Kesirlerle İşlemler
Payda Eşitleme
İki ya da daha fazla kesri, paydaları aynı sayıda buluşacak şekilde genişletme ya da sadeleştirme işlemine payda eşitleme denir. Payda eşitleme kesirler arasındaki toplama, çıkarma ve sıralama işlemlerinde sıklıkla kullanılır.
İki ya da daha fazla kesrin paydalarının eşitlenebileceği en küçük sayı, paydaların ek küçük ortak katıdır (EKOK).
Paydalar EKOK'larının herhangi bir tam sayı katında da eşitlenebilir. Paydaların çarpımı da EKOK'larının bir katı olduğu için paydalar çarpımları olan sayıda da eşitlenebilir.
Genişletme ve sadeleştirme işlemleri sayıların değerini değiştirmediği için payda eşitleme işlemi sonucunda kesirlerin sayısal değeri değişmez.
Aşağıdaki iki kesrin paydalarını eşitleyelim.
\( \dfrac{5}{6}, \quad \dfrac{3}{8} \)
Paydaları EKOK'larında eşitleme:
\( EKOK(6, 8) = 24 \)
\( \dfrac{5}{6} = \dfrac{5 \cdot 4}{6 \cdot 4} = \dfrac{20}{\textcolor{red}{24}} \)
\( \dfrac{3}{8} = \dfrac{3 \cdot 3}{8 \cdot 3} = \dfrac{9}{\textcolor{red}{24}} \)
Paydaları çarpımlarında eşitleme:
\( 6 \cdot 8 = 48 \)
\( \dfrac{5}{6} = \dfrac{5 \cdot 8}{6 \cdot 8} = \dfrac{40}{\textcolor{red}{48}} \)
\( \dfrac{3}{8} = \dfrac{3 \cdot 6}{8 \cdot 6} = \dfrac{18}{\textcolor{red}{48}} \)
Her iki genişletme işleminde de kesir değerlerinin değişmediğini gösterelim.
\( \dfrac{5}{6} = \dfrac{20}{24} = \dfrac{40}{48} \)
\( \dfrac{3}{8} = \dfrac{9}{24} = \dfrac{18}{48} \)
Aşağıdaki üç kesrin paydalarını eşitleyelim.
\( \dfrac{3}{5}, \quad \dfrac{5}{6}, \quad \dfrac{7}{10} \)
Paydaları EKOK'larında eşitleme:
\( EKOK(5, 6, 10) = 30 \)
\( \dfrac{3 \cdot 6}{5 \cdot 6} = \dfrac{18}{\textcolor{red}{30}} \)
\( \dfrac{5 \cdot 5}{6 \cdot 5} = \dfrac{25}{\textcolor{red}{30}} \)
\( \dfrac{7 \cdot 3}{10 \cdot 3} = \dfrac{21}{\textcolor{red}{30}} \)
Kesirlerle Toplama
İki ya da daha fazla kesir arasında toplama işlemi aşağıdaki şekilde yapılır.
- Önce kesirlerin paydaları eşitlenir.
- Paydaları eşitlenmiş kesirlerin paylarının toplamı sonucun payına yazılır.
- Paydaları eşitlenmiş kesirlerin ortak paydası sonucun paydasına aynen taşınır.
- Sonucun pay ve paydası ortak çarpan içeriyorsa sadeleştirme işlemi yapılır.
\( \dfrac{2}{5} + \dfrac{3}{7} \) işleminin sonucunu bulalım.
Paydaları EKOK'larında eşitleyelim.
\( EKOK(5, 7) = 35 \)
\( \underset{(7)}{\dfrac{2}{5}} + \underset{(5)}{\dfrac{3}{7}} = \dfrac{14}{35} + \dfrac{15}{35} \)
Paydaları eşitlenmiş kesirlerin toplamını alalım.
\( = \dfrac{14 + 15}{35} = \dfrac{29}{35} \)
\( \dfrac{2}{3} + \dfrac{3}{8} + \dfrac{1}{12} \) işleminin sonucunu bulalım.
Paydaları EKOK'larında eşitleyelim.
\( EKOK(3, 8, 12) = 24 \)
\( \underset{(8)}{\dfrac{2}{3}} + \underset{(3)}{\dfrac{3}{8}} + \underset{(2)}{\dfrac{1}{12}} = \dfrac{16}{24} + \dfrac{9}{24} + \dfrac{2}{24} \)
Paydaları eşitlenmiş kesirlerin toplamını alalım.
\( = \dfrac{16 + 9 + 2}{24} = \dfrac{27}{24} \)
Sonucun pay ve paydası 3 ortak çarpanını içerdiği için sadeleştirme yapabiliriz.
\( = \dfrac{9 \cdot 3}{8 \cdot 3} = \dfrac{9}{8} \)
Kesirlerden biri ya da birkaçı tam sayılı kesir ise bu kesirlerin tam sayı kısımları kendi aralarında toplanır ve sonucun tam sayı kısmına yazılır. İşlem sonucu bir bileşik kesir ise istenirse sonuç tam sayılı kesre çevrilebilir.
\( 3\dfrac{3}{5} + 1\dfrac{4}{5} \) işleminin sonucunu bulalım.
Terimlerin tam sayı ve kesir kısımlarını ayrı ayrı toplayalım.
\( 3 + \dfrac{3}{5} + 1 + \dfrac{4}{5} \)
\( = (3 + 1) + (\dfrac{3}{5} + \dfrac{4}{5}) \)
\( = 4 + \dfrac{3 + 4}{5} = 4 + \dfrac{7}{5} \)
Bileşik kesri tam sayılı kesre çevirelim.
\( = 4 + 1\dfrac{2}{5} = 5\dfrac{2}{5} \)
Kesirlerle Çıkarma
İki kesir arasında çıkarma işlemi aşağıdaki şekilde yapılır.
- Önce kesirlerin paydaları eşitlenir.
- Paydaları eşitlenmiş kesirlerin paylarının farkı sonucun payına yazılır.
- Paydaları eşitlenmiş kesirlerin ortak paydası sonucun paydasına aynen taşınır.
- Sonucun pay ve paydası ortak çarpan içeriyorsa sadeleştirme işlemi yapılır.
\( \dfrac{7}{10} - \dfrac{8}{15} \) işleminin sonucunu bulalım.
Paydaları EKOK'larında eşitleyelim.
\( EKOK(10, 15) = 30 \)
\( \underset{(3)}{\dfrac{7}{10}} - \underset{(2)}{\dfrac{8}{15}} = \dfrac{21}{30} - \dfrac{16}{30} \)
Paydaları eşitlenmiş kesirlerin farkını alalım.
\( = \dfrac{21 - 16}{30} = \dfrac{5}{30} \)
Sonucun pay ve paydası 5 ortak çarpanını içerdiği için sadeleştirme yapabiliriz.
