Mutlak Değer Fonksiyonunun Parçalı Yazılışı
Mutlak değer fonksiyonları mutlak değer içindeki ifadelerin işaretine göre farklı şekilde hesaplandıkları için birer parçalı fonksiyon şeklinde yazılabilirler.
Bir mutlak değer fonksiyonu aşağıdaki adımlarla parçalı fonksiyon şeklinde yazılabilir.
- Mutlak değer ifadelerini sıfır yapan kritik noktalar belirlenir. \( n \) tane farklı kritik nokta sayı doğrusunu \( n + 1 \) aralığa böler.
- Her bir mutlak değer ifadesinin bu aralıklardaki işareti belirlenir. Bunun için ifadelere her aralıkta bir değer verilebilir ya da (biliniyorsa) ifadelerin grafik bilgisi kullanılabilir.
- Her aralıktaki işaret bilgileri doğrultusunda mutlak değer fonksiyonunun her aralıktaki tanımı belirlenir.
- Her aralık için elde edilen tanımlar bir parçalı fonksiyon şeklinde yazılır.
Fonksiyon birden fazla mutlak değer ifadesi içeriyorsa farklı aralıklardaki işaretleri birlikte takip etmek için işaret tablosu kullanmak oldukça kullanışlıdır.
\( ax + b \) formundaki doğrusal ifadeler, \( a \gt 0 \) ise kritik noktanın solunda negatif, sağında pozitif, \( a \lt 0 \) ise kritik noktanın solunda pozitif, sağında negatif olur.
\( f(x) = \abs{2x - 6} \) fonksiyonunu parçalı fonksiyon şeklinde yazalım.
Bir mutlak değer ifadesinin kritik noktaları mutlak değer içini sıfır yapan \( x \) değerleridir.
\( 2x - 6 = 0 \Longrightarrow x = 3 \)
Pozitif başkatsayılı \( 2x - 6 \) ifadesi kritik noktanın solunda negatif, sağında pozitif olur.
Buna göre fonksiyonun parçalı fonksiyon tanımı aşağıdaki gibi olur.
\( f(x) = \begin{cases} -(2x - 6) & x \lt 3 \\ 2x - 6 & x \ge 3 \end{cases} \)
\( = \begin{cases} 6 - 2x & x \lt 3 \\ 2x - 6 & x \ge 3 \end{cases} \)
\( f(x) = \abs{8 - 4x} \) fonksiyonunu parçalı fonksiyon şeklinde yazalım.
Bir mutlak değer ifadesinin kritik noktaları mutlak değer içini sıfır yapan \( x \) değerleridir.
\( 8 - 4x = 0 \Longrightarrow x = 2 \)
Negatif başkatsayılı \( 8 - 4x \) ifadesi kritik noktanın solunda pozitif, sağında negatif olur.
Buna göre fonksiyonun parçalı fonksiyon tanımı aşağıdaki gibi olur.
\( f(x) = \begin{cases} 8 - 4x & x \lt 2 \\ -(8 - 4x) & x \ge 2 \end{cases} \)
\( = \begin{cases} 8 - 4x & x \lt 2 \\ 4x - 8 & x \ge 2 \end{cases} \)
Birden fazla mutlak değer ifadesi içeren fonksiyonlara bir örnek verelim.
\( f(x) = 2\abs{x + 3} - 3\abs{4 - x} \) fonksiyonunu parçalı fonksiyon şeklinde yazalım.
Bir mutlak değer ifadesinin kritik noktaları mutlak değer içini sıfır yapan \( x \) değerleridir.
\( x + 3 = 0 \Longrightarrow x = -3 \)
Pozitif başkatsayılı \( x + 3 \) ifadesi kritik noktanın solunda negatif, sağında pozitif olur.
\( 4 - x = 0 \Longrightarrow x = 4 \)
Negatif başkatsayılı \( 4 - x \) ifadesi kritik noktanın solunda pozitif, sağında negatif olur.
Mutlak değer ifadelerini ve her aralıktaki işaretlerini bir işaret tablosu üzerinde gösterelim.
Buna göre fonksiyonun parçalı fonksiyon tanımı aşağıdaki gibi olur.
