Mutlak Değer Denklemleri

(a) seçeneği:

\( \abs{-2x} = -2x \)

Mutlak değer içindeki ifade mutlak değerden olduğu gibi çıktığına göre değeri pozitif ya da sıfırdır.

\( -2x \ge 0 \)

\( x \le 0 \)

(b) seçeneği:

\( \abs{2 - 5x} = 5x - 2 = -(2 - 5x) \)

Mutlak değer içindeki ifade mutlak değerden negatif işaretli çıktığına göre değeri negatif ya da sıfırdır.

\( 2 - 5x \le 0 \)

\( x \ge \dfrac{2}{5} \)

(c) seçeneği:

\( \abs{-8 + 3x} = 3x - 8 = -8 + 3x \)

Mutlak değer içindeki ifade mutlak değerden olduğu gibi çıktığına göre değeri pozitif ya da sıfırdır.

\( -8 + 3x \ge 0 \)

\( x \ge \dfrac{8}{3} \)

(a) seçeneği:

\( \abs{3x - 6} = 9 \)

Mutlak değer içindeki ifadenin alabileceği iki farklı değer için denklemi ayrı ayrı çözelim.

Durum 1:

\( 3x - 6 = 9 \)

\( x = 5 \)

Durum 2:

\( 3x - 6 = -9 \)

\( x = -1 \)

Denklemin çözüm kümesi her durum için bulduğumuz çözümlerin birleşiminden oluşur.

Çözüm kümesi: \( \{ -1, 5 \} \)

(b) seçeneği:

\( \abs{2x + 8} = 0 \)

Bir mutlak değer ifadesi ancak ve ancak içindeki ifade sıfır olduğunda sıfıra eşittir.

\( 2x + 8 = 0 \)

\( x = -4 \)

Çözüm kümesi: \( \{ -4 \} \)

(c) seçeneği:

\( \abs{5x - 4} = -3 \)

Bir mutlak değer ifadesinin sonucu reel sayılarda negatif olamaz.

Dolayısıyla bu denklemi sağlayan herhangi bir \( x \) reel sayısı yoktur.

Çözüm kümesi: \( \emptyset \)

(a) seçeneği:

\( \abs{x^2 - 4} = 2 \)

Mutlak değer içindeki ifadenin alabileceği iki farklı değer için denklemi ayrı ayrı çözelim.

Durum 1:

\( x^2 - 4 = 2 \)

\( x^2 = 6 \)

\( x = \pm \sqrt{6} \)

Durum 2:

\( x^2 - 4 = -2 \)

\( x^2 = 2 \)

\( x = \pm \sqrt{2} \)

Denklemin çözüm kümesi her durum için bulduğumuz çözümlerin birleşiminden oluşur.

Çözüm kümesi: \( \{ -\sqrt{6}, -\sqrt{2}, \sqrt{2}, \sqrt{6} \} \)

(b) seçeneği:

\( \abs{x^2 - 4} = 4 \)

Mutlak değer içindeki ifadenin alabileceği iki farklı değer için denklemi ayrı ayrı çözelim.

Durum 1:

\( x^2 - 4 = 4 \)

\( x^2 = 8 \)

\( x = \pm 2\sqrt{2} \)

Durum 2:

\( x^2 - 4 = -4 \)

\( x^2 = 0 \)

\( x = 0 \)

Denklemin çözüm kümesi her durum için bulduğumuz çözümlerin birleşiminden oluşur.

Çözüm kümesi: \( \{ -2\sqrt{2}, 0, 2\sqrt{2} \} \)

(c) seçeneği:

\( \abs{x^2 - 4} = 6 \)

Mutlak değer içindeki ifadenin alabileceği iki farklı değer için denklemi ayrı ayrı çözelim.

Durum 1:

\( x^2 - 4 = 6 \)

\( x^2 = 10 \)

\( x = \pm \sqrt{10} \)

Durum 2:

\( x^2 - 4 = -6 \)

\( x^2 = -2 \)

Bir reel sayının karesi negatif olamayacağından bu durumda reel kök yoktur.

Denklemin çözüm kümesi her durum için bulduğumuz çözümlerin birleşiminden oluşur.

Çözüm kümesi: \( \{ -\sqrt{10}, \sqrt{10} \} \)

(d) seçeneği:

\( \abs{x^2 - 4} = -2 \)

Bir mutlak değer ifadesinin sonucu reel sayılarda negatif olamaz.

Dolayısıyla bu denklemi sağlayan herhangi bir \( x \) reel sayısı yoktur.

Çözüm kümesi: \( \emptyset \)

Tüm şıklardaki durumlar aşağıdaki grafikte gösterilmiştir.

İki mutlak değer ifadesinin eşitliği, mutlak değer içindeki ifadelerin karelerinin eşitliğine denktir.

\( \abs{f(x)} = \abs{g(x)} \Longleftrightarrow [f(x)]^2 = [g(x)]^2 \)

(a) seçeneği:

\( \abs{2x - 3} = \abs{x + 6} \)

Eşitliğin her iki tarafının karesini alalım.

\( (2x - 3)^2 = (x + 6)^2 \)

\( 4x^2 - 12x + 9 = x^2 + 12x + 36 \)

Tüm terimleri sol tarafta toplayıp ifadeyi sıfıra eşitleyelim.

\( 3x^2 - 24x - 27 = 0 \)

\( x^2 - 8x - 9 = 0 \)

\( (x + 1)(x - 9) = 0 \)

Denklemin çözüm kümesi her bir çarpanı sıfır yapan \( x \) değerlerinden oluşur.

Çözüm kümesi: \( \{ -1, 9 \} \)

(b) seçeneği:

\( \abs{x} = \abs{x + 1} \)

Eşitliğin her iki tarafının karesini alalım.

\( x^2 = (x + 1)^2 \)

\( x^2 = x^2 + 2x + 1 \)

\( 2x = -1 \)

\( x = -\dfrac{1}{2} \)

Çözüm kümesi: \( \left\{ -\dfrac{1}{2} \right\} \)

(c) seçeneği:

\( \abs{3x - 5} = \abs{5 - 3x} \)

Eşitliğin her iki tarafının karesini alalım.

\( (3x - 5)^2 = (5 - 3x)^2 \)

\( 9x^2 - 30x + 25 = 25 - 30x + 9x^2 \)

Tüm terimleri sol tarafta toplayalım.

\( 0 = 0 \)

Elde ettiğimiz eşitlik her \( x \) için sağlandığı için denklemin çözüm kümesi tüm reel sayılardır.

Çözüm kümesi: \( \mathbb{R} \)

Verilen denklem mutlak değer özelliklerinde gördüğümüz \( \abs{x - y} = \abs{y - x} \) özdeşliğinin bir uygulamasıdır.

(a) seçeneği:

\( \abs{6 - 2x} + \abs{3x - 9} = 25 \)

\( \abs{2(3 - x)} + \abs{3(x - 3)} = 25 \)

Mutlak değer içindeki pozitif çarpan mutlak değer dışına çıkarılabilir.

\( 2\abs{3 - x} + 3\abs{x - 3} = 25 \)

\( \abs{3 - x} \) ve \( \abs{x - 3} \) ifadeleri birbirine eşittir.

\( 2\abs{x - 3} + 3\abs{x - 3} = 25 \)

\( 5\abs{x - 3} = 25 \)

\( \abs{x - 3} = 5 \)

Bu denklem iki durumda sağlanır.

Durum 1:

\( x - 3 = 5 \)

\( x = 8 \)

Durum 2:

\( x - 3 = -5 \)

\( x = -2 \)

Denklemin çözüm kümesi her durum için bulduğumuz çözümlerin birleşiminden oluşur.

Çözüm kümesi: \( \{-2, 8\} \)

(b) seçeneği:

\( \abs{5 - 5x} - \abs{x - 1} = 72 \)

\( \abs{5(1 - x)} - \abs{x - 1} = 72 \)

Mutlak değer içindeki pozitif çarpan mutlak değer dışına çıkarılabilir.

\( 5\abs{1 - x} - \abs{x - 1} = 72 \)

\( \abs{1 - x} \) ve \( \abs{x - 1} \) ifadeleri birbirine eşittir.

\( 5\abs{x - 1} - \abs{x - 1} = 72 \)

\( 4\abs{x - 1} = 72 \)

\( \abs{x - 1} = 18 \)

Bu denklem iki durumda sağlanır.

Durum 1:

\( x - 1 = 18 \)

\( x = 19 \)

Durum 2:

\( x - 1 = -18 \)

\( x = -17 \)

Denklemin çözüm kümesi her durum için bulduğumuz çözümlerin birleşiminden oluşur.

Çözüm kümesi: \( \{-17, 19\} \)

\( \abs{\sqrt[3]{x} - \sqrt[3]{-8}} = \abs{\sqrt[3]{x} - 2} = 3 \)

Bu denklem iki durumda sağlanır.

Durum 1:

\( \sqrt[3]{x} - 2 = 3 \)

\( \sqrt[3]{x} = 5 \)

\( x = 125 \)

Durum 2:

\( \sqrt[3]{x} - 2 = -3 \)

\( \sqrt[3]{x} = -1 \)

\( x = -1 \)

Eşitliği sağlayan \( x \) değerlerinin toplamı \( 125 + (-1) = 124 \) olarak bulunur.

