Mutlak Değer İşlem Kuralları
Mutlak değerli ifadelerle işlemlerde aşağıdaki kurallar geçerlidir.
Temel Kurallar
Bir sayının ya da ifadenin mutlak değeri hiçbir zaman negatif olamaz. Bir diğer deyişle, bir sayının sayı doğrusu üzerinde orijine olan uzaklığı negatif olamaz.
\( \abs{x} \ge 0 \)
\( \abs{3} \ge 0 \)
\( \abs{-2} \ge 0 \)
\( \abs{0} \ge 0 \)
İSPATI GÖSTER
\( x \) sayısının iki olası durumu için eşitsizliğin sağlanıp sağlanmadığını kontrol edelim.
Durum 1: \( x \ge 0 \)
Bu durumda mutlak değerin içi pozitif ya da sıfır olur, dolayısıyla sayı mutlak değerden olduğu gibi çıkar.
\( \abs{x} \ge 0 \)
\( x \ge 0 \)
Bu durumda eşitsizlik sağlanır.
Durum 2: \( x \lt 0 \)
Bu durumda mutlak değerin içi negatif olur, dolayısıyla sayı mutlak değerden önünde negatif işareti ile çıkar.
\( \abs{x} \ge 0 \)
\( -x \ge 0 \)
\( x \lt 0 \)
Bu durumda eşitsizliğin sol tarafı pozitiftir, dolayısıyla eşitsizlik sağlanır.
Bir sayının ya da ifadenin mutlak değeri sıfırsa o sayı/ifade sıfırdır. Bir diğer deyişle, sayı doğrusu üzerinde orijine uzaklığı sıfır olan tek nokta sıfır noktasıdır.
\( \abs{x} = 0 \Longleftrightarrow x = 0 \)
Bir sayı mutlak değerinden büyük, mutlak değerinin negatifinden küçük olamaz.
\( -\abs{x} \le x \le \abs{x} \)
\( -\abs{5} \le 5 \le \abs{5} \)
\( -\abs{-3} \le -3 \le \abs{-3} \)
\( -\abs{0} \le 0 \le \abs{0} \)
İSPATI GÖSTER
\( x \) sayısının iki olası durumu için eşitsizliğin sağlanıp sağlanmadığını kontrol edelim.
Durum 1: \( x \ge 0 \)
Bu durumda mutlak değerin içi pozitif ya da sıfır olur, dolayısıyla sayı mutlak değerden olduğu gibi çıkar.
\( -\abs{x} \le x \le \abs{x} \)
\( -x \le x \le x \)
Sağdaki \( x \le x \) eşitsizliği her \( x \) için sağlanır.
\( x \) pozitif olduğu için soldaki \( -x \le x \) eşitsizliğinin sol tarafı negatif, sağ tarafı pozitif olur, dolayısıyla eşitsizlik her \( x \) için sağlanır.
Durum 2: \( x \lt 0 \)
Bu durumda mutlak değerin içi negatif olur, dolayısıyla sayı mutlak değerden önünde negatif işareti ile çıkar.
\( -\abs{x} \le x \le \abs{x} \)
\( -(-x) \le x \le -x \)
\( x \le x \le -x \)
Soldaki \( x \le x \) eşitsizliği her \( x \) için sağlanır.
\( x \) negatif olduğu için sağdaki \( x \le -x \) eşitsizliğinin sol tarafı negatif, sağ tarafı pozitif olur, dolayısıyla eşitsizlik her \( x \) için sağlanır.
Buna göre eşitsizlik her durumda sağlanır.
Bir sayının mutlak değeri pozitif olduğu için, tekrarlı şekilde mutlak değerinin alınması sonucu değiştirmez.
\( \abs{\abs{x}} = \abs{x} \)
\( \abs{\abs{\abs{x}}} = \abs{x} \)
\( \abs{\abs{-3}} = \abs{-3} = 3 \)
İki sayının farkının mutlak değeri sıfıra eşitse bu iki sayı birbirine eşittir. Bir diğer deyişle, iki noktanın sayı doğrusu üzerinde aralarındaki uzaklık sıfır ise bu iki sayı aynı noktaya karşılık gelir.
\( \abs{x - y} = 0 \Longleftrightarrow x = y \)
\( \abs{x - 3} = 0 \Longleftrightarrow x = 3 \)
\( \abs{x + 5} = \abs{x - (-5)} = 0 \Longleftrightarrow x = -5 \)
Çarpma İşlemi
Sonuç her iki durumda da pozitif olacağı için, iki ifadenin çarpımının mutlak değeri ifadelerin mutlak değerlerinin çarpımı şeklinde yazılabilir.
