Mutlak Değer İşlem Kuralları

\( x \) sayısının iki olası durumu için eşitsizliğin sağlanıp sağlanmadığını kontrol edelim.

Durum 1: \( x \ge 0 \)

Bu durumda mutlak değerin içi pozitif ya da sıfır olur, dolayısıyla sayı mutlak değerden olduğu gibi çıkar.

\( \abs{x} \ge 0 \)

\( x \ge 0 \)

Bu durumda eşitsizlik sağlanır.

Durum 2: \( x \lt 0 \)

Bu durumda mutlak değerin içi negatif olur, dolayısıyla sayı mutlak değerden önünde negatif işareti ile çıkar.

\( \abs{x} \ge 0 \)

\( -x \ge 0 \)

\( x \lt 0 \)

Bu durumda eşitsizliğin sol tarafı pozitiftir, dolayısıyla eşitsizlik sağlanır.

Bir reel sayının (ya da reel değerli bir ifadenin) mutlak değeri sıfırsa o sayı sıfırdır. Bir diğer ifadeyle, sıfır noktasına uzaklığı 0 olan tek sayı sıfırdır.

\( \abs{x} = 0 \Longleftrightarrow x = 0 \)

Her reel sayı, sınırlar dahil olmak üzere, mutlak değeri ile mutlak değerinin zıt işaretlisi arasındadır.

\( -\abs{x} \le x \le \abs{x} \)

ÖRNEK:

\( -\abs{5} \le 5 \le \abs{5} \)

\( -\abs{-3} \le -3 \le \abs{-3} \)

\( -\abs{0} \le 0 \le \abs{0} \)

\( x \) sayısının iki olası durumu için eşitsizliğin sağlanıp sağlanmadığını kontrol edelim.

Durum 1: \( x \ge 0 \)

Bu durumda mutlak değerin içi pozitif ya da sıfır olur, dolayısıyla sayı mutlak değerden olduğu gibi çıkar.

\( -\abs{x} \le x \le \abs{x} \)

\( -x \le x \le x \)

Sağdaki \( x \le x \) eşitsizliği her \( x \) için sağlanır.

\( x \) pozitif olduğu için soldaki \( -x \le x \) eşitsizliğinin sol tarafı negatif, sağ tarafı pozitif olur, dolayısıyla eşitsizlik her \( x \) için sağlanır.

Durum 2: \( x \lt 0 \)

Bu durumda mutlak değerin içi negatif olur, dolayısıyla sayı mutlak değerden önünde negatif işareti ile çıkar.

\( -\abs{x} \le x \le \abs{x} \)

\( -(-x) \le x \le -x \)

\( x \le x \le -x \)

Soldaki \( x \le x \) eşitsizliği her \( x \) için sağlanır.

\( x \) negatif olduğu için sağdaki \( x \le -x \) eşitsizliğinin sol tarafı negatif, sağ tarafı pozitif olur, dolayısıyla eşitsizlik her \( x \) için sağlanır.

Buna göre eşitsizlik her durumda sağlanır.

Bir reel sayının mutlak değeri pozitif ya da sıfır olduğu için, tekrar mutlak değerinin alınması sonucu değiştirmez.

\( \abs{\abs{x}} = \abs{x} \)

\( \abs{\abs{\abs{x}}} = \abs{x} \)

ÖRNEK:

\( \abs{\abs{-3}} = \abs{3} = 3 \)

İki reel sayının farkının mutlak değeri sıfıra eşitse bu iki sayı birbirine eşittir. Bir diğer ifadeyle, iki noktanın sayı doğrusu üzerinde aralarındaki uzaklık sıfır ise bu iki sayı aynı noktaya karşılık gelir.

\( \abs{x - y} = 0 \Longleftrightarrow x = y \)

ÖRNEK:

\( \abs{x - 3} = 0 \Longleftrightarrow x = 3 \)

\( \abs{x + 5} = \abs{x - (-5)} = 0 \Longleftrightarrow x = -5 \)

Çarpma İşlemi

Sonuç her iki durumda da negatif olamayacağı için, iki ifadenin çarpımının mutlak değeri ifadelerin mutlak değerlerinin çarpımına eşittir.

\( \abs{xy} = \abs{x}\abs{y} \)

ÖRNEK:

\( \abs{-3x} = \abs{-3}\abs{x} = 3\abs{x} \)

\( \abs{x^2 - 4} = \abs{(x - 2)(x + 2)} = \abs{x - 2}\abs{x + 2} \)

İSPAT 1:

İspatı \( x \) ve \( y \) değişkenlerinin işaretine göre dört durum altında inceleyelim.

Durum 1: \( x \ge 0, y \ge 0 \)

Mutlak değer içindeki bir ifade, değeri pozitif ya da sıfır ise olduğu gibi, negatif ise önüne negatif işareti eklenerek mutlak değerden çıkar.

\( x \ge 0 \) ve \( y \ge 0 \) olduğu için \( xy \ge 0 \) olur.

\( \abs{xy} = xy \)

\( \abs{x}\abs{y} = xy \)

Buna göre \( \abs{xy} \) ve \( \abs{x}\abs{y} \) ifadeleri her \( x \ge 0 \) ve \( y \ge 0 \) için birbirine eşittir.

Durum 2: \( x \lt 0, y \lt 0 \)

\( x \lt 0 \) ve \( y \lt 0 \) olduğu için \( xy \gt 0 \) olur.

\( \abs{xy} = xy \)

\( \abs{x}\abs{y} = (-x)(-y) = xy \)

Buna göre \( \abs{xy} \) ve \( \abs{x}\abs{y} \) ifadeleri her \( x \lt 0 \) ve \( y \lt 0 \) için birbirine eşittir.

Durum 3: \( x \ge 0, y \lt 0 \)

\( x \ge 0 \) ve \( y \lt 0 \) olduğu için \( xy \le 0 \) olur.

\( \abs{xy} = -xy \)

\( \abs{x}\abs{y} = x(-y) = -xy \)

Buna göre \( \abs{xy} \) ve \( \abs{x}\abs{y} \) ifadeleri her \( x \ge 0 \) ve \( y \lt 0 \) için birbirine eşittir.

Durum 4: \( x \lt 0, y \ge 0 \)

Bu durum bir önceki durumun simetriğidir ve aynı ispat bu duruma da uygulanabilir.

Buna göre \( \abs{xy} \) ve \( \abs{x}\abs{y} \) ifadeleri her \( x \) ve \( y \) için birbirine eşittir.

İSPAT 2:

Mutlak değerin karekök tanımını kullanalım.

\( x \in \mathbb{R} \) olmak üzere,

\( \sqrt{x^2} = \abs{x} \)

Verilen ifadenin karekök tanımını yazalım.

\( \abs{xy} = \sqrt{(xy)^2} \)

İki sayının çarpımının üssü, sayıların üslerinin çarpımına eşittir.

\( = \sqrt{x^2y^2} \)

İki pozitif sayının çarpımının karekökü, sayıların kareköklerinin çarpımına eşittir.

\( = \sqrt{x^2}\sqrt{y^2} \)

Her iki karekök ifadesine mutlak değer tanımını uygulayalım.

\( = \abs{x}\abs{y} \)

Mutlak değer içindeki bir çarpanın işareti biliniyorsa bu çarpan dışarıya mutlak değeri alınarak çıkarılabilir.

ÖRNEK:

\( \abs{3x} = 3\abs{x} \)

\( \abs{-3x} = 3\abs{x} \)

Bir reel sayının kendisinin ve zıt işaretlisinin mutlak değerleri eşittir. Bir diğer ifadeyle, bir sayının kendisinin ve zıt işaretlisinin sayı doğrusu üzerinde sıfır noktasına olan uzaklıkları eşittir.

\( \abs{x} = \abs{-x} \)

ÖRNEK:

\( \abs{3} = \abs{-3} = 3 \)

\( \abs{-x} = \abs{(-1) \cdot x} = \abs{-1}\abs{x} = \abs{x} \)

Yukarıdaki kuralın bir uygulaması olarak, bir çıkarma işleminde terimlerin yer değiştirmesi mutlak değerin sonucunu değiştirmez. Bir diğer ifadeyle, iki sayının sayı doğrusu üzerinde aralarındaki uzaklık işlem sırasından bağımsız olarak aynıdır.

\( \abs{x - y} = \abs{y - x} \)

ÖRNEK:

\( \abs{1 - \sqrt{2}} = \abs{\sqrt{2} - 1} \)

\( \abs{x - y} = \abs{-(x - y)} = \abs{y - x} \)

Bölme İşlemi

Sonuç her iki durumda da negatif olamayacağı için, iki ifadenin bölümünün mutlak değeri ifadelerin mutlak değerlerinin bölümüne eşittir.

\( y \ne 0 \) olmak üzere,

\( \abs{\dfrac{x}{y}} = \dfrac{\abs{x}}{\abs{y}} \)

ÖRNEK:

\( \abs{\dfrac{6}{-3}} = \dfrac{\abs{6}}{\abs{-3}} = 2 \)

İSPAT 1:

İspatı \( x \) ve \( y \) değişkenlerinin işaretine göre dört durum altında inceleyelim.

