Mutlak Değer Denklemleri

Mutlak değer içinde bir değişken içeren denklemlere mutlak değer denklemi denir. Mutlak değer denklemleri aşağıda detaylandıracağımız yöntemler kullanılarak çözülebilir.

\( \abs{x} = c \) Formundaki Denklemler

Mutlak değer içindeki bir ifade ile pozitif bir \( c \) sayısı arasındaki eşitlikte, denklem \( x = c \) ve \( x = -c \) değerleri için ayrı ayrı çözülür. Denklemin çözüm kümesi bu iki durum için bulunan çözümlerin birleşimden oluşur.

Mutlak değer içindeki bir ifade sıfıra eşitse mutlak değer içindeki ifade de sıfıra eşit olur.

Mutlak değer içindeki bir ifade ile negatif bir sayı arasındaki eşitlikte, mutlak değer işleminin sonucu negatif olamayacağı için çözüm kümesi boş küme olur.

\( \abs{x} = \abs{y} \) Formundaki Denklemler

İki mutlak değerli ifade arasındaki eşitlikte, iki farklı yöntem kullanılabilir.

Yöntem 1: Durumlara Ayırma

İlk yöntemde denklem \( x = y \) ve \( x = -y \) için ayrı ayrı çözülür. Denklemin çözüm kümesi bu iki durum için bulunan çözümlerin birleşimden oluşur.

Yöntem 2: Kare Alma

İkinci yöntemde eşitliğin her iki tarafının karesi alınarak denklem tek adımda çözülür.

\( \abs{x} = y \) Formundaki Denklemler

Biri mutlak değer içinde olan diğeri olmayan iki ifade arasındaki eşitlikte, yukarıda \( \abs{x} = \abs{y} \) formundaki denklemlerde kullandığımız iki yöntem de kullanılabilir.

Önemli bir fark olarak, bu yöntem eşitliğin sağ tarafının negatif olduğu sonuçları da kapsadığı ve \( \abs{x} = y \) eşitliğinde \( y \) negatif olamayacağı için geçersiz çözümler oluşabilir, dolayısıyla elde edilen sonuçların orijinal denklemde yerine konarak sağlaması yapılmalıdır.

Diğer Denklemler

Yukarıda incelediğimiz \( \abs{x} = c \), \( \abs{x} = \abs{y} \) ve \( \abs{x} = y \) formundaki denklemlerin ortak özelliği, mutlak değerli ifadelerin eşitliğin bir ya da her iki tarafında yalnız bırakılabilmesiydi. Bunun mümkün olmadığı bazı denklem formları aşağıdaki gibidir.

Bu tipteki denklemler yukarıda kullandığımız durumlara ayırma yöntemi ile çözülebilir. Bu yöntemde her mutlak değerli ifade için kritik noktalar belirlenir, bu kritik noktalar arasında kalan her aralık için denklem ayrı ayrı çözülür. Denklemin çözüm kümesi her durum için bulunan çözümlerin birleşimden oluşur.

\( \abs{x} + \abs{y} = c \) formundaki denklemler yukarıdaki yönteme ek olarak mutlak değer fonksiyonlarının grafiği bölümünde inceleyeceğimiz grafik yöntemi ile de çözülebilir. Bu yöntemde eşitliğin sol tarafındaki fonksiyonun grafiği çizilir ve grafiğin \( y = c \) doğrusu ile kesişim noktaları bulunur.

İç İçe Mutlak Değerli İfadeler

Denklem iç içe birden fazla mutlak değerli ifade içeriyorsa yukarıda paylaştığımız yöntemler en dıştaki mutlak değerden başlayıp içtekine doğru ilerleyerek birden fazla adımda uygulanabilir.

\( \abs{x} + \abs{y} = 0 \) Formundaki Denklemler

İki ya da daha fazla sayıda mutlak değerli ifadenin toplamı sıfır ise her ifade ayrı ayrı sıfıra eşittir. Bunun sebebi, herhangi bir mutlak değerli ifade sıfırdan büyük olursa ifadelerin toplamının da sıfırdan büyük olacak olmasıdır.

SORU 1 :

Aşağıdaki eşitlikleri sağlayan \( x \) değer aralıklarını bulunuz.

(a) \( \abs{-2x} = -2x \)

(b) \( \abs{2x + 5} = -2x - 5 \)

(c) \( \abs{-8 + 3x} = 3x - 8 \)

(a) seçeneği:

\( \abs{-2x} = -2x \)

Mutlak değer içindeki ifade mutlak değerden olduğu gibi çıktığına göre değeri pozitif ya da sıfırdır.

\( -2x \ge 0 \)

\( x \le 0 \)

(b) seçeneği:

\( \abs{2x + 5} = -2x - 5 = -(2x + 5) \)

Mutlak değer içindeki ifade mutlak değerden negatif işaretli çıktığına göre değeri negatif ya da sıfırdır.

\( 2x + 5 \le 0 \)

\( x \le -\dfrac{5}{2} \)

(c) seçeneği:

\( \abs{-8 + 3x} = 3x - 8 = -8 + 3x \)

Mutlak değer içindeki ifade mutlak değerden olduğu gibi çıktığına göre değeri pozitif ya da sıfırdır.

\( -8 + 3x \ge 0 \)

\( x \ge \dfrac{8}{3} \)

SORU 2 :

Aşağıdaki denklemlerin çözüm kümelerini bulunuz.

(a) \( \abs{6 - 2x} + \abs{3x - 9} = 25 \)

(b) \( \abs{5 - 5x} - \abs{x - 1} = 72 \)

(c) \( 4\abs{7 - x} + \abs{2x - 14} = 90 \)

(a) seçeneği:

\( \abs{6 - 2x} + \abs{3x - 9} = 25 \)

\( \abs{2(3 - x)} + \abs{3(x - 3)} = 25 \)

Mutlak değer içindeki pozitif çarpan mutlak değer dışına çıkarılabilir.

\( 2\abs{3 - x} + 3\abs{x - 3} = 25 \)

\( \abs{3 - x} \) ve \( \abs{x - 3} \) ifadeleri birbirine eşittir.

\( 2\abs{x - 3} + 3\abs{x - 3} = 25 \)

\( 5\abs{x - 3} = 25 \)

\( \abs{x - 3} = 5 \)

Bu denklem iki durumda sağlanır.

Durum 1:

\( x - 3 = 5 \)

\( x = 8 \)

Durum 2:

\( x - 3 = -5 \)

\( x = -2 \)

Denklemin çözüm kümesi her durum için bulduğumuz çözümlerin birleşiminden oluşur.

Çözüm kümesi: \( x \in \{-2, 8\} \)

(b) seçeneği:

\( \abs{5 - 5x} - \abs{x - 1} = 72 \)

\( \abs{5(1 - x)} - \abs{x - 1} = 72 \)

Mutlak değer içindeki pozitif çarpan mutlak değer dışına çıkarılabilir.

\( 5\abs{1 - x} - \abs{x - 1} = 72 \)

\( \abs{1 - x} \) ve \( \abs{x - 1} \) ifadeleri birbirine eşittir.

\( 5\abs{x - 1} - \abs{x - 1} = 72 \)

\( 4\abs{x - 1} = 72 \)

\( \abs{x - 1} = 18 \)

Bu denklem iki durumda sağlanır.

Durum 1:

\( x - 1 = 18 \)

\( x = 19 \)

Durum 2:

\( x - 1 = -18 \)

\( x = -17 \)

Denklemin çözüm kümesi her durum için bulduğumuz çözümlerin birleşiminden oluşur.

Çözüm kümesi: \( x \in \{-17, 19\} \)

(c) seçeneği:

\( 4\abs{7 - x} + \abs{2x - 14} = 90 \)

\( 4\abs{7 - x} + \abs{2(x - 7)} = 90 \)

Mutlak değer içindeki pozitif çarpan mutlak değer dışına çıkarılabilir.

\( 4\abs{7 - x} + 2\abs{x - 7} = 90 \)

\( \abs{7 - x} \) ve \( \abs{x - 7} \) ifadeleri birbirine eşittir.

\( 4\abs{x - 7} + 2\abs{x - 7} = 90 \)

\( 6\abs{x - 7} = 90 \)

\( \abs{x - 7} = 15 \)

Bu denklem iki durumda sağlanır.

Durum 1:

\( x - 7 = 15 \)

\( x = 22 \)

Durum 2:

\( x - 7 = -15 \)

\( x = -8 \)

Denklemin çözüm kümesi her durum için bulduğumuz çözümlerin birleşiminden oluşur.

Çözüm kümesi: \( x \in \{-8, 22\} \)

SORU 3 :

\( \abs{\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{-8}} = 3 \) eşitliğini sağlayan \( x \) değerlerinin toplamı kaçtır?

\( \abs{\sqrt[3]{x} - \sqrt[3]{-8}} = \abs{\sqrt[3]{x} - 2} = 3 \)

Bu denklem iki durumda sağlanır.

Durum 1:

\( \sqrt[3]{x} - 2 = 3 \)

\( \sqrt[3]{x} = 5 \)

\( x = 125 \)

Durum 2:

\( \sqrt[3]{x} - 2 = -3 \)

\( \sqrt[3]{x} = -1 \)

\( x = -1 \)

Eşitliği sağlayan \( x \) değerlerinin toplamı \( 125 + (-1) = 124 \) olarak bulunur.

