Bir Çokluğun Bir Kesir Kadarı
Şu ana kadar kullandığımız örneklerdeki kesirler "1" sayısı ile ifade edebileceğimiz bir bütünün (1 pasta, 1 ekmek gibi) eşit parçalarını ifade ediyordu, ancak kesirler "1" dışındaki çoklukların eşit parçalarını ifade etmek için de kullanılabilir.
Kesirlerin farklı birim ve büyüklükteki çoklukların parçalarını ifade etmekteki kullanımına aşağıda birkaç örnek verilmiştir.
Bir çokluğun bir kesir kadarını bulmak için, bütünü temsil eden miktarla bütünden seçilmek istenen kesir çarpılır.
Bir çokluğun bir kesir kadarını bulma ile ilgili problemler üç farklı şekilde olabilir.
Bütün ve Kesirden Parçayı Bulma
Bütün ve kesrin verildiği problemlerde parça aşağıdaki formülle hesaplanabilir.
\( \text{Bütün} \times \text{Kesir} = \text{Parça} \)
\( \text{Parça} = \text{Bütün} \times \text{Kesir} \)
Bu tip problemlere aşağıdaki örnekler verilebilir.
| Soru | İşlem |
|---|---|
| 45 cevizin \( \frac{2}{9} \)'u kaç adet cevizdir? | \( 45 \cdot \frac{2}{9} = 10 \) ceviz |
| Dünyanın çevresinin \( \frac{3}{8} \)'i kaç km'dir? | \( 40000 \cdot \frac{3}{8} = 15.000 \) km |
| Bir günün \( \frac{2}{3} \)'ü kaç saattir? | \( 24 \cdot \frac{2}{3} = 16 \) saat |
Parça ve Kesirden Bütünü Bulma
Parça ve kesrin verildiği problemlerde bütün aşağıdaki formülle hesaplanabilir.
\( \text{Bütün} \times \text{Kesir} = \text{Parça} \)
\( \text{Bütün} = \dfrac{\text{Parça}}{\text{Kesir}} \)
Bu tip problemlere aşağıdaki örnekler verilebilir.
| Soru | İşlem |
|---|---|
| \( \frac{2}{3} \)'ü 150 km olan yolun tamamı kaç km'dir? | \( \frac{150}{\frac{2}{3}} = 150 \cdot \frac{3}{2} = 225 \) km |
| \( \frac{3}{7} \)'si 12 öğrenci olan sınıfın tamamı kaç kişidir? | \( \frac{12}{\frac{3}{7}} = 12 \cdot \frac{7}{3} = 28 \) öğrenci |
| \( \frac{1}{12} \)'si ile 15 ekmek yapılan unun tamamı ile kaç ekmek yapılabilir? | \( \frac{15}{\frac{1}{12}} = 15 \cdot \frac{12}{1} = 180 \) ekmek |
Bütün ve Parçadan Kesri Bulma
Bütün ve parçanın verildiği problemlerde kesir aşağıdaki formülle hesaplanabilir.
\( \text{Bütün} \times \text{Kesir} = \text{Parça} \)
\( \text{Kesir} = \dfrac{\text{Parça}}{\text{Bütün}} \)
Bu tip problemlere aşağıdaki örnekler verilebilir.
| Soru | İşlem |
|---|---|
| 150 gr şeker 1 kg'lık paketin kaçta kaçıdır? | \( \frac{150}{1000} = \frac{3}{20} \)'si |
| Bir sınıftaki 32 öğrencinin 18'i kız ise kız öğrenciler tüm öğrencilerin kaçta kaçıdır? | \( \frac{18}{32} = \frac{9}{16} \)'sı |
| 480 km'lik bir yolun 300 km'sini giden bir araç yolun kaçta kaçını tamamlamıştır? | \( \frac{300}{480} = \frac{5}{8} \)'i |
Aşağıdaki ifadelerin sonucunu bulunuz.
(a) \( \dfrac{68}{5} \)'in çeyreği
(b) \( \dfrac{325}{4} \)'ün onüçte yedisi
(c) \( \dfrac{120}{7} \)'nin sekizde üçünün yarısı
Çözümü GösterBütün ve kesrin verildiği problemlerde parça aşağıdaki formülle hesaplanabilir.
\( \text{Bütün} \times \text{Kesir} = \text{Parça} \)
(a) seçeneği:
\( \dfrac{68}{5} \)'in çeyreğini bulalım.
\( \dfrac{68}{5} \cdot \dfrac{1}{4} = \dfrac{17}{5} \)
(b) seçeneği:
\( \dfrac{325}{4} \)'ün onüçte yedisini bulalım.
\( \dfrac{325}{4} \cdot \dfrac{7}{13} = \dfrac{175}{4} \)
(c) seçeneği:
\( \dfrac{120}{7} \) sekizde üçünü bulalım.
\( \dfrac{120}{7} \cdot \dfrac{3}{8} = \dfrac{45}{7} \)
\( \dfrac{45}{7} \)'nin yarısını bulalım.
\( \dfrac{45}{7} \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{45}{14} \)
Bir doğum günü partisinde doğum günü pastasının \( \frac{5}{6} \)'sı yenmiştir. Pasta 12 dilim olduğuna göre, pastanın kaç dilimi artmıştır?
