Mutlak Değer Tanımı

Mutlak değer içindeki bir sayı, değeri pozitif ya da sıfır ise olduğu gibi, negatif ise işareti pozitife çevrilerek mutlak değerden çıkar.

(a) seçeneği:

\( \abs{-5} + \abs{-(-5)} + \abs{-(-(-5))} \)

\( = \abs{-5} + \abs{5} + \abs{-5} \)

\( = 5 + 5 + 5 = 15 \)

(b) seçeneği:

\( \abs{5 - 3} + \abs{3 - 5} + \abs{-5 + 3} \)

\( = \abs{2} + \abs{-2} + \abs{-2} \)

\( = 2 + 2 + 2 = 6 \)

(c) seçeneği:

\( \abs{(-2) \cdot 5} + \abs{(-2) \cdot (-5)} + \abs{2 \cdot (-5)} \)

\( = \abs{-10} + \abs{10} + \abs{-10} \)

\( = 10 + 10 + 10 = 30 \)

Mutlak değer içindeki bir ifade, değeri pozitif ya da sıfır ise olduğu gibi, negatif ise önüne negatif işareti eklenerek mutlak değerden çıkar.

Mutlak değer içindeki ifadeleri işaretlerini dikkate alarak mutlak değer dışına çıkaralım.

Daha küçük bir sayıdan daha büyük bir sayıyı çıkardığımızda sonuç negatif olur, dolayısıyla ifade önüne negatif işareti eklenerek mutlak değerden çıkar.

\( \abs{c - b} = -(c - b) = b - c \)

Daha büyük bir sayıdan daha küçük bir sayıyı çıkardığımızda sonuç pozitif olur, dolayısıyla ifade olduğu gibi mutlak değerden çıkar.

\( \abs{a - b} = a - b \)

İşlemin sonucunu bulalım.

\( \abs{c - b} + \abs{a - b} = b - c + a - b \)

\( = a - c \) bulunur.

Mutlak değer içindeki bir ifade, değeri pozitif ya da sıfır ise olduğu gibi, negatif ise önüne negatif işareti eklenerek mutlak değerden çıkar.

Mutlak değer içindeki ifadeleri işaretlerini dikkate alarak mutlak değer dışına çıkaralım.

\( x \) için verilen değer aralığına göre; \( x - 4 \) ifadesi pozitiftir, dolayısıyla olduğu gibi mutlak değerden çıkar.

\( x - 10 \) ifadesi ise negatiftir, dolayısıyla önüne negatif işareti eklenerek mutlak değerden çıkar.

\( 3\abs{x - 4} - 2\abs{x - 10} = 3(x - 4) - 2[-(x - 10)] \)

\( = 3x - 12 + 2x - 20 \)

\( = 5x - 32 \) bulunur.

Mutlak değer içindeki bir ifade, değeri pozitif ya da sıfır ise olduğu gibi, negatif ise önüne negatif işareti eklenerek mutlak değerden çıkar.

(a) seçeneği:

\( \abs{3\sqrt{2} - 4} + \abs{2\sqrt{3} - 4} \)

\( \sqrt{2} \approx 1,41\ldots \)

\( 3\sqrt{2} - 4 \gt 0 \)

\( \sqrt{3} \approx 1,73\ldots \)

\( 2\sqrt{3} - 4 \lt 0 \)

Mutlak değer içindeki ifadeleri işaretlerini dikkate alarak mutlak değer dışına çıkaralım.

\( = (3\sqrt{2} - 4) + [-(2\sqrt{3} - 4)] \)

\( = 3\sqrt{2} - 4 - 2\sqrt{3} + 4 \)

\( = 3\sqrt{2} - 2\sqrt{3} \)

(b) seçeneği:

\( \abs{\pi - 3} - \abs{2\pi - 7} + \abs{10 - 3\pi} \)

\( \pi = 3,1415\ldots \)

\( \pi - 3 \gt 0 \)

\( 2\pi - 7 \lt 0 \)

\( 10 - 3\pi \gt 0 \)

Mutlak değer içindeki ifadeleri işaretlerini dikkate alarak mutlak değer dışına çıkaralım.