SORU 4 :

\( \abs{x + k} = 40 \) eşitliğini sağlayan \( x \) değerleri toplamı 22 olduğuna göre, \( k \) kaçtır?

Bu denklem iki durumda sağlanır.

Durum 1:

\( x + k = 40 \)

\( x = 40 - k \)

Durum 2:

\( x + k = -40 \)

\( x = -40 - k \)

Bu iki çözümün toplamı 22 olarak veriliyor.

\( (40 - k) + (-40 - k) = 22 \)

\( -2k = 22 \)

\( k = -11 \) bulunur.

SORU 5 :

\( x, y \in \mathbb{R} \) olmak üzere,

\( \abs{3x - 6} = 12 \)

\( \abs{y - 9} = 5 \)

olduğuna göre, \( xy \) çarpımının en küçük değeri kaçtır?

Birinci denklemin çözüm kümesini bulalım.

\( \abs{3x - 6} = 12 \)

Bu denklem iki durumda sağlanır.

Durum 1:

\( 3x - 6 = 12 \)

\( x = 6 \)

Durum 2:

\( 3x - 6 = -12 \)

\( x = -2 \)

Çözüm kümesi: \( x \in \{ -2, 6 \} \)

İkinci denklemin çözüm kümesini bulalım.

\( \abs{y - 9} = 5 \)

Bu denklem iki durumda sağlanır.

Durum 1:

\( y - 9 = 5 \)

\( y = 14 \)

Durum 1:

\( y - 9 = -5 \)

\( y = 4 \)

Çözüm kümesi: \( y \in \{ 4, 14 \} \)

Bulduğumuz \( xy \) çarpımının en küçük değerini bulmak için \( x \)'in negatif değerini, \( y \)'nin de büyük değerini seçmeliyiz.

\( xy = (-2) \cdot 14 = -28 \) bulunur.

SORU 6 :

\( x, y \in \mathbb{R} \) olmak üzere,

\( \abs{3x - 4y + 14} + \abs{2x + 3y - 19} = 0 \)

olduğuna göre, \( x^2 - y^2 \) ifadesinin değeri kaçtır?

Mutlak değerli bir ifade negatif olamayacağı için, iki ya da daha fazla sayıda mutlak değer ifadesinin toplamı sıfır ise her ifade ayrı ayrı sıfıra eşittir.

\( \abs{3x - 4y + 14} = 0 \)

\( \abs{2x + 3y - 19} = 0 \)

Bir ifadenin mutlak değeri sıfıra eşitse kendisi de sıfırdır.

\( 3x - 4y + 14 = 0 \)

\( 2x + 3y - 19 = 0 \)

İki denklemi de birlikte sağlayan \( x \) ve \( y \) değerlerini bulmak için denklemleri ortak çözelim.

Birinci denklemin taraflarını 3 ile, ikinci denklemin taraflarını 4 ile çarpalım.

\( 9x - 12y + 42 = 0 \)

\( 8x + 12y - 76 = 0 \)

İki denklemi taraf tarafa toplayalım.

\( 17x - 34 = 0 \)

\( x = 2 \)

\( x = 2 \) değerini birinci denklemde yerine yazarak \( y \) değerini bulalım.

\( 3(2) - 4y + 14 = 0 \)

\( y = 5 \)

İstenen ifadenin sonucunu bulalım.

\( x^2 - y^2 = 2^2 - 5^2 = -21 \) bulunur.

SORU 7 :

Aşağıdaki denklemlerin çözüm kümelerini bulunuz.

(a) \( \abs{x - \abs{3x + 8} - 1} = 13 \)

(b) \( \abs{12x - \abs{-10x + 5} + 4} = 45 \)

(c) \( \abs{6x + \abs{-x} - 8} = 20 \)

(a) seçeneği:

\( \abs{x - \abs{3x + 8} - 1} = 13 \)

Mutlak değer içini sıfır yapan \( x = -\frac{8}{3} \) değerinin oluşturduğu \( x \lt -\frac{8}{3} \) ve \( x \ge -\frac{8}{3} \) aralıklarını ayrı ayrı inceleyelim ve her durumda oluşan denklemi çözelim.

Durum 1:

\( x \lt -\dfrac{8}{3} \)

Bu aralıkta \( 3x + 8 \) ifadesi negatif olur ve mutlak değer dışına negatif işaretli çıkar.

\( \abs{x - [-(3x + 8)] - 1} = 13 \)

\( \abs{x + 3x + 8 - 1} = 13 \)

\( \abs{4x + 7} = 13 \)

Bu denklem iki durumda sağlanır.

Durum 1.1:

\( 4x + 7 = 13 \)

\( x = \dfrac{3}{2} \)

Bu değer incelediğimiz \( x \lt -\frac{8}{3} \) aralığında bulunmadığı için geçerli bir çözüm değildir.

Durum 1.2:

\( 4x + 7 = -13 \)

\( x = -5 \)

Bu değer incelediğimiz \( x \lt -\frac{8}{3} \) aralığında bulunduğu için geçerli bir çözümdür.

Durum 2:

\( x \ge -\dfrac{8}{3} \)

Bu aralıkta \( 3x + 8 \) ifadesi sıfır ya da pozitif olur ve mutlak değer dışına olduğu gibi çıkar.

\( \abs{x - (3x + 8) - 1} = 13 \)

\( \abs{-2x - 9} = 13 \)

Bu denklem iki durumda sağlanır.

Durum 2.1:

\( -2x - 9 = 13 \)

\( x = -11 \)

Bu değer incelediğimiz \( x \ge -\frac{8}{3} \) aralığında bulunmadığı için geçerli bir çözüm değildir.

Durum 2.2:

\( -2x - 9 = -13 \)

\( x = 2 \)

Bu değer incelediğimiz \( x \ge -\frac{8}{3} \) aralığında bulunduğu için geçerli bir çözümdür.

Denklemin çözüm kümesi her durum için bulduğumuz çözümlerin birleşiminden oluşur.

Çözüm kümesi: \( x \in \{-5, 2\} \)

(b) seçeneği:

\( \abs{12x - \abs{-10x + 5} + 4} = 45 \)

Mutlak değer içini sıfır yapan \( x = \frac{1}{2} \) değerinin oluşturduğu \( x \lt \frac{1}{2} \) ve \( x \ge \frac{1}{2} \) aralıklarını ayrı ayrı inceleyelim ve her durumda oluşan denklemi çözelim.

Durum 1:

\( x \lt \dfrac{1}{2} \)

Bu aralıkta \( -10x + 5 \) ifadesi pozitif olur ve mutlak değer dışına olduğu gibi çıkar.

\( \abs{12x - (-10x + 5) + 4} = 45 \)

\( \abs{12x + 10x - 5 + 4} = 45 \)

\( \abs{22x - 1} = 45 \)

Bu denklem iki durumda sağlanır.

Durum 1.1:

\( 22x - 1 = 45 \)

\( x = \dfrac{23}{11} \)

Bu değer incelediğimiz \( x \lt \frac{1}{2} \) aralığında bulunmadığı için geçerli bir çözüm değildir.

Durum 1.2:

\( 22x - 1 = -45 \)

\( x = -2 \)

Bu değer incelediğimiz \( x \lt \frac{1}{2} \) aralığında bulunduğu için geçerli bir çözümdür.

Durum 2:

\( x \ge \dfrac{1}{2} \)

Bu aralıkta \( -10x + 5 \) ifadesi sıfır ya da negatif olur ve mutlak değer dışına negatif işaretli çıkar.

\( \abs{12x - [-(-10x + 5)] + 4} = 45 \)

\( \abs{12x - 10x + 5 + 4} = 45 \)

\( \abs{2x + 9} = 45 \)

Bu denklem iki durumda sağlanır.

Durum 2.1:

\( 2x + 9 = 45 \)

\( x = 18 \)

Bu değer incelediğimiz \( x \ge \frac{1}{2} \) aralığında bulunduğu için geçerli bir çözümdür.

Durum 2.2:

\( 2x + 9 = -45 \)

\( x = -27 \)

Bu değer incelediğimiz \( x \ge \frac{1}{2} \) aralığında bulunmadığı için geçerli bir çözüm değildir.

Denklemin çözüm kümesi her durum için bulduğumuz çözümlerin birleşiminden oluşur.

Çözüm kümesi: \( x \in \{-2, 18\} \)

(c) seçeneği:

\( \abs{6x + \abs{-x} - 8} = 20 \)

Mutlak değer içini sıfır yapan \( x = 0 \) değerinin oluşturduğu \( x \lt 0 \) ve \( x \ge 0 \) aralıklarını ayrı ayrı inceleyelim ve her durumda oluşan denklemi çözelim.

Durum 1:

\( x \lt 0 \)

Bu aralıkta \( x \) ifadesi pozitif olur ve mutlak değer dışına olduğu gibi çıkar.

\( \abs{6x + (-x) - 8} = 20 \)

\( \abs{5x - 8} = 20 \)

Bu denklem iki durumda sağlanır.

Durum 1.1:

\( 5x - 8 = 20 \)

\( x = \dfrac{28}{5} \)

Bu değer incelediğimiz \( x \lt 0 \) aralığında bulunmadığı için geçerli bir çözüm değildir.