\( f(x) = \begin{cases} x - 18 & x \lt -3 \\ 5x - 6 & -3 \le x \lt 4 \\ -x + 18 & x \ge 4 \end{cases} \)
Daha yüksek dereceden polinom ifadelerinde ifade önce çarpanlarına ayrılır, daha sonra yukarıda verdiğimiz yöntem uygulanır. Reel kökü olmayan ikinci dereceden bir ifade her \( x \) için aynı işarette olduğundan, başkatsayısı pozitifse olduğu gibi, negatifse önünde negatif işareti ile mutlak değerden çıkarılabilir.
\( f(x) = \abs{x^2 - x - 6} - 4x \) fonksiyonunu parçalı fonksiyon şeklinde yazalım.
İkinci dereceden ifadeyi çarpanlarına ayıralım.
\( f(x) = \abs{(x + 2)(x - 3)} - 4x \)
İki ifadenin çarpımının mutlak değeri, mutlak değerlerinin çarpımına eşittir.
\( = \abs{x + 2}\abs{x - 3} - 4x \)
Bir mutlak değer ifadesinin kritik noktaları mutlak değer içini sıfır yapan \( x \) değerleridir.
\( x + 2 = 0 \Longrightarrow x = -2 \)
Pozitif başkatsayılı \( x + 2 \) ifadesi kritik noktanın solunda negatif, sağında pozitif olur.
\( x - 3 = 0 \Longrightarrow x = 3 \)
Pozitif başkatsayılı \( x - 3 \) ifadesi kritik noktanın solunda negatif, sağında pozitif olur.
Mutlak değer ifadelerini ve her aralıktaki işaretlerini bir işaret tablosu üzerinde gösterelim.
Buna göre fonksiyonun parçalı fonksiyon tanımı aşağıdaki gibi olur.
\( f(x) = \begin{cases} x^2 - 5x - 6 & x \lt -2 \\ -x^2 - 3x + 6 & -2 \le x \lt 3 \\ x^2 - 5x - 6 & x \ge 3 \end{cases} \)
Aynı yöntem doğrusal veya polinom olmayan ifadeler için de kullanılabilir. Bunun için mutlak değer içindeki ifadelerin sıfırları ve aralıklardaki işaretleri belirlenir.
\( f: (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}) \to \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( f(x) = \abs{e^x - e} + \abs{\tan{x}} \) fonksiyonunu parçalı fonksiyon şeklinde yazalım.
Bir mutlak değer ifadesinin kritik noktaları mutlak değer içini sıfır yapan \( x \) değerleridir.
\( e^x - e = 0 \Longrightarrow x = 1 \)
Tüm reel sayılarda artan \( e^x - e \) ifadesi kritik noktanın solunda negatif, sağında pozitif olur.
\( \tan{x} = 0 \Longrightarrow x = 0 \)
\( (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}) \) aralığında artan \( \tan{x} \) ifadesi kritik noktanın solunda negatif, sağında pozitif olur.
Mutlak değer ifadelerini ve her aralıktaki işaretlerini bir işaret tablosu üzerinde gösterelim.
Buna göre fonksiyonun parçalı fonksiyon tanımı aşağıdaki gibi olur.
\( f(x) = \begin{cases} -(e^x - e) - \tan{x} & -\frac{\pi}{2} \lt x \lt 0 \\ -(e^x - e) + \tan{x} & 0 \le x \lt 1 \\ e^x - e + \tan{x} & 1 \le x \lt \frac{\pi}{2} \end{cases} \)
İç İçe Mutlak Değer İfadeleri
İç içe mutlak değer ifadeleri içeren fonksiyonlarda yukarıda paylaştığımız yöntem, en içten en dışa doğru ve her adımda bir mutlak değer ifadesi parçalı fonksiyona dönüştürülerek uygulanır.
\( f(x) = \abs{\abs{x - 2} - 3} \) fonksiyonunu parçalı fonksiyon şeklinde yazalım.
Bir mutlak değer ifadesinin kritik noktaları mutlak değer içini sıfır yapan \( x \) değerleridir.
İçteki mutlak değer:
İlk adımda fonksiyonu içteki mutlak değerden kurtaralım.
\( x - 2 = 0 \Longrightarrow x = 2 \)
Pozitif başkatsayılı \( x - 2 \) ifadesi kritik noktanın solunda negatif, sağında pozitif olur.