\( = (\pi - 3) - [-(2\pi - 7)] + (10 - 3\pi) \)

\( = \pi - 3 + 2\pi - 7 + 10 - 3\pi \)

\( = 0 \)

(c) seçeneği:

\( \abs{-5 + 2e} - \abs{8 - 3e} \)

\( e = 2,7182\ldots \) (Euler sayısı)

\( -5 + 2e \gt 0 \)

\( 8 - 3e \lt 0 \)

Mutlak değer içindeki ifadeleri işaretlerini dikkate alarak mutlak değer dışına çıkaralım.

\( = (-5 + 2e) - [-(8 - 3e)] \)

\( = -5 + 2e + 8 - 3e \)

\( = 3 - e \)

Sayı doğrusu üzerinde \( x \) sayısının orijine uzaklığı \( \abs{x} \) ile ifade edilir.

Sayı doğrusu üzerinde \( x \) sayısının \( y \) sayısına uzaklığı \( \abs{x - y} \) ile ifade edilir.

\( x \) sayısının \( y \) sayısına olan uzaklığı, \( y \) sayısının \( x \) sayısına olan uzaklığına eşittir.

\( \abs{x - y} = \abs{y - x} \)

\( a \) sayısının orijine olan uzaklığı 9 birimdir.

\( \abs{a} = 9 \)

\( a \) sayısının \( b \) sayısına olan uzaklığı 13 birimdir.

\( \abs{a - b} = \abs{b - a} = 13 \)

İstenen ifadenin sonucunu bulalım.

\( \abs{b - a} - \abs{-a} = \abs{a - b} - \abs{a} \)

\( = 13 - 9 = 4 \) bulunur.

Sayı doğrusu üzerinde \( x \) sayısının \( y \) sayısına uzaklığı \( \abs{x - y} \) ile ifade edilir.

Buna göre \( a \) sayısının \( -8 \) noktasına olan uzaklığı \( \abs{a - (-8)} = \abs{a + 8} \) ile, 5 noktasına olan uzaklığı \( \abs{a - 5} \) ile ifade edilir.

Verilen ifadeyi denklem şeklinde yazalım.

\( \abs{a + 8} = 3\abs{a - 5} \)

Mutlak değerin uzaklık tanımına göre, iki reel sayının farkının mutlak değeri sayıların sayı doğrusu üzerinde aralarındaki uzaklığa eşittir.

Verilen eşitliği düzenleyelim.

\( \abs{x - (-2)} + \abs{x - 8} = 10 \)

Buna göre \( \abs{x - (-2)} \) ifadesi \( x \)'in sayı doğrusu üzerinde \( -2 \) noktasına, \( \abs{x - 8} \) ifadesi de \( x \)'in sayı doğrusu üzerinde \( 8 \) noktasına olan uzaklığını verir.

Sayı doğrusu üzerinde \( -2 \) ve \( 8 \) noktaları arasındaki uzaklık \( \abs{8 - (-2)} = 10 \) olduğu için, bu iki noktaya olan uzaklıkları toplamı 10 olan sayı sadece bu iki sayı arasında olabilir.

Bu aralığın dışındaki bir sayı için bu toplam her zaman 10'dan büyük olur.

Çözüm kümesi: \( -2 \le x \le 8 \)

Bu aralıkta \( x \)'in alabileceği \( 8 - (-2) + 1 = 11 \) tam sayı değer vardır.

Reel sayılar kümesinde tanımlı her ifadenin karesinin karekökü o ifadenin mutlak değerine eşittir.

\( \abs{b - 4 + \sqrt{(b - 1)^2}} = \abs{b - 4 + \abs{b - 1}} \)

Negatif \( b \) sayısından 1 çıkardığımızda sonuç yine negatif olur, dolayısıyla bu ifade önüne negatif işareti eklenerek mutlak değerden çıkar.