Durum 1.2:

\( 5x - 8 = -20 \)

\( x = -\dfrac{12}{5} \)

Bu değer incelediğimiz \( x \lt 0 \) aralığında bulunduğu için geçerli bir çözümdür.

Durum 2:

\( x \ge 0 \)

Bu aralıkta \( x \) ifadesi sıfır ya da negatif olur ve mutlak değer dışına negatif işaretli çıkar.

\( \abs{6x + [-(-x)] - 8} = 20 \)

\( \abs{6x + x - 8} = 20 \)

\( \abs{7x - 8} = 20 \)

Bu denklem iki durumda sağlanır.

Durum 2.1:

\( 7x - 8 = 20 \)

\( x = 4 \)

Bu değer incelediğimiz \( x \ge 0 \) aralığında bulunduğu için geçerli bir çözümdür.

Durum 2.2:

\( 7x - 8 = -20 \)

\( x = -\dfrac{12}{7} \)

Bu değer incelediğimiz \( x \ge 0 \) aralığında bulunmadığı için geçerli bir çözüm değildir.

Denklemin çözüm kümesi her durum için bulduğumuz çözümlerin birleşiminden oluşur.

Çözüm kümesi: \( x \in \left\{ -\dfrac{12}{5}, 4 \right\} \)

SORU 8 :

\( \abs{3x^2 - 5x + 2} + 5x - 2 = 3x^2 \) denkleminin çözüm kümesini bulunuz.

Mutlak değer ifadesini yalnız bırakalım.

\( \abs{3x^2 - 5x + 2} = 3x^2 - 5x + 2 \)

Mutlak değer içindeki ifade mutlak değerden olduğu gibi çıktığına göre değeri pozitif ya da sıfırdır.

\( 3x^2 - 5x + 2 \ge 0 \)

Eşitsizliğin sol tarafını çarpanlarına ayıralım.

\( (3x - 2)(x - 1) \ge 0 \)

İkinci dereceden ifadeyi sıfır yapan değerler \( x = \frac{2}{3} \) ve \( x = 1 \)'dir.

Pozitif başkatsayılı ve birbirinden farklı iki reel kökü olan ikinci dereceden bir ifade kök değerlerinde sıfır, köklerin arasındaki aralıkta negatif, dışındaki aralıkta pozitif olur.

Eşitsizlikte \( \ge \) sembolü kullanıldığı için eşitsizliğin pozitif ve sıfır olduğu aralıklar eşitsizliğin çözüm kümesi olur.

Çözüm kümesi: \( x \in \left( -\infty, \dfrac{2}{3} \right] \cup [1, \infty) \)

SORU 9 :

Aşağıdaki denklemlerin çözüm kümelerini bulunuz.

(a) \( \abs{3x - 2} + \abs{x - 2} = 12 \)

(b) \( \abs{2 - x} - \abs{2x - 1} = -6 \)

(c) \( \abs{12 - 4x} + \abs{8 - x} = 4 \)

(a) seçeneği:

\( \abs{3x - 2} + \abs{x - 2} = 12 \)

Mutlak değer içini sıfır yapan \( x \in \{\frac{2}{3}, 2\} \) değerlerinin oluşturduğu \( x \lt \frac{2}{3} \), \( \frac{2}{3} \le x \lt 2 \) ve \( x \ge 2 \) aralıklarını ayrı ayrı inceleyelim ve her durumda oluşan denklemi çözelim.

Durum 1:

\( x \lt \dfrac{2}{3} \)

Bu aralıkta \( 3x - 2 \) ve \( x - 2 \) ifadeleri negatif olur ve mutlak değer dışına negatif işaretli çıkar.

\( -(3x - 2) + [-(x - 2)] = 12 \)

\( -3x + 2 + 2 - x = 12 \)

\( 4 - 4x = 12 \)

\( x = -2 \)

Bu değer incelediğimiz \( x \lt \frac{2}{3} \) aralığında bulunduğu için geçerli bir çözümdür.

Durum 2:

\( \dfrac{2}{3} \le x \lt 2 \)

Bu aralıkta \( 3x - 2 \) ifadesi sıfır ya da pozitif olur ve mutlak değer dışına olduğu gibi çıkar.

Bu aralıkta \( x - 2 \) ifadesi negatif olur ve mutlak değer dışına negatif işaretli çıkar.

\( (3x - 2) + [-(x - 2)] = 12 \)

\( 3x - 2 + 2 - x = 12 \)

\( x = 6 \)

Bu değer incelediğimiz \( \frac{2}{3} \le x \lt 2 \) aralığında bulunmadığı için geçerli bir çözüm değildir.

Durum 3:

\( x \ge 2 \)

Bu aralıkta \( 3x - 2 \) ve \( x - 2 \) ifadeleri sıfır ya da pozitif olur ve mutlak değer dışına olduğu gibi çıkar.

\( (3x - 2) + (x - 2) = 12 \)

\( 4x - 4 = 12 \)

\( x = 4 \)

Bu değer incelediğimiz \( x \ge 2 \) aralığında bulunduğu için geçerli bir çözümdür.

Denklemin çözüm kümesi her durum için bulduğumuz çözümlerin birleşiminden oluşur.

Çözüm kümesi: \( x \in \{-2, 4\} \)

(b) seçeneği:

\( \abs{2 - x} - \abs{2x - 1} = -6 \)

Mutlak değer içini sıfır yapan \( x \in \{\frac{1}{2}, 2\} \) değerlerinin oluşturduğu \( x \lt \frac{1}{2} \), \( \frac{1}{2} \le x \lt 2 \) ve \( x \ge 2 \) aralıklarını ayrı ayrı inceleyelim ve her durumda oluşan denklemi çözelim.

Durum 1:

\( x \lt \dfrac{1}{2} \)

Bu aralıkta \( 2x - 1 \) ifadesi negatif olur ve mutlak değer dışına negatif işaretli çıkar.

Bu aralıkta \( 2 - x \) ifadesi pozitif olur ve mutlak değer dışına olduğu gibi çıkar.

\( (2 - x) - [-(2x - 1)] = -6 \)

\( 2 - x + 2x - 1 = -6 \)

\( x = -7 \)

Bu değer incelediğimiz \( x \lt \frac{1}{2} \) aralığında bulunduğu için geçerli bir çözümdür.

Durum 2:

\( \dfrac{1}{2} \le x \lt 2 \)

Bu aralıkta \( 2x - 1 \) ve \( 2 - x \) ifadeleri sıfır ya da pozitif olur ve mutlak değer dışına olduğu gibi çıkar.

\( (2 - x) - (2x - 1) = -6 \)

\( 2 - x - 2x + 1 = -6 \)

\( x = 3 \)

Bu değer incelediğimiz \( \frac{1}{2} \le x \lt 2 \) aralığında bulunmadığı için geçerli bir çözüm değildir.

Durum 3:

\( x \ge 2 \)

Bu aralıkta \( 2x - 1 \) ifadesi pozitif olur ve mutlak değer dışına olduğu gibi çıkar.

Bu aralıkta \( 2 - x \) ifadesi sıfır ya da negatif olur ve mutlak değer dışına negatif işaretli çıkar.

\( -(2 - x) - (2x - 1) = -6 \)

\( -2 + x - 2x + 1 = -6 \)

\( x = 5 \)

Bu değer incelediğimiz \( x \ge 2 \) aralığında bulunduğu için geçerli bir çözümdür.

Denklemin çözüm kümesi her durum için bulduğumuz çözümlerin birleşiminden oluşur.

Çözüm kümesi: \( x \in \{-7, 5\} \)

(c) seçeneği:

\( \abs{12 - 4x} + \abs{8 - x} = 4 \)

Mutlak değer içini sıfır yapan \( x \in \{3, 8\} \) değerlerinin oluşturduğu \( x \lt 3 \), \( 3 \le x \lt 8 \) ve \( x \ge 8 \) aralıklarını ayrı ayrı inceleyelim ve her durumda oluşan denklemi çözelim.

Durum 1:

\( x \lt 3 \)

Bu aralıkta \( 12 - 4x \) ve \( 8 - x \) ifadeleri pozitif olur ve mutlak değer dışına olduğu gibi çıkar.

\( (12 - 4x) + (8 - x) = 4 \)

\( 12 - 4x + 8 - x = 4 \)

\( x = \dfrac{16}{5} \)

Bu değer incelediğimiz \( x \lt 3 \) aralığında bulunmadığı için geçerli bir çözüm değildir.

Durum 2:

\( 3 \le x \lt 8 \)

Bu aralıkta \( 12 - 4x \) ifadesi sıfır ya da negatif olur ve mutlak değer dışına negatif işaretli çıkar.

Bu aralıkta \( 8 - x \) ifadesi pozitif olur ve mutlak değer dışına olduğu gibi çıkar.

\( -(12 - 4x) + (8 - x) = 4 \)

\( -12 + 4x + 8 - x = 4 \)

\( x = \dfrac{8}{3} \)

Bu değer incelediğimiz \( 3 \le x \lt 8 \) aralığında bulunmadığı için geçerli bir çözüm değildir.

Durum 3:

\( x \ge 8 \)

Bu aralıkta \( 12 - 4x \) ve \( 8 - x \) ifadeleri sıfır ya da negatif olur ve mutlak değer dışına negatif işaretli çıkar.