(a) seçeneği:

\( \abs{x^2 - 5x} = 6 \)

Mutlak değer içindeki ifadenin alabileceği iki farklı değer için denklemi ayrı ayrı çözelim.

Durum 1:

\( x^2 - 5x = 6 \)

\( x^2 - 5x - 6 = 0 \)

\( (x + 1)(x - 6) = 0 \)

\( x = -1 \) veya \( x = 6 \)

Durum 2:

\( x^2 - 5x = -6 \)

\( x^2 - 5x + 6 = 0 \)

\( (x - 2)(x - 3) = 0 \)

\( x = 2 \) veya \( x = 3 \)

Denklemin çözüm kümesi her durum için bulduğumuz çözümlerin birleşiminden oluşur.

Çözüm kümesi: \( \{ -1, 2, 3, 6 \} \)

(b) seçeneği:

\( \abs{x^2 - 6x + 7} = 2 \)

Mutlak değer içindeki ifadenin alabileceği iki farklı değer için denklemi ayrı ayrı çözelim.

Durum 1:

\( x^2 - 6x + 7 = 2 \)

\( x^2 - 6x + 5 = 0 \)

\( (x - 1)(x - 5) = 0 \)

\( x = 1 \) veya \( x = 5 \)

Durum 2:

\( x^2 - 6x + 7 = -2 \)

\( x^2 - 6x + 9 = 0 \)

\( (x - 3)^2 = 0 \)

\( x = 3 \)

Denklemin çözüm kümesi her durum için bulduğumuz çözümlerin birleşiminden oluşur.

Çözüm kümesi: \( \{ 1, 3, 5 \} \)

(c) seçeneği:

\( \abs{x^2 + 2x - 3} = 5 \)

Mutlak değer içindeki ifadenin alabileceği iki farklı değer için denklemi ayrı ayrı çözelim.

Durum 1:

\( x^2 + 2x - 3 = 5 \)

\( x^2 + 2x - 8 = 0 \)

\( (x + 4)(x - 2) = 0 \)

\( x = -4 \) veya \( x = 2 \)

Durum 2:

\( x^2 + 2x - 3 = -5 \)

\( x^2 + 2x + 2 = 0 \)

Bu denklemin diskriminantını inceleyelim.

\( \Delta = b^2 - 4ac \)

\( = 2^2 - 4(1)(2) = 4 - 8 = -4 \)

\( \Delta \lt 0 \) olduğundan bu durumda reel kök oluşmaz.

Denklemin çözüm kümesi her durum için bulduğumuz çözümlerin birleşiminden oluşur.

Çözüm kümesi: \( \{ -4, 2 \} \)

(d) seçeneği:

\( \abs{2x^2 - 3x + 4} = -7 \)

Bir mutlak değer ifadesinin sonucu reel sayılarda negatif olamaz.

Dolayısıyla bu denklemi sağlayan herhangi bir \( x \) reel sayısı yoktur.

Çözüm kümesi: \( \emptyset \)

İki ifadenin mutlak değerleri eşitse ifadeler ya birbirine eşittir ya da birbirinin zıt işaretlisidir.

\( \abs{f(x)} = \abs{g(x)} \Longleftrightarrow f(x) = g(x) \) veya \( f(x) = -g(x) \)

(a) seçeneği:

\( \abs{x^2 - 4} = \abs{3x} \)

Durum 1:

\( x^2 - 4 = 3x \)

\( x^2 - 3x - 4 = 0 \)

\( (x + 1)(x - 4) = 0 \)

\( x = -1 \) veya \( x = 4 \)

Durum 2:

\( x^2 - 4 = -3x \)

\( x^2 + 3x - 4 = 0 \)

\( (x + 4)(x - 1) = 0 \)

\( x = -4 \) veya \( x = 1 \)

Denklemin çözüm kümesi her iki durumdan bulunan çözümlerin birleşiminden oluşur.

Çözüm kümesi: \( \{ -4, -1, 1, 4 \} \)

(b) seçeneği:

\( \abs{x^2 - 2x} = \abs{x} \)

Durum 1:

\( x^2 - 2x = x \)

\( x^2 - 3x = 0 \)

\( x(x - 3) = 0 \)

\( x = 0 \) veya \( x = 3 \)

Durum 2:

\( x^2 - 2x = -x \)

\( x^2 - x = 0 \)

\( x(x - 1) = 0 \)

\( x = 0 \) veya \( x = 1 \)

Denklemin çözüm kümesi her iki durumdan bulunan çözümlerin birleşiminden oluşur.

Çözüm kümesi: \( \{ 0, 1, 3 \} \)

(c) seçeneği:

\( \abs{x^2 - 1} = \abs{x^2 - 3} \)

Durum 1:

\( x^2 - 1 = x^2 - 3 \)

\( -1 = -3 \)

Bu eşitlik hiçbir \( x \) değeri için sağlanmadığından bu durumda geçerli bir çözüm yoktur.

Durum 2:

\( x^2 - 1 = -(x^2 - 3) \)

\( x^2 - 1 = -x^2 + 3 \)

\( 2x^2 = 4 \)

\( x = \pm \sqrt{2} \)

Çözüm kümesi: \( \{ -\sqrt{2}, \sqrt{2} \} \)

Bu denklem iki durumda sağlanır.

Durum 1:

\( x + k = 40 \)

\( x = 40 - k \)

Durum 2:

\( x + k = -40 \)

\( x = -40 - k \)

Bu iki çözümün toplamı 22 olarak veriliyor.

\( (40 - k) + (-40 - k) = 22 \)

\( -2k = 22 \)

\( k = -11 \) bulunur.

Birinci denklemin çözüm kümesini bulalım.

\( \abs{3x - 6} = 12 \)

Bu denklem iki durumda sağlanır.

Durum 1:

\( 3x - 6 = 12 \)

\( x = 6 \)

Durum 2:

\( 3x - 6 = -12 \)

\( x = -2 \)

Çözüm kümesi: \( \{ -2, 6 \} \)

İkinci denklemin çözüm kümesini bulalım.

\( \abs{y - 9} = 5 \)

Bu denklem iki durumda sağlanır.

Durum 1:

\( y - 9 = 5 \)

\( y = 14 \)

Durum 2:

\( y - 9 = -5 \)

\( y = 4 \)

Çözüm kümesi: \( y \in \{ 4, 14 \} \)

\( xy \) çarpımının en küçük değerini bulmak için \( x \)'in negatif değerini, \( y \)'nin de büyük değerini seçmeliyiz.

\( xy = (-2) \cdot 14 = -28 \) bulunur.

Bir mutlak değer ifadesi negatif olamayacağı için, iki ya da daha fazla sayıda mutlak değer ifadesinin toplamı sıfır ise her ifade ayrı ayrı sıfıra eşittir.

\( \abs{3x - 4y + 14} = 0 \)

\( \abs{2x + 3y - 19} = 0 \)

Bir ifadenin mutlak değeri sıfıra eşitse kendisi de sıfırdır.

\( 3x - 4y + 14 = 0 \)

\( 2x + 3y - 19 = 0 \)

İki denklemi de birlikte sağlayan \( x \) ve \( y \) değerlerini bulmak için denklemleri ortak çözelim.

Birinci denklemin taraflarını 3 ile, ikinci denklemin taraflarını 4 ile çarpalım.

\( 9x - 12y + 42 = 0 \)

\( 8x + 12y - 76 = 0 \)

İki denklemi taraf tarafa toplayalım.

\( 17x - 34 = 0 \)

\( x = 2 \)

\( x = 2 \) değerini birinci denklemde yerine yazarak \( y \) değerini bulalım.

\( 3(2) - 4y + 14 = 0 \)

\( y = 5 \)

İstenen ifadenin sonucunu bulalım.

\( x^2 - y^2 = 2^2 - 5^2 = -21 \) bulunur.

Eşitliğin sol tarafını düzenleyelim.

\( \sqrt{(x - 3)^2} = \abs{2x + 1} \)

\( \abs{x - 3} = \abs{2x + 1} \)

İki ifadenin mutlak değerleri eşitse ifadeler ya birbirine eşittir ya da birbirinin zıt işaretlisidir.

Denklem 1:

\( x - 3 = 2x + 1 \)

\( x = -4 \)

Denklem 2:

\( x - 3 = -(2x + 1) \)

\( x - 3 = -2x - 1 \)

\( x = \dfrac{2}{3} \)

Denklemin çözüm kümesi her iki durumdan bulunan çözümlerin birleşiminden oluşur.

Çözüm kümesi: \( \left\{ -4, \dfrac{2}{3} \right\} \)

Mutlak değer ifadesini yalnız bırakalım.

\( \abs{3x^2 - 5x + 2} = 3x^2 - 5x + 2 \)

Mutlak değer içindeki ifade mutlak değerden olduğu gibi çıktığına göre değeri pozitif ya da sıfırdır.

\( 3x^2 - 5x + 2 \ge 0 \)

Eşitsizliğin sol tarafını çarpanlarına ayıralım.

