Mutlak Değer Eşitsizlikleri
\( a, b \in \mathbb{R^+} \) ve \( m \in \mathbb{R} \) olmak üzere, mutlak değerli ifade içeren basit eşitsizlikler için çözüm kümeleri aşağıdaki tabloda özetlenmiştir. Bu eşitsizliklerin, aşağıda detaylarını vereceğimiz şekilde mutlak değerin uzaklık tanımı kullanılarak anlaşılması önemlidir.
| Eşitsizlik | Çözüm Kümesi |
|---|---|
| \( \abs{x} \ge 0 \) | \( x \in \mathbb{R} \) |
| \( \abs{x} \gt 0 \) | \( x \in \mathbb{R} - \{ 0 \} \) |
| \( \abs{x} \ge -a \) | \( x \in \mathbb{R} \) |
| \( \abs{x} \lt 0 \) | \( x \in \emptyset \) |
| \( \abs{x} \le -a \) | \( x \in \emptyset \) |
| \( \abs{x} \le 0 \) | \( x = 0 \) |
| \( \abs{x} \le a \) | \( -a \le x \le a \) |
| \( \abs{x - m} \le a \) | \( -a + m \le x \le a + m \) |
| \( a \le \abs{x} \) | \( x \le -a \quad \) ya da \( \quad a \le x \) |
| \( a \le \abs{x - m} \) | \( x \le -a + m \quad \) ya da \( \quad a + m \le x \) |
| \( a \le \abs{x} \le b \) | \( -b \le x \le -a \quad \) ya da \( \quad a \le x \le b \) |
| \( a \le \abs{x - m} \le b \) | \( -b + m \le x \le -a + m \quad \) ya da \( \quad a + m \le x \le b + m \) |
Eşitsizlik Tipleri
Sıfır ve Negatif Sınır Değerleri
Bir sayının sayı doğrusu üzerinde sıfır noktasına olan uzaklığı her zaman pozitif ya da sıfırdır, dolayısıyla mutlak değerli bir ifadenin negatif bir sayıdan büyük olduğu eşitsizliklerin çözüm kümesi tüm reel sayılar kümesidir.
\( a \in \mathbb{R^+} \) olmak üzere,
\( \abs{x} \ge 0 \) ya da \( \abs{x} \gt -a \) ise,
Çözüm kümesi: \( x \in \mathbb{R} \)
Bir sayının sayı doğrusu üzerinde sıfır noktasına olan uzaklığı negatif olamaz, dolayısıyla mutlak değerli bir ifadenin negatif olduğu eşitsizliklerin çözüm kümesi boş kümedir.
\( a \in \mathbb{R^+} \) olmak üzere,
\( \abs{x} \lt 0 \) ya da \( \abs{x} \le -a \) ise,
Çözüm kümesi: \( x \in \emptyset \)
Mutlak değerli bir ifadenin sonucu sıfırdan küçükse ya da sıfıra eşitse çözüm kümesi sadece sıfır olabilir.
\( \abs{x} \le 0 \) ise,
Çözüm kümesi: \( x = 0 \)
Üst Sınırlı Eşitsizlikler
\( \abs{x} \le a \) formundaki eşitsizliklerin çözüm kümesi, orijine uzaklığı \( a \)'dan küçük ya da \( a \)'ya eşit olan noktaların kümesidir.
\( \abs{x} \lt a \) formundaki eşitsizliklerin çözüm kümesi, orijine uzaklığı \( a \)'dan küçük olan noktaların kümesidir.
\( a \in \mathbb{R^+} \) olmak üzere,
\( \abs{x} \le a \) ise,
Çözüm kümesi: \( -a \le x \le a \)
\( \abs{x} \le 4 \) ise,
Çözüm kümesi: \( -4 \le x \le 4 \)
İSPATI GÖSTER
\( \abs{x} \le a \)
Mutlak değer içinin işaretine göre iki durum oluşur.
Durum 1: \( x \ge 0 \)
\( x \) pozitif ya da sıfır olduğu için mutlak değerden olduğu gibi çıkar.
\( x \le a \)
İncelediğimiz aralıkta \( x \) sıfırdan büyük ya da sıfıra eşittir.
\( 0 \le x \le a \)
Durum 2: \( x \lt 0 \)
\( x \) negatif olduğu için mutlak değerden önüne negatif işareti eklenerek çıkar.
\( -x \le a \)
\( -a \le x \)
İncelediğimiz aralıkta \( x \) sıfırdan küçüktür.
\( -a \le x \lt 0 \)
Eşitsizliğin çözüm kümesi her durum için bulduğumuz çözümlerin birleşiminden oluşur.
\( -a \le x \le a \)
\( \abs{x - m} \le a \) formundaki eşitsizliklerin çözüm kümesi, \( m \) noktasına uzaklığı \( a \)'dan küçük ya da \( a \)'ya eşit olan noktaların kümesidir.
\( \abs{x - m} \lt a \) formundaki eşitsizliklerin çözüm kümesi, \( m \) noktasına uzaklığı \( a \)'dan küçük olan noktaların kümesidir.
\( a \in \mathbb{R^+}, m \in \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( \abs{x - m} \le a \) ise,
Çözüm kümesi: \( -a + m \le x \le a + m \)
\( \abs{x - 2} \le 4 \) ise,
\( -4 + 2 \le x \le 4 + 2 \)
Çözüm kümesi: \( -2 \le x \le 6 \)
İSPATI GÖSTER
\( \abs{x - m} \le a \)
Mutlak değer içinin işaretine göre iki durum oluşur.
Durum 1: \( x - m \ge 0 \)
\( x - m \) pozitif ya da sıfır olduğu için mutlak değerden olduğu gibi çıkar.
\( x - m \le a \)
\( x \le a + m \)
İncelediğimiz aralıkta \( x - m \ge 0 \) olduğu için \( x \ge m \) olur.
\( m \le x \le a + m \)
Durum 2: \( x - m \lt 0 \)
\( x - m \) negatif olduğu için mutlak değerden önüne negatif işareti eklenerek çıkar.
\( -(x - m) \le a \)
\( -a \le x - m \)
\( -a + m \le x \)
İncelediğimiz aralıkta \( x - m \lt 0 \) olduğu için \( x \lt m \) olur.
\( -a + m \le x \lt m \)
Eşitsizliğin çözüm kümesi her durum için bulduğumuz çözümlerin birleşiminden oluşur.
\( -a + m \le x \le a + m \)
Alt Sınırlı Eşitsizlikler
\( a \le \abs{x} \) formundaki eşitsizliklerin çözüm kümesi, orijine uzaklığı \( a \)'dan büyük ya da \( a \)'ya eşit olan noktaların kümesidir.
\( a \lt \abs{x} \) formundaki eşitsizliklerin çözüm kümesi, orijine uzaklığı \( a \)'dan büyük olan noktaların kümesidir.
\( a \in \mathbb{R^+} \) olmak üzere,
\( a \le \abs{x} \) ise,
Çözüm kümesi: \( x \le -a \) ya da \( a \le x \)
\( 4 \le \abs{x} \) ise,
Çözüm kümesi: \( x \le -4 \) ya da \( 4 \le x \)
İSPATI GÖSTER
\( a \le \abs{x} \)
Mutlak değer içinin işaretine göre iki durum oluşur.
Durum 1: \( x \ge 0 \)
\( x \) pozitif ya da sıfır olduğu için mutlak değerden olduğu gibi çıkar.
\( a \le x \)
Durum 2: \( x \lt 0 \)
\( x \) negatif olduğu için mutlak değerden önüne negatif işareti eklenerek çıkar.
\( a \le -x \)
\( x \le -a \)
Eşitsizliğin çözüm kümesi her durum için bulduğumuz çözümlerin birleşiminden oluşur.
\( x \le -a \) ya da \( a \le x \)
\( a \le \abs{x - m} \) formundaki eşitsizliklerin çözüm kümesi, \( m \) noktasına uzaklığı \( a \)'dan büyük ya da \( a \)'ya eşit olan noktaların kümesidir.
\( a \lt \abs{x - m} \) formundaki eşitsizliklerin çözüm kümesi, \( m \) noktasına uzaklığı \( a \)'dan büyük olan noktaların kümesidir.