\( -(12 - 4x) + [-(8 - x)] = 4 \)

\( -12 + 4x - 8 + x = 4 \)

\( x = \dfrac{24}{5} \)

Bu değer incelediğimiz \( x \ge 8 \) aralığında bulunmadığı için geçerli bir çözüm değildir.

Her üç durumda da geçerli bir çözüm bulunmadığı için denklemin çözüm kümesi boş kümedir.

Çözüm kümesi: \( x \in \emptyset \)

SORU 10 :

Sayı doğrusu üzerindeki \( x \) tam sayısının \( -6 \) ve \( 3 \) sayılarına uzaklıkları toplamı \( 15 \)'tir.

Buna göre \( x \) tam sayısının alabileceği değerler toplamı kaçtır?

Bir \( x \) sayısının sayı doğrusu üzerinde \( y \) sayısına uzaklığı \( \abs{x - y} \) ile ifade edilir.

Buna göre soruda verilen uzaklıklar toplamını aşağıdaki şekilde ifade edebiliriz.

\( \abs{x - (-6)} + \abs{x - 3} = 15 \)

\( \abs{x + 6} + \abs{x - 3} = 15 \)

Her bir mutlak değer ifadesini sıfır yapan \( x \) değerleri denklemin kritik noktalarıdır.

Buna göre \( x = -6 \) ve \( x = 3 \) denklemin kritik noktalarıdır.

Mutlak değerli denklemler kritik noktalar arasında kalan her bir aralık için ayrı ayrı çözülür.

Durum 1:

\( x \lt -6 \)

Bu aralıkta her iki mutlak değer ifadesi de negatif olur, dolayısıyla mutlak değerden negatif işaretli çıkar.

\( -(x + 6) - (x - 3) = 15 \)

\( -2x - 3 = 15 \)

\( x = -9 \)

Bulduğumuz değer denklemi çözdüğümüz \( x \lt -6 \) aralığında olduğu için geçerli bir çözümdür.

Durum 2:

\( -6 \le x \lt 3 \)

Bu aralıkta \( x + 6 \) ifadesi pozitif, \( x - 3 \) ifadesi negatif olur, dolayısıyla birinci ifade mutlak değerden olduğu gibi, ikinci ifade negatif işaretli çıkar.

\( (x + 6) - (x - 3) = 15 \)

\( 9 = 15 \)

Elde ettiğimiz eşitlik herhangi bir \( x \) değeri için sağlanmadığı için bu aralıkta geçerli bir çözüm yoktur.

Durum 3:

\( 3 \le x \)

Bu aralıkta her iki mutlak değer ifadesi de pozitif olur, dolayısıyla mutlak değerden olduğu gibi çıkar.

\( (x + 6) + (x - 3) = 15 \)

\( 2x + 3 = 15 \)

\( x = 6 \)

Bulduğumuz değer denklemi çözdüğümüz \( 3 \le x \) aralığında olduğu için geçerli bir çözümdür.

Eşitsizliğin çözüm kümesi her durum için bulduğumuz çözümlerin birleşiminden oluşur.

Çözüm kümesi: \( x \in \{-9, 6\} \)

Buna göre \( x \)'in alabileceği değerler toplamı \( -9 + 6 = -3 \) olur.

SORU 11 :

\( k \in \mathbb{Z} \) olmak üzere,

Sayı doğrusu üzerindeki \( A(7) \) ve \( B(k + 4) \) noktaları arasındaki uzaklık, \( A(7) \) ve \( C(k + 10) \) noktaları arasındaki uzaklığın 3 katı olduğuna göre, \( k \) kaçtır?

Bir \( x \) sayısının sayı doğrusu üzerinde \( y \) sayısına uzaklığı \( \abs{x - y} \) ile ifade edilir.

\( A \) ve \( B \) noktaları arasındaki uzaklık aşağıdaki şekilde ifade edilir.

\( \abs{(k + 4) - 7} = \abs{k - 3} \)

\( A \) ve \( C \) noktaları arasındaki uzaklık aşağıdaki şekilde ifade edilir.

\( \abs{(k + 10) - 7} = \abs{k + 3} \)

Bu iki ifade arasında aşağıdaki ilişki veriliyor.

\( \abs{k - 3} = 3\abs{k + 3} \)

Bu denklem iki durumda sağlanır.

Durum 1:

\( k - 3 = 3k + 9 \)

\( 2k = -12 \)

\( k = -6 \)

Durum 2:

\( k - 3 = -(3k + 9) \)

\( 4k = -6 \)

\( k = -\dfrac{3}{2} \)

\( k \) bir tam sayı olduğu için bu değer geçerli bir çözüm değildir.

Buna göre \( k = -6 \) bulunur.

SORU 12 :

\( \abs{x - 4}^2 - 4\abs{4 - x} = 5 \) denkleminin çözüm kümesini bulunuz.

\( \abs{x - 4} \) ve \( \abs{4 - x} \) ifadeleri birbirine eşittir.

\( \abs{x - 4}^2 - 4\abs{x - 4} = 5 \)

\( \abs{x - 4} = t \) şeklinde değişken değiştirme uygulayalım.

\( t^2 - 4t = 5 \)

\( t^2 - 4t - 5 = 0 \)

\( (t - 5)(t + 1) = 0 \)

\( t \in \{ -1, 5 \} \)

Her \( t \) değeri için denklemin çözümünü bulalım.

Durum 1:

\( t = -1 = \abs{x - 4} \)

Mutlak değerli bir ifadenin sonucu negatif olamayacağı için bu denklemin bir çözümü yoktur.

\( x \in \emptyset \)

Durum 2:

\( t = 5 = \abs{x - 4} \)

Bu denklem iki durumda sağlanır.

Durum 2.1:

\( x - 4 = 5 \)

\( x = 9 \)

Durum 2.1:

\( x - 4 = -5 \)

\( x = -1 \)

Denklemin çözüm kümesi her durum için bulduğumuz çözümlerin birleşiminden oluşur.

Çözüm kümesi: \( x \in \{ -1, 9 \} \)

SORU 13 :

\( \abs{x + 5} + (x + 5)^2 = 12 \) denkleminin çözüm kümesini bulunuz.

Aşağıdaki eşitlik her \( x \) için sağlanır.

\( (x + 5)^2 = \abs{x + 5}^2 \)

\( \abs{x + 5} + \abs{x + 5}^2 = 12 \)

\( \abs{x + 5} = t \) şeklinde değişken değiştirme uygulayalım.

\( t + t^2 = 12 \)

\( t^2 + t - 12 = 0 \)

\( (t + 4)(t - 3) = 0 \)

\( t \in \{ -4, 3 \} \)

Her \( t \) değeri için denklemin çözümünü bulalım.

Durum 1:

\( t = -4 = \abs{x + 5} \)

Mutlak değerli bir ifadenin sonucu negatif olamayacağı için bu denklemin bir çözümü yoktur.

\( x \in \emptyset \)

Durum 2:

\( t = 3 = \abs{x + 5} \)

Bu denklem iki durumda sağlanır.

Durum 2.1:

\( x + 5 = 3 \)

\( x = -2 \)

Durum 2.1:

\( x + 5 = -3 \)

\( x = -8 \)

Denklemin çözüm kümesi her durum için bulduğumuz çözümlerin birleşiminden oluşur.

Çözüm kümesi: \( x \in \{ -2, -8 \} \)

SORU 14 :

\( x^2 - 8\abs{x} + 7 = 0 \) denkleminin kökler çarpımı kaçtır?

Aşağıdaki eşitlik her \( x \) için sağlanır.

\( x^2 = \abs{x}^2 \)

\( \abs{x}^2 - 8\abs{x} + 7 = 0 \)

\( (\abs{x} - 1)(\abs{x} - 7) = 0 \)

\( \abs{x} \in \{ 1, 7 \} \)

Her \( \abs{x} \) değeri için denklemin çözümünü bulalım.

Durum 1:

\( \abs{x} = 1 \)

Bu denklem iki durumda sağlanır.

\( x \in \{ -1, 1 \} \)

Durum 2:

\( \abs{x} = 7 \)

Bu denklem iki durumda sağlanır.

\( x \in \{ -7, 7 \} \)

Denklemin çözüm kümesi her durum için bulduğumuz çözümlerin birleşiminden oluşur.

Çözüm kümesi: \( x \in \{ -7, -1, 1, 7 \} \)

Denklemin kökler çarpımı \( (-7)(-1)(1)(7) = 49 \) olarak bulunur.

SORU 15 :

Aşağıdaki denklemlerin çözüm kümelerini bulunuz.

(a) \( \abs{x - 1} = x^2 + 4x - 5 \)

(b) \( \abs{3x - 18} = 3x^2 - 4x - 12 \)

(c) \( \abs{10 - 8x} = 5x^2 + 15x \)

(a) seçeneği:

\( \abs{x - 1} = x^2 + 4x - 5 \)

Mutlak değer içini sıfır yapan \( x = 1 \) değerinin oluşturduğu \( x \lt 1 \) ve \( x \ge 1 \) aralıklarını ayrı ayrı inceleyelim ve her durumda oluşan denklemi çözelim.