\( = \abs{b - 4 + [-(b - 1)]} \)

\( = \abs{b - 4 + (1 - b)} \)

\( = \abs{-3} = 3 \) bulunur.

Birinci ifade mutlak değerden olduğu gibi çıktığına göre değeri pozitif ya da sıfırdır.

\( x - 3 \ge 0 \)

\( x \ge 3 \)

İkinci ifade mutlak değerden ters işaretli çıktığına göre değeri negatif ya da sıfırdır.

Mutlak değer içindeki ifade sıfıra eşit olduğunda \( \abs{a - b} = a - b = b - a \) olacağı için burada küçük değil küçük eşit sembolü kullanmalıyız.

\( 4x - 72 \le 0 \)

\( x \le 18 \)

Bulduğumuz aralıkların kesişimi denklem sisteminin çözüm kümesini verir.

\( 3 \le x \le 18 \)

\( x \)'in bu aralıkta alabileceği \( 18 - 3 + 1 = 16 \) farklı tam sayı değeri vardır.

İfadeyi düzenleyelim.

\( \sqrt{(x - z)^2} - \sqrt{(x + y - z)^2} + \sqrt{(3 - x)^2} \)

Bir ifadenin karesinin karekökü o ifadenin mutlak değerine eşittir.

\( = \abs{x - z} - \abs{x + y - z} + \abs{3 - x} \)

Daha büyük bir sayıdan daha küçük bir sayıyı çıkardığımızda sonuç pozitif olur, dolayısıyla ifade olduğu gibi mutlak değerden çıkar.

Daha küçük bir sayıdan daha büyük bir sayıyı çıkardığımızda sonuç negatif olur, dolayısıyla ifade önüne negatif işareti eklenerek mutlak değerden çıkar.

\( x - z \) ifadesi negatiftir.

\( \abs{x - z} = -(x - z) = z - x \)

\( x + y - z \) ifadesi negatiftir.

\( \abs{x + y - z} = -(x + y - z) = z - x - y \)

\( 3 - x \) ifadesi pozitiftir.

\( \abs{3 - x} = 3 - x \)

Bulduğumuz değerleri yerine koyalım.

\( = (z - x) - (z - x - y) + (3 - x) \)

\( = z - x - z + x + y + 3 - x \)

\( = -x + y + 3 \) bulunur.

Daha büyük bir sayıdan daha küçük bir sayıyı çıkardığımızda sonuç pozitif olur, dolayısıyla ifade olduğu gibi mutlak değerden çıkar.

Daha küçük bir sayıdan daha büyük bir sayıyı çıkardığımızda sonuç negatif olur, dolayısıyla ifade önüne negatif işareti eklenerek mutlak değerden çıkar.

Mutlak değer içindeki ifadeleri işaretlerini dikkate alarak mutlak değer dışına çıkaralım.

(a) seçeneği:

\( 2\abs{a - c} - \abs{b - a} - \abs{b - c} \)

Negatif sayıdan pozitif sayı çıkardığımızda sonuç negatif olur.

\( \abs{a - c} = -(a - c) = c - a \)

Daha büyük sayıdan daha küçük sayı çıkardığımızda sonuç pozitif olur.

\( \abs{b - a} = b - a \)

Negatif sayıdan pozitif sayı çıkardığımızda sonuç negatif olur.

\( \abs{b - c} = -(b - c) = c - b \)

Bulduğumuz değerleri yerine koyalım.

\( = 2(c - a) - (b - a) - (c - b) \)

\( = 2c - 2a - b + a - c + b \)

\( = -a + c \)

(b) seçeneği:

\( \abs{a - 6} + \abs{b + a} - 3\abs{a - b - 2} \)

Negatif sayıdan pozitif sayı çıkardığımızda sonuç negatif olur.

\( \abs{a - 6} = -(a - 6) = 6 - a \)

Negatif sayıların toplamı negatiftir.