\( a \in \mathbb{R^+}, m \in \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( a \le \abs{x - m} \) ise,
Çözüm kümesi: \( x \le -a + m \) ya da \( a + m \le x \)
\( 4 \le \abs{x - 2} \) ise,
\( x \le -4 + 2 \) ya da \( 4 + 2 \le x \)
Çözüm kümesi: \( x \le -2 \) ya da \( 6 \le x \)
İSPATI GÖSTER
\( a \le \abs{x - m} \)
Mutlak değer içinin işaretine göre iki durum oluşur.
Durum 1: \( x - m \ge 0 \)
\( x - m \) pozitif ya da sıfır olduğu için mutlak değerden olduğu gibi çıkar.
\( a \le x - m \)
\( a + m \le x \)
Durum 2: \( x - m \lt 0 \)
\( x - m \) negatif olduğu için mutlak değerden önüne negatif işareti eklenerek çıkar.
\( a \le -(x - m) \)
\( x - m \le -a \)
\( x \le -a + m \)
Eşitsizliğin çözüm kümesi her durum için bulduğumuz çözümlerin birleşiminden oluşur.
\( x \le -a + m \) ya da \( a + m \le x \)
Alt ve Üst Sınırlı Eşitsizlikler
\( a \le \abs{x} \le b \) formundaki eşitsizliklerin çözüm kümesi, orijine uzaklığı \( a \) ve \( b \) kapalı aralığında olan noktaların kümesidir.
\( a \lt \abs{x} \lt b \) formundaki eşitsizliklerin çözüm kümesi, orijine uzaklığı \( a \) ve \( b \) açık aralığında olan noktaların kümesidir.
\( a, b \in \mathbb{R^+} \) olmak üzere,
\( a \le \abs{x} \le b \) ise,
Çözüm kümesi: \( -b \le x \le -a \) ya da \( a \le x \le b \)
\( 2 \le \abs{x} \le 4 \) ise,
Çözüm kümesi: \( -4 \le x \le -2 \) ya da \( 2 \le x \le 4 \)
İSPATI GÖSTER
\( a \le \abs{x} \le b \)
Mutlak değer içinin işaretine göre iki durum oluşur.
Durum 1: \( x \ge 0 \)
\( x \) pozitif ya da sıfır olduğu için mutlak değerden olduğu gibi çıkar.
\( a \le x \le b \)
Durum 2: \( x \lt 0 \)
\( x \) negatif olduğu için mutlak değerden önüne negatif işareti eklenerek çıkar.
\( a \le -x \le b \)
\( -b \le x \le -a \)
Eşitsizliğin çözüm kümesi her durum için bulduğumuz çözümlerin birleşiminden oluşur.
\( -b \le x \le -a \) ya da \( a \le x \le b \)
\( a \le \abs{x - m} \le b \) formundaki eşitsizliklerin çözüm kümesi, \( m \) noktasına uzaklığı \( a \) ve \( b \) kapalı aralığında olan noktaların kümesidir.
\( a \lt \abs{x - m} \lt b \) formundaki eşitsizliklerin çözüm kümesi, \( m \) noktasına uzaklığı \( a \) ve \( b \) açık aralığında olan noktaların kümesidir.
\( a, b \in \mathbb{R^+}, m \in \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( a \le \abs{x - m} \le b \) ise,
Çözüm kümesi: \( -b + m \le x \le -a + m \) ya da \( a + m \le x \le b + m \)
\( 5 \le \abs{x - 2} \le 8 \) ise,
Çözüm kümesi: \( -6 \le x \le -3 \) ya da \( 7 \le x \le 10 \)
İSPATI GÖSTER
\( a \le \abs{x - m} \le b \)
Mutlak değer içinin işaretine göre iki durum oluşur.
Durum 1: \( x - m \ge 0 \)
\( x - m \) pozitif ya da sıfır olduğu için mutlak değerden olduğu gibi çıkar.
\( a \le x - m \le b \)
\( a + m \le x \le b + m \)
Durum 2: \( x - m \lt 0 \)
\( x - m \) negatif olduğu için mutlak değerden önüne negatif işareti eklenerek çıkar.
\( a \le -(x - m) \le b \)
\( -b \le x - m \le -a \)
\( -b + m \le x \le -a + m \)
Eşitsizliğin çözüm kümesi her durum için bulduğumuz çözümlerin birleşiminden oluşur.
\( -b + m \le x \le -a + m \) ya da \( a + m \le x \le b + m \)
İki Mutlak Değerli İfade Arasındaki Eşitsizlikler
\( \abs{x} \le \abs{y} \) formundaki eşitsizlikler, denklemler bölümünde uyguladığımız yönteme benzer şekilde eşitsizliğin iki tarafının karesi alınarak çözülebilir. Mutlak değerli ifadeler her zaman sıfır ya da pozitif oldukları için, bu şekildeki eşitsizliklerin her iki tarafının karesi alındığında eşitsizlik bozulmaz ya da yön değiştirmez.
\( \abs{x + 6} \gt \abs{x - 2} \) eşitsizliğinin çözüm kümesini bulalım.
İki tarafın karesini alalım. İki taraf da negatif olamayacağı için, tarafların karesini almak eşitsizliği bozmaz ya da yönünü değiştirmez.
\( \abs{x + 6}^2 \gt \abs{x - 2}^2 \)
\( (x + 6)^2 \gt (x - 2)^2 \)
\( x^2 + 12x + 36 \gt x^2 - 4x + 4 \)
\( 16x \gt -32 \)
\( x \gt -2 \)
Çözüm kümesi: \( x \gt -2 \)
Aşağıdaki eşitsizliklerin çözüm kümelerini bulunuz.
(a) \( \abs{2x + 5} \lt 9 \)
(b) \( \abs{1 - 7x} \le 64 \)
(c) \( \abs{180 - 15x} \lt 210 \)
Çözümü Göster(a) seçeneği:
\( \abs{2x + 5} \lt 9 \)
Eşitsizlikte mutlak değer ifadesini kaldırdığımızda aşağıdaki şekilde tek bir eşitsizlik oluşur.
\( -9 \lt 2x + 5 \lt 9 \)
\( -14 \lt 2x \lt 4 \)
\( -7 \lt x \lt 2 \)
Çözüm kümesi: \( x \in (-7, 2) \)
(b) seçeneği:
\( \abs{1 - 7x} \le 64 \)
Eşitsizlikte mutlak değer ifadesini kaldırdığımızda aşağıdaki şekilde tek bir eşitsizlik oluşur.
\( -64 \le 1 - 7x \le 64 \)
\( -65 \le -7x \le 63 \)
\( -\dfrac{65}{7} \le -x \le 9 \)
\( -9 \le x \le \dfrac{65}{7} \)
Çözüm kümesi: \( x \in \left[ -9, \dfrac{65}{7} \right] \)
(c) seçeneği:
\( \abs{180 - 15x} \lt 210 \)
Eşitsizlikte mutlak değer ifadesini kaldırdığımızda aşağıdaki şekilde tek bir eşitsizlik oluşur.
\( -210 \lt 180 - 15x \lt 210 \)
\( -390 \lt -15x \lt 30 \)
\( -26 \lt -x \lt 2 \)
\( -2 \lt x \lt 26 \)
Çözüm kümesi: \( x \in (-2, 26) \)
Aşağıdaki eşitsizliklerin çözüm kümelerini bulunuz.
(a) \( 2 \lt \abs{x - 3} \le 12 \)
(b) \( 3 \le \abs{10x + 7} \lt 23 \)
(c) \( 0 \lt \abs{x - 1} \lt 7 \)
Çözümü Göster(a) seçeneği:
\( 2 \lt \abs{x - 3} \le 12 \)
Verilen eşitsizlikte mutlak değer ifadesini kaldırdığımızda \( x - 3 \) ifadesinin işaretine göre iki aralık oluşur.
Eşitsizlik 1:
\( 2 \lt x - 3 \le 12 \)
\( 5 \lt x \le 15 \)
Eşitsizlik 2:
\( 2 \lt -(x - 3) \le 12 \)
\( -12 \le x - 3 \lt -2 \)
\( -9 \le x \lt 1 \)
Eşitsizliğin çözüm kümesi her durum için bulduğumuz çözümlerin birleşiminden oluşur.