\( (3x - 2)(x - 1) \ge 0 \)

İkinci dereceden ifadeyi sıfır yapan değerler \( x = \frac{2}{3} \) ve \( x = 1 \)'dir.

Pozitif başkatsayılı ve birbirinden farklı iki reel kökü olan ikinci dereceden bir ifade kök değerlerinde sıfır, köklerin arasındaki aralıkta negatif, dışındaki aralıkta pozitif olur.

Eşitsizlikte \( \ge \) sembolü kullanıldığı için eşitsizliğin pozitif ve sıfır olduğu aralıklar eşitsizliğin çözüm kümesi olur.

Çözüm kümesi: \( \left( -\infty, \dfrac{2}{3} \right] \cup [1, \infty) \)

Bir \( x \) sayısının sayı doğrusu üzerinde \( y \) sayısına uzaklığı \( \abs{x - y} \) ile ifade edilir.

\( A \) ve \( B \) noktaları arasındaki uzaklık aşağıdaki şekilde ifade edilir.

\( \abs{(k + 4) - 7} = \abs{k - 3} \)

\( A \) ve \( C \) noktaları arasındaki uzaklık aşağıdaki şekilde ifade edilir.

\( \abs{(k + 10) - 7} = \abs{k + 3} \)

Bu iki ifade arasında aşağıdaki ilişki veriliyor.

\( \abs{k - 3} = 3\abs{k + 3} \)

Bu denklem iki durumda sağlanır.

Durum 1:

\( k - 3 = 3k + 9 \)

\( 2k = -12 \)

\( k = -6 \)

Durum 2:

\( k - 3 = -(3k + 9) \)

\( 4k = -6 \)

\( k = -\dfrac{3}{2} \)

\( k \) bir tam sayı olduğu için bu değer geçerli bir çözüm değildir.

Buna göre \( k = -6 \) bulunur.

\( \abs{x^2} = \abs{x}^2 = x^2 \) özdeşliğini kullanalım.

\( \abs{x}^2 - 8\abs{x} + 7 = 0 \)

\( (\abs{x} - 1)(\abs{x} - 7) = 0 \)

\( \abs{x} \in \{ 1, 7 \} \)

Her \( \abs{x} \) değeri için denklemin çözümünü bulalım.

Durum 1:

\( \abs{x} = 1 \)

Bu denklem iki durumda sağlanır.

\( x \in \{ -1, 1 \} \)

Durum 2:

\( \abs{x} = 7 \)

Bu denklem iki durumda sağlanır.

\( x \in \{ -7, 7 \} \)

Denklemin çözüm kümesi her durum için bulduğumuz çözümlerin birleşiminden oluşur.

Çözüm kümesi: \( \{ -7, -1, 1, 7 \} \)

Denklemin kökler çarpımı \( (-7)(-1)(1)(7) = 49 \) olarak bulunur.

(a) seçeneği:

\( \abs{\dfrac{x}{x - 2}} = 3 \)

Paydayı sıfır yapan \( x = 2 \) değeri çözüm kümesinde yer almaz.

Mutlak değer içindeki ifadenin alabileceği iki farklı değer için denklemi ayrı ayrı çözelim.

Durum 1:

\( \dfrac{x}{x - 2} = 3 \)

\( x = 3(x - 2) \)

\( x = 3x - 6 \)

\( x = 3 \)

Durum 2:

\( \dfrac{x}{x - 2} = -3 \)

\( x = -3(x - 2) \)

\( x = -3x + 6 \)

\( x = \dfrac{3}{2} \)

Denklemin çözüm kümesi her iki durumdan bulunan çözümlerin birleşiminden oluşur.

Çözüm kümesi: \( \left\{ \dfrac{3}{2}, 3 \right\} \)

(b) seçeneği:

\( \abs{\dfrac{2x + 1}{x - 1}} = 1 \)

Paydayı sıfır yapan \( x = 1 \) değeri çözüm kümesinde yer almaz.

Mutlak değer içindeki ifadenin alabileceği iki farklı değer için denklemi ayrı ayrı çözelim.

Durum 1:

\( \dfrac{2x + 1}{x - 1} = 1 \)

\( 2x + 1 = x - 1 \)

\( x = -2 \)

Durum 2:

\( \dfrac{2x + 1}{x - 1} = -1 \)

\( 2x + 1 = -(x - 1) \)

\( 2x + 1 = -x + 1 \)

\( x = 0 \)

Denklemin çözüm kümesi her iki durumdan bulunan çözümlerin birleşiminden oluşur.

Çözüm kümesi: \( \{ -2, 0 \} \)

(c) seçeneği:

\( \abs{\dfrac{x + 2}{1 - 2x}} = \dfrac{1}{3} \)

Mutlak değerde bölme kuralını kullanalım.

\( \dfrac{\abs{x + 2}}{\abs{1 - 2x}} = \dfrac{1}{3} \)

İçler - dışlar çarpımı yaparken paydayı sıfır yapan \( x = \frac{1}{2} \) değerinin çözüm kümesine dahil olamayacağını not edelim.

\( 3\abs{x + 2} = \abs{1 - 2x} \)

\( \abs{3x + 6} = \abs{1 - 2x} \)

Her iki tarafın karesini alıp iki kare farkı olarak yazalım.

\( (3x + 6)^2 = (1 - 2x)^2 \)

\( (3x + 6)^2 - (1 - 2x)^2 = 0 \)

\( [(3x + 6) - (1 - 2x)][(3x + 6) + (1 - 2x)] = 0 \)

\( (x + 7)(5x + 5) = 0 \)

\( 5(x + 7)(x + 1) = 0 \)

Denklemin çözüm kümesi her bir çarpanı sıfır yapan \( x \) değerlerinden oluşur.

Çözüm kümesi: \( \{ -7, -1 \} \)

(a) seçeneği:

\( \abs{x - \abs{3x + 8} - 1} = 13 \)

Mutlak değer içini sıfır yapan \( x = -\frac{8}{3} \) değerinin oluşturduğu \( x \lt -\frac{8}{3} \) ve \( x \ge -\frac{8}{3} \) aralıklarını ayrı ayrı inceleyelim ve her durumda oluşan denklemi çözelim.

Durum 1:

\( x \lt -\dfrac{8}{3} \)

Bu aralıkta \( 3x + 8 \) ifadesi negatif olur ve mutlak değer dışına negatif işaretli çıkar.

\( \abs{x - [-(3x + 8)] - 1} = 13 \)

\( \abs{x + 3x + 8 - 1} = 13 \)

\( \abs{4x + 7} = 13 \)

Bu denklem iki durumda sağlanır.

Durum 1.1:

\( 4x + 7 = 13 \)

\( x = \dfrac{3}{2} \)

Bu değer incelediğimiz \( x \lt -\frac{8}{3} \) aralığında bulunmadığı için geçerli bir çözüm değildir.

Durum 1.2:

\( 4x + 7 = -13 \)

\( x = -5 \)

Bu değer incelediğimiz \( x \lt -\frac{8}{3} \) aralığında bulunduğu için geçerli bir çözümdür.

Durum 2:

\( x \ge -\dfrac{8}{3} \)

Bu aralıkta \( 3x + 8 \) ifadesi sıfır ya da pozitif olur ve mutlak değer dışına olduğu gibi çıkar.

\( \abs{x - (3x + 8) - 1} = 13 \)

\( \abs{-2x - 9} = 13 \)

Bu denklem iki durumda sağlanır.

Durum 2.1:

\( -2x - 9 = 13 \)

\( x = -11 \)

Bu değer incelediğimiz \( x \ge -\frac{8}{3} \) aralığında bulunmadığı için geçerli bir çözüm değildir.

Durum 2.2:

\( -2x - 9 = -13 \)

\( x = 2 \)

Bu değer incelediğimiz \( x \ge -\frac{8}{3} \) aralığında bulunduğu için geçerli bir çözümdür.

Denklemin çözüm kümesi her durum için bulduğumuz çözümlerin birleşiminden oluşur.

Çözüm kümesi: \( \{-5, 2\} \)

(b) seçeneği:

\( \abs{12x - \abs{-10x + 5} + 4} = 45 \)

Mutlak değer içini sıfır yapan \( x = \frac{1}{2} \) değerinin oluşturduğu \( x \lt \frac{1}{2} \) ve \( x \ge \frac{1}{2} \) aralıklarını ayrı ayrı inceleyelim ve her durumda oluşan denklemi çözelim.

Durum 1:

\( x \lt \dfrac{1}{2} \)

Bu aralıkta \( -10x + 5 \) ifadesi pozitif olur ve mutlak değer dışına olduğu gibi çıkar.

\( \abs{12x - (-10x + 5) + 4} = 45 \)

\( \abs{12x + 10x - 5 + 4} = 45 \)

\( \abs{22x - 1} = 45 \)

Bu denklem iki durumda sağlanır.

Durum 1.1:

\( 22x - 1 = 45 \)

\( x = \dfrac{23}{11} \)

Bu değer incelediğimiz \( x \lt \frac{1}{2} \) aralığında bulunmadığı için geçerli bir çözüm değildir.

Durum 1.2:

\( 22x - 1 = -45 \)

\( x = -2 \)

Bu değer incelediğimiz \( x \lt \frac{1}{2} \) aralığında bulunduğu için geçerli bir çözümdür.

