Mutlak Değer Fonksiyonları
Aşağıdaki şekilde tanımlı fonksiyona mutlak değer fonksiyonu denir.
\( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( f(x) = \abs{x} \)
Mutlak değer fonksiyonunun tanımı mutlak değer içindeki ifadenin işaretine göre farklılık gösterdiği için, fonksiyon aşağıdaki gibi parçalı şekilde yazılabilir.
\( f(x) = \abs{x} = \begin{cases} x & x \ge 0 \\ -x & x \lt 0 \end{cases} \)
Mutlak Değer Fonksiyonu Değer Tablosu ve Grafiği
\( f(x) = \abs{x} \) ve \( g(x) = \abs{x + 1} - 2 \) fonksiyonlarının bazı değerleri için değer tablosu aşağıdaki gibidir.
| \( x \) | \( f(x) \) | \( g(x) \) |
|---|---|---|
| \( -3 \) | \( f(-3) = \abs{-3} = 3 \) | \( g(-3) = \abs{-3 + 1} - 2 = 0 \) |
| \( -2 \) | \( f(-2) = \abs{-2} = 2 \) | \( g(-2) = \abs{-2 + 1} - 2 = -1 \) |
| \( -1 \) | \( f(-1) = \abs{-1} = 1 \) | \( g(-1) = \abs{-1 + 1} - 2 = -2 \) |
| \( 0 \) | \( f(0) = \abs{0} = 0 \) | \( g(0) = \abs{0 + 1} - 2 = -1 \) |
| \( 1 \) | \( f(1) = \abs{1} = 1 \) | \( g(1) = \abs{1 + 1} - 2 = 0 \) |
| \( 2 \) | \( f(2) = \abs{2} = 2 \) | \( g(2) = \abs{2 + 1} - 2 = 1 \) |
| \( 3 \) | \( f(3) = \abs{3} = 3 \) | \( g(3) = \abs{3 + 1} - 2 = 2 \) |
Her iki fonksiyon için bulunan bu noktalar koordinat düzleminde işaretlendiğinde aşağıdaki grafikler elde edilir. Mutlak değer fonksiyonlarının grafikleri çoğu zaman aşağıdaki şekilde olduğu gibi "V" şeklindedir.
Mutlak Değer Fonksiyon Dönüşümleri
Fonksiyonların dönüşümü konusunda gördüğümüz tüm dönüşümler mutlak değeri fonksiyonlarına uygulanarak fonksiyonun denkleminde, grafiğinin konumunda ve şeklinde değişiklikler meydana getirilebilir.
\( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( f(x) = \abs{8 + x} - \abs{15 - 5x} + \abs{3x - 24} + \abs{9 - x} \)
Buna göre, \( f \) hangi aralıkta sabit fonksiyondur?
Çözümü Göster\( f(x) = \abs{8 + x} - \abs{15 - 5x} + \abs{3x - 24} + \abs{9 - x} \)
Mutlak değer ifadelerinin içlerini düzenleyelim.
\( = \abs{x + 8} - \abs{5x - 15} + \abs{3x - 24} + \abs{x - 9} \)
Mutlak değer ifadelerini sıfır yapan noktalar fonksiyonun kritik noktalarıdır.
Verilen fonksiyonun kritik noktaları \( x \in \{-8, 3, 8, 9\} \) noktalarıdır.
Bu dört kritik noktanın oluşturduğu beş aralığı ayrı ayrı inceleyelim ve her aralıkta mutlak değer içindeki ifadeleri o aralıktaki işaretlerine göre mutlak değerden çıkaralım.
Durum 1: \( x \lt -8 \)
\( f(x) = -(x + 8) + (5x - 15) - (3x - 24) - (x - 9) \)
\( = -x - 8 + 5x - 15 - 3x + 24 - x + 9 \)
\( = 10 \)
Fonksiyon bu aralıkta sabittir.
Durum 2: \( -8 \le x \lt 3 \)
\( f(x) = (x + 8) + (5x - 15) - (3x - 24) - (x - 9) \)
\( = x + 8 + 5x - 15 - 3x + 24 - x + 9 \)
\( = 2x + 26 \)
Fonksiyon bu aralıkta sabit değildir.
Durum 3: \( 3 \le x \lt 8 \)
\( f(x) = (x + 8) - (5x - 15) - (3x - 24) - (x - 9) \)
\( = x + 8 - 5x + 15 - 3x + 24 - x + 9 \)
\( = -8x + 56 \)
Fonksiyon bu aralıkta sabit değildir.
Durum 4: \( 8 \le x \lt 9 \)
\( f(x) = (x + 8) - (5x - 15) + (3x - 24) - (x - 9) \)
\( = x + 8 - 5x + 15 + 3x - 24 - x + 9 \)
\( = -2x + 8 \)
Fonksiyon bu aralıkta sabit değildir.
Durum 5: \( 9 \le x \)
\( f(x) = (x + 8) - (5x - 15) + (3x - 24) + (x - 9) \)
\( = x + 8 - 5x + 15 + 3x - 24 + x - 9 \)
\( = -10 \)
Fonksiyon bu aralıkta sabittir.
Buna göre \( f \) fonksiyonu \( (-\infty, -8) \cup (9, \infty) \) aralıklarında sabit fonksiyondur.