Çözüm kümesi: \( x \in [-9, 1) \cup (5, 15] \)
(b) seçeneği:
\( 3 \le \abs{10x + 7} \lt 23 \)
Verilen eşitsizlikte mutlak değer ifadesini kaldırdığımızda \( 10x + 7 \) ifadesinin işaretine göre iki aralık oluşur.
Eşitsizlik 1:
\( 3 \le 10x + 7 \lt 23 \)
\( -4 \le 10x \lt 16 \)
\( -\dfrac{2}{5} \le x \lt \dfrac{8}{5} \)
Eşitsizlik 2:
\( 3 \le -(10x + 7) \lt 23 \)
\( -23 \lt 10x + 7 \le -3 \)
\( -30 \lt 10x \le -10 \)
\( -3 \lt x \le -1 \)
Eşitsizliğin çözüm kümesi her durum için bulduğumuz çözümlerin birleşiminden oluşur.
Çözüm kümesi: \( x \in (-3, -1] \cup \left[ -\dfrac{2}{5}, \dfrac{8}{5} \right) \)
(c) seçeneği:
\( 0 \lt \abs{x - 1} \lt 7 \)
Verilen eşitsizlikte mutlak değer ifadesini kaldırdığımızda \( x - 1 \) ifadesinin işaretine göre iki aralık oluşur.
Eşitsizlik 1:
\( 0 \lt x - 1 \lt 7 \)
\( 1 \lt x \lt 8 \)
Eşitsizlik 2:
\( 0 \lt -(x - 1) \lt 7 \)
\( -7 \lt x - 1 \lt 0 \)
\( -6 \lt x \lt 1 \)
Eşitsizliğin çözüm kümesi her durum için bulduğumuz çözümlerin birleşiminden oluşur.
Çözüm kümesi: \( x \in (-6, 1) \cup (1, 8) \)
Aşağıdaki eşitsizliklerin çözüm kümelerini bulunuz.
(a) \( \abs{12 - 15x} \gt 42 \)
(b) \( \abs{\dfrac{52 - x}{4}} \ge 7 \)
(c) \( \abs{7x - 11} \gt 0 \)
Çözümü Göster(a) seçeneği:
\( \abs{12 - 15x} \gt 42 \)
Verilen eşitsizlikte mutlak değer ifadesini kaldırdığımızda \( 12 - 15x \) ifadesinin işaretine göre iki aralık oluşur.
Eşitsizlik 1:
\( 12 - 15x \gt 42 \)
\( -15x \gt 30 \)
\( x \lt -2 \)
Eşitsizlik 2:
\( -(12 - 15x) \gt 42 \)
\( 12 - 15x \lt -42 \)
\( 15x \gt 54 \)
\( x \gt \dfrac{18}{5} \)
Eşitsizliğin çözüm kümesi her durum için bulduğumuz çözümlerin birleşiminden oluşur.
Çözüm kümesi: \( x \in (-\infty, -2) \cup (\frac{18}{5}, \infty) \)
(b) seçeneği:
\( \abs{\dfrac{52 - x}{4}} \ge 7 \)
Verilen eşitsizlikte mutlak değer ifadesini kaldırdığımızda \( 52 - x \) ifadesinin işaretine göre iki aralık oluşur.
Eşitsizlik 1:
\( \dfrac{52 - x}{4} \ge 7 \)
\( 52 - x \ge 28 \)
\( x \le 24 \)
Eşitsizlik 2:
\( \dfrac{-(52 - x)}{4} \ge 7 \)
\( \dfrac{52 - x}{4} \le -7 \)
\( 52 - x \le -28 \)
\( x \ge 80 \)
Eşitsizliğin çözüm kümesi her durum için bulduğumuz çözümlerin birleşiminden oluşur.
Çözüm kümesi: \( x \in (-\infty, 24] \cup [80, \infty) \)
(c) seçeneği:
\( \abs{7x - 11} \gt 0 \)
Verilen eşitsizlikte mutlak değer ifadesini kaldırdığımızda \( 7x - 11 \) ifadesinin işaretine göre iki aralık oluşur.
Eşitsizlik 1:
\( 7x - 11 \gt 0 \)
\( 7x \gt 11 \)
\( x \gt \dfrac{11}{7} \)
Eşitsizlik 2:
\( -(7x - 11) \gt 0 \)
\( 7x - 11 \lt 0 \)
\( 7x \lt 11 \)
\( x \lt \dfrac{11}{7} \)
Eşitsizliğin çözüm kümesi her durum için bulduğumuz çözümlerin birleşiminden oluşur.
Çözüm kümesi: \( x \in \mathbb{R} - \left\{ \dfrac{11}{7} \right\} \)
Aşağıdaki eşitsizliklerin çözüm kümelerini bulunuz.
(a) \( -5 \lt \abs{4x - 6} \le 10 \)
(b) \( -10 \le \abs{12 - 4x} \lt 44 \)
(c) \( -8 \le \abs{16x - 8} \le 0 \)
Çözümü Göster(a) seçeneği:
\( -5 \lt \abs{4x - 6} \le 10 \)
Bir mutlak değer ifadesi hiçbir zaman negatif değer alamayacağı için verilen eşitsizlik aşağıdaki eşitsizliğe denktir.
\( 0 \le \abs{4x - 6} \le 10 \)
Verilen eşitsizlikte mutlak değer ifadesini kaldırdığımızda aşağıdaki şekilde tek bir eşitsizlik oluşur.
\( -10 \le 4x - 6 \le 10 \)
\( -4 \le 4x \le 16 \)
\( -1 \le x \le 4 \)
Çözüm kümesi: \( x \in [-1, 4] \)
(b) seçeneği:
\( -10 \le \abs{12 - 4x} \lt 44 \)
Bir mutlak değer ifadesi hiçbir zaman negatif değer alamayacağı için verilen eşitsizlik aşağıdaki eşitsizliğe denktir.
\( 0 \le \abs{12 - 4x} \lt 44 \)
Verilen eşitsizlikte mutlak değer ifadesini kaldırdığımızda aşağıdaki şekilde tek bir eşitsizlik oluşur.
\( -44 \lt 12 - 4x \lt 44 \)
\( -56 \lt -4x \lt 32 \)
\( -14 \lt -x \lt 8 \)
\( -8 \lt x \lt 14 \)
Çözüm kümesi: \( x \in (-8, 14) \)
(c) seçeneği:
\( -8 \le \abs{16x - 8} \le 0 \)
Bir mutlak değer ifadesi hiçbir zaman negatif değer alamayacağı için verilen eşitsizlik aşağıdaki eşitliğe denktir.
\( \abs{16x - 8} = 0 \)
Bir ifadenin mutlak değeri sıfıra eşitse kendisi de sıfırdır.
\( 16x - 8 = 0 \)
\( x = \dfrac{1}{2} \)
Çözüm kümesi: \( x = \dfrac{1}{2} \)
\( \abs{x - 7} \ge 6 \)
\( \abs{x - 3} \lt 13 \)
eşitsizlik sisteminin çözüm kümesini bulunuz.
Çözümü GösterEşitsizliklerin ayrı ayrı çözüm kümelerini bulalım.
Eşitsizlik 1:
\( \abs{x - 7} \ge 6 \)
\( x - 7 \ge 6 \) ya da \( x - 7 \le -6 \)
\( x \ge 13 \) ya da \( x \le 1 \)
\( x \in (-\infty, 1] \cup [13, \infty) \)
Eşitsizlik 2:
\( \abs{x - 3} \lt 13 \)
\( -13 \lt x - 3 \lt 13 \)
\( -10 \lt x \lt 16 \)
\( x \in (-10, 16) \)
Eşitsizlik sisteminin çözüm kümesi her durum için bulduğumuz çözümlerin kesişiminden oluşur.
Çözüm kümesi: \( x \in (-10, 1] \cup [13, 16) \)
\( \abs{k - 3m} + \abs{3k + 2m - 55} \le 0 \) olduğuna göre, \( m \) kaçtır?
Çözümü GösterBir mutlak değer ifadesinin sonucu pozitif ya da sıfır olabilir, negatif olamaz.
Verilen iki mutlak değer ifadesinin toplamı negatif olamayacağı için, her iki mutlak değer ifadesi de sıfır olmalıdır.