Buna göre fonksiyonun içteki mutlak değerden kurtulmuş parçalı fonksiyon tanımı aşağıdaki gibi olur.
\( f(x) = \begin{cases} \abs{-(x - 2) - 3} & x \lt 2 \\ \abs{(x - 2) - 3} & x \ge 2 \end{cases} \)
\( = \begin{cases} \abs{x + 1} & x \lt 2 \\ \abs{x - 5} & x \ge 2 \end{cases} \)
Dıştaki mutlak değer:
İkinci adımda fonksiyonu dıştaki mutlak değerden kurtaralım.
\( x + 1 = 0 \Longrightarrow x = -1 \)
\( x = -1 \) değeri bu tanımın geçerli olduğu \( x \lt 2 \) aralığında bulunduğu için bu aralığı ikiye böler.
Pozitif başkatsayılı \( x + 1 \) ifadesi kritik noktanın solunda negatif, sağında pozitif olur.
\( x - 5 = 0 \Longrightarrow x = 5 \)
\( x = 5 \) değeri bu tanımın geçerli olduğu \( x \ge 2 \) aralığında bulunduğu için bu aralığı ikiye böler.
Pozitif başkatsayılı \( x - 5 \) ifadesi kritik noktanın solunda negatif, sağında pozitif olur.
Buna göre fonksiyonun parçalı fonksiyon tanımı aşağıdaki gibi olur.
\( f(x) = \begin{cases} -(x + 1) & x \lt -1 \\ x + 1 & -1 \le x \lt 2 \\ -(x - 5) & 2 \le x \lt 5 \\ x - 5 & x \ge 5 \end{cases} \)
\( = \begin{cases} -x - 1 & x \lt -1 \\ x + 1 & -1 \le x \lt 2 \\ -x + 5 & 2 \le x \lt 5 \\ x - 5 & x \ge 5 \end{cases} \)
Aşağıdaki fonksiyonları parçalı fonksiyon şeklinde yazınız.
(a) \( f(x) = \abs{x + 1} + 2x \)
(b) \( g(x) = x^2 - 2\abs{2 - x} \)
(c) \( h(x) = 3\abs{x} - 3x \)
Çözümü Göster(a) seçeneği:
\( f(x) = \abs{x + 1} + 2x \)
Bir mutlak değer ifadesinin kritik noktaları mutlak değer içini sıfır yapan \( x \) değerleridir.
\( x + 1 = 0 \Longrightarrow x = -1 \)
Pozitif başkatsayılı \( x + 1 \) ifadesi kritik noktanın solunda negatif, sağında pozitif olur.
Buna göre fonksiyonun parçalı fonksiyon tanımı aşağıdaki gibi olur.
\( f(x) = \begin{cases} -(x + 1) + 2x & x \lt -1 \\ (x + 1) + 2x & x \ge -1 \end{cases} \)
\( = \begin{cases} x - 1 & x \lt -1 \\ 3x + 1 & x \ge -1 \end{cases} \)
(b) seçeneği:
\( g(x) = x^2 - 2\abs{2 - x} \)
Bir mutlak değer ifadesinin kritik noktaları mutlak değer içini sıfır yapan \( x \) değerleridir.
\( 2 - x = 0 \Longrightarrow x = 2 \)
Negatif başkatsayılı \( 2 - x \) ifadesi kritik noktanın solunda pozitif, sağında negatif olur.
Buna göre fonksiyonun parçalı fonksiyon tanımı aşağıdaki gibi olur.
\( g(x) = \begin{cases} x^2 - 2(2 - x) & x \lt 2 \\ x^2 + 2(2 - x) & x \ge 2 \end{cases} \)
\( = \begin{cases} x^2 + 2x - 4 & x \lt 2 \\ x^2 - 2x + 4 & x \ge 2 \end{cases} \)
(c) seçeneği:
\( h(x) = 3\abs{x} - 3x \)
Bir mutlak değer ifadesinin kritik noktaları mutlak değer içini sıfır yapan \( x \) değerleridir.
\( x = 0 \)
Pozitif başkatsayılı \( x \) ifadesi kritik noktanın solunda negatif, sağında pozitif olur.
Buna göre fonksiyonun parçalı fonksiyon tanımı aşağıdaki gibi olur.