\( = \dfrac{1 \cdot 5}{6 \cdot 5} = \dfrac{1}{6} \)
Kesirlerden biri ya da ikisi tam sayılı kesir ise kesirler önce bileşik kesre çevrilerek çıkarma işlemi yapılabilir.
Kesirlerle Çarpma
İki ya da daha fazla kesir arasında çarpma işlemi aşağıdaki şekilde yapılır.
- Kesirlerin payları kendi aralarında çarpılır ve sonucun payına yazılır.
- Kesirlerin paydaları kendi aralarında çarpılır ve sonucun paydasına yazılır.
Çarpılan kesirlerin pay ve paydaları arasında çarpma işlemi öncesinde ya da sonrasında sadeleştirme yapılabilir.
\( \dfrac{4}{9} \cdot \dfrac{15}{12} \) işleminin sonucunu bulalım.
Payları kendi aralarında, paydaları kendi aralarında çarpalım.
\( \dfrac{4 \cdot 15}{9 \cdot 12} = \dfrac{60}{108} \)
Sonucun pay ve paydası ortak çarpan içerdiği için sadeleştirme yapabiliriz.
\( EBOB(60, 108) = 12 \)
\( = \dfrac{5 \cdot 12}{9 \cdot 12} = \dfrac{5}{9} \)
\( \dfrac{4}{7} \cdot \dfrac{6}{15} \cdot \dfrac{14}{9} \) işleminin sonucunu bulalım.
Payları kendi aralarında, paydaları kendi aralarında çarpalım.
\( \dfrac{4 \cdot 6 \cdot 14}{7 \cdot 15 \cdot 9} \)
Pay ve paydadaki çarpanlar arasında sadeleştirme yapabiliriz.
\( = \dfrac{4 \cdot 2 \cdot 2}{1 \cdot 15 \cdot 3} = \dfrac{16}{45} \)
Kesirlerden biri ya da birkaçı tam sayılı kesir ise bu kesirler önce bileşik kesre çevrilir. İşlem sonucu bir bileşik kesir ise istenirse sonuç tam sayılı kesre çevrilebilir.
Çarpma işleminin terimlerinden biri tam sayı ise bu sayı paydası 1 olan bir kesir gibi düşünülerek çarpma işlemine dahil edilir.
\( 2 \cdot \dfrac{2}{3} = \dfrac{2}{1} \cdot \dfrac{2}{3} = \dfrac{4}{3} \)
\( \dfrac{1}{8} \cdot 3 = \dfrac{1}{8} \cdot \dfrac{3}{1} = \dfrac{3}{8} \)
Kesirlerle çarpma işlemi anlam olarak tam sayılarla çarpma işlemi ile aynıdır ve tekrarlı toplamaya karşılık gelir.
\( 2 \cdot \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{2} \)
2 tane 1/4 (çeyrek) pizza 1/2 (yarım) pizza eder ya da 2 pizzanın dörtte biri 1/2 (yarım) pizza eder.
\( \dfrac{1}{4} \cdot 8 = 2 \)
8 karpuzun dörtte biri 2 karpuz eder ya da 8 tane 1/4 (çeyrek) karpuz 2 karpuz eder.
\( \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{8} \)
1/2 (yarım) pastanın dörtte biri 1/8 pasta eder ya da 1/4 (çeyrek) pastanın yarısı 1/8 pasta eder.
Kesirlerle Bölme
Bir kesri diğer bir kesre bölmek için, ikinci (bölen) kesrin pay ve paydası aralarında yer değiştirir ve bölme işareti çarpma işaretine çevrilerek kesirler arasında çarpma işlemi yapılır.
Kesirlerden biri ya da ikisi tam sayılı kesir ise bu kesirler önce bileşik kesre çevrilir. İşlem sonucu bir bileşik kesir ise istenirse kesir tam sayılı kesre çevrilebilir.
Bölme işleminin terimlerinden biri tam sayı ise bu sayı paydası 1 olan bir kesir gibi düşünülerek bölme işlemine dahil edilir.
\( 2 \div \dfrac{2}{3} = \dfrac{2}{1} \cdot \dfrac{3}{2} = 3 \)
\( \dfrac{3}{8} \div 3 = \dfrac{3}{8} \cdot \dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{8} \)
Kesirlerle bölme işlemi anlam olarak tam sayılarla bölme işlemi ile aynıdır ve bölüştürme/paylaştırma işlemine karşılık gelir.
\( 2 \div \dfrac{1}{4} = 8 \)
2 pizza 1/4'erli dilimlere bölünürse 8 dilim elde edilir.
\( \dfrac{3}{4} \div 3 = \dfrac{1}{4} \)
3/4 pasta 3 kişiye paylaştırılırsa herkese 1/4 pasta düşer.
Kesirlerde Üs Alma
Bir kesrin üssü alınırken, üs işlemi pay ve paydaya ayrı ayrı yansıtılır ve payın ve paydanın ayrı ayrı üssü alınır.
\( \left( \dfrac{3}{4} \right)^3 \) işleminin sonucunu bulalım.
Üs işlemini paya ve paydaya yansıtalım.
\( \dfrac{3^3}{4^3} = \dfrac{3 \cdot 3 \cdot 3}{4 \cdot 4 \cdot 4} \)
\( = \dfrac{27}{64} \)
İSPATI GÖSTER
\( \left( \dfrac{a}{b} \right)^n = \underbrace{\dfrac{a}{b} \cdot \dfrac{a}{b} \cdot ... \cdot \dfrac{a}{b}}_\text{n adet} \)
Payları ve paydaları kendi aralarında çarpalım.
\( = \dfrac{\overbrace{a \cdot a \cdot ... \cdot a}^\text{n adet}}{\underbrace{b \cdot b \cdot ... \cdot b}_\text{n adet}} \)
\( = \dfrac{a^n}{b^n} \)
Çeyreğin üçte biri, yarımın sekizde biri ve üçte birin yarısının toplamı kaç eder?
Çözümü GösterVerilen ifadeyi matematiksel olarak ifade edelim.
\( \dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{8} + \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{1}{2} \)
\( = \dfrac{1}{12} + \dfrac{1}{16} + \dfrac{1}{6} \)
Kesirlerin paydalarını eşitleyelim.
\( = \dfrac{4}{48} + \dfrac{3}{48} + \dfrac{8}{48} \)
\( = \dfrac{15}{48} = \dfrac{5}{16} \) bulunur.
\( \dfrac{9 + \frac{96}{7}}{8 - \frac{23}{7}} \) işleminin sonucu kaçtır?
Çözümü GösterPay ve paydadaki ifadelerin paydalarını eşitleyelim.
