Bir Değer Aralığının Mutlak Değer Olarak İfadesi
Bazı durumlarda verilen bir değer aralığını mutlak değer eşitsizliğine dönüştürmemiz gerekebilir. Bu tip aralıklar üç farklı şekilde olabilir.
Tek Aralık
İki reel sayının arasında kalan \( [c_1, c_2] \) kapalı aralığı bir mutlak değer eşitsizliğine aşağıdaki şekilde çevrilebilir.
Aralık: \( c_1 \le x \le c_2 \)
Aralığın orta noktası: \( m = \dfrac{c_1 + c_2}{2} \)
Aralığın uç noktalarının orta noktaya uzaklığı: \( a = \dfrac{c_2 - c_1}{2} \)
Mutlak değer eşitsizliği: \( \abs{x - m} \le a \)
Elde edilen bu mutlak değer eşitsizliği, \( m \) noktasına uzaklığı \( a \)'dan küçük ya da \( a \)'ya eşit olan noktalar kümesine karşılık gelir.
İki Sınırsız Aralık
İki reel sayının dışında kalan \( (-\infty, c_1] \cup [c_2, \infty) \) yarı kapalı aralıkları bir mutlak değer eşitsizliğine aşağıdaki şekilde çevrilebilir.
Aralık: \( (x \le c_1) \cup (c_2 \le x) \)
Aralığın orta noktası: \( m = \dfrac{c_1 + c_2}{2} \)
Aralığın uç noktalarının orta noktaya uzaklığı: \( a = \dfrac{c_2 - c_1}{2} \)
Mutlak değer eşitsizliği: \( \abs{x - m} \ge a \)
Elde edilen bu mutlak değer eşitsizliği, \( m \) noktasına uzaklığı \( a \)'dan büyük ya da \( a \)'ya eşit olan noktalar kümesine karşılık gelir.
İki Sınırlı Aralık
Uzunlukları eşit iki farklı aralıktan oluşan \( [c_1, c_2] \cup [c_3, c_4] \) kapalı aralıkları bir mutlak değer eşitsizliğine aşağıdaki şekilde çevrilebilir.
Aralık: \( (c_1 \le x \le c_2) \cup (c_3 \le x \le c_4) \)
Aralığın orta noktası: \( m = \dfrac{c_1 + c_4}{2} = \dfrac{c_2 + c_3}{2} \)
Aralığın iç uç noktalarının orta noktaya uzaklığı: \( a = \dfrac{c_3 - c_2}{2} \)
Aralığın dış uç noktalarının orta noktaya uzaklığı: \( b = \dfrac{c_4 - c_1}{2} \)
Mutlak değer eşitsizliği: \( a \le \abs{x - m} \le b \)
Elde edilen bu mutlak değer eşitsizliği, \( m \) noktasına uzaklığı \( a \) ve \( b \) kapalı aralığında olan noktalar kümesine karşılık gelir.
Sayı doğrusu üzerindeki \( 4x - 1 \) ve \( 35 \) sayıları arasındaki uzaklık \( 12 \) birimden azdır.
Buna göre \( x \) hangi değer aralığında bulunur?
Çözümü GösterBir \( x \) sayısının sayı doğrusu üzerinde \( y \) sayısına uzaklığı \( \abs{x - y} \) ile ifade edilir.
Buna göre soruda verilen eşitsizliği aşağıdaki şekilde yazabiliriz.
\( \abs{(4x - 1) - 35} \lt 12 \)
\( \abs{4x - 36} \lt 12 \)
Mutlak değer içindeki pozitif çarpanlar mutlak değer dışına çıkarılabilir.
\( 4\abs{x - 9} \lt 12 \)
\( \abs{x - 9} \lt 3 \)
\( -3 \lt x - 9 \lt 3 \)
\( 6 \lt x \lt 12 \)
Çözüm kümesi: \( x \in (6, 12) \)
Kan tahlili yaptıran bir kişi, sonuç tablosunda kandaki hemoglobin miktarının sağlıklı yetişkin bir kadında 125 - 155 g/L aralığında olması gerektiğini okuyor. Bu aralığı bir mutlak değer eşitsizliği şeklinde yazınız.
Çözümü GösterKandaki hemoglogin miktarının referans aralığı aşağıda sayı doğrusunda gösterilmiştir. Buna göre, yetişkin bir kadının kanında olması gereken değerler \( [125, 155] \) g/L kapalı aralığında 30 g/L'lik bir aralığa karşılık gelmektedir.
Bu aralığı bir mutlak değer eşitsizliğine çevirelim.
\( 125 \le x \le 155 \)
Aralığın orta noktasını bulalım.
\( m = \dfrac{125 + 155}{2} = 140 \)
Aralığın sınır değerlerinin orta noktaya uzaklığını bulalım.
\( a = \dfrac{155 - 125}{2} = 15 \)
Mutlak değer eşitsizliğini yazalım.
\( \abs{x - 140} \le 15 \)
Elde ettiğimiz bu eşitsizlik aynı zamanda sayı doğrusunda 140 noktasına uzaklığı 15 birim ya da daha az olan noktalar kümesine karşılık gelmektedir. Bu eşitsizliği sayı doğrusu üzerinde aşağıdaki şekilde gösterebiliriz.
Japon takımyıldızı süs bitkisi en az \( 6° \) C, en fazla \( 9° \) C sıcaklıkta yetiştirilebilen bir bitkidir.
Bu bitkinin yetiştirilebileceği sıcaklık aralığını mutlak değerli ifade şeklinde yazın.
Çözümü GösterOrtam sıcaklığına \( x \) dersek bitkinin yetiştirilebileceği sıcaklık aralığı \( 6 \le x \le 9 \) olur.
Bu aralığın orta noktasını bulalım.
\( \dfrac{6 + 9}{2} = \dfrac{15}{2} = 7,5 \)
Aralığın uç noktalarının orta noktaya uzaklığını bulalım.
\( \dfrac{9 - 6}{2} = 1,5 \)
Bu durumda bitkinin yetiştirilebileceği sıcaklık aralığını aşağıdaki şekilde ifade edebiliriz.
\( \abs{x - 7,5} \le 1,5 \)
Bu eşitsizliği mutlak değerin uzaklık tanımını kullanarak sayı doğrusu üzerinde \( x = 7,5 \) noktasına uzaklığı \( 1,5 \)'tan küçük ya da ona eşit olan noktalar kümesi şeklinde ifade edebiliriz.
Sayı doğrusu üzerindeki \( x \) tam sayısının \( -6 \) sayısı ile \( 3 \) sayısına uzaklıkları toplamı \( 15 \)'tir.
Buna göre \( x \) tam sayısının alabileceği değerler toplamı kaçtır?
Çözümü GösterBir \( x \) sayısının sayı doğrusu üzerinde \( y \) sayısına uzaklığı \( \abs{x - y} \) ile ifade edilir.
Buna göre soruda verilen uzaklıklar toplamını aşağıdaki şekilde ifade edebiliriz.
\( \abs{x + 6} + \abs{x - 3} = 15 \)
Her bir mutlak değerli ifadeyi sıfır yapan \( x \) değerleri denklemin kritik noktalarıdır.
Buna göre \( x = -6 \) ve \( x = 3 \) denklemin kritik noktalarıdır.
Mutlak değerli denklemler kritik noktalar arasında kalan her bir aralık için ayrı ayrı çözülür.
Durum 1: \( x \lt -6 \)
Bu aralıkta her iki mutlak değerli ifade de negatif olur, dolayısıyla mutlak değerden negatif işaretli çıkar.
\( -(x + 6) - (x - 3) = 15 \)
\( -2x - 3 = 15 \)
\( x = -9 \)
Bulduğumuz değer denklemi çözdüğümüz \( x \lt -6 \) aralığında olduğu için geçerli bir çözümdür.