\( h(x) = \begin{cases} -3x - 3x & x \lt 0 \\ 3x - 3x & x \ge 0 \end{cases} \)
\( = \begin{cases} -6x & x \lt 0 \\ 0 & x \ge 0 \end{cases} \)
Aşağıdaki fonksiyonları parçalı fonksiyon şeklinde yazınız.
(a) \( f(x) = x^2 - 3\abs{x - 1} \)
(b) \( g(x) = \abs{5x + 10} - 3x \)
(c) \( h(x) = 4x - \abs{8 - 2x} \)
Çözümü Göster(a) seçeneği:
\( f(x) = x^2 - 3\abs{x - 1} \)
Bir mutlak değer ifadesinin kritik noktaları mutlak değerin içini sıfır yapan \( x \) değerleridir.
\( x - 1 = 0 \Longrightarrow x = 1 \)
Pozitif başkatsayılı \( x - 1 \) ifadesi, kritik noktanın solunda negatif, sağında pozitif olur.
Buna göre fonksiyonun parçalı fonksiyon tanımı aşağıdaki gibi olur.
\( f(x) = \begin{cases} x^2 - 3[-(x - 1)] & x \lt 1 \\ x^2 - 3(x - 1) & x \ge 1 \end{cases} \)
\( = \begin{cases} x^2 + 3x - 3 & x \lt 1 \\ x^2 - 3x + 3 & x \ge 1 \end{cases} \)
(b) seçeneği:
\( g(x) = \abs{5x + 10} - 3x \)
Bir mutlak değer ifadesinin kritik noktaları mutlak değerin içini sıfır yapan \( x \) değerleridir.
\( 5x + 10 = 0 \Longrightarrow x = -2 \)
Pozitif başkatsayılı \( 5x + 10 \) ifadesi, kritik noktanın solunda negatif, sağında pozitif olur.
Buna göre fonksiyonun parçalı fonksiyon tanımı aşağıdaki gibi olur.
\( g(x) = \begin{cases} -(5x + 10) - 3x & x \lt -2 \\ (5x + 10) - 3x & x \ge -2 \end{cases} \)
\( = \begin{cases} -8x - 10 & x \lt -2 \\ 2x + 10 & x \ge -2 \end{cases} \)
(c) seçeneği:
\( h(x) = 4x - \abs{8 - 2x} \)
Bir mutlak değer ifadesinin kritik noktaları mutlak değerin içini sıfır yapan \( x \) değerleridir.
\( 8 - 2x = 0 \Longrightarrow x = 4 \)
Negatif başkatsayılı \( 8 - 2x \) ifadesi, kritik noktanın solunda pozitif, sağında negatif olur.
Buna göre fonksiyonun parçalı fonksiyon tanımı aşağıdaki gibi olur.
\( h(x) = \begin{cases} 4x - (8 - 2x) & x \lt 4 \\ 4x - [-(8 - 2x)] & x \ge 4 \end{cases} \)
\( = \begin{cases} 6x - 8 & x \lt 4 \\ 2x + 8 & x \ge 4 \end{cases} \)
\( f(x) = \abs{6 - 2x} + \abs{x} - \abs{2x + 4} \) fonksiyonunu parçalı fonksiyon şeklinde yazınız.
Çözümü GösterMutlak değer ifadelerinin kritik noktaları, mutlak değer içini sıfır yapan \( x \) değerleridir.
\( 6 - 2x = 0 \Longrightarrow x = 3 \)
Negatif başkatsayılı \( 6 - 2x \) ifadesi, kritik noktanın solunda pozitif, sağında negatif olur.
\( x = 0 \)
Pozitif başkatsayılı \( x \) ifadesi, kritik noktanın solunda negatif, sağında pozitif olur.
\( 2x + 4 = 0 \Longrightarrow x = -2 \)
Pozitif başkatsayılı \( 2x + 4 \) ifadesi, kritik noktanın solunda negatif, sağında pozitif olur.
Mutlak değer ifadelerini ve her aralıktaki işaretlerini bir işaret tablosu üzerinde gösterelim.
Buna göre fonksiyonun parçalı fonksiyon tanımı aşağıdaki gibi olur.
\( f(x) = \begin{cases} 10 - x & x \lt -2 \\ 2 - 5x & -2 \le x \lt 0 \\ 2 - 3x & 0 \le x \lt 3 \\ x - 10 & x \ge 3 \end{cases} \)
\( f(x) = \abs{4 - x^2} + 7x - 5 \) fonksiyonunu parçalı fonksiyon şeklinde yazınız.
