Tüm terimleri aynı tarafta toplandığında
Rasyonel eşitsizliklerin çözüm kümesi test değeri vererek ve işaret tablosu yardımıyla olmak üzere iki yöntemle bulunabilir. Rasyonel fonksiyonların grafiklerinin çizimi polinom fonksiyonlarına göre daha kapsamlı bir analiz gerektirdiği için, grafik yöntemi eşitsizlik çözümünde pratik bir seçenek olmamaktadır.
Hem test değeri hem de işaret tablosu yöntemlerinde uygulanan adımlar bir konu dışında polinom eşitsizliklerinde kullanılan yöntemlerle aynıdır.
Bu yöntemde rasyonel ifadenin payında ve paydasındaki her bir çarpanı sıfır yapan kritik noktalar bulunur ve bu noktaların oluşturduğu aralıkların her birinden seçilen birer test değeri rasyonel ifadede yerine konarak ifadenin ilgili aralıktaki işareti bulunur.
Adım 1: Her bir çarpanı sıfır yapan kritik noktalar ve bu noktaların reel sayı doğrusunda oluşturduğu aralıklar belirlenir.
Her bir çarpanı sıfır yapan
Bu kritik noktalar reel sayı doğrusunda
Adım 2: Kritik noktaların oluşturduğu aralıklardan birer test değeri seçilir ve bu değerler için fonksiyonun işareti bulunur.
Bu aralıkların her birinden test değeri olarak
Seçtiğimiz test değerleri için fonksiyonun işaretini bulalım.
Adım 3: Fonksiyonun test değerlerindeki işaretine göre bir tablo hazırlanır.
Bu tabloda paydadaki bir çarpanı sıfır yapan kritik değerler hiçbir durumda çözüm kümesine dahil olamayacağı için "X" ile, paydadaki bir çarpanı sıfır yapmadan paydaki bir çarpanı sıfır yapan değerler "0" ile işaretlenir.
Adım 4: Eşitsizliğin çözüm kümesi bulunur.
Fonksiyonun farklı aralıklardaki işaretine ve eşitsizlik sembolüne göre çözüm kümesi bulunur.
Verilen eşitsizlikte
Çözüm kümesi:
Rasyonel eşitsizliklerin çözüm kümesi, ikinci dereceden ve polinom eşitsizliklerinin çözümüne benzer şekilde bir işaret tablosu yardımıyla da bulunabilir.
Bu yöntemi yukarıda kullandığımız örneğe uygulayalım.
Adım 1: Her bir çarpanı sıfır yapan kritik noktalar belirlenir ve işaret tablosunda işaretlenir.
Eşitsizliğin kritik noktaları her bir çarpanı sıfır yapan
Bu kritik noktalar reel sayı doğrusunda
Adım 2: Pay ve paydadaki çarpanlar ve her aralıktaki işaretleri tabloya birer satır olarak eklenir.
Adım 3: Rasyonel ifadenin kendisi ve her aralıktaki işareti tabloya eklenir.
Rasyonel ifadenin her aralıktaki işareti, çarpanların ilgili aralıktaki işaretlerinin çarpımına eşittir.
Örneğin
Bu tabloda paydadaki bir çarpanı sıfır yapan kritik değerler hiçbir durumda çözüm kümesine dahil olamayacağı için "X" ile, paydadaki bir çarpanı sıfır yapmadan paydaki bir çarpanı sıfır yapan değerler "0" ile işaretlenir.
Adım 4: Eşitsizliğin çözüm kümesi bulunur.
Rasyonel ifadenin farklı aralıklardaki işaretine ve eşitsizlik sembolüne göre çözüm kümesi bulunur.
Verilen eşitsizlikte
Çözüm kümesi:
Eşitsizliğin tüm terimlerini sol tarafta toplayalım.
Tüm terimleri tek paydada birleştirelim.
Pay ve paydadaki her bir çarpanı sıfır yapan
Bu kritik noktalar reel sayı doğrusunda
Bir işaret tablosu hazırlayalım.
Pay ve paydadaki çarpanları ve her aralıktaki işaretlerini tabloya birer satır olarak ekleyelim.
Rasyonel ifadenin her aralıktaki işareti, çarpanların ilgili aralıktaki işaretlerinin çarpımına eşittir.
Rasyonel ifade paydayı sıfır yapan
Verilen eşitsizlikte
Çözüm kümesi:
Eşitsizliğin tüm terimlerini sol tarafta toplayalım.
Tüm terimleri tek paydada birleştirelim.
