Mutlak Değer Denklemleri

(a) seçeneği:

\( \abs{-2x} = -2x \)

Mutlak değer içindeki ifade mutlak değerden olduğu gibi çıktığına göre değeri sıfır ya da pozitiftir.

\( -2x \ge 0 \)

\( x \le 0 \)

(b) seçeneği:

\( \abs{2x + 5} = -2x - 5 = -(2x + 5) \)

Mutlak değer içindeki ifade mutlak değerden negatif işaretli çıktığına göre değeri sıfır ya da negatiftir.

\( 2x + 5 \le 0 \)

\( x \le -\dfrac{5}{2} \)

(c) seçeneği:

\( \abs{-8 + 3x} = 3x - 8 = -8 + 3x \)

Mutlak değer içindeki ifade mutlak değerden olduğu gibi çıktığına göre değeri sıfır ya da pozitiftir.

\( -8 + 3x \ge 0 \)

\( x \ge \dfrac{8}{3} \)

(a) seçeneği:

\( \abs{6 - 2x} + \abs{3x - 9} = 25 \)

\( \abs{2(3 - x)} + \abs{3(x - 3)} = 25 \)

Mutlak değer içindeki pozitif çarpan mutlak değer dışına çıkarılabilir.

\( 2\abs{3 - x} + 3\abs{x - 3} = 25 \)

\( \abs{3 - x} \) ve \( \abs{x - 3} \) ifadeleri birbirine eşittir.

\( 2\abs{x - 3} + 3\abs{x - 3} = 25 \)

\( 5\abs{x - 3} = 25 \)

\( \abs{x - 3} = 5 \)

Bu denklem iki durumda sağlanır.

Durum 1: \( x - 3 = 5 \)

\( x = 8 \)

Durum 2: \( x - 3 = -5 \)

\( x = -2 \)

Bulduğumuz çözüm değerlerinin birleşimi denklemin çözüm kümesini verir.

Çözüm kümesi: \( x \in \{-2, 8\} \)

(b) seçeneği:

\( \abs{5 - 5x} - \abs{x - 1} = 72 \)

\( \abs{5(1 - x)} - \abs{x - 1} = 72 \)

Mutlak değer içindeki pozitif çarpan mutlak değer dışına çıkarılabilir.

\( 5\abs{1 - x} - \abs{x - 1} = 72 \)

\( \abs{1 - x} \) ve \( \abs{x - 1} \) ifadeleri birbirine eşittir.

\( 5\abs{x - 1} - \abs{x - 1} = 72 \)

\( 4\abs{x - 1} = 72 \)

\( \abs{x - 1} = 18 \)

Bu denklem iki durumda sağlanır.

Durum 1: \( x - 1 = 18 \)

\( x = 19 \)

Durum 2: \( x - 1 = -18 \)

\( x = -17 \)

Bulduğumuz çözüm değerlerinin birleşimi denklemin çözüm kümesini verir.

Çözüm kümesi: \( x \in \{-17, 19\} \)

(c) seçeneği:

\( 4\abs{7 - x} + \abs{2x - 14} = 90 \)

\( 4\abs{7 - x} + \abs{2(x - 7)} = 90 \)

Mutlak değer içindeki pozitif çarpan mutlak değer dışına çıkarılabilir.

\( 4\abs{7 - x} + 2\abs{x - 7} = 90 \)

\( \abs{7 - x} \) ve \( \abs{x - 7} \) ifadeleri birbirine eşittir.

\( 4\abs{x - 7} + 2\abs{x - 7} = 90 \)

\( 6\abs{x - 7} = 90 \)

\( \abs{x - 7} = 15 \)

Bu denklem iki durumda sağlanır.

Durum 1: \( x - 7 = 15 \)

\( x = 22 \)

Durum 2: \( x - 7 = -15 \)

\( x = -8 \)

Bulduğumuz çözüm değerlerinin birleşimi denklemin çözüm kümesini verir.

Çözüm kümesi: \( x \in \{-8, 22\} \)

\( \sqrt[3]{-8} = -2 \)

\( \abs{\sqrt[3]{x} - 2} = 3 \)

Bu denklem iki durumda sağlanır.

Durum 1:

\( \sqrt[3]{x} - 2 = 3 \)

\( \sqrt[3]{x} = 5 \)

\( x = 125 \)

Durum 2:

\( \sqrt[3]{x} - 2 = -3 \)

\( \sqrt[3]{x} = -1 \)

\( x = -1 \)

Eşitliği sağlayan \( x \) değerlerinin toplamı \( 125 + (-1) = 124 \) olarak bulunur.

Bu denklem iki durumda sağlanır.

Durum 1:

\( x + k = 40 \)

\( x = 40 - k \)

Durum 2:

\( x + k = -40 \)

\( x = -40 - k \)

Bu iki çözümün toplamı 22 olarak veriliyor.

\( (40 - k) + (-40 - k) = 22 \)

\( -2k = 22 \)

\( k = -11 \) bulunur.

Mutlak değer ifadesini yalnız bırakalım.

\( \abs{3x^2 - 5x + 2} = 3x^2 - 5x + 2 \)

Mutlak değer içindeki ifade mutlak değerden olduğu gibi çıktığına göre değeri sıfır ya da pozitiftir.

\( 3x^2 - 5x + 2 \ge 0 \)

Eşitsizliğin sol tarafını çarpanlarına ayıralım.

\( (3x - 2)(x - 1) \ge 0 \)

İkinci dereceden ifadeyi sıfır yapan değerler \( x = \frac{2}{3} \) ve \( x = 1 \)'dir.

Pozitif başkatsayılı ve birbirinden farklı iki reel kökü olan ikinci dereceden bir ifade kök değerlerinde sıfır, köklerin arasındaki aralıkta negatif, dışındaki aralıkta pozitif olur.

Eşitsizlikte \( \ge \) sembolü kullanıldığı için eşitsizliğin pozitif ve sıfır olduğu aralıklar eşitsizliğin çözüm kümesi olur.

Çözüm kümesi: \( x \in (-\infty, \frac{2}{3}] \cup [1, \infty) \)

Birinci denklemin çözüm kümesini bulalım.

\( \abs{3x - 6} = 12 \)

\( 3x - 6 = 12 \) ya da \( 3x - 6 = -12 \)

\( x = 6 \) ya da \( x = -2 \)

\( x \in \{6, -2\} \)

İkinci denklemin çözüm kümesini bulalım.

\( \abs{y - 9} = 5 \)

\( y - 9 = 5 \) ya da \( y - 9 = -5 \)

\( y = 14 \) ya da \( y = 4 \)

\( y \in \{4, 14\} \)

Bulduğumuz \( x \) ve \( y \) değerlerinin çarpımları içinden en küçük olanı bulmak için \( x \)'in negatif değerini, \( y \)'nin de büyük değerini seçmeliyiz.

\( xy = (-2) \cdot 14 = -28 \) bulunur.

(a) seçeneği:

\( \abs{x - \abs{3x + 8} - 1} = 13 \)

Mutlak değer içini sıfır yapan \( x = -\frac{8}{3} \) değerinin oluşturduğu \( x \lt -\frac{8}{3} \) ve \( x \ge -\frac{8}{3} \) aralıklarını ayrı ayrı inceleyelim ve her durumda oluşan denklemi çözelim.

Durum 1: \( x \lt -\frac{8}{3} \)

Bu aralıkta \( 3x + 8 \) ifadesi negatif olur ve mutlak değer dışına negatif işaretli çıkar.

\( \abs{x - [-(3x + 8)] - 1} = 13 \)

\( \abs{x + 3x + 8 - 1} = 13 \)

\( \abs{4x + 7} = 13 \)

Bu denklem iki durumda sağlanır.

Durum 1.1: \( 4x + 7 = 13 \)

\( x = \dfrac{3}{2} \)

Bu değer incelediğimiz \( x \lt -\frac{8}{3} \) aralığında bulunmadığı için geçerli bir çözüm değildir.