Durum 2:

\( x \ge \dfrac{1}{2} \)

Bu aralıkta \( -10x + 5 \) ifadesi sıfır ya da negatif olur ve mutlak değer dışına negatif işaretli çıkar.

\( \abs{12x - [-(-10x + 5)] + 4} = 45 \)

\( \abs{12x - 10x + 5 + 4} = 45 \)

\( \abs{2x + 9} = 45 \)

Bu denklem iki durumda sağlanır.

Durum 2.1:

\( 2x + 9 = 45 \)

\( x = 18 \)

Bu değer incelediğimiz \( x \ge \frac{1}{2} \) aralığında bulunduğu için geçerli bir çözümdür.

Durum 2.2:

\( 2x + 9 = -45 \)

\( x = -27 \)

Bu değer incelediğimiz \( x \ge \frac{1}{2} \) aralığında bulunmadığı için geçerli bir çözüm değildir.

Denklemin çözüm kümesi her durum için bulduğumuz çözümlerin birleşiminden oluşur.

Çözüm kümesi: \( \{-2, 18\} \)

(c) seçeneği:

\( \abs{6x + \abs{-x} - 8} = 20 \)

Mutlak değer içini sıfır yapan \( x = 0 \) değerinin oluşturduğu \( x \lt 0 \) ve \( x \ge 0 \) aralıklarını ayrı ayrı inceleyelim ve her durumda oluşan denklemi çözelim.

Durum 1:

\( x \lt 0 \)

Bu aralıkta \( x \) ifadesi pozitif olur ve mutlak değer dışına olduğu gibi çıkar.

\( \abs{6x + (-x) - 8} = 20 \)

\( \abs{5x - 8} = 20 \)

Bu denklem iki durumda sağlanır.

Durum 1.1:

\( 5x - 8 = 20 \)

\( x = \dfrac{28}{5} \)

Bu değer incelediğimiz \( x \lt 0 \) aralığında bulunmadığı için geçerli bir çözüm değildir.

Durum 1.2:

\( 5x - 8 = -20 \)

\( x = -\dfrac{12}{5} \)

Bu değer incelediğimiz \( x \lt 0 \) aralığında bulunduğu için geçerli bir çözümdür.

Durum 2:

\( x \ge 0 \)

Bu aralıkta \( x \) ifadesi sıfır ya da negatif olur ve mutlak değer dışına negatif işaretli çıkar.

\( \abs{6x + [-(-x)] - 8} = 20 \)

\( \abs{6x + x - 8} = 20 \)

\( \abs{7x - 8} = 20 \)

Bu denklem iki durumda sağlanır.

Durum 2.1:

\( 7x - 8 = 20 \)

\( x = 4 \)

Bu değer incelediğimiz \( x \ge 0 \) aralığında bulunduğu için geçerli bir çözümdür.

Durum 2.2:

\( 7x - 8 = -20 \)

\( x = -\dfrac{12}{7} \)

Bu değer incelediğimiz \( x \ge 0 \) aralığında bulunmadığı için geçerli bir çözüm değildir.

Denklemin çözüm kümesi her durum için bulduğumuz çözümlerin birleşiminden oluşur.

Çözüm kümesi: \( \left\{ -\dfrac{12}{5}, 4 \right\} \)

(a) seçeneği:

\( \abs{3x - 2} + \abs{x - 2} = 12 \)

Mutlak değer içini sıfır yapan \( x \in \{\frac{2}{3}, 2\} \) değerlerinin oluşturduğu \( x \lt \frac{2}{3} \), \( \frac{2}{3} \le x \lt 2 \) ve \( x \ge 2 \) aralıklarını ayrı ayrı inceleyelim ve her durumda oluşan denklemi çözelim.

Durum 1:

\( x \lt \dfrac{2}{3} \)

Bu aralıkta \( 3x - 2 \) ve \( x - 2 \) ifadeleri negatif olur ve mutlak değer dışına negatif işaretli çıkar.

\( -(3x - 2) + [-(x - 2)] = 12 \)

\( -3x + 2 + 2 - x = 12 \)

\( 4 - 4x = 12 \)

\( x = -2 \)

Bu değer incelediğimiz \( x \lt \frac{2}{3} \) aralığında bulunduğu için geçerli bir çözümdür.

Durum 2:

\( \dfrac{2}{3} \le x \lt 2 \)

Bu aralıkta \( 3x - 2 \) ifadesi sıfır ya da pozitif olur ve mutlak değer dışına olduğu gibi çıkar.

Bu aralıkta \( x - 2 \) ifadesi negatif olur ve mutlak değer dışına negatif işaretli çıkar.

\( (3x - 2) + [-(x - 2)] = 12 \)

\( 3x - 2 + 2 - x = 12 \)

\( x = 6 \)

Bu değer incelediğimiz \( \frac{2}{3} \le x \lt 2 \) aralığında bulunmadığı için geçerli bir çözüm değildir.

Durum 3:

\( x \ge 2 \)

Bu aralıkta \( 3x - 2 \) ve \( x - 2 \) ifadeleri sıfır ya da pozitif olur ve mutlak değer dışına olduğu gibi çıkar.

\( (3x - 2) + (x - 2) = 12 \)

\( 4x - 4 = 12 \)

\( x = 4 \)

Bu değer incelediğimiz \( x \ge 2 \) aralığında bulunduğu için geçerli bir çözümdür.

Denklemin çözüm kümesi her durum için bulduğumuz çözümlerin birleşiminden oluşur.

Çözüm kümesi: \( \{-2, 4\} \)

(b) seçeneği:

\( \abs{2 - x} - \abs{2x - 1} = -6 \)

Mutlak değer içini sıfır yapan \( x \in \{\frac{1}{2}, 2\} \) değerlerinin oluşturduğu \( x \lt \frac{1}{2} \), \( \frac{1}{2} \le x \lt 2 \) ve \( x \ge 2 \) aralıklarını ayrı ayrı inceleyelim ve her durumda oluşan denklemi çözelim.

Durum 1:

\( x \lt \dfrac{1}{2} \)

Bu aralıkta \( 2x - 1 \) ifadesi negatif olur ve mutlak değer dışına negatif işaretli çıkar.

Bu aralıkta \( 2 - x \) ifadesi pozitif olur ve mutlak değer dışına olduğu gibi çıkar.

\( (2 - x) - [-(2x - 1)] = -6 \)

\( 2 - x + 2x - 1 = -6 \)

\( x = -7 \)

Bu değer incelediğimiz \( x \lt \frac{1}{2} \) aralığında bulunduğu için geçerli bir çözümdür.

Durum 2:

\( \dfrac{1}{2} \le x \lt 2 \)

Bu aralıkta \( 2x - 1 \) ve \( 2 - x \) ifadeleri sıfır ya da pozitif olur ve mutlak değer dışına olduğu gibi çıkar.

\( (2 - x) - (2x - 1) = -6 \)

\( 2 - x - 2x + 1 = -6 \)

\( x = 3 \)

Bu değer incelediğimiz \( \frac{1}{2} \le x \lt 2 \) aralığında bulunmadığı için geçerli bir çözüm değildir.

Durum 3:

\( x \ge 2 \)

Bu aralıkta \( 2x - 1 \) ifadesi pozitif olur ve mutlak değer dışına olduğu gibi çıkar.

Bu aralıkta \( 2 - x \) ifadesi sıfır ya da negatif olur ve mutlak değer dışına negatif işaretli çıkar.

\( -(2 - x) - (2x - 1) = -6 \)

\( -2 + x - 2x + 1 = -6 \)

\( x = 5 \)

Bu değer incelediğimiz \( x \ge 2 \) aralığında bulunduğu için geçerli bir çözümdür.

Denklemin çözüm kümesi her durum için bulduğumuz çözümlerin birleşiminden oluşur.

Çözüm kümesi: \( \{-7, 5\} \)

(c) seçeneği:

\( \abs{12 - 4x} + \abs{8 - x} = 4 \)

Mutlak değer içini sıfır yapan \( x \in \{3, 8\} \) değerlerinin oluşturduğu \( x \lt 3 \), \( 3 \le x \lt 8 \) ve \( x \ge 8 \) aralıklarını ayrı ayrı inceleyelim ve her durumda oluşan denklemi çözelim.

Durum 1:

\( x \lt 3 \)

Bu aralıkta \( 12 - 4x \) ve \( 8 - x \) ifadeleri pozitif olur ve mutlak değer dışına olduğu gibi çıkar.

\( (12 - 4x) + (8 - x) = 4 \)

\( 12 - 4x + 8 - x = 4 \)

\( x = \dfrac{16}{5} \)

Bu değer incelediğimiz \( x \lt 3 \) aralığında bulunmadığı için geçerli bir çözüm değildir.

Durum 2:

\( 3 \le x \lt 8 \)

Bu aralıkta \( 12 - 4x \) ifadesi sıfır ya da negatif olur ve mutlak değer dışına negatif işaretli çıkar.

Bu aralıkta \( 8 - x \) ifadesi pozitif olur ve mutlak değer dışına olduğu gibi çıkar.

