Mutlak Değer Eşitsizlikleri
Değişken içeren en az bir mutlak değerli ifade bulunan eşitsizliklere mutlak değer eşitsizliği denir. Bu bölümde değişkenin reel sayı değerler aldığı mutlak değer eşitsizliklerinin çözüm yöntemlerini inceleyeceğiz.
Temel Eşitsizlikler
Bu eşitsizliklerde bir mutlak değer ifadesinin alt ve/veya üst sınır değerleri birer reel sayı olarak verilir. Eşitsizliklerde \( \lt, \le, \gt, \ge \) sembollerinden herhangi biri kullanılabilir.
\( \abs{2x - 1} \gt 5 \)
\( \abs{x^2 - 9} \le 7 \)
\( 3 \lt \abs{x + 5} \le 7 \)
Özel Durumlar
Bazı mutlak değer eşitsizliklerinin çözüm kümesi eşitsizliği çözmeden doğrudan belirlenebilir.
Bir mutlak değer ifadesi her zaman sıfır veya pozitiftir, bu nedenle aşağıdaki eşitsizlikler tüm reel sayılar için sağlanır.
\( a \gt 0 \) olmak üzere,
\( \abs{f(x)} \ge 0 \)
\( \abs{f(x)} \gt -a \)
\( \abs{f(x)} \ge -a \)
Bu eşitsizliklerin her biri için,
Çözüm kümesi: \( \mathbb{R} \)
Bir mutlak değer ifadesi negatif değer alamaz, bu nedenle aşağıdaki eşitsizliklerin çözümü yoktur.
\( a \gt 0 \) olmak üzere,
\( \abs{f(x)} \lt 0 \)
\( \abs{f(x)} \lt -a \)
\( \abs{f(x)} \le -a \)
Bu eşitsizliklerin her biri için,
Çözüm kümesi: \( \emptyset \)
Bir mutlak değer ifadesi ancak içindeki ifade sıfır olduğunda sıfır olur, bu nedenle \( \abs{f(x)} \le 0 \) eşitsizliği \( f(x) = 0 \) denklemiyle aynı çözüm kümesine sahiptir.
\( \abs{f(x)} \le 0 \)
Bu eşitsizliğin çözüm kümesi aşağıdaki denklemin çözüm kümesi ile aynıdır.
\( f(x) = 0 \)
Bir mutlak değer ifadesi sıfırdan büyükse mutlak değer içindeki ifade sıfırdan farklı olmak zorundadır.
\( \abs{f(x)} \gt 0 \)
Bu eşitsizliğin çözüm kümesi \( f(x) = 0 \) denkleminin çözüm kümesi dışındaki tüm reel sayılardır.
\( f(x) \ne 0 \)
Alt sınırı negatif bir reel sayı olarak verilen eşitsizliklerin alt sınır kaldırılmalı ve eşitsizlik buna göre çözülmelidir.
\( -3 \lt \abs{f(x)} \le 5 \)
\( \abs{f(x)} \le 5 \)
Üst Sınırlı Eşitsizlikler
Üst sınırı bir pozitif reel sayı olarak verilen eşitsizliklerin çözüm kümesi aşağıdaki şekilde bulunur. Bu eşitsizliği sağlayan \( x \) değerleri, sayı doğrusu üzerinde \( f(x) \) değerinin sıfıra uzaklığının \( a \)'dan küçük olduğu değerlerdir.
\( a \gt 0 \) olmak üzere,
\( \abs{f(x)} \lt a \)
Bu eşitsizliğin çözüm kümesi için aşağıdaki eşitsizliğin çözüm kümesi bulunur.
\( -a \lt f(x) \lt a \)
Verilen eşitsizlikte \( \le \) sembolü varsa çözülen eşitsizlikte de \( \le \) sembolü kullanılır.
\( \abs{2x - 1} \le 5 \)
\( -5 \le 2x - 1 \le 5 \)
\( -4 \le 2x \le 6 \)
\( -2 \le x \le 3 \)
Çözüm kümesi: \( [-2, 3] \)
Alt Sınırlı Eşitsizlikler
Alt sınırı bir pozitif reel sayı olarak verilen eşitsizliklerin çözüm kümesi aşağıdaki şekilde bulunur. Bu eşitsizliği sağlayan \( x \) değerleri, sayı doğrusu üzerinde \( f(x) \) değerinin sıfıra uzaklığının \( a \)'dan büyük olduğu değerlerdir.
\( a \gt 0 \) olmak üzere,
\( \abs{f(x)} \gt a \)
Bu eşitsizliğin çözüm kümesi için aşağıdaki iki eşitsizliğin çözüm kümelerinin birleşimi alınır.
\( f(x) \lt -a \) ya da \( f(x) \gt a \)
Verilen eşitsizlikte \( \ge \) sembolü varsa çözülen eşitsizliklerde \( \le \) \( \ge \) sembolleri kullanılır.
\( \abs{4x + 2} \gt 10 \)
Eşitsizlik 1:
\( 4x + 2 \gt 10 \)
\( x \gt 2 \)
Eşitsizlik 2:
\( 4x + 2 \lt -10 \)
\( x \lt -3 \)
Çözüm kümesi: \( (-\infty, -3) \cup (2, \infty) \)
Alt ve Üst Sınırlı Eşitsizlikler
Alt ve üst sınırları birer pozitif reel sayı olarak verilen eşitsizliklerin çözüm kümesi aşağıdaki şekilde bulunur. Bu eşitsizliği sağlayan \( x \) değerleri, sayı doğrusu üzerinde \( f(x) \) değerinin sıfıra uzaklığının \( a \) ve \( b \) aralığında olduğu değerlerdir.
\( 0 \lt a \lt b \) olmak üzere,
\( a \lt \abs{f(x)} \lt b \)
Bu eşitsizliğin çözüm kümesi için aşağıdaki iki eşitsizliğin çözüm kümelerinin birleşimi alınır.
\( -b \lt f(x) \lt -a \) ya da \( a \lt f(x) \lt b \)
Verilen eşitsizlikteki sembollerden herhangi biri \( \le \) ise çözülen eşitsizlikte ilgili tarafta \( \le \) sembolü kullanılır.
\( 9 \le \abs{6x - 3} \lt 27 \)
Eşitsizlik 1:
\( 9 \le 6x - 3 \lt 27 \)
\( 12 \le 6x \lt 30 \)
\( 2 \le x \lt 5 \)
Eşitsizlik 2:
\( -27 \lt 6x - 3 \le -9 \)
\( -24 \lt 6x \le -6 \)
\( -4 \lt x \le -1 \)
Çözüm kümesi: \( (-4, -1] \cup [2, 5) \)
\( \abs{f(x)} \lesseqgtr \abs{g(x)} \) Formundaki Eşitsizlikler
Bu formdaki eşitsizlikler, benzer formdaki denklemlerin çözümünde kullandığımız tarafların karesini alma yöntemiyle çözülebilir. Eşitsizliğin tarafları pozitif ya da sıfır olduğu ve kare alma işlemi \( [0, \infty) \) aralığında sıralamayı koruduğu için, mutlak değer ifadeleri arasındaki eşitsizlik, mutlak değer içindeki ifadelerin kareleri arasındaki eşitsizliğe denktir.
\( \abs{f(x)} \lt \abs{g(x)} \Longleftrightarrow [f(x)]^2 \lt [g(x)]^2 \)
\( \abs{f(x)} \le \abs{g(x)} \Longleftrightarrow [f(x)]^2 \le [g(x)]^2 \)
\( \abs{f(x)} \gt \abs{g(x)} \Longleftrightarrow [f(x)]^2 \gt [g(x)]^2 \)
\( \abs{f(x)} \ge \abs{g(x)} \Longleftrightarrow [f(x)]^2 \ge [g(x)]^2 \)
Bu yöntemi bir örnek üzerinde gösterelim.
\( \abs{x + 6} \gt \abs{2x - 3} \) eşitsizliğinin çözüm kümesini bulalım.
\( \abs{f(x)} \gt \abs{g(x)} \Longleftrightarrow [f(x)]^2 \gt [g(x)]^2 \) denkliğine göre, eşitsizliğin taraflarının karesini aldığımızda mutlak değer ortadan kalkar.
\( (x + 6)^2 \gt (2x - 3)^2 \)
\( x^2 + 12x + 36 \gt 4x^2 - 12x + 9 \)
Tüm terimleri bir tarafta toplayalım.
\( 3x^2 - 24x - 27 \lt 0 \)
\( 3(x + 1)(x - 9) \lt 0 \)
Eşitsizliğin sol tarafındaki ikinci dereceden ifade köklerin arasındaki aralıkta negatif olur.
\( -1 \lt x \lt 9 \)
Çözüm kümesi: \( (-1, 9) \)
Bu yöntemde kare alma adımında yabancı çözüm oluşmaz.