\( \dfrac{\frac{63}{7} + \frac{96}{7}}{\frac{56}{7} - \frac{23}{7}} = \dfrac{\frac{63 + 96}{7}}{\frac{56 - 23}{7}} \)
Paydalar sadeleşir.
\( = \dfrac{159}{33} = \dfrac{53}{11} \) bulunur.
Aşağıdaki bölme işlemlerinin sonucunu bulunuz.
(a) \( \dfrac{-\frac{9}{13}}{\frac{3}{91}} \)
(b) \( \dfrac{1}{\frac{\frac{2}{7}}{6}} \)
(c) \( \dfrac{\frac{4}{\frac{3}{10}}}{12} \)
(d) \( \dfrac{\frac{3}{4}}{5} - \dfrac{3}{\frac{4}{5}} \)
Çözümü GösterBir kesri diğer bir kesre bölmek için, ikinci kesrin pay ve paydası aralarında yer değiştirir ve bölme işareti çarpma işaretine çevrilerek kesirler arasında çarpma işlemi yapılır.
(a) seçeneği:
\( \dfrac{-\frac{9}{13}}{\frac{3}{91}} = -\dfrac{9}{13} \div \dfrac{3}{91} \)
\( = -\dfrac{9}{13} \cdot \dfrac{91}{3} \)
Pay ve paydadaki sayıları aralarında sadeleştirelim.
\( = -\dfrac{3}{1} \cdot \dfrac{7}{1} \)
\( = -21 \)
(b) seçeneği:
\( \dfrac{1}{\frac{\frac{2}{7}}{6}} = \dfrac{1}{\frac{2}{7} \div \frac{6}{1}} \)
\( = \dfrac{1}{\frac{2}{7} \cdot \frac{1}{6}} \)
\( = \dfrac{1}{\frac{1}{21}} \)
\( = \dfrac{1}{1} \div \dfrac{1}{21} \)
\( = \dfrac{1}{1} \cdot \dfrac{21}{1} \)
\( = 21 \)
(c) seçeneği:
\( \dfrac{\frac{4}{\frac{3}{10}}}{12} = \dfrac{\frac{4}{1} \div \frac{3}{10}}{12} \)
\( = \dfrac{\frac{4}{1} \cdot \frac{10}{3}}{12} \)
\( = \dfrac{\frac{40}{3}}{12} \)
\( = \dfrac{40}{3} \div \dfrac{12}{1} \)
\( = \dfrac{40}{3} \cdot \dfrac{1}{12} \)
Pay ve paydadaki sayıları aralarında sadeleştirelim.
\( = \dfrac{10}{3} \cdot \dfrac{1}{3} \)
\( = \dfrac{10}{9} \)
(d) seçeneği:
\( \dfrac{\frac{3}{4}}{5} - \dfrac{3}{\frac{4}{5}} = \dfrac{3}{4} \div \dfrac{5}{1} - \dfrac{3}{1} \div \dfrac{4}{5} \)
\( = \dfrac{3}{4} \cdot \dfrac{1}{5} - \dfrac{3}{1} \cdot \dfrac{5}{4} \)
\( = \dfrac{3}{20} - \dfrac{15}{4} \)
Kesirlerin paydalarını eşitleyelim.
\( = \dfrac{3}{20} - \dfrac{75}{20} \)
\( = -\dfrac{72}{20} = -\dfrac{18}{5} \) bulunur.
Aşağıdaki işlemlerin sonucunu bulunuz.
(a) \( \left( 2 - \dfrac{12}{11} \right)\left( \dfrac{3}{4} + 2 \right)\left( \dfrac{1}{2} - \dfrac{2}{5} \right) \)
(b) \( \left( 146\dfrac{5}{9} - 136\dfrac{5}{9} \right)\left( 2 - \dfrac{1}{15} \right) \)
(c) \( -2\dfrac{1}{5} - 4\dfrac{3}{5} \)
Çözümü Göster(a) seçeneği:
\( \left( 2 - \dfrac{12}{11} \right)\left( \dfrac{3}{4} + 2 \right)\left( \dfrac{1}{2} - \dfrac{2}{5} \right) \)
Parantez içindeki kesirlerin paydalarını eşitleyelim.
\( = \left( \dfrac{22}{11} - \dfrac{12}{11} \right)\left( \dfrac{3}{4} + \dfrac{8}{4} \right)\left( \dfrac{5}{10} - \dfrac{4}{10} \right) \)
\( = \dfrac{22 - 12}{11} \cdot \dfrac{3 + 8}{4} \cdot \dfrac{5 - 4}{10} \)
\( = \dfrac{10}{11} \cdot \dfrac{11}{4} \cdot \dfrac{1}{10} \)
Pay ve paydadaki sayılar arasında sadeleştirme yapalım.
\( = \dfrac{1}{4} \)
(b) seçeneği:
\( \left( 146\dfrac{5}{9} - 136\dfrac{5}{9} \right)\left( 2 - \dfrac{1}{15} \right) \)
Tam sayılı kesirlerin tam sayı ve kesir kısımları toplama işlemi ile ayrılabilir.
\( = \left( 146 + \dfrac{5}{9} - \left( 136 + \dfrac{5}{9} \right) \right)\left( 2 - \dfrac{1}{15} \right) \)
\( = \left( 146 + \dfrac{5}{9} - 136 - \dfrac{5}{9} \right)\left( 2 - \dfrac{1}{15} \right) \)
\( = 10 \cdot \left( 2 - \dfrac{1}{15} \right) \)
Parantez içindeki kesirlerin paydalarını eşitleyelim.
\( = 10 \cdot \left( \dfrac{30}{15} - \dfrac{1}{15} \right) \)
\( = 10 \cdot \dfrac{29}{15} \)
\( = 2 \cdot \dfrac{29}{3} = \dfrac{58}{3} \)
(c) seçeneği:
\( -2\dfrac{1}{5} - 4\dfrac{3}{5} \)
Tam sayılı kesirlerin tam sayı ve kesir kısımları toplama işlemi ile ayrılabilir.
\( = -\left( 2 + \dfrac{1}{5} \right) - \left( 4 + \dfrac{3}{5} \right) \)
\( = -2 - \dfrac{1}{5} - 4 - \dfrac{3}{5} \)
\( = -6 - \dfrac{4}{5} \)
\( = -\left( 6 + \dfrac{4}{5} \right) = -6\dfrac{4}{5} \)
\( x = \dfrac{7}{5} \cdot \dfrac{3}{2} \cdot \dfrac{1}{7} \)
\( y = \dfrac{1}{5} \cdot \dfrac{1}{3} \) olduğuna göre,
\( \dfrac{x}{y} + 5y \) ifadesinin değeri kaçtır?
Çözümü Göster\( x \) ve \( y \) için verilen eşitlikleri düzenleyelim.