Çözümü Gösterİkinci dereceden ifadeyi çarpanlarına ayıralım.
\( f(x) = \abs{(2 - x)(2 + x)} + 7x - 5 \)
İki ifadenin çarpımının mutlak değeri, mutlak değerlerinin çarpımına eşittir.
\( = \abs{2 - x}\abs{2 + x} + 7x - 5 \)
Bir mutlak değer ifadesinin kritik noktaları, mutlak değerin içini sıfır yapan \( x \) değerleridir.
\( 2 - x = 0 \Longrightarrow x = 2 \)
Negatif başkatsayılı \( 2 - x \) ifadesi, kritik noktanın solunda pozitif, sağında negatif olur.
\( 2 + x = 0 \Longrightarrow x = -2 \)
Pozitif başkatsayılı \( 2 + x \) ifadesi, kritik noktanın solunda negatif, sağında pozitif olur.
Mutlak değer ifadelerini ve her aralıktaki işaretlerini bir işaret tablosu üzerinde gösterelim.
Buna göre fonksiyonun parçalı fonksiyon tanımı aşağıdaki gibi olur.
\( f(x) = \begin{cases} x^2 + 7x - 9 & x \lt -2 \\ -x^2 + 7x - 1 & -2 \le x \lt 2 \\ x^2 + 7x - 9 & x \ge 2 \end{cases} \)
\( f(x) = \abs{x^2 + x - 6} - x^2 + 6 \) fonksiyonunu parçalı fonksiyon şeklinde yazınız.
Çözümü Gösterİkinci dereceden ifadeyi çarpanlarına ayıralım.
\( f(x) = \abs{(x + 3)(x - 2)} - x^2 + 6 \)
İki ifadenin çarpımının mutlak değeri, mutlak değerlerinin çarpımına eşittir.
\( = \abs{x + 3}\abs{x - 2} - x^2 + 6 \)
Bir mutlak değer ifadesinin kritik noktaları, mutlak değer içini sıfır yapan \( x \) değerleridir.
\( x + 3 = 0 \Longrightarrow x = -3 \)
Pozitif başkatsayılı \( x + 3 \) ifadesi kritik noktanın solunda negatif, sağında pozitif olur.
\( x - 2 = 0 \Longrightarrow x = 2 \)
Pozitif başkatsayılı \( x - 2 \) ifadesi kritik noktanın solunda negatif, sağında pozitif olur.
Mutlak değer ifadelerini ve her aralıktaki işaretlerini bir işaret tablosu üzerinde gösterelim.
Buna göre fonksiyonun parçalı fonksiyon tanımı aşağıdaki gibi olur.
\( f(x) = \begin{cases} x & x \lt -3 \\ -2x^2 - x + 12 & -3 \le x \lt 2 \\ x & x \ge 2 \end{cases} \)
\( f(x) = \abs{4x - x^3} + 2x + 5 \) fonksiyonunu parçalı fonksiyon şeklinde yazınız.
Çözümü GösterÜçüncü dereceden ifadeyi çarpanlarına ayıralım.
\( f(x) = \abs{x(4 - x^2)} + 2x + 5 \)
\( = \abs{x(2 - x)(2 + x)} + 2x + 5 \)
Üç ifadenin çarpımının mutlak değeri, mutlak değerlerinin çarpımına eşittir.
\( = \abs{x}\abs{2 - x} \abs{2 + x} + 2x + 5 \)
Bir mutlak değer ifadesinin kritik noktaları, mutlak değer içini sıfır yapan \( x \) değerleridir.
\( x = 0 \)
Pozitif başkatsayılı \( x \) ifadesi kritik noktanın solunda negatif, sağında pozitif olur.
\( 2 - x = 0 \Longrightarrow x = 2 \)
Negatif başkatsayılı \( 2 - x \) ifadesi kritik noktanın solunda pozitif, sağında negatif olur.
\( 2 + x = 0 \Longrightarrow x = -2 \)
Pozitif başkatsayılı \( 2 + x \) ifadesi kritik noktanın solunda negatif, sağında pozitif olur.