Durum 2: \( -6 \le x \lt 3 \)
Bu aralıkta \( x + 6 \) ifadesi pozitif, \( x - 3 \) ifadesi negatif olur, dolayısıyla birinci ifade mutlak değerden olduğu gibi, ikinci ifade negatif işaretli çıkar.
\( (x + 6) - (x - 3) = 15 \)
\( 9 = 15 \)
Elde ettiğimiz eşitlik herhangi bir \( x \) değeri için sağlanmadığı için bu aralıkta geçerli bir çözüm yoktur.
Durum 3: \( 3 \le x \)
Bu aralıkta her iki mutlak değerli ifade de pozitif olur, dolayısıyla mutlak değerden olduğu gibi çıkar.
\( (x + 6) + (x - 3) = 15 \)
\( 2x + 3 = 15 \)
\( x = 6 \)
Bulduğumuz değer denklemi çözdüğümüz \( 3 \le x \) aralığında olduğu için geçerli bir çözümdür.
Çözüm kümesi: \( x \in \{-9, 6\} \)
Buna göre \( x \)'in alabileceği değerler toplamı \( -9 + 6 = -3 \) olur.
\( -1 \) sayısının \( a \) noktasına uzaklığı 7 birim, \( a \) noktasının \( b \) noktasına uzaklığı \( 11 \) birimdir.
Buna göre \( b \)'nin alabileceği farklı tam sayı değerlerinin toplamı kaçtır?
Çözümü GösterBir \( x \) sayısının sayı doğrusu üzerinde \( y \) sayısına uzaklığı \( \abs{x - y} \) ile ifade edilir.
Buna göre soruda verilen birinci uzaklığı aşağıdaki şekilde ifade edebiliriz.
\( \abs{a - (-1)} = \abs{a + 1} = 7 \)
Bu denklemin iki çözümü vardır.
\( a + 1 = 7 \Longrightarrow a = 6 \)
\( a + 1 = -7 \Longrightarrow a = -8 \)
Soruda verilen ikinci uzaklığı aşağıdaki şekilde ifade edebiliriz.
\( \abs{a - b} = 11 \)
Yukarıda bulduğumuz iki \( a \) değeri için bu eşitliği \( b \) için ayrı ayrı çözelim.
Durum 1: \( a = 6 \)
\( \abs{6 - b} = 11 \)
Bu denklemin iki çözümü vardır.
\( 6 - b = 11 \Longrightarrow b = -5 \)
\( 6 - b = -11 \Longrightarrow b = 17 \)
Durum 2: \( a = -8 \)
\( \abs{-8 - b} = 11 \)
Bu denklemin iki çözümü vardır.
\( -8 - b = 11 \Longrightarrow b = -19 \)
\( -8 - b = -11 \Longrightarrow b = 3 \)
Çözüm kümesi: \( b \in \{-19, -5, 3, 17\} \)
Buna göre \( b \)'nin alabileceği değerler toplamı \( -19 + (-5) + 3 + 17 = -4 \) olarak bulunur.
\( k \in \mathbb{Z} \) olmak üzere,
Sayı doğrusu üzerindeki \( A(7) \) ve \( B(k + 4) \) noktaları arasındaki uzaklık, \( A(7) \) ve \( C(k + 10) \) noktaları arasındaki uzaklığın 3 katı olduğuna göre, \( k \) kaçtır?
Çözümü GösterBir \( x \) sayısının sayı doğrusu üzerinde \( y \) sayısına uzaklığı \( \abs{x - y} \) ile ifade edilir.
\( A \) ve \( B \) noktaları arasındaki uzaklık aşağıdaki şekilde ifade edilir.
\( \abs{(k + 4) - 7} = \abs{k - 3} \)
\( A \) ve \( C \) noktaları arasındaki uzaklık aşağıdaki şekilde ifade edilir.
\( \abs{(k + 10) - 7} = \abs{k + 3} \)
Bu iki ifade arasında aşağıdaki ilişki verilmiştir.