Durum 1.2: \( 4x + 7 = -13 \)

\( x = -5 \)

Bu değer incelediğimiz \( x \lt -\frac{8}{3} \) aralığında bulunduğu için geçerli bir çözümdür.

Durum 2: \( x \ge -\frac{8}{3} \)

Bu aralıkta \( 3x + 8 \) ifadesi sıfır ya da pozitif olur ve mutlak değer dışına olduğu gibi çıkar.

\( \abs{x - (3x + 8) - 1} = 13 \)

\( \abs{-2x - 9} = 13 \)

Bu denklem iki durumda sağlanır.

Durum 2.1: \( -2x - 9 = 13 \)

\( x = -11 \)

Bu değer incelediğimiz \( x \ge -\frac{8}{3} \) aralığında bulunmadığı için geçerli bir çözüm değildir.

Durum 2.2: \( -2x - 9 = -13 \)

\( x = 2 \)

Bu değer incelediğimiz \( x \ge -\frac{8}{3} \) aralığında bulunduğu için geçerli bir çözümdür.

Bulduğumuz çözüm değerlerinin birleşimi denklemin çözüm kümesini verir.

Çözüm kümesi: \( x \in \{-5, 2\} \)

(b) seçeneği:

\( \abs{12x - \abs{-10x + 5} + 4} = 45 \)

Mutlak değer içini sıfır yapan \( x = \frac{1}{2} \) değerinin oluşturduğu \( x \lt \frac{1}{2} \) ve \( x \ge \frac{1}{2} \) aralıklarını ayrı ayrı inceleyelim ve her durumda oluşan denklemi çözelim.

Durum 1: \( x \lt \frac{1}{2} \)

Bu aralıkta \( -10x + 5 \) ifadesi pozitif olur ve mutlak değer dışına olduğu gibi çıkar.

\( \abs{12x - (-10x + 5) + 4} = 45 \)

\( \abs{12x + 10x - 5 + 4} = 45 \)

\( \abs{22x - 1} = 45 \)

Bu denklem iki durumda sağlanır.

Durum 1.1: \( 22x - 1 = 45 \)

\( x = \dfrac{23}{11} \)

Bu değer incelediğimiz \( x \lt \frac{1}{2} \) aralığında bulunmadığı için geçerli bir çözüm değildir.

Durum 1.2: \( 22x - 1 = -45 \)

\( x = -2 \)

Bu değer incelediğimiz \( x \lt \frac{1}{2} \) aralığında bulunduğu için geçerli bir çözümdür.

Durum 2: \( x \ge \frac{1}{2} \)

Bu aralıkta \( -10x + 5 \) ifadesi sıfır ya da negatif olur ve mutlak değer dışına negatif işaretli çıkar.

\( \abs{12x - [-(-10x + 5)] + 4} = 45 \)

\( \abs{12x - 10x + 5 + 4} = 45 \)

\( \abs{2x + 9} = 45 \)

Bu denklem iki durumda sağlanır.

Durum 2.1: \( 2x + 9 = 45 \)

\( x = 18 \)

Bu değer incelediğimiz \( x \ge \frac{1}{2} \) aralığında bulunduğu için geçerli bir çözümdür.

Durum 2.2: \( 2x + 9 = -45 \)

\( x = -27 \)

Bu değer incelediğimiz \( x \ge \frac{1}{2} \) aralığında bulunmadığı için geçerli bir çözüm değildir.

Bulduğumuz çözüm değerlerinin birleşimi denklemin çözüm kümesini verir.

Çözüm kümesi: \( x \in \{-2, 18\} \)

(c) seçeneği:

\( \abs{6x + \abs{-x} - 8} = 20 \)

Mutlak değer içini sıfır yapan \( x = 0 \) değerinin oluşturduğu \( x \lt 0 \) ve \( x \ge 0 \) aralıklarını ayrı ayrı inceleyelim ve her durumda oluşan denklemi çözelim.

Durum 1: \( x \lt 0 \)

Bu aralıkta \( x \) ifadesi pozitif olur ve mutlak değer dışına olduğu gibi çıkar.

\( \abs{6x + (-x) - 8} = 20 \)

\( \abs{5x - 8} = 20 \)

Bu denklem iki durumda sağlanır.

Durum 1.1: \( 5x - 8 = 20 \)

\( x = \dfrac{28}{5} \)

Bu değer incelediğimiz \( x \lt 0 \) aralığında bulunmadığı için geçerli bir çözüm değildir.

Durum 1.2: \( 5x - 8 = -20 \)

\( x = -\dfrac{12}{5} \)

Bu değer incelediğimiz \( x \lt 0 \) aralığında bulunduğu için geçerli bir çözümdür.

Durum 2: \( x \ge 0 \)

Bu aralıkta \( x \) ifadesi sıfır ya da negatif olur ve mutlak değer dışına negatif işaretli çıkar.

\( \abs{6x + [-(-x)] - 8} = 20 \)

\( \abs{6x + x - 8} = 20 \)

\( \abs{7x - 8} = 20 \)

Bu denklem iki durumda sağlanır.

Durum 2.1: \( 7x - 8 = 20 \)

\( x = 4 \)

Bu değer incelediğimiz \( x \ge 0 \) aralığında bulunduğu için geçerli bir çözümdür.

Durum 2.2: \( 7x - 8 = -20 \)

\( x = -\dfrac{12}{7} \)

Bu değer incelediğimiz \( x \ge 0 \) aralığında bulunmadığı için geçerli bir çözüm değildir.

Bulduğumuz çözüm değerlerinin birleşimi denklemin çözüm kümesini verir.

Çözüm kümesi: \( x \in \{-\frac{12}{5}, 4\} \)

(a) seçeneği:

\( \abs{3x - 2} + \abs{x - 2} = 12 \)

Mutlak değer içini sıfır yapan \( x \in \{\frac{2}{3}, 2\} \) değerlerinin oluşturduğu \( x \lt \frac{2}{3} \), \( \frac{2}{3} \le x \lt 2 \) ve \( x \ge 2 \) aralıklarını ayrı ayrı inceleyelim ve her durumda oluşan denklemi çözelim.

Durum 1: \( x \lt \frac{2}{3} \)

Bu aralıkta \( 3x - 2 \) ve \( x - 2 \) ifadeleri negatif olur ve mutlak değer dışına negatif işaretli çıkar.

\( -(3x - 2) + [-(x - 2)] = 12 \)

\( -3x + 2 + 2 - x = 12 \)

\( 4 - 4x = 12 \)

\( x = -2 \)

Bu değer incelediğimiz \( x \lt \frac{2}{3} \) aralığında bulunduğu için geçerli bir çözümdür.

Durum 2: \( \frac{2}{3} \le x \lt 2 \)

Bu aralıkta \( 3x - 2 \) ifadesi sıfır ya da pozitif olur ve mutlak değer dışına olduğu gibi çıkar.

Bu aralıkta \( x - 2 \) ifadesi negatif olur ve mutlak değer dışına negatif işaretli çıkar.

\( (3x - 2) + [-(x - 2)] = 12 \)

\( 3x - 2 + 2 - x = 12 \)

\( x = 6 \)

Bu değer incelediğimiz \( \frac{2}{3} \le x \lt 2 \) aralığında bulunmadığı için geçerli bir çözüm değildir.

Durum 3: \( x \ge 2 \)

Bu aralıkta \( 3x - 2 \) ve \( x - 2 \) ifadeleri sıfır ya da pozitif olur ve mutlak değer dışına olduğu gibi çıkar.

\( (3x - 2) + (x - 2) = 12 \)

\( 4x - 4 = 12 \)

\( x = 4 \)

Bu değer incelediğimiz \( x \ge 2 \) aralığında bulunduğu için geçerli bir çözümdür.

Bulduğumuz çözüm değerlerinin birleşimi denklemin çözüm kümesini verir.