\( \abs{f(x)} \lesseqgtr g(x) \) Formundaki Eşitsizlikler
Giriş bölümünde \( a \gt 0 \) olmak üzere üst ve alt sınırlı mutlak değer eşitsizliklerinin denk oldukları eşitsizlikleri vermiştik. Sağ tarafta sabit yerine bir fonksiyon bulunduğunda da aynı denklikler geçerlidir, aşağıda detaylandıracağımız sebeplerle \( g(x) \)'in işaretinin ayrıca kontrol edilmesi gerekmez.
\( \abs{f(x)} \lt g(x) \Longleftrightarrow -g(x) \lt f(x) \lt g(x) \)
\( \abs{f(x)} \le g(x) \Longleftrightarrow -g(x) \le f(x) \le g(x) \)
\( \abs{f(x)} \gt g(x) \Longleftrightarrow f(x) \gt g(x) \text{ veya } f(x) \lt -g(x) \)
\( \abs{f(x)} \ge g(x) \Longleftrightarrow f(x) \ge g(x) \text{ veya } f(x) \le -g(x) \)
\( \lt \) ve \( \le \) durumlarında elde edilen iki koşulun birlikte sağlanması gerektiğinden çözüm kümelerinin kesişimi, \( \gt \) ve \( \ge \) durumlarında ise koşullardan birinin sağlanması yeterli olduğundan çözüm kümelerinin birleşimi alınır.
Önceki bölümde benzer formdaki denklemlerde ek olarak \( g(x) \ge 0 \) kontrolü yapmıştık, burada incelediğimiz yöntem bu kontrolü de kapsar.
- \( \lt \) ve \( \le \) durumlarında (yukarıdaki ilk iki denklik), elde edilen çift taraflı eşitsizlik sırasıyla \( g(x) \gt 0 \) ve \( g(x) \ge 0 \) olmasını gerektirir. Bu nedenle \( g(x) \) işareti ayrıca kontrol edilmez.
- \( \gt \) ve \( \ge \) durumlarında (yukarıdaki son iki denklik), sırasıyla \( g(x) \lt 0 \) veya \( g(x) \le 0 \) olduğu değerlerde "veya" ile bağlı iki koşuldan en az biri kendiliğinden sağlanır. Bu nedenle \( g(x) \) işareti ayrıca kontrol edilmez.
Bu yöntemi bir örnek üzerinde gösterelim.
\( \abs{x - 5} \lt 2x - 1 \) eşitsizliğinin çözüm kümesini bulalım.
Aşağıdaki eşdeğer eşitsizliği kullanalım.
\( \abs{f(x)} \lt g(x) \Longleftrightarrow -g(x) \lt f(x) \lt g(x) \)
\( -(2x - 1) \lt x - 5 \lt 2x - 1 \)
\( 1 - 2x \lt x - 5 \lt 2x - 1 \)
Sol ve sağ taraftaki iki eşitsizliği ayrı ayrı çözelim.
Eşitsizlik 1:
\( 1 - 2x \lt x - 5 \)
\( 3x \gt 6 \)
\( x \gt 2 \)
Eşitsizlik 2:
\( x - 5 \lt 2x - 1 \)
\( x \gt -4 \)
Eşitsizliğin çözüm kümesi her koşul için bulduğumuz çözümlerin kesişiminden oluşur.
Çözüm kümesi: \( (2, \infty) \)
Genel Yöntem: Aralıklara Ayırma
Önceki bölümde bahsettiğimiz aralıklara ayırma yöntemi, tüm mutlak değer denklemlerinin olduğu gibi tüm mutlak değer eşitsizliklerinin çözümünde de kullanılabilir.
Bu yöntemde her aralıkta çözülen eşitsizlik o aralıkta orijinal eşitsizliğe denktir, dolayısıyla aralık koşulunu sağlayan her çözüm aynı zamanda orijinal eşitsizliğin de çözümüdür. Bu nedenle bu yöntemde ayrıca yabancı çözüm kontrol gerekmez.
Bu yöntem denklemlere uygulanırken her durumda elde edilen denklemin çözümünün o durumun aralığında olup olmadığı kontrol edilir, eşitsizliklerde ise elde edilen eşitsizliğin çözüm kümesinin o durumun aralığıyla kesişimi alınır.
Bu yöntemi yukarıda \( \abs{f(x)} \lesseqgtr g(x) \) formunda kullandığımız örnek üzerinde gösterelim.
\( \abs{x - 5} \lt 2x - 1 \) eşitsizliğinin çözüm kümesini bulalım.
Mutlak değer ifadesinin kritik noktalarını bulalım.
\( x - 5 = 0 \Longrightarrow x = 5 \)
Bu kritik nokta sayı doğrusunu \( x \ge 5 \) ve \( x \lt 5 \) olmak üzere iki alt aralığa böler.
Her aralıkta oluşan eşitsizliği çözelim.
Durum 1:
\( x \ge 5 \)
\( |\underbrace{x - 5}_{+}| \lt 2x - 1 \)
\( x - 5 \lt 2x - 1 \)
\( x \gt -4 \)
Bulduğumuz aralık ile incelediğimiz \( x \ge 5 \) aralığının kesişimi bu aralığın çözümüdür.
\( x \ge 5 \)
Durum 2:
\( x \lt 5 \)
\( |\underbrace{x - 5}_{-}| \lt 2x - 1 \)
\( -(x - 5) \lt 2x - 1 \)
\( 5 - x \lt 2x - 1 \)
\( x \gt 2 \)
Bulduğumuz aralık ile incelediğimiz \( x \lt 5 \) aralığının kesişimi bu aralığın çözümüdür.
\( 2 \lt x \lt 5 \)
Eşitsizliğin çözüm kümesi her durum için bulduğumuz çözümlerin birleşiminden oluşur.
Çözüm kümesi: \( (2, \infty) \)
Aynı örneği kullandığımız iki yöntemde aynı çözüm kümesine ulaştığımız görülebilir.
Diğer Eşitsizlik Formları
Yukarıda incelediğimiz eşitsizliklerin ortak özelliği, eşitsizliğin bir ya da iki tarafında bir mutlak değer ifadesinin tek başına bulunmasıydı. Diğer bazı eşitsizlik formları aşağıdaki gibidir.
\( \abs{f(x)} \pm \abs{g(x)} \lesseqgtr c \)
\( \abs{f(x)} \pm \abs{g(x)} \lesseqgtr h(x) \)
\( \abs{f(x)} \pm \abs{g(x)} \lesseqgtr \abs{h(x)} \)
\( \abs{x + 1} + \abs{2x - 1} \gt 3 \)
\( \abs{2x + 2} - \abs{x - 3} \le x + 1 \)
Bu tipteki eşitsizlikler yukarıda bahsettiğimiz aralıklara ayırma yöntemi ile çözülebilir.
Bu yöntemi bir örnek üzerinde gösterelim.
\( \abs{x + 2} + \abs{2x - 10} \le 13 \) eşitsizliğinin çözüm kümesini bulalım.
Mutlak değer ifadelerinin kritik noktalarını bulalım.
\( x + 2 = 0 \Longrightarrow x = -2 \)
\( 2x - 10 = 0 \Longrightarrow x = 5 \)
Bu iki kritik nokta sayı doğrusunu üç alt aralığa böler.
Bir işaret tablosu hazırlayalım.
Her aralıkta oluşan eşitsizliği çözelim.
Durum 1:
\( x \lt -2 \)
\( |\underbrace{x + 2}_{-}| + |\underbrace{2x - 10}_{-}| \le 13 \)
\( -(x + 2) - (2x - 10) \le 13 \)
\( -3x + 8 \le 13 \)
\( x \ge -\dfrac{5}{3} \)
Bulduğumuz aralık ile incelediğimiz \( x \lt -2 \) aralığının kesişimi boş küme olduğu için bu aralıkta bir çözüm yoktur.
Durum 2:
\( -2 \le x \lt 5 \)
\( |\underbrace{x + 2}_{+}| + |\underbrace{2x - 10}_{-}| \le 13 \)
\( x + 2 - (2x - 10) \le 13 \)
\( -x + 12 \le 13 \)
\( x \ge -1 \)
Bulduğumuz aralık ile incelediğimiz \( -2 \le x \lt 5 \) aralığının kesişimi bu aralığın çözümüdür.
\( -1 \le x \lt 5 \)
Durum 3:
\( x \ge 5 \)
\( |\underbrace{x + 2}_{+}| + |\underbrace{2x - 10}_{+}| \le 13 \)
\( x + 2 + 2x - 10 \le 13 \)
\( 3x - 8 \le 13 \)
\( x \le 7 \)
Bulduğumuz aralık ile incelediğimiz \( x \ge 5 \) aralığının kesişimi bu aralığın çözümüdür.
\( 5 \le x \le 7 \)
Eşitsizliğin çözüm kümesi her durum için bulduğumuz çözümlerin birleşiminden oluşur.
