Sıfırdan farklı bir tam sayısı bir tam sayısını kalansız bölüyorsa sayısına sayısının bir tam böleni ya da çarpanı denir. Bu durumda sayısı sayısının bir katı olur.
Daha sık kullanacağımız bir tanıma göre, sıfırdan farklı bir tam sayısı ile çarpımının sonucu bir tam sayısı olacak şekilde belirli bir tam sayısı bulabiliyorsak, sayısı sayısının bir tam bölenidir, sayısı da sayısının bir katıdır.
olmak üzere,
eşitliğini sağlayan belirli bir tam sayısı bulabiliyorsak,
sayısı sayısının bir tam bölenidir ve sayısı sayısının bir katıdır.
ÖRNEK:
Aşağıdaki eşitliği sağlayan belirli bir değeri bulunduğu için 'nın bir tam bölenidir.
Benzer şekilde 'un bir tam bölenidir.
Benzer şekilde 'ün bir tam bölenidir.
Tam Bölen Kuralları
Yukarıda bilgiler ve formül doğrultusunda bazı tam bölme kurallarını aşağıdaki gibi türetebiliriz.
0 Hiçbir Sayının Tam Böleni Değildir
Tam bölen sayılar () pozitif ya da negatif olabilir, ancak olamaz. Bunun sebebi olması durumunda yukarıdaki eşitliği sağlayan belirli bir değeri bulunmamasıdır. Dolayısıyla hiçbir sayının tam böleni değildir.
ise,
eşitliğini sağlayan pek çok değeri olabileceği için belirsizdir.
Her Sayı 0'ı Tam Böler
dışında herhangi bir sayısı ile çarpımı 0 olan bir tam sayısı bulabileceğimiz için (), dışındaki tüm tam sayılar 'ın bir tam bölenidir. Bir diğer ifadeyle, sayısı dışındaki tüm sayıların bir katıdır.
olmak üzere,
ÖRNEK:
Aşağıdaki eşitliğe göre 'ın bir tam bölenidir.
Aşağıdaki eşitliğe göre 'ın bir tam bölenidir.
1 ve -1 Her Sayıyı Tam Böler
Tüm tam sayılar için aşağıdaki eşitlikleri sağlayacak birer tam sayı değeri bulabileceğimiz için, ve , dahil tüm tam sayıların birer tam bölenidir.
ÖRNEK:
Aşağıdaki eşitliklere göre ve 'in birer tam bölenidir.
Aşağıdaki eşitliklere göre ve 'ın birer tam bölenidir.
Her Sayı Kendisini ve Ters İşaretlisini Tam Böler
ve için aşağıdaki eşitlikler sağlandığı için, dışında her tam sayı () ve ters işaretlisi () kendisinin bir tam bölenidir.
olmak üzere,
ÖRNEK:
Aşağıdaki eşitliklere göre ve kendilerinin ve birbirlerinin birer tam bölenidir.
Tam Bölen ve Katların Negatif İşaretlileri
sayısı sayısının bir tam böleni ise sayısı da bir tam bölenidir. Aynı zamanda her iki sayı sayısının da birer tam bölenidir.
ise,
ÖRNEK:
'nın bir tam böleni olduğu için, 'nın da bir tam bölenidir. Ayrıca hem 'nın hem 'nın birer tam bölenidir.
Örnek Sayıların Tam Bölenleri
Yukarıdaki bilgileri aşağıdaki gibi özetleyebiliriz:
hiçbir sayının tam böleni değildir.
dışındaki tüm tam sayılar 'ı tam böler.
ve tüm tam sayıları tam böler.
Bir tam sayının kendisi ve negatif işaretlisi o sayıyı tam böler.
Bir tam sayının tam bölen listesi aynı bölen sayıların pozitif ve negatif işaretlilerinden oluşur. Buna göre, bir sayının pozitif ve negatif tam bölen sayıları birbirine eşittir.
Bir tam sayının ve negatif işaretlisinin tam bölen listeleri aynıdır.
Bu bilgiler doğrultusunda bazı sayıların tam bölenlerinin kümesi aşağıdaki tabloda verilmiştir. Bu bilgileri önümüzdeki bölümlerdeki örneklerde kullanıyor olacağız.
Sayı ()
Tam Bölenler Kümesi ()
Not: Bu bölümde bundan sonra "bölen" kelimesinden kastımız belirli bir sayıyı "kalansız bölen tam sayılar" olacaktır.
SORU 1 :
olmak üzere,
Aşağıdaki öncüllerden hangileri her zaman doğrudur?
I. sayısı sayısını tam bölüyorsa sayısını da tam böler.
II. sayısı çarpımını tam bölüyorsa ve sayılarını ayrı ayrı tam böler.
III. çarpımı sadece 3'e bölünüyorsa sayılarından sadece biri 3'e tam bölünür.
Şevval aklından pozitif bir tam sayı tutuyor, sonra bu sayının pozitif bir bölenini seçiyor, seçtiği böleni 3 ile çarpıyor ve aklından tuttuğu sayıdan çıkarıyor.
Sonuç 2131 olduğuna göre, Şevval'in aklından tuttuğu sayının alabileceği değerlerin toplamı nedir?
