Bir Sayının Tam Bölenleri
Sıfırdan farklı bir \( n \) tam sayısı bir \( a \) tam sayısını kalansız bölüyorsa \( n \) sayısına \( a \) sayısının bir tam böleni ya da çarpanı denir. Bu durumda \( a \) sayısı \( n \) sayısının bir katı olur.
Daha sık kullanacağımız bir tanıma göre, sıfırdan farklı bir \( n \) tam sayısı ile çarpımının sonucu bir \( a \) tam sayısı olacak şekilde belirli bir \( k \) tam sayısı bulabiliyorsak, \( n \) sayısı \( a \) sayısının bir tam bölenidir, \( a \) sayısı da \( n \) sayısının bir katıdır.
\( a, k, n \in \mathbb{Z}, \quad n \ne 0 \) olmak üzere,
\( a = k \cdot n \) eşitliğini sağlayan belirli bir \( k \) tam sayısı bulabiliyorsak,
\( n \) sayısı \( a \) sayısının bir tam bölenidir ve \( a \) sayısı \( n \) sayısının bir katıdır.
Aşağıdaki eşitliği sağlayan belirli bir \( k \) değeri bulunduğu için \( 2 \) \( 6 \)'nın bir tam bölenidir.
\( 6 = 3 \cdot 2 \quad (k = 3) \)
Benzer şekilde \( 5 \) \( -10 \)'un bir tam bölenidir.
\( -10 = (-2) \cdot 5 \quad (k = -2) \)
Benzer şekilde \( -4 \) \( -4 \)'ün bir tam bölenidir.
\( -4 = 1 \cdot (-4) \quad (k = 1) \)
Tam Bölen Kuralları
Yukarıda bilgiler ve formül doğrultusunda bazı tam bölme kurallarını aşağıdaki gibi türetebiliriz.
0 Hiçbir Sayının Tam Böleni Değildir
Tam bölen sayılar (\( n \)) pozitif ya da negatif olabilir, ancak \( 0 \) olamaz. Bunun sebebi \( n = 0 \) olması durumunda yukarıdaki eşitliği sağlayan belirli bir \( k \) değeri bulunmamasıdır. Dolayısıyla \( 0 \) hiçbir sayının tam böleni değildir.
\( n = 0 \) ise,
\( 0 = k \cdot 0 \)
eşitliğini sağlayan pek çok \( k \) değeri olabileceği için \( k \) belirsizdir.
Her Sayı 0'ı Tam Böler
\( 0 \) dışında herhangi bir \( n \) sayısı ile çarpımı 0 olan bir \( k \) tam sayısı bulabileceğimiz için (\( k = 0 \)), \( 0 \) dışındaki tüm tam sayılar \( 0 \)'ın bir tam bölenidir. Bir diğer ifadeyle, \( 0 \) sayısı \( 0 \) dışındaki tüm sayıların bir katıdır.
\( n \ne 0 \) olmak üzere,
\( 0 = k \cdot n \Longrightarrow k = 0 \)
Aşağıdaki eşitliğe göre \( 5 \) \( 0 \)'ın bir tam bölenidir.
\( 0 = 0 \cdot 5 \quad (k = 0) \)
Aşağıdaki eşitliğe göre \( -3 \) \( 0 \)'ın bir tam bölenidir.
\( 0 = 0 \cdot (-3) \quad (k = 0) \)
1 ve -1 Her Sayıyı Tam Böler
Tüm tam sayılar için aşağıdaki eşitlikleri sağlayacak birer tam sayı \( k \) değeri bulabileceğimiz için, \( 1 \) ve \( -1 \), \( 0 \) dahil tüm tam sayıların birer tam bölenidir.
\( a = k \cdot 1 \Longrightarrow k = a \)
\( a = k \cdot (-1) \Longrightarrow k = -a \)
Aşağıdaki eşitliklere göre \( 1 \) ve \( -1 \) \( 5 \)'in birer tam bölenidir.
\( 5 = 5 \cdot 1 \quad (k = 5) \)
\( 5 = (-5) \cdot (-1) \quad (k = -5) \)
Aşağıdaki eşitliklere göre \( 1 \) ve \( -1 \) \( 0 \)'ın birer tam bölenidir.