Mutlak değer ifadelerini ve her aralıktaki işaretlerini bir işaret tablosu üzerinde gösterelim.
Buna göre fonksiyonun parçalı fonksiyon tanımı aşağıdaki gibi olur.
\( f(x) = \begin{cases} -x^3 + 6x + 5 & x \lt -2 \\ x^3 - 2x + 5 & -2 \le x \lt 0 \\ -x^3 + 6x + 5 & 0 \le x \lt 2 \\ x^3 - 2x + 5 & x \ge 2 \end{cases} \)
\( f : \left(-3, \infty\right) \rightarrow \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( f(x) = \abs{\ln(x + 3)} \) fonksiyonunu parçalı fonksiyon şeklinde yazınız.
Çözümü GösterBir mutlak değer ifadesinin kritik noktaları, mutlak değer içini sıfır yapan \( x \) değerleridir.
\( \ln(x + 3) = 0 \)
\( x + 3 = e^0 = 1 \)
\( x = -2 \)
Tüm tanım aralığında artan bir fonksiyon olan \( \ln(x + 3) \) ifadesi, kritik noktanın solunda negatif, sağında pozitif olur.
Buna göre fonksiyonun parçalı fonksiyon tanımı aşağıdaki gibi olur.
\( f(x) = \begin{cases} -\ln(x + 3) & -3 \lt x \lt -2 \\ \ln(x + 3) & x \ge -2 \end{cases} \)
\( f : \left(1, \infty\right) \rightarrow \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( f(x) = \abs{\ln(\ln{x})} \) fonksiyonunu parçalı fonksiyon şeklinde yazınız.
Çözümü GösterBir mutlak değer ifadesinin kritik noktaları, mutlak değer içini sıfır yapan \( x \) değerleridir.
\( \ln(\ln{x}) = 0 \)
\( \ln{x} = e^0 = 1 \)
\( x = e^1 = e \)
Tüm tanım aralığında artan bir fonksiyon olan \( \ln(\ln x) \) ifadesi, kritik noktası olan \( x = e \) değerinin solunda negatif, sağında pozitif olur.
Buna göre fonksiyonun parçalı fonksiyon tanımı aşağıdaki gibi olur.
\( f(x) = \begin{cases} -\ln(\ln{x}) & 1 \lt x \lt e \\ \ln(\ln{x}) & x \ge e \end{cases} \)
\( f : \left[0, \infty\right) \rightarrow \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( f(x) = \abs{8 - 2^x} - \abs{\sqrt{x} - 2} \) fonksiyonunu parçalı fonksiyon şeklinde yazınız.
Çözümü GösterBir mutlak değer ifadesinin kritik noktaları, mutlak değer içini sıfır yapan \( x \) değerleridir.
\( 8 - 2^x = 0 \Longrightarrow x = 3 \)
\( 2^x \) fonksiyonu tüm reel sayılarda artan olduğu için \( 8 - 2^x \) ifadesi azalandır, dolayısıyla kritik noktanın solunda pozitif, sağında negatif olur.
\( \sqrt{x} - 2 = 0 \Longrightarrow x = 4 \)
Tüm tanım aralığında artan olan \( \sqrt{x} - 2 \) ifadesi, kritik noktanın solunda negatif, sağında pozitif olur.
Mutlak değer ifadelerini ve her aralıktaki işaretlerini bir işaret tablosu üzerinde gösterelim.
Buna göre fonksiyonun parçalı fonksiyon tanımı aşağıdaki gibi olur.
\( f(x) = \begin{cases} -2^x + \sqrt{x} + 6 & 0 \le x \lt 3 \\ 2^x + \sqrt{x} - 10 & 3 \le x \lt 4 \\ 2^x - \sqrt{x} - 6 & x \ge 4 \end{cases} \)
\( f(x) = \abs{3\abs{x - 2} - x} - 4 \) fonksiyonunu parçalı fonksiyon şeklinde yazınız.
Çözümü GösterBir mutlak değer ifadesinin kritik noktaları mutlak değer içini sıfır yapan \( x \) değerleridir.
İçteki mutlak değer:
İlk adımda fonksiyonu içteki mutlak değerden kurtaralım.
\( x - 2 = 0 \Longrightarrow x = 2 \)
Pozitif başkatsayılı \( x - 2 \) ifadesi kritik noktanın solunda negatif, sağında pozitif olur.
