Mutlak Değer Fonksiyonlarının Grafiği
Bu bölümde mutlak değer fonksiyonlarının grafiğini çizmek için kullanılabilecek yöntemleri inceleyeceğiz.
Parçalı Fonksiyon
Tüm mutlak değer fonksiyonlarının grafiği aşağıdaki iki adım takip edilerek çizilebilir.
- Önceki mutlak değer fonksiyonlarının parçalı yazılışı bölümünde gördüğümüz yöntemle mutlak değer fonksiyonu (mutlak değer içermeyecek şekilde) parçalı fonksiyon şeklinde yazılır.
- Bu dönüşüm sonrasında elde edilen parçalı fonksiyonun her parçasının grafiği tanımlı olduğu aralıkta ayrı ayrı çizilir.
Bu yöntemi iki parçalı bir örnek üzerinde gösterelim.
\( f(x) = \abs{x - 1} - 3 \) fonksiyonunun grafiğini çizelim.
Mutlak değer fonksiyonunu önceki bölümde gördüğümüz yöntemle parçalı fonksiyon şeklinde yazalım.
\( f(x) = \begin{cases} -x - 2 & x \lt 1 \\ x - 4 & x \ge 1 \end{cases} \)
Parçalı fonksiyonun her parçasının grafiğini tanımlı olduğu aralıkta çizelim.
Bu yöntemi şimdi de üç parçalı bir örnek üzerinde gösterelim.
\( f(x) = 2\abs{x + 4} - \abs{x - 2} \) fonksiyonunun grafiğini çizelim.
Mutlak değer fonksiyonunu önceki bölümde gördüğümüz yöntemle parçalı fonksiyon şeklinde yazalım.
\( f(x) = \begin{cases} -x - 10 & x \lt -4 \\ 3x + 6 & -4 \le x \lt 2 \\ x + 10 & x \ge 2 \end{cases} \)
Parçalı fonksiyonun her parçasının grafiğini tanımlı olduğu aralıkta çizelim.
\( f(x) = \abs{g(x)} \) Formundaki Fonksiyonlar
\( f(x) = \abs{g(x)} \) formundaki tek bir mutlak değer ifadesinden oluşan fonksiyonların grafiği aşağıdaki iki adım takip edilerek çizilebilir.
- Önce mutlak değer içindeki \( g(x) \) fonksiyonunun grafiği çizilir.
- Elde edilen grafikte \( x \) ekseninin altında kalan kısımların \( x \) eksenine göre yansıması alınır. Fonksiyonun pozitif ya da sıfır olduğu noktalarda bir değişiklik olmaz.
Bu formdaki fonksiyonlara verilebilecek en basit örnek \( f(x) = \abs{x} \) fonksiyonudur.
\( f(x) = \abs{x} \) fonksiyonunun grafiğini çizelim.
Önce mutlak değer içindeki \( g(x) = x \) fonksiyonunun grafiğini çizelim (mavi çizgi).
\( g(x) \) fonksiyonunun grafiğinde \( x \) ekseninin altında kalan kısımların \( x \) eksenine göre yansımasını aldığımızda \( f(x) \) fonksiyonunun grafiğini elde ederiz (kırmızı kesikli çizgi).
Mutlak değer içinin ikinci dereceden olduğu bir örnek yapalım.
\( f(x) = \abs{x^2 - 4} \) fonksiyonunun grafiğini çizelim.
Önce mutlak değer içindeki \( g(x) = x^2 - 4 \) fonksiyonunun grafiğini çizelim.
\( g(x) \) fonksiyonunun grafiği \( x \) eksenini \( x = -2 \) ve \( x = 2 \) noktalarında kesen kolları yukarı yönlü bir paraboldür (mavi çizgi).
\( g(x) \) fonksiyonunun grafiğinde \( x \) ekseninin altında kalan kısımların \( x \) eksenine göre yansımasını aldığımızda \( f(x) \) fonksiyonunun grafiğini elde ederiz (kırmızı kesikli çizgi).