\( \abs{xy} = \abs{x}\abs{y} \)
\( \abs{-3x} = \abs{-3}\abs{x} = 3\abs{x} \)
\( \abs{x^2 - 4} = \abs{(x - 2)(x + 2)} = \abs{x - 2}\abs{x + 2} \)
İSPATI GÖSTER
İSPAT 1:
İspatı \( x \) ve \( y \) değişkenlerinin işaretine göre dört durum altında inceleyelim.
Durum 1: \( x \ge 0, y \ge 0 \)
Mutlak değer içindeki bir ifade, değeri pozitif ya da sıfır ise olduğu gibi, negatif ise önüne negatif işareti eklenerek mutlak değerden çıkar.
\( x \ge 0 \) ve \( y \ge 0 \) olduğu için \( xy \ge 0 \) olur.
\( \abs{xy} = xy \)
\( \abs{x}\abs{y} = xy \)
Buna göre \( \abs{xy} \) ve \( \abs{x}\abs{y} \) ifadeleri her \( x \ge 0 \) ve \( y \ge 0 \) için birbirine eşittir.
Durum 2: \( x \lt 0, y \lt 0 \)
\( x \lt 0 \) ve \( y \lt 0 \) olduğu için \( xy \gt 0 \) olur.
\( \abs{xy} = xy \)
\( \abs{x}\abs{y} = (-x)(-y) = xy \)
Buna göre \( \abs{xy} \) ve \( \abs{x}\abs{y} \) ifadeleri her \( x \lt 0 \) ve \( y \lt 0 \) için birbirine eşittir.
Durum 3: \( x \ge 0, y \lt 0 \)
\( x \ge 0 \) ve \( y \lt 0 \) olduğu için \( xy \le 0 \) olur.
\( \abs{xy} = -xy \)
\( \abs{x}\abs{y} = x(-y) = -xy \)
Buna göre \( \abs{xy} \) ve \( \abs{x}\abs{y} \) ifadeleri her \( x \ge 0 \) ve \( y \lt 0 \) için birbirine eşittir.
Durum 4: \( x \lt 0, y \ge 0 \)
Bu durum bir önceki durumun simetriğidir ve aynı ispat bu duruma da uygulanabilir.
Buna göre \( \abs{xy} \) ve \( \abs{x}\abs{y} \) ifadeleri her \( x \) ve \( y \) için birbirine eşittir.
İSPAT 2:
Mutlak değerin karekök tanımını kullanalım.
\( x \in \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( \sqrt{x^2} = \abs{x} \)
Verilen ifadenin karekök tanımını yazalım.
\( \abs{xy} = \sqrt{(xy)^2} \)
İki sayının çarpımının üssü, sayıların üslerinin çarpımına eşittir.
\( = \sqrt{x^2y^2} \)
İki pozitif sayının çarpımının karekökü, sayıların kareköklerinin çarpımına eşittir.
\( = \sqrt{x^2}\sqrt{y^2} \)
Her iki karekök ifadesine mutlak değer tanımını uygulayalım.
\( = \abs{x}\abs{y} \)
Mutlak değer içindeki çarpanlardan birinin pozitif olduğu biliniyorsa bu çarpan mutlak değer dışına olduğu gibi çıkarılabilir.
\( k \gt 0 \) olmak üzere,
\( \abs{kx} = k\abs{x} \)
\( \abs{3x} = 3\abs{x} \)
İSPATI GÖSTER
Yukarıda ispatıyla birlikte verdiğimiz çarpma kuralını kullanalım.
\( \abs{kx} = \abs{k}\abs{x} \)
\( k \) pozitif olarak veriliyor.
\( = k\abs{x} \)
Bir sayının kendisinin ve negatifinin mutlak değerleri eşittir. Bir diğer deyişle, bir sayının ve ters işaretlisinin sayı doğrusu üzerinde orijine olan uzaklıkları eşittir.
\( \abs{x} = \abs{-x} \)
\( \abs{3} = \abs{-3} = 3 \)
İSPATI GÖSTER
\( \abs{-x} = \abs{(-1) \cdot x} = \abs{-1}\abs{x} = \abs{x} \)
Yukarıdaki kuralın bir uygulaması olarak, iki terimli bir çıkarma işleminde terimlerin aralarında yer değiştirmesi mutlak değerin sonucunu değiştirmez. Bir diğer deyişle, iki sayının sayı doğrusu üzerinde aralarındaki uzaklık işlem sırasından bağımsız olarak aynıdır.