Çözüm kümesi: \( [-1, 7] \)
Aşağıdaki eşitsizliklerin çözüm kümelerini bulunuz.
(a) \( \abs{2x + 5} \lt 9 \)
(b) \( \abs{1 - 7x} \le 64 \)
(c) \( \abs{180 - 15x} \lt 210 \)
Çözümü Göster(a) seçeneği:
\( \abs{2x + 5} \lt 9 \)
Eşitsizlikte mutlak değer ifadesini kaldırdığımızda aşağıdaki şekilde tek bir eşitsizlik oluşur.
\( -9 \lt 2x + 5 \lt 9 \)
\( -14 \lt 2x \lt 4 \)
\( -7 \lt x \lt 2 \)
Çözüm kümesi: \( (-7, 2) \)
(b) seçeneği:
\( \abs{1 - 7x} \le 64 \)
Eşitsizlikte mutlak değer ifadesini kaldırdığımızda aşağıdaki şekilde tek bir eşitsizlik oluşur.
\( -64 \le 1 - 7x \le 64 \)
\( -65 \le -7x \le 63 \)
\( -\dfrac{65}{7} \le -x \le 9 \)
\( -9 \le x \le \dfrac{65}{7} \)
Çözüm kümesi: \( \left[ -9, \dfrac{65}{7} \right] \)
(c) seçeneği:
\( \abs{180 - 15x} \lt 210 \)
Eşitsizlikte mutlak değer ifadesini kaldırdığımızda aşağıdaki şekilde tek bir eşitsizlik oluşur.
\( -210 \lt 180 - 15x \lt 210 \)
\( -390 \lt -15x \lt 30 \)
\( -26 \lt -x \lt 2 \)
\( -2 \lt x \lt 26 \)
Çözüm kümesi: \( (-2, 26) \)
Aşağıdaki eşitsizliklerin çözüm kümelerini bulunuz.
(a) \( 2 \lt \abs{x - 3} \le 12 \)
(b) \( 3 \le \abs{10x + 7} \lt 23 \)
(c) \( 0 \lt \abs{x - 1} \lt 7 \)
Çözümü Göster(a) seçeneği:
\( 2 \lt \abs{x - 3} \le 12 \)
Verilen eşitsizlikte mutlak değer ifadesini kaldırdığımızda \( x - 3 \) ifadesinin işaretine göre iki aralık oluşur.
Eşitsizlik 1:
\( 2 \lt x - 3 \le 12 \)
\( 5 \lt x \le 15 \)
Eşitsizlik 2:
\( 2 \lt -(x - 3) \le 12 \)
\( -12 \le x - 3 \lt -2 \)
\( -9 \le x \lt 1 \)
Eşitsizliğin çözüm kümesi her durum için bulduğumuz çözümlerin birleşiminden oluşur.
Çözüm kümesi: \( [-9, 1) \cup (5, 15] \)
(b) seçeneği:
\( 3 \le \abs{10x + 7} \lt 23 \)
Verilen eşitsizlikte mutlak değer ifadesini kaldırdığımızda \( 10x + 7 \) ifadesinin işaretine göre iki aralık oluşur.
Eşitsizlik 1:
\( 3 \le 10x + 7 \lt 23 \)
\( -4 \le 10x \lt 16 \)
\( -\dfrac{2}{5} \le x \lt \dfrac{8}{5} \)
Eşitsizlik 2:
\( 3 \le -(10x + 7) \lt 23 \)
\( -23 \lt 10x + 7 \le -3 \)
\( -30 \lt 10x \le -10 \)
\( -3 \lt x \le -1 \)
Eşitsizliğin çözüm kümesi her durum için bulduğumuz çözümlerin birleşiminden oluşur.
Çözüm kümesi: \( (-3, -1] \cup \left[ -\dfrac{2}{5}, \dfrac{8}{5} \right) \)
(c) seçeneği:
\( 0 \lt \abs{x - 1} \lt 7 \)
Verilen eşitsizlikte mutlak değer ifadesini kaldırdığımızda \( x - 1 \) ifadesinin işaretine göre iki aralık oluşur.
Eşitsizlik 1:
\( 0 \lt x - 1 \lt 7 \)
\( 1 \lt x \lt 8 \)
Eşitsizlik 2:
\( 0 \lt -(x - 1) \lt 7 \)
\( -7 \lt x - 1 \lt 0 \)
\( -6 \lt x \lt 1 \)
Eşitsizliğin çözüm kümesi her durum için bulduğumuz çözümlerin birleşiminden oluşur.
Çözüm kümesi: \( (-6, 1) \cup (1, 8) \)
Aşağıdaki eşitsizliklerin çözüm kümelerini bulunuz.
(a) \( \abs{12 - 15x} \gt 42 \)
(b) \( \abs{\dfrac{52 - x}{4}} \ge 7 \)
(c) \( \abs{7x - 11} \gt 0 \)
Çözümü Göster(a) seçeneği:
\( \abs{12 - 15x} \gt 42 \)
Verilen eşitsizlikte mutlak değer ifadesini kaldırdığımızda \( 12 - 15x \) ifadesinin işaretine göre iki aralık oluşur.
Eşitsizlik 1:
\( 12 - 15x \gt 42 \)
\( -15x \gt 30 \)
\( x \lt -2 \)
Eşitsizlik 2:
\( -(12 - 15x) \gt 42 \)
\( 12 - 15x \lt -42 \)
\( 15x \gt 54 \)
\( x \gt \dfrac{18}{5} \)
Eşitsizliğin çözüm kümesi her durum için bulduğumuz çözümlerin birleşiminden oluşur.
Çözüm kümesi: \( (-\infty, -2) \cup (\frac{18}{5}, \infty) \)
(b) seçeneği:
\( \abs{\dfrac{52 - x}{4}} \ge 7 \)
Verilen eşitsizlikte mutlak değer ifadesini kaldırdığımızda \( 52 - x \) ifadesinin işaretine göre iki aralık oluşur.
Eşitsizlik 1:
\( \dfrac{52 - x}{4} \ge 7 \)
\( 52 - x \ge 28 \)
\( x \le 24 \)
Eşitsizlik 2:
\( \dfrac{-(52 - x)}{4} \ge 7 \)
\( \dfrac{52 - x}{4} \le -7 \)
\( 52 - x \le -28 \)
\( x \ge 80 \)
Eşitsizliğin çözüm kümesi her durum için bulduğumuz çözümlerin birleşiminden oluşur.
Çözüm kümesi: \( (-\infty, 24] \cup [80, \infty) \)
(c) seçeneği:
\( \abs{7x - 11} \gt 0 \)
Verilen eşitsizlikte mutlak değer ifadesini kaldırdığımızda \( 7x - 11 \) ifadesinin işaretine göre iki aralık oluşur.
Eşitsizlik 1:
\( 7x - 11 \gt 0 \)
\( 7x \gt 11 \)
\( x \gt \dfrac{11}{7} \)
Eşitsizlik 2:
\( -(7x - 11) \gt 0 \)
\( 7x - 11 \lt 0 \)
\( 7x \lt 11 \)
\( x \lt \dfrac{11}{7} \)
Eşitsizliğin çözüm kümesi her durum için bulduğumuz çözümlerin birleşiminden oluşur.
Çözüm kümesi: \( \mathbb{R} - \left\{ \dfrac{11}{7} \right\} \)
Aşağıdaki eşitsizliklerin çözüm kümelerini bulunuz.
(a) \( -5 \lt \abs{4x - 6} \le 10 \)
(b) \( -10 \le \abs{12 - 4x} \lt 44 \)
(c) \( -8 \le \abs{16x - 8} \le 0 \)
Çözümü Göster(a) seçeneği:
\( -5 \lt \abs{4x - 6} \le 10 \)
Bir mutlak değer ifadesi hiçbir zaman negatif değer alamayacağı için verilen eşitsizlik aşağıdaki eşitsizliğe denktir.
\( \abs{4x - 6} \le 10 \)
Verilen eşitsizlikte mutlak değer ifadesini kaldırdığımızda aşağıdaki şekilde tek bir eşitsizlik oluşur.
\( -10 \le 4x - 6 \le 10 \)
\( -4 \le 4x \le 16 \)
\( -1 \le x \le 4 \)
Çözüm kümesi: \( [-1, 4] \)
(b) seçeneği:
\( -10 \le \abs{12 - 4x} \lt 44 \)
Bir mutlak değer ifadesi hiçbir zaman negatif değer alamayacağı için verilen eşitsizlik aşağıdaki eşitsizliğe denktir.
\( \abs{12 - 4x} \lt 44 \)
Verilen eşitsizlikte mutlak değer ifadesini kaldırdığımızda aşağıdaki şekilde tek bir eşitsizlik oluşur.