\( \abs{k - 3} = 3\abs{k + 3} \)
Bu denklem iki durumda sağlanır.
Durum 1:
\( k - 3 = 3k + 9 \)
\( 2k = -12 \)
\( k = -6 \)
Durum 2:
\( k - 3 = -(3k + 9) \)
\( 4k = -6 \)
\( k = -\dfrac{3}{2} \)
\( k \) bir tam sayı olduğu için bu değer geçerli bir çözüm değildir.
Buna göre \( k = -6 \) bulunur.
Bir manifaturacıda puanlı ve puansız olmak üzere iki tür kumaş vardır. Puansız kumaşların fiyatı 20 TL ile 80 TL arasında değişirken puanlı kumaşların fiyatı 100 TL ile 160 TL arasında değişmektedir.
Bu manifaturacıdaki kumaşların fiyat aralığını gösteren mutlak değerli ifade nasıl yazılır?
Çözümü GösterÖnce her iki kumaş türü için fiyat aralıklarını yazalım.
Puansız kumaşın fiyatına \( m \) diyelim.
\( 20 \le m \le 80 \)
Puanlı kumaşın fiyatına \( n \) diyelim.
\( 100 \le n \le 160 \)
Verilen eşitsizliklerin kapalı aralıkları eşit uzunlukta olduğu için ifadeyi tek bir mutlak değerli ifade şeklinde yazabiliriz.
Aralıklar eşit uzunlukta oldukları için iç sınır değerlerinin orta noktası dış sınır değerlerinin orta noktası ile aynıdır.
İç ve dış sınır değerlerinin orta noktasını bulalım.
\( \dfrac{160 + 20}{2} = \dfrac{100 + 80}{2} = 90 \)
İç sınır değerlerinin orta noktaya uzaklığını bulalım.
\( \abs{100 - 90} = \abs{80 - 90} = 10 \)
Dış sınır değerlerinin orta noktaya uzaklığını bulalım.
\( \abs{160 - 90} = \abs{20 - 90} = 70 \)
Bu durumda hem puanlı hem de puansız kumaşların fiyatlarını içeren fiyat aralığı mutlak değerli ifade şeklinde aşağıdaki gibi yazılabilir.
\( 10 \le \abs{x - 90} \le 70 \)
Bu eşitsizliği mutlak değerin uzaklık tanımını kullanarak sayı doğrusu üzerinde \( x = 90 \) noktasına uzaklığı \( [10, 70] \) aralığında olan noktalar kümesi şeklinde ifade edebiliriz.
Bir bebek odasının nem oranı \( [\%38, \%60] \) aralığında bulunmalıdır.
Bir odadaki nem oranını düzenleyen bir cihazın ayarlanması gereken nem oran aralığı mutlak değerli ifade şeklinde nasıl yazılır?
Çözümü Gösterİstenen nem aralığını mutlak değerli ifadeye dönüştürelim.
\( [38, 60] \) aralığının orta noktası: \( \dfrac{38 + 60}{2} = 49 \)
Bu aralığın uç noktalarının orta noktaya uzaklığı: \( \dfrac{60 - 38}{2} = 11 \)
Bu aralık mutlak değerli ifade şeklinde aşağıdaki gibi yazılır.
\( \abs{x - 49} \le 11 \)
Bu eşitsizliği mutlak değerin uzaklık tanımını kullanarak sayı doğrusu üzerinde \( x = 49 \) noktasına uzaklığı \( 11 \)'den küçük ya da ona eşit olan noktalar kümesi şeklinde ifade edebiliriz.
\( x \) değişkeni doğrusal 1000 metrelik bir yolda 0 noktasından atılan bir okun konumunu belirtmektedir.
Ok \( \abs{x - 600} \gt 250 \) eşitsizliğinin sağlandığı noktalarda dikey yönde \( 0,5 \) m/s hızında rüzgara maruz kalmaktadır.