Çözüm kümesi: \( x \in \{-2, 4\} \)

(b) seçeneği:

\( \abs{2 - x} - \abs{2x - 1} = -6 \)

Mutlak değer içini sıfır yapan \( x \in \{\frac{1}{2}, 2\} \) değerlerinin oluşturduğu \( x \lt \frac{1}{2} \), \( \frac{1}{2} \le x \lt 2 \) ve \( x \ge 2 \) aralıklarını ayrı ayrı inceleyelim ve her durumda oluşan denklemi çözelim.

Durum 1: \( x \lt \frac{1}{2} \)

Bu aralıkta \( 2x - 1 \) ifadesi negatif olur ve mutlak değer dışına negatif işaretli çıkar.

Bu aralıkta \( 2 - x \) ifadesi pozitif olur ve mutlak değer dışına olduğu gibi çıkar.

\( (2 - x) - [-(2x - 1)] = -6 \)

\( 2 - x + 2x - 1 = -6 \)

\( x = -7 \)

Bu değer incelediğimiz \( x \lt \frac{1}{2} \) aralığında bulunduğu için geçerli bir çözümdür.

Durum 2: \( \frac{1}{2} \le x \lt 2 \)

Bu aralıkta \( 2x - 1 \) ve \( 2 - x \) ifadeleri sıfır ya da pozitif olur ve mutlak değer dışına olduğu gibi çıkar.

\( (2 - x) - (2x - 1) = -6 \)

\( 2 - x - 2x + 1 = -6 \)

\( x = 3 \)

Bu değer incelediğimiz \( \frac{1}{2} \le x \lt 2 \) aralığında bulunmadığı için geçerli bir çözüm değildir.

Durum 3: \( x \ge 2 \)

Bu aralıkta \( 2x - 1 \) ifadesi pozitif olur ve mutlak değer dışına olduğu gibi çıkar.

Bu aralıkta \( 2 - x \) ifadesi sıfır ya da negatif olur ve mutlak değer dışına negatif işaretli çıkar.

\( -(2 - x) - (2x - 1) = -6 \)

\( -2 + x - 2x + 1 = -6 \)

\( x = 5 \)

Bu değer incelediğimiz \( x \ge 2 \) aralığında bulunduğu için geçerli bir çözümdür.

Bulduğumuz çözüm değerlerinin birleşimi denklemin çözüm kümesini verir.

Çözüm kümesi: \( x \in \{-7, 5\} \)

(c) seçeneği:

\( \abs{12 - 4x} + \abs{8 - x} = 4 \)

Mutlak değer içini sıfır yapan \( x \in \{3, 8\} \) değerlerinin oluşturduğu \( x \lt 3 \), \( 3 \le x \lt 8 \) ve \( x \ge 8 \) aralıklarını ayrı ayrı inceleyelim ve her durumda oluşan denklemi çözelim.

Durum 1: \( x \lt 3 \)

Bu aralıkta \( 12 - 4x \) ve \( 8 - x \) ifadeleri pozitif olur ve mutlak değer dışına olduğu gibi çıkar.

\( (12 - 4x) + (8 - x) = 4 \)

\( 12 - 4x + 8 - x = 4 \)

\( x = \dfrac{16}{5} \)

Bu değer incelediğimiz \( x \lt 3 \) aralığında bulunmadığı için geçerli bir çözüm değildir.

Durum 2: \( 3 \le x \lt 8 \)

Bu aralıkta \( 12 - 4x \) ifadesi sıfır ya da negatif olur ve mutlak değer dışına negatif işaretli çıkar.

Bu aralıkta \( 8 - x \) ifadesi pozitif olur ve mutlak değer dışına olduğu gibi çıkar.

\( -(12 - 4x) + (8 - x) = 4 \)

\( -12 + 4x + 8 - x = 4 \)

\( x = \dfrac{8}{3} \)

Bu değer incelediğimiz \( 3 \le x \lt 8 \) aralığında bulunmadığı için geçerli bir çözüm değildir.

Durum 3: \( x \ge 8 \)

Bu aralıkta \( 12 - 4x \) ve \( 8 - x \) ifadeleri sıfır ya da negatif olur ve mutlak değer dışına negatif işaretli çıkar.

\( -(12 - 4x) + [-(8 - x)] = 4 \)

\( -12 + 4x - 8 + x = 4 \)

\( x = \dfrac{24}{5} \)

Bu değer incelediğimiz \( x \ge 8 \) aralığında bulunmadığı için geçerli bir çözüm değildir.

Her üç durumda da geçerli bir çözüm bulunmadığı için denklemin çözüm kümesi boş kümedir.

Çözüm kümesi: \( x \in \emptyset \)

(a) seçeneği:

\( \abs{x - 1} = x^2 + 4x - 5 \)

Mutlak değer içini sıfır yapan \( x = 1 \) değerinin oluşturduğu \( x \lt 1 \) ve \( x \ge 1 \) aralıklarını ayrı ayrı inceleyelim ve her durumda oluşan denklemi çözelim.

Durum 1: \( x \lt 1 \)

Bu aralıkta \( x - 1 \) ifadesi negatif olur ve mutlak değer dışına negatif işaretli çıkar.

\( -(x - 1) = x^2 + 4x - 5 \)

\( x^2 + 5x - 6 = 0 \)

\( (x + 6)(x - 1) = 0 \)

\( x = -6, \quad x = 1 \)

İncelediğimiz \( x \lt 1 \) aralığında sadece \( x = -6 \) geçerli bir çözümdür.

\( x \in \{-6\} \)

Durum 2: \( x \ge 1 \)

Bu aralıkta \( x - 1 \) ifadesi sıfır ya da pozitif olur ve mutlak değer dışına olduğu gibi çıkar.

\( x - 1 = x^2 + 4x - 5 \)

\( x^2 + 3x - 4 = 0 \)

\( (x + 4)(x - 1) = 0 \)

\( x = -4, \quad x = 1 \)

İncelediğimiz \( x \ge 1 \) aralığında sadece \( x = 1 \) geçerli bir çözümdür.

\( x \in \{1\} \)

Bulduğumuz çözüm değerlerinin birleşimi denklemin çözüm kümesini verir.

Çözüm kümesi: \( x \in \{-6, 1\} \)

(b) seçeneği:

\( \abs{3x - 18} = 3x^2 - 4x - 12 \)

Mutlak değer içini sıfır yapan \( x = 6 \) değerinin oluşturduğu \( x \lt 6 \) ve \( x \ge 6 \) aralıklarını ayrı ayrı inceleyelim ve her durumda oluşan denklemi çözelim.

Durum 1: \( x \lt 6 \)

Bu aralıkta \( 3x - 18 \) ifadesi negatif olur ve mutlak değer dışına negatif işaretli çıkar.

\( -(3x - 18) = 3x^2 - 4x - 12 \)

\( 3x^2 - x - 30 = 0 \)

\( (3x - 10)(x + 3) = 0 \)

\( x = \dfrac{10}{3}, \quad x = -3 \)

Bu iki değer incelediğimiz \( x \lt 6 \) aralığında bulunduğu için geçerli birer çözümdür.

\( x \in \{-3, \frac{10}{3}\} \)

Durum 2: \( x \ge 6 \)

Bu aralıkta \( 3x - 18 \) ifadesi sıfır ya da pozitif olur ve mutlak değer dışına olduğu gibi çıkar.

\( 3x - 18 = 3x^2 - 4x - 12 \)

\( 3x^2 - 7x + 6 = 0 \)

Denklemin deltasını hesaplayalım.

\( \Delta = b^2 - 4ac \)

\( a = 3, \quad b = -7, \quad c = 6 \)

\( \Delta = (-7)^2 - 4(3)(6) = -23 \)

\( \Delta \lt 0 \) olduğu için denklemin reel sayı kökü yoktur.

\( x \in \emptyset \)

Bulduğumuz çözüm değerlerinin birleşimi denklemin çözüm kümesini verir.

