Üçgen Eşitsizliği

Şekildeki \( ABC \) üçgeninin \( [BA] \) kenarını \( [AC] \) kenarı uzunluğunda \( b \) birim uzatalım (mavi kesikli çizgi). Bu doğru parçasının sonlandığı \( D \) noktası ile üçgenin \( C \) köşesini birleştirelim.

Oluşan \( ADC \) üçgeni iki kenar uzunluğu eşit olduğu için bir ikizkenar üçgendir, dolayısıyla iki açısının ölçüleri eşittir.

\( \abs{AD} = \abs{AC} = b \)

\( m(\widehat{ADC}) = m(\widehat{ACD}) \)

Üçgende kenar - açı bağıntılarına göre, daha geniş olan açının gördüğü kenar daha uzundur. Buna göre büyük üçgende \( \widehat{BCD} \) açısı \( \widehat{ACD} \) açısından büyük olduğu için bu açıya eşit \( \widehat{BDC} \) açısından da büyüktür, dolayısıyla \( [BD] \) kenarı \( [BC] \) kenarından uzun olur.

\( m(\widehat{ACD}) \lt m(\widehat{BCD}) \) olduğu için,

\( m(\widehat{BDC}) \lt m(\widehat{BCD}) \)

\( \abs{BC} \lt \abs{BD} \)

\( \abs{BC} \lt \abs{BA} + \abs{AD} \)

\( \abs{AD} = \abs{AC} = b \) olduğu için,

\( \abs{BC} \lt \abs{BA} + \abs{AC} \)

\( a \lt b + c \)

\( [BC] \) kenarı için üçgen eşitsizliğinin sağ tarafını bulmuş olduk.

Üçgen eşitsizliğinin sol tarafını elde etmek için diğer iki kenara ait eşitsizliklerin sağ tarafını yazalım.

\( b \lt a + c \)

\( c \lt a + b \)

Bu eşitsizliklerde \( a \)'yı yalnız bırakalım.

\( b - c \lt a \)

\( c - b \lt a \Longrightarrow -(b - c) \lt a \)

\( a \) sayısı bir ifadenin hem pozitif hem de negatif işaretlisinden büyükse bu iki ifadenin daha büyüğüne eşit olan mutlak değerinden de büyüktür.

\( \abs{b - c} \lt a \)

\( [BC] \) kenarı için üçgen eşitsizliğinin sol tarafını da bulmuş olduk. Buna göre bu kenar için tüm eşitsizlik aşağıdaki şekilde olur.

\( \abs{b - c} \lt a \lt b + c \)

Benzer bir ispat diğer kenarlar için de yapılabilir.

İSPAT 1:

Mutlak değerin tanımı gereği bir reel sayı ya mutlak değerinin kendisine ya da negatifine eşittir.

\( a = \abs{a} \) veya \( a = -\abs{a} \)

\( a \) sayısı bu iki değerden birine eşit olduğu için aşağıdaki eşitsizliği yazabiliriz.

\( -\abs{a} \le a \le \abs{a} \)

Benzer bir eşitsizliği \( b \) reel sayısı için yazalım.

\( -\abs{b} \le b \le \abs{b} \)

Bu iki eşitsizliği taraf tarafa toplayalım.

\( -\abs{a} - \abs{b} \le a + b \le \abs{a} + \abs{b} \)

\( -(\abs{a} + \abs{b}) \le a + b \le \abs{a} + \abs{b} \)

Mutlak değer eşitsizliklerinde gördüğümüz aşağıdaki kurala göre, bir sayının mutlak değeri \( c \) sayısından küçükse ya da ona eşitse bu sayı \( [-c, c] \) aralığındadır.

\( \abs{x} \le c \Longleftrightarrow -c \le x \le c \)

Bu ifadede \( x \) yerine \( a + b \) ve \( c \) yerine \( \abs{a} + \abs{b} \) yazarsak yukarıda bulduğumuz eşitsizliği elde ederiz.

\( -(\abs{a} + \abs{b}) \le a + b \le \abs{a} + \abs{b} \)

Bu eşitsizliği de \( \abs{x} \le c \) formunda aşağıdaki şekilde yazabiliriz.

\( \abs{a + b} \le \abs{a} + \abs{b} \)

İSPAT 2:

Alternatif olarak \( a \) ve \( b \) sayılarının tüm olası durumları için eşitsizliğin sağlanıp sağlanmadığını kontrol edelim.