Durum 1: \( x \ge 0, y \gt 0 \)

Mutlak değer içindeki bir ifade, değeri pozitif ya da sıfır ise olduğu gibi, negatif ise önüne negatif işareti eklenerek mutlak değerden çıkar.

\( x \ge 0 \) ve \( y \gt 0 \) olduğu için \( \frac{x}{y} \ge 0 \) olur.

\( \abs{\dfrac{x}{y}} = \dfrac{x}{y} \)

\( \dfrac{\abs{x}}{\abs{y}} = \dfrac{x}{y} \)

Buna göre \( \abs{\frac{x}{y}} \) ve \( \frac{\abs{x}}{\abs{y}} \) ifadeleri her \( x \ge 0 \) ve \( y \gt 0 \) için birbirine eşittir.

Durum 2: \( x \lt 0, y \lt 0 \)

\( x \lt 0 \) ve \( y \lt 0 \) olduğu için \( \frac{x}{y} \gt 0 \) olur.

\( \abs{\dfrac{x}{y}} = \dfrac{x}{y} \)

\( \dfrac{\abs{x}}{\abs{y}} = \dfrac{-x}{-y} = \dfrac{x}{y} \)

Buna göre \( \abs{\frac{x}{y}} \) ve \( \frac{\abs{x}}{\abs{y}} \) ifadeleri her \( x \lt 0 \) ve \( y \lt 0 \) için birbirine eşittir.

Durum 3: \( x \ge 0, y \lt 0 \)

\( x \ge 0 \) ve \( y \lt 0 \) olduğu için \( \frac{x}{y} \lt 0 \) olur.

\( \abs{\dfrac{x}{y}} = -\dfrac{x}{y} \)

\( \dfrac{\abs{x}}{\abs{y}} = \dfrac{x}{-y} = -\dfrac{x}{y} \)

Buna göre \( \abs{\frac{x}{y}} \) ve \( \frac{\abs{x}}{\abs{y}} \) ifadeleri her \( x \ge 0 \) ve \( y \lt 0 \) için birbirine eşittir.

Durum 4: \( x \lt 0, y \ge 0 \)

Bu durum bir önceki durumun simetriğidir ve aynı ispat bu duruma da uygulanabilir.

Buna göre \( \abs{\frac{x}{y}} \) ve \( \frac{\abs{x}}{\abs{y}} \) ifadeleri her \( x \) ve \( y \) için birbirine eşittir.

İSPAT 2:

Mutlak değerin karekök tanımını kullanalım.

\( x \in \mathbb{R} \) olmak üzere,

\( \sqrt{x^2} = \abs{x} \)

Verilen ifadenin karekök tanımını yazalım.

\( y \ne 0 \) olmak üzere,

\( \abs{\dfrac{x}{y}} = \sqrt{\left( \dfrac{x}{y} \right)^2} \)

İki sayının bölümünün üssü, sayıların üslerinin bölümüne eşittir.

\( = \sqrt{\dfrac{x^2}{y^2}} \)

İki pozitif sayının bölümünün karekökü, sayıların kareköklerinin bölümüne eşittir.

\( = \dfrac{\sqrt{x^2}}{\sqrt{y^2}} \)

Her iki karekök ifadesine mutlak değer tanımını uygulayalım.

\( = \dfrac{\abs{x}}{\abs{y}} \)

Üs İşlemi

Sonuç her iki durumda da negatif olamayacağı için, üslü bir ifadenin mutlak değeri mutlak değer ifadesinin üssüne eşittir.

\( x \ne 0 \) ve \( n \in \mathbb{Z} \) olmak üzere,

\( \abs{x^n} = {\abs{x}}^n \)

ÖRNEK:

\( \abs{5^2} = \abs{5}^2 = 25 \)

\( \abs{(-5)^2} = \abs{-5}^2 = 25 \)

Bir reel sayının karesinin mutlak değeri ve mutlak değerinin karesi, sayının karesine eşittir.

\( \abs{x^2} = x^2 \) eşitliği sağlanır, çünkü bir sayının karesi pozitif ya da sıfırdır, dolayısıyla bu karenin mutlak değeri kendisine eşittir.
\( \abs{x}^2 = x^2 \) eşitliği sağlanır, çünkü mutlak değer almak bir sayıyı kendisine ya da zıt işaretlisine götürür ve her iki sayının da kareleri eşit olduğundan kare almadan önce mutlak değer alınması sonucu değiştirmez.