\( -(12 - 4x) + (8 - x) = 4 \)

\( -12 + 4x + 8 - x = 4 \)

\( x = \dfrac{8}{3} \)

Bu değer incelediğimiz \( 3 \le x \lt 8 \) aralığında bulunmadığı için geçerli bir çözüm değildir.

Durum 3:

\( x \ge 8 \)

Bu aralıkta \( 12 - 4x \) ve \( 8 - x \) ifadeleri sıfır ya da negatif olur ve mutlak değer dışına negatif işaretli çıkar.

\( -(12 - 4x) + [-(8 - x)] = 4 \)

\( -12 + 4x - 8 + x = 4 \)

\( x = \dfrac{24}{5} \)

Bu değer incelediğimiz \( x \ge 8 \) aralığında bulunmadığı için geçerli bir çözüm değildir.

Her üç durumda da geçerli bir çözüm bulunmadığı için denklemin çözüm kümesi boş kümedir.

Çözüm kümesi: \( \emptyset \)

Bir \( x \) sayısının sayı doğrusu üzerinde \( y \) sayısına uzaklığı \( \abs{x - y} \) ile ifade edilir.

Buna göre soruda verilen uzaklıklar toplamını aşağıdaki şekilde ifade edebiliriz.

\( \abs{x - (-6)} + \abs{x - 3} = 15 \)

\( \abs{x + 6} + \abs{x - 3} = 15 \)

Her bir mutlak değer ifadesini sıfır yapan \( x \) değerleri denklemin kritik noktalarıdır.

Buna göre \( x = -6 \) ve \( x = 3 \) denklemin kritik noktalarıdır.

Mutlak değer denklemleri kritik noktalar arasında kalan her bir aralık için ayrı ayrı çözülür.

Durum 1:

\( x \lt -6 \)

Bu aralıkta her iki mutlak değer ifadesi de negatif olur, dolayısıyla mutlak değerden negatif işaretli çıkar.

\( -(x + 6) - (x - 3) = 15 \)

\( -2x - 3 = 15 \)

\( x = -9 \)

Bulduğumuz değer denklemi çözdüğümüz \( x \lt -6 \) aralığında olduğu için geçerli bir çözümdür.

Durum 2:

\( -6 \le x \lt 3 \)

Bu aralıkta \( x + 6 \) ifadesi pozitif, \( x - 3 \) ifadesi negatif olur, dolayısıyla birinci ifade mutlak değerden olduğu gibi, ikinci ifade negatif işaretli çıkar.

\( (x + 6) - (x - 3) = 15 \)

\( 9 = 15 \)

Elde ettiğimiz eşitlik herhangi bir \( x \) değeri için sağlanmadığı için bu aralıkta geçerli bir çözüm yoktur.

Durum 3:

\( 3 \le x \)

Bu aralıkta her iki mutlak değer ifadesi de pozitif olur, dolayısıyla mutlak değerden olduğu gibi çıkar.

\( (x + 6) + (x - 3) = 15 \)

\( 2x + 3 = 15 \)

\( x = 6 \)

Bulduğumuz değer denklemi çözdüğümüz \( 3 \le x \) aralığında olduğu için geçerli bir çözümdür.

Denklemin çözüm kümesi her durum için bulduğumuz çözümlerin birleşiminden oluşur.

Çözüm kümesi: \( \{-9, 6\} \)

Buna göre \( x \)'in alabileceği değerler toplamı \( -9 + 6 = -3 \) olur.

\( \abs{x^2} = \abs{x}^2 = x^2 \) özdeşliğini kullanalım.

\( (x - 4)^2 = \abs{x - 4}^2 \)

\( \abs{x - 4} \) ve \( \abs{4 - x} \) ifadeleri birbirine eşittir.

\( \abs{x - 4}^2 - 4\abs{x - 4} = 5 \)

\( \abs{x - 4} = t \) şeklinde değişken değiştirme uygulayalım.

\( t^2 - 4t = 5 \)

\( t^2 - 4t - 5 = 0 \)

\( (t - 5)(t + 1) = 0 \)

\( t \in \{ -1, 5 \} \)

Her \( t \) değeri için denklemin çözümünü bulalım.

Durum 1:

\( t = -1 = \abs{x - 4} \)

Bir mutlak değer ifadesinin sonucu negatif olamayacağı için bu denklemin bir çözümü yoktur.

\( x \in \emptyset \)

Durum 2:

\( t = 5 = \abs{x - 4} \)

Bu denklem iki durumda sağlanır.

Durum 2.1:

\( x - 4 = 5 \)

\( x = 9 \)

Durum 2.2:

\( x - 4 = -5 \)

\( x = -1 \)

Denklemin çözüm kümesi her durum için bulduğumuz çözümlerin birleşiminden oluşur.

Çözüm kümesi: \( \{ -1, 9 \} \)

(a) seçeneği:

\( \abs{x - 1} = x^2 + 4x - 5 \)

Mutlak değer içini sıfır yapan \( x = 1 \) değerinin oluşturduğu \( x \lt 1 \) ve \( x \ge 1 \) aralıklarını ayrı ayrı inceleyelim ve her durumda oluşan denklemi çözelim.

Durum 1:

\( x \lt 1 \)

Bu aralıkta \( x - 1 \) ifadesi negatif olur ve mutlak değer dışına negatif işaretli çıkar.

\( -(x - 1) = x^2 + 4x - 5 \)

\( x^2 + 5x - 6 = 0 \)

\( (x + 6)(x - 1) = 0 \)

\( x = -6, \quad x = 1 \)

İncelediğimiz \( x \lt 1 \) aralığında sadece \( x = -6 \) geçerli bir çözümdür.

\( x = -6 \)

Durum 2:

\( x \ge 1 \)

Bu aralıkta \( x - 1 \) ifadesi sıfır ya da pozitif olur ve mutlak değer dışına olduğu gibi çıkar.

\( x - 1 = x^2 + 4x - 5 \)

\( x^2 + 3x - 4 = 0 \)

\( (x + 4)(x - 1) = 0 \)

\( x = -4, \quad x = 1 \)

İncelediğimiz \( x \ge 1 \) aralığında sadece \( x = 1 \) geçerli bir çözümdür.

\( x = 1 \)

Denklemin çözüm kümesi her durum için bulduğumuz çözümlerin birleşiminden oluşur.

Çözüm kümesi: \( \{-6, 1\} \)

(b) seçeneği:

\( \abs{3x - 18} = 3x^2 - 4x - 12 \)

Mutlak değer içini sıfır yapan \( x = 6 \) değerinin oluşturduğu \( x \lt 6 \) ve \( x \ge 6 \) aralıklarını ayrı ayrı inceleyelim ve her durumda oluşan denklemi çözelim.

Durum 1:

\( x \lt 6 \)

Bu aralıkta \( 3x - 18 \) ifadesi negatif olur ve mutlak değer dışına negatif işaretli çıkar.

\( -(3x - 18) = 3x^2 - 4x - 12 \)

\( 3x^2 - x - 30 = 0 \)

\( (3x - 10)(x + 3) = 0 \)

\( x = \dfrac{10}{3}, \quad x = -3 \)

Bu iki değer incelediğimiz \( x \lt 6 \) aralığında bulunduğu için geçerli birer çözümdür.

\( x \in \left\{ -3, \dfrac{10}{3} \right\} \)

Durum 2:

\( x \ge 6 \)

Bu aralıkta \( 3x - 18 \) ifadesi sıfır ya da pozitif olur ve mutlak değer dışına olduğu gibi çıkar.

\( 3x - 18 = 3x^2 - 4x - 12 \)

\( 3x^2 - 7x + 6 = 0 \)

Denklemin deltasını hesaplayalım.

\( \Delta = b^2 - 4ac \)

\( a = 3, \quad b = -7, \quad c = 6 \)

\( \Delta = (-7)^2 - 4(3)(6) = -23 \)

\( \Delta \lt 0 \) olduğu için denklemin reel sayı kökü yoktur.

\( x \in \emptyset \)

Denklemin çözüm kümesi her durum için bulduğumuz çözümlerin birleşiminden oluşur.

Çözüm kümesi: \( \left\{ -3, \dfrac{10}{3} \right\} \)

(c) seçeneği:

\( \abs{10 - 8x} = 5x^2 + 15x \)

Mutlak değer içini sıfır yapan \( x = \frac{5}{4} \) değerinin oluşturduğu \( x \lt \frac{5}{4} \) ve \( x \ge \frac{5}{4} \) aralıklarını ayrı ayrı inceleyelim ve her durumda oluşan denklemi çözelim.

Durum 1:

\( x \lt \dfrac{5}{4} \)

Bu aralıkta \( 10 - 8x \) ifadesi pozitif olur ve mutlak değer dışına olduğu gibi çıkar.

\( 10 - 8x = 5x^2 + 15x \)

\( 5x^2 + 23x - 10 = 0 \)

\( (5x - 2)(x + 5) = 0 \)

\( x = \dfrac{2}{5}, \quad x = -5 \)

Bu iki değer incelediğimiz \( x \lt \frac{5}{4} \) aralığında bulunduğu için geçerli birer çözümdür.

\( x \in \left\{ -5, \dfrac{2}{5} \right\} \)

Durum 2:

\( x \ge \dfrac{5}{4} \)

Bu aralıkta \( 10 - 8x \) ifadesi sıfır ya da negatif olur ve mutlak değer dışına negatif işaretli çıkar.