Çözüm kümesi: \( x \in \{-3, \frac{10}{3}\} \)

(c) seçeneği:

\( \abs{10 - 8x} = 5x^2 + 15x \)

Mutlak değer içini sıfır yapan \( x = \frac{5}{4} \) değerinin oluşturduğu \( x \lt \frac{5}{4} \) ve \( x \ge \frac{5}{4} \) aralıklarını ayrı ayrı inceleyelim ve her durumda oluşan denklemi çözelim.

Durum 1: \( x \lt \frac{5}{4} \)

Bu aralıkta \( 10 - 8x \) ifadesi pozitif olur ve mutlak değer dışına olduğu gibi çıkar.

\( 10 - 8x = 5x^2 + 15x \)

\( 5x^2 + 23x - 10 = 0 \)

\( (5x - 2)(x + 5) = 0 \)

\( x = \dfrac{2}{5}, \quad x = -5 \)

Bu iki değer incelediğimiz \( x \lt \frac{5}{4} \) aralığında bulunduğu için geçerli birer çözümdür.

\( x \in \{-5, \frac{2}{5}\} \)

Durum 2: \( x \ge \frac{5}{4} \)

Bu aralıkta \( 10 - 8x \) ifadesi sıfır ya da negatif olur ve mutlak değer dışına negatif işaretli çıkar.

\( -(10 - 8x) = 5x^2 + 15x \)

\( -10 + 8x = 5x^2 + 15x \)

\( 5x^2 + 7x + 10 = 0 \)

Denklemin deltasını hesaplayalım.

\( \Delta = b^2 - 4ac \)

\( a = 5, \quad b = 7, \quad c = 10 \)

\( \Delta = 7^2 - 4(5)(10) = -151 \)

\( \Delta \lt 0 \) olduğu için denklemin reel sayı kökü yoktur.

\( x \in \emptyset \)

Bulduğumuz çözüm değerlerinin birleşimi denklemin çözüm kümesini verir.

Çözüm kümesi: \( x \in \{-5, \frac{2}{5}\} \)

Mutlak değerli bir ifade negatif olamayacağı için, iki ya da daha fazla sayıda mutlak değerli ifadenin toplamı sıfır ise her ifade ayrı ayrı sıfıra eşittir.

\( \abs{3x - 4y + 14} = 0 \)

\( \abs{2x + 3y - 19} = 0 \)

Bir ifadenin mutlak değeri sıfıra eşitse kendisi de sıfırdır.

\( 3x - 4y + 14 = 0 \)

\( 2x + 3y - 19 = 0 \)

Birinci denklemin taraflarını 3 ile, ikinci denklemin taraflarını 4 ile çarpalım.

\( 9x - 12y + 42 = 0 \)

\( 8x + 12y - 76 = 0 \)

İki denklemi taraf tarafa toplayalım.

\( 17x - 34 = 0 \)

\( x = 2 \)

\( x = 2 \) değerini birinci denklemde yerine yazarak \( y \) değerini bulalım.

\( 3(2) - 4y + 14 = 0 \)

\( -4y = -20 \)

\( y = 5 \)

İstenen ifadenin sonucunu bulalım.

\( x^2 - y^2 = 2^2 - 5^2 = -21 \) bulunur.

Mutlak değer içini sıfır yapan \( x = 4 \) değerinin oluşturduğu \( x \lt 4 \) ve \( x \ge 4 \) aralıklarını ayrı ayrı inceleyelim ve her durumda oluşan denklemi çözelim.

Durum 1: \( x \lt 4 \)

Bu aralıkta \( x - 4 \) ifadesi negatif olur ve mutlak değer dışına negatif işaretli çıkar.

\( \abs{x - 4} = -(x - 4) = 4 - x \)

\( (4 - x)^2 - 4(4 - x) = 5 \)

\( 16 - 8x + x^2 - 16 + 4x = 5 \)

\( x^2 - 4x - 5 = 0 \)

\( (x + 1)(x - 5) = 0 \)

\( x = -1, \quad x = 5 \)

İncelediğimiz \( x \lt 4 \) aralığında sadece \( x = -1 \) geçerli bir çözümdür.

\( x \in \{-1\} \)

Durum 2: \( x \ge 4 \)

Bu aralıkta \( x - 4 \) ifadesi sıfır ya da pozitif olur ve mutlak değer dışına olduğu gibi çıkar.

\( \abs{x - 4} = x - 4 \)

\( (x - 4)^2 - 4(x - 4) = 5 \)

\( x^2 - 8x + 16 - 4x + 16 = 5 \)

\( x^2 - 12x + 27 = 0 \)

\( (x - 3)(x - 9) = 0 \)

\( x = 3, \quad x = 9 \)

İncelediğimiz \( x \ge 4 \) aralığında sadece \( x = 9 \) geçerli bir çözümdür.

\( x \in \{9\} \)

İki aralık için bulduğumuz çözüm değerlerinin birleşimi denklemin çözüm kümesini verir.

Çözüm kümesi: \( x \in \{-1, 9\} \)

Mutlak değer içini sıfır yapan \( x = 3 \) değerinin oluşturduğu \( x \lt 3 \) ve \( x \ge 3 \) aralıklarını ayrı ayrı inceleyelim ve her durumda oluşan denklemi çözelim.

Durum 1: \( x \lt 3 \)

Bu aralıkta \( x - 3 \) ifadesi negatif olur ve mutlak değer dışına negatif işaretli çıkar.

\( -(x - 3) + (x - 3)^2 - 12 = 0 \)

\( 3 - x + x^2 - 6x + 9 - 12 = 0 \)

\( x^2 - 7x = 0 \)

\( x(x - 7) = 0 \)

\( x = 0, \quad x = 7 \)

İncelediğimiz \( x \lt 3 \) aralığında sadece \( x = 0 \) geçerli bir çözümdür.

\( x \in \{0\} \)

Durum 2: \( x \ge 3 \)

Bu aralıkta \( x - 3 \) ifadesi sıfır ya da pozitif olur ve mutlak değer dışına olduğu gibi çıkar.

\( (x - 3) + (x - 3)^2 - 12 = 0 \)

\( x - 3 + x^2 - 6x + 9 - 12 = 0 \)

\( x^2 - 5x - 6 = 0 \)

\( (x + 1)(x - 6) = 0 \)

\( x = -1, \quad x = 6 \)

İncelediğimiz \( x \ge 3 \) aralığında sadece \( x = 6 \) geçerli bir çözümdür.

\( x \in \{6\} \)

Bulduğumuz çözüm değerlerinin toplamını alalım.

\( 6 + 0 = 6 \) bulunur.

Mutlak değer içini sıfır yapan \( x = 0 \) değerinin oluşturduğu \( x \lt 0 \) ve \( x \ge 0 \) aralıklarını ayrı ayrı inceleyelim ve her durumda oluşan denklemi çözelim.

Durum 1: \( x \lt 0 \)

Bu aralıkta \( x \) ifadesi negatif olur ve mutlak değer dışına negatif işaretli çıkar.

\( x^2 - 8(-x) + 7 = 0 \)

\( x^2 + 8x + 7 = 0 \)

\( (x + 7)(x + 1) = 0 \)

\( x = -7, \quad x = -1 \)

İncelediğimiz \( x \lt 0 \) aralığında her iki değer de geçerli birer çözümdür.

\( x \in \{-7, -1\} \)

Durum 2: \( x \ge 0 \)

Bu aralıkta \( x \) ifadesi sıfır ya da pozitif olur ve mutlak değer dışına olduğu gibi çıkar.

\( x^2 - 8x + 7 = 0 \)

\( (x - 1)(x - 7) = 0 \)

\( x = 1, \quad x = 7 \)

İncelediğimiz \( x \ge 0 \) aralığında her iki değer de geçerli birer çözümdür.

\( x \in \{1, 7\} \)

Bulduğumuz çözüm değerlerinin çarpımını alalım.

\( (-7) \cdot (-1) \cdot 1 \cdot 7 = 49 \) bulunur.