\( x = \dfrac{7}{5} \cdot \dfrac{3}{2} \cdot \dfrac{1}{7} = \dfrac{3}{10} \)
\( y = \dfrac{1}{5} \cdot \dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{15} \)
\( x \) ve \( y \) değerlerini verilen ifadede yerine yazalım.
\( \dfrac{x}{y} + 5y = \dfrac{\frac{3}{10}}{\frac{1}{15}} + 5 \cdot \dfrac{1}{15} \)
Payı paydaya bölmek ile paydanın tersi ile çarpmak aynı işlemlerdir.
\( = \dfrac{3}{10} \cdot \dfrac{15}{1} + \dfrac{1}{3} \)
\( = \dfrac{9}{2} + \dfrac{1}{3} \)
Paydaları eşitleyerek toplama işlemi yapalım.
\( = \dfrac{27}{6} + \dfrac{2}{6} = \dfrac{29}{6} \) bulunur.
\( \dfrac{(2\frac{1}{3} - 1) - (\frac{7}{5} - 3\frac{2}{5})}{1 + \frac{2}{3} + \frac{5}{1 - \frac{3}{4}}} \) işleminin sonucu kaçtır?
Çözümü Gösterİfadeyi düzenleyelim.
\( \dfrac{(\frac{7}{3} - 1) - (\frac{7}{5}- \frac{17}{5})}{\frac{5}{3} + \frac{5}{\frac{1}{4}}} \)
\( = \dfrac{\frac{4}{3} - (-\frac{10}{5})}{\frac{5}{3} + 5 \cdot 4} \)
\( = \dfrac{\frac{4}{3} + 2}{\frac{5}{3} + 20} = \dfrac{\frac{10}{3}}{\frac{65}{3}} \)
Pay ve paydadaki kesirlerin paydaları sadeleşir.
\( = \dfrac{10}{65} = \dfrac{2}{13} \) bulunur.
\( (a \div (b \div c)) \div ((a \div b) \div c) \) ifadesinin en sade hali nedir?
Çözümü Göster\( (a \div (b \div c)) \div ((a \div b) \div c) \)
\( = \dfrac{a}{\frac{b}{c}} \div \dfrac{\frac{a}{b}}{c} \)
\( = \dfrac{ac}{b} \div \dfrac{a}{bc} \)
\( = \dfrac{ac}{b} \cdot \dfrac{bc}{a} \)
Pay ve paydadaki ortak çarpanları sadeleştirelim.
\( = c^2 \) bulunur.
\( \dfrac{3a}{5} + \dfrac{a}{9} + \dfrac{a}{2} = 109 \) olduğuna göre, \( a \) kaçtır?
Çözümü GösterEşitliğin sol tarafını \( a \) parantezine alalım.
\( a\left( \dfrac{3}{5} + \dfrac{1}{9} + \dfrac{1}{2} \right) = 109 \)
Kesirli ifadelerin paydalarını EKOK'larında eşitleyelim.
\( EKOK(5, 9, 2) = 90 \)
\( a\left( \dfrac{54}{90} + \dfrac{10}{90} + \dfrac{45}{90} \right) = 109 \)
\( a\left( \dfrac{54 + 10 + 45}{90} \right) = 109 \)
\( a \cdot \dfrac{109}{90} = 109 \)
\( a = 90 \) olarak bulunur.
\( \dfrac{3}{4} \) ve \( \dfrac{12}{5} \) sayılarının çarpmaya göre terslerinin toplamının çarpmaya göre tersi kaçtır?
Çözümü GösterBir kesrin çarpmaya göre tersi, kesir ile çarpıldığında 1 sonucunu veren sayıdır.
Buna göre \( \frac{3}{4} \)'ün çarpmaya göre tersi \( \frac{4}{3} \), \( \frac{12}{5} \)'in çarpmaya göre tersi \( \frac{5}{12} \)'dir.
\( \dfrac{4}{3} + \dfrac{5}{12} = \dfrac{16}{12} + \dfrac{5}{12} \)
\( = \dfrac{21}{12} = \dfrac{7}{4} \)
\( \frac{7}{4} \)'ün çarpmaya göre tersi \( \frac{4}{7} \)'dir.
\( x = \dfrac{1}{15} + \dfrac{1}{25} + \dfrac{1}{35} + \dfrac{1}{45} \) olduğuna göre,
\( \dfrac{46}{15} + \dfrac{51}{25} + \dfrac{36}{35} + \dfrac{91}{45} \) ifadesinin \( x \) cinsinden değeri nedir?
Çözümü GösterDeğeri istenen ifadedeki tam sayı kısımları ayıralım.
\( \dfrac{45 + 1}{15} + \dfrac{50 + 1}{25} + \dfrac{35 + 1}{35} + \dfrac{90 + 1}{45} \)
\( = \dfrac{45}{15} + \dfrac{1}{15} + \dfrac{50}{25} + \dfrac{1}{25} + \dfrac{35}{35} + \dfrac{1}{35} + \dfrac{90}{45} + \dfrac{1}{45} \)
\( = 3 + \dfrac{1}{15} + 2 + \dfrac{1}{25} + 1 + \dfrac{1}{35} + 2 + \dfrac{1}{45} \)
\( = 8 + \dfrac{1}{15} + \dfrac{1}{25} + \dfrac{1}{35} + \dfrac{1}{45} \)
\( = 8 + x \) bulunur.
\( 13\dfrac{1}{3} \) kesrinin içinde kaç tane \( \dfrac{5}{18} \) vardır?
Çözümü GösterVerilen tam sayılı kesri bileşik kesre çevirelim.
\( 13\dfrac{1}{3} = \dfrac{40}{3} \)
Birinci kesrin ikinci kesre bölümü, birinci kesir içinde ikinci kesrin kaç kez bulunduğunu verir.
\( \dfrac{\frac{40}{3}}{\frac{5}{18}} = \dfrac{40}{3} \cdot \dfrac{18}{5} \)
\( = 48 \) tane bulunur.
Aşağıdaki işlemlerin sonucunu bulunuz.
(a) \( 3 \div [3 \cdot \dfrac{1}{4} - 2\dfrac{1}{3} \div (-2 + \dfrac{1}{4}) + \dfrac{1}{6}] \)
(b) \( \dfrac{4}{5} \cdot [\dfrac{5}{7} \div (3 + \dfrac{3}{4}) - \dfrac{1}{2} \cdot 3] \)
(c) \( \dfrac{(108 - \frac{61}{109}) + (3 - \frac{48}{109})}{(58 - \frac{80}{121}) + (-2 - \frac{41}{121})} \)
Çözümü Göster(a) seçeneği:
\( 3 \div [3 \cdot \dfrac{1}{4} - 2\dfrac{1}{3} \div (-2 + \dfrac{1}{4}) + \dfrac{1}{6}] \)
İşlem önceliklerine dikkat ederek ifadeyi düzenleyelim.