Pay ve paydadaki her bir çarpanı sıfır yapan
Paydadaki ikinci dereceden ifadenin deltası sıfırdan küçük olduğu için bu ifadeyi sıfır yapan bir
Bu kritik noktalar reel sayı doğrusunda
Bir işaret tablosu hazırlayalım.
Pay ve paydadaki çarpanları ve her aralıktaki işaretlerini tabloya birer satır olarak ekleyelim.
Rasyonel ifadenin her aralıktaki işareti, çarpanların ilgili aralıktaki işaretlerinin çarpımına eşittir.
Rasyonel ifadede payı sıfır yapan
Verilen eşitsizlikte
Çözüm kümesi:
Eşitsizliğin tüm terimlerini sol tarafta toplayalım.
Tüm terimleri tek paydada birleştirelim.
Pay ve paydadaki her bir çarpanı sıfır yapan
Bu kritik noktalar reel sayı doğrusunda
Bir işaret tablosu hazırlayalım.
Pay ve paydadaki çarpanları ve her aralıktaki işaretlerini tabloya birer satır olarak ekleyelim.
Rasyonel ifadenin her aralıktaki işareti, çarpanların ilgili aralıktaki işaretlerinin çarpımına eşittir.
Rasyonel ifade paydayı sıfır yapan
Verilen eşitsizlikte
Çözüm kümesi:
Eşitsizliğin tüm terimlerini sol tarafta toplayalım.
Tüm terimleri tek paydada birleştirelim.
Eşitsizliğin taraflarını
Bir eşitsizliğin her iki tarafı aynı negatif reel sayıyla çarpıldığında eşitsizlik yön değiştirir.
Pay ve paydadaki her bir çarpanı sıfır yapan
Bu kritik noktalar reel sayı doğrusunda
Bir işaret tablosu hazırlayalım.
Pay ve paydadaki çarpanları ve her aralıktaki işaretlerini tabloya birer satır olarak ekleyelim.
Rasyonel ifadenin her aralıktaki işareti, çarpanların ilgili aralıktaki işaretlerinin çarpımına eşittir.
Rasyonel ifade paydayı sıfır yapan
Verilen eşitsizlikte
Çözüm kümesi:
Pay ve paydayı sıfır yapan
Bu kritik noktalar reel sayı doğrusunda
Bir işaret tablosu hazırlayalım.
Pay ve paydadaki çarpanları ve her aralıktaki işaretlerini tabloya birer satır olarak ekleyelim.
Rasyonel ifadenin her aralıktaki işareti, çarpanların ilgili aralıktaki işaretlerinin çarpımına eşittir.
Rasyonel ifade paydayı sıfır yapan
Verilen eşitsizlikte
Çözüm kümesi:
Çözüm kümesinde bulunan tam sayıları listeleyelim.
Buna göre, eşitsizliğini sağlayan 8 tane
Eşitsizlikteki ifadeleri çarpanlarına ayıralım.
Eşitsizliğin taraflarını
Bir eşitsizliğin her iki tarafı aynı negatif reel sayıyla çarpıldığında eşitsizlik yön değiştirir.
Pay ve paydadaki birer
Pay ve paydadaki her bir çarpanı sıfır yapan
Bu kritik noktalar reel sayı doğrusunda
Bir işaret tablosu hazırlayalım.
Pay ve paydadaki çarpanları ve her aralıktaki işaretlerini tabloya birer satır olarak ekleyelim.
Rasyonel ifadenin her aralıktaki işareti, çarpanların ilgili aralıktaki işaretlerinin çarpımına eşittir.
Rasyonel ifade paydayı sıfır yapan
Verilen eşitsizlikte
Çözüm kümesi:
Pay ve paydadaki her bir çarpanı sıfır yapan
Bu kritik noktalar reel sayı doğrusunda
Bir işaret tablosu hazırlayalım.
Pay ve paydadaki çarpanları ve her aralıktaki işaretlerini tabloya birer satır olarak ekleyelim.
Rasyonel ifadenin her aralıktaki işareti, çarpanların ilgili aralıktaki işaretlerinin çarpımına eşittir.
Rasyonel ifade paydayı sıfır yapan
Verilen eşitsizlikte
Çözüm kümesi:
Eşitsizliğin tüm terimlerini sol tarafta toplayalım.
Mutlak değer içini sıfır yapan noktalar mutlak değer ifadesinin kritik noktalarıdır.
Kritik noktanın oluşturduğu iki aralık için eşitsizliği ayrı ayrı çözelim.