Durum 1: \( a \ge 0, b \ge 0 \)

Mutlak değer içindeki ifadeler sıfır ya da pozitif olduğu için mutlak değer dışına pozitif işaretli çıkar.

\( \abs{a + b} \le \abs{a} + \abs{b} \)

\( a + b \le a + b \)

Taraflar birbirine eşit olduğu için \( \le \) eşitsizliği sağlanır.

Durum 2: \( a \lt 0, b \lt 0 \)

Mutlak değer içindeki ifadeler negatif olduğu için mutlak değer dışına negatif işaretli çıkar.

\( \abs{a + b} \le \abs{a} + \abs{b} \)

\( -(a + b) \le (-a) + (-b) \)

\( -a - b \le -a - b \)

Taraflar birbirine eşit olduğu için \( \le \) eşitsizliği sağlanır.

Durum 3.1: \( a \ge 0, b \lt 0, \abs{a} \ge \abs{b} \)

\( a + b \) toplamı sıfır ya da pozitif olduğu için mutlak değer dışına pozitif işaretli çıkar.

\( \abs{a + b} \le \abs{a} + \abs{b} \)

\( a + b \le a + (-b) \)

\( b \le -b \)

\( b \lt 0 \) olduğu için eşitsizliğin sol tarafı negatif, sağ tarafı pozitiftir, dolayısıyla eşitsizlik sağlanır.

Durum 3.2: \( a \ge 0, b \lt 0, \abs{a} \lt \abs{b} \)

\( a + b \) toplamı negatif olduğu için mutlak değer dışına negatif işaretli çıkar.

\( \abs{a + b} \le \abs{a} + \abs{b} \)

\( -(a + b) \le a + (-b) \)

\( -a - b \le a - b \)

\( -a \le a \)

\( a \ge 0 \) olduğu için eşitsizliğin sol tarafı sıfır ya da negatif, sağ tarafı sıfır ya da pozitiftir, dolayısıyla \( \le \) eşitsizliği sağlanır.

Durum 4: \( a \lt 0, b \ge 0 \)

Bu durum \( a \) ve \( b \) sayıları aralarında yer değiştirmiş şekilde 3. durumun tekrarı olduğu için eşitsizlik yine sağlanır.

Buna göre üçgen eşitsizliği \( a \) ve \( b \)'nin her değeri için sağlanır.

\( \abs{a + b} \le \abs{a} + \abs{b} \)

İspatını verdiğimiz yukarıdaki üçgen eşitsizliğinde \( b \) yerine \( -b \) koyalım.

\( \abs{a + (-b)} \le \abs{a} + \abs{-b} \)

Bir sayının ve negatif işaretlisinin mutlak değerleri birbirine eşittir.

\( \abs{a - b} \le \abs{a} + \abs{b} \)

Üçgen eşitsizliğinde \( a \) yerine \( a - b \) yazalım.

\( \abs{a + b} \le \abs{a} + \abs{b} \)

\( \abs{(a - b) + b} \le \abs{a - b} + \abs{b} \)

\( \abs{a} \le \abs{a - b} + \abs{b} \)

Terimleri yeniden düzenleyelim.

\( \abs{a} - \abs{b} \le \abs{a - b} \)

Şimdi de üçgen eşitsizliğinde \( b \) yerine \( b - a \) yazalım.

\( \abs{a + b} \le \abs{a} + \abs{b} \)

\( \abs{a + (b - a)} \le \abs{a} + \abs{b - a} \)

\( \abs{b} \le \abs{a} + \abs{b - a} \)

Terimleri yeniden düzenleyelim.

\( -\abs{b - a} \le \abs{a} - \abs{b} \)

\( \abs{b - a} \) ifadesinin içini -1 ile çarpalım.

\( -\abs{a - b} \le \abs{a} - \abs{b} \)

Mutlak değer eşitsizliklerinde gördüğümüz aşağıdaki kurala göre, bir sayının mutlak değeri \( c \) sayısından küçükse ya da ona eşitse bu sayı \( [-c, c] \) aralığındadır.

\( \abs{x} \le c \Longleftrightarrow -c \le x \le c \)

Buna göre, yukarıda elde ettiğimiz iki eşitsizlikte \( \abs{a} - \abs{b} \) ifadesi pozitif ve negatif \( \abs{a - b} \) aralığında olduğu için bu eşitsizliği aşağıdaki şekilde yazabiliriz.

\( -\abs{a - b} \le \abs{a} - \abs{b} \le \abs{a - b} \)

\( \abs{\abs{a} - \abs{b}} \le \abs{a - b} \)