Okun yatay hızı 100 m/s olduğuna göre, toplam sapma miktarı kaç metredir?
Çözümü GösterVerilen eşitsizliği mutlak değer kurallarına göre çözelim.
Durum 1:
\( x - 600 \gt 250 \Longrightarrow x \gt 850 \)
Durum 2:
\( x - 600 \lt - 250 \Longrightarrow x \lt 350 \)
Bu durumda doğrusal yolun \( (0, 350) \) ve \( (850, 1000) \) aralıklarında oka dikey yönde rüzgar etki etmektedir.
Okun rüzgara maruz kaldığı bu 500 metrelik yatay mesafeyi ne kadar sürede gideceğini hesaplayalım.
Yol = Hız x Zaman
\( 500 = 100 \cdot t \)
\( t = 5 \) saniye
1 saniyede \( 0,5 \) metre sapmaya neden olan rüzgar 5 saniyede \( 0,5 \cdot 5 = 2,5 \) metre sapmaya neden olur.
Hacmi \( 350 \text{ cm}^3 \) olan bir tahta parçasının kütlesi \( 245 \pm 35 \) gramdır.
\( d \) tahtanın özkütlesi olmak üzere, aşağıdaki ifadelerden hangileri doğrudur?
I. Tahtanın özkütlesinin en büyük değeri \( 0,8 \text{ g/cm}^3 \) olur.
II. Tahtanın özkütlesinin en küçük değeri \( 0,5 \text{ g/cm}^3 \) olur.
III. Tahtanın özkütlesinin değer aralığı \( \abs{d - 0,7} \le 0,1 \) olur.
Çözümü GösterBir maddenin özkütlesi maddenin kütlesinin hacmine oranına eşittir.
Tahtanın özkütlesinin en büyük değerini bulmak için kütlesinin en büyük değerini hacmine bölelim.
\( d_{maks} = \dfrac{245 + 35}{350} = 0,8 \text{ g/cm}^3 \)
Tahtanın özkütlesinin en küçük değerini bulmak için kütlesinin en küçük değerini hacmine bölelim.
\( d_{min} = \dfrac{245 - 35}{350} = 0,6 \text{ g/cm}^3 \)
Tahtanın özkütlesinin değer aralığını aşağıdaki şekilde yazabiliriz.
\( 0,6 \le d \le 0,8 \)
Eşitsizliğin taraflarından aralığın alt ve üst uç değerlerinin ortalamasını çıkaralım.
\( -0,1 \le d - 0,7 \le 0,1 \)
Eşitsizliğin alt ve üst uç değerleri aynı sayının ters işaretlisi olduğu için ifadeyi mutlak değerli bir eşitsizlik şeklinde yazabiliriz.
\( \abs{d - 0,7} \le 0,1 \)
Buna göre I. ve III. öncüller doğrudur.
Eda aklından \( \sqrt{n} \) sayısının sayı doğrusu üzerinde \( -2 \)'ye olan uzaklığı 4'ten az olacak şekilde bir \( n \) tam sayısı düşünüyor.
Buna göre, \( n \) tam sayısının alabileceği kaç farklı değer vardır?
Çözümü GösterBir \( x \) sayısının sayı doğrusu üzerinde \( y \) sayısına uzaklığı \( \abs{x - y} \) ile ifade edilir.
\( \abs{\sqrt{n} - (-2)} \lt 4 \)
\( \abs{\sqrt{n} + 2} \lt 4 \)
İfadeyi mutlak değerden kurtaralım.
\( -4 \lt \sqrt{n} + 2 \lt 4 \)
\( -6 \lt \sqrt{n} \lt 2 \)
Eşitsizliğin taraflarının karesini alalım. Bu aralık sıfırı içerdiği için elde ettiğimiz eşitsizliğin alt sınırı "küçük eşittir" olur.
\( 0 \le n \lt 36 \)
Buna göre, \( n \) tam sayısı \( 35 - 0 + 1 = 36 \) farklı değer alabilir.