İfade 1:
\( \abs{k - 3m} = 0 \)
\( k - 3m = 0 \)
\( k = 3m \)
İfade 2:
\( \abs{3k + 2m - 55} = 0 \)
\( 3k + 2m - 55 = 0 \)
\( k = 3m \) yazalım.
\( 3(3m) + 2m - 55 = 0 \)
\( m = 5 \) bulunur.
\( x \lt \abs{x} \) eşitsizliği hangi öncüllerdeki aralıkların tümünde sağlanır?
I. \( x \lt -2 \)
II. \( -5 \le x \lt 0 \)
III. \( x \gt 3 \)
IV. \( -3 \le x \lt 2 \)
Çözümü GösterBir sayının mutlak değeri kendisinden büyükse bu sayı negatiftir.
Çözüm kümesi: \( x \lt 0 \)
I. ve II. öncüllerdeki aralıkların tümü çözüm kümesinin içindedir.
III. öncüldeki aralığın tümü çözüm kümesinin dışındadır.
IV. öncüldeki aralık çözüm kümesinin kısmen içinde kısmen dışındadır.
Buna göre verilen eşitsizlik I. ve II. öncüllerdeki aralıkların tümünde sağlanır.
\( x, k, m \in \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( \abs{3x - k} \lt m \) eşitsizliğinin çözüm kümesi \( (-3, 7) \) aralığı olduğuna göre, \( km \) çarpımı kaçtır?
Çözümü GösterVerilen eşitsizliği kullanarak \( x \) değer aralığını bulalım.
\( -m \lt 3x - k \lt m \)
\(-m + k \lt 3x \lt m + k \)
\( \dfrac{k - m}{3} \lt x \lt \dfrac{k + m}{3} \)
Eşitsizliğin çözüm kümesi \( (-3, 7) \) aralığıdır, buna göre \( x \) için bulduğumuz değer aralığının sınır değerlerini bu değerlere eşitleyelim.
\( \dfrac{k - m}{3} = -3 \Longrightarrow k - m = -9 \)
\( \dfrac{k + m}{3} = 7 \Longrightarrow k + m = 21 \)
Elde ettiğimiz iki bilinmeyenli iki denklemi ortak çözerek \( k \) ve \( m \) değerlerini bulalım.
\( 2k = 12 \Longrightarrow k = 6 \)
\( 6 - m = -9 \Longrightarrow m = 15 \)
\( km = 6 \cdot 15 = 90 \) bulunur.
Aşağıdaki eşitsizliklerin çözüm kümelerini bulunuz.
(a) \( \abs{1 - x} \lt 9x - 4 \)
(b) \( \abs{5x + 2} \ge 6 - 11x \)
(c) \( \abs{x - 2} \gt 3x + 4 \)
Çözümü Göster(a) seçeneği:
\( \abs{1 - x} \lt 9x - 4 \)
Mutlak değer içini sıfır yapan \( x = 1 \) değerinin oluşturduğu \( x \le 1 \) ve \( x \gt 1 \) aralıklarını ayrı ayrı inceleyelim ve her durumda oluşan eşitsizliği çözelim.
Durum 1:
\( x \le 1 \)
Bu aralıkta \( 1 - x \) ifadesi sıfır ya da pozitif olur ve mutlak değer dışına olduğu gibi çıkar.
\( 1 - x \lt 9x - 4 \)
\( 5 \lt 10x \)
\( x \gt \dfrac{1}{2} \)
Bu aralık ile incelediğimiz \( x \le 1 \) aralığının kesişimi bu durumun çözüm kümesini verir.
\( x \in \left( \dfrac{1}{2}, 1 \right] \)
Durum 2:
\( x \gt 1 \)
Bu aralıkta \( 1 - x \) ifadesi negatif olur ve mutlak değer dışına önünde negatif işareti ile çıkar.
\( -(1 - x) \lt 9x - 4 \)
\( x - 1 \lt 9x - 4 \)
\( 8x \gt 3 \)
\( x \gt \dfrac{3}{8} \)
Bu aralık ile incelediğimiz \( x \gt 1 \) aralığının kesişimi bu durumun çözüm kümesini verir.
\( x \in (1, \infty) \)
Eşitsizliğin çözüm kümesi her durum için bulduğumuz çözümlerin birleşiminden oluşur.
Çözüm kümesi: \( x \in \left( \dfrac{1}{2}, \infty \right) \)
(b) seçeneği:
\( \abs{5x + 2} \ge 6 - 11x \)
Mutlak değer içini sıfır yapan \( x = -\frac{2}{5} \) değerinin oluşturduğu \( x \lt -\frac{2}{5} \) ve \( x \ge -\frac{2}{5} \) aralıklarını ayrı ayrı inceleyelim ve her durumda oluşan eşitsizliği çözelim.
Durum 1:
\( x \lt -\dfrac{2}{5} \)
Bu aralıkta \( 5x + 2 \) ifadesi negatif olur ve mutlak değer dışına önünde negatif işareti ile çıkar.
\( -(5x + 2) \ge 6 - 11x \)
\( -5x - 2 \ge 6 - 11x \)
\( 6x \ge 8 \)
\( x \ge \dfrac{4}{3} \)
Bu aralık ile incelediğimiz \( x \lt -\frac{2}{5} \) aralığının kesişimi bu durumun çözüm kümesini verir.
\( x \in \emptyset \)
Durum 2:
\( x \ge -\dfrac{2}{5} \)
Bu aralıkta \( 5x + 2 \) ifadesi sıfır ya da pozitif olur ve mutlak değer dışına olduğu gibi çıkar.
\( 5x + 2 \ge 6 - 11x \)
\( 16x \ge 4 \)
\( x \ge \dfrac{1}{4} \)
Bu aralık ile incelediğimiz \( x \ge -\frac{2}{5} \) aralığının kesişimi bu durumun çözüm kümesini verir.
\( x \in \left[ \dfrac{1}{4}, \infty \right) \)
Eşitsizliğin çözüm kümesi her durum için bulduğumuz çözümlerin birleşiminden oluşur.
Çözüm kümesi: \( x \in \left[ \dfrac{1}{4}, \infty \right) \)
(c) seçeneği:
\( \abs{x - 2} \gt 3x + 4 \)
Mutlak değer içini sıfır yapan \( x = 2 \) değerinin oluşturduğu \( x \lt 2 \) ve \( x \ge 2 \) aralıklarını ayrı ayrı inceleyelim ve her durumda oluşan eşitsizliği çözelim.
Durum 1:
\( x \lt 2 \)
Bu aralıkta \( x - 2 \) ifadesi negatif olur ve mutlak değer dışına önünde negatif işareti ile çıkar.
\( -(x - 2) \gt 3x + 4 \)
\( -x + 2 \gt 3x + 4 \)
\( 4x \lt -2 \)
\( x \lt -\dfrac{1}{2} \)
Bu aralık ile incelediğimiz \( x \lt 2 \) aralığının kesişimi bu durumun çözüm kümesini verir.
\( x \in \left( -\infty, -\dfrac{1}{2} \right) \)
Durum 2:
\( x \ge 2 \)
Bu aralıkta \( x - 2 \) ifadesi sıfır ya da pozitif olur ve mutlak değer dışına olduğu gibi çıkar.
\( x - 2 \gt 3x + 4 \)
\( 2x \lt -6 \)
\( x \lt -3 \)
Bu aralık ile incelediğimiz \( x \ge 2 \) aralığının kesişimi bu durumun çözüm kümesini verir.
\( x \in \emptyset \)
Eşitsizliğin çözüm kümesi her durum için bulduğumuz çözümlerin birleşiminden oluşur.
Çözüm kümesi: \( x \in \left( -\infty, -\dfrac{1}{2} \right) \)
\( \abs{x - 1} \lt \abs{x + 5} \) eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz.
Çözümü GösterSoruyu grafik yöntemiyle çözelim.
İfadeyi düzenleyelim.
\( \abs{x - 1} - \abs{x + 5} \lt 0 \)
Önce bu eşitsizliğin sol tarafını bir fonksiyon gibi düşünerek grafiğini çizelim.
\( y = \abs{x - 1} - \abs{x + 5} \)
Mutlak değer ifadelerini sıfır yapan noktalar fonksiyonun kritik noktalarıdır.