Durum 1:

\( x \lt 1 \)

Bu aralıkta \( x - 1 \) ifadesi negatif olur ve mutlak değer dışına negatif işaretli çıkar.

\( -(x - 1) = x^2 + 4x - 5 \)

\( x^2 + 5x - 6 = 0 \)

\( (x + 6)(x - 1) = 0 \)

\( x = -6, \quad x = 1 \)

İncelediğimiz \( x \lt 1 \) aralığında sadece \( x = -6 \) geçerli bir çözümdür.

\( x = -6 \)

Durum 2:

\( x \ge 1 \)

Bu aralıkta \( x - 1 \) ifadesi sıfır ya da pozitif olur ve mutlak değer dışına olduğu gibi çıkar.

\( x - 1 = x^2 + 4x - 5 \)

\( x^2 + 3x - 4 = 0 \)

\( (x + 4)(x - 1) = 0 \)

\( x = -4, \quad x = 1 \)

İncelediğimiz \( x \ge 1 \) aralığında sadece \( x = 1 \) geçerli bir çözümdür.

\( x = 1 \)

Denklemin çözüm kümesi her durum için bulduğumuz çözümlerin birleşiminden oluşur.

Çözüm kümesi: \( x \in \{-6, 1\} \)

(b) seçeneği:

\( \abs{3x - 18} = 3x^2 - 4x - 12 \)

Mutlak değer içini sıfır yapan \( x = 6 \) değerinin oluşturduğu \( x \lt 6 \) ve \( x \ge 6 \) aralıklarını ayrı ayrı inceleyelim ve her durumda oluşan denklemi çözelim.

Durum 1:

\( x \lt 6 \)

Bu aralıkta \( 3x - 18 \) ifadesi negatif olur ve mutlak değer dışına negatif işaretli çıkar.

\( -(3x - 18) = 3x^2 - 4x - 12 \)

\( 3x^2 - x - 30 = 0 \)

\( (3x - 10)(x + 3) = 0 \)

\( x = \dfrac{10}{3}, \quad x = -3 \)

Bu iki değer incelediğimiz \( x \lt 6 \) aralığında bulunduğu için geçerli birer çözümdür.

\( x \in \left\{ -3, \dfrac{10}{3} \right\} \)

Durum 2:

\( x \ge 6 \)

Bu aralıkta \( 3x - 18 \) ifadesi sıfır ya da pozitif olur ve mutlak değer dışına olduğu gibi çıkar.

\( 3x - 18 = 3x^2 - 4x - 12 \)

\( 3x^2 - 7x + 6 = 0 \)

Denklemin deltasını hesaplayalım.

\( \Delta = b^2 - 4ac \)

\( a = 3, \quad b = -7, \quad c = 6 \)

\( \Delta = (-7)^2 - 4(3)(6) = -23 \)

\( \Delta \lt 0 \) olduğu için denklemin reel sayı kökü yoktur.

\( x \in \emptyset \)

Denklemin çözüm kümesi her durum için bulduğumuz çözümlerin birleşiminden oluşur.

Çözüm kümesi: \( x \in \left\{ -3, \dfrac{10}{3} \right\} \)

(c) seçeneği:

\( \abs{10 - 8x} = 5x^2 + 15x \)

Mutlak değer içini sıfır yapan \( x = \frac{5}{4} \) değerinin oluşturduğu \( x \lt \frac{5}{4} \) ve \( x \ge \frac{5}{4} \) aralıklarını ayrı ayrı inceleyelim ve her durumda oluşan denklemi çözelim.

Durum 1:

\( x \lt \dfrac{5}{4} \)

Bu aralıkta \( 10 - 8x \) ifadesi pozitif olur ve mutlak değer dışına olduğu gibi çıkar.

\( 10 - 8x = 5x^2 + 15x \)

\( 5x^2 + 23x - 10 = 0 \)

\( (5x - 2)(x + 5) = 0 \)

\( x = \dfrac{2}{5}, \quad x = -5 \)

Bu iki değer incelediğimiz \( x \lt \frac{5}{4} \) aralığında bulunduğu için geçerli birer çözümdür.

\( x \in \left\{ -5, \dfrac{2}{5} \right\} \)

Durum 2:

\( x \ge \dfrac{5}{4} \)

Bu aralıkta \( 10 - 8x \) ifadesi sıfır ya da negatif olur ve mutlak değer dışına negatif işaretli çıkar.

\( -(10 - 8x) = 5x^2 + 15x \)

\( -10 + 8x = 5x^2 + 15x \)

\( 5x^2 + 7x + 10 = 0 \)

Denklemin deltasını hesaplayalım.

\( \Delta = b^2 - 4ac \)

\( a = 5, \quad b = 7, \quad c = 10 \)

\( \Delta = 7^2 - 4(5)(10) = -151 \)

\( \Delta \lt 0 \) olduğu için denklemin reel sayı kökü yoktur.

\( x \in \emptyset \)

Denklemin çözüm kümesi her durum için bulduğumuz çözümlerin birleşiminden oluşur.

Çözüm kümesi: \( x \in \left\{ -5, \dfrac{2}{5} \right\} \)

SORU 16 :

\( \abs{2x^2 + 7x + 3} = 10x + 12 \) denkleminin çözüm kümesini bulunuz.

Mutlak değer içindeki ifadeyi çarpanlarına ayıralım.

\( \abs{(2x + 1)(x + 3)} = 10x + 12 \)

Mutlak değer içini sıfır yapan \( x \in \{-3, -\frac{1}{2}\} \) değerlerinin oluşturduğu \( x \lt -3 \), \( -3 \le x \lt -\frac{1}{2} \) ve \( x \ge -\frac{1}{2} \) aralıklarını ayrı ayrı inceleyelim ve her durumda oluşan denklemi çözelim.

Durum 1:

\( x \lt -3 \)

Bu aralıkta \( 2x + 1 \) ve \( x + 3 \) ifadeleri negatif olur, dolayısıyla çarpımları pozitif olur ve mutlak değerden olduğu gibi çıkar.

\( (2x + 1)(x + 3) = 10x + 12 \)

\( 2x^2 + 7x + 3 = 10x + 12 \)

\( 2x^2 - 3x - 9 = 0 \)

\( (2x + 3)(x - 3) = 0 \)

\( x = -\dfrac{3}{2}, \quad x = 3 \)

İncelediğimiz \( x \lt -3 \) aralığında iki değer de geçerli birer çözüm değildir.

\( x \in \emptyset \)

Durum 2:

\( -3 \le x \lt -\dfrac{1}{2} \)

Bu aralıkta \( x + 3 \) ifadesi sıfır ya da pozitif, \( 2x + 1 \) ifadesi negatif olur, dolayısıyla çarpımları sıfır ya da negatif olur ve mutlak değerden negatif işaretli çıkar.

\( -(2x + 1)(x + 3) = 10x + 12 \)

\( -2x^2 - 7x - 3 = 10x + 12 \)

\( 2x^2 + 17x + 15 = 0 \)

\( (2x + 15)(x + 1) = 0 \)

\( x = -\dfrac{15}{2}, \quad x = -1 \)

İncelediğimiz \( -3 \le x \lt -\frac{1}{2} \) aralığında sadece \( x = -1 \) geçerli bir çözümdür.

\( x = -1 \)

Durum 3:

\( x \ge -\dfrac{1}{2} \)

Bu aralıkta \( 2x + 1 \) ve \( x + 3 \) ifadeleri sıfır ya da pozitif olur, dolayısıyla çarpımları sıfır ya da pozitif olur ve mutlak değerden olduğu gibi çıkar.

\( (2x + 1)(x + 3) = 10x + 12 \)

\( 2x^2 + 7x + 3 = 10x + 12 \)

\( 2x^2 - 3x - 9 = 0 \)

\( (2x + 3)(x - 3) = 0 \)

\( x = -\dfrac{3}{2}, \quad x = 3 \)

İncelediğimiz \( x \ge -\frac{1}{2} \) aralığında sadece \( x = 3 \) geçerli bir çözümdür.

\( x = 3 \)

Denklemin çözüm kümesi her durum için bulduğumuz çözümlerin birleşiminden oluşur.

Çözüm kümesi: \( x \in \{ -1, 3 \} \)

SORU 17 :

\( a, b, c \in \mathbb{Z} \) olmak üzere,

\( \abs{4a + 24} + \abs{5b + 10} + \abs{3c - 9} + \abs{2d - 4} = 2 \)

olduğuna göre, \( a + b + c + d \) toplamının alabileceği en küçük değer kaçtır?

İfadeyi düzenleyelim.

\( \abs{4(a + 6)} + \abs{5(b + 2)} + \abs{3(c - 3)} + \abs{2(d - 2)} = 2 \)

Mutlak değer içindeki pozitif çarpan mutlak değer dışına çıkarılabilir.

\( 4\abs{a + 6} + 5\abs{b + 2} + 3\abs{c - 3} + 2\abs{d - 2} = 2 \)

\( a, b, c \) tam sayı oldukları için \( 4\abs{a + 6}, 5\abs{b + 2},3\abs{c - 3} \) ifadeleri sırasıyla 4'ün, 5'in ve 3'ün katları olur.