Mutlak değer içini sıfır yapan \( x \in \{-18, -15\}\) değerlerinin oluşturduğu \( x \lt -18 \), \( -18 \le x \lt -15 \) ve \(x \ge -15 \) aralıklarını ayrı ayrı inceleyelim ve her durumda oluşan denklemi çözelim.

Durum 1: \( x \lt -18 \)

Bu aralıkta \( x + 18 \) ve \( x + 15 \) ifadeleri negatif olur ve mutlak değer dışına negatif işaretli çıkar.

\( -(x + 15) + [-(x + 18)] = 81 \)

\( -x - 15 - x - 18 = 81 \)

\( x = -57 \)

Bu değer incelediğimiz \( x \lt -18 \) aralığında bulunduğu için geçerli bir çözümdür.

Durum 2: \( -18 \le x \lt -15 \)

Bu aralıkta \( x + 18 \) ifadesi sıfır ya da pozitif olur ve mutlak değer dışına olduğu gibi çıkar.

Bu aralıkta \( x + 15 \) ifadesi negatif olur ve mutlak değer dışına negatif işaretli çıkar.

\( -(x + 15) + (x + 18) = 81 \)

\( -x - 15 + x + 18 = 81 \)

\( 3 = 81 \)

Bu eşitlik \( -18 \le x \lt -15 \) aralığında hiçbir \( x \) değeri için sağlanmaz.

Durum 3: \( x \ge -15 \)

Bu aralıkta \( x + 18 \) ve \( x + 15 \) ifadeleri sıfır ya da pozitif olur ve mutlak değer dışına olduğu gibi çıkar.

\( (x + 15) + (x + 18) = 81 \)

\( 2x + 33 = 81 \)

\( x = 24 \)

Bu değer incelediğimiz \( x \ge -15 \) aralığında bulunduğu için geçerli bir çözümdür.

Bulduğumuz çözüm değerlerinin birleşimi denklemin çözüm kümesini verir.

Çözüm kümesi: \( x \in \{-57, 24\} \)

Mutlak değer içini sıfır yapan \( x \in \{4, \frac{11}{2}\} \) değerlerinin oluşturduğu \( x \lt 4 \), \( 4 \le x \lt \frac{11}{2} \) ve \( x \ge \frac{11}{2} \) aralıklarını ayrı ayrı inceleyelim ve her durumda oluşan denklemi çözelim.

Durum 1: \( x \lt 4 \)

Bu aralıkta \( x - 4 \) ve \( 2x - 11 \) ifadeleri negatif olur ve mutlak değer dışına negatif işaretli çıkar.

\( -(2x - 11) - [-(x - 4)] = 45 \)

\( -2x + 11 + x - 4 = 45 \)

\( x = -38 \)

Bu değer incelediğimiz \( x \lt 4 \) aralığında bulunduğu için geçerli bir çözümdür.

Durum 2: \( 4 \le x \lt \frac{11}{2} \)

Bu aralıkta \( x - 4 \) ifadesi sıfır ya da pozitif olur ve mutlak değer dışına olduğu gibi çıkar.

Bu aralıkta \( 2x - 11 \) ifadesi negatif olur ve mutlak değer dışına negatif işaretli çıkar.

\( -(2x - 11) - (x - 4) = 45 \)

\( -2x + 11 - x + 4 = 45 \)

\( 15 - 3x = 45 \)

\( x = -10 \)

Bu değer incelediğimiz \( 4 \le x \lt \frac{11}{2} \) aralığında bulunmadığı için geçerli bir çözüm değildir.

Durum 3: \( x \ge \frac{11}{2} \)

Bu aralıkta \( x - 4 \) ve \( 2x - 11 \) ifadeleri sıfır ya da pozitif olur ve mutlak değer dışına olduğu gibi çıkar.

\( (2x - 11) - (x - 4) = 45 \)

\( 2x - 11 - x + 4 = 45 \)

\( x = 52 \)

Bu değer incelediğimiz \( x \ge \frac{11}{2} \) aralığında bulunduğu için geçerli bir çözümdür.

Bulduğumuz çözüm değerlerinin birleşimi denklemin çözüm kümesini verir.

Çözüm kümesi: \( x \in \{-38, 52\} \)

Mutlak değer içindeki ifadeyi çarpanlarına ayıralım.

\( \abs{(2x + 1)(x + 3)} = 10x + 12 \)

Mutlak değer içini sıfır yapan \( x \in \{-3, -\frac{1}{2}\} \) değerlerinin oluşturduğu \( x \lt -3 \), \( -3 \le x \lt -\frac{1}{2} \) ve \( x \ge -\frac{1}{2} \) aralıklarını ayrı ayrı inceleyelim ve her durumda oluşan denklemi çözelim.

Durum 1: \( x \lt -3 \)

Bu aralıkta \( 2x + 1 \) ve \( x + 3 \) ifadeleri negatif olur, dolayısıyla çarpımları pozitif olur ve mutlak değerden olduğu gibi çıkar.

\( (2x + 1)(x + 3) = 10x + 12 \)

\( 2x^2 + 7x + 3 = 10x + 12 \)

\( 2x^2 - 3x - 9 = 0 \)

\( (2x + 3)(x - 3) = 0 \)

\( x = -\dfrac{3}{2}, \quad x = 3 \)

İncelediğimiz \( x \lt -3 \) aralığında iki değer de geçerli birer çözüm değildir.

\( x \in \emptyset \)

Durum 2: \( -3 \le x \lt -\frac{1}{2} \)

Bu aralıkta \( x + 3 \) ifadesi sıfır ya da pozitif, \( 2x + 1 \) ifadesi negatif olur, dolayısıyla çarpımları sıfır ya da negatif olur ve mutlak değerden negatif işaretli çıkar.

\( -(2x + 1)(x + 3) = 10x + 12 \)

\( -2x^2 - 7x - 3 = 10x + 12 \)

\( 2x^2 + 17x + 15 = 0 \)

\( (2x + 15)(x + 1) = 0 \)

\( x = -\dfrac{15}{2}, \quad x = -1 \)

İncelediğimiz \( -3 \le x \lt -\frac{1}{2} \) aralığında sadece \( x = -1 \) geçerli bir çözümdür.

\( x \in \{-1\} \)

Durum 3: \( x \ge -\frac{1}{2} \)

Bu aralıkta \( 2x + 1 \) ve \( x + 3 \) ifadeleri sıfır ya da pozitif olur, dolayısıyla çarpımları sıfır ya da pozitif olur ve mutlak değerden olduğu gibi çıkar.

\( (2x + 1)(x + 3) = 10x + 12 \)

\( 2x^2 + 7x + 3 = 10x + 12 \)

\( 2x^2 - 3x - 9 = 0 \)

\( (2x + 3)(x - 3) = 0 \)

\( x = -\dfrac{3}{2}, \quad x = 3 \)

İncelediğimiz \( x \ge -\frac{1}{2} \) aralığında sadece \( x = 3 \) geçerli bir çözümdür.

\( x \in \{3\} \)

Bulduğumuz çözüm değerlerinin birleşimi denklemin çözüm kümesini verir.

Çözüm kümesi: \( x \in \{-1, 3\} \)

\( x^2 \) ifadesi her zaman pozitiftir, dolayısıyla verilen denklemde \( x^2 = \abs{x}^2 \) yazabiliriz.

Mutlak değer içindeki pozitif çarpanlar mutlak değer dışına çıkarılabilir.

\( \abs{x}^2 - 4\abs{x} - 21 = 0 \)

İkinci dereceden denklemi çarpanlarına ayıralım.

\( (\abs{x} - 7)(\abs{x} + 3) = 0\)

\( \abs{x} - 7 = 0 \) ya da \( \abs{x} + 3 = 0 \)

\( \abs{x} = 7 \) ya da \( \abs{x} = -3 \)

\( \abs{x} = 7 \Longrightarrow x \in \{-7, 7\} \)

Mutlak değerli bir ifadenin sonucu negatif olamayacağı için \( \abs{x} = -3 \) eşitliğinin bir çözümü yoktur.