Çözümü GösterBütün ve kesrin verildiği problemlerde parça aşağıdaki formülle hesaplanabilir.
\( \text{Parça} = \text{Bütün} \times \text{Kesir} \)
\( = 12 \cdot \dfrac{5}{6} = 10 \)
Buna göre pastanın 10 dilimi yenmiştir, 12 - 10 = 2 dilimi artmıştır.
Aşağıdaki işlemlerin sonucunu bulunuz.
(a) 200'ün \( \frac{3}{4} \)'ü kaçtır?
(b) Kaçın \( \frac{11}{7} \)'si 22'dir?
(c) 45'in kaçta kaçı 20'dir?
Çözümü Göster(a) seçeneği:
Bütün ve kesrin verildiği problemlerde parça aşağıdaki formülle hesaplanabilir.
\( \text{Parça} = \text{Bütün} \times \text{Kesir} \)
\( = 200 \cdot \dfrac{3}{4} = 150 \)
(b) seçeneği:
Parça ve kesrin verildiği problemlerde bütün aşağıdaki formülle hesaplanabilir.
\( \text{Bütün} = \dfrac{\text{Parça}}{\text{Kesir}} \)
\( = \dfrac{22}{\frac{11}{7}} = 22 \cdot \dfrac{7}{11} \)
\( = 14 \)
(c) seçeneği:
Bütün ve parçanın verildiği problemlerde kesir aşağıdaki formülle hesaplanabilir.
\( \text{Kesir} = \dfrac{\text{Parça}}{\text{Bütün}} \)
\( = \dfrac{20}{45} = \dfrac{4}{9} \)
Aşağıdaki işlemlerin sonucunu bulunuz.
(a) 85'in \( \frac{2}{5} \)'i kaçtır?
(b) Kaçın \( \frac{8}{13} \)'ü 16'dır?
(c) 120'nin kaçta kaçı 42'dir?
Çözümü Göster(a) seçeneği:
Bütün ve kesrin verildiği problemlerde parça aşağıdaki formülle hesaplanabilir.
\( \text{Parça} = \text{Bütün} \times \text{Kesir} \)
\( = 85 \cdot \dfrac{2}{5} = 34 \)
(b) seçeneği:
Parça ve kesrin verildiği problemlerde bütün aşağıdaki formülle hesaplanabilir.
\( \text{Bütün} = \dfrac{\text{Parça}}{\text{Kesir}} \)
\( = \dfrac{16}{\frac{8}{13}} = 16 \cdot \dfrac{13}{8} \)
\( = 26 \)
(c) seçeneği:
Bütün ve parçanın verildiği problemlerde kesir aşağıdaki formülle hesaplanabilir.
\( \text{Kesir} = \dfrac{\text{Parça}}{\text{Bütün}} \)
\( = \dfrac{42}{120} = \dfrac{7}{20} \)
Aşağıdaki seçeneklerdeki \( a, b, c \) sayılarını bulunuz.
(a) \( a \) sayısının \( \frac{2}{5} \)'i ile \( \frac{1}{10} \)'unun toplamı 12'dir.
(b) \( b \) sayısının \( \frac{1}{4} \)'ü ile \( \frac{1}{6} \)'sının farkı \( \frac{20}{3} \)'ün çeyreğidir.
(c) \( c \) sayısının üçte ikisi ile beşte üçünün toplamı 38'dir.
Çözümü GösterBütün ve kesrin verildiği problemlerde parça aşağıdaki formülle hesaplanabilir.
\( \text{Parça} = \text{Bütün} \times \text{Kesir} \)
(a) seçeneği:
\( a \) sayısının \( \frac{2}{5} \)'i ile \( \frac{1}{10} \)'unun toplamı 12'dir.
\( a \) sayısının \( \frac{2}{5} \)'ini bulalım.
\( a \cdot \dfrac{2}{5} = \dfrac{2a}{5} \)
\( a \) sayısının \( \frac{1}{10} \)'unu bulalım.
\( a \cdot \dfrac{1}{10} = \dfrac{a}{10} \)
Parçaların toplamı 12'dir.
\( \dfrac{2a}{5} + \dfrac{a}{10} = 12 \)
Kesirlerin paydalarını eşitleyelim.
\( \dfrac{4a}{10} + \dfrac{a}{10} = 12 \)
\( \dfrac{5a}{10} = 12 \)
\( a = 24 \)
(b) seçeneği:
\( b \) sayısının \( \frac{1}{4} \)'ü ile \( \frac{1}{6} \)'sının farkı \( \frac{20}{3} \)'ün çeyreğidir.
\( b \) sayısının \( \frac{1}{4} \)'ünü bulalım.
\( b \cdot \dfrac{1}{4} = \dfrac{b}{4} \)
\( b \) sayısının \( \frac{1}{6} \)'sını bulalım.
\( b \cdot \dfrac{1}{6} = \dfrac{b}{6} \)
\( \frac{20}{3} \)'ün çeyreğini bulalım.