Durum 1:
Bu durumda mutlak değer içindeki ifade negatif olur ve mutlak değer dışına negatif işaretli çıkar.
Pay ve paydadaki her bir çarpanı sıfır yapan
Bu kritik noktalar reel sayı doğrusunda
Bir işaret tablosu hazırlayalım.
Pay ve paydadaki çarpanları ve her aralıktaki işaretlerini tabloya birer satır olarak ekleyelim.
Rasyonel ifadenin her aralıktaki işareti, çarpanların ilgili aralıktaki işaretlerinin çarpımına eşittir.
Rasyonel ifade paydayı sıfır yapan
Verilen eşitsizlikte
Bu aralık ile
Durum 2:
Bu durumda mutlak değer içindeki ifade sıfır ya da pozitif olur ve mutlak değer dışına olduğu gibi çıkar.
Pay ve paydadaki her bir çarpanı sıfır yapan
Bu kritik noktalar reel sayı doğrusunda
Bir işaret tablosu hazırlayalım.
Pay ve paydadaki çarpanları ve her aralıktaki işaretlerini tabloya birer satır olarak ekleyelim.
Rasyonel ifadenin her aralıktaki işareti, çarpanların ilgili aralıktaki işaretlerinin çarpımına eşittir.
Rasyonel ifade paydayı sıfır yapan
Verilen eşitsizlikte
Bu aralık ile
Eşitsizliğin çözüm kümesi yukarıdaki iki aralık için bulduğumuz çözüm aralıklarının birleşim kümesidir.
Çözüm kümesi:
Eşitsizliğin tüm terimlerini sol tarafta toplayalım.
Mutlak değer içini sıfır yapan noktalar mutlak değer ifadesinin kritik noktalarıdır.
Kritik noktanın oluşturduğu iki aralık için eşitsizliği ayrı ayrı çözelim.
Durum 1:
Bu durumda mutlak değer içindeki ifade negatif olur ve mutlak değer dışına negatif işaretli çıkar.
Pay ve paydadaki her bir çarpanı sıfır yapan
Bu kritik noktalar reel sayı doğrusunda
Bir işaret tablosu hazırlayalım.
Pay ve paydadaki çarpanları ve her aralıktaki işaretlerini tabloya birer satır olarak ekleyelim.
Rasyonel ifadenin her aralıktaki işareti, çarpanların ilgili aralıktaki işaretlerinin çarpımına eşittir.
Rasyonel ifade paydayı sıfır yapan
Verilen eşitsizlikte
Bu aralık ile
Durum 2:
Bu durumda mutlak değer içindeki ifade sıfır ya da pozitif olur ve mutlak değer dışına olduğu gibi çıkar.
Her bir çarpanı sıfır yapan
Bu kritik noktalar reel sayı doğrusunda
Bir işaret tablosu hazırlayalım.
Pay ve paydadaki çarpanları ve her aralıktaki işaretlerini tabloya birer satır olarak ekleyelim.
Rasyonel ifadenin her aralıktaki işareti, çarpanların ilgili aralıktaki işaretlerinin çarpımına eşittir.
Rasyonel ifade paydayı sıfır yapan
Verilen eşitsizlikte
Bu aralık ile
Eşitsizliğin çözüm kümesi yukarıdaki iki aralık için bulduğumuz çözüm aralıklarının birleşim kümesidir.
Çözüm kümesi:
eşitsizlik sisteminin çözüm kümesini bulunuz.
Çözümü GösterHer eşitsizliğin çözüm kümesini ayrı ayrı bulup kesişim kümesini alalım.
Eşitsizlik 1:
Pay ve paydadaki her bir çarpanı sıfır yapan
Bu kritik noktalar reel sayı doğrusunda
Bir işaret tablosu hazırlayalım.
Pay ve paydadaki çarpanları ve her aralıktaki işaretlerini tabloya birer satır olarak ekleyelim.
Rasyonel ifadenin her aralıktaki işareti, çarpanların ilgili aralıktaki işaretlerinin çarpımına eşittir.
Rasyonel ifade paydayı sıfır yapan
Verilen eşitsizlikte
Eşitsizlik 2:
Pozitif başkatsayılı ve birbirinden farklı iki reel kökü olan ikinci dereceden bir ifade kök değerlerinde sıfır, köklerin arasındaki aralıkta negatif, dışındaki aralıkta pozitif olur.
Verilen eşitsizlikte
Eşitsizlik sisteminin çözüm kümesi her iki eşitsizliğin çözüm kümelerinin kesişim kümesidir.
Çözüm kümesi: