Aralıkların Mutlak Değer ile Gösterimi
Bazı durumlarda bir değer aralığının tek bir mutlak değer eşitsizliği ile ifade edilmesi gerekebilir. Bu şekilde bir dönüşümde mutlak değerin uzaklık tanımına ihtiyaç duyulur.
Tek Aralık
İki reel sayının arasında kalan \( [a, b] \) aralığı bir mutlak değer eşitsizliği olarak aşağıdaki şekilde ifade edilebilir.
Aralık gösterimi: \( [a, b] \)
Simetri merkezi: \( c = \dfrac{a + b}{2} \)
Aralığın yarıçapı: \( r = \dfrac{b - a}{2} \)
Mutlak değer eşitsizliği: \( \abs{x - c} \le r \)
Aralık gösterimi: \( [-3, 15] \)
Simetri merkezi: \( c = \dfrac{-3 + 15}{2} = 6 \)
Aralığın yarıçapı: \( r = \dfrac{15 - (-3)}{2} = 9 \)
Mutlak değer eşitsizliği: \( \abs{x - 6} \le 9 \)
Elde edilen bu mutlak değer eşitsizliği, \( c \) noktasına uzaklığı \( r \)'den daha küçük ya da \( r \)'ye eşit olan noktalar kümesine karşılık gelir.
\( (a, b) \) şeklinde açık bir aralık verildiyse mutlak değer eşitsizliğinde \( \lt \) sembolü kullanılır.
\( [a, b) \) ya da \( (a, b] \) şeklinde yarı açık aralıklar tek bir mutlak değer eşitsizliğiyle ifade edilemez.
İki Sınırsız Aralık
İki reel sayının dışında kalan \( (-\infty, a] \) ve \( [b, \infty) \) aralıklarının birleşimi bir mutlak değer eşitsizliği olarak aşağıdaki şekilde ifade edilebilir.
Aralık gösterimi: \( (-\infty, a] \cup [b, \infty) \)
Simetri merkezi: \( c = \dfrac{a + b}{2} \)
Aralığın yarıçapı: \( r = \dfrac{b - a}{2} \)
Mutlak değer eşitsizliği: \( \abs{x - c} \ge r \)
Aralık gösterimi: \( (-\infty, 5] \cup [33, \infty) \)
Simetri merkezi: \( c = \dfrac{5 + 33}{2} = 19 \)
Aralığın yarıçapı: \( r = \dfrac{33 - 5}{2} = 14 \)
Mutlak değer eşitsizliği: \( \abs{x - 19} \ge 14 \)
Elde edilen bu mutlak değer eşitsizliği, \( c \) noktasına uzaklığı \( r \)'den daha büyük ya da \( r \)'ye eşit olan noktalar kümesine karşılık gelir.
\( (-\infty, a) \cup (b, \infty) \) şeklinde açık bir aralık verildiyse mutlak değer eşitsizliğinde \( \gt \) sembolü kullanılır.
İki Sınırlı Aralık
Genişlikleri eşit \( [a_1, a_2] \) ve \( [b_2, b_1] \) aralıklarının birleşimi bir mutlak değer eşitsizliği olarak aşağıdaki şekilde ifade edilebilir.
\( a_2 - a_1 = b_1 - b_2 \) olmak üzere,
Aralık gösterimi: \( [a_1, a_2] \cup [b_2, b_1] \)
Simetri merkezi: \( c = \dfrac{a_1 + b_1}{2} = \dfrac{a_2 + b_2}{2} \)
Aralığın iç yarıçapı: \( r = \dfrac{b_2 - a_2}{2} \)
Aralığın dış yarıçapı: \( R = \dfrac{b_1 - a_1}{2} \)
Mutlak değer eşitsizliği: \( r \le \abs{x - c} \le R \)
Aralık gösterimi: \( [-6, 2] \cup [44, 52] \)
\( 2 - (-6) = 52 - 44 = 8 \)
Simetri merkezi: \( c = \dfrac{2 + 44}{2} = 23 \)
Aralığın iç yarıçapı: \( r = \dfrac{44 - 2}{2} = 21 \)
Aralığın dış yarıçapı: \( R = \dfrac{52 - (-6)}{2} = 29 \)
Mutlak değer eşitsizliği: \( 21 \le \abs{x - 23} \le 29 \)
Elde edilen bu mutlak değer eşitsizliği, \( c \) noktasına uzaklığı \( [r, R] \) aralığında olan noktalar kümesine karşılık gelir.