Mutlak değer ifadesi hiçbir zaman negatif olamayacağı için ve verilen ifade ikiye eşit olduğu için, bu ifadeler ayrı ayrı sıfıra eşit olmalıdır.

Bu ifadeleri sıfıra eşitleyerek \( a, b, c \) değerlerini bulalım.

\( 4\abs{a + 6} = 0 \)

\( a = -6 \)

\( 5\abs{b + 2} = 0 \)

\( b = -2 \)

\( 3\abs{c - 3} = 0 \)

\( c = 3 \)

Bulduğumuz değerleri denklemde yerine koyalım.

\( 0 + 2\abs{d - 2} = 2 \)

\( \abs{d - 2} = 1 \)

\( d - 2 = \pm 1 \)

\( d \in \{ 1, 3 \} \)

Toplamın en küçük değeri istendiği için \( d = 1 \) seçilir.

\( a + b + c + d = -6 - 2 + 3 + 1 = -4 \) bulunur.

SORU 18 :

\( -1 \) sayısının \( a \) noktasına uzaklığı 7 birim, \( a \) noktasının \( b \) noktasına uzaklığı \( 11 \) birimdir.

Buna göre \( b \)'nin alabileceği farklı tam sayı değerlerinin toplamı kaçtır?

Bir \( x \) sayısının sayı doğrusu üzerinde \( y \) sayısına uzaklığı \( \abs{x - y} \) ile ifade edilir.

Buna göre soruda verilen birinci uzaklığı aşağıdaki şekilde ifade edebiliriz.

\( \abs{a - (-1)} = \abs{a + 1} = 7 \)

Bu denklemin iki çözümü vardır.

\( a + 1 = 7 \Longrightarrow a = 6 \)

\( a + 1 = -7 \Longrightarrow a = -8 \)

Soruda verilen ikinci uzaklığı aşağıdaki şekilde ifade edebiliriz.

\( \abs{a - b} = 11 \)

Yukarıda bulduğumuz iki \( a \) değeri için bu eşitliği \( b \) için ayrı ayrı çözelim.

Durum 1:

\( a = 6 \)

\( \abs{6 - b} = 11 \)

Bu denklemin iki çözümü vardır.

\( 6 - b = 11 \Longrightarrow b = -5 \)

\( 6 - b = -11 \Longrightarrow b = 17 \)

Durum 2:

\( a = -8 \)

\( \abs{-8 - b} = 11 \)

Bu denklemin iki çözümü vardır.

\( -8 - b = 11 \Longrightarrow b = -19 \)

\( -8 - b = -11 \Longrightarrow b = 3 \)

Denklemin çözüm kümesi her durum için bulduğumuz çözümlerin birleşiminden oluşur.

Çözüm kümesi: \( b \in \{ -19, -5, 3, 17 \} \)

Buna göre \( b \)'nin alabileceği değerler toplamı \( -19 + (-5) + 3 + 17 = -4 \) olarak bulunur.

SORU 19 :

\( \abs{\dfrac{\abs{x}}{x} + 4 + x} = 4x + 5 \) denkleminin çözüm kümesini bulunuz.

Mutlak değer içini sıfır yapan \( x = 0 \) değerinin oluşturduğu \( x \lt 0 \), \( x = 0 \) ve \( x \gt 0 \) durumlarını ayrı ayrı inceleyelim ve her durumda oluşan denklemi çözelim.

Durum 1:

\( x \lt 0 \)

Bu aralıkta \( x \) ifadesi negatif olur ve mutlak değer dışına negatif işaretli çıkar.

\( \abs{x} = -x \)

\( \abs{\dfrac{-x}{x} + 4 + x} = 4x + 5 \)

\( \abs{3 + x} = 4x + 5 \)

Bu eşitlikte \( 3 + x \) ifadesinin işaretine göre iki durum oluşur.

Durum 1.1:

\( -3 \le x \lt 0 \)

Bu aralıkta \( 3 + x \) ifadesi sıfır ya da pozitif olur ve mutlak değer dışına olduğu gibi çıkar.

\( 3 + x = 4x + 5 \)

\( x = -\dfrac{2}{3} \)

Bu değer incelediğimiz \( -3 \le x \lt 0 \) aralığında bulunduğu için geçerli bir çözümdür.

\( x \in \left\{ -\dfrac{2}{3} \right\} \)

Durum 1.2:

\( x \lt -3 \)

Bu aralıkta \( 3 + x \) ifadesi negatif olur ve mutlak değer dışına negatif işaretli çıkar.

\( -(3 + x) = 4x + 5 \)

\( -3 - x = 4x + 5 \)

\( x = -\dfrac{8}{5} \)

Bu değer incelediğimiz \( x \lt -3 \) aralığında bulunmadığı için geçerli bir çözüm değildir.

Durum 2:

\( x = 0 \)

\( x = 0 \) değeri \( \frac{\abs{x}}{x} \) ifadesini tanımsız yaptığı için geçerli bir çözüm değildir.

Durum 3:

\( x \gt 0 \)

Bu aralıkta \( x \) ifadesi pozitif olur ve mutlak değer dışına olduğu gibi çıkar.

\( \abs{x} = x \)

\( \abs{\dfrac{x}{x} + 4 + x} = 4x + 5 \)

\( \abs{5 + x} = 4x + 5 \)

\( x \gt 0 \) aralığında \( 5 + x \) pozitif olur.

\( 5 + x = 4x + 5 \)

\( x = 0 \)

Bu değer incelediğimiz \( x \gt 0 \) aralığında bulunmadığı için geçerli bir çözüm değildir.

Denklemin çözüm kümesi her durum için bulduğumuz çözümlerin birleşiminden oluşur.

Çözüm kümesi: \( x \in \left\{ -\dfrac{2}{3} \right\} \)

SORU 20 :

\( x \in \mathbb{R} \) olmak üzere,

\( \abs{x - 6}\abs{2x^2 + 6x - 36} = 30\abs{3x - 9} \)

denkleminin çözüm kümesini bulunuz.

İkinci dereceden ifadeyi çarpanlarına ayıralım.

\( \abs{x - 6}\abs{2(x + 6)(x - 3)} = 30\abs{3x - 9} \)

Bir çarpımın mutlak değeri mutlak değerlerin çarpımı şeklinde yazılabilir.

Ayrıca pozitif çarpanlar mutlak değer dışına çıkarılabilir.

\( 2\abs{x - 6}\abs{x + 6}\abs{x - 3} = 90\abs{x - 3} \)

Eşitliğin her iki tarafındaki \( \abs{x - 3} \) çarpanlarını, bu çarpanı sıfır yapan \( x = 3 \) değerinin denklemin köklerinden biri olduğunu not ederek sadeleştirelim.

\( \abs{x - 6} \abs{x + 6} = 45 \)

\( \abs{(x - 6)(x + 6)} = 45 \)

\( \abs{x^2 - 36} = 45 \)

Bu denklem iki durumda sağlanır.

Durum 1:

\( x^2 - 36 = 45 \)

\( x^2 = 81 \)

\( x \in \{ -9, 9 \} \)

Durum 2:

\( x^2 - 36 = -45 \)

\( x^2 = -9 \)

Bir tam kare ifade negatif olamayacağı için bu durum için reel sayı bir çözüm yoktur.

Denklemin çözüm kümesi her durum için bulduğumuz çözümlerin birleşiminden oluşur.

Çözüm kümesi: \( x \in \{ -9, 3, 9 \} \)

SORU 21 :

\( k \in \mathbb{R} \) olmak üzere,

\( \abs{x + 7} + \abs{x - 6} = k \) denkleminin çözüm kümesi sonsuz elemanlı olduğuna göre, \( k \) kaçtır?

Soruyu mutlak değerin uzaklık tanımını kullanarak çözelim.

Bu tanıma göre, iki reel sayının farkının mutlak değeri bu iki sayının sayı doğrusu üzerinde aralarındaki uzaklığı verir.

Verilen eşitliği düzenleyelim.

\( \abs{x - (-7)} + \abs{x - 6} = k \)

Buna göre, \( \abs{x - (-7)} \) ifadesi \( x \)'in sayı doğrusu üzerinde \( -7 \) noktasına olan uzaklığını, \( \abs{x - 6} \) ifadesi de \( x \)'in sayı doğrusu üzerinde 6 noktasına olan uzaklığını verir.

Sayı doğrusu üzerinde \( -7 \) ve 6 noktaları arasındaki uzaklık \( \abs{-7 - 6} = 13 \) birimdir.

Denklemin çözüm kümesini üç durum için ayrı ayrı inceleyelim.

Durum 1: \( k \gt 13 \)

\( x \) noktası \( (-\infty, -7) \) ya da \( (6, \infty) \) aralığında ise uzaklıklar toplamı 13'ten büyük olur.

Bu durumda denklemi sağlayan biri \( (-\infty, -7) \) diğeri \( (6, \infty) \) aralığında olmak üzere 2 farklı nokta vardır.

Dolayısıyla denklemin çözüm kümesi iki elemanlı olur.

Durum 2: \( k \lt 13 \)

Bir noktanın \( -7 \) ve 6 noktalarına olan uzaklıklarının toplamı, bu iki nokta arasındaki uzaklıktan küçük olamaz.

Bu durumda denklemin çözüm kümesi boş küme olur.