\( -(10 - 8x) = 5x^2 + 15x \)

\( -10 + 8x = 5x^2 + 15x \)

\( 5x^2 + 7x + 10 = 0 \)

Denklemin deltasını hesaplayalım.

\( \Delta = b^2 - 4ac \)

\( a = 5, \quad b = 7, \quad c = 10 \)

\( \Delta = 7^2 - 4(5)(10) = -151 \)

\( \Delta \lt 0 \) olduğu için denklemin reel sayı kökü yoktur.

\( x \in \emptyset \)

Denklemin çözüm kümesi her durum için bulduğumuz çözümlerin birleşiminden oluşur.

Çözüm kümesi: \( \left\{ -5, \dfrac{2}{5} \right\} \)

Mutlak değer içindeki ifadeyi çarpanlarına ayıralım.

\( \abs{(2x + 1)(x + 3)} = 10x + 12 \)

Mutlak değer içini sıfır yapan \( x \in \{-3, -\frac{1}{2}\} \) değerlerinin oluşturduğu \( x \lt -3 \), \( -3 \le x \lt -\frac{1}{2} \) ve \( x \ge -\frac{1}{2} \) aralıklarını ayrı ayrı inceleyelim ve her durumda oluşan denklemi çözelim.

Durum 1:

\( x \lt -3 \)

Bu aralıkta \( 2x + 1 \) ve \( x + 3 \) ifadeleri negatif olur, dolayısıyla çarpımları pozitif olur ve mutlak değerden olduğu gibi çıkar.

\( (2x + 1)(x + 3) = 10x + 12 \)

\( 2x^2 + 7x + 3 = 10x + 12 \)

\( 2x^2 - 3x - 9 = 0 \)

\( (2x + 3)(x - 3) = 0 \)

\( x = -\dfrac{3}{2}, \quad x = 3 \)

İncelediğimiz \( x \lt -3 \) aralığında iki değer de geçerli birer çözüm değildir.

\( x \in \emptyset \)

Durum 2:

\( -3 \le x \lt -\dfrac{1}{2} \)

Bu aralıkta \( x + 3 \) ifadesi sıfır ya da pozitif, \( 2x + 1 \) ifadesi negatif olur, dolayısıyla çarpımları sıfır ya da negatif olur ve mutlak değerden negatif işaretli çıkar.

\( -(2x + 1)(x + 3) = 10x + 12 \)

\( -2x^2 - 7x - 3 = 10x + 12 \)

\( 2x^2 + 17x + 15 = 0 \)

\( (2x + 15)(x + 1) = 0 \)

\( x = -\dfrac{15}{2}, \quad x = -1 \)

İncelediğimiz \( -3 \le x \lt -\frac{1}{2} \) aralığında sadece \( x = -1 \) geçerli bir çözümdür.

\( x = -1 \)

Durum 3:

\( x \ge -\dfrac{1}{2} \)

Bu aralıkta \( 2x + 1 \) ve \( x + 3 \) ifadeleri sıfır ya da pozitif olur, dolayısıyla çarpımları sıfır ya da pozitif olur ve mutlak değerden olduğu gibi çıkar.

\( (2x + 1)(x + 3) = 10x + 12 \)

\( 2x^2 + 7x + 3 = 10x + 12 \)

\( 2x^2 - 3x - 9 = 0 \)

\( (2x + 3)(x - 3) = 0 \)

\( x = -\dfrac{3}{2}, \quad x = 3 \)

İncelediğimiz \( x \ge -\frac{1}{2} \) aralığında sadece \( x = 3 \) geçerli bir çözümdür.

\( x = 3 \)

Denklemin çözüm kümesi her durum için bulduğumuz çözümlerin birleşiminden oluşur.

Çözüm kümesi: \( \{ -1, 3 \} \)

Bir \( x \) sayısının sayı doğrusu üzerinde \( y \) sayısına uzaklığı \( \abs{x - y} \) ile ifade edilir.

Buna göre soruda verilen birinci uzaklığı aşağıdaki şekilde ifade edebiliriz.

\( \abs{a - (-1)} = \abs{a + 1} = 7 \)

Bu denklemin iki çözümü vardır.

\( a + 1 = 7 \Longrightarrow a = 6 \)

\( a + 1 = -7 \Longrightarrow a = -8 \)

Soruda verilen ikinci uzaklığı aşağıdaki şekilde ifade edebiliriz.

\( \abs{a - b} = 11 \)

Yukarıda bulduğumuz iki \( a \) değeri için bu eşitliği \( b \) için ayrı ayrı çözelim.

Durum 1:

\( a = 6 \)

\( \abs{6 - b} = 11 \)

Bu denklemin iki çözümü vardır.

\( 6 - b = 11 \Longrightarrow b = -5 \)

\( 6 - b = -11 \Longrightarrow b = 17 \)

Durum 2:

\( a = -8 \)

\( \abs{-8 - b} = 11 \)

Bu denklemin iki çözümü vardır.

\( -8 - b = 11 \Longrightarrow b = -19 \)

\( -8 - b = -11 \Longrightarrow b = 3 \)

Denklemin çözüm kümesi her durum için bulduğumuz çözümlerin birleşiminden oluşur.

Çözüm kümesi: \( b \in \{ -19, -5, 3, 17 \} \)

Buna göre \( b \)'nin alabileceği değerler toplamı \( -19 + (-5) + 3 + 17 = -4 \) olarak bulunur.

İçteki mutlak değer ifadesinin içini sıfır yapan \( x = 0 \) değerinin oluşturduğu \( x \lt 0 \), \( x = 0 \) ve \( x \gt 0 \) durumlarını ayrı ayrı inceleyelim ve her durumda oluşan denklemi çözelim.

Durum 1:

\( x \lt 0 \)

Bu aralıkta \( x \) ifadesi negatif olur ve mutlak değer dışına negatif işaretli çıkar.

\( \abs{x} = -x \)

\( \abs{\dfrac{-x}{x} + 4 + x} = 4x + 5 \)

\( \abs{3 + x} = 4x + 5 \)

Bu eşitlikte \( 3 + x \) ifadesinin işaretine göre iki durum oluşur.

Durum 1.1:

\( -3 \le x \lt 0 \)

Bu aralıkta \( 3 + x \) ifadesi sıfır ya da pozitif olur ve mutlak değer dışına olduğu gibi çıkar.

\( 3 + x = 4x + 5 \)

\( x = -\dfrac{2}{3} \)

Bu değer incelediğimiz \( -3 \le x \lt 0 \) aralığında bulunduğu için geçerli bir çözümdür.

\( x \in \left\{ -\dfrac{2}{3} \right\} \)

Durum 1.2:

\( x \lt -3 \)

Bu aralıkta \( 3 + x \) ifadesi negatif olur ve mutlak değer dışına negatif işaretli çıkar.

\( -(3 + x) = 4x + 5 \)

\( -3 - x = 4x + 5 \)

\( x = -\dfrac{8}{5} \)

Bu değer incelediğimiz \( x \lt -3 \) aralığında bulunmadığı için geçerli bir çözüm değildir.

Durum 2:

\( x = 0 \)

\( x = 0 \) değeri \( \frac{\abs{x}}{x} \) ifadesini tanımsız yaptığı için geçerli bir çözüm değildir.

Durum 3:

\( x \gt 0 \)

Bu aralıkta \( x \) ifadesi pozitif olur ve mutlak değer dışına olduğu gibi çıkar.

\( \abs{x} = x \)

\( \abs{\dfrac{x}{x} + 4 + x} = 4x + 5 \)

\( \abs{5 + x} = 4x + 5 \)

\( x \gt 0 \) aralığında \( 5 + x \) pozitif olur.

\( 5 + x = 4x + 5 \)

\( x = 0 \)

Bu değer incelediğimiz \( x \gt 0 \) aralığında bulunmadığı için geçerli bir çözüm değildir.

Denklemin çözüm kümesi her durum için bulduğumuz çözümlerin birleşiminden oluşur.

Çözüm kümesi: \( \left\{ -\dfrac{2}{3} \right\} \)

İkinci dereceden ifadeyi çarpanlarına ayıralım.

\( \abs{x - 6}\abs{2(x + 6)(x - 3)} = 30\abs{3x - 9} \)

Bir çarpımın mutlak değeri mutlak değerlerin çarpımı şeklinde yazılabilir.

Ayrıca pozitif çarpanlar mutlak değer dışına çıkarılabilir.

\( 2\abs{x - 6}\abs{x + 6}\abs{x - 3} = 90\abs{x - 3} \)

Eşitliğin her iki tarafındaki \( \abs{x - 3} \) çarpanlarını, bu çarpanı sıfır yapan \( x = 3 \) değerinin denklemin köklerinden biri olduğunu not ederek sadeleştirelim.

\( \abs{x - 6} \abs{x + 6} = 45 \)

\( \abs{(x - 6)(x + 6)} = 45 \)

\( \abs{x^2 - 36} = 45 \)

Bu denklem iki durumda sağlanır.