\( \dfrac{20}{3} \cdot \dfrac{1}{4} = \dfrac{5}{3} \)
Parçaların farkı \( \frac{20}{3} \)'ün çeyreğidir.
\( \dfrac{b}{4} - \dfrac{b}{6} = \dfrac{5}{3} \)
Kesirlerin paydalarını eşitleyelim.
\( \dfrac{3b}{12} - \dfrac{2b}{12} = \dfrac{5}{3} \)
\( \dfrac{b}{12} = \dfrac{5}{3} \)
\( b = 20 \)
(c) seçeneği:
\( c \) sayısının üçte ikisi ile beşte üçünün toplamı 38'dir.
\( c \) sayısının üçte ikisini bulalım.
\( c \cdot \dfrac{2}{3} = \dfrac{2c}{3} \)
\( c \) sayısının beşte üçünü bulalım.
\( c \cdot \dfrac{3}{5} = \dfrac{3c}{5} \)
Parçaların toplamı 38'dir.
\( \dfrac{2c}{3} + \dfrac{3c}{5} = 38 \)
Kesirlerin paydalarını eşitleyelim.
\( \dfrac{10c}{15} + \dfrac{9c}{15} = 38 \)
\( \dfrac{19c}{15} = 38 \)
\( c = 30 \)
63'ün \( \frac{a}{9} \)'u 28 olduğuna göre, \( a \) kaçtır?
Çözümü GösterBütün ve parçanın verildiği problemlerde kesir aşağıdaki formülle hesaplanabilir.
\( \text{Kesir} = \dfrac{\text{Parça}}{\text{Bütün}} \)
\( \dfrac{a}{9} = \dfrac{28}{63} \)
\( a = \dfrac{28 \cdot 9}{63} = 4 \) bulunur.
Esra 20 adet şekerin \( \frac{3}{5} \)'inin \( \frac{1}{3} \)'ünü yediğine göre, geriye şekerlerin ne kadarı kalmıştır?
Çözümü GösterBütün ve kesrin verildiği problemlerde parça aşağıdaki formülle hesaplanabilir.
\( \text{Parça} = \text{Bütün} \times \text{Kesir} \)
Şekerlerin \( \frac{3}{5} \)'ini bulalım.
\( 20 \cdot \dfrac{3}{5} = 12 \)
Bulduğumuz miktarın \( \frac{1}{3} \)'ünü bulalım.
\( 12 \cdot \dfrac{1}{3} = 4 \)
Buna göre Esra 4 adet şeker yemiştir.
Kalan şeker miktarını bulalım.
\( 20 - 4 = 16 \) bulunur.
Ahmet'in bilyelerinin \( \frac{5}{7} \)'si mavi, geri kalanlar kırmızıdır. Ahmet'in mavi bilyelerinin sayısı kırmızı bilyelerinin sayısından 15 fazla olduğuna göre, Ahmet'in toplam kaç bilyesi vardır?
Çözümü GösterAhmet'in bilyelerinin sayısına \( b \) diyelim.
Ahmet'in bilyelerinin \( \frac{5}{7} \)'si mavidir.
\( b \cdot \dfrac{5}{7} = \dfrac{5b}{7} \)
Ahmet'in bilyelerinin kalanı mavidir.
\( b - b \cdot \dfrac{5}{7} = \dfrac{2b}{7} \)
Ahmet'in mavi bilyelerinin sayısı kırmızı bilyelerinin sayısından 15 fazladır.
\( \dfrac{5b}{7} - \dfrac{2a}{7} = 15 \)
\( \dfrac{3b}{7} = 15 \)
\( b = \dfrac{15 \cdot 7}{3} = 35 \) bulunur.
Bir kadın ile bir erkeğin eşleştiği bir dans kulübünde 500 kişi vardır. Kadınların \( \frac{2}{13} \)'ü ile erkeklerin \( \frac{1}{26} \)'sı birbiriyle dans partneri olduğuna göre, bu kulüptekilerin kaçı erkektir?
Çözümü GösterKulüpteki toplam kadın sayısına \( k \), toplam erkek sayısına \( e \) diyelim.
Bütün ve kesrin verildiği problemlerde parça aşağıdaki formülle hesaplanabilir.
\( \text{Parça} = \text{Bütün} \times \text{Kesir} \)
Kadınların \( \frac{2}{13} \)'ünü bulalım.
\( k \cdot \dfrac{2}{13} = \dfrac{2k}{13} \)
Erkeklerin \( \frac{1}{26} \)'sını bulalım.
\( e \cdot \dfrac{1}{26} = \dfrac{e}{26} \)
Bir kadın ile bir erkek dans partneri olacağı için kadınların \( \frac{2}{13} \)'ü ile erkeklerin \( \frac{1}{26} \)'sı birbirine eşittir.
\( \dfrac{2k}{13} = \dfrac{e}{26} \)
\( 4k = e \)
Dans kulübünde toplam 500 kişi vardır.
\( k + e = 500 \)
Bulduğumuz \( e \) değerini denklemde yerine koyalım.
\( k + 4k = 500 \)
\( k = 100 \)
\( e = 4k = 400 \)
Buna göre kulüptekilerin 400'ü erkektir.