\( x \in \mathbb{R} \) olmak üzere,

\( \abs{x^2} = \abs{x}^2 = x^2 \)

ÖRNEK:

\( \abs{(x - 2)^2} = \abs{x - 2}^2 = (x - 2)^2 \)

Mutlak değer denklemlerinde kullanılan önemli bir özelliğe göre, iki mutlak değer ifadesinin eşitliği, mutlak değer içindeki ifadelerin karelerinin eşitliğine denktir.

\( x, y \in \mathbb{R} \) olmak üzere,

\( \abs{x} = \abs{y} \Longleftrightarrow x^2 = y^2 \)

\( \abs{x} = \abs{y} \Longleftrightarrow x^2 = y^2 \)

Çift yönlü önermenin doğru olduğunu göstermek için önermenin her iki yönde sağlandığını ayrı ayrı göstermeliyiz.

1. Yön: (\( \Longrightarrow \))

\( \abs{x} = \abs{y} \Longrightarrow x^2 = y^2 \)

\( \abs{x} = \abs{y} \) olduğunu kabul edelim.

İki reel sayı birbirine eşitse sayıların kareleri de birbirine eşittir.

\( \Longrightarrow \abs{x}^2 = \abs{y}^2 \)

\( \abs{x}^2 = x^2 \) özdeşliğini kullanalım.

\( \Longrightarrow x^2 = y^2 \)

2. Yön: (\( \Longleftarrow \))

\( \abs{x} = \abs{y} \Longleftarrow x^2 = y^2 \)

\( x^2 = y^2 \) olduğunu kabul edelim.

Her iki tarafın karekökünü alalım.

\( \Longrightarrow \sqrt{x^2} = \sqrt{y^2} \)

Reel değerli bir ifadenin karesinin karekökü, ifadenin mutlak değerine eşittir.

\( \Longrightarrow \abs{x} = \abs{y} \)

Mutlak değer işleminde önemli olan mutlak değer içindeki ifadenin/değişkenin önündeki işaret değil, bu ifade/değişken gerçek değerini aldığındaki işaretidir. Bu yüzden bir \( x \) değişkeninin işareti bilinmiyorsa \( \abs{-x} \) ifadesi \( x \) olarak sadeleştirilmemelidir.

\( \abs{-x} \ne x \)

\( \abs{-x} = \abs{x} \)

ÖRNEK:

\( x = -3 \) için birinci eşitliğin sağlanmadığını gösterelim.

\( \abs{-(-3)} = \abs{3} = 3 \ne -3 \)

SORU 1 :

\( a, b, c \) sıfırdan farklı sayılar olmak üzere,

\( \abs{a + b} = \abs{a} + \abs{b} \)

\( \abs{abc} = -abc \)

olduğuna göre, aşağıdakilerden hangileri daima doğrudur?

I. \( c \) negatiftir.

II. \( \dfrac{a}{b} - c \gt 0 \)

III. \( bc \) çarpımı pozitif ise \( a \) pozitiftir.

\( \abs{a + b} = \abs{a} + \abs{b} \) olduğuna göre, \( a \) ve \( b \) aynı işaretli olmak zorundadır.

\( a \) ve \( b \) aynı işaretli olduğuna göre çarpımları pozitiftir.

Buna göre, \( \abs{abc} = -abc \) eşitliğinin sağlanması için \( c \) negatif olmalıdır.

Bu doğrultuda verilen öncülleri inceleyelim.

I. öncül:

Bu öncül daima doğrudur.

II. öncül:

\( a \) ve \( b \) aynı işaretli olduğu için \( \frac{a}{b} \) pozitiftir. \( c \) negatif işaretli olduğu için pozitif sayıdan negatif sayı çıkardığımızda sonuç pozitif olur.

Bu öncül daima doğrudur.

III. öncül:

\( bc \) pozitif ise \( b \) negatif olur. \( a \) ile \( b \) aynı işaretli olduğu için bu durumda \( a \) da negatif olur.

Bu öncül yanlıştır.

Buna göre I. ve II. öncüller daima doğrudur.

Chatbot'a canlı soru sorun Soru sorun (e-mail) Soruda hata bildirin

SORU 2 :

\( x \in \mathbb{Z} \) olmak üzere,

\( \abs{2x^2 - 3x - 5} \) ifadesinin alabileceği asal sayı değerlerin toplamı kaçtır?

Mutlak değer ifadesini çarpanlarına ayıralım.