Buna göre fonksiyonun kritik noktaları \( x \in \{-5, 1\} \) noktalarıdır.
Bu iki kritik noktanın oluşturduğu üç aralığı ayrı ayrı inceleyelim ve her aralıkta mutlak değer içindeki ifadeleri o aralıktaki işaretlerine göre mutlak değerden çıkaralım.
Durum 1:
\( x \lt -5 \)
\( y = -(x - 1) + (x + 5) \)
\( y = 6 \)
Durum 2:
\( -5 \lt x \lt 1 \)
\( y = -(x - 1) - (x + 5) \)
\( y = -2x - 4 \)
Durum 3:
\( 1 \lt x \)
\( y = (x - 1) - (x + 5) \)
\( y = -6 \)
Fonksiyonun bu üç aralıktaki grafiğini çizersek aşağıdaki grafiği elde ederiz.
Soruda grafiğini bulduğumuz fonksiyonun sıfırdan küçük olduğu \( x \) aralığı istenmiş.
Grafikten de görebileceğimiz gibi, fonksiyonun negatif değer aldığı \( x \) değer aralığı \( x \in (-2, \infty) \) aralığıdır.
Çözüm kümesi: \( x \in (-2, \infty) \)
\( \abs{2x - 3} \ge \abs{3 + x} \) eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz.
Çözümü GösterMutlak değerin karekök tanımını kullanalım.
\( \sqrt{(2x - 3)^2} \ge \sqrt{(3 + x)^2} \)
Eşitsizliğin taraflarının karesini alalım.
Eşitsizliğin iki tarafında da karekök ifadesi olduğu için her iki taraf da pozitiftir, dolayısıyla tarafların karesini almamız eşitsizliğin çözüm kümesini değiştirmez (eşitsizliğe yeni çözümler eklemez).
\( (2x - 3)^2 \ge (3 + x)^2 \)
\( 4x^2 - 12x + 9 \ge 9 + 6x + x^2 \)
Tüm terimleri eşitsizliğin aynı tarafında toplayalım.
\( 3x^2 - 18x \ge 0 \)
\( x^2 - 6x \ge 0 \)
\( x(x - 6) \ge 0 \)
Pozitif başkatsayılı ve birbirinden farklı iki reel kökü olan ikinci dereceden bir ifade kök değerlerinde sıfır, köklerin arasındaki aralıkta negatif, dışındaki aralıkta pozitif olur.
Verilen eşitsizlikte \( \ge \) sembolü kullanıldığı için ikinci dereceden ifadenin pozitif ya da sıfır olduğu aralıklar eşitsizliğin çözüm kümesi olur.
Çözüm kümesi: \( x \in (-\infty, 0] \cup [6, \infty) \)
Aşağıdaki ifadelerin belirtilen aralıktaki görüntü kümelerini bulunuz.
(a) \( \abs{4x} \) ifadesinin \( -1 \lt x \lt 6 \) aralığında
(b) \( \abs{x - 9} \) ifadesinin \( -15 \le x \lt -5 \) aralığında
(c) \( 2\abs{x} + 1 \) ifadesinin \( -8 \lt x \le 2 \) aralığında
Çözümü Göster(a) seçeneği:
\( -1 \lt x \lt 6 \)
Eşitsizliğin taraflarını 4 ile çarpalım.
\( -4 \lt 4x \lt 24 \)
Eşitsizliğin taraflarının mutlak değerini alalım.
\( 0 \le \abs{4x} \lt 24 \)
(b) seçeneği:
\( -15 \le x \lt -5 \)
Eşitsizliğin taraflarından 9 çıkaralım.
\( -24 \le x - 9 \lt -14 \)
Eşitsizliğin taraflarının mutlak değerini alalım.
\( 14 \lt \abs{x - 9} \le 24 \)
(c) seçeneği:
\( -8 \lt x \le 2 \)
Eşitsizliğin taraflarının mutlak değerini alalım.
\( 0 \le \abs{x} \lt 8 \)
Eşitsizliğin taraflarını 2 ile çarpalım.
\( 0 \le 2\abs{x} \lt 16 \)
Eşitsizliğin taraflarına 1 ekleyelim.
\( 1 \le 2\abs{x} + 1 \lt 17 \)
\( \abs{x - 9} \lt \abs{x - 5} + 4 \) eşitsizliğinin en geniş çözüm kümesini bulunuz.
Çözümü GösterMutlak değer ifadelerini sıfır yapan noktalar eşitsizliğin kritik noktalarıdır.
Buna göre eşitsizliğin kritik noktaları \( x \in \{5, 9\} \) noktalarıdır.
Bu iki kritik noktanın oluşturduğu üç aralığı ayrı ayrı inceleyelim ve her aralıkta mutlak değer içindeki ifadeleri o aralıktaki işaretlerine göre mutlak değerden çıkaralım.
Durum 1:
\( x \lt 5 \)
Bu aralıkta her iki mutlak değer ifadesi de negatif olur, dolayısıyla mutlak değerden negatif işaretli çıkar.
\( -(x - 9) \lt -(x - 5) + 4 \)
\( -x + 9 \lt -x + 5 + 4 \)
\( -x \lt -x \)
Bu eşitsizliğin çözümü olmadığı için bu aralıkta geçerli bir çözüm yoktur.
Durum 2:
\( 5 \le x \lt 9 \)
Bu aralıkta \( x - 5 \) ifadesi pozitif, \( x - 9 \) ifadesi negatif olur, dolayısıyla birinci ifade mutlak değerden olduğu gibi, ikinci ifade negatif işaretli çıkar.
\( -(x - 9) \lt (x - 5) + 4 \)
\( -x + 9 \lt x - 5 + 4 \)
\( x \gt 5 \)
Bu aralık ile \( 5 \le x \lt 9 \) aralığının kesişimi bu aralığın çözüm kümesidir.
\( x \in (5, 9) \)
Durum 3:
\( 9 \le x \)
Bu aralıkta her iki mutlak değer ifadesi de pozitif olur, dolayısıyla mutlak değerden pozitif işaretli çıkar.
\( (x - 9) \lt (x - 5) + 4 \)
\( -9 \lt -1 \)
Bu eşitsizlik her zaman sağlandığı için eşitsizliği çözdüğümüz tüm aralık bu aralığın çözüm kümesidir.
\( x \in [9, \infty) \)
Eşitsizliğin çözüm kümesi her durum için bulduğumuz çözümlerin birleşiminden oluşur.
Çözüm kümesi: \( x \in (5, \infty) \)
\( \dfrac{x}{\abs{\abs{x} + x}} \gt 0 \) eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz.
Çözümü GösterEşitsizliği \( x \)'in negatif, pozitif ve sıfır olduğu durumlar için ayrı ayrı inceleyelim.
Durum 1:
\( x \lt 0 \)
\( \abs{x} = -x \)
\( \dfrac{x}{\abs{\abs{x} + x}} \gt 0 \)
\( \dfrac{x}{\abs{-x + x}} \gt 0 \)
\( \dfrac{x}{0} \gt 0 \)
Eşitsizliğin sol tarafı tanımsızdır, dolayısıyla eşitsizlik hiçbir \( x \lt 0 \) için sağlanmaz.
Durum 2:
\( x \gt 0 \)
\( \abs{x} = x \)
\( \dfrac{x}{\abs{x + x}} \gt 0 \)
\( \dfrac{x}{\abs{2x}} \gt 0 \)
\( \dfrac{x}{2x} \gt 0 \)
\( \dfrac{1}{2} \gt 0 \)
Eşitsizlik her durumda sağlandığı için her \( x \gt 0 \) değeri verilen eşitsizliği sağlar.
Durum 3:
\( x = 0 \)
\( \dfrac{0}{\abs{\abs{0} + 0}} \gt 0 \)
\( \dfrac{0}{0} \gt 0 \)
Eşitsizliğin sol tarafı tanımsızdır, dolayısıyla eşitsizlik \( x = 0 \) için sağlanmaz.
Eşitsizliğin çözüm kümesi 2. durumda bulduğumuz aralıktır.
Çözüm kümesi: \( x \in (0, \infty) \)
\( \dfrac{10 - \abs{2x - 18}}{\abs{9 - x} + 4} \gt 0 \)
eşitsizliğini sağlayan tam sayı \( x \) değerlerinin toplamı kaçtır?