\( = 3 \div [3 \cdot \dfrac{1}{4} - \dfrac{2 \cdot 3 + 1}{3} \div (-\dfrac{8}{4} + \dfrac{1}{4}) + \dfrac{1}{6}] \)
\( = 3 \div [3 \cdot \dfrac{1}{4} - \dfrac{7}{3} \div (-\dfrac{7}{4}) + \dfrac{1}{6}] \)
\( = 3 \div [3 \cdot \dfrac{1}{4} - \dfrac{7}{3} \cdot (-\dfrac{4}{7}) + \dfrac{1}{6}] \)
\( = 3 \div (\dfrac{3}{4} + \dfrac{4}{3} + \dfrac{1}{6}) \)
Parantez içindeki kesirlerin paydalarını eşitleyelim.
\( = 3 \div (\dfrac{9}{12} + \dfrac{16}{12} + \dfrac{2}{12}) \)
\( = 3 \div \dfrac{27}{12} \)
\( = 3 \cdot \dfrac{12}{27} \)
\( = \dfrac{12}{9} = \dfrac{4}{3} \)
(b) seçeneği:
\( \dfrac{4}{5} \cdot [\dfrac{5}{7} \div (3 + \dfrac{3}{4}) - \dfrac{1}{2} \cdot 3] \)
İşlem önceliklerine dikkat ederek ifadeyi düzenleyelim.
\( = \dfrac{4}{5} \cdot [\dfrac{5}{7} \div (\dfrac{12}{4} + \dfrac{3}{4}) - \dfrac{1}{2} \cdot 3] \)
\( = \dfrac{4}{5} \cdot (\dfrac{5}{7} \div \dfrac{15}{4} - \dfrac{3}{2}) \)
\( = \dfrac{4}{5} \cdot (\dfrac{5}{7} \cdot \dfrac{4}{15} - \dfrac{3}{2}) \)
\( = \dfrac{4}{5} \cdot (\dfrac{4}{21} - \dfrac{3}{2}) \)
Parantez içindeki kesirlerin paydalarını eşitleyelim.
\( = \dfrac{4}{5} \cdot (\dfrac{8}{42} - \dfrac{63}{42}) \)
\( = \dfrac{4}{5} \cdot (-\dfrac{55}{42}) \)
Pay ve paydadaki sayılar arasında sadeleştirme yapalım.
\( = -\dfrac{22}{21} \)
(c) seçeneği:
\( \dfrac{(108 - \frac{61}{109}) + (3 - \frac{48}{109})}{(58 - \frac{80}{121}) + (-2 - \frac{41}{121})} \)
\( = \dfrac{108 - \frac{61}{109} + 3 - \frac{48}{109}}{58 - \frac{80}{121} - 2 - \frac{41}{121}} \)
Tam sayıları ve kesirleri kendi aralarında toplayalım.
\( = \dfrac{111 - (\frac{61}{109} + \frac{48}{109})}{56 - (\frac{80}{121} + \frac{41}{121})} \)
\( = \dfrac{111 - \frac{61 + 48}{109}}{56 - \frac{80 + 41}{121}} \)
\( = \dfrac{111 - \frac{109}{109}}{56 - \frac{121}{121}} \)
\( = \dfrac{111 - 1}{56 - 1} \)
\( = \dfrac{110}{55} = 2 \)
\( \dfrac{2}{4,24} + \dfrac{4}{4,4} + 1 + \dfrac{1}{11} + \dfrac{3}{106} \) işleminin sonucu kaçtır?
Çözümü GösterOndalık sayıları kesre çevirelim.
\( \dfrac{2}{\frac{424}{100}} + \dfrac{4}{\frac{44}{10}} + 1 + \dfrac{1}{11} + \dfrac{3}{106} \)
\( = \dfrac{2 \cdot 100}{424} + \dfrac{4 \cdot 10}{44} + 1 + \dfrac{1}{11} + \dfrac{3}{106} \)
\( = \dfrac{200}{424} + \dfrac{40}{44} + 1 + \dfrac{1}{11} + \dfrac{3}{106} \)
Kesirleri sadeleştirelim.
\( = \dfrac{50}{106} + \dfrac{10}{11} + 1 + \dfrac{1}{11} + \dfrac{3}{106} \)
Kesirleri ikili gruplayarak toplayalım.
\( = (\dfrac{50}{106} + \dfrac{3}{106}) + (\dfrac{10}{11} + \dfrac{1}{11}) + 1 \)
\( = \dfrac{53}{106} + \dfrac{11}{11} + 1 \)
\( = \dfrac{1}{2} + 1 + 1 \)
\( = \dfrac{5}{2} \) bulunur.
\( \dfrac{1}{1 - \frac{1}{x - 5}} \) ifadesini tanımsız yapan \( x \) değerlerinin çarpımı kaçtır?
Çözümü GösterKesirli ifadelerde payda sıfır olamaz.
\( x - 5 \ne 0 \)
\( x \ne 5 \)
Kesirli ifadeyi düzenleyelim.
\( \dfrac{1}{1 - \frac{1}{x - 5}} = \dfrac{1}{\frac{x - 5}{x - 5} - \frac{1}{x - 5}} \)
\( = \dfrac{1}{\frac{x - 5 - 1}{x - 5}} \)
\( = \dfrac{1}{\frac{x - 6}{x - 5}} = \dfrac{x - 5}{x - 6} \)
Kesirli ifadelerde payda sıfır olamaz.
\( x - 6 \ne 0 \)
\( x \ne 6 \)
Buna göre verilen ifadeyi tanımsız yapan iki \( x \) değeri vardır.
\( 5 \cdot 6 = 30 \) bulunur.
\( 1 + \dfrac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{2}{3}}}} \) işleminin sonucu kaçtır?
Çözümü GösterRasyonel ifadenin en altından işleme başlayalım.
\( 1 + \dfrac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{\frac{5}{3}}}} \)
\( = 1 + \dfrac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{3}{5}}} \)
\( = 1 + \dfrac{1}{1 + \frac{1}{\frac{8}{5}}} \)
\( = 1 + \dfrac{1}{1 + \frac{5}{8}} \)
\( = 1 + \dfrac{1}{\frac{13}{8}} \)
\( = 1 + \dfrac{8}{13} \)
\( = \dfrac{21}{13} \) bulunur.
\( \frac{a}{75} \) kesrini \( \frac{7}{20} \) kesrinden büyük, \( \frac{41}{100} \) kesrinden küçük yapan \( a \) tam sayı değerlerinin toplamı kaçtır?
Çözümü GösterVerilen bilgiye göre aşağıdaki eşitsizliği yazabiliriz.