Çözüm kümesi: \( x \in \{-7, 7\} \)

Buna göre \( x \)'in alabileceği değerler çarpımı \( -7 \cdot 7 = -49 \) olur.

Mutlak değer içindeki ikinci dereceden ifadeyi çarpanlarına ayıralım.

\( \abs{(x + 3)(x - 4)} = x + 3 \)

Bir mutlak değer ifadesini 0 yapan değerler ifadenin kritik noktalarıdır.

Buna göre mutlak değer içindeki ifadenin kritik noktaları \( x \in \{-3, 4\} \) değerleridir.

Bu iki kritik noktanın oluşturduğu üç aralığı ayrı ayrı inceleyelim ve her aralıkta mutlak değer içindeki ifadeleri o aralıktaki işaretlerine göre mutlak değerden çıkaralım.

Durum 1: \( x \lt -3 \)

Bu aralıkta her iki mutlak değerli ifade de negatif olur, dolayısıyla mutlak değerden negatif işaretli çıkar.

\( -(x + 3)(-(x - 4)) = x + 3 \)

\( (x + 3)(x - 4) = x + 3 \)

\( (x + 3)(x - 4) - (x + 3) = 0 \)

\( (x + 3)(x - 5) = 0 \)

Bu denklemi sağlayan \( x \in \{-3, 5\} \) değerlerinden ikisi de \( x \lt -3 \) aralığında bulunmadığı için geçerli birer çözüm değildir.

Durum 2: \( -3 \le x \lt 4 \)

Bu aralıkta \( x + 3 \) ifadesi pozitif, \( x - 4 \) ifadesi negatif olur; dolayısıyla birinci ifade mutlak değerden olduğu gibi, ikinci ifade negatif işaretli çıkar.

\( (x + 3)(-(x - 4)) = x + 3 \)

\( -(x + 3)(x - 4) - (x + 3) = 0 \)

\( (x + 3)(-x + 3) = 0 \)

Bu denklemi sağlayan \( x \in \{-3, 3\} \) değerlerinden ikisi de \( -3 \le x \lt 4 \) aralığında bulunduğu için ikisi de geçerli birer çözümdür.

Durum 3: \( x \ge 4 \)

Bu aralıkta her iki mutlak değerli ifade de pozitif olur, dolayısıyla mutlak değerden olduğu gibi çıkar.

\( (x + 3)(x - 4) = x + 3 \)

\( (x + 3)(x - 4) - (x + 3) = 0 \)

\( (x + 3)(x - 5) = 0 \)

Bu denklemi sağlayan \( x \in \{-3, 5\} \) değerlerinden \( x = 5 \) \( x \ge 4 \) aralığında bulunduğu için geçerli bir çözümdür.

Denklemin çözüm kümesi aşağıdaki gibi bulunur.

Çözüm kümesi: \( x \in \{-3, 3, 5\} \)

Buna göre kökler toplamı \( -3 + 3 + 5 = 5 \) olur.

Mutlak değerli ifadeleri sıfır yapan değerler \( x \in \{-5, 7\} \) noktalarıdır.

Bu iki kritik noktanın oluşturduğu üç aralığı ayrı ayrı inceleyelim ve her aralıkta mutlak değer içindeki ifadeleri o aralıktaki işaretlerine göre mutlak değerden çıkaralım.

Durum 1: \( x \lt -5 \)

Bu aralıkta her iki mutlak değerli ifade de negatif olur, dolayısıyla mutlak değerden negatif işaretli çıkar.

\( -(x + 5) - (x - 7) = 15 \)

\( -2x + 2 = 15 \)

\( x = -\dfrac{13}{2} \)

Bulduğumuz değer denklemi çözdüğümüz \( x \lt -5 \) aralığında olduğu için geçerli bir çözümdür.

Durum 2: \( -5 \le x \lt 7 \)

Bu aralıkta \( x + 5 \) ifadesi pozitif, \( x - 7 \) ifadesi negatif olur, dolayısıyla birinci ifade mutlak değerden olduğu gibi, ikinci ifade negatif işaretli çıkar.

\( (x + 5) - (x - 7) = 15 \)

\( 12 = 15 \)

Elde ettiğimiz eşitlik herhangi bir \( x \) değeri için sağlanmadığı için bu aralıkta geçerli bir çözüm yoktur.

Durum 3: \( 7 \le x \)

Bu aralıkta her iki mutlak değerli ifade de pozitif olur, dolayısıyla mutlak değerden olduğu gibi çıkar.

\( (x + 5) + (x - 7) = 15 \)

\( 2x - 2 = 15 \)

\( x = \dfrac{17}{2} \)

Bulduğumuz değer denklemi çözdüğümüz \( 7 \le x \) aralığında olduğu için geçerli bir çözümdür.

Çözüm kümesi: \( x \in \{-\frac{13}{2}, \frac{17}{2}\} \)

Denklemin iki tarafına ait denklemlerin grafiklerini analitik düzlemde çizdiğimizde, kesişim noktalarının apsis değerleri olarak aynı değerleri buluruz.

Mutlak değer içini sıfır yapan \( x = 0 \) değerinin oluşturduğu \( x \lt 0 \), \( x = 0 \) ve \( x \gt 0 \) durumlarını ayrı ayrı inceleyelim ve her durumda oluşan denklemi çözelim.

Durum 1: \( x \lt 0 \)

Bu aralıkta \( x \) ifadesi negatif olur ve mutlak değer dışına negatif işaretli çıkar.

\( \abs{x} = -x \)

\( \abs{\dfrac{-x}{x} + 4 + x} = 4x + 5 \)

\( \abs{3 + x} = 4x + 5 \)

Bu eşitlikte \( 3 + x \) ifadesinin işaretine göre iki durum oluşur.

Durum 1.1: \( -3 \le x \lt 0 \)

Bu aralıkta \( 3 + x \) ifadesi sıfır ya da pozitif olur ve mutlak değer dışına olduğu gibi çıkar.

\( 3 + x = 4x + 5 \)

\( x = -\dfrac{2}{3} \)

Bu değer incelediğimiz \( -3 \le x \lt 0 \) aralığında bulunduğu için geçerli bir çözümdür.

\( x \in \{-\frac{2}{3}\} \)

Durum 1.2: \( x \lt -3 \)

Bu aralıkta \( 3 + x \) ifadesi negatif olur ve mutlak değer dışına negatif işaretli çıkar.

\( -(3 + x) = 4x + 5 \)

\( -3 - x = 4x + 5 \)

\( x = -\dfrac{8}{5} \)

Bu değer incelediğimiz \( x \lt -3 \) aralığında bulunmadığı için geçerli bir çözüm değildir.

Durum 2: \( x = 0 \)

\( x = 0 \) değeri \( \frac{\abs{x}}{x} \) ifadesini tanımsız yaptığı için geçerli bir çözüm değildir.

Durum 3: \( x \gt 0 \)

Bu aralıkta \( x \) ifadesi pozitif olur ve mutlak değer dışına olduğu gibi çıkar.

\( \abs{x} = x \)

\( \abs{\dfrac{x}{x} + 4 + x} = 4x + 5 \)

\( \abs{5 + x} = 4x + 5 \)

\( x \gt 0 \) aralığında \( 5 + x \) pozitif olur.

\( 5 + x = 4x + 5 \)

\( x = 0 \)

Bu değer incelediğimiz \( x \gt 0 \) aralığında bulunmadığı için geçerli bir çözüm değildir.

Bulduğumuz tek çözüm değeri denklemin çözüm kümesini verir.

Çözüm kümesi: \( x \in \{-\frac{2}{3}\} \)

Rasyonel ifadenin paydalarını eşitleyelim.