\( \abs{x - y} = \abs{y - x} \)
\( \abs{1 - \sqrt{2}} = \abs{\sqrt{2} - 1} \)
İSPATI GÖSTER
\( \abs{x - y} = \abs{-(x - y)} = \abs{y - x} \)
Bölme İşlemi
Sonuç her iki durumda da pozitif olacağı için, iki ifadenin bölümünün mutlak değeri ifadelerin mutlak değerlerinin bölümü şeklinde yazılabilir.
\( y \ne 0 \) olmak üzere,
\( \abs{\dfrac{x}{y}} = \dfrac{\abs{x}}{\abs{y}} \)
\( \abs{\dfrac{6}{-3}} = \dfrac{\abs{6}}{\abs{-3}} = 2 \)
İSPATI GÖSTER
İSPAT 1:
İspatı \( x \) ve \( y \) değişkenlerinin işaretine göre dört durum altında inceleyelim.
Durum 1: \( x \ge 0, y \gt 0 \)
Mutlak değer içindeki bir ifade, değeri pozitif ya da sıfır ise olduğu gibi, negatif ise önüne negatif işareti eklenerek mutlak değerden çıkar.
\( x \ge 0 \) ve \( y \gt 0 \) olduğu için \( \frac{x}{y} \ge 0 \) olur.
\( \abs{\dfrac{x}{y}} = \dfrac{x}{y} \)
\( \dfrac{\abs{x}}{\abs{y}} = \dfrac{x}{y} \)
Buna göre \( \abs{\frac{x}{y}} \) ve \( \frac{\abs{x}}{\abs{y}} \) ifadeleri her \( x \ge 0 \) ve \( y \gt 0 \) için birbirine eşittir.
Durum 2: \( x \lt 0, y \lt 0 \)
\( x \lt 0 \) ve \( y \lt 0 \) olduğu için \( \frac{x}{y} \gt 0 \) olur.
\( \abs{\dfrac{x}{y}} = \dfrac{x}{y} \)
\( \dfrac{\abs{x}}{\abs{y}} = \dfrac{-x}{-y} = \dfrac{x}{y} \)
Buna göre \( \abs{\frac{x}{y}} \) ve \( \frac{\abs{x}}{\abs{y}} \) ifadeleri her \( x \lt 0 \) ve \( y \lt 0 \) için birbirine eşittir.
Durum 3: \( x \ge 0, y \lt 0 \)
\( x \ge 0 \) ve \( y \lt 0 \) olduğu için \( \frac{x}{y} \lt 0 \) olur.
\( \abs{\dfrac{x}{y}} = -\dfrac{x}{y} \)
\( \dfrac{\abs{x}}{\abs{y}} = \dfrac{x}{-y} = -\dfrac{x}{y} \)
Buna göre \( \abs{\frac{x}{y}} \) ve \( \frac{\abs{x}}{\abs{y}} \) ifadeleri her \( x \ge 0 \) ve \( y \lt 0 \) için birbirine eşittir.
Durum 4: \( x \lt 0, y \ge 0 \)
Bu durum bir önceki durumun simetriğidir ve aynı ispat bu duruma da uygulanabilir.
Buna göre \( \abs{\frac{x}{y}} \) ve \( \frac{\abs{x}}{\abs{y}} \) ifadeleri her \( x \) ve \( y \) için birbirine eşittir.
İSPAT 2:
Mutlak değerin karekök tanımını kullanalım.
\( x \in \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( \sqrt{x^2} = \abs{x} \)
Verilen ifadenin karekök tanımını yazalım.
\( y \ne 0 \) olmak üzere,
\( \abs{\dfrac{x}{y}} = \sqrt{\left( \dfrac{x}{y} \right)^2} \)
İki sayının bölümünün üssü, sayıların üslerinin bölümüne eşittir.
\( = \sqrt{\dfrac{x^2}{y^2}} \)
İki pozitif sayının bölümünün karekökü, sayıların kareköklerinin bölümüne eşittir.
\( = \dfrac{\sqrt{x^2}}{\sqrt{y^2}} \)
Her iki karekök ifadesine mutlak değer tanımını uygulayalım.