\( k, l, m, n \in \mathbb{Z} \) olmak üzere,
\( \abs{k - l} = 1 \)
\( \abs{l - m} = 3 \)
\( \abs{m - n} = 2 \)
olduğuna göre, \( \abs{k - n} \) ifadesinin alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?
Çözümü GösterBu sorunun çözümünde iki farklı yöntem kullanılabilir.
1. yöntem:
Denklemleri \( n \) cinsinden yazarak farklı \( \abs{k - n} \) ifadelerine ulaşalım.
Denklem 1: \( m_1 - n = 2 \Longrightarrow m_1 = n + 2 \)
Denklem 1.1: \( l_1 - m_1 = 3 \Longrightarrow l_1 - n - 2 = 3 \Longrightarrow l_1 = n + 5 \)
Denklem 1.2: \( l_2 - m_1 = -3 \Longrightarrow l_2 - n - 2 = -3 \Longrightarrow l_2 = n - 1 \)
Denklem 1.1.1: \( k_1 - l_1 = 1 \Longrightarrow k_1 - n - 5 = 1 \Longrightarrow k_1 - n = 6 \)
Denklem 1.1.2: \( k_2 - l_1 = -1 \Longrightarrow k_2 - n - 5 = -1 \Longrightarrow k_2 - n = 4 \)
Denklem 1.2.1:\( k_3 - l_2 = 1 \Longrightarrow k_3 - n + 1 = 1 \Longrightarrow k_3 - n = 0 \)
Denklem 1.2.2: \( k_4 - l_2 = -1 \Longrightarrow k_4 - n + 1 = -1 \Longrightarrow k_4 - n = -2 \)
Denklem 2: \( m_2 - n = -2 \Longrightarrow m_2 = n - 2 \)
Denklem 2.1: \( l_3 - m_2 = 3 \Longrightarrow l_3 - n + 2 = 3 \Longrightarrow l_3 = n + 1 \)
Denklem 2.2: \( l_4 - m_2 = -3 \Longrightarrow l_4 - n + 2 = -3 \Longrightarrow l_4 = n - 5 \)
Denklem 2.1.1: \( k_5 - l_3 = 1 \Longrightarrow k_5 - n - 1 = 1 \Longrightarrow k_5 - n = 2 \)
Denklem 2.1.2: \( k_6 - l_3 = -1 \Longrightarrow k_6 - n - 1 = -1 \Longrightarrow k_6 - n = 0 \)
Denklem 2.2.1: \( k_7 - l_4 = 1 \Longrightarrow k_7 - n + 5 = 1 \Longrightarrow k_7 - n = -4 \)
Denklem 2.2.2: \( k_8 - l_4 = -1 \Longrightarrow k_8 - n + 5 = -1 \Longrightarrow k_8 - n = -6\)
Buna göre farklı \( k - n \) değerleri \( \{-6, -4, -2, 0, 2, 4, 6\} \) olur.
Soruda istenen \( \abs{k - n} \) olduğuna göre, bu ifadenin alabileceği farklı değerler \( {0, 2, 4, 6} \) olur.
Bu değerlerin toplamı \( 0 + 2 + 4 + 6 = 12 \) olarak bulunur.
2. yöntem:
Sayı doğrusu üzerinde temsili bir \( n \) değeri belirleyelim ve bu değere 2 birim uzaklıktaki \( m \) değerlerini işaretleyelim.
Daha sonra bulunan \( m \) değerlerine 3 birim uzaklıktaki \( l \) değerlerini işaretleyelim.
Son olarak bulunan \( l \) değerlerine 1 birim uzaklıktaki \( k \) değerlerini işaretleyelim.
Elde ettiğimiz sayı doğrusu üzerinde \( n \) noktası ile bulduğumuz farklı \( k \) noktalar arasındaki uzaklıkları hesapladığımızda yukarıdaki çözümle aynı sonucu elde ederiz.