Durum 1:

\( x^2 - 36 = 45 \)

\( x^2 = 81 \)

\( x \in \{ -9, 9 \} \)

Durum 2:

\( x^2 - 36 = -45 \)

\( x^2 = -9 \)

Bir tam kare ifade negatif olamayacağı için bu durum için reel sayılarda bir çözüm yoktur.

Denklemin çözüm kümesi her durum için bulduğumuz çözümlerin birleşiminden oluşur.

Çözüm kümesi: \( \{ -9, 3, 9 \} \)

Soruyu mutlak değerin uzaklık tanımını kullanarak çözelim.

Bu tanıma göre, iki reel sayının farkının mutlak değeri bu iki sayının sayı doğrusu üzerinde aralarındaki uzaklığı verir.

Verilen eşitliği düzenleyelim.

\( \abs{x - (-7)} + \abs{x - 6} = k \)

Buna göre, \( \abs{x - (-7)} \) ifadesi \( x \)'in sayı doğrusu üzerinde \( -7 \) noktasına olan uzaklığını, \( \abs{x - 6} \) ifadesi de \( x \)'in sayı doğrusu üzerinde 6 noktasına olan uzaklığını verir.

Sayı doğrusu üzerinde \( -7 \) ve 6 noktaları arasındaki uzaklık \( \abs{-7 - 6} = 13 \) birimdir.

Denklemin çözüm kümesini üç durum için ayrı ayrı inceleyelim.

Durum 1: \( k \gt 13 \)

\( x \) noktası \( (-\infty, -7) \) ya da \( (6, \infty) \) aralığında ise uzaklıklar toplamı 13'ten büyük olur.

Bu durumda denklemi sağlayan biri \( (-\infty, -7) \) diğeri \( (6, \infty) \) aralığında olmak üzere 2 farklı nokta vardır.

Dolayısıyla denklemin çözüm kümesi iki elemanlı olur.

Durum 2: \( k \lt 13 \)

Bir noktanın \( -7 \) ve 6 noktalarına olan uzaklıklarının toplamı, bu iki nokta arasındaki uzaklıktan küçük olamaz.

Bu durumda denklemin çözüm kümesi boş küme olur.

Durum 3: \( k = 13 \)

\( x \) noktası \( [-7, 6] \) aralığında bir nokta ise \( x \) noktasının bu iki noktaya olan uzaklıklarının toplamı daima bu iki nokta arasındaki uzaklığa eşit olur.

Bu aralıkta sonsuz sayıda reel sayı olduğu için denklemin sonsuz sayıda çözümü olur.

Buna göre \( k = 13 \) bulunur.

Bu denklemin çözümleri, denklemin iki tarafını temsil eden \( f(x) = \abs{x^2 - 9} \) ve \( y = k \) fonksiyonlarının grafiklerinin kesişim noktalarının apsisleridir.

\( y = x^2 - 9 \) parabolünün tepe noktası \( (0, -9) \)'dur ve \( x \) eksenini \( x = -3 \) ve \( x = 3 \) noktalarında keser.

Mutlak değer alındığında eksenin altında kalan kısım yukarı katlanır ve tepe noktası \( (0, 9) \) olur.

GRAFİK 2

Farklı \( k \) değerleri için \( y = k \) yatay doğrusu ile grafiğin kesişim durumlarını inceleyelim.

(a) seçeneği: 4 çözüm

\( y = k \) doğrusunun \( f \) fonksiyonunu 4 farklı noktada kesmesi için, doğru \( x \) ekseni ile tepe noktası arasında yer almalıdır.

\( k \in (0, 9) \)

(b) seçeneği: 3 çözüm

\( y = k \) doğrusu sadece tepe noktasından geçtiğinde \( f \) fonksiyonunu 3 noktada keser.

\( k = 9 \)

(c) seçeneği: 2 çözüm

Doğru \( f \) fonksiyonunu iki farklı durumda 2 noktada keser.

Durum 1:

\( y = k \) doğrusu tepe noktasının üstündeki bölgede olduğunda \( f \) fonksiyonunu dıştaki iki koldan keser.

\( k \gt 9 \)

Durum 2:

\( y = k \) doğrusu \( x \) ekseni üzerinde olduğunda \( f \) fonksiyonunu \( x = -3 \) ve \( x = 3 \) noktalarında keser.

\( k = 0 \)

\( k \in (9, \infty) \cup \{ 0 \} \)

(d) seçeneği: 1 çözüm

\( f \) fonksiyonu çift olduğundan grafiği \( y \) eksenine göre simetriktir.

Elde edilen kesişim noktaları da simetrik noktalardır, dolayısıyla yalnızca \( x = 0 \) apsisinde tek bir nokta vardır, bu noktada da doğru fonksiyonu 3 noktada keser.

Denklemin 1 reel çözüme sahip olmasını sağlayan hiçbir \( k \) değeri yoktur.

\( k \in \emptyset \)

(e) seçeneği: 0 çözüm

Bir mutlak değer ifadesi hiçbir zaman negatif olamayacağından, \( y = k \) doğrusu \( x \) ekseninin altında kaldığında fonksiyonu kesmez.

\( (k \in (-\infty, 0)) \)

Verilen eşitliği düzenleyelim.

Mutlak değer içindeki pozitif çarpan mutlak değer dışına çıkarılabilir.

\( \abs{x - n} + 7\abs{n - x} = 48n \)

Mutlak değer içini \( -1 \) ile çarpıp terimlerin yerini değiştirebiliriz.

\( \abs{x - n} + 7\abs{x - n} = 48n \)

\( 8\abs{x - n} = 48n \)

\( \abs{x - n} = 6n \)

Bu denklem iki durumda sağlanır.

Durum 1:

\( x - n = 6n \)

\( x = 7n \)

Durum 2:

\( x - n = -6n \)

\( x = -5n \)

Buna göre denklemi sağlayan değerler aşağıdaki gibidir.

\( x_1 = 7n, \quad x_2 = -5n \)

\( \abs{x_1 - x_2} = 108 \)

\( \abs{7n - (-5n)} = 108 \)

\( \abs{12n} = 108 \)

\( 12\abs{n} = 108 \)

\( \abs{n} = 9 \)

\( n = 9 \) ya da \( n = -9 \) olabilir, ancak soruda verilen eşitlikte iki mutlak değer ifadesinin toplamı negatif olamayacağı için \( n = -9 \) denklemi sağlamaz.

Buna göre \( n = 9 \) bulunur.

Rasyonel ifadenin paydalarını eşitleyelim.

\( \dfrac{1}{\abs{1 - 2x}} + \dfrac{2}{\abs{4x + 1}} = 1 \)

\( \dfrac{\abs{4x + 1} + 2\abs{1 - 2x}}{\abs{1 - 2x}\abs{4x + 1}} = 1 \)

İçler - dışlar çarpımı yapalım.

İçler - dışlar çarpımı yaparken paydadaki iki çarpanı sıfır yapan \( x = \frac{1}{2} \) ve \( x = -\frac{1}{4} \) değerlerinin çözüm kümesine dahil olamayacağını not edelim.

\( \abs{4x + 1} + 2\abs{1 - 2x} = \abs{4x + 1}\abs{1 - 2x} \)

Mutlak değer içini sıfır yapan \( x \in \{-\frac{1}{4}, \frac{1}{2} \} \) değerlerinin oluşturduğu \( x \lt -\frac{1}{4} \), \( -\frac{1}{4} \le x \lt \frac{1}{2} \) ve \( x \ge \frac{1}{2} \) aralıklarını ayrı ayrı inceleyelim ve her durumda oluşan denklemi çözelim.

Durum 1:

\( x \lt -\dfrac{1}{4} \)

Bu aralıkta \( 4x + 1 \) ifadesi negatif olur ve mutlak değer dışına negatif işaretli çıkar.

Bu aralıkta \( 1 - 2x \) ifadesi pozitif olur ve mutlak değer dışına olduğu gibi çıkar.

\( -(4x + 1) + 2(1 - 2x) = -(4x + 1)(1 - 2x) \)

\( -4x - 1 + 2 - 4x = 8x^2 - 4x + 2x - 1 \)

\( 8x^2 + 6x - 2 = 0 \)

\( 2(4x - 1)(x + 1) = 0 \)

\( x = \dfrac{1}{4}, \quad x = -1 \)

İncelediğimiz \( x \lt -\frac{1}{4} \) aralığında sadece \( x = -1 \) geçerli bir çözümdür.

\( x = -1 \)

Durum 2:

\( -\dfrac{1}{4} \le x \lt \dfrac{1}{2} \)

Bu aralıkta \( 4x + 1 \) ve \( 1 - 2x \) ifadeleri sıfır ya da pozitif olur ve mutlak değer dışına olduğu gibi çıkar.

\( (4x + 1) + 2(1 - 2x) = (4x + 1)(1 - 2x) \)

\( 4x + 1 + 2 - 4x = -8x^2 + 4x - 2x + 1 \)

\( 8x^2 - 2x + 2 = 0 \)

\( 4x^2 - x + 1 = 0 \)

Denklemin deltasını hesaplayalım.

\( \Delta = b^2 - 4ac \)

\( a = 4, \quad b = -1, \quad c = 1 \)

\( \Delta = (-1)^2 - 4(4)(1) = -15 \)

\( \Delta \lt 0 \) olduğundan denklemin reel sayı kökü yoktur.