Durum 3: \( k = 13 \)

\( x \) noktası \( [-7, 6] \) aralığında bir nokta ise \( x \) noktasının bu iki noktaya olan uzaklıklarının toplamı daima bu iki nokta arasındaki uzaklığa eşit olur.

Bu aralıkta sonsuz sayıda reel sayı olduğu için denklemin sonsuz sayıda çözümü olur.

Buna göre \( k = 13 \) bulunur.

SORU 22 :

\( x \in \mathbb{R} \) olmak üzere,

\( \abs{x^3 - 1} + \abs{4x - 4} = x^2 - 6x + 5 \)

denklemini sağlayan \( x \) tam sayılarının toplamı kaçtır?

Tüm ifadeleri çarpanlarına ayıralım.

\( \abs{(x - 1)(x^2 + x + 1)} + \abs{4(x - 1)} = (x - 1)(x - 5) \)

Bir çarpımın mutlak değeri mutlak değerlerin çarpımı şeklinde yazılabilir.

Ayrıca mutlak değer içindeki pozitif çarpan mutlak değer dışına çıkarılabilir.

\( \abs{x - 1}\abs{x^2 + x + 1} + 4\abs{x - 1} = (x - 1)(x - 5) \)

\( \abs{x - 1}(\abs{x^2 + x + 1} + 4) = (x - 1)(x - 5) \)

Başkatsayısı pozitif ve deltası negatif olan \( x^2 + x + 1 \) ifadesi her \( x \) için pozitiftir, dolayısıyla mutlak değerden olduğu gibi çıkar.

\( \abs{x - 1}(x^2 + x + 5) = (x - 1)(x - 5) \)

Denklemi mutlak değer içindeki ifadenin üç farklı durumu için ayrı ayrı çözelim.

Durum 1:

\( x \gt 1 \)

\( (x - 1)(x^2 + x + 5) = (x - 1)(x - 5) \)

İncelediğimiz aralıkta \( x = 1 \) olamayacağı için \( x - 1 \) çarpanı sadeleşebilir.

\( x^2 + x + 5 = x - 5 \)

\( x^2 = -10 \)

Reel sayılarda \( x^2 \) negatif bir değere sahip olamaz, dolayısıyla bu durum için geçerli bir çözüm yoktur.

Durum 2:

\( x = 1 \)

Bu durumda eşitliğin her iki tarafı sıfır olduğu ve eşitlik sağlandığı için \( x = 1 \) geçerli bir çözümdür.

Durum 3:

\( x \lt 1 \)

\( -(x - 1)(x^2 + x + 5) = (x - 1)(x - 5) \)

İncelediğimiz aralıkta \( x = 1 \) olamayacağı için \( x - 1 \) çarpanı sadeleşebilir.

\( -x^2 - x - 5 = x - 5 \)

\( x^2 + 2x = 0 \)

\( x(x + 2) = 0 \)

Bu eşitliği sağlayan değerler \( x = 0 \) ve \( x = -2 \) olur.

Her iki değer de incelediğimiz aralıkta olduğu için geçerli birer çözümdür.

Denklemin çözüm kümesi her durum için bulduğumuz çözümlerin birleşiminden oluşur.

Çözüm kümesi: \( x \in \{ -2, 0, 1 \} \)

Buna göre eşitliği sağlayan \( x \) değerlerinin toplamı \( -2 + 0 + 1 = -1 \) olur.

SORU 23 :

\( \abs{x - n} + \abs{7n - 7x} = 48n \) denkleminin kökleri \( x_1 \) ve \( x_2 \) olarak veriliyor.

\( \abs{x_1 - x_2} = 108 \) olduğuna göre, \( n \) kaçtır?

Verilen eşitliği düzenleyelim.

Mutlak değer içindeki pozitif çarpan mutlak değer dışına çıkarılabilir.

\( \abs{x - n} + 7\abs{n - x} = 48n \)

Mutlak değer içini \( -1 \) ile çarpıp terimlerin yerini değiştirebiliriz.

\( \abs{x - n} + 7\abs{x - n} = 48n \)

\( 8\abs{x - n} = 48n \)

\( \abs{x - n} = 6n \)

Bu denklem iki durumda sağlanır.

Durum 1:

\( x - n = 6n \)

\( x = 7n \)

Durum 2:

\( x - n = -6n \)

\( x = -5n \)

Buna göre denklemi sağlayan değerler aşağıdaki gibidir.

\( x_1 = 7n, \quad x_2 = -5n \)

\( \abs{x_1 - x_2} = 108 \)

\( \abs{7n - (-5n)} = 108 \)

\( \abs{12n} = 108 \)

\( 12\abs{n} = 108 \)

\( \abs{n} = 9 \)

\( n = 9 \) ya da \( n = -9 \) olabilir, ancak soruda verilen eşitlikte iki mutlak değer ifadesinin toplamı negatif olamayacağı için \( n = -9 \) denklemi sağlamaz.

Buna göre \( n = 9 \) bulunur.

SORU 24 :

\( \dfrac{1}{\abs{1 - 2x}} + \dfrac{2}{\abs{4x + 1}} = 1 \) denkleminin çözüm kümesini bulunuz.

Rasyonel ifadenin paydalarını eşitleyelim.

\( \dfrac{1}{\abs{1 - 2x}} + \dfrac{2}{\abs{4x + 1}} = 1 \)

\( \dfrac{\abs{4x + 1} + 2\abs{1 - 2x}}{\abs{1 - 2x}\abs{4x + 1}} = 1 \)

İçler - dışlar çarpımı yapalım.

İçler - dışlar çarpımı yaparken paydadaki iki çarpanı sıfır yapan \( x = \frac{1}{2} \) ve \( x = -\frac{1}{4} \) değerlerinin çözüm kümesine dahil olamayacağını not edelim.

\( \abs{4x + 1} + 2\abs{1 - 2x} = \abs{4x + 1}\abs{1 - 2x} \)

Mutlak değer içini sıfır yapan \( x \in \{-\frac{1}{4}, \frac{1}{2} \} \) değerlerinin oluşturduğu \( x \lt -\frac{1}{4} \), \( -\frac{1}{4} \le x \lt \frac{1}{2} \) ve \( x \ge \frac{1}{2} \) aralıklarını ayrı ayrı inceleyelim ve her durumda oluşan denklemi çözelim.

Durum 1:

\( x \lt -\dfrac{1}{4} \)

Bu aralıkta \( 4x + 1 \) ifadesi negatif olur ve mutlak değer dışına negatif işaretli çıkar.

Bu aralıkta \( 1 - 2x \) ifadesi pozitif olur ve mutlak değer dışına olduğu gibi çıkar.

\( -(4x + 1) + 2(1 - 2x) = -(4x + 1)(1 - 2x) \)

\( -4x - 1 + 2 - 4x = 8x^2 - 4x + 2x - 1 \)

\( 8x^2 + 6x - 2 = 0 \)

\( 2(4x - 1)(x + 1) = 0 \)

\( x = \dfrac{1}{4}, \quad x = -1 \)

İncelediğimiz \( x \lt -\frac{1}{4} \) aralığında sadece \( x = -1 \) geçerli bir çözümdür.

\( x = -1 \)

Durum 2:

\( -\dfrac{1}{4} \le x \lt \dfrac{1}{2} \)

Bu aralıkta \( 4x + 1 \) ve \( 1 - 2x \) ifadeleri sıfır ya da pozitif olur ve mutlak değer dışına olduğu gibi çıkar.

\( (4x + 1) + 2(1 - 2x) = (4x + 1)(1 - 2x) \)

\( 4x + 1 + 2 - 4x = -8x^2 + 4x - 2x + 1 \)

\( 8x^2 - 2x + 2 = 0 \)

\( 4x^2 - x + 1 = 0 \)

Denklemin deltasını hesaplayalım.

\( \Delta = b^2 - 4ac \)

\( a = 4, \quad b = -1, \quad c = 1 \)

\( \Delta = (-1)^2 - 4(4)(1) = -15 \)

\( \Delta \lt 0 \) olduğundan denklemin reel sayı kökü yoktur.

\( x \in \emptyset \)

Durum 3:

\( x \ge \dfrac{1}{2} \)

Bu aralıkta \( 4x + 1 \) ifadesi pozitif olur ve mutlak değer dışına olduğu gibi çıkar.

Bu aralıkta \( 1 - 2x \) ifadesi sıfır ya da negatif olur ve mutlak değer dışına negatif işaretli çıkar.

\( (4x + 1) + 2[-(1 - 2x)] = (4x + 1)[-(1 - 2x)] \)

\( 4x + 1 - 2 + 4x = 8x^2 - 4x + 2x - 1 \)

\( 8x^2 - 10x = 0 \)

\( 2x(4x - 5) = 0 \)

\( x = 0, \quad x = \dfrac{5}{4} \)

İncelediğimiz \( x \ge \frac{1}{2} \) aralığında sadece \( x = \frac{5}{4} \) geçerli bir çözümdür.

\( x = \dfrac{5}{4} \)

Denklemin çözüm kümesi her durum için bulduğumuz çözümlerin birleşiminden oluşur.

Çözüm kümesi: \( x \in \left\{ -1, \dfrac{5}{4} \right\} \)

SORU 25 :

\( f \) ve \( g \) reel sayılarda tanımlı birer fonksiyondur.