\( \abs{b + a} = -(b + a) = -b - a \)

\( a \lt b \) olduğu için \( a - b \) negatiftir, bu değerden pozitif bir sayı çıkardığımızda sonuç yine negatif olur.

\( \abs{a - b - 2} = -(a - b - 2) = -a + b + 2 \)

Bulduğumuz değerleri yerine koyalım.

\( = (6 - a) + (-b - a) - 3(-a + b + 2) \)

\( = 6 - a - b - a + 3a - 3b - 6 \)

\( = a - 4b \)

(c) seçeneği:

\( \abs{c - 2b} - \abs{-c + a} + \abs{a - 2c} \)

Pozitif sayıdan negatif sayı çıkardığımızda sonuç pozitif olur.

\( \abs{c - 2b} = c - 2b \)

Negatif sayıların toplamı negatiftir.

\( \abs{-c + a} = -(-c + a) = c - a \)

Negatif sayıdan pozitif sayı çıkardığımızda sonuç negatif olur.

\( \abs{a - 2c} = -(a - 2c) = 2c - a \)

Bulduğumuz değerleri yerine koyalım.

\( = (c - 2b) - (c - a) + (2c - a) \)

\( = c - 2b - c + a + 2c - a \)

\( = -2b + 2c \)

\( a \) en küçük değerini mutlak değer ifadesi en küçük değerini aldığında alır.

Bir mutlak değer ifadesi negatif olamayacağı için alabileceği en küçük değer sıfırdır.

\( \abs{9b - 45} = 0 \)

\( 9b - 45 \) ifadesi sıfır yapan \( b \) değerini bulalım.

\( 9b - 45 = 0 \)

\( b = 5 \)

\( b = 5 \) için \( a \) değerini bulalım.

\( a = 0 - 41 = -41 \)

\( a \)'nın en küçük değeri için \( ab \) çarpımını bulalım.

\( ab = 5 \cdot (-41) = -205 \) bulunur.

Bir sayının mutlak değeri kendisinden büyükse sayı negatiftir.

\( x \lt \abs{x} \Longrightarrow x \lt 0 \)

Bir sayı mutlak değerinden büyük ya da ona eşitse sayı pozitif ya da sıfırdır.

\( \abs{y} \le y \Longrightarrow y \ge 0 \)

Köklü ifadelerin içini düzenleyelim.

\( \sqrt[3]{-8y^3} - \sqrt{x^2 - 2xy + y^2} = \sqrt[3]{(-2y)^3} - \sqrt{(x - y)^2} \)

Köklü ifadeleri kök dışına çıkaralım.

Birinci ifade tek dereceli kök içinden olduğu gibi, ikinci ifade çift dereceli kök içinden mutlak değer içinde çıkar.

\( = -2y - \abs{x - y} \)

Daha küçük bir sayıdan daha büyük bir sayıyı çıkardığımızda sonuç negatif olur, dolayısıyla ifade önüne negatif işareti eklenerek mutlak değerden çıkar.

\( = -2y - [-(x - y)] \)

\( = -2y + x - y \)

\( = x - 3y \) bulunur.

Bir mutlak değer ifadesi pozitif ya da sıfır olabilir.

(a) seçeneği:

\( \abs{2x - 8} \ge 0 \)

Eşitsizliğin taraflarına 5 ekleyelim.

\( \abs{2x - 8} + 5 \ge 5 \)

(b) seçeneği:

\( \abs{x + 7} \ge 0 \)

Eşitsizliğin taraflarını \( -1 \) ile çarpalım.

\( -\abs{x + 7} \le 0 \)

Eşitsizliğin taraflarına 3 ekleyelim.

\( 3 - \abs{x + 7} \le 3 \)

(c) seçeneği:

\( \abs{4 - 5x} \ge 0 \)

Eşitsizliğin taraflarını 3 ile çarpalım.