\( x \in \emptyset \)

Durum 3:

\( x \ge \dfrac{1}{2} \)

Bu aralıkta \( 4x + 1 \) ifadesi pozitif olur ve mutlak değer dışına olduğu gibi çıkar.

Bu aralıkta \( 1 - 2x \) ifadesi sıfır ya da negatif olur ve mutlak değer dışına negatif işaretli çıkar.

\( (4x + 1) + 2[-(1 - 2x)] = (4x + 1)[-(1 - 2x)] \)

\( 4x + 1 - 2 + 4x = 8x^2 - 4x + 2x - 1 \)

\( 8x^2 - 10x = 0 \)

\( 2x(4x - 5) = 0 \)

\( x = 0, \quad x = \dfrac{5}{4} \)

İncelediğimiz \( x \ge \frac{1}{2} \) aralığında sadece \( x = \frac{5}{4} \) geçerli bir çözümdür.

\( x = \dfrac{5}{4} \)

Denklemin çözüm kümesi her durum için bulduğumuz çözümlerin birleşiminden oluşur.

Çözüm kümesi: \( \left\{ -1, \dfrac{5}{4} \right\} \)

Verilen denklem iki durumda sağlanır.

Durum 1:

\( 3x - a \ge 0 \)

\( 3x - a = b \)

\( 3x - a \) ifadesi \( x \) daha büyük olan \( 10 \) değerini aldığında pozitif olur.

\( 3(10) = a + b \)

\( a + b = 30 \)

Durum 2:

\( 3x - a \lt 0 \)

\( 3x - a = -b \)

\( 3x - a \) ifadesi \( x \) daha küçük olan \( -4 \) değerini aldığında negatif olur.

\( 3(-4) - a = -b \)

\( a - b = -12 \)

Bulduğumuz iki denklemi ortak çözdüğümüzde aşağıdaki değerleri buluruz.

\( a = 9, \quad b = 21 \)

Buna göre \( ab = 9 \cdot 21 = 189 \) olarak bulunur.

İfadeyi düzenleyelim.

\( \abs{4(a + 6)} + \abs{5(b + 2)} + \abs{3(c - 3)} + \abs{2(d - 2)} = 2 \)

Mutlak değer içindeki pozitif çarpan mutlak değer dışına çıkarılabilir.

\( 4\abs{a + 6} + 5\abs{b + 2} + 3\abs{c - 3} + 2\abs{d - 2} = 2 \)

\( a, b, c \) tam sayı oldukları için \( 4\abs{a + 6}, 5\abs{b + 2},3\abs{c - 3} \) ifadeleri sırasıyla 4'ün, 5'in ve 3'ün katları olur.

Mutlak değer ifadesi hiçbir zaman negatif olamayacağı için ve verilen ifade ikiye eşit olduğu için, bu ifadeler ayrı ayrı sıfıra eşit olmalıdır.

Bu ifadeleri sıfıra eşitleyerek \( a, b, c \) değerlerini bulalım.

\( 4\abs{a + 6} = 0 \)

\( a = -6 \)

\( 5\abs{b + 2} = 0 \)

\( b = -2 \)

\( 3\abs{c - 3} = 0 \)

\( c = 3 \)

Bulduğumuz değerleri denklemde yerine koyalım.

\( 0 + 2\abs{d - 2} = 2 \)

\( \abs{d - 2} = 1 \)

\( d - 2 = \pm 1 \)

\( d \in \{ 1, 3 \} \)

Toplamın en küçük değeri istendiği için \( d = 1 \) seçilir.

\( a + b + c + d = -6 - 2 + 3 + 1 = -4 \) bulunur.

En dıştaki mutlak değer ifadesini açalım.

\( \abs{x - 21} - a = \pm 6 \)

\( \abs{x - 21} = \pm 6 + a \)

Denklemin 4 reel kökü olabilmesi için \( 6 + a \) ve \( -6 + a \) değerlerinin ikisi de içteki mutlak değer açıldığında ikişer çözüm üretecek şekilde pozitif birer reel sayıya karşılık gelmelidir.

\( 6 + a \gt 0 \Longrightarrow a \gt -6 \)

\( -6 + a \gt 0 \Longrightarrow a \gt 6 \)

\( a \) için bulduğumuz iki aralığı da sağlayan değerlerde denklemin 4 reel kökü olur.

\( a \in (6, \infty) \)

Denklemin çözüm kümesinin sonsuz elemanlı olması için belirli bir aralıkta \( x \) değişkenleri birbirini götürmeli ve \( 14 = 14 \) şeklinde bir eşitlik oluşmalıdır.

\( x \) değişkenleri birbirini iki durumda götürür.

Durum 1:

Bu durumda birinci mutlak değer ifadesi negatif, ikinci mutlak değer ifadesi pozitif ya da sıfır olur.

\( x - a \lt 0 \) ve \( x + 5 \ge 0 \)

\( a - x + x + 5 = 14 \)

\( a + 5 = 14 \)

\( a = 9 \)

Durum 2:

Bu durumda ikinci mutlak değer ifadesi negatif, birinci mutlak değer ifadesi pozitif ya da sıfır olur.

\( x - a \ge 0 \) ve \( x + 5 \lt 0 \)

\( x - a - x - 5 = 14 \)

\( -a - 5 = 14 \)

\( a = -19 \)

Buna göre \( a \) değerlerinin toplamı \( 9 + (-19) = -10 \) olur.

\( a = 0 \) olduğu durumda \( b = m \) ya da \( b = -m \) olmak üzere iki çözüm vardır.

\( b = 0 \) olduğu durumda \( a = m \) ya da \( a = -m \) olmak üzere iki çözüm vardır.

\( 0 \lt \abs{a} \lt m \) olduğu \( m - 1 \) durumun her birinde ise \( (a, b) \) ikilileri için \( (+, +), (+, -), (-, +), (-, -) \) olmak üzere dörder çözüm vardır.

Buna göre verilen denklemin toplam çözüm sayısı aşağıdaki sayıda olur.

\( 2 + 2 + 4(m - 1) = 4m \)

\( 4m = 32 \)

\( m = 8 \) bulunur.

Yukarıdaki açıklamaları netleştirmek adına, denklemin 32 çözümü aşağıdaki gibi olur.

\( a = 0 \) için:

\( (0, 8), (0, -8) \)

\( \abs{a} = 1 \) için:

\( (1, 7), (1, -7), (-1, 7), (-1, -7) \)

\( \abs{a} = 2 \) için:

\( (2, 6), (2, -6), (-2, 6), (-2, -6) \)

\( \vdots \)

\( a = 8 \) için:

\( (8, 0), (-8, 0) \)

Verilen üç ifadenin sadece iki farklı sayı içermesi için iki ifade birbirine eşit, diğeri bu iki ifadeden farklı olmalıdır.

İfadeleri sırasıyla ikili olarak birbirine eşitleyerek denklemleri çözelim.

Durum 1:

\( \abs{x} = x + 12 \)

Durum 1.1: \( x \ge 0 \)

\( x = x + 12 \)

\( 0 = 12 \)

Bu durumda geçerli bir çözüm yoktur.

Durum 1.2: \( x \lt 0 \)

\( -x = x + 12 \)

\( x = -6 \)

Bu durumda verilen 3 sayı aşağıdaki gibi olur.

\( \abs{-6}, -6 + 12, (-6)^2 \)

\( 6, 6, 36 \)

Durum 2:

\( \abs{x} = x^2 \)

Durum 2.1: \( x \ge 0 \)

\( x = x^2 \)

\( x(x - 1) = 0 \)

\( x = 0 \) ya da \( x = 1 \)

\( x = 0 \) için verilen 3 sayı aşağıdaki gibi olur.

\( \abs{0}, 0 + 12, 0^2 \)

\( 0, 12, 0 \)

\( x = 1 \) için verilen 3 sayı aşağıdaki gibi olur.

\( \abs{1}, 1 + 12, 1^2 \)

\( 1, 13, 1 \)

Durum 2.2: \( x \lt 0 \)

\( -x = x^2 \)

\( x(x + 1) = 0 \)

\( x = 0 \) ya da \( x = -1 \)

\( x = 0 \) için verilen 3 sayıyı yukarıda bulmuştuk.

\( x = -1 \) için verilen 3 sayı aşağıdaki gibi olur.

\( \abs{-1}, -1 + 12, (-1)^2 \)

\( 1, 11, 1 \)

Durum 3:

\( x + 12 = x^2 \)

\( (x - 4)(x + 3) = 0 \)

\( x = 4 \) ya da \( x = -3 \)

\( x = 4 \) için verilen 3 sayı aşağıdaki gibi olur.

\( \abs{4}, 4 + 12, 4^2 \)

\( 4, 16, 16 \)

\( x = -3 \) için verilen 3 sayı aşağıdaki gibi olur.

\( \abs{-3}, -3 + 12, (-3)^2 \)

\( 3, 9, 9 \)

İstenen koşulu sağlayan farklı \( x \) değerleri aşağıdaki gibi bulunur.

\( x \in \{ -6, -3, -1, 0, 1, 4 \} \)