Fonksiyon Dönüşümleri
Fonksiyonların dönüşümü bölümünde gördüğümüz dönüşümler mutlak değer fonksiyonlarına uygulanarak aşağıdaki formdaki geniş bir fonksiyon ailesinin grafikleri çizilebilir.
\( f(x) = a\abs{b(x + c)} + k \)
\( a \): Dikey daralma/genişleme ve yansıma
\( k \): Dikey öteleme
\( b \): Yatay daralma/genişleme ve yansıma
\( c \): Yatay öteleme
Fonksiyon dönüşümlerini kullanarak mutlak değer grafiğini çizmeyi bir örnek üzerinde gösterelim.
\( f(x) = \abs{x - 1} - 3 \) fonksiyonunun grafiğini çizelim.
Bu fonksiyonun grafiğini \( \abs{x} \) grafiğini baz alarak ve standart fonksiyon dönüşümlerini uygulayarak çizelim.
\( f(x) \) grafiğini 3 adımda elde edebiliriz. Bu adımlar aşağıda grafik üzerinde de gösterilmiştir.
- \( \abs{x} \): Önce standart mutlak değer grafiği çizilir (mavi sürekli çizgi).
- \( \abs{x - 1} \): Fonksiyonun girdisinden 1 birim çıkarırsak grafik sağa doğru 1 birim ötelenir (yeşil kesikli çizgi).
- \( \abs{x - 1} - 3 \): Fonksiyonun çıktısından 3 birim çıkarırsak grafik aşağı doğru 3 birim ötelenir (kırmızı sürekli çizgi).
Elde ettiğimiz grafik aynı fonksiyon için yukarıda parçalı fonksiyon tanımını kullanarak elde ettiğimiz grafikle aynıdır.
Fonksiyon dönüşümlerini kullanarak mutlak değer grafiğini çizmeyi ikinci bir örnek üzerinde gösterelim.
\( f(x) = -\abs{2x} + 4 \) fonksiyonunun grafiğini çizelim.
Bu fonksiyonun grafiğini \( \abs{x} \) grafiğini baz alarak ve standart fonksiyon dönüşümlerini uygulayarak çizelim.
\( f(x) \) fonksiyon grafiğini 4 adımda elde edebiliriz. Bu adımlar aşağıda grafik üzerinde de gösterilmiştir.
- \( \abs{x} \): Önce standart mutlak değer grafiği çizilir (mavi sürekli çizgi).
- \( \abs{2x} \): Fonksiyonun girdisini 2 ile çarparsak grafiğin tüm noktaları \( y \) eksenine bu katsayı oranında yakınlaşır (yeşil kesikli çizgi).
- \( -\abs{2x} \): Fonksiyonun çıktısının negatifini alırsak grafiğin \( x \) eksenine göre yansıması oluşur (mavi kesikli çizgi).
- \( -\abs{2x} + 4 \): Fonksiyonun çıktısına 4 birim eklersek grafik yukarı doğru 4 birim ötelenir (kırmızı sürekli çizgi).
\( f \) fonksiyonunun aşağıdaki parçalı fonksiyon tanımı kullanılarak da aynı grafik elde edilebilir.
\( f(x) = \begin{cases} 2x + 4 & x \lt 0 \\ -2x + 4 & x \ge 0 \end{cases} \)
İç İçe Mutlak Değerli İfadeler
Birden fazla mutlak değerli ifadenin iç içe yer aldığı fonksiyonların grafiği de aynı dönüşüm adımları uygulanarak çizilebilir.
\( f(x) = \abs{\abs{2x + 2} - 4} \) fonksiyonunun grafiğini çizelim.
Bu fonksiyonun grafiğini \( \abs{x} \) grafiğini baz alarak ve standart fonksiyon dönüşümlerini uygulayarak çizebiliriz.
İçteki mutlak değer ifadesini düzenleyelim.
\( f(x) = \abs{\abs{2x + 2} - 4} = \abs{\abs{2(x + 1)} - 4} \)
\( f(x) \) fonksiyon grafiğini 5 adımda elde edebiliriz. Bu adımlar aşağıda grafik üzerinde de gösterilmiştir.