\( [1, 2] \) ve \( [6, 9] \) gibi genişlikleri farklı aralıkların birleşimi tek bir mutlak değer eşitsizliğiyle ifade edilemez.
Kan tahlili yaptıran bir kadın, sonuç tablosunda kandaki hemoglobin miktarının sağlıklı yetişkin bir kadında 125 - 155 g/L aralığında olması gerektiğini okuyor.
Bu aralığı bir mutlak değer eşitsizliği şeklinde yazınız.
Çözümü GösterKandaki hemoglogin miktarına \( x \) diyelim.
Kandaki hemoglogin miktarının referans aralığı aşağıda sayı doğrusu üzerinde gösterilmiştir. Buna göre, yetişkin bir kadının kanında olması gereken değerler \( [125, 155] \) g/L kapalı aralığında 30 g/L'lik bir aralığa karşılık gelmektedir.
\( 125 \le x \le 155 \)
\( c \) aralığın orta noktası, \( r \) aralığın yarıçapı olmak üzere, verilen aralık mutlak değer eşitsizliği olarak aşağıdaki şekilde ifade edilir.
\( \abs{x - c} \le r \)
\( c = \dfrac{125 + 155}{2} = 140 \)
\( r = \dfrac{155 - 125}{2} = 15 \)
Aralığı mutlak değer eşitsizliği şeklinde yazalım.
\( \abs{x - 140} \le 15 \)
Elde ettiğimiz bu eşitsizlik sayı doğrusu üzerinde 140 noktasına uzaklığı 15 birim ya da daha az olan noktalar kümesine karşılık gelir.
Bu eşitsizliği sayı doğrusu üzerinde aşağıdaki şekilde gösterebiliriz.
Japon takımyıldızı süs bitkisi en az \( 6° \) C, en fazla \( 9° \) C sıcaklıkta yetiştirilebilen bir bitkidir.
Bu bitkinin yetiştirilebileceği sıcaklık aralığını mutlak değer eşitsizliği şeklinde yazınız.
Çözümü GösterOrtam sıcaklığına \( x \) diyelim.
Bitkinin yetiştirilebileceği sıcaklık aralığı aşağıdaki şekilde ifade edilir.
\( 6 \le x \le 9 \)
\( c \) aralığın orta noktası, \( r \) aralığın yarıçapı olmak üzere, verilen aralık mutlak değer eşitsizliği olarak aşağıdaki şekilde ifade edilir.
\( \abs{x - c} \le r \)
\( c = \dfrac{6 + 9}{2} = 7,5 \)
\( r = \dfrac{9 - 6}{2} = 1,5 \)
Aralığı mutlak değer eşitsizliği şeklinde yazalım.
\( \abs{x - 7,5} \le 1,5 \)
Elde ettiğimiz bu eşitsizlik sayı doğrusu üzerinde \( 7,5 \) noktasına uzaklığı \( 1,5 \) birim ya da daha az olan noktalar kümesine karşılık gelir.
Bir bebek odasının nem oranı \( [\%38, \%60] \) aralığında bulunmalıdır.
Bir odadaki nem oranını düzenleyen bir cihazın ayarlanması gereken nem oran aralığını mutlak değer eşitsizliği şeklinde yazınız.
Çözümü GösterOdanın nem oranına \( x \) diyelim.
Odanın bulunması gereken nem aralığı aşağıdaki şekilde ifade edilir.
\( 0,38 \le x \le 0,60 \)
\( c \) aralığın orta noktası, \( r \) aralığın yarıçapı olmak üzere, verilen aralık mutlak değer eşitsizliği olarak aşağıdaki şekilde ifade edilir.
\( \abs{x - c} \le r \)
\( c = \dfrac{0,38 + 0,60}{2} = 0,49 \)
\( r = \dfrac{0,60 - 0,38}{2} = 0,11 \)
Aralığı mutlak değer eşitsizliği şeklinde yazalım.
\( \abs{x - 0,49} \le 0,11 \)
Elde ettiğimiz bu eşitsizlik sayı doğrusu üzerinde \( 0,49 \) noktasına uzaklığı \( 0,11 \) birim ya da daha az olan noktalar kümesine karşılık gelir.
Sayı doğrusu üzerindeki \( 4x - 1 \) ve \( 35 \) sayıları arasındaki uzaklık \( 12 \) birimden az olduğuna göre, \( x \) değer aralığını bulunuz.