\( 3\abs{4 - 5x} \ge 0 \)

Eşitsizliğin taraflarından 10 çıkaralım.

\( 3\abs{4 - 5x} - 10 \ge -10 \)

I. öncül:

Bir sayı mutlak değerinden küçükse sayı negatiftir.

\( (x \lt \abs{x}) \Longrightarrow (x \lt 0) \)

Bir sayı negatif ise mutlak değerinden küçüktür.

\( (x \lt \abs{x}) \Longleftarrow (x \lt 0) \)

I. öncül her \( x \) için doğrudur.

II. öncül:

Bir sayı mutlak değerine eşit ise negatif olamaz, dolayısıyla pozitif ya da sıfırdır.

\( (x = \abs{x}) \Longrightarrow (x \ge 0) \)

Bir sayı pozitif ya da sıfır ise mutlak değerine eşittir.

\( (x = \abs{x}) \Longleftarrow (x \ge 0) \)

II. öncül her \( x \) için doğrudur.

III. öncül:

Bir sayı mutlak değerinin negatifinden büyükse pozitiftir.

\( (-\abs{x} \lt x) \Longrightarrow (x \gt 0) \)

Bir sayı pozitif ise mutlak değerinin negatifi negatiftir, dolayısıyla bu sayıdan büyüktür.

\( (-\abs{x} \lt x) \Longleftarrow (x \gt 0) \)

III. öncül her \( x \) için doğrudur.

IV. öncül:

Bir sayı mutlak değerinin negatifinden küçük ya da ona eşitse negatif ya da sıfırdır.

\( (x \le -\abs{x}) \Longrightarrow (x \le 0) \)

Bir sayı negatif ya da sıfır ise mutlak değerinin negatifine eşittir.

\( (x \le -\abs{x}) \Longleftarrow (x \le 0) \)

IV. öncül her \( x \) için doğrudur.

Buna göre öncüllerin tümü her \( x \) için doğrudur.

Verilen eşitsizliğe göre \( x, y, z \) arasındaki sıralama aşağıdaki gibi olur.

\( z \lt y \lt x \lt 0 \)

Değer vererek de bu eşitsizliğin sağlandığı görülebilir.

\( -3 \lt -2 \lt -1 \lt 0 \)

\( -\dfrac{1}{1} \lt -\dfrac{1}{2} \lt -\dfrac{1}{3} \)

Mutlak değer içindeki ifadeleri işaretlerini dikkate alarak mutlak değer dışına çıkaralım.

Negatif sayıların toplamı negatiftir.

\( \abs{x + y} = -(x + y) \)

Daha küçük sayıdan daha büyük sayı çıkardığımızda sonuç negatif olur.

\( \abs{z - y} = -(z - y) = y - z \)

Daha büyük sayıdan daha küçük sayı çıkardığımızda sonuç pozitif olur.

\( \abs{x - z} = x - z \)

Bulduğumuz değerleri yerine koyalım.

\( \abs{x + y} + \abs{z - y} - \abs{x - z} \)

\( = -(x + y) + (y - z) - (x - z) \)

\( = -x - y + y - z - x + z \)

\( = -2x \) bulunur.

Bir mutlak değer ifadesi negatif olamayacağı için alabileceği en küçük değer sıfırdır.

\( \abs{3x - 7y} = 0 \)

\( 3x - 7y = 0 \)

\( 3x = 7y \)

Bulduğumuz değeri verilen ifadede yerine yazalım.

\( \dfrac{14x - 28y}{15x + 42y} = \dfrac{14x - 4(7y)}{15x + 6(7y)} \)

\( = \dfrac{14x - 4(3x)}{15x + 6(3x)} \)

\( = \dfrac{14x - 12x}{15x + 18x} \)

\( = \dfrac{2x}{33x} = \dfrac{2}{33} \) bulunur.

Üçgende açı - kenar bağıntılarına göre, daha büyük (küçük) olan açı daha uzun (kısa) olan kenarı görür.

