{191} = 3 + \dfrac{1}{191} \)
Buna göre 1. ve 2. kesirler 3'ten küçük, 3. ve 4. kesirler 3'ten büyüktür.
Daha küçük bir kesir çıkardığımız için 1. kesir 2. kesirden, daha büyük bir kesir eklediğimiz için 4. kesir 3. kesirden büyüktür.
Buna göre kesirlerin sıralaması aşağıdaki gibi olur.
\( \dfrac{371}{124} \lt \dfrac{497}{166} \lt \dfrac{652}{217} \lt \dfrac{574}{191} \)
Aşağıdaki kesirleri küçükten büyüğe doğru sıralayınız.
\( \dfrac{7}{131}, \dfrac{15}{193}, \dfrac{9}{151}, \dfrac{13}{155} \)
Çözümü GösterPayları veya paydaları eşitlemek için kullanışlı bir yol yoktur.
Paydalar paylardan büyük olduğu için paydaları paylara kalanlı da olsa bölebiliriz.
\( \dfrac{7}{131} = \dfrac{1}{\frac{131}{7}} = \dfrac{1}{18,...} \)
\( \dfrac{15}{193} = \dfrac{1}{\frac{193}{15}} = \dfrac{1}{12,...} \)
\( \dfrac{9}{151} = \dfrac{1}{\frac{151}{9}} = \dfrac{1}{16,...} \)
\( \dfrac{13}{155} = \dfrac{1}{\frac{155}{13}} = \dfrac{1}{11,...} \)
Payları eşit ve pozitif kesirler içinde paydası daha küçük olan kesir daha büyüktür.
O halde kesirlerin küçükten büyüğe sıralaması aşağıdaki gibi olur.
\( \dfrac{1}{18,...} \lt \dfrac{1}{16,...} \lt \dfrac{1}{12,...} \lt \dfrac{1}{11,...} \)
\( \dfrac{7}{131} \lt \dfrac{9}{151} \lt \dfrac{15}{193} \lt \dfrac{13}{155} \)
\( x \in \mathbb{Z^-} \) olmak üzere,
Aşağıda verilen sıralamalardan hangileri doğrudur?
I. \( \dfrac{x}{45} \lt \dfrac{x}{49} \)
II. \( \dfrac{60}{x} \gt \dfrac{64}{x} \)
III. \( x\dfrac{78}{79} \gt x\dfrac{79}{80} \)
Çözümü GösterNegatif rasyonel sayıların sıralaması mutlak değerlerinin sıralamasının tam tersidir.
Verilen kesirleri \( x \) sayısını pozitif kabul ederek sıralayalım, daha sonra sıralamaların yönünü tersine çevirelim.
I. öncül:
Payları eşit ve pozitif kesirler içinde paydası daha küçük olan kesir daha büyüktür.
\( \dfrac{\abs{x}}{45} \gt \dfrac{\abs{x}}{49} \)
\( x \) negatif olduğu için eşitsizliğin yönü ters çevrilir.
\( \dfrac{x}{45} \lt \dfrac{x}{49} \)
I. öncül doğrudur.
II. öncül:
Paydaları eşit ve pozitif kesirler içinde payı daha büyük olan kesir daha büyüktür.
\( \dfrac{60}{\abs{x}} \lt \dfrac{64}{\abs{x}} \)
\( x \) negatif olduğu için eşitsizliğin yönü ters çevrilir.
\( \dfrac{60}{x} \gt \dfrac{64}{x} \)
II. öncül doğrudur.
III. öncül:
Tam kısımları eşit ve pozitif kesirlerde tam olmayan kısmı daha büyük olan kesir daha büyüktür.
Pozitif kesirlerde payı ve paydası arasındaki fark eşit olan basit kesirler içinde payı daha büyük olan kesir daha büyüktür.
\( \abs{x}\dfrac{78}{79} \lt \abs{x}\dfrac{79}{80} \)
\( x \) negatif olduğu için eşitsizliğin yönü ters çevrilir.
\( x\dfrac{78}{79} \gt x\dfrac{79}{80} \)
III. öncül doğrudur.
Buna göre tüm öncüller doğrudur.
\( x \in \mathbb{Z^-} \) olmak üzere,
\( a = \dfrac{x}{x - 14} \)
\( b = \dfrac{x}{x - 36} \)
\( c = \dfrac{x}{x - 22} \)
olduğuna göre, \( a, b, c \) sayılarını küçükten büyüğe doğru sıralayınız.
Çözümü GösterVerilen kesirleri pay ve paydalar pozitif olacak şekilde düzenleyelim.
\( a = \dfrac{x}{x - 14} = \dfrac{\abs{x}}{\abs{x} + 14} \)
\( b = \dfrac{x}{x - 36} = \dfrac{\abs{x}}{\abs{x} + 36} \)
\( c = \dfrac{x}{x - 22} = \dfrac{\abs{x}}{\abs{x} + 22} \)
Payları eşit ve pozitif kesirler içinde paydası daha küçük olan kesir daha büyüktür.
\( a, b, c \) sayılarının küçükten büyüğe doğru sıralanışı aşağıdaki gibi olur.
\( b \lt c \lt a \)
Aşağıdaki negatif kesirlerden hangisi \( -1 \)'e en yakındır?
\( -\dfrac{18}{19}, \quad -\dfrac{32}{33}, \quad -\dfrac{56}{57}, \quad -\dfrac{23}{24} \)
Çözümü GösterVerilen negatif kesirlerin tümü 0 ve -1 arasındadır.
Bu kesirlerden \( -1 \)'e en yakın olan (en küçük olan), sayıların mutlak değerlerini küçükten büyüğe doğru sıraladığımızda en büyük olan kesirdir.
Sayıların mutlak değerlerini sıralayalım.
Payı ve paydası arasındaki fark aynı olan pozitif basit kesirler içinde, payı en büyük olan kesir en büyüktür.
\( \dfrac{18}{19} \lt \dfrac{23}{24} \lt \dfrac{32}{33} \lt \dfrac{56}{57} \lt 1 \)
Buna göre verilen negatif kesirlerin sıralaması aşağıdaki gibi olur.
\( -1 \lt -\dfrac{56}{57} \lt -\dfrac{32}{33} \lt -\dfrac{23}{24} \lt -\dfrac{18}{19} \)
\( -1 \)'e en yakın olan kesir \( -\frac{56}{57} \) olarak bulunur.
\( x, y, z \in \mathbb{Q^+} \) olmak üzere,
\( x + y = \dfrac{3}{7} \)
\( y + z = \dfrac{5}{28} \)
\( x + z = \dfrac{1}{4} \)
olduğuna göre, \( x, y, z \) sayılarını küçükten büyüğe doğru sıralayınız.
Çözümü GösterVerilen eşitliklerdeki kesirlerin paydalarını eşitleyelim.
\( x + y = \dfrac{12}{28} \)
\( y + z = \dfrac{5}{28} \)
\( x + z = \dfrac{7}{28} \)
Eşitliklerin sol tarafını küçükten büyüğe doğru sıralayalım.
\( y + z \lt x + z \lt x + y \)
Bulduğumuz eşitsizlik için üç farklı eşitsizlik oluşturabiliriz.
1. eşitsizlik:
\( y + z \lt x + z \)
\( y \lt x \)
2. eşitsizlik:
\( x + z \lt x + y \)
\( z \lt y \)
3. eşitsizlik:
\( y + z \lt x + y \)
\( z \lt x \)
Bulduğumuz eşitsizlikleri tek bir eşitsizlik şeklinde yazalım.
\( z \lt y \lt x \)