Mutlak Değer Fonksiyonları
Aşağıdaki şekilde tanımlı fonksiyona mutlak değer fonksiyonu denir.
\( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( f(x) = \abs{x} \)
Mutlak değer, içindeki ifadenin işaretine göre farklı şekilde hesaplandığı için, fonksiyon aşağıdaki gibi parçalı şekilde yazılabilir.
\( f(x) = \abs{x} = \begin{cases} x & x \ge 0 \\ -x & x \lt 0 \end{cases} \)
Mutlak Değer Fonksiyonu Değer Tablosu ve Grafiği
\( f(x) = \abs{x} \) ve \( g(x) = \abs{x + 1} - 2 \) fonksiyonlarının bazı değerleri için değer tablosu aşağıdaki gibidir.
| \( x \) | \( f(x) \) | \( g(x) \) |
|---|---|---|
| \( -3 \) | \( f(-3) = \abs{-3} = 3 \) | \( g(-3) = \abs{-3 + 1} - 2 = 0 \) |
| \( -2 \) | \( f(-2) = \abs{-2} = 2 \) | \( g(-2) = \abs{-2 + 1} - 2 = -1 \) |
| \( -1 \) | \( f(-1) = \abs{-1} = 1 \) | \( g(-1) = \abs{-1 + 1} - 2 = -2 \) |
| \( 0 \) | \( f(0) = \abs{0} = 0 \) | \( g(0) = \abs{0 + 1} - 2 = -1 \) |
| \( 1 \) | \( f(1) = \abs{1} = 1 \) | \( g(1) = \abs{1 + 1} - 2 = 0 \) |
| \( 2 \) | \( f(2) = \abs{2} = 2 \) | \( g(2) = \abs{2 + 1} - 2 = 1 \) |
| \( 3 \) | \( f(3) = \abs{3} = 3 \) | \( g(3) = \abs{3 + 1} - 2 = 2 \) |
Her iki fonksiyon için bulunan bu noktalar koordinat düzleminde işaretlendiğinde aşağıdaki grafikler elde edilir.
\( f(x) = \abs{x} \) mutlak değer fonksiyonunun ve \( y = a\abs{b(x + c)} + k \) formundaki dönüşümlerinin grafikleri, \( a \gt 0 \) için V, \( a \lt 0 \) için ters V şeklindedir.
Mutlak Değer Fonksiyon Dönüşümleri
Fonksiyonların dönüşümü konusunda gördüğümüz tüm dönüşümler mutlak değeri fonksiyonlarına uygulanarak fonksiyonun denkleminde, grafiğinin konumunda ve şeklinde değişiklikler meydana getirilebilir.
\( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( f(x) = \abs{8 + x} - \abs{15 - 5x} + \abs{3x - 24} + \abs{9 - x} \)
Buna göre, \( f \) hangi aralıkta sabit fonksiyondur?
Çözümü Göster\( f(x) = \abs{8 + x} - \abs{15 - 5x} + \abs{3x - 24} + \abs{9 - x} \)
Mutlak değer ifadelerinin içlerini düzenleyelim.
\( = \abs{x + 8} - \abs{5x - 15} + \abs{3x - 24} + \abs{x - 9} \)
Mutlak değer ifadelerini sıfır yapan noktalar fonksiyonun kritik noktalarıdır.
Verilen fonksiyonun kritik noktaları \( x \in \{-8, 3, 8, 9\} \) noktalarıdır.
Bu dört kritik noktanın oluşturduğu beş aralığı ayrı ayrı inceleyelim ve her aralıkta mutlak değer içindeki ifadeleri o aralıktaki işaretlerine göre mutlak değerden çıkaralım.
Durum 1: \( x \lt -8 \)
\( f(x) = -(x + 8) + (5x - 15) - (3x - 24) - (x - 9) \)
\( = -x - 8 + 5x - 15 - 3x + 24 - x + 9 \)
\( = 10 \)
Fonksiyon bu aralıkta sabittir.
Durum 2: \( -8 \le x \lt 3 \)
\( f(x) = (x + 8) + (5x - 15) - (3x - 24) - (x - 9) \)
\( = x + 8 + 5x - 15 - 3x + 24 - x + 9 \)
\( = 2x + 26 \)
Fonksiyon bu aralıkta sabit değildir.
Durum 3: \( 3 \le x \lt 8 \)
\( f(x) = (x + 8) - (5x - 15) - (3x - 24) - (x - 9) \)
\( = x + 8 - 5x + 15 - 3x + 24 - x + 9 \)
\( = -8x + 56 \)
Fonksiyon bu aralıkta sabit değildir.
Durum 4: \( 8 \le x \lt 9 \)
\( f(x) = (x + 8) - (5x - 15) + (3x - 24) - (x - 9) \)
\( = x + 8 - 5x + 15 + 3x - 24 - x + 9 \)
\( = -2x + 8 \)
Fonksiyon bu aralıkta sabit değildir.
Durum 5: \( 9 \le x \)
\( f(x) = (x + 8) - (5x - 15) + (3x - 24) + (x - 9) \)
\( = x + 8 - 5x + 15 + 3x - 24 + x - 9 \)
\( = -10 \)
Fonksiyon bu aralıkta sabittir.
Buna göre \( f \) fonksiyonu \( (-\infty, -8) \cup (9, \infty) \) aralıklarında sabit fonksiyondur.