Çözümü GösterPayda mutlak değerli bir ifade ile 4'ün toplamından oluştuğu için hiçbir zaman sıfır olamaz, dolayısıyla ifadeyi tanımsız yapan \( x \) değeri yoktur.
Kesirli ifadenin paydası her zaman pozitif olduğu için, tüm ifade pay sıfırdan büyük olduğunda sıfırdan büyük olur.
\( 10 - \abs{2x - 18} \gt 0 \)
\( \abs{2x - 18} \lt 10 \)
\( -10 \lt 2x - 18 \lt 10 \)
\( 8 \lt 2x \lt 28 \)
\( 4 \lt x \lt 14 \)
Eşitsizliği sağlayan tam sayı \( x \) değerlerini bulmak için 1-13 arası ardışık tam sayıların toplamından 1-4 arası ardışık tam sayıların toplamını çıkaralım.
Her iki sayı da dahil olmak üzere, \( 1-n \) arası tam sayıların toplamı \( \frac{n(n + 1)}{2} \) formülü ile bulunur.
\( \dfrac{13 \cdot 14}{2} - \dfrac{4 \cdot 5}{2} = 91 - 10 \)
\( = 81 \) bulunur.
\( (7 - x)(7 - \abs{x}) \lt 49 \) eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz.
Çözümü GösterMutlak değer içini sıfır yapan noktalar mutlak değer ifadesinin kritik noktalarıdır.
\( x = 0 \)
Kritik noktanın oluşturduğu iki aralık için eşitsizliği ayrı ayrı çözelim.
Durum 1:
\( x \lt 0 \)
Bu durumda mutlak değer içindeki ifade negatif olur ve mutlak değer dışına negatif işaretli çıkar.
\( (7 - x)(7 + x) \lt 49 \)
\( -x^2 + 49 \lt 49 \)
\( x^2 \gt 0 \)
\( x \in \mathbb{R} - \{0\} \)
Bu aralık ile incelediğimiz \( x \lt 0 \) aralığının kesişimi 1. durumun çözüm kümesi olur.
\( x \in (-\infty, 0) \)
Durum 2:
\( x \ge 0 \)
Bu durumda mutlak değer içindeki ifade sıfır ya da pozitif olur ve mutlak değer dışına olduğu gibi çıkar.
\( (7 - x)(7 - x) \lt 49 \)
\( (x - 7)^2 \lt 7^2 \)
Eşitsizliğin taraflarının karekökünü alalım.
\( \sqrt{(x - 7)^2} \lt \sqrt{7^2} \)
\( \abs{x - 7} \lt 7 \)
\( -7 \lt x - 7 \lt 7 \)
\( 0 \lt x \lt 14 \)
Bu aralık ile incelediğimiz \( x \ge 0 \) aralığının kesişimi 2. durumun çözüm kümesi olur.
\( x \in (0, 14) \)
Eşitsizliğin çözüm kümesi her durum için bulduğumuz çözümlerin birleşiminden oluşur.
Çözüm kümesi: \( x \in (-\infty, 0) \cup (0, 14) \)
\( \abs{x - 4} \lt 20 \)
\( \dfrac{x}{2} + 4y = 8 \)
olduğuna göre, \( y \)'nin alabileceği kaç farklı tam sayı değeri vardır?
Çözümü GösterVerilen eşitlikte \( y \) değişkenini yalnız bırakalım.
\( 4y = 8 - \dfrac{x}{2} \)
\( y = 2 - \dfrac{x}{8} \)
\( x \) için verilen değer aralığını kullanarak bu ifadeyi elde etmeye çalışalım.
\( \abs{x - 4} \lt 20 \)
\( -20 \lt x - 4 \lt 20 \)
\( -16 \lt x \lt 24 \)
Eşitsizliğin taraflarını 8'e bölelim.
\( -2 \lt \dfrac{x}{8} \lt 3 \)
Eşitsizliğin taraflarını -1 ile çarpalım. Bir eşitsizliğin tarafları negatif bir sayı ile çarpıldığında eşitsizlik yön değiştirir.
\( -3 \lt -\dfrac{x}{8} \lt 2 \)
Eşitsizliğin taraflarına 2 ekleyelim.
\( -1 \lt 2 - \dfrac{x}{8} \lt 4 \)
Eşitsizlikte ortadaki ifade \( y \)'ye eşittir.
\( -1 \lt y \lt 4 \)
Buna göre \( y \)'nin alabileceği tam sayı değerleri \( \{ 0, 1, 2, 3 \} \) olmak üzere 4 tanedir.
\( x \) bir reel sayı ve \( \abs{x} \le 8 \) olmak üzere,
\( 4x + 3y = -2 \) eşitliğini sağlayan \( y \) tam sayıları toplamı kaçtır?
Çözümü GösterBu soruyu iki farklı yöntemle çözebiliriz.
1. yöntem:
Verilen eşitlikte \( y \) değişkenini yalnız bırakalım.
\( 3y = -2 - 4x \)
\( y = \dfrac{-2 - 4x}{3} \)
\( x \) için verilen değer aralığını kullanarak bu ifadeyi elde etmeye çalışalım.
\( \abs{x} \le 8 \)
\( -8 \le x \le 8 \)
Eşitsizliğin taraflarını -4 ile çarpalım. Bir eşitsizliğin tarafları negatif bir sayı ile çarpıldığında eşitsizlik yön değiştirir.
\( -32 \le -4x \le 32 \)
Eşitsizliğin taraflarından 2 çıkaralım.
\( -34 \le -2 - 4x \le 30 \)
Eşitsizliğin taraflarını 3'e bölelim.
\( -\dfrac{34}{3} \le \dfrac{-2 - 4x}{3} \le 10 \)
Eşitsizlikte ortadaki ifade \( y \)'ye eşittir.
\( -\dfrac{34}{3} \le y \le 10 \)
Bu aralıktaki tam sayı \( y \) değerlerinin toplamı aşağıdaki gibidir.
\( -11 + (-10) + \ldots + 10 = -11 \)
2. yöntem:
Alternatif olarak soruyu grafik yardımıyla çözebiliriz.
Aşağıda soruda verilen eşitliğin karşılık geldiği \( y = \frac{-2 - 4x}{3} \) doğrusunun grafiği verilmiştir.
Ayrıca \( \abs{x} \le 8 \) eşitsizliği \( x = -8 \) ve \( x = 8 \) doğruları arasında kalan bölgeyi ifade eder.
Bu eşitliği ve eşitsizliği birlikte sağlayan noktalar doğru üzerinde taralı alanda bulunan noktalardır.
Bu aralıktaki tam sayı \( y \) değerlerinin toplamı aşağıdaki gibidir.
\( -11 + (-10) + \ldots + 10 = -11 \)
\( \abs{6 - 3x^2} \le 6 - 2x^2 \) eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz.
Çözümü GösterMutlak değer içini sıfır yapan \( x \) değerini bulalım.
\( 6 - 3x^2 = 0 \)
\( x = \pm \sqrt{2} \)
Eşitsizliği bu değerin oluşturduğu iki durum için ayrı ayrı çözelim.
Durum 1:
\( -\sqrt{2} \le x \le \sqrt{2} \)
Bu durumda mutlak değer içi pozitif olur ve ifade dışarıya olduğu gibi çıkar.
\( 6 - 3x^2 \le 6 - 2x^2 \)
\( x^2 \ge 0 \)
\( x \in \mathbb{R} \)
Bulduğumuz aralık ile bu durumun ön koşulu olan aralığın kesişimi bu durumun çözümü kümesi olur.
\( x \in [-\sqrt{2}, \sqrt{2}] \)
Durum 2:
\( x \lt -\sqrt{2} \) ve \( x \gt \sqrt{2} \)
Bu durumda mutlak değer içi negatif olur ve ifade dışarıya negatif işaretli çıkar.
\( 3x^2 - 6 \le 6 - 2x^2 \)
\( 5x^2 \le 12 \)
\( -\dfrac{2\sqrt{15}}{5} \le x \le \dfrac{2\sqrt{15}}{5} \)
Bulduğumuz aralık ile bu durumun ön koşulu olan aralığın kesişimi bu durumun çözümü kümesi olur.