\( \abs{2x^2 - 3x - 5} = \abs{(2x - 5)(x + 1)} \)

İki ifadenin çarpımının mutlak değeri ifadelerin mutlak değerlerinin çarpımına eşittir.

\( = \abs{2x - 5}\abs{x + 1} \)

\( x \) tam sayı olduğu için bu iki çarpan da tam sayı olur.

Bir asal sayı yalnızca 1'e ve kendisine bölünebilir, dolayısıyla çarpımları asal sayı olan iki tam sayıdan biri mutlaka 1 olmalıdır.

Buna göre verilen ifadenin asal sayı olabilmesi için çarpanlardan biri 1, diğeri de asal sayı olmalıdır.

Durum 1:

\( \abs{2x - 5} = 1 \)

Durum 1.1:

\( 2x - 5 = 1 \)

\( x = 3 \)

\( x = 3 \) değerini ikinci çarpanda yerine koyalım.

\( \abs{3 + 1} = 4 \)

4 asal sayı olmadığı için \( x = 3 \) geçerli bir çözüm değildir.

Durum 1.2:

\( 2x - 5 = -1 \)

\( x = 2 \)

\( x = 2 \) değerini ikinci çarpanda yerine koyalım.

\( \abs{2 + 1} = 3 \)

3 asal sayı olduğu için \( x = 2 \) geçerli bir çözümdür.

Bu durumda ifadenin değeri \( 1 \cdot 3 = 3 \) olur.

Durum 2:

\( \abs{x + 1} = 1 \)

Durum 2.1:

\( x + 1 = 1 \)

\( x = 0 \)

\( x = 0 \) değerini birinci çarpanda yerine koyalım.

\( \abs{2(0) - 5} = 5 \)

5 asal sayı olduğu için \( x = 0 \) geçerli bir çözümdür.

Bu durumda ifadenin değeri \( 5 \cdot 1 = 5 \) olur.

Durum 2.2:

\( x + 1 = -1 \)

\( x = -2 \)

\( x = -2 \) değerini birinci çarpanda yerine koyalım.

\( \abs{2(-2) - 5} = 9 \)

9 asal sayı olmadığı için \( x = -2 \) geçerli bir çözüm değildir.

Buna göre verilen ifadenin alabileceği asal sayı değerlerin toplamı \( 3 + 5 = 8 \) olarak bulunur.

Chatbot'a canlı soru sorun Soru sorun (e-mail) Soruda hata bildirin

SORU 3 :

\( \abs{x - 1} + \abs{x - 3} + \abs{x - 5} + \ldots + \abs{x - 17} \)

ifadesinin en küçük değeri kaçtır?

\( \abs{x - a} \) ifadesi \( x \) noktasının sayı doğrusu üzerinde \( a \) noktasına olan uzaklığını verir.

\( \abs{x - a_1} + \abs{x - a_2} + \ldots + \abs{x - a_n} \) şeklindeki bir toplam ifadesi, \( x \) noktasının her bir mutlak değer ifadesini sıfır yapan \( \{a_1, a_2, \ldots, a_n\} \) noktalarına olan ayrı ayrı uzaklıklarının toplamını ifade eder.

\( n \) bir tek sayı ise, bu toplam ifadesi en küçük değerini \( a_i \) değeri \( \{a_1, a_2, \ldots, a_n\} \) kümesinin ortanca (medyan) elemanı olmak üzere \( x = a_i \) noktasında alır.

\( n \) bir çift sayı ise, bu toplam ifadesi en küçük değerini \( a_i \) ve \( a_{i+1} \) değerleri \( \{a_1, a_2, \ldots, a_n\} \) kümesinin ortanca (medyan) iki elemanı olmak üzere \( x \in [a_i, a_{i+1}] \) aralığında alır.

Verilen ifadede terim sayısı 9'dur ve bir tek sayıdır, dolayısıyla ifade en küçük değerini ortanca terim olan \( \abs{x - 9} \) terimini sıfır yapan \( x = 9 \) noktasında alır.

\( x = 9 \) için ifadenin değerini bulalım.

\( 8 + 6 + 4 + 2 + 0 + 2 + 4 + 6 + 8 = 40 \) bulunur.

Chatbot'a canlı soru sorun Soru sorun (e-mail) Soruda hata bildirin

SORU 4 :

\( x \) bir pozitif tam sayı olmak üzere,

\( \abs{x - 13} + \abs{x - 97} + \abs{x + 23} + \abs{x + 37} + \abs{x - 19} + \abs{x - 53} \)

ifadesinin en küçük değeri kaçtır?