\( \dfrac{7}{20} \lt \dfrac{a}{75} \lt \dfrac{41}{100} \)
Kesirlerin paydalarını eşitleyelim.
\( EKOK(20, 75, 100) = 300 \)
\( \dfrac{105}{300} \lt \dfrac{4a}{300} \lt \dfrac{123}{300} \)
\( a \) tam sayı olduğundan \( 4a \) sayısı aşağıdaki değerleri alabilir.
\( 108, 112, 116, 120 \)
Dolayısıyla \( a \) sayısı aşağıdaki değerleri alabilir.
\( a \in \{ 27, 28, 29, 30 \} \)
\( a \) değerlerinin toplamını bulalım.
\( 27 + 28 + 29 + 30 = 114 \) bulunur.
\( x \in \mathbb{Z^+} \) olmak üzere,
\( (x \div 12) \div (36 \div x) = 75 \)
olduğuna göre, \( x \) sayısının rakamları toplamı kaçtır?
Çözümü GösterBölme işlemlerini kesir şeklinde yazalım.
\( \dfrac{\frac{x}{12}}{\frac{36}{x}} = 75 \)
\( \dfrac{x}{12} \div \dfrac{36}{x} = 75 \)
\( \dfrac{x}{12} \cdot \dfrac{x}{36} = 75 \)
\( \dfrac{x^2}{12 \cdot 36} = 75 \)
\( x^2 = 75 \cdot 12 \cdot 36 \)
Eşitliğin sağ tarafını asal çarpanlarına ayıralım.
\( = (5^2 \cdot 3) \cdot (2^2 \cdot 3) \cdot (2^2 \cdot 3^2) \)
\( = 2^4 \cdot 3^4 \cdot 5^2 \)
\( x \in \mathbb{Z^+} \) olarak veriliyor.
\( x = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5 = 180 \)
\( x \) sayısının rakamları toplamı \( 1 + 8 + 0 = 9 \)'dur.
\( x, y \in \mathbb{N} \) olmak üzere,
\( 4\dfrac{2}{3} + 3\dfrac{5}{9} = x\dfrac{y}{18} \)
eşitliğini sağlayan kaç tane \( (x, y) \) ikilisi vardır?
Çözümü GösterTam sayılı kesirleri bileşik kesre çevirelim.
\( \dfrac{14}{3} + \dfrac{32}{9} = \dfrac{18x + y}{18} \)
Paydaları eşitleyerek eşitliğin sol tarafındaki kesirleri toplayalım.
\( \dfrac{42}{9} + \dfrac{32}{9} = \dfrac{18x + y}{18} \)
\( \dfrac{74}{9} = \dfrac{18x + y}{18} \)
\( \dfrac{148}{18} = \dfrac{18x + y}{18} \)
Paydaları eşit iki kesrin eşitliğinde paylar eşit olur.
\( 18x + y = 148 \)
Bu eşitliği sağlayan doğal sayı \( (x, y) \) ikilileri aşağıdaki gibidir.
\( (x, y) \in \{ (0, 148), (1, 130), (2, 112), (3, 94), (4, 76), (5, 58), (6, 40), (7, 22), (8, 4) \} \)
Buna göre verilen eşitliği sağlayan 9 tane \( (x, y) \) ikilisi vardır.
\( 2 + \dfrac{12}{6 - \frac{8}{3 + \frac{15}{x - 1}}} = 8 \) olduğuna göre, \( x \) kaçtır?
Çözümü GösterKesirli ifadeyi yalnız bırakalım.
\( \dfrac{12}{6 - \frac{8}{3 + \frac{15}{x - 1}}} = 6 \)
İşlem sonucunun 6 olması için kesrin paydası 2 olmalıdır.
\( 6 - \dfrac{8}{3 + \frac{15}{x - 1}} = 2 \)
Kesirli ifadeyi yalnız bırakalım.
\( -\dfrac{8}{3 + \frac{15}{x - 1}} = -4 \)
\( \dfrac{8}{3 + \frac{15}{x - 1}} = 4 \)
İşlem sonucunun 4 olması için kesrin paydası 2 olmalıdır.
\( 3 + \dfrac{15}{x - 1} = 2 \)
Kesirli ifadeyi yalnız bırakalım.
\( \dfrac{15}{x - 1} = -1 \)
İçler - dışlar çarpımı yapalım.
\( 15 = 1 - x \)
\( x = -14 \) bulunur.
\( a, b, c, d \in \mathbb{Z^+} \) olmak üzere,
\( \dfrac{2998}{2988} \) rasyonel sayısı \( a + \dfrac{1}{b + \frac{1}{c + \frac{1}{d}}} \) şeklinde yazılabildiğine göre, \( a + b + c + d \) kaçtır?
Çözümü Göster\( a + \dfrac{1}{b + \frac{1}{c + \frac{1}{d}}} = \dfrac{2998}{2988} \)
\( a + \dfrac{1}{b + \frac{1}{c + \frac{1}{d}}} = 1 + \dfrac{10}{2988} \)
\( a = 1 \)
\( \dfrac{1}{b + \frac{1}{c + \frac{1}{d}}} = \dfrac{10}{2988} \)
Eşitliğin taraflarının çarpmaya göre tersini alalım.
\( b + \dfrac{1}{c + \frac{1}{d}} = \dfrac{2988}{10} \)
\( b + \dfrac{1}{c + \frac{1}{d}} = 298 + \dfrac{8}{10} \)
\( b = 298 \)
\( \dfrac{1}{c + \frac{1}{d}} = \dfrac{8}{10} = \dfrac{4}{5} \)
Eşitliğin taraflarının çarpmaya göre tersini alalım.
\( c + \dfrac{1}{d} = \dfrac{5}{4} \)
\( c + \dfrac{1}{d} = 1 + \dfrac{1}{4} \)
\( c = 1 \)
\( \dfrac{1}{d} = \dfrac{1}{4} \)
Eşitliğin taraflarının çarpmaya göre tersini alalım.
\( d = 4 \)
\( a + b + c + d = 1 + 298 + 1 + 4 = 304 \) bulunur.
Sayı doğrusu üzerindeki bir noktanın \( -\frac{4}{3} \) sayısına olan uzaklığının \( \frac{5}{6} \) sayısına olan uzaklığına oranı \( \frac{7}{3} \)'tür.
Buna göre bu noktanın alabileceği değerler toplamı kaçtır?
Çözümü GösterSayı doğrusu üzerinde belirlenen noktaya \( A \), reel sayı değerine \( a \) diyelim.
\( A \) noktası için iki farklı durum vardır: Nokta ya \( -\frac{4}{3} \) ile \( \frac{5}{6} \) arasındadır ya da \( \frac{5}{6} \)'dan büyüktür. Nokta \( -\frac{4}{3} \)'ten küçük olamaz, çünkü bu durumda birinci noktaya olan uzaklığın ikinci noktaya olan uzaklığa oranı 1'den büyük olmaz.