Verilen üçgenin kenar ve açıları arasındaki ilişkileri buna göre inceleyelim.

\( m(\hat{B}) = 180 - 45 - 38 = 97° \)

Üçgenin iç açıları arasındaki sıralama aşağıdaki gibidir.

\( m(\hat{C}) \lt m(\hat{A}) \lt m(\hat{B}) \)

Buna göre, üçgenin kenar uzunlukları arasındaki sıralama aşağıdaki gibi olur.

\( c \lt a \lt b \)

Mutlak değer ifadelerinin işaretlerini buna göre düzenleyelim.

\( \abs{b - a} + \abs{c + a} - \abs{c - b} \)

\( = (b - a) + (c + a) - [-(c - b)] \)

\( = (b - a) + (c + a) + (c - b) \)

\( = 2c \) bulunur.

Taban ve üs birer pozitif tam sayı olmak üzere, 64 sayısını 4 farklı şekilde yazabiliriz.

\( 64 = 2^6 = 4^3 = 8^2 = 64^1 \)

Her bir durum için \( x \) ve \( y \) değerlerini bulalım.

Durum 1:

\( 64 = 2^6 \)

\( \abs{x - 1} = 2 \Longrightarrow x \in \{-1, 3\} \)

\( \abs{y + 2} = 6 \Longrightarrow y \in \{-8, 4\} \)

Bu durum için \( xy \) çarpımının en küçük değeri \( -8 \cdot 3 = -24 \) olur.

Durum 2:

\( 64 = 4^3 \)

\( \abs{x - 1} = 4 \Longrightarrow x \in \{-3, 5\} \)

\( \abs{y + 2} = 3 \Longrightarrow y \in \{-5, 1\} \)

Bu durum için \( xy \) çarpımının en küçük değeri \( -5 \cdot 5 = -25 \) olur.

Durum 3:

\( 64 = 8^2 \)

\( \abs{x - 1} = 8 \Longrightarrow x \in \{-7, 9\} \)

\( \abs{y + 2} = 2 \Longrightarrow y \in \{-4, 0\} \)

Bu durum için \( xy \) çarpımının en küçük değeri \( -4 \cdot 9 = -36 \) olur.

Durum 4:

\( 64 = 64^1 \)

\( \abs{x - 1} = 64 \Longrightarrow x \in \{-63, 65\} \)

\( \abs{y + 2} = 1 \Longrightarrow y \in \{-3, -1\} \)

Bu durum için \( xy \) çarpımının en küçük değeri \( -3 \cdot 65 = -195 \) olur.

Buna göre \( xy \) çarpımının en küçük değeri \( -195 \) olur.

Mutlak değerin uzaklık tanımına göre, \( \abs{x - y} \) ifadesi sayı doğrusu üzerinde \( x \) ve \( y \) noktaları arasındaki uzaklığı ifade eder.

Sayı doğrusu üzerinde temsili bir \( n \) noktası belirleyelim ve \( \abs{m - n} = 2 \) eşitliğini kullanarak \( n \) noktasına 2 birim uzaklıktaki \( m \) noktalarını işaretleyelim (\( m_1, m_2 \)).

Daha sonra \( \abs{l - m} = 3 \) eşitliğini kullanarak \( m \) noktalarına 3 birim uzaklıktaki \( l \) noktalarını işaretleyelim (\( l_1, l_2, l_3, l_4 \)).

Son olarak \( \abs{k - l} = 1 \) eşitliğini kullanarak \( l \) noktalarına 1 birim uzaklıktaki \( k \) noktalarını işaretleyelim (\( k_1, k_2, \ldots, k_8 \)).

Buna göre farklı \( \abs{k - n} \) değerleri (yani iki nokta arasındaki tüm farklı uzaklıklar) aşağıdaki gibi olur.

\( \{ 0, 2, 4, 6 \} \)

Bu değerlerin toplamı \( 0 + 2 + 4 + 6 = 12 \) olarak bulunur.