\( = \dfrac{\abs{x}}{\abs{y}} \)
Üs İşlemi
Sonuç her iki durumda da pozitif olacağı için, üslü bir ifadenin mutlak değeri mutlak değerli ifadenin üssü olarak yazılabilir.
\( \abs{x^n} = {\abs{x}}^n \)
\( \abs{5^2} = \abs{5}^2 = 25 \)
\( \abs{(-5)^2} = \abs{-5}^2 = 25 \)
Mutlak değer işleminde önemli olan mutlak değer içindeki ifadenin/değişkenin önündeki işaret değil, bu ifade/değişken gerçek değerini aldığındaki işaretidir. Bu yüzden bir \( x \) değişkeninin değerinin işareti bilinmiyorsa \( \abs{-x} \) ifadesi mutlak değerden \( x \) olarak çıkarılmamalıdır.
Aşağıdaki eşitliğin her zaman doğru olmayabileceğini bir örnek üzerinde gösterelim.
\( \abs{-x} = x \)
\( x = -3 \) verelim.
\( \abs{-(-3)} \stackrel{?}{=} -3 \)
\( \abs{3} = 3 \ne -3 \)
\( a, b, c \) sıfırdan farklı sayılar olmak üzere,
\( \abs{a + b} = \abs{a} + \abs{b} \)
\( \abs{abc} = -abc \)
olduğuna göre, aşağıdakilerden hangileri daima doğrudur?
I. \( c \) negatiftir.
II. \( \dfrac{a}{b} - c \gt 0 \)
III. \( bc \) çarpımı pozitif ise \( a \) pozitiftir.
Çözümü Göster\( \abs{a + b} = \abs{a} + \abs{b} \) olduğuna göre, \( a \) ve \( b \) aynı işaretli olmak zorundadır.
\( a \) ve \( b \) aynı işaretli olduğuna göre çarpımları pozitiftir.
Buna göre, \( \abs{abc} = -abc \) eşitliğinin sağlanması için \( c \) negatif olmalıdır.
Bu doğrultuda verilen öncülleri inceleyelim.
I. öncül:
Bu öncül daima doğrudur.
II. öncül:
\( a \) ve \( b \) aynı işaretli olduğu için \( \frac{a}{b} \) pozitiftir. \( c \) negatif işaretli olduğu için pozitif sayıdan negatif sayı çıkardığımızda sonuç pozitif olur.
Bu öncül daima doğrudur.
III. öncül:
\( bc \) pozitif ise \( b \) negatif olur. \( a \) ile \( b \) aynı işaretli olduğu için bu durumda \( a \) da negatif olur.
Bu öncül yanlıştır.
Buna göre I. ve II. öncüller daima doğrudur.
\( x \in \mathbb{Z} \) olmak üzere,
\( \abs{2x^2 - 3x - 5} \) ifadesinin alabileceği asal sayı değerlerin toplamı kaçtır?
Çözümü GösterMutlak değer ifadesini çarpanlarına ayıralım.
\( \abs{2x^2 - 3x - 5} = \abs{(2x - 5)(x + 1)} \)
İki ifadenin çarpımının mutlak değeri ifadelerin mutlak değerlerinin çarpımına eşittir.
\( = \abs{2x - 5}\abs{x + 1} \)
\( x \) tam sayı olduğu için bu iki çarpan da tam sayı olur.
Bir asal sayı yalnızca 1'e ve kendisine bölünebilir, dolayısıyla çarpımları asal sayı olan iki tam sayıdan biri mutlaka 1 olmalıdır.
Buna göre verilen ifadenin asal sayı olabilmesi için çarpanlardan biri 1, diğeri de asal sayı olmalıdır.
Durum 1:
\( \abs{2x - 5} = 1 \)
Durum 1.1:
\( 2x - 5 = 1 \)
\( x = 3 \)
\( x = 3 \) değerini ikinci çarpanda yerine koyalım.
\( \abs{3 + 1} = 4 \)
4 asal sayı olmadığı için \( x = 3 \) geçerli bir çözüm değildir.
Durum 1.2:
\( 2x - 5 = -1 \)
\( x = 2 \)
\( x = 2 \) değerini ikinci çarpanda yerine koyalım.
\( \abs{2 + 1} = 3 \)
3 asal sayı olduğu için \( x = 2 \) geçerli bir çözümdür.
Bu durumda ifadenin değeri \( 1 \cdot 3 = 3 \) olur.
