Bir Sayının Tam Bölenleri

Sıfırdan farklı bir tam sayısı bir tam sayısını kalansız bölüyorsa sayısına sayısının bir tam böleni ya da çarpanı denir. Bu durumda sayısı sayısının bir katı olur.

Daha sık kullanacağımız bir tanıma göre, sıfırdan farklı bir tam sayısı ile çarpımının sonucu bir tam sayısı olacak şekilde belirli bir tam sayısı bulabiliyorsak, sayısı sayısının bir tam bölenidir, sayısı da sayısının bir katıdır.

Tam Bölen Kuralları

Yukarıda bilgiler ve formül doğrultusunda bazı tam bölme kurallarını aşağıdaki gibi türetebiliriz.

0 Hiçbir Sayının Tam Böleni Değildir

Tam bölen sayılar () pozitif ya da negatif olabilir, ancak olamaz. Bunun sebebi olması durumunda yukarıdaki eşitliği sağlayan belirli bir değeri bulunmamasıdır. Dolayısıyla hiçbir sayının tam böleni değildir.

Her Sayı 0'ı Tam Böler

dışında herhangi bir sayısı ile çarpımı 0 olan bir tam sayısı bulabileceğimiz için (), dışındaki tüm tam sayılar 'ın bir tam bölenidir. Bir diğer ifadeyle, sayısı dışındaki tüm sayıların bir katıdır.

1 ve -1 Her Sayıyı Tam Böler

Tüm tam sayılar için aşağıdaki eşitlikleri sağlayacak birer tam sayı değeri bulabileceğimiz için, ve , dahil tüm tam sayıların birer tam bölenidir.

Her Sayı Kendisini ve Ters İşaretlisini Tam Böler

ve için aşağıdaki eşitlikler sağlandığı için, dışında her tam sayı () ve ters işaretlisi () kendisinin bir tam bölenidir.

Tam Bölen ve Katların Negatif İşaretlileri

sayısı sayısının bir tam böleni ise sayısı da bir tam bölenidir. Aynı zamanda her iki sayı sayısının da birer tam bölenidir.

Örnek Sayıların Tam Bölenleri

Yukarıdaki bilgileri aşağıdaki gibi özetleyebiliriz:

  • hiçbir sayının tam böleni değildir.
  • dışındaki tüm tam sayılar 'ı tam böler.
  • ve tüm tam sayıları tam böler.
  • Bir tam sayının kendisi ve negatif işaretlisi o sayıyı tam böler.
  • Bir tam sayının tam bölen listesi aynı bölen sayıların pozitif ve negatif işaretlilerinden oluşur. Buna göre, bir sayının pozitif ve negatif tam bölen sayıları birbirine eşittir.
  • Bir tam sayının ve negatif işaretlisinin tam bölen listeleri aynıdır.

Bu bilgiler doğrultusunda bazı sayıların tam bölenlerinin kümesi aşağıdaki tabloda verilmiştir. Bu bilgileri önümüzdeki bölümlerdeki örneklerde kullanıyor olacağız.

Sayı () Tam Bölenler Kümesi ()

Not: Bu bölümde bundan sonra "bölen" kelimesinden kastımız belirli bir sayıyı "kalansız bölen tam sayılar" olacaktır.

SORU 1 :

olmak üzere,

Aşağıdaki öncüllerden hangileri her zaman doğrudur?

I. sayısı sayısını tam bölüyorsa sayısını da tam böler.

II. sayısı çarpımını tam bölüyorsa ve sayılarını ayrı ayrı tam böler.

III. çarpımı sadece 3'e bölünüyorsa sayılarından sadece biri 3'e tam bölünür.

IV. ise sayısı sayısına tam bölünür.

I. öncül:

sayısı sayısını tam bölüyorsa aralarında aşağıdaki eşitliği yazabiliriz.

olmak üzere,

Buna göre sayısı sayısını tam böler ve bölüm olur.

I. öncül her zaman doğrudur.

II. öncül:

sayısı çarpımını tam bölüyorsa ve sayılarını ayrı ayrı bölmek zorunda değildir.

Örnek:

6 sayısı sayısını böler, ama 2 ve 3 sayılarını bölmez.

II. öncül her zaman doğru değildir.

III. öncül:

çarpımı sadece 3'e bölünüyorsa aşağıdaki eşitliği yazabiliriz.

olmak üzere,

Bu durumda sayılarından biri ya da daha fazlası 3'e tam bölünebilir.

Örnek:

sayısı 3'e tam bölünür, ayrıca sayıları da ayrı ayrı 3'e tam bölünür.

III. öncül her zaman doğru değildir.

IV. öncül:

Eşitliğin her iki tarafını sayısına bölelim.

sayısının ile bölümünün sonucu tam sayı olduğu için sayısı sayısına tam bölünür.

IV. öncül her zaman doğrudur.

Buna göre I. ve IV. öncüller her zaman doğrudur.


SORU 2 :

Şevval aklından pozitif bir tam sayı tutuyor, sonra bu sayının pozitif bir bölenini seçiyor, seçtiği böleni 3 ile çarpıyor ve aklından tuttuğu sayıdan çıkarıyor.

Sonuç 2131 olduğuna göre, Şevval'in aklından tuttuğu sayının alabileceği değerlerin toplamı nedir?

Şevval'in aklından tuttuğu pozitif tam sayıya diyelim.

sayısı 'nin pozitif bir böleni olsun. Bu durumda sayısını cinsinden aşağıdaki şekilde yazabiliriz.

olmak üzere,

Verilen bilgileri denkleme dökelim.

2131 bir asal sayıdır, dolayısıyla ya da olabilir.

Bu iki durumu ayrı ayrı inceleyelim.

Durum 1:

Durum 2:

Şevval'in aklından tuttuğu sayının alabileceği değerlerin toplamı olarak bulunur.


« Önceki
Bölünebilme
Sonraki »
Bölünebilme Kuralları


Faydalı buldunuz mu?   Evet   Hayır