Durum 1:
\( A \) noktası \( -\frac{4}{3} \) ile \( \frac{5}{6} \) arasındadır.
\( -\dfrac{4}{3} \lt a \lt \dfrac{5}{6} \)
\( A \) noktasının bu iki noktaya olan uzaklıklarının oranını bulalım.
\( \dfrac{a - (-\frac{4}{3})}{\frac{5}{6} - a} = \dfrac{7}{3} \)
\( 3a + 4 = \dfrac{35}{6} - 7a \)
\( 10a = \dfrac{11}{6}\)
\( a = \dfrac{11}{60} \)
Durum 2:
\( A \) noktası \( \frac{5}{6} \)'den büyüktür.
\( \dfrac{5}{6} \lt a \)
\( A \) noktasının bu iki noktaya olan uzaklıklarının oranını bulalım.
\( \dfrac{a - (-\frac{4}{3})}{a - \frac{5}{6}} = \dfrac{7}{3} \)
\( 3a + 4 = 7a - \dfrac{35}{6} \)
\( 4a = \dfrac{59}{6} \)
\( a = \dfrac{59}{24} \)
\( a \) sayısının alabileceği değerlerin toplamını bulalım.
\( \dfrac{11}{60} + \dfrac{59}{24} = \dfrac{22}{120} + \dfrac{295}{120} \)
\( = \dfrac{317}{120} \) bulunur.
\( \dfrac{1}{4} + \dfrac{3}{7} + \dfrac{1}{8} = x \) olduğuna göre,
\( \dfrac{5}{4} + \dfrac{9}{7} + \dfrac{3}{8} \) toplamının \( x \) cinsinden değeri nedir?
Çözümü Gösterİfadeyi düzenleyelim.
\( \dfrac{5}{4} + \dfrac{9}{7} + \dfrac{3}{8} = 5 \cdot \dfrac{1}{4} + 3 \cdot \dfrac{3}{7} + 3 \cdot \dfrac{1}{8} \)
\( = 2 \cdot \dfrac{1}{4} + 3 \cdot \dfrac{1}{4} + 3 \cdot \dfrac{3}{7} + 3 \cdot \dfrac{1}{8} \)
\( = 2 \cdot \dfrac{1}{4} + 3\left( \dfrac{1}{4} + \dfrac{3}{7} + \dfrac{1}{8} \right) \)
\( = \dfrac{1}{2} + 3x \)
\( = \dfrac{6x + 1}{2} \) bulunur.
\( x = \dfrac{4}{23} + \dfrac{20}{59} - \dfrac{11}{73} \)
\( y = \dfrac{1}{23} + \dfrac{6}{59} - \dfrac{6}{73} \)
olduğuna göre, \( y \)'nin \( x \) cinsinden eşiti nedir?
Çözümü Gösterİki eşitlik arasında, paydaları aynı olan kesirleri tam sayı yapacak şekilde işlem yapalım.
Önce birinci denklemin taraflarını 5 ile, ikinci denklemin taraflarını 3 ile çarpalım.
\( 5x = \dfrac{20}{23} + \dfrac{100}{59} - \dfrac{55}{73} \)
\( 3y = \dfrac{3}{23} + \dfrac{18}{59} - \dfrac{18}{73} \)
Şimdi eşitlikleri taraf tarafa toplayalım.
\( 5x + 3y = \left( \dfrac{20}{23} + \dfrac{3}{23} \right) + \left( \dfrac{100}{59} + \dfrac{18}{59} \right) - \left( \dfrac{55}{73} + \dfrac{18}{73} \right) \)
\( = \dfrac{23}{23} + \dfrac{118}{59} - \dfrac{73}{73} \)
\( = 1 + 2 - 1 = 2 \)
\( 5x + 3y = 2 \)
\( 3y = 2 - 5x \)
\( y = \dfrac{2 - 5x}{3} \) bulunur.
\( A, B \in \mathbb{Z} \) olmak üzere,
\( \dfrac{1}{A} - \dfrac{1}{B} = \dfrac{1}{2} \)
eşitliğini sağlayan \( A \) sayılarının toplamı kaçtır?
Çözümü Göster\( A \) ifadesini yalnız bırakalım.
\( \dfrac{B - A}{AB} = \dfrac{1}{2} \)
\( 2B - 2A = AB \)
\( AB + 2A = 2B \)
\( A(B + 2) = 2B \)
\( A = \dfrac{2B}{B + 2} \)
\( A = \dfrac{2B + 4 - 4}{B + 2} \)
\( A = 2 - \dfrac{4}{B + 2} \)
Kesirli ifadeyi tam sayı yapan \( B \) tam sayı değerleri aşağıdaki gibidir.
Verilen eşitlikte \( B = 0 \) olamaz.
\( B \in \{ -6, -4, -3, -1, 2 \} \)
Bu değerlerin her biri için sırayla \( A \) değerini bulalım.
\( A = 2 - \dfrac{4}{-6 + 2} = 3 \)
\( A = 2 - \dfrac{4}{-4 + 2} = 4 \)
\( A = 2 - \dfrac{4}{-3 + 2} = 6 \)
\( A = 2 - \dfrac{4}{-1 + 2} = -2 \)
\( A = 2 - \dfrac{4}{2 + 2} = 1 \)
\( A \)'nın alabileceği tam sayı değerlerinin toplamını bulalım.
\( 3 + 4 + 6 + (-2) + 1 = 12 \) bulunur.
\( 5 + \dfrac{11}{10 + \dfrac{11}{10 + \dfrac{11}{10 + \dfrac{11}{\ldots}}}} \) ifadesinin değeri kaçtır?
Çözümü GösterVerilen ifadenin değerine \( x \) diyelim.
\( x = 5 + \dfrac{11}{10 + \dfrac{11}{10 + \dfrac{11}{10 + \dfrac{11}{\ldots}}}} \)
Eşitliğin iki tarafına 5 ekleyelim.
\( x + 5 = 10 + \dfrac{11}{10 + \dfrac{11}{10 + \dfrac{11}{10 + \dfrac{11}{\ldots}}}} \)
Kesrin paydası eşitliğin sağ tarafına eşit olduğu için \( x + 5 \) ifadesine eşittir.
\( x + 5 = 10 + \dfrac{11}{x + 5} \)
\( x + 5 = \dfrac{10(x + 5) + 11}{x + 5} \)
\( (x + 5)^2 = 10(x + 5) + 11 \)
\( x^2 + 10x + 25 = 10x + 50 + 11 \)
\( x^2 = 36 \)
Soruda verilen ifade sadece pozitif sayılar arasında toplama ve bölme işlemleri içerdiği için sonucu negatif olamaz.