\( \dfrac{1}{\abs{1 - 2x}} + \dfrac{2}{\abs{4x + 1}} = 1 \)

\( \dfrac{\abs{4x + 1} + 2\abs{1 - 2x}}{\abs{1 - 2x}\abs{4x + 1}} = 1 \)

İçler - dışlar çarpımı yapalım.

İçler - dışlar çarpımı yaparken paydadaki iki çarpanı sıfır yapan \( x = \frac{1}{2} \) ve \( x = -\frac{1}{4} \) değerlerinin çözüm kümesine dahil olamayacağını not edelim.

\( \abs{4x + 1} + 2\abs{1 - 2x} = \abs{4x + 1}\abs{1 - 2x} \)

Mutlak değer içini sıfır yapan \( x \in \{-\frac{1}{4}, \frac{1}{2} \} \) değerlerinin oluşturduğu \( x \lt -\frac{1}{4} \), \( -\frac{1}{4} \le x \lt \frac{1}{2} \) ve \( x \ge \frac{1}{2} \) aralıklarını ayrı ayrı inceleyelim ve her durumda oluşan denklemi çözelim.

Durum 1: \( x \lt -\frac{1}{4} \)

Bu aralıkta \( 4x + 1 \) ifadesi negatif olur ve mutlak değer dışına negatif işaretli çıkar.

Bu aralıkta \( 1 - 2x \) ifadesi pozitif olur ve mutlak değer dışına olduğu gibi çıkar.

\( -(4x + 1) + 2(1 - 2x) = -(4x + 1)(1 - 2x) \)

\( -4x - 1 + 2 - 4x = 8x^2 - 4x + 2x - 1 \)

\( 8x^2 + 6x - 2 = 0 \)

\( 2(4x - 1)(x + 1) = 0 \)

\( x = \dfrac{1}{4}, \quad x = -1 \)

İncelediğimiz \( x \lt -\frac{1}{4} \) aralığında sadece \( x = -1 \) geçerli bir çözümdür.

\( x \in \{-1\} \)

Durum 2: \( -\frac{1}{4} \le x \lt \frac{1}{2} \)

Bu aralıkta \( 4x + 1 \) ve \( 1 - 2x \) ifadeleri sıfır ya da pozitif olur ve mutlak değer dışına olduğu gibi çıkar.

\( (4x + 1) + 2(1 - 2x) = (4x + 1)(1 - 2x) \)

\( 4x + 1 + 2 - 4x = -8x^2 + 4x - 2x + 1 \)

\( 8x^2 - 2x + 2 = 0 \)

\( 4x^2 - x + 1 = 0 \)

Denklemin deltasını hesaplayalım.

\( \Delta = b^2 - 4ac \)

\( a = 4, \quad b = -1, \quad c = 1 \)

\( \Delta = (-1)^2 - 4(4)(1) = -15 \)

\( \Delta \lt 0 \) olduğundan denklemin reel sayı kökü yoktur.

\( x \in \emptyset \)

Durum 3: \( x \ge \frac{1}{2} \)

Bu aralıkta \( 4x + 1 \) ifadesi pozitif olur ve mutlak değer dışına olduğu gibi çıkar.

Bu aralıkta \( 1 - 2x \) ifadesi sıfır ya da negatif olur ve mutlak değer dışına negatif işaretli çıkar.

\( (4x + 1) + 2[-(1 - 2x)] = (4x + 1)[-(1 - 2x)] \)

\( 4x + 1 - 2 + 4x = 8x^2 - 4x + 2x - 1 \)

\( 8x^2 - 10x = 0 \)

\( 2x(4x - 5) = 0 \)

\( x = 0, \quad x = \dfrac{5}{4} \)

İncelediğimiz \( x \ge \frac{1}{2} \) aralığında sadece \( x = \frac{5}{4} \) geçerli bir çözümdür.

\( x \in \{\frac{5}{4}\} \)

Bulduğumuz çözüm değerlerinin birleşimi denklemin çözüm kümesini verir.

Çözüm kümesi: \( x \in \{-1, \frac{5}{4}\} \)

İkinci dereceden ifadeyi çarpanlarına ayıralım.

\( \abs{x - 6} \cdot \abs{2(x + 6)(x - 3)} = 30\abs{3x - 9} \)

Bir çarpımın mutlak değeri mutlak değerlerin çarpımı şeklinde yazılabilir.

Ayrıca pozitif çarpanlar mutlak değer dışına çıkarılabilir.

\( 2\abs{x - 6} \cdot \abs{x + 6} \cdot \abs{x - 3} = 90\abs{x - 3} \)

Eşitliğin iki tarafındaki \( \abs{x - 3} \) çarpanları birbirini götürür, ancak \( x = 3 \) değerinin denklemi sağlayan köklerden biri olduğu not edilir.

\( \abs{x - 6} \cdot \abs{x + 6} = 45 \)

\( \abs{(x - 6)(x + 6)} = 45 \)

\( \abs{x^2 - 36} = 45 \)

Bu denklem iki durumda sağlanır.

Durum 1:

\( x^2 - 36 = 45 \)

\( x^2 = 81 \Longrightarrow x \in \{-9, 9\} \)

Durum 2:

\( x^2 - 36 = -45 \)

\( x^2 = -9 \)

Bir tam kare ifade negatif olamayacağı için bu durum için reel sayı bir çözüm yoktur.

Çözüm kümesi: \( x \in \{-9, 3, 9\} \)

Buna göre \( x \)'in alabileceği 3 farklı değer vardır.

Verilen eşitliği düzenleyelim.

Mutlak değer içindeki pozitif çarpan mutlak değer dışına çıkarılabilir.

\( \abs{x - n} + 7\abs{n - x} = 48n \)

Mutlak değer içini \( -1 \) ile çarpıp terimlerin yerini değiştirebiliriz.

\( \abs{x - n} + 7\abs{x - n} = 48n \)

\( 8\abs{x - n} = 48n \)

\( \abs{x - n} = 6n \)

Bu denklem iki durumda sağlanır.

Durum 1:

\( x - n = 6n \)

\( x = 7n \)

Durum 2:

\( x - n = -6n \)

\( x = -5n \)

Buna göre denklemi sağlayan değerler aşağıdaki gibidir.

\( x_1 = 7n, \quad x_2 = -5n \)

\( \abs{x_1 - x_2} = 108 \)

\( \abs{7n - (-5n)} = 108 \)

\( \abs{12n} = 108 \)

\( 12\abs{n} = 108 \)

\( \abs{n} = 9 \)

\( n = 9 \) ya da \( n = -9 \) olabilir, ancak soruda verilen eşitlikte iki mutlak değerli ifadenin toplamı negatif olamayacağı için \( n = -9 \) denklemi sağlamaz.

Buna göre \( n = 9 \) bulunur.

\( g \circ f \) bileşke fonksiyonunu bulalım.

\( g(f(x)) = \abs{3\abs{(4x + 3)} +2} \)

\( = \abs{ \abs{12x + 9} + 2} = 99^4 \)

Mutlak değer içindeki ifade mutlak değer dışına iki farklı şekilde çıkabilir.

Durum 1:

\( \abs{12x + 9} + 2 = 99^4 \)

\( \abs{12x + 9} = 99^4 - 2 \)

Bu eşitlik için de iki farklı durum vardır.

Durum 1.1:

\( 12x + 9 = 99^4 - 2 \)

\( 12x = 99^4 - 11 \)

\( x = \dfrac{99^4 - 11}{12} \)

Durum 1.2:

\( 12x + 9 = -99^4 + 2 \)

\( 12x = -99^4 - 7 \)

\( x = \dfrac{-99^4 - 7}{12} \)

Durum 2:

\( \abs{12x + 9} + 2 = -99^4 \)

\( \abs{12x + 9} = -99^4 - 2 \)

Mutlak değerli bir ifadenin sonucu negatif olamayacağı için bu durumda geçerli bir çözüm yoktur.

Bu durumda denklemi sağlayan \( x \) değerlerinin toplamı aşağıdaki gibi olur.