\( 0 = 0 \cdot 1 \quad (k = 0) \)
\( 0 = 0 \cdot (-1) \quad (k = 0) \)
Her Sayı Kendisini ve Ters İşaretlisini Tam Böler
\( k = 1 \) ve \( k = -1 \) için aşağıdaki eşitlikler sağlandığı için, \( 0 \) dışında her tam sayı (\( n \)) ve ters işaretlisi (\( -n \)) kendisinin bir tam bölenidir.
\( n \ne 0 \) olmak üzere,
\( n = k \cdot n \Longrightarrow k = 1 \)
\( n = k \cdot (-n) \Longrightarrow k = -1 \)
Aşağıdaki eşitliklere göre \( 5 \) ve \( -5 \) kendilerinin ve birbirlerinin birer tam bölenidir.
\( 5 = 1 \cdot 5 \quad (k = 1) \)
\( 5 = (-1) \cdot (-5) \quad (k = -1) \)
\( -5 = 1 \cdot (-5) \quad (k = 1) \)
\( -5 = (-1) \cdot 5 \quad (k = -1) \)
Tam Bölen ve Katların Negatif İşaretlileri
\( n \) sayısı \( a \) sayısının bir tam böleni ise \( -n \) sayısı da bir tam bölenidir. Aynı zamanda her iki sayı \( -a \) sayısının da birer tam bölenidir.
\( a = k \cdot n \) ise,
\( a = (-k) \cdot (-n) \)
\( -a = (-k) \cdot n \)
\( -a = k \cdot (-n) \)
\( 3 \) \( 6 \)'nın bir tam böleni olduğu için, \( 3 \) \( -6 \)'nın da bir tam bölenidir. Ayrıca \( -3 \) hem \( 6 \)'nın hem \( -6 \)'nın birer tam bölenidir.
\( 6 = (-2) \cdot (-3) \quad (k = -2) \)
\( -6 = (-2) \cdot 3 \quad (k = -2) \)
\( -6 = 2 \cdot (-3) \quad (k = 2) \)
Örnek Sayıların Tam Bölenleri
Yukarıdaki bilgileri aşağıdaki gibi özetleyebiliriz:
- \( 0 \) hiçbir sayının tam böleni değildir.
- \( 0 \) dışındaki tüm tam sayılar \( 0 \)'ı tam böler.
- \( 1 \) ve \( -1 \) tüm tam sayıları tam böler.
- Bir tam sayının kendisi ve negatif işaretlisi o sayıyı tam böler.
- Bir tam sayının tam bölen listesi aynı bölen sayıların pozitif ve negatif işaretlilerinden oluşur. Buna göre, bir sayının pozitif ve negatif tam bölen sayıları birbirine eşittir.
- Bir tam sayının ve negatif işaretlisinin tam bölen listeleri aynıdır.
Bu bilgiler doğrultusunda bazı sayıların tam bölenlerinin kümesi aşağıdaki tabloda verilmiştir. Bu bilgileri önümüzdeki bölümlerdeki örneklerde kullanıyor olacağız.
| Sayı (\( a \)) | Tam Bölenler Kümesi (\( n \)) |
|---|---|
| \( 1 \) | \( \{ -1, 1 \} \) |
| \( -1 \) | \( \{ -1, 1 \} \) |
| \( 4 \) | \( \{ -4, -2, -1, 1, 2, 4 \} \) |
| \( -4 \) | \( \{ -4, -2, -1, 1, 2, 4 \} \) |
| \( 9 \) | \( \{ -9, -3, -1, 1, 3, 9 \} \) |
| \( -9 \) | \( \{ -9, -3, -1, 1, 3, 9 \} \) |
| \( 12 \) | \( \{ -12, -6, -4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4, 6, 12 \} \) |
| \( -12 \) | \( \{ -12, -6, -4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4, 6, 12 \} \) |
| \( 0 \) | \( \mathbb{Z} - \{ 0 \} \) |
Not: Bu bölümde bundan sonra "bölen" kelimesinden kastımız belirli bir sayıyı "kalansız bölen tam sayılar" olacaktır.
\( a, b, c \in \mathbb{Z^+} \) olmak üzere,
Aşağıdaki öncüllerden hangileri her zaman doğrudur?