\( -44 \lt 12 - 4x \lt 44 \)
\( -56 \lt -4x \lt 32 \)
\( -14 \lt -x \lt 8 \)
\( -8 \lt x \lt 14 \)
Çözüm kümesi: \( (-8, 14) \)
(c) seçeneği:
\( -8 \le \abs{16x - 8} \le 0 \)
Bir mutlak değer ifadesi hiçbir zaman negatif değer alamayacağı için verilen eşitsizlik aşağıdaki eşitliğe denktir.
\( \abs{16x - 8} = 0 \)
Bir ifadenin mutlak değeri sıfıra eşitse kendisi de sıfırdır.
\( 16x - 8 = 0 \)
\( x = \dfrac{1}{2} \)
Çözüm kümesi: \( \left\{ \dfrac{1}{2} \right\} \)
Aşağıdaki eşitsizliklerin reel sayılardaki çözüm kümelerini bulunuz.
(a) \( \abs{x - 1} \lt \abs{x + 5} \)
(b) \( \abs{2x - 3} \ge \abs{x + 3} \)
(c) \( \abs{3x - 2} \lt \abs{x + 4} \)
Çözümü Göster\( \abs{f(x)} \lesseqgtr \abs{g(x)} \Longleftrightarrow [f(x)]^2 \lesseqgtr [g(x)]^2 \) denkliğine göre, eşitsizliğin taraflarının karesini aldığımızda mutlak değer ortadan kalkar.
(a) seçeneği:
\( \abs{x - 1} \lt \abs{x + 5} \)
Eşitsizliğin her iki tarafının karesini alalım.
\( (x - 1)^2 \lt (x + 5)^2 \)
\( x^2 - 2x + 1 \lt x^2 + 10x + 25 \)
\( -12x \lt 24 \)
Eşitsizliğin her iki tarafını \( -12 \)'ye böldüğümüzde eşitsizlik yön değiştirir.
\( x \gt -2 \)
Çözüm kümesi: \( (-2, \infty) \)
(b) seçeneği:
\( \abs{2x - 3} \ge \abs{x + 3} \)
Eşitsizliğin her iki tarafının karesini alıp iki kare farkı özdeşliğini uygulayalım.
\( (2x - 3)^2 \ge (x + 3)^2 \)
\( (2x - 3)^2 - (x + 3)^2 \ge 0 \)
\( [(2x - 3) - (x + 3)][(2x - 3) + (x + 3)] \ge 0 \)
\( (x - 6)(3x) \ge 0 \)
\( x(x - 6) \ge 0 \)
Başkatsayı pozitif olduğundan ikinci dereceden ifade köklerin dışındaki aralıklarda pozitif ya da sıfır olur.
Çözüm kümesi: \( (-\infty, 0] \cup [6, \infty) \)
(c) seçeneği:
\( \abs{3x - 2} \lt \abs{x + 4} \)
Eşitsizliğin her iki tarafının karesini alıp iki kare farkı özdeşliğini uygulayalım.
\( (3x - 2)^2 \lt (x + 4)^2 \)
\( (3x - 2)^2 - (x + 4)^2 \lt 0 \)
\( [(3x - 2) - (x + 4)][(3x - 2) + (x + 4)] \lt 0 \)
\( (2x - 6)(4x + 2) \lt 0 \)
\( 6(2x + 1)(x - 3) \lt 0 \)
\( (2x + 1)(x - 3) \lt 0 \)
Başkatsayı pozitif olduğundan ikinci dereceden ifade köklerin arasındaki aralıkta negatif olur.
Çözüm kümesi: \( \left( -\dfrac{1}{2}, 3 \right) \)
\( \abs{x - 7} \ge 6 \)
\( \abs{x - 3} \lt 13 \)
eşitsizlik sisteminin çözüm kümesini bulunuz.
Çözümü GösterEşitsizliklerin ayrı ayrı çözüm kümelerini bulalım.
Eşitsizlik 1:
\( \abs{x - 7} \ge 6 \)
\( x - 7 \ge 6 \) ya da \( x - 7 \le -6 \)
\( x \ge 13 \) ya da \( x \le 1 \)
\( x \in (-\infty, 1] \cup [13, \infty) \)
Eşitsizlik 2:
\( \abs{x - 3} \lt 13 \)
\( -13 \lt x - 3 \lt 13 \)
\( -10 \lt x \lt 16 \)
\( x \in (-10, 16) \)
Eşitsizlik sisteminin çözüm kümesi her durum için bulduğumuz çözümlerin kesişiminden oluşur.
Çözüm kümesi: \( (-10, 1] \cup [13, 16) \)
\( \abs{k - 3m} + \abs{3k + 2m - 55} \le 0 \) olduğuna göre, \( m \) kaçtır?
Çözümü GösterBir mutlak değer ifadesinin sonucu pozitif ya da sıfır olabilir, negatif olamaz.
Verilen iki mutlak değer ifadesinin toplamı negatif olamayacağı için, her iki mutlak değer ifadesi de sıfır olmalıdır.
İfade 1:
\( \abs{k - 3m} = 0 \)
\( k - 3m = 0 \)
\( k = 3m \)
İfade 2:
\( \abs{3k + 2m - 55} = 0 \)
\( 3k + 2m - 55 = 0 \)
\( k = 3m \) yazalım.
\( 3(3m) + 2m - 55 = 0 \)
\( m = 5 \) bulunur.
\( x \lt \abs{x} \) eşitsizliği hangi öncüllerdeki aralıkların tümünde sağlanır?
I. \( x \lt -2 \)
II. \( -5 \le x \lt 0 \)
III. \( x \gt 3 \)
IV. \( -3 \le x \lt 2 \)
Çözümü GösterBir sayının mutlak değeri kendisinden büyükse bu sayı negatiftir.
Çözüm kümesi: \( x \lt 0 \)
I. ve II. öncüllerdeki aralıkların tümü çözüm kümesinin içindedir.
III. öncüldeki aralığın tümü çözüm kümesinin dışındadır.
IV. öncüldeki aralık çözüm kümesinin kısmen içinde kısmen dışındadır.
Buna göre verilen eşitsizlik I. ve II. öncüllerdeki aralıkların tümünde sağlanır.
\( \abs{x^2 - 1} \le \abs{x^2 + 2x - 3} \) eşitsizliğinin reel sayılardaki çözüm kümesini bulunuz.
Çözümü Göster\( \abs{f(x)} \lesseqgtr \abs{g(x)} \Longleftrightarrow [f(x)]^2 \lesseqgtr [g(x)]^2 \) denkliğine göre, eşitsizliğin taraflarının karesini aldığımızda mutlak değer ortadan kalkar.
\( (x^2 - 1)^2 \le (x^2 + 2x - 3)^2 \)
\( (x^2 - 1)^2 - (x^2 + 2x - 3)^2 \le 0 \)
\( [(x^2 - 1) - (x^2 + 2x - 3)][(x^2 - 1) + (x^2 + 2x - 3)] \le 0 \)
\( (-2x + 2)(2x^2 + 2x - 4) \le 0 \)
\( -4(x - 1)(x^2 + x - 2) \le 0 \)
\( -4(x - 1)(x - 1)(x + 2) \le 0 \)
Eşitsizliğin her iki tarafını \( -4 \)'e böldüğümüzde eşitsizlik yön değiştirir.
\( (x - 1)^2(x + 2) \ge 0 \)
\( (x - 1)^2 \) tam kare bir ifade olduğu için tüm reel sayılarda pozitif ya da sıfırdır.
Buna göre eşitsizlik iki durumda sağlanır.
Eşitsizlik 1:
\( x + 2 \ge 0 \)
\( x \ge -2 \)
Eşitsizlik 2:
\( (x - 1)^2 = 0 \)
\( x = 1 \)
\( x = 1 \) değeri birinci eşitsizlikte bulduğumuz \( [-2, \infty) \) aralığında yer alır.
Çözüm kümesi: \( [-2, \infty) \)
Aşağıdaki eşitsizliklerin çözüm kümelerini bulunuz.
(a) \( \abs{1 - x} \lt 9x - 4 \)
(b) \( \abs{5x + 2} \ge 6 - 11x \)
(c) \( \abs{x - 2} \gt 3x + 4 \)
Çözümü Göster(a) seçeneği:
\( \abs{1 - x} \lt 9x - 4 \)
Mutlak değer içini sıfır yapan \( x = 1 \) değerinin oluşturduğu \( x \le 1 \) ve \( x \gt 1 \) aralıklarını ayrı ayrı inceleyelim ve her durumda oluşan eşitsizliği çözelim.
Durum 1:
\( x \le 1 \)
Bu aralıkta \( 1 - x \) ifadesi sıfır ya da pozitif olur ve mutlak değer dışına olduğu gibi çıkar.
\( 1 - x \lt 9x - 4 \)
\( 5 \lt 10x \)
\( x \gt \dfrac{1}{2} \)
Bu aralık ile incelediğimiz \( x \le 1 \) aralığının kesişimi bu durumun çözüm kümesini verir.