\( \dfrac{99^4 - 11}{12} + \dfrac{-99^4 - 7}{12} = \dfrac{-18}{12} \)

\( = -\dfrac{3}{2} \) bulunur.

Yüksek dereceli ifadeleri çarpanlarına ayıralım.

\( \abs{(x - 1)(x^2 + x + 1)} + \abs{4(x - 1)} = (x - 1)(x - 5) \)

Bir çarpımın mutlak değeri mutlak değerlerin çarpımı şeklinde yazılabilir.

Ayrıca mutlak değer içindeki pozitif çarpan mutlak değer dışına çıkarılabilir.

\( \abs{x - 1} \cdot \abs{x^2 + x + 1} + 4\abs{x - 1} = (x - 1)(x - 5) \)

\( \abs{x - 1} \cdot (\abs{x^2 + x + 1} + 4) = (x - 1)(x - 5) \)

\( x^2 + x + 1 \) ifadesinin deltası negatif olduğu için reel kökü yoktur ve her zaman pozitiftir, dolayısıyla mutlak değerden olduğu gibi çıkar.

\( \abs{x - 1} \cdot (x^2 + x + 5) = (x - 1)(x - 5) \)

Denklemi mutlak değer içindeki ifadenin üç farklı durumu için ayrı ayrı çözelim.

Durum 1: \( x \gt 1 \)

\( (x - 1)(x^2 + x + 5) = (x - 1)(x - 5) \)

\( x^2 + x + 5 = x - 5 \)

\( x^2 = -10 \)

\( x^2 \) negatif bir değere sahip olamaz, dolayısıyla bu durum için geçerli bir çözüm yoktur.

Durum 2: \( x = 1 \)

Bu durumda eşitliğin her iki tarafı sıfır olduğu ve eşitlik sağlandığı için \( x = 1 \) geçerli bir çözümdür.

Durum 3: \( x \lt 1 \)

\( -(x - 1)(x^2 + x + 5) = (x - 1)(x - 5) \)

\( -x^2 - x - 5 = x - 5 \)

\( x^2 + 2x = 0 \)

\( x(x + 2) = 0 \)

Bu eşitliği sağlayan değerler \( x = 0 \) ve \( x = -2 \) olur.

Her iki değer de çözüm yaptığımız aralık içinde olduğu için geçerli birer çözümdür.

Çözüm kümesi: \( x \in \{-2, 0, 1\} \)

Buna göre eşitliği sağlayan \( x \) değerlerinin toplamı \( -2 + 0 + 1 = -1 \) olur.

\( a = 0 \) olduğu durumda \( b = m \) ya da \( b = -m \) olmak üzere 2 çözüm vardır.

\( b = 0 \) olduğu durumda \( a = m \) ya da \( a = -m \) olmak üzere 2 çözüm vardır.

\( 0 \lt \abs{a} \lt m \) olduğu \( m - 1 \) durumun her birinde ise \( (a, b) \) sıralı ikilileri için \( (+, +), (+, -), (-, +), (-, -) \) olmak üzere 4'er çözüm vardır.

Buna göre verilen denklemin toplam çözüm sayısı aşağıdaki sayıda olur.

\( 2 + 2 + 4(m - 1) = 4m \)

\( 4m = 32 \)

\( m = 8 \) bulunur.

Yukarıdaki açıklamaları netleştirmek adına, denklemin 32 çözümü aşağıdaki gibi olur.

\( a = 0 \) için:

\( (0, 8), (0, -8) \)

\( \abs{a} = 1 \) için:

\( (1, 7), (1, -7), (-1, 7), (-1, -7) \)

\( \abs{a} = 2 \) için:

\( (2, 6), (2, -6), (-2, 6), (-2, -6) \)

\( \vdots \)

\( a = 8 \) için:

\( (8, 0), (-8, 0) \)

Sayıları sırasıyla ikili olarak birbirine eşitleyerek denklemleri çözelim.

Durum 1:

\( \abs{x} = x + 12 \)

Durum 1.1: \( x \ge 0 \)

\( x = x + 12 \)

\( 0 = 12 \)

Bu durumda geçerli bir çözüm yoktur.

Durum 1.2: \( x \lt 0 \)

\( -x = x + 12 \)

\( x = -6 \)

Bu durumda verilen 3 sayı aşağıdaki gibi olur.

\( \abs{-6}, -6 + 12, (-6)^2 \)

\( 6, 6, 36 \)

Durum 2:

\( \abs{x} = x^2 \)

Durum 2.1: \( x \ge 0 \)

\( x = x^2 \)

\( x(x - 1) = 0 \)

\( x = 0 \) ya da \( x = 1 \)

\( x = 0 \) için verilen 3 sayı aşağıdaki gibi olur.

\( \abs{0}, 0 + 12, 0^2 \)

\( 0, 12, 0 \)

\( x = 1 \) için verilen 3 sayı aşağıdaki gibi olur.

\( \abs{1}, 1 + 12, 1^2 \)

\( 1, 13, 1 \)

Durum 2.2: \( x \lt 0 \)

\( -x = x^2 \)

\( x(x + 1) = 0 \)

\( x = 0 \) ya da \( x = -1 \)

\( x = 0 \) için verilen 3 sayıyı yukarıda bulmuştuk.

\( x = -1 \) için verilen 3 sayı aşağıdaki gibi olur.

\( \abs{-1}, -1 + 12, (-1)^2 \)

\( 1, 11, 1 \)

Durum 3:

\( x + 12 = x^2 \)

\( (x - 4)(x + 3) = 0 \)

\( x = 4 \) ya da \( x = -3 \)

\( x = 4 \) için verilen 3 sayı aşağıdaki gibi olur.

\( \abs{4}, 4 + 12, 4^2 \)

\( 4, 16, 16 \)

\( x = -3 \) için verilen 3 sayı aşağıdaki gibi olur.

\( \abs{-3}, -3 + 12, (-3)^2 \)

\( 3, 9, 9 \)

İstenen koşulu sağlayan farklı \( x \) değerleri aşağıdaki gibi bulunur.

\( x \in \{ -6, -3, -1, 0, 1, 4 \} \)

En dıştaki mutlak değerli ifadeyi açalım.

\( \abs{x - 21} - a = \pm 6 \)

\( \abs{x - 21} = \pm 6 + a \)

Denklemin 4 reel kökü olabilmesi için \( \pm 6 + a \) ve \( \pm 6 + a \) değerlerinin ikisi de içteki mutlak değer açıldığında ikişer çözüm üretecek şekilde pozitif birer reel sayıya karşılık gelmelidir.

\( +6 + a \ge 0 \Longrightarrow a \ge -6 \)

\( -6 + a \ge 0 \Longrightarrow a \ge 6 \)

\( a \) için bulduğumuz iki değer aralığını da sağlayan değerler için denklemin 4 reel kökü olur.

\( a \in [6, \infty) \)

Denklemin çözüm kümesinin sonsuz elemanlı olması için belirli bir aralıkta \( x \) değişkenleri birbirini götürmeli ve \( 14 = 14 \) şeklinde bir eşitlik oluşmalıdır.

\( x \) değişkenleri birbirini iki durumda götürür.

Durum 1:

Bu durumda birinci mutlak değer ifadesi negatif, ikinci mutlak değer ifadesi sıfır ya da pozitif olur.

\( x - a \lt 0 \) ve \( x + 5 \ge 0 \)

\( a - x + x + 5 = 14 \)

\( a + 5 = 14 \)

\( a = 9 \)

Durum 2:

Bu durumda ikinci mutlak değer ifadesi negatif, birinci mutlak değer ifadesi sıfır ya da pozitif olur.

\( x - a \ge 0 \) ve \( x + 5 \lt 0 \)

\( x - a - x - 5 = 14 \)

\( -a - 5 = 14 \)

\( a = -19 \)

Buna göre \( a \) değerlerinin toplamı \( 9 + (-19) = -10 \) olur.