\( f(x) = \abs{4x + 3} \)

\( g(x) = \abs{3x + 2} \)

Buna göre \( (g \circ f)(x) = 99^4 \) eşitliğini sağlayan \( x \) değerlerinin toplamı kaçtır?

\( g \circ f \) bileşke fonksiyonunu bulalım.

\( g(f(x)) = \abs{3\abs{4x + 3} +2} \)

\( = \abs{ \abs{12x + 9} + 2} = 99^4 \)

Mutlak değer içindeki ifade mutlak değer dışına iki farklı şekilde çıkabilir.

Durum 1:

\( \abs{12x + 9} + 2 = 99^4 \)

\( \abs{12x + 9} = 99^4 - 2 \)

Bu eşitlik için de iki farklı durum vardır.

Durum 1.1:

\( 12x + 9 = 99^4 - 2 \)

\( 12x = 99^4 - 11 \)

\( x = \dfrac{99^4 - 11}{12} \)

Durum 1.2:

\( 12x + 9 = -99^4 + 2 \)

\( 12x = -99^4 - 7 \)

\( x = \dfrac{-99^4 - 7}{12} \)

Durum 2:

\( \abs{12x + 9} + 2 = -99^4 \)

\( \abs{12x + 9} = -99^4 - 2 \)

Mutlak değerli bir ifadenin sonucu negatif olamayacağı için bu durumda geçerli bir çözüm yoktur.

Bu durumda denklemi sağlayan \( x \) değerlerinin toplamı aşağıdaki gibi olur.

\( \dfrac{99^4 - 11}{12} + \dfrac{-99^4 - 7}{12} = \dfrac{-18}{12} \)

\( = -\dfrac{3}{2} \) bulunur.

SORU 26 :

\( a, b \in \mathbb{R} \) olmak üzere,

\( \abs{3x - a} = b \) denkleminin çözüm kümesi \( \{ -4, 10 \} \) olduğuna göre, \( ab \) çarpımı kaçtır?

Verilen denklem iki durumda sağlanır.

Durum 1:

\( 3x - a \ge 0 \)

\( 3x - a = b \)

\( 3x - a \) ifadesi \( x \) daha büyük olan \( 10 \) değerini aldığında pozitif olur.

\( 3(10) = a + b \)

\( a + b = 30 \)

Durum 2:

\( 3x - a \lt 0 \)

\( 3x - a = -b \)

\( 3x - a \) ifadesi \( x \) daha küçük olan \( -4 \) değerini aldığında negatif olur.

\( 3(-4) - a = -b \)

\( a - b = -12 \)

Bulduğumuz iki denklemi ortak çözdüğümüzde aşağıdaki değerleri buluruz.

\( a = 9, \quad b = 21 \)

Buna göre \( ab = 9 \cdot 21 = 189 \) olarak bulunur.

SORU 27 :

\( \abs{\abs{x - 21} - a} = 6 \) denkleminin 4 reel kökü bulunduğuna göre, \( a \) değer aralığı nedir?

En dıştaki mutlak değer ifadesini açalım.

\( \abs{x - 21} - a = \pm 6 \)

\( \abs{x - 21} = \pm 6 + a \)

Denklemin 4 reel kökü olabilmesi için \( \pm 6 + a \) ve \( \pm 6 + a \) değerlerinin ikisi de içteki mutlak değer açıldığında ikişer çözüm üretecek şekilde pozitif birer reel sayıya karşılık gelmelidir.

\( 6 + a \ge 0 \Longrightarrow a \ge -6 \)

\( -6 + a \ge 0 \Longrightarrow a \ge 6 \)

\( a \) için bulduğumuz iki aralığı da sağlayan değerlerde denklemin 4 reel kökü olur.

\( a \in [6, \infty) \)

SORU 28 :

\( \abs{x - a} + \abs{x + 5} = 14 \) denkleminin çözüm kümesini sonsuz elemanlı yapan \( a \) değerlerinin toplamı kaçtır?

Denklemin çözüm kümesinin sonsuz elemanlı olması için belirli bir aralıkta \( x \) değişkenleri birbirini götürmeli ve \( 14 = 14 \) şeklinde bir eşitlik oluşmalıdır.

\( x \) değişkenleri birbirini iki durumda götürür.

Durum 1:

Bu durumda birinci mutlak değer ifadesi negatif, ikinci mutlak değer ifadesi pozitif ya da sıfır olur.

\( x - a \lt 0 \) ve \( x + 5 \ge 0 \)

\( a - x + x + 5 = 14 \)

\( a + 5 = 14 \)

\( a = 9 \)

Durum 2:

Bu durumda ikinci mutlak değer ifadesi negatif, birinci mutlak değer ifadesi pozitif ya da sıfır olur.

\( x - a \ge 0 \) ve \( x + 5 \lt 0 \)

\( x - a - x - 5 = 14 \)

\( -a - 5 = 14 \)

\( a = -19 \)

Buna göre \( a \) değerlerinin toplamı \( 9 + (-19) = -10 \) olur.

SORU 29 :

\( a, b, m \in \mathbb{Z} \) olmak üzere,

\( \abs{a} + \abs{b} = m \) eşitliğini sağlayan 32 tane \( (a, b) \) ikilisi olduğuna göre, \( m \) kaçtır?

\( a = 0 \) olduğu durumda \( b = m \) ya da \( b = -m \) olmak üzere iki çözüm vardır.

\( b = 0 \) olduğu durumda \( a = m \) ya da \( a = -m \) olmak üzere iki çözüm vardır.

\( 0 \lt \abs{a} \lt m \) olduğu \( m - 1 \) durumun her birinde ise \( (a, b) \) ikilileri için \( (+, +), (+, -), (-, +), (-, -) \) olmak üzere dörder çözüm vardır.

Buna göre verilen denklemin toplam çözüm sayısı aşağıdaki sayıda olur.

\( 2 + 2 + 4(m - 1) = 4m \)

\( 4m = 32 \)

\( m = 8 \) bulunur.

Yukarıdaki açıklamaları netleştirmek adına, denklemin 32 çözümü aşağıdaki gibi olur.

\( a = 0 \) için:

\( (0, 8), (0, -8) \)

\( \abs{a} = 1 \) için:

\( (1, 7), (1, -7), (-1, 7), (-1, -7) \)

\( \abs{a} = 2 \) için:

\( (2, 6), (2, -6), (-2, 6), (-2, -6) \)

\( \vdots \)

\( a = 8 \) için:

\( (8, 0), (-8, 0) \)

SORU 30 :

\( \abs{x}, x + 12, x^2 \) sayıları sadece iki farklı sayı içerdiğine göre, \( x \)'in alabileceği kaç farklı değer vardır?

Verilen üç ifadenin sadece iki farklı sayı içermesi için iki ifade birbirine eşit, diğeri bu iki ifadeden farklı olmalıdır.

İfadeleri sırasıyla ikili olarak birbirine eşitleyerek denklemleri çözelim.

Durum 1:

\( \abs{x} = x + 12 \)

Durum 1.1: \( x \ge 0 \)

\( x = x + 12 \)

\( 0 = 12 \)

Bu durumda geçerli bir çözüm yoktur.

Durum 1.2: \( x \lt 0 \)

\( -x = x + 12 \)

\( x = -6 \)

Bu durumda verilen 3 sayı aşağıdaki gibi olur.

\( \abs{-6}, -6 + 12, (-6)^2 \)

\( 6, 6, 36 \)

Durum 2:

\( \abs{x} = x^2 \)

Durum 2.1: \( x \ge 0 \)

\( x = x^2 \)

\( x(x - 1) = 0 \)

\( x = 0 \) ya da \( x = 1 \)

\( x = 0 \) için verilen 3 sayı aşağıdaki gibi olur.

\( \abs{0}, 0 + 12, 0^2 \)

\( 0, 12, 0 \)

\( x = 1 \) için verilen 3 sayı aşağıdaki gibi olur.

\( \abs{1}, 1 + 12, 1^2 \)

\( 1, 13, 1 \)

Durum 2.2: \( x \lt 0 \)

\( -x = x^2 \)

\( x(x + 1) = 0 \)

\( x = 0 \) ya da \( x = -1 \)

\( x = 0 \) için verilen 3 sayıyı yukarıda bulmuştuk.

\( x = -1 \) için verilen 3 sayı aşağıdaki gibi olur.

\( \abs{-1}, -1 + 12, (-1)^2 \)

\( 1, 11, 1 \)

Durum 3:

\( x + 12 = x^2 \)

\( (x - 4)(x + 3) = 0 \)

\( x = 4 \) ya da \( x = -3 \)

\( x = 4 \) için verilen 3 sayı aşağıdaki gibi olur.

\( \abs{4}, 4 + 12, 4^2 \)

\( 4, 16, 16 \)

\( x = -3 \) için verilen 3 sayı aşağıdaki gibi olur.

\( \abs{-3}, -3 + 12, (-3)^2 \)

\( 3, 9, 9 \)

İstenen koşulu sağlayan farklı \( x \) değerleri aşağıdaki gibi bulunur.

\( x \in \{ -6, -3, -1, 0, 1, 4 \} \)

« Önceki
Mutlak Değer İşlem Kuralları
Sonraki »
Mutlak Değer Eşitsizlikleri