Çözümü Göster\( x \) sayısının sayı doğrusu üzerinde \( y \) sayısına uzaklığı \( \abs{x - y} \) ile ifade edilir.
Buna göre soruda verilen eşitsizliği aşağıdaki şekilde yazabiliriz.
\( \abs{(4x - 1) - 35} \lt 12 \)
\( \abs{4x - 36} \lt 12 \)
Mutlak değer içindeki pozitif çarpanlar mutlak değer dışına çıkarılabilir.
\( 4\abs{x - 9} \lt 12 \)
\( \abs{x - 9} \lt 3 \)
\( -3 \lt x - 9 \lt 3 \)
\( 6 \lt x \lt 12 \)
Hacmi \( 350 \text{ cm}^3 \) olan bir tahta parçasının kütlesi \( 245 \pm 35 \) gramdır.
\( d \) tahtanın özkütlesi olmak üzere, aşağıdaki ifadelerden hangileri doğrudur?
I. Tahtanın özkütlesinin en büyük değeri \( 0,8 \text{ g/cm}^3 \) olur.
II. Tahtanın özkütlesinin en küçük değeri \( 0,5 \text{ g/cm}^3 \) olur.
III. Tahtanın özkütlesinin değer aralığı \( \abs{d - 0,7} \le 0,1 \) olur.
Çözümü GösterBir maddenin özkütlesi maddenin kütlesinin hacmine oranına eşittir.
Tahtanın özkütlesinin en büyük değerini bulmak için kütlesinin en büyük değerini hacmine bölelim.
\( d_{maks} = \dfrac{245 + 35}{350} = 0,8 \text{ g/cm}^3 \)
Tahtanın özkütlesinin en küçük değerini bulmak için kütlesinin en küçük değerini hacmine bölelim.
\( d_{min} = \dfrac{245 - 35}{350} = 0,6 \text{ g/cm}^3 \)
Tahtanın özkütlesinin değer aralığını aşağıdaki şekilde yazabiliriz.
\( 0,6 \le d \le 0,8 \)
Eşitsizliğin taraflarından aralığın alt ve üst uç değerlerinin ortalamasını çıkaralım.
\( -0,1 \le d - 0,7 \le 0,1 \)
Eşitsizliğin alt ve üst uç değerleri aynı sayının zıt işaretlisi olduğu için ifadeyi bir mutlak değer eşitsizliği şeklinde yazabiliriz.
\( \abs{d - 0,7} \le 0,1 \)
Buna göre I. ve III. öncüller doğrudur.
Bir manifaturacıda puanlı ve puansız olmak üzere iki tür kumaş vardır. Puansız kumaşların fiyatı 20 TL ile 80 TL arasında değişirken puanlı kumaşların fiyatı 100 TL ile 160 TL arasında değişmektedir.
Bu manifaturacıdaki puanlı ve puansız tüm kumaşların fiyat aralığını bir mutlak değer eşitsizliği şeklinde yazınız.
Çözümü GösterHer iki kumaş türü için fiyat aralıklarını yazalım.
Puansız kumaşın fiyatına \( m \) diyelim.
\( 20 \le m \le 80 \)
Puanlı kumaşın fiyatına \( n \) diyelim.
\( 100 \le n \le 160 \)
İki eşitsizliğin de aralık genişlikleri eşit olduğu için ifadeyi tek bir mutlak değer ifadesi şeklinde yazabiliriz.
Aralıklar eşit uzunlukta oldukları için iç sınır değerlerinin orta noktası dış sınır değerlerinin orta noktası ile aynıdır.
\( c \) aralığın orta noktası, \( r \) aralığın iç yarıçapı, \( R \) de aralığın dış yarıçapı olmak üzere, verilen aralık mutlak değer eşitsizliği olarak aşağıdaki şekilde ifade edilir.
\( r \le \abs{x - c} \le R \)
\( c = \dfrac{160 + 20}{2} = \dfrac{100 + 80}{2} = 90 \)
\( r = \dfrac{100 - 80}{2} = 10 \)
\( R = \dfrac{160 - 20}{2} = 70 \)
Aralığı mutlak değer eşitsizliği şeklinde yazalım.
\( 10 \le \abs{x - 90} \le 70 \)
Elde ettiğimiz bu eşitsizlik sayı doğrusu üzerinde \( 90 \) noktasına uzaklığı \( [10, 70] \) aralığında olan noktalar kümesine karşılık gelir.