\( x \in \left[ -\dfrac{2\sqrt{15}}{5}, -\sqrt{2} \right) \cup \left( \sqrt{2}, \dfrac{2\sqrt{15}}{5} \right] \)
Eşitsizliğin çözüm kümesi her durum için bulduğumuz çözümlerin birleşiminden oluşur.
\( x \in \left[ -\dfrac{2\sqrt{15}}{5}, \dfrac{2\sqrt{15}}{5} \right] \)
Eda aklından \( \sqrt{n} \) sayısının sayı doğrusu üzerinde \( -2 \) noktasına olan uzaklığı 7'den küçük olacak şekilde bir \( n \) tam sayısı düşünüyor.
Buna göre, \( n \) sayısının alabileceği kaç farklı tam sayı değer vardır?
Çözümü GösterBir \( x \) sayısının sayı doğrusu üzerinde \( y \) sayısına uzaklığı \( \abs{x - y} \) ile ifade edilir.
\( \abs{\sqrt{n} - (-2)} \lt 7 \)
\( \abs{\sqrt{n} + 2} \lt 7 \)
İfadeyi mutlak değerden kurtaralım.
\( -7 \lt \sqrt{n} + 2 \lt 7 \)
\( -9 \lt \sqrt{n} \lt 5 \)
Karekök ifadesi negatif değer alamaz.
\( 0 \le \sqrt{n} \lt 5 \)
Eşitsizliğin taraflarının karesini alalım.
\( 0 \le n \lt 25 \)
Buna göre, \( n \) sayısı \( 24 - 0 + 1 = 25 \) farklı tam sayı değer alabilir.
\( x, y \in \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( \abs{4x - 8} \lt 4 \)
\( \abs{3 - 2y} \le 9 \)
olduğuna göre, \( 5x - 2y + 4 \) ifadesinin alabileceği kaç farklı tam sayı değeri vardır?
Çözümü GösterBirinci eşitsizliği mutlak değersiz şekilde yazalım.
\( \abs{4x - 8} \lt 4 \)
\( -4 \lt 4x - 8 \lt 4 \)
\( 4 \lt 4x \lt 12 \)
\( 1 \lt x \lt 3 \)
\( 5 \lt 5x \lt 15 \)
İkinci eşitsizliği mutlak değersiz şekilde yazalım.
\( \abs{3 - 2y} \le 9 \)
\( -9 \le 3 - 2y \le 9 \)
\( -12 \le -2y \le 6 \)
Bulduğumuz iki eşitsizliği taraf tarafa toplayalım.
\( 5 \lt 5x \lt 15 \)
\( -12 \le -2y \le 6 \)
\( -7 \lt 5x - 2y \lt 21 \)
Eşitsizliğin taraflarına 4 ekleyelim.
\( -3 \lt 5x - 2y + 4 \lt 25 \)
\( 5x - 2y + 4 \) ifadesinin alabileceği tam sayı değerleri aşağıdaki gibidir.
\( -2, -1, 0, 1, \ldots, 24 \)
İfadenin bu aralıkta alabileceği \( 24 - (-2) + 1 = 27 \) farklı tam sayı değeri vardır.
\( \abs{\abs{x - 2} - 11} + \abs{22 - \abs{4 - 2x}} \lt 42 \)
eşitsizliğini sağlayan kaç \( x \) tam sayısı vardır?
Çözümü GösterMutlak değer içindeki pozitif çarpan mutlak değer dışına çıkarılabilir.
\( \abs{\abs{x - 2} - 11} + \abs{22 - 2\abs{2 - x}} \lt 42 \)
\( \abs{\abs{x - 2} - 11} + 2\abs{11 - \abs{2 - x}} \lt 42 \)
Mutlak değer içi \( -1 \) ile çarpılarak terimlerin yeri değiştirilebilir.
\( \abs{\abs{x - 2} - 11} + 2\abs{11 - \abs{x - 2}} \lt 42 \)
\( \abs{\abs{x - 2} - 11} + 2\abs{\abs{x - 2} - 11} \lt 42 \)
\( 3\abs{\abs{x - 2} - 11} \lt 42 \)
\( \abs{\abs{x - 2} - 11} \lt 14 \)
\( -14 \lt \abs{x - 2} - 11 \lt 14 \)
\( -3 \lt \abs{x - 2} \lt 25 \)
Bir mutlak değer ifadesi hiçbir zaman negatif olamayacağı için eşitsizliğin sol tarafı her zaman sağlanır, dolayısıyla eşitsizliğin sol tarafını dikkate almamıza gerek yoktur.
\( \abs{x - 2} \lt 25 \)
\( -25 \lt x - 2 \lt 25 \)
\( -23 \lt x \lt 27 \)
Ardışık sayı terim sayısı formülünü kullanalım.
Bu aralıkta \( 26 - (-22) + 1 = 49 \) tam sayı \( x \) değeri bulunur.
\( \dfrac{1}{\abs{x + 2}} \ge \dfrac{1}{10} \) eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz.
Çözümü GösterMutlak değer içini sıfır yapan \( x = -2 \) değerinin oluşturduğu \( x \lt -2 \) ve \( x \ge -2 \) aralıklarını ayrı ayrı inceleyelim ve her durumda oluşan denklemi çözelim.
Durum 1:
\( x \lt -2 \)
Bu aralıkta \( x + 2 \) ifadesi negatif olur ve mutlak değer dışına negatif işaretli çıkar.
\( \dfrac{1}{-(x + 2)} \ge \dfrac{1}{10} \)
\( \dfrac{1}{-(x + 2)} - \dfrac{1}{10} \ge 0 \)
\( \dfrac{-10}{10(x + 2)} - \dfrac{x + 2}{10(x + 2)} \ge 0 \)
\( \dfrac{-x - 12}{10(x + 2)} \ge 0 \)
\( \dfrac{-x - 12}{x + 2} \ge 0 \)
Bu eşitsizliğin çözüm kümesini bulmak için bir işaret tablosu hazırlayalım. Rasyonel eşitsizliklerin işaret tablosu ile çözümü için rasyonel eşitsizlikler sayfasını inceleyebilirsiniz.
Verilen eşitsizlikte \( \ge \) sembolü kullanıldığı için rasyonel ifadenin sıfır ya da pozitif olduğu aralık ve değerler eşitsizliğin çözüm kümesi olur.
\( -12 \le x \lt -2 \)
Bu aralık ile incelediğimiz \( x \lt -2 \) aralığının kesişimi bu durumun çözüm kümesini verir.
\( x \in [-12, -2) \)
Durum 2:
\( x \ge -2 \)
Bu aralıkta \( x + 2 \) ifadesi sıfır ya da pozitif olur ve mutlak değer dışına olduğu gibi çıkar.
\( \dfrac{1}{x + 2} \ge \dfrac{1}{10} \)
\( \dfrac{1}{x + 2} - \dfrac{1}{10} \ge 0 \)
\( \dfrac{10}{10(x + 2)} - \dfrac{x + 2}{10(x + 2)} \ge 0 \)
\( \dfrac{8 - x}{10(x + 2)} \ge 0 \)
\( \dfrac{8 - x}{x + 2} \ge 0 \)
Bu eşitsizliğin çözüm kümesini bulmak için bir işaret tablosu hazırlayalım. Rasyonel eşitsizliklerin işaret tablosu ile çözümü için rasyonel eşitsizlikler sayfasını inceleyebilirsiniz.
Verilen eşitsizlikte \( \ge \) sembolü kullanıldığı için rasyonel ifadenin sıfır ya da pozitif olduğu aralık ve değerler eşitsizliğin çözüm kümesi olur.
\( -2 \lt x \le 8 \)
Bu aralık ile incelediğimiz \( x \ge -2 \) aralığının kesişimi bu durumun çözüm kümesini verir.
\( x \in (-2, 8] \)
Eşitsizliğin çözüm kümesi her durum için bulduğumuz çözümlerin birleşiminden oluşur.
Çözüm kümesi: \( x \in [-12, -2) \cup (-2, 8] \)
\( \abs{\dfrac{2x - 5}{2 + x}} \le 2 \) eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz.
Çözümü GösterEşitsizlikte mutlak değer ifadesini kaldırdığımızda aşağıdaki şekilde tek bir eşitsizlik oluşur.
\( -2 \le \dfrac{2x - 5}{2 + x} \le 2 \)
\( \frac{2x - 5}{2 + x} \ge -2 \) ve \( \frac{2x - 5}{2 + x} \le 2 \) eşitsizliklerini ayrı ayrı çözelim.
Eşitsizlik 1:
\( \dfrac{2x - 5}{2 + x} \ge -2 \)
Tüm terimleri eşitsizliğin sol tarafında toplayalım.
\( \dfrac{2x - 5}{2 + x} + 2 \ge 0 \)
\( \dfrac{2x - 5 + 2(2 + x)}{2 + x} \ge 0 \)
\( \dfrac{4x - 1}{2 + x} \ge 0 \)
Bu eşitsizliğin çözüm kümesini bulmak için bir işaret tablosu hazırlayalım. Rasyonel eşitsizliklerin işaret tablosu ile çözümü için rasyonel eşitsizlikler sayfasını inceleyebilirsiniz.
Verilen eşitsizlikte \( \ge \) sembolü kullanıldığı için rasyonel ifadenin sıfır ya da pozitif olduğu aralık ve değerler eşitsizliğin çözüm kümesi olur.
\( x \in (-\infty, -2) \cup \left[ \dfrac{1}{4}, \infty \right) \)
Eşitsizlik 2:
\( \dfrac{2x - 5}{2 + x} \le 2 \)
Tüm terimleri eşitsizliğin sol tarafında toplayalım.
\( \dfrac{2x - 5}{2 + x} - 2 \le 0 \)
\( \dfrac{2x - 5 - 2(2 + x)}{2 + x} \le 0 \)
\( \dfrac{-9}{2 + x} \le 0 \)
Bu eşitsizlik paydadaki ifade pozitif olduğunda sağlanır.
\( 2 + x \gt 0 \)
\( x \gt -2 \)
Eşitsizliğin çözüm kümesi her durum için bulduğumuz çözümlerin kesişiminden oluşur.
Çözüm kümesi: \( x \in \left[ \dfrac{1}{4}, \infty \right) \)
\( x \in \mathbb{Z} \) olmak üzere,
\( \abs{x - 80} \lt \abs{x - 30} \lt \abs{x - 110} \) eşitsizliğini sağlayan kaç farklı \( x \) değeri vardır?
Çözümü GösterSorudaki eşitsizliği iki ayrı eşitsizliğe bölüp ayrı ayrı inceleyelim.
Eşitsizlik 1:
\( \abs{x - 80} \lt \abs{x - 30} \)
Bu eşitsizliğin çözüm kümesi, sayı doğrusu üzerinde 80'e olan uzaklığı 30'a olan uzaklığından küçük olan noktalar kümesidir.
İki sayıya eşit uzaklıkta olan sayıyı bulalım.
\( \dfrac{80 + 30}{2} = 55 \)
\( x = 55 \) noktasının sağındaki noktaların 80'e olan uzaklığı 30'a olan uzaklığından küçük olduğu için bu eşitsizliğin çözüm kümesi aşağıdaki gibi olur.
\( x \gt 55 \)
Eşitsizlik 2:
\( \abs{x - 30} \lt \abs{x - 110} \)
Bu eşitsizliğin çözüm kümesi, sayı doğrusu üzerinde 30'a olan uzaklığı 110'a olan uzaklığından küçük olan noktalar kümesidir.
İki sayıya eşit uzaklıkta olan sayıyı bulalım.
\( \dfrac{30 + 110}{2} = 70 \)
\( x = 70 \) noktasının solundaki noktaların 30'a olan uzaklığı 110'a olan uzaklığından küçük olduğu için bu eşitsizliğin çözüm kümesi aşağıdaki gibi olur.
\( x \lt 70 \)
Eşitsizliğin çözüm kümesi her durum için bulduğumuz çözümlerin kesişiminden oluşur.
\( 55 \lt x \lt 70 \)
Bu aralıkta \( 69 - 56 + 1 = 14 \) tam sayı değeri vardır.
\( \abs{x} + \abs{y} \le 8 \) eşitsizliğini sağlayan kaç farklı \( (x, y) \) tam sayı ikilisi vardır?
Çözümü Göster\( \abs{x} + \abs{y} \le 8 \) eşitsizliğini koordinat düzlemindeki her bölge için ayrı ayrı inceleyelim.
I. bölge:
Bu bölgede hem \( x \) hem de \( y \) pozitiftir.
\( x + y \le 8 \)
\( y \le -x + 8 \)
II. bölge:
Bu bölgede \( x \) negatif, \( y \) pozitiftir.
\( -x + y \le 8 \)
\( y \le x + 8 \)
III. bölge:
Bu bölgede hem \( x \) hem de \( y \) negatiftir.
\( -x - y \le 8 \)
\( y \ge -x + 8 \)
IV. bölge:
Bu bölgede \( x \) pozitif, \( y \) negatiftir.
\( x - y \le 8 \)
\( y \ge x - 8 \)
Bu eşitsizliklerin tümünü çizdiğimizde aşağıdaki grafiği ve eşitsizliği sağlayan taralı alanı elde ederiz.
Görebileceğimiz gibi bu bölgeler eksenlere göre simetriktir ve her bölgedeki eşitsizliği sağlayan ikili sayısının eşit olmasını bekleyebiliriz.
Bu kapalı bölgedeki tam sayı \( (x, y) \) ikililerinin sayısını bulmak için önce (eksenler hariç) I. bölgeyi inceleyelim.
\( x = 1 \) olduğunda verilen eşitsizliği 7 \( y \) değeri sağlar.
\( y \in \{ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 \} \)
\( x = 2 \) olduğunda verilen eşitsizliği 6 \( y \) değeri sağlar.
\( y \in \{ 1, 2, 3, 4, 5, 6 \} \)
\( x = 3 \) olduğunda verilen eşitsizliği 5 \( y \) değeri sağlar.
\( y \in \{ 1, 2, 3, 4, 5 \} \)
\( \vdots \)
\( x = 7 \) olduğunda verilen eşitsizliği 1 \( y \) değeri sağlar.
\( y \in \{ 1 \} \)
Buna göre I. bölgede toplam \( 7 + 6 + 5 + \ldots + 1 = 28 \) nokta eşitsizliği sağlar.
Bu noktaların tümünün diğer üç bölgede birer simetriği vardır.
\( x \) ekseni üzerinde bu eşitsizliği sağlayan \( 8 - (-8) + 1 = 17 \) nokta vardır.
\( y \) ekseni üzerinde bu eşitsizliği sağlayan \( 8 - (-8) + 1 = 17 \) nokta vardır.
Eksenler üzerindeki bu noktalardan orijin iki eksen için ortaktır, dolayısıyla çift saymanın önüne geçmek için toplamdan 1 çıkarmalıyız.
Buna göre verilen eşitsizliği sağlayan nokta sayısını aşağıdaki şekilde bulabiliriz.
\( 4 \cdot 28 + 2 \cdot 17 - 1 = 145 \) bulunur.
\( \abs{x + 4} + \abs{y + 2} + \abs{z - 6} = 18 \) olduğuna göre,
\( \abs{x + y + z} \) ifadesinin alabileceği kaç farklı tam sayı değeri vardır?
Çözümü GösterBir mutlak değerli ifade için aşağıdaki eşitsizlik her zaman sağlanır.
\( -\abs{a} \le a \le \abs{a} \)
Sorudaki üç mutlak değer ifadesini bu formda yazalım.
\( -\abs{x + 4} \le x + 4 \le \abs{x + 4} \)
\( -\abs{y + 2} \le y + 2 \le \abs{y + 2} \)
\( -\abs{z - 6} \le z - 6 \le \abs{z - 6} \)
Bu eşitsizlikleri taraf tarafa toplayalım.
\( -(\abs{x + 4} + \abs{y + 2} + \abs{z - 6}) \le x + y + z \le \abs{x + 4} + \abs{y + 2} + \abs{z - 6} \)
Soruda verilen eşitliği kullanarak eşitsizliği düzenleyelim.
\( -18 \le x + y + z \le 18 \)
\( 0 \le \abs{x + y + z} \le 18 \)
Buna göre, \( \abs{x + y + z} \) ifadesinin alabileceği tam sayı değerleri 19 tanedir.