\( x \in \left( \dfrac{1}{2}, 1 \right] \)
Durum 2:
\( x \gt 1 \)
Bu aralıkta \( 1 - x \) ifadesi negatif olur ve mutlak değer dışına önünde negatif işareti ile çıkar.
\( -(1 - x) \lt 9x - 4 \)
\( x - 1 \lt 9x - 4 \)
\( 8x \gt 3 \)
\( x \gt \dfrac{3}{8} \)
Bu aralık ile incelediğimiz \( x \gt 1 \) aralığının kesişimi bu durumun çözüm kümesini verir.
\( x \in (1, \infty) \)
Eşitsizliğin çözüm kümesi her durum için bulduğumuz çözümlerin birleşiminden oluşur.
Çözüm kümesi: \( \left( \dfrac{1}{2}, \infty \right) \)
(b) seçeneği:
\( \abs{5x + 2} \ge 6 - 11x \)
Mutlak değer içini sıfır yapan \( x = -\frac{2}{5} \) değerinin oluşturduğu \( x \lt -\frac{2}{5} \) ve \( x \ge -\frac{2}{5} \) aralıklarını ayrı ayrı inceleyelim ve her durumda oluşan eşitsizliği çözelim.
Durum 1:
\( x \lt -\dfrac{2}{5} \)
Bu aralıkta \( 5x + 2 \) ifadesi negatif olur ve mutlak değer dışına önünde negatif işareti ile çıkar.
\( -(5x + 2) \ge 6 - 11x \)
\( -5x - 2 \ge 6 - 11x \)
\( 6x \ge 8 \)
\( x \ge \dfrac{4}{3} \)
Bu aralık ile incelediğimiz \( x \lt -\frac{2}{5} \) aralığının kesişimi bu durumun çözüm kümesini verir.
\( x \in \emptyset \)
Durum 2:
\( x \ge -\dfrac{2}{5} \)
Bu aralıkta \( 5x + 2 \) ifadesi sıfır ya da pozitif olur ve mutlak değer dışına olduğu gibi çıkar.
\( 5x + 2 \ge 6 - 11x \)
\( 16x \ge 4 \)
\( x \ge \dfrac{1}{4} \)
Bu aralık ile incelediğimiz \( x \ge -\frac{2}{5} \) aralığının kesişimi bu durumun çözüm kümesini verir.
\( x \in \left[ \dfrac{1}{4}, \infty \right) \)
Eşitsizliğin çözüm kümesi her durum için bulduğumuz çözümlerin birleşiminden oluşur.
Çözüm kümesi: \( \left[ \dfrac{1}{4}, \infty \right) \)
(c) seçeneği:
\( \abs{x - 2} \gt 3x + 4 \)
Mutlak değer içini sıfır yapan \( x = 2 \) değerinin oluşturduğu \( x \lt 2 \) ve \( x \ge 2 \) aralıklarını ayrı ayrı inceleyelim ve her durumda oluşan eşitsizliği çözelim.
Durum 1:
\( x \lt 2 \)
Bu aralıkta \( x - 2 \) ifadesi negatif olur ve mutlak değer dışına önünde negatif işareti ile çıkar.
\( -(x - 2) \gt 3x + 4 \)
\( -x + 2 \gt 3x + 4 \)
\( 4x \lt -2 \)
\( x \lt -\dfrac{1}{2} \)
Bu aralık ile incelediğimiz \( x \lt 2 \) aralığının kesişimi bu durumun çözüm kümesini verir.
\( x \in \left( -\infty, -\dfrac{1}{2} \right) \)
Durum 2:
\( x \ge 2 \)
Bu aralıkta \( x - 2 \) ifadesi sıfır ya da pozitif olur ve mutlak değer dışına olduğu gibi çıkar.
\( x - 2 \gt 3x + 4 \)
\( 2x \lt -6 \)
\( x \lt -3 \)
Bu aralık ile incelediğimiz \( x \ge 2 \) aralığının kesişimi bu durumun çözüm kümesini verir.
\( x \in \emptyset \)
Eşitsizliğin çözüm kümesi her durum için bulduğumuz çözümlerin birleşiminden oluşur.
Çözüm kümesi: \( \left( -\infty, -\dfrac{1}{2} \right) \)
Aşağıdaki ifadelerin belirtilen aralıktaki görüntü kümelerini bulunuz.
(a) \( \abs{4x} \) ifadesinin \( -1 \lt x \lt 6 \) aralığında
(b) \( \abs{x - 9} \) ifadesinin \( -15 \le x \lt -5 \) aralığında
(c) \( 2\abs{x} + 1 \) ifadesinin \( -8 \lt x \le 2 \) aralığında
Çözümü Göster(a) seçeneği:
\( -1 \lt x \lt 6 \)
Eşitsizliğin taraflarını 4 ile çarpalım.
\( -4 \lt 4x \lt 24 \)
Eşitsizliğin taraflarının mutlak değerini alalım.
\( 0 \le \abs{4x} \lt 24 \)
(b) seçeneği:
\( -15 \le x \lt -5 \)
Eşitsizliğin taraflarından 9 çıkaralım.
\( -24 \le x - 9 \lt -14 \)
Eşitsizliğin taraflarının mutlak değerini alalım.
\( 14 \lt \abs{x - 9} \le 24 \)
(c) seçeneği:
\( -8 \lt x \le 2 \)
Eşitsizliğin taraflarının mutlak değerini alalım.
\( 0 \le \abs{x} \lt 8 \)
Eşitsizliğin taraflarını 2 ile çarpalım.
\( 0 \le 2\abs{x} \lt 16 \)
Eşitsizliğin taraflarına 1 ekleyelim.
\( 1 \le 2\abs{x} + 1 \lt 17 \)
\( \dfrac{10 - \abs{2x - 18}}{\abs{9 - x} + 4} \gt 0 \)
eşitsizliğini sağlayan tam sayı \( x \) değerlerinin toplamı kaçtır?
Çözümü GösterPayda bir mutlak değer ifadesi ile 4'ün toplamından oluştuğu için hiçbir zaman sıfır olamaz, dolayısıyla ifadeyi tanımsız yapan \( x \) değeri yoktur.
Kesirli ifadenin paydası her zaman pozitif olduğu için, tüm ifade pay sıfırdan büyük olduğunda sıfırdan büyük olur.
\( 10 - \abs{2x - 18} \gt 0 \)
\( \abs{2x - 18} \lt 10 \)
\( -10 \lt 2x - 18 \lt 10 \)
\( 8 \lt 2x \lt 28 \)
\( 4 \lt x \lt 14 \)
Eşitsizliği sağlayan tam sayı \( x \) değerlerini bulmak için 1-13 arası ardışık tam sayıların toplamından 1-4 arası ardışık tam sayıların toplamını çıkaralım.
Her iki sayı da dahil olmak üzere, \( 1-n \) arası tam sayıların toplamı \( \frac{n(n + 1)}{2} \) formülü ile bulunur.
\( \dfrac{13 \cdot 14}{2} - \dfrac{4 \cdot 5}{2} = 91 - 10 \)
\( = 81 \) bulunur.
Eda aklından \( \sqrt{n} \) sayısının sayı doğrusu üzerinde \( -2 \) noktasına olan uzaklığı 7'den küçük olacak şekilde bir \( n \) tam sayısı düşünüyor.
Buna göre, \( n \) sayısının alabileceği kaç farklı tam sayı değeri vardır?
Çözümü GösterBir \( x \) sayısının sayı doğrusu üzerinde \( y \) sayısına uzaklığı \( \abs{x - y} \) ile ifade edilir.
\( \abs{\sqrt{n} - (-2)} \lt 7 \)
\( \abs{\sqrt{n} + 2} \lt 7 \)
İfadeyi mutlak değerden kurtaralım.
\( -7 \lt \sqrt{n} + 2 \lt 7 \)
\( -9 \lt \sqrt{n} \lt 5 \)
Karekök ifadesi negatif değer alamaz.
\( 0 \le \sqrt{n} \lt 5 \)
Eşitsizliğin taraflarının karesini alalım.
\( 0 \le n \lt 25 \)
Buna göre, \( n \) sayısı \( 24 - 0 + 1 = 25 \) farklı tam sayı değer alabilir.
\( \dfrac{1}{\abs{x + 2}} \ge \dfrac{1}{10} \) eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz.
Çözümü GösterEşitliğin sağ tarafı pozitif olduğu için sol tarafı da pozitif olmalıdır.
Bu eşitsizlik sol tarafta paydadaki ifade \( (0, 10] \) aralığında olduğunda sağlanır.
\( 0 \lt \abs{x + 2} \le 10 \)
\( x + 2 \ne 0 \) olmak üzere,
\( -10 \le x + 2 \le 10 \)
\( -12 \le x \le 8 \)
Eşitsizliğin çözüm kümesi aşağıdaki gibi bulunur.