I. \( a \) sayısı \( b \) sayısını tam bölüyorsa \( b^2 \) sayısını da tam böler.
II. \( c \) sayısı \( ab \) çarpımını tam bölüyorsa \( a \) ve \( b \) sayılarını ayrı ayrı tam böler.
III. \( abc \) çarpımı sadece 3'e bölünüyorsa \( a, b, c \) sayılarından sadece biri 3'e tam bölünür.
IV. \( \frac{a}{b} = c \) ise \( a \) sayısı \( c \) sayısına tam bölünür.
Çözümü GösterI. öncül:
\( a \) sayısı \( b \) sayısını tam bölüyorsa aralarında aşağıdaki eşitliği yazabiliriz.
\( k \in \mathbb{Z} \) olmak üzere,
\( b = ka \)
\( b^2 = k^2a^2 = (k^2a)a \)
Buna göre \( a \) sayısı \( b^2 \) sayısını tam böler ve bölüm \( k^2a \) olur.
I. öncül her zaman doğrudur.
II. öncül:
\( c \) sayısı \( ab \) çarpımını tam bölüyorsa \( a \) ve \( b \) sayılarını ayrı ayrı bölmek zorunda değildir.
Örnek: \( a = 2, b = 3, c = 6 \)
6 sayısı \( 2 \cdot 3 = 6 \) sayısını böler, ama 2 ve 3 sayılarını bölmez.
II. öncül her zaman doğru değildir.
III. öncül:
\( abc \) çarpımı sadece 3'e bölünüyorsa aşağıdaki eşitliği yazabiliriz.
\( k \in \mathbb{Z^+} \) olmak üzere,
\( abc = 3^k \)
Bu durumda \( a, b, c \) sayılarından biri ya da daha fazlası 3'e tam bölünebilir.
Örnek: \( a = 3, b = 3, c = 3 \)
\( abc = 27 \) sayısı 3'e tam bölünür, ayrıca \( a, b, c \) sayıları da ayrı ayrı 3'e tam bölünür.
III. öncül her zaman doğru değildir.
IV. öncül:
\( \dfrac{a}{b} = c \)
\( a = bc \)
Eşitliğin her iki tarafını \( c \) sayısına bölelim.
\( \dfrac{a}{c} = b \)
\( a \) sayısının \( c \) ile bölümünün sonucu tam sayı olduğu için \( a \) sayısı \( c \) sayısına tam bölünür.
IV. öncül her zaman doğrudur.
Buna göre I. ve IV. öncüller her zaman doğrudur.
Şevval aklından pozitif bir tam sayı tutuyor, sonra bu sayının pozitif bir bölenini seçiyor, seçtiği böleni 3 ile çarpıyor ve aklından tuttuğu sayıdan çıkarıyor.
Sonuç 2131 olduğuna göre, Şevval'in aklından tuttuğu sayının alabileceği değerlerin toplamı nedir?
Çözümü GösterŞevval'in aklından tuttuğu pozitif tam sayıya \( n \) diyelim.
\( a \) sayısı \( n \)'nin pozitif bir böleni olsun. Bu durumda \( n \) sayısını \( a \) cinsinden aşağıdaki şekilde yazabiliriz.
\( k \in \mathbb{Z^+} \) olmak üzere,
\( n = ak \)
Verilen bilgileri denkleme dökelim.
\( n - 3a = 2131 \)
\( ak - 3a = 2131 \)
\( a(k - 3) = 2131 \)
2131 bir asal sayıdır, dolayısıyla \( a = 1 \) ya da \( a = 2131 \) olabilir.
Bu iki durumu ayrı ayrı inceleyelim.
Durum 1: \( a = 1 \)
\( 1(k - 3) = 2131 \)
\( k = 2134 \)
\( n = ak = 1 \cdot 2134 = 2134 \)
Durum 2: \( a = 2131 \)
\( 2131(k - 3) = 2131 \)
\( k = 4 \)
\( n = ak = 2131 \cdot 4 = 8524 \)
Şevval'in aklından tuttuğu sayının alabileceği değerlerin toplamı \( 2134 + 8524 = 10658 \) olarak bulunur.