- \( \abs{x} \): Önce standart mutlak değer grafiği çizilir (mavi sürekli çizgi).
- \( \abs{2x} \): Fonksiyonun girdisini 2 ile çarparsak grafiğin tüm noktaları \( y \) eksenine bu katsayı oranında yakınlaşır (yeşil kesikli çizgi).
- \( \abs{2(x + 1)} \): Fonksiyonun girdisine 1 birim eklersek grafik sola doğru 1 birim ötelenir (kırmızı kesikli çizgi).
- \( \abs{2(x + 1)} - 4 \): Fonksiyonun çıktısından 4 birim çıkarırsak grafik aşağı doğru 4 birim ötelenir (mavi kesikli çizgi).
- \( \abs{\abs{2(x + 1)} - 4} \): Fonksiyonun mutlak değerini alırsak grafiğin negatif değerli (\( x \) ekseninin altında kalan) kısımlarının \( x \) eksenine göre yansıması oluşur (kırmızı sürekli çizgi).
\( f \) fonksiyonunun aşağıdaki parçalı fonksiyon tanımı kullanılarak da aynı grafik elde edilebilir.
\( f(x) = \begin{cases} -2x - 6 & x \le -3 \\ 2x + 6 & -3 \lt x \le -1 \\ -2x + 2 & -1 \lt x \le 1 \\ 2x - 2 & x \gt 1 \end{cases} \)
\( y \)'nin Mutlak Değer İçinde Olduğu İfadeler
\( x \) ve \( y \) değişkenleri arasındaki bağıntılarda \( y \) değişkeni de mutlak değer içinde yer alabilir. Bu tip bağıntıların grafikleri dikey doğru testini geçemeyeceği için (her \(x \) değeri birden fazla \( y \) değeri ile eşlenebileceği için) birer fonksiyon olmazlar.
\( \abs{y - 1} = x + 2 \) bağıntısının grafiğini çizelim.
\( y \) değişkeni mutlak değer içinde olduğu için \( y \) için kritik noktaları bulalım.
\( y - 1 = 0 \Longrightarrow y = 1 \) kritik noktadır.
Mutlak değer içindeki ifadede \( y \)'nin katsayısı pozitif olduğu için, ifade kritik noktanın sağında pozitif, solunda negatif değer alır, kritik noktada ise sıfır olur.
\( y \ge 1 \) için:
\( y - 1 = x + 2 \)
\( y = x + 3 \)
\( y \lt 1 \) için:
\( -(y - 1) = x + 2 \)
\( y = -x - 1 \)
Buna göre bağıntının parçalı tanımı aşağıdaki gibi olur.
\( y = \begin{cases} x + 3 & y \ge 1 \\ -x - 1 & y \lt 1 \end{cases} \)
Bu parçalı bağıntının her aralıktaki grafiğini çizdiğimizde aşağıdaki grafiği elde ederiz.
Aşağıdaki örnekte görülebileceği gibi, bir bağıntıda \( x \) ve \( y \) değişkenlerinin ikisi de mutlak değer içinde yer alabilir.
\( \abs{y - 2} = -\abs{x + 1} + 2 \) bağıntısının grafiğini çizelim.
Hem \( y \) hem de \( x \) değişkeni mutlak değer içinde olduğu için iki değişken için kritik noktaları bulalım.
\( y - 2 = 0 \Longrightarrow y = 2 \) kritik noktadır.
\( x + 1 = 0 \Longrightarrow x = -1 \) kritik noktadır.
Mutlak değer içindeki iki ifadede de değişkenlerin katsayıları pozitif olduğu için, ifadeler kritik noktanın sağında pozitif, solunda negatif değer alır, kritik noktada ise sıfır olur.