Durum 2:
\( \abs{x + 1} = 1 \)
Durum 2.1:
\( x + 1 = 1 \)
\( x = 0 \)
\( x = 0 \) değerini birinci çarpanda yerine koyalım.
\( \abs{2(0) - 5} = 5 \)
5 asal sayı olduğu için \( x = 0 \) geçerli bir çözümdür.
Bu durumda ifadenin değeri \( 5 \cdot 1 = 5 \) olur.
Durum 2.2:
\( x + 1 = -1 \)
\( x = -2 \)
\( x = -2 \) değerini birinci çarpanda yerine koyalım.
\( \abs{2(-2) - 5} = 9 \)
9 asal sayı olmadığı için \( x = -2 \) geçerli bir çözüm değildir.
Buna göre verilen ifadenin alabileceği asal sayı değerlerin toplamı \( 3 + 5 = 8 \) olarak bulunur.
\( \abs{x - 1} + \abs{x - 3} + \abs{x - 5} + \ldots + \abs{x - 17} \)
ifadesinin en küçük değeri kaçtır?
Çözümü Göster\( \abs{x - a} \) ifadesi \( x \) noktasının sayı doğrusu üzerinde \( a \) noktasına olan uzaklığını verir.
\( \abs{x - a_1} + \abs{x - a_2} + \ldots + \abs{x - a_n} \) şeklindeki bir toplam ifadesi, \( x \) noktasının her bir mutlak değer ifadesini sıfır yapan \( \{a_1, a_2, \ldots, a_n\} \) noktalarına olan ayrı ayrı uzaklıklarının toplamını ifade eder.
\( n \) bir tek sayı ise, bu toplam ifadesi en küçük değerini \( a_i \) değeri \( \{a_1, a_2, \ldots, a_n\} \) kümesinin ortanca (medyan) elemanı olmak üzere \( x = a_i \) noktasında alır.
\( n \) bir çift sayı ise, bu toplam ifadesi en küçük değerini \( a_i \) ve \( a_{i+1} \) değerleri \( \{a_1, a_2, \ldots, a_n\} \) kümesinin ortanca (medyan) iki elemanı olmak üzere \( x \in [a_i, a_{i+1}] \) aralığında alır.
Verilen ifadede terim sayısı 9'dur ve bir tek sayıdır, dolayısıyla ifade en küçük değerini ortanca terim olan \( \abs{x - 9} \) terimini sıfır yapan \( x = 9 \) noktasında alır.
\( x = 9 \) için ifadenin değerini bulalım.
\( 8 + 6 + 4 + 2 + 0 + 2 + 4 + 6 + 8 = 40 \) bulunur.
\( x \) bir pozitif tam sayı olmak üzere,
\( \abs{x - 13} + \abs{x - 97} + \abs{x + 23} + \abs{x + 37} + \abs{x - 19} + \abs{x - 53} \)
ifadesinin en küçük değeri kaçtır?
Çözümü Göster\( \abs{x - a} \) ifadesi \( x \) noktasının sayı doğrusu üzerinde \( a \) noktasına olan uzaklığını verir.
\( \abs{x - a_1} + \abs{x - a_2} + \ldots + \abs{x - a_n} \) şeklindeki bir toplam ifadesi, \( x \) noktasının her bir mutlak değer ifadesini sıfır yapan \( \{a_1, a_2, \ldots, a_n\} \) noktalarına olan ayrı ayrı uzaklıklarının toplamını ifade eder.
\( n \) bir tek sayı ise, bu toplam ifadesi en küçük değerini \( a_i \) değeri \( \{a_1, a_2, \ldots, a_n\} \) kümesinin ortanca (medyan) elemanı olmak üzere \( x = a_i \) noktasında alır.
\( n \) bir çift sayı ise, bu toplam ifadesi en küçük değerini \( a_i \) ve \( a_{i+1} \) değerleri \( \{a_1, a_2, \ldots, a_n\} \) kümesinin ortanca (medyan) iki elemanı olmak üzere \( x \in [a_i, a_{i+1}] \) aralığında alır.
Verilen ifadede terim sayısı 6'dır ve bir çift sayıdır, dolayısıyla ifade en küçük değerini ortanca iki terimi sıfır yapan değerler arasındaki \( x \in [13, 19] \) aralığında alır.
\( \{ -37, -23, 13, 19, 53, 97 \} \)
Bu aralıkta bir değer olan \( x = 15 \) için ifadenin değerini bulalım.
\( 2 + 82 + 38 + 52 + 4 + 38 = 216 \) bulunur.