\( x = 6 \) bulunur.
\( \dfrac{xy}{x - y} = \dfrac{3}{5} \)
\( \dfrac{yz}{y - z} = \dfrac{9}{10} \)
olduğuna göre, \( \dfrac{xz}{x - z} \) işleminin sonucu kaçtır?
Çözümü GösterBirinci eşitliğin taraflarının çarpmaya göre tersini alalım.
\( \dfrac{x - y}{xy} = \dfrac{5}{3} \)
\( \dfrac{x}{xy} - \dfrac{y}{xy} = \dfrac{5}{3} \)
\( \dfrac{1}{y} - \dfrac{1}{x} = \dfrac{5}{3} \)
İkinci eşitliğin taraflarının çarpmaya göre tersini alalım.
\( \dfrac{y - z}{yz} = \dfrac{10}{9} \)
\( \dfrac{y}{yz} - \dfrac{z}{yz} = \dfrac{10}{9} \)
\( \dfrac{1}{z} - \dfrac{1}{y} = \dfrac{10}{9} \)
Bu iki eşitliği taraf tarafa toplayalım.
\( \dfrac{1}{y} - \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{z} - \dfrac{1}{y} = \dfrac{5}{3} + \dfrac{10}{9} \)
\( \dfrac{1}{z} - \dfrac{1}{x} = \dfrac{25}{9} \)
\( \dfrac{x - z}{xz} = \dfrac{25}{9} \)
Bu eşitliğin taraflarının çarpmaya göre tersini alalım.
\( \dfrac{xz}{x - z} = \dfrac{9}{25} \) bulunur.
\( \dfrac{1}{3^2 - 1} + \dfrac{1}{5^2 - 1} + \dfrac{1}{7^2 - 1} + \ldots + \dfrac{1}{29^2 - 1} \)
işleminin sonucu kaçtır?
Çözümü GösterKare farkı özdeşliğini kullanalım.
\( a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \)
\( \dfrac{1}{(3 + 1)(3 - 1)} + \dfrac{1}{(5 + 1)(5 - 1)} + \dfrac{1}{(7 + 1)(7 - 1)} + \ldots + \dfrac{1}{(29 + 1)(29 - 1)} \)
İfadeyi \( \frac{1}{2} \) ortak parantezine alalım.
\( = \dfrac{1}{2} \cdot \left( \dfrac{2}{(3 + 1)(3 - 1)} + \dfrac{2}{(5 + 1)(5 - 1)} + \dfrac{2}{(7 + 1)(7 - 1)} + \ldots + \dfrac{2}{(29 + 1)(29 - 1)} \right) \)
Payları toplamları 2 olacak şekilde düzenleyelim.
\( = \dfrac{1}{2} \cdot \left( \dfrac{(3 + 1) - (3 - 1)}{(3 + 1)(3 - 1)} + \dfrac{(5 + 1) - (5 - 1)}{(5 + 1)(5 - 1)} + \dfrac{(7 + 1) - (7 - 1)}{(7 + 1)(7 - 1)} + \ldots + \dfrac{(29 + 1) - (29 - 1)}{(29 + 1)(29 - 1)} \right) \)
Her kesri iki kesrin toplamı şeklinde yazalım.
\( = \dfrac{1}{2} \cdot \left( \dfrac{3 + 1}{(3 + 1)(3 - 1)} - \dfrac{3 - 1}{(3 + 1)(3 - 1)} + \dfrac{5 + 1}{(5 + 1)(5 - 1)} - \dfrac{5 - 1}{(5 + 1)(5 - 1)} + \dfrac{7 + 1}{(7 + 1)(7 - 1)} - \dfrac{7 - 1}{(7 + 1) \cdot (7 - 1)} + \ldots + \dfrac{29 + 1}{(29 + 1)(29 - 1)} - \dfrac{29 - 1}{(29 + 1)(29 - 1)} \right) \)
\( = \dfrac{1}{2} \cdot \left( \dfrac{1}{3 - 1} - \dfrac{1}{3 + 1} + \dfrac{1}{5 - 1} - \dfrac{1}{5 + 1} + \dfrac{1}{7 - 1} - \dfrac{1}{7 + 1} + \ldots + \dfrac{1}{29 - 1} - \dfrac{1}{29 + 1} \right) \)
\( = \dfrac{1}{2} \cdot \left( \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{6} - \dfrac{1}{8} + \ldots + \dfrac{1}{28} - \dfrac{1}{30} \right) \)
Her kesir ikilisinin ikinci terimi ile bir sonraki ikilinin birinci terimi sadeleşir.
\( = \dfrac{1}{2} \cdot \left( \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{30} \right) \)
\( = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{28}{60} \)
\( = \dfrac{7}{30} \) bulunur.
\( \dfrac{1}{7} - \dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{7} - \dfrac{1}{6} + \ldots \)
serisinin toplamı ilk kez kaçıncı terimde bir tam sayıya eşit olur?
Çözümü GösterSerinin toplamı iki şekilde tam sayı olabilir.
Durum 1: Terim sayısı çift
Bu durumda serinin terimlerini ikili gruplayarak aşağıdaki şekilde yazabiliriz.
\( \left( \dfrac{1}{7} - \dfrac{1}{6} \right) + \left( \dfrac{1}{7} - \dfrac{1}{6} \right) + (\ldots) \)
\( = -\dfrac{1}{42} - \dfrac{1}{42} - \ldots \)
Bu ikililerden 42 tanesinin toplamı \( -1 \)'e eşit olur, dolayısıyla serinin ilk 84 teriminin toplamı bir tam sayı olur.
Durum 2: Terim sayısı tek
Bu durumda serinin terimlerini ikili grupladığımızda sonda tek bir terim kalır.
\( \left( \dfrac{1}{7} - \dfrac{1}{6} \right) + \left( \dfrac{1}{7} - \dfrac{1}{6} \right) + (\ldots) + \dfrac{1}{7} \)
\( = -\dfrac{1}{42} - \dfrac{1}{42} - \ldots + \dfrac{1}{7} \)
Bu serinin toplamının \( k \) tane terim ikilisi + son terim için bir tam sayı olduğunu varsayalım.
Bu durumda serinin ilk \( 2k + 1 \) teriminin toplamı aşağıdaki gibi olur.
\( -\dfrac{1}{42} \cdot k + \dfrac{1}{7} = \dfrac{6 - k}{42} \)
Bu toplam \( k = 6 \) olduğunda sıfır olur ve ilk kez bir tam sayı olur.
Dolayısıyla verilen serinin ilk \( 2k + 1 = 13 \) teriminin toplamı bir tam sayıdır.
Buna göre serinin toplamı ilk kez 13. terimde bir tam sayıya eşit olur.