\( y \ge 2, \quad x \ge -1 \) için:
\( y - 2 = -(x + 1) + 2 \)
\( y = -x + 3 \)
\( y \ge 2, \quad x \lt -1 \) için:
\( y - 2 = (x + 1) + 2 \)
\( y = x + 5 \)
\( y \lt 2, \quad x \ge -1 \) için:
\( -(y - 2) = -(x + 1) + 2 \)
\( y = x + 1 \)
\( y \lt 2, \quad x \lt -1 \) için:
\( -(y - 2) = (x + 1) + 2 \)
\( y = -x - 1 \)
Buna göre bağıntının iki kritik nokta ve dört aralıktan oluşan parçalı tanımı aşağıdaki gibi olur.
\( y = \begin{cases} -x + 3 & y \ge 2, x \ge -1 \\ x + 5 & y \ge 2, x \lt -1 \\ x + 1 & y \lt 2, x \ge -1 \\ -x - 1 & y \lt 2, x \lt -1 \end{cases} \)
Bu parçalı bağıntının her aralıktaki grafiğini çizdiğimizde aşağıdaki grafiği elde ederiz.
\( f(x) = \abs{x + 1} + \abs{x - 3} \) fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
Çözümü GösterMutlak değer fonksiyonunu parçalı fonksiyon şeklinde yazalım.
\( f(x) = \begin{cases} -2x + 2 & x \lt -1 \\ 4 & -1 \le x \lt 3 \\ 2x - 2 & x \ge 3 \end{cases} \)
Parçalı fonksiyonun her parçasının grafiğini tanımlı olduğu aralıkta çizelim.
\( m \in \mathbb{R^+} \) olmak üzere,
\( \abs{\abs{2x - 6} - m} = 2 \)
denkleminin 4 farklı kökü olması için \( m \)'nin alabileceği en küçük tam sayı değeri kaçtır?
Çözümü GösterSoruyu grafik yardımıyla çözelim.
\( y = \abs{2x - 6} \) mutlak değer fonksiyonunun grafiği aşağıdaki gibi olur.
Bu fonksiyonu \( m \) birim aşağı ötelediğimizde elde edeceğimiz \( y = \abs{2x - 6} - m \) fonksiyonunun grafiği aşağıdaki gibi olur.
Bu fonksiyonun mutlak değerini aldığımızda elde edeceğimiz \( y = \abs{\abs{2x - 6} - m} \) fonksiyonunun grafiği aşağıdaki gibi olur.
Son elde ettiğimiz grafiğin \( y = 2 \) doğrusu ile 4 noktada kesişmesi için 2 sayısı \( (0, m) \) açık aralığında olmalıdır.
\( 0 \lt 2 \lt m \)
Buna göre \( m \)'nin en küçük tam sayı değeri 3 olmalıdır.
\( \abs{x^2 - 4} = m \) denkleminin çözüm kümesinin ayrı ayrı her seçenekteki koşulu sağlaması için \( m \) değeri ya da değer aralığı ne olmalıdır?
(a) 4 elemanlı
(b) 3 elemanlı
(c) 2 elemanlı
(d) 1 elemanlı
(e) boş küme
Çözümü GösterVerilen eşitliğin çözüm kümesini aşağıdaki iki fonksiyonun grafiklerinin kesişim noktalarının kümesi olarak düşünebiliriz.
\( f(x) = \abs{x^2 - 4} \)
\( g(x) = m \)
\( f \) fonksiyonunun ve farklı \( m \) değerleri için \( g \) fonksiyonunun grafikleri ve her bir durum için kesişim noktaları aşağıdaki şekilde verilmiştir.
Buna göre denklemin çözüm kümesindeki eleman sayısı \( m \) değerlerine göre aşağıdaki şekilde değişir.
4 elemanlı çözüm kümesi:
\( 0 \lt m \lt 4 \)
3 elemanlı çözüm kümesi:
\( m = 4 \)
2 elemanlı çözüm kümesi:
\( m = 0 \) ya da \( m \gt 4 \)
1 elemanlı çözüm kümesi:
Çözüm kümesi hiçbir durumda 1 elemanlı olamaz.
0 elemanlı çözüm kümesi:
\( m \lt 0 \)