Buna göre fonksiyonun içteki mutlak değerden kurtulmuş parçalı fonksiyon tanımı aşağıdaki gibi olur.
\( f(x) = \begin{cases} \abs{3[-(x - 2)] - x} - 4 & x \lt 2 \\ \abs{3(x - 2) - x} - 4 & x \ge 2 \end{cases} \)
\( = \begin{cases} \abs{6 - 4x} - 4 & x \lt 2 \\ \abs{2x - 6} - 4 & x \ge 2 \end{cases} \)
Dıştaki mutlak değer:
İkinci adımda fonksiyonu dıştaki mutlak değerden kurtaralım.
\( 6 - 4x = 0 \Longrightarrow x = \frac{3}{2} \)
\( x = \frac{3}{2} \) değeri bu tanımın geçerli olduğu \( x \lt 2 \) aralığında bulunduğu için bu aralığı ikiye böler.
Negatif başkatsayılı \( 6 - 4x \) ifadesi kritik noktanın solunda pozitif, sağında negatif olur.
\( 2x - 6 = 0 \Longrightarrow x = 3 \)
\( x = 3 \) değeri bu tanımın geçerli olduğu \( x \ge 2 \) aralığında bulunduğu için bu aralığı ikiye böler.
Pozitif başkatsayılı \( 2x - 6 \) ifadesi kritik noktanın solunda negatif, sağında pozitif olur.
Buna göre fonksiyonun parçalı fonksiyon tanımı aşağıdaki gibi olur.
\( f(x) = \begin{cases} (6 - 4x) - 4 & x \lt \frac{3}{2} \\ -(6 - 4x) - 4 & \frac{3}{2} \le x \lt 2 \\ -(2x - 6) - 4 & 2 \le x \lt 3 \\ (2x - 6) - 4 & x \ge 3 \end{cases} \)
\( = \begin{cases} -4x + 2 & x \lt \frac{3}{2} \\ 4x - 10 & \frac{3}{2} \le x \lt 2 \\ -2x + 2 & 2 \le x \lt 3 \\ 2x - 10 & x \ge 3 \end{cases} \)
\( f(x) = \abs{\abs{x + 5} - (x + 9)} \) fonksiyonunu parçalı fonksiyon şeklinde yazınız.
Çözümü GösterBir mutlak değer ifadesinin kritik noktaları mutlak değer içini sıfır yapan \( x \) değerleridir.
İçteki mutlak değer:
İlk adımda fonksiyonu içteki mutlak değerden kurtaralım.
\( x + 5 = 0 \Longrightarrow x = -5 \)
Pozitif başkatsayılı \( x + 5 \) ifadesi kritik noktanın solunda negatif, sağında pozitif olur.
Buna göre fonksiyonun içteki mutlak değerden kurtulmuş parçalı fonksiyon tanımı aşağıdaki gibi olur.
\( f(x) = \begin{cases} \abs{-(x + 5) - (x + 9)} & x \lt -5 \\ \abs{(x + 5) - (x + 9)} & x \ge -5 \end{cases} \)
\( = \begin{cases} \abs{-2x - 14} & x \lt -5 \\ \abs{-4} & x \ge -5 \end{cases} \)
\( = \begin{cases} \abs{-2x - 14} & x \lt -5 \\ 4 & x \ge -5 \end{cases} \)
Dıştaki mutlak değer:
İkinci adımda fonksiyonu dıştaki mutlak değerden kurtaralım.
\( -2x - 14 = 0 \Longrightarrow x = -7 \)
\( x = -7 \) değeri bu tanımın geçerli olduğu \( x \lt -5 \) aralığında bulunduğu için bu aralığı ikiye böler.
Negatif başkatsayılı \( -2x - 14 \) ifadesi kritik noktanın solunda pozitif, sağında negatif olur.
Buna göre fonksiyonun parçalı fonksiyon tanımı aşağıdaki gibi olur.
\( f(x) = \begin{cases} -2x - 14 & x \lt -7 \\ -(-2x - 14) & -7 \le x \lt -5 \\ 4 & x \ge -5 \end{cases} \)
\( = \begin{cases} -2x - 14 & x \lt -7 \\ 2x + 14 & -7 \le x \lt -5 \\ 4 & x \ge -5 \end{cases} \)