Çözüm kümesi: \( [-12, -2) \cup (-2, 8] \)
\( \abs{\dfrac{2x + 1}{x - 1}} \ge 3 \) eşitsizliğinin reel sayılardaki çözüm kümesini bulunuz.
Çözümü Göster\( a \gt 0 \) olmak üzere, alt sınırlı mutlak değer eşitsizliklerinin çözümü için aşağıdaki denklik kullanılır.
\( \abs{f(x)} \ge a \Longleftrightarrow f(x) \ge a \text{ veya } f(x) \le -a \)
Paydayı sıfır yapan \( x = 1 \) değeri tanımsızlık oluşturduğundan çözüm kümesinde yer almaz.
Bu iki eşitsizliği ayrı ayrı çözelim.
Eşitsizlik 1:
\( \dfrac{2x + 1}{x - 1} \ge 3 \)
Tüm terimleri sol tarafa toplayalım.
\( \dfrac{2x + 1}{x - 1} - 3 \ge 0 \)
\( \dfrac{2x + 1 - 3(x - 1)}{x - 1} \ge 0 \)
\( \dfrac{-x + 4}{x - 1} \ge 0 \)
\( \dfrac{x - 4}{x - 1} \le 0 \)
Rasyonel ifade payı ve paydayı sıfır yapan değerlerin arasındaki aralıkta negatif, \( x = 4 \) noktasında sıfır, \( x = 1 \) noktasında tanımsız olur.
Çözüm kümesi: \( (1, 4] \)
Eşitsizlik 2:
\( \dfrac{2x + 1}{x - 1} \le -3 \)
Tüm terimleri sol tarafa toplayalım.
\( \dfrac{2x + 1}{x - 1} + 3 \le 0 \)
\( \dfrac{2x + 1 + 3(x - 1)}{x - 1} \le 0 \)
\( \dfrac{5x - 2}{x - 1} \le 0 \)
Rasyonel ifade payı ve paydayı sıfır yapan değerlerin arasındaki aralıkta negatif, \( x = \frac{2}{5} \) noktasında sıfır, \( x = 1 \) noktasında tanımsız olur.
\( x \in \left[ \dfrac{2}{5}, 1 \right) \)
Bu iki durumdan en az birinin sağlanması yeterli olduğundan, eşitsizliğin çözüm kümesi bu iki aralığın birleşiminden oluşur.
Çözüm kümesi: \( \left[ \dfrac{2}{5}, 1 \right) \cup (1, 4] \)
\( x, k, m \in \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( \abs{3x - k} \lt m \) eşitsizliğinin çözüm kümesi \( (-3, 7) \) aralığı olduğuna göre, \( km \) çarpımı kaçtır?
Çözümü GösterVerilen eşitsizliği kullanarak \( x \) değer aralığını bulalım.
\( -m \lt 3x - k \lt m \)
\(-m + k \lt 3x \lt m + k \)
\( \dfrac{k - m}{3} \lt x \lt \dfrac{k + m}{3} \)
Eşitsizliğin çözüm kümesi \( (-3, 7) \) aralığıdır, buna göre \( x \) için bulduğumuz değer aralığının sınır değerlerini bu değerlere eşitleyelim.
\( \dfrac{k - m}{3} = -3 \Longrightarrow k - m = -9 \)
\( \dfrac{k + m}{3} = 7 \Longrightarrow k + m = 21 \)
Elde ettiğimiz iki bilinmeyenli iki denklemi ortak çözerek \( k \) ve \( m \) değerlerini bulalım.
\( 2k = 12 \Longrightarrow k = 6 \)
\( 6 - m = -9 \Longrightarrow m = 15 \)
\( km = 6 \cdot 15 = 90 \) bulunur.
\( \abs{x - 9} \lt \abs{x - 5} + 4 \) eşitsizliğinin en geniş çözüm kümesini bulunuz.
Çözümü GösterMutlak değer ifadelerini sıfır yapan noktalar eşitsizliğin kritik noktalarıdır.
Buna göre eşitsizliğin kritik noktaları \( x \in \{5, 9\} \) noktalarıdır.
Bu iki kritik noktanın oluşturduğu üç aralığı ayrı ayrı inceleyelim ve her aralıkta mutlak değer içindeki ifadeleri o aralıktaki işaretlerine göre mutlak değerden çıkaralım.
Durum 1:
\( x \lt 5 \)
Bu aralıkta her iki mutlak değer ifadesi de negatif olur, dolayısıyla mutlak değerden negatif işaretli çıkar.
\( -(x - 9) \lt -(x - 5) + 4 \)
\( -x + 9 \lt -x + 5 + 4 \)
\( -x \lt -x \)
Bu eşitsizliğin çözümü olmadığı için bu aralıkta geçerli bir çözüm yoktur.
Durum 2:
\( 5 \le x \lt 9 \)
Bu aralıkta \( x - 5 \) ifadesi pozitif, \( x - 9 \) ifadesi negatif olur, dolayısıyla birinci ifade mutlak değerden olduğu gibi, ikinci ifade negatif işaretli çıkar.
\( -(x - 9) \lt (x - 5) + 4 \)
\( -x + 9 \lt x - 5 + 4 \)
\( x \gt 5 \)
Bu aralık ile \( 5 \le x \lt 9 \) aralığının kesişimi bu aralığın çözüm kümesidir.
\( x \in (5, 9) \)
Durum 3:
\( 9 \le x \)
Bu aralıkta her iki mutlak değer ifadesi de pozitif olur, dolayısıyla mutlak değerden pozitif işaretli çıkar.
\( (x - 9) \lt (x - 5) + 4 \)
\( -9 \lt -1 \)
Bu eşitsizlik her zaman sağlandığı için eşitsizliği çözdüğümüz tüm aralık bu aralığın çözüm kümesidir.
\( x \in [9, \infty) \)
Eşitsizliğin çözüm kümesi her durum için bulduğumuz çözümlerin birleşiminden oluşur.
Çözüm kümesi: \( (5, \infty) \)
\( \dfrac{x}{\abs{\abs{x} + x}} \gt 0 \) eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz.
Çözümü GösterEşitsizliği \( x \)'in negatif, pozitif ve sıfır olduğu durumlar için ayrı ayrı inceleyelim.
Durum 1:
\( x \lt 0 \)
\( \abs{x} = -x \)
\( \dfrac{x}{\abs{\abs{x} + x}} \gt 0 \)
\( \dfrac{x}{\abs{-x + x}} \gt 0 \)
\( \dfrac{x}{0} \gt 0 \)
Eşitsizliğin sol tarafı tanımsızdır, dolayısıyla eşitsizlik hiçbir \( x \lt 0 \) için sağlanmaz.
Durum 2:
\( x \gt 0 \)
\( \abs{x} = x \)
\( \dfrac{x}{\abs{x + x}} \gt 0 \)
\( \dfrac{x}{\abs{2x}} \gt 0 \)
\( \dfrac{x}{2x} \gt 0 \)
\( \dfrac{1}{2} \gt 0 \)
Eşitsizlik her durumda sağlandığı için her \( x \gt 0 \) değeri verilen eşitsizliği sağlar.
Durum 3:
\( x = 0 \)
\( \dfrac{0}{\abs{\abs{0} + 0}} \gt 0 \)
\( \dfrac{0}{0} \gt 0 \)
Eşitsizliğin sol tarafı tanımsızdır, dolayısıyla eşitsizlik \( x = 0 \) için sağlanmaz.
Eşitsizliğin çözüm kümesi 2. durumda bulduğumuz aralıktır.
Çözüm kümesi: \( (0, \infty) \)
\( \abs{6 - 3x^2} \le 6 - 2x^2 \) eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz.
Çözümü GösterAşağıdaki eşdeğer eşitsizliği kullanalım.
\( \abs{f(x)} \le g(x) \Longleftrightarrow -g(x) \le f(x) \le g(x) \)
\( -(6 - 2x^2) \le 6 - 3x^2 \le 6 - 2x^2 \)
\( 2x^2 - 6 \le 6 - 3x^2 \le 6 - 2x^2 \)
Sol ve sağ taraftaki iki eşitsizliği ayrı ayrı çözelim.
Eşitsizlik 1:
\( 2x^2 - 6 \le 6 - 3x^2 \)
\( 5x^2 \le 12 \)
\( x^2 \le \dfrac{12}{5} \)
\( -\sqrt{\dfrac{12}{5}} \le x \le \sqrt{\dfrac{12}{5}} \)
\( -\dfrac{2\sqrt{15}}{5} \le x \le \dfrac{2\sqrt{15}}{5} \)
Eşitsizlik 2:
\( 6 - 3x^2 \le 6 - 2x^2 \)
\( 0 \le x^2 \)
\( x^2 \ge 0 \)
Bir reel sayının karesi daima sıfır veya pozitif olduğundan bu eşitsizlik tüm reel sayılar için sağlanır.
\( x \in \mathbb{R} \)
Eşitsizliğin çözüm kümesi her iki eşitsizliğin çözüm kümelerinin kesişiminden oluşur.
Çözüm kümesi: \( \left[ -\dfrac{2\sqrt{15}}{5}, \dfrac{2\sqrt{15}}{5} \right] \)
\( \abs{\abs{x - 2} - 11} + \abs{22 - \abs{4 - 2x}} \lt 42 \)
eşitsizliğini sağlayan kaç \( x \) tam sayısı vardır?
Çözümü GösterMutlak değer içindeki pozitif çarpan mutlak değer dışına çıkarılabilir.
\( \abs{\abs{x - 2} - 11} + \abs{22 - 2\abs{2 - x}} \lt 42 \)
\( \abs{\abs{x - 2} - 11} + 2\abs{11 - \abs{2 - x}} \lt 42 \)
Mutlak değer içi \( -1 \) ile çarpılarak terimlerin yeri değiştirilebilir.
\( \abs{\abs{x - 2} - 11} + 2\abs{11 - \abs{x - 2}} \lt 42 \)
\( \abs{\abs{x - 2} - 11} + 2\abs{\abs{x - 2} - 11} \lt 42 \)
\( 3\abs{\abs{x - 2} - 11} \lt 42 \)
\( \abs{\abs{x - 2} - 11} \lt 14 \)
\( -14 \lt \abs{x - 2} - 11 \lt 14 \)
\( -3 \lt \abs{x - 2} \lt 25 \)
Bir mutlak değer ifadesi hiçbir zaman negatif olamayacağı için eşitsizliğin sol tarafı her zaman sağlanır, dolayısıyla eşitsizliğin sol tarafını dikkate almamıza gerek yoktur.
\( \abs{x - 2} \lt 25 \)
\( -25 \lt x - 2 \lt 25 \)
\( -23 \lt x \lt 27 \)
Ardışık sayı terim sayısı formülünü kullanalım.
Bu aralıkta \( 26 - (-22) + 1 = 49 \) tam sayı \( x \) değeri bulunur.
\( (7 - x)(7 - \abs{x}) \lt 49 \) eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz.
Çözümü GösterMutlak değer içini sıfır yapan noktalar mutlak değer ifadesinin kritik noktalarıdır.
\( x = 0 \)
Kritik noktanın oluşturduğu iki aralık için eşitsizliği ayrı ayrı çözelim.
Durum 1:
\( x \lt 0 \)
Bu durumda mutlak değer içindeki ifade negatif olur ve mutlak değer dışına negatif işaretli çıkar.
\( (7 - x)(7 + x) \lt 49 \)
\( -x^2 + 49 \lt 49 \)
\( x^2 \gt 0 \)
\( x \in \mathbb{R} - \{0\} \)
Bu aralık ile incelediğimiz \( x \lt 0 \) aralığının kesişimi 1. durumun çözüm kümesi olur.
\( x \in (-\infty, 0) \)
Durum 2:
\( x \ge 0 \)
Bu durumda mutlak değer içindeki ifade sıfır ya da pozitif olur ve mutlak değer dışına olduğu gibi çıkar.
\( (7 - x)(7 - x) \lt 49 \)
\( (x - 7)^2 \lt 7^2 \)
Eşitsizliğin taraflarının karekökünü alalım.
\( \sqrt{(x - 7)^2} \lt \sqrt{7^2} \)
\( \abs{x - 7} \lt 7 \)
\( -7 \lt x - 7 \lt 7 \)
\( 0 \lt x \lt 14 \)
Bu aralık ile incelediğimiz \( x \ge 0 \) aralığının kesişimi 2. durumun çözüm kümesi olur.
\( x \in (0, 14) \)
Eşitsizliğin çözüm kümesi her durum için bulduğumuz çözümlerin birleşiminden oluşur.
Çözüm kümesi: \( (-\infty, 0) \cup (0, 14) \)
\( \abs{x - 4} \lt 20 \)
\( \dfrac{x}{2} + 4y = 8 \)
olduğuna göre, \( y \)'nin alabileceği kaç farklı tam sayı değeri vardır?
Çözümü GösterVerilen eşitlikte \( y \) değişkenini yalnız bırakalım.
\( 4y = 8 - \dfrac{x}{2} \)
\( y = 2 - \dfrac{x}{8} \)
\( x \) için verilen değer aralığını kullanarak bu ifadeyi elde etmeye çalışalım.
\( \abs{x - 4} \lt 20 \)
\( -20 \lt x - 4 \lt 20 \)
\( -16 \lt x \lt 24 \)
Eşitsizliğin taraflarını 8'e bölelim.
\( -2 \lt \dfrac{x}{8} \lt 3 \)
Eşitsizliğin taraflarını -1 ile çarpalım. Bir eşitsizliğin tarafları negatif bir sayı ile çarpıldığında eşitsizlik yön değiştirir.
\( -3 \lt -\dfrac{x}{8} \lt 2 \)
Eşitsizliğin taraflarına 2 ekleyelim.
\( -1 \lt 2 - \dfrac{x}{8} \lt 4 \)
Eşitsizlikte ortadaki ifade \( y \)'ye eşittir.
\( -1 \lt y \lt 4 \)
Buna göre \( y \)'nin alabileceği tam sayı değerleri \( \{ 0, 1, 2, 3 \} \) olmak üzere 4 tanedir.
\( x \) bir reel sayı ve \( \abs{x} \le 8 \) olmak üzere,
\( 4x + 3y = -2 \) eşitliğini sağlayan \( y \) tam sayıları toplamı kaçtır?
Çözümü GösterBu soruyu iki farklı yöntemle çözebiliriz.
1. yöntem:
Verilen eşitlikte \( y \) değişkenini yalnız bırakalım.
\( 3y = -2 - 4x \)
\( y = \dfrac{-2 - 4x}{3} \)
\( x \) için verilen değer aralığını kullanarak bu ifadeyi elde etmeye çalışalım.
\( \abs{x} \le 8 \)
\( -8 \le x \le 8 \)
Eşitsizliğin taraflarını -4 ile çarpalım. Bir eşitsizliğin tarafları negatif bir sayı ile çarpıldığında eşitsizlik yön değiştirir.
\( -32 \le -4x \le 32 \)
Eşitsizliğin taraflarından 2 çıkaralım.
\( -34 \le -2 - 4x \le 30 \)
Eşitsizliğin taraflarını 3'e bölelim.
\( -\dfrac{34}{3} \le \dfrac{-2 - 4x}{3} \le 10 \)
Eşitsizlikte ortadaki ifade \( y \)'ye eşittir.
\( -\dfrac{34}{3} \le y \le 10 \)
Bu aralıktaki tam sayı \( y \) değerlerinin toplamı aşağıdaki gibidir.
\( -11 + (-10) + \ldots + 10 = -11 \)
2. yöntem:
Alternatif olarak soruyu grafik yardımıyla çözebiliriz.
Aşağıda soruda verilen eşitliğin karşılık geldiği \( y = \frac{-2 - 4x}{3} \) doğrusunun grafiği verilmiştir.
Ayrıca \( \abs{x} \le 8 \) eşitsizliği \( x = -8 \) ve \( x = 8 \) doğruları arasında kalan bölgeyi ifade eder.
Bu eşitliği ve eşitsizliği birlikte sağlayan noktalar doğru üzerinde taralı alanda bulunan noktalardır.
Bu aralıktaki tam sayı \( y \) değerlerinin toplamı aşağıdaki gibidir.
\( -11 + (-10) + \ldots + 10 = -11 \)
\( x, y \in \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( \abs{4x - 8} \lt 4 \)
\( \abs{3 - 2y} \le 9 \)
olduğuna göre, \( 5x - 2y + 4 \) ifadesinin alabileceği kaç farklı tam sayı değeri vardır?
Çözümü GösterBirinci eşitsizliği mutlak değersiz şekilde yazalım.
\( \abs{4x - 8} \lt 4 \)
\( -4 \lt 4x - 8 \lt 4 \)
\( 4 \lt 4x \lt 12 \)
\( 1 \lt x \lt 3 \)
\( 5 \lt 5x \lt 15 \)
İkinci eşitsizliği mutlak değersiz şekilde yazalım.
\( \abs{3 - 2y} \le 9 \)
\( -9 \le 3 - 2y \le 9 \)
\( -12 \le -2y \le 6 \)
Bulduğumuz iki eşitsizliği taraf tarafa toplayalım.
\( 5 \lt 5x \lt 15 \)
\( -12 \le -2y \le 6 \)
\( -7 \lt 5x - 2y \lt 21 \)
Eşitsizliğin taraflarına 4 ekleyelim.
\( -3 \lt 5x - 2y + 4 \lt 25 \)
\( 5x - 2y + 4 \) ifadesinin alabileceği tam sayı değerleri aşağıdaki gibidir.
\( -2, -1, 0, 1, \ldots, 24 \)
İfadenin bu aralıkta alabileceği \( 24 - (-2) + 1 = 27 \) farklı tam sayı değeri vardır.
\( \abs{\dfrac{2x - 5}{2 + x}} \le 2 \) eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz.
Çözümü GösterEşitsizlikte mutlak değer ifadesini kaldırdığımızda aşağıdaki şekilde tek bir eşitsizlik oluşur.
\( -2 \le \dfrac{2x - 5}{2 + x} \le 2 \)
\( \frac{2x - 5}{2 + x} \ge -2 \) ve \( \frac{2x - 5}{2 + x} \le 2 \) eşitsizliklerini ayrı ayrı çözelim.
Eşitsizlik 1:
\( \dfrac{2x - 5}{2 + x} \ge -2 \)
Tüm terimleri eşitsizliğin sol tarafında toplayalım.
\( \dfrac{2x - 5}{2 + x} + 2 \ge 0 \)
\( \dfrac{2x - 5 + 2(2 + x)}{2 + x} \ge 0 \)
\( \dfrac{4x - 1}{2 + x} \ge 0 \)
Bu eşitsizliğin çözüm kümesini bulmak için bir işaret tablosu hazırlayalım. Rasyonel eşitsizliklerin işaret tablosu ile çözümü için rasyonel eşitsizlikler sayfasını inceleyebilirsiniz.
Verilen eşitsizlikte \( \ge \) sembolü kullanıldığı için rasyonel ifadenin sıfır ya da pozitif olduğu aralık ve değerler eşitsizliğin çözüm kümesi olur.
\( x \in (-\infty, -2) \cup \left[ \dfrac{1}{4}, \infty \right) \)
Eşitsizlik 2:
\( \dfrac{2x - 5}{2 + x} \le 2 \)
Tüm terimleri eşitsizliğin sol tarafında toplayalım.
\( \dfrac{2x - 5}{2 + x} - 2 \le 0 \)
\( \dfrac{2x - 5 - 2(2 + x)}{2 + x} \le 0 \)
\( \dfrac{-9}{2 + x} \le 0 \)
Bu eşitsizlik paydadaki ifade pozitif olduğunda sağlanır.
\( 2 + x \gt 0 \)
\( x \gt -2 \)
Eşitsizliğin çözüm kümesi her durum için bulduğumuz çözümlerin kesişiminden oluşur.
Çözüm kümesi: \( \left[ \dfrac{1}{4}, \infty \right) \)
\( x \in \mathbb{Z} \) olmak üzere,
\( \abs{x - 80} \lt \abs{x - 30} \lt \abs{x - 110} \) eşitsizliğini sağlayan kaç farklı \( x \) değeri vardır?
Çözümü GösterSorudaki eşitsizliği iki ayrı eşitsizliğe bölüp ayrı ayrı inceleyelim.
Eşitsizlik 1:
\( \abs{x - 80} \lt \abs{x - 30} \)
Bu eşitsizliğin çözüm kümesi, sayı doğrusu üzerinde 80'e olan uzaklığı 30'a olan uzaklığından küçük olan noktalar kümesidir.
İki sayıya eşit uzaklıkta olan sayıyı bulalım.
\( \dfrac{80 + 30}{2} = 55 \)
\( x = 55 \) noktasının sağındaki noktaların 80'e olan uzaklığı 30'a olan uzaklığından küçük olduğu için bu eşitsizliğin çözüm kümesi aşağıdaki gibi olur.
\( x \gt 55 \)
Eşitsizlik 2:
\( \abs{x - 30} \lt \abs{x - 110} \)
Bu eşitsizliğin çözüm kümesi, sayı doğrusu üzerinde 30'a olan uzaklığı 110'a olan uzaklığından küçük olan noktalar kümesidir.
İki sayıya eşit uzaklıkta olan sayıyı bulalım.
\( \dfrac{30 + 110}{2} = 70 \)
\( x = 70 \) noktasının solundaki noktaların 30'a olan uzaklığı 110'a olan uzaklığından küçük olduğu için bu eşitsizliğin çözüm kümesi aşağıdaki gibi olur.
\( x \lt 70 \)
Eşitsizliğin çözüm kümesi her durum için bulduğumuz çözümlerin kesişiminden oluşur.
\( 55 \lt x \lt 70 \)
Bu aralıkta \( 69 - 56 + 1 = 14 \) tam sayı değeri vardır.
\( \abs{x} + \abs{y} \le 8 \) eşitsizliğini sağlayan kaç farklı \( (x, y) \) tam sayı ikilisi vardır?
Çözümü Göster\( \abs{x} + \abs{y} \le 8 \) eşitsizliğini koordinat düzlemindeki her bölge için ayrı ayrı inceleyelim.
I. bölge:
Bu bölgede hem \( x \) hem de \( y \) pozitiftir.
\( x + y \le 8 \)
\( y \le -x + 8 \)
II. bölge:
Bu bölgede \( x \) negatif, \( y \) pozitiftir.
\( -x + y \le 8 \)
\( y \le x + 8 \)
III. bölge:
Bu bölgede hem \( x \) hem de \( y \) negatiftir.
\( -x - y \le 8 \)
\( y \ge -x + 8 \)
IV. bölge:
Bu bölgede \( x \) pozitif, \( y \) negatiftir.
\( x - y \le 8 \)
\( y \ge x - 8 \)
Bu eşitsizliklerin tümünü çizdiğimizde aşağıdaki grafiği ve eşitsizliği sağlayan taralı alanı elde ederiz.
Görebileceğimiz gibi bu bölgeler eksenlere göre simetriktir ve her bölgedeki eşitsizliği sağlayan ikili sayısının eşit olmasını bekleyebiliriz.
Bu kapalı bölgedeki tam sayı \( (x, y) \) ikililerinin sayısını bulmak için önce (eksenler hariç) I. bölgeyi inceleyelim.
\( x = 1 \) olduğunda verilen eşitsizliği 7 \( y \) değeri sağlar.
\( y \in \{ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 \} \)
\( x = 2 \) olduğunda verilen eşitsizliği 6 \( y \) değeri sağlar.
\( y \in \{ 1, 2, 3, 4, 5, 6 \} \)
\( x = 3 \) olduğunda verilen eşitsizliği 5 \( y \) değeri sağlar.
\( y \in \{ 1, 2, 3, 4, 5 \} \)
\( \vdots \)
\( x = 7 \) olduğunda verilen eşitsizliği 1 \( y \) değeri sağlar.
\( y \in \{ 1 \} \)
Buna göre I. bölgede toplam \( 7 + 6 + 5 + \ldots + 1 = 28 \) nokta eşitsizliği sağlar.
Bu noktaların tümünün diğer üç bölgede birer simetriği vardır.
\( x \) ekseni üzerinde bu eşitsizliği sağlayan \( 8 - (-8) + 1 = 17 \) nokta vardır.
\( y \) ekseni üzerinde bu eşitsizliği sağlayan \( 8 - (-8) + 1 = 17 \) nokta vardır.
Eksenler üzerindeki bu noktalardan orijin iki eksen için ortaktır, dolayısıyla çift saymanın önüne geçmek için toplamdan 1 çıkarmalıyız.
Buna göre verilen eşitsizliği sağlayan nokta sayısını aşağıdaki şekilde bulabiliriz.
\( 4 \cdot 28 + 2 \cdot 17 - 1 = 145 \) bulunur.
\( \abs{x + 4} + \abs{y + 2} + \abs{z - 6} = 18 \) olduğuna göre,
\( \abs{x + y + z} \) ifadesinin alabileceği kaç farklı tam sayı değeri vardır?
Çözümü GösterBir mutlak değer ifadesi için aşağıdaki eşitsizlik her zaman sağlanır.
\( -\abs{a} \le a \le \abs{a} \)
Sorudaki üç mutlak değer ifadesini bu formda yazalım.
\( -\abs{x + 4} \le x + 4 \le \abs{x + 4} \)
\( -\abs{y + 2} \le y + 2 \le \abs{y + 2} \)
\( -\abs{z - 6} \le z - 6 \le \abs{z - 6} \)
Bu eşitsizlikleri taraf tarafa toplayalım.
\( -(\abs{x + 4} + \abs{y + 2} + \abs{z - 6}) \le x + y + z \le \abs{x + 4} + \abs{y + 2} + \abs{z - 6} \)
Soruda verilen eşitliği kullanarak eşitsizliği düzenleyelim.
\( -18 \le x + y + z \le 18 \)
\( 0 \le \abs{x + y + z} \le 18 \)
Buna göre, \( \abs{x + y + z} \) ifadesinin alabileceği